六年级奥数立体图形

第四讲立体图形

【内容概述】

各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用.较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题.

【典型问题】

例1用棱长是1厘米的立方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?（第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题）

例2如图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?（1993年全国小学数学奥林匹克初赛）

例3如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?

例4下图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（北京市第二届“迎春杯”数学竞赛决赛）

例5下图是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1

厘米的正方体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1

2

厘米的小洞；第三个小洞

的挖法与前两个相同，边长为1

4

厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?

（1989年全国小学数学奥林匹克初赛）

例6有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米·

例7如下图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?（第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛第6题）

例8今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体．现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体．问剩下的体积是多少立方厘米?（北京市第八届“迎春杯”数学竞赛决赛）

例9如下图，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少? （第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第4题）

例10张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍? （第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛第23题）

例11一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米?

例12如想图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米?( 取3．14) （第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第5题）

例13某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如想图所示在三个方向上加固．所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米．若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米? （第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第8 题）

例14有甲、乙、丙3种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的1

2

，乙的

棱长是丙的棱长的2

3

．如果用甲、乙、丙3种木块拼成一个体积尽可能小的大正体，每种至

少用一块，那么最少需要这3种木块一共多少块? （北京市第十一届“迎春杯”数学竞赛决赛）

例15有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某划面染上红色，使得有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长；方体分割成棱长为1厘米的小正方体．分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体；最多有多少个? （第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第4题）