几个代数式的整除性质
初等数论(1)整除
本讲中所涉及的数都是整数，所用的字母除特别申明外也都表示整数． ⑪整除设a 、b 是给定的数，0b ≠．若存在整数c ，使得a bc =，则称b 整除a ，记作b a ∣，并称b 是a 的一个约数（或因子），而称a 为b 的一个倍数．如果不存在上述的整数c ，则称b 不能整除a ，记作b a Œ．由整除的定义，容易推出整除的几个简单性质： ①若b ∣c ，且c a ∣，则b a ∣，即整除性质具有传递性． ②若b a ∣，且b c ∣，则()ba c ±∣，即某一个整数倍数的集合关于加法和减法运算封闭．反复应用这一性质，易知：若b a ∣及bc ∣，则对任意整数u 、v 有()b au cv +∣．更一般地，若1a ，2a ， ，n a 都是b 的倍数，则12()n ba a a ++ ∣． ③若b a ∣，则或者0a =，或者||a b ≥．因此，若b a ∣且a b ∣，则||||a b =．④（带余除法）对任意两个整数a 、b (0)b >，则存在整数q 和r ，使得a b q r =⋅+，其中0r b <≤，并且q 和r 由上述条件惟一确定．整数q 称为a 被b 除得的（不完全）商，数r 称为a 被b 除得的余数．r 共有b 种可能的取值，若0r =，即为前面说的a 被b 整除．易知，带余除法中的商实际上是a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（不超过ab的最大整数），而带余除法的核心是关于余数的不等式：0r b <≤．⑤证明b a ∣的基本手法是将a 分解为b 与一个整数之积．在比较初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生．下面两个整除分解式在这类论证中应用较多． 若n 是正整数，则1221()()n n n n n n x y x y x x y xy y -----=-++++ ；若n 是正奇数，则1221()()n n n n n n x y x y x x y xy y ----+=+-+-+ ．⑫最大公约数与最小公倍数最大公约数是数论中的一个重要概念．设a 、b 不全为零，同时整除a 、b 的整数称为它们的公约数．因为a 、b 不全为零，故由整除的性质③推知，a 、b 的公约数只有有限多个，将其中最大的一个称为a 、b 的最大公约数，用符号()a b ，表示． 当()1a b =，时，即a ，b 的公约数只有1±，称a 与b 互素（或互质）．对于多于两个的不全为零的整数a ，b ， ，c ，可类似的定义它们的最大公约数()a b c ，，，．若()a b c ，，，1=，则称a ，b ， ，c 互素．但此时并不能推出a ，b ， ，c 两两互素；但反过来，若a ，b ， ，c 两两互素，则显然有()a b c ，，，1=． 由定义容易得到最大公约数的一些简单性质：任意改变a 、b 的符号和先后顺序不改变()a b ，的值，4整除即有()()()a b b a a b ±±==，，，；()a b ，作为b 的函数，以a 为周期，即()()a b a a b +=，，． 下面给出最大公约数的若干性质，它们是解决关于公约问题的基础．①设a 、b 是不全为0的整数，则存在整数x 、y ，使得()ax by a b +=，．如果00x x y y =⎧⎨=⎩是满足上式的一组整数，则00x x buy y au =+⎧⎨=-⎩（其中u 为任意整数）也是满足上式的整数．这表明，满足上式的x 、y 有无穷组，并且在0ab >时，可选择x 为正（负）数，此时y 则相应的为负（正）数．特别的，两个整数a 、b 互素的充分必要条件是存在整数x 、y ，使得1ax by +=，这通常称为a 、b 适合的裴蜀（Bezout ）等式．事实上，条件的必要性是性质①的特例．反过来，若有x 、y 使等式成立，设()a b d =，，则d a ∣且d b ∣，故d ax ∣及d by ∣，于是()d ax by +∣，即1d ∣，从而1d =． ②若m a ∣，m b ∣，则()m a b ，∣，即a 、b 任一个公约数都是它们的最大公约数的约数．③若0m >，则()()ma mb m a b =，，． ④若()a b d =，，则1a b d d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，．因此，由两个不互素的整数，可自然地产生一对互素的整数． ⑤若()1a m =，，()1b m =，，则()1ab m =，．这表明，与一个固定整数互素的整数构成的集合关于乘法封闭．由此可以推出：若()1a b =，，则对任意0k >与()1k a b =，，进而对任意0l >有()1k l a b =，．⑥设bac ∣，若()1b c =，，则b a ∣． ⑦设正整数a 、b 之积是一个整数的k 次幂(2)k ≥．若()1a b =，，则a 、b 都是整数的k 次幂．一般地，设正整数a b c ，，，之积是一个整数的k 次幂，若a b c ，，，两两互素，则a b c ，，，都是整数的k 次幂．下面介绍最小公倍数．设a 、b 是两个非零整数，一个同时为a 、b 倍数的数称为它们的一个公倍数．a 、b 的公倍数有无穷多个，其中最小的正数称为a 、b 的最小公倍数，记作[]a b ，．对于多个非零整数a b c ，，，，可类似地定义它们的最小公倍数[]a b c ，，，． ⑧a 与b 的任意公倍数都是[]a b ，的倍数．对于多于两个整数的情形，类似的结论也成立． ⑨两个整数a 、b 的最大公约数与最小公倍数满足()[]||a b a b ab =，，． 思考：对于多于两个整数的情形，类似的结论不成立，请举出例子．⑩若a b c ，，，两两互素，则有[]||a b c ab c = ，，，．由此以及性质⑧可知若ad ∣，b d ∣， ，c d ∣，且a b c ，，，两两互素，则有ab c d ∣．⑬素数及唯一分解定理大于1的整数n 总有两个不同的正约数：1和n ．若n 仅有这两个正约数（称为n 没有真约数），则称n 为素数（或质数）．若n 有真约数，即n 可表示为a b ⋅的形式（这里a 、b 为大于1的整数），则称n 为合数．于是，正整数被分成三类，数1单独作一类，素数类及合数类．素数在正整数中特别重要，我们常用字母p 表示素数．由定义易得出下面的基本结论： ①大于1的整数必有素约数．②设p 是素数，n 是任意一个整数，则或者p 整除n ，或者p 与n 互素．事实上，p 与n 的最大公约数()p n ，必整除p ，故由素数的定义推知，或者()1p n =，，或者()p n p =，，即或者p 与n 互素，或者p n ∣．③设p 是素数，a 、b 为整数．若p ab ∣，则a 、b 中至少有一个数被p 整除．特别地可以推出，若素数p 整除(1)n a n ≥，则pa ∣． ④素数有无穷多个．思考：如何证明素数有无穷多个？（提示：用反证法，假设素数只有有限多个，为12k p p p ，，，，考虑数121k N p p p =+ ，利用性质⑬．①）⑤每个大于1的正整数都可以分解为有限个素数的积；并且，若不计素因数在乘积中的次序，这样的分解是唯一的．将n 的素因数分解中的相同的素因子收集在一起，可知每个大于1的正整数n 可惟一的表示为1212k a a a k n p p p = ，其中12k p p p ，，，是互不相同的素数，12k a a a ，，，是正整数，这称为n 的标准分解．⑥n 的全部正约数为1212k b b b k p p p ，其中i b 是满足0(12)i i b a i k = ，，，≤≤的任意整数． 由此易知，若记()n τ为n 的正约数的个数，()n σ为n 的正约数之和，则有12()(1)(1)(1)k n a a a τ=+++ ，121111212111()111k a a a k k p p p n p p p σ+++---=⋅---． 虽然素数有无穷多个，但它们在自然数中的分布却极不规则．给定一个大整数，判断它是否为素数，通常是极其困难的，要作出其标准分解，则更加困难．证明某些特殊形式的数不是素数（或者给出其为素数的必要条件），是初等数论中较为基本的问题，在数学竞赛中尤为常见．处理这类问题的基本方法是应用各种分解技术，指出所涉及数的一个真约数．【例 1】 证明：⑪设0m n >≥，有22(21)1)n m+-∣(2；⑫对正整数n ，记()S n 为n 的十进制表示中各个数位数码之和，则99()n S n ⇔∣∣． ⑬设p 和q 均为自然数，使得111112313181319p q =-+--+ ，证明：p 可被1979整除．【解析】 ⑪11112222221(21)[(2)21]mn n m n n ++-++-=-+++ 122(21)(21)n m+⇒--∣，又122221(21)(21)n nn+-=-+，从而122(21)(21)nn ++-∣． 于是由整除的传递性，有22(21)1)nm+-∣(2．⑫设101010k k n a a a =⨯++⨯+ ，其中09i a ≤≤，且0k a ≠，则01()k S n a a a =+++ ．于是有1()(101)(101)k k n S n a a -=-++- ．对1i k ≤≤，由整除分解式知9(101)i -∣，故上式右端k 个加项中的每一个都是9的倍数，从而由整除的性质知，它们的和也被9整除，即9(())n S n -∣．由此容易推出结论的两个方面． ⑶11111112231319241318p q ⎛⎫⎛⎫=++++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11111112313192659⎛⎫⎛⎫=++++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111166013196611318989990⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111197966013196611318989990⎛⎫=⨯+++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭【点评】 整除的性质②提供了证明12()n ba a a +++ ∣的一种基本的想法，我们可以试着去证明更强的（也往往是更容易证明的）命题：1i n ∀≤≤，有i ba ∣．这一更强的命题当然不一定成立，即使在它不成立的时候，上述想法仍有一种常常有效的变通：将12n a a a +++ 适当的分组成为12k c c c ++ ，而(12)i bc i k = ，，，∣． 例1⑫的证明，实际上给出了更强的结论，9())n n S n ∀-，∣(，即()(m od 9)S n n ≡．有些情形，我们能够由正整数十进制表示中的数字的性质，推断这个整数能否被另一个整数整除，这样的结论，常称为整除的数字特征．被2、3、5、10整除的数的数字特征是显而易见的．【变式】 设1k ≥是一个奇数，证明：(2)12)k k k n n n ∀++++ ，Œ(．【解析】1n =结论显然成立．设2n ≥，记所涉及的和为A ，则 22(2)(3(1))(2)k k k k k k A n n n =++++-+++ ．因为k 是正奇数，故由整除分解式可知，对每个2i ≥，数(2)k k i n i ++-被(2)2i n i n ++-=+整除，故2A 被2n +除得的余数是2，从而A 不可能被2n +整除（注意22n +>）．【点评】 论证中我们应用了“配对法”，这是数论中变形和式的一种常用手法．【变式】 设m 、n 为正整数，2m >，证明：(21)(21)m n -+Œ． 【解析】 当n m =时，结论平凡；当n m <时，结果可由1212121n m m -++<-≤推出来（注意2m >，并运用整除的性质③）； 当n m >的情形可化为上述特殊情形：由带余除法，n mq r =+，0r m <≤，而0q >．由于21(21)221n mq r r +=-++，由整除分解式知(21)(21)m mq --∣；而0r m <≤，故由上面证明了的结论知(21)(21)m r -+Œ（注意0r =时，结论平凡）．从而当n m >时也有(21)(21)m r -+Œ．这就证明了本题结论．【例 2】 设10a m n >>，，，证明：()(11)1m n m n a a a --=-，，． 【解析】 设(11)m n D a a =--，．通过证明()(1)m n a D -，∣及()(1)m n D a -，∣来推导出()1m n D a =-，，这是数论中证明两数相等的常用手法．∵()m n m ，∣，()m n n ，∣，由整除分解式即知()(1)(1)m n m a a --，∣，以及()(1)(1)m n n a a --，∣，故可知，()1m n a -，整除(11)m n a a --，，即()(1)m n a D -，∣． 为了证明()(1)m n D a -，∣，设()d m n =，． ∵0m n >，，∴可以选择0u v >，使得mu nv d -=．∵(1)m D a -∣，∴(1)mu D a -∣．同样，(1)nv D a -∣．故()mu nv D a a -∣，从而由mu nv d -=，得(1)nv d D a a -∣． 此外，因1a >，及(1)m D a -∣，故()1D a =，，进而()1nv D a =，．于是，从()mu nv D a a -∣可导出(1)d D a -∣，即()(1)m n D a -，∣． 综上所述，可知()1m n D a =-，．【变式】 记2210kk F k =+，≥．证明：若m n ≠，则()1m n F F =，． 【解析】 论证的关键是利用(2)n m F F -∣（例1⑪），即存在一个整数x 使得2m n F xF +=．不妨设m n >，()m n d F F =，，则由存在一个整数x 使得2m n F xF +=，推出2d ∣，所以1d =或2．但n F 显然是奇数，故必须1d =．【点评】(0)k F k ≥称为费马（Fermat ）数．本变式表明，费马数两两互素，这是费马数的一个有趣的基本性质．利用这一性质，可以证明素数有无穷多个的结论．无穷数列{}(0)k F k ≥中的项两两互素，所以每个k F 的素约数与这个数列中其他项的素约数不同，因此素数必然有无穷多个．【变式】 设0m n >，，22()mn m n +∣，则m n =． 【解析】 设()m n d =，，则11m m d n n d ==，，其中11()1m n =，．于是，条件转化为221111()m n m n +∣，故有22111()m m n +∣，从而211m n ∣．但11()1m n =，，故211()1m n =，．结合211m n ∣，可知必须11m =．同理11n =，因此m n =．【点评】 对两个给定的不全为零的整数，我们常借助它们的最大公约数，并应用性质⑵－④，产生两个互素的整数，以利用互素的性质作进一步论证（参见性质⑵－⑤，⑵－⑥．就本题而言，由于mn 为二次式，22m n +为二次齐次式，上述手段的实质是将问题化归成m 、n 互素这种特殊情形．在某些问题中，已知的条件（或者已经证明的结论）c a ∣并不使用，我们可以试着选取c 的一个恰当的约束b ，并从c a ∣过度到较弱的结论b a ∣，以期望后者提供适宜于进一步论证的信息．在本例中，我们就是由221111()m n m n +∣产生了211m n ∣，进而推导出11m =．【变式】 m 个盒子中各若干个球，每一次在其中)(m n n <个盒中加一球．求证：不论开始的分布情况如何，总可按上述方法进行有限次加球后使各盒中球数相等的充要条件是()1m n =，． 【解析】 设()1m n =，，则有u v ∈Z ，使得1(1)(1)un vm v m v =+=-++，此式说明：对盒子连续加球u 次，可使1m -个盒子各增加了v 个，一个增加(1)v +个．这样可将多增加了一个球的盒子选择为原来球数最少的那个，于是经过u 次加球之后，原来球数最多的盒子中的球与球数最少的盒子中的球数之差减少1，因此，经过有限次加球后，各盒球数差为0，达到各盒中的球数相等．用反证法证明必要性．若()1m n d =>，，则只要在m 个盒中放1+m 个球，则不管加球多少次，例如，加球k 次，则这时m 个盒中共有球kn m ++1（个），因为||1d m d n d >，，，所以kn m ++1不可能是d 的倍数，更不是m 的倍数，各盒中的球决不能一样多，因此，必须()1m n =，．【例 3】 设正整数a 、b 、c 的最大公约数为1，并且abc a b=-．证明：a b -是一个完全平方数．【解析】 方法一：设()a b d =，，则1a da =，1b db =，其中11()1a b =，．由于()1a b c =，，，故有()1d c =，． 于是问题中的等式转化为1111da b ca cb =-，由此可见11a cb ∣．因11(,)1a b =，故1a c ∣． 同样可得1b c ∣．再由11(,)1a b =便推出11a b c ∣（参考性质⑵－⑧⑨）．设11c a b k =，其中k 是一个正整数．一方面，显然k 整除c ；另一方面，结合1111da b ca cb =-， 得11()d k a b =-，故k d ∣．从而()k c d ，∣．但()1c d =，，故1k =． 因此11d a b =-．故211()a b d a b d -=-=．这就证明了a b -是一个完全平方数． 方法二：记a b k -=，则已知等式可化为2()k c b b -=．记()k b c d -=，． 若1d >，则d 有素因子p ．由上式知2p b ∣，故p ∣b ．结合()p b c -∣及p k ∣，得出p c ∣及p a ∣，这与()1a b c =，，相违． 因此1d =，进而知k 与c b -都是完全平方数．【变式】 设k 为正奇数，证明：(12)(12)k k k n n ++++++ ∣．【解析】 因为(1)122n n n ++++= ，故问题等价于证明：(1)n n +整除2(12)k k k n +++ ．因n 与1n +互素，所以这又等价于证明2(12)k k k n n +++ ∣．事实上，由于k 是奇数，故由整除的分解式，可知2(12)k k k n +++= [1(1)][2(2)][(1)1]2k k k k k k k n n n n +-++-++-++ 是n 的倍数．同理，2(12)[1][2(1)][1]k k k k k k k k k n n n n ++=+++-+++ 是1n +的倍数．【点评】 整除问题中，有时直接证明b a ∣不容易．若b 可分解为11b b b =，其中12()1b b =，，则我们可以将原命题b a ∣分解为等价的两个命题1b a ∣以及2b a ∣．本例应用了这一手法．更一般地，为了证明b a ∣，可将b 分解为若干两两互素的整数12n b b b ，，，之积，而证明等价的(12)i b a i n = ，，，∣（参见性质⑵－⑩）．【例 4】 设正整数a 、b 、c 、d 满足ab cd =，证明：a b c d +++不是素数． 【解析】 方法一：由ab cd =，可设a d m c b n ==，其中m 和n 是互素的正整数，由a m c n=意味着有理数ac 的分子、分母约去了某个正整数u 后，得到既约分数mn，因此a my =，c nu =．同理，有正整数使得b nv =，d mv =．因此，()()a bcd m n u v +++=++是大于1的整数之积，从而不是素数． 方法二：由ab cd =，得cd b a=．因此a b c d +++=cd a c d a +++()()a c a d a ++=．因为a b c d +++是整数，故()()a c a d a++也是整数，若它是一个素数，设为p ，则有()()a c a d ap ++=，可见p整除()()a c a d ++，从而p 整除a c +或a d +．不妨设()pa c +∣ ，则a c p +≥，结合⑶－③推出a d a +≤，矛盾．【变式】 设a 、b 是正整数，满足2223a a b b +=+，则a b -和221a b ++都是完全平方数． 【解析】 已知关系式即为2()(221)a b a b b -++=，论证的关键是证明正整数a b -与221a b ++互素．记(221)d a b a b =-++，．若d 有素因子p ，从而由性质⑶－①知2p b ∣．因p 是素数，故p b ∣．结合()p a b -∣知p a ∣．再由(221)p a b ++∣推导出p ∣1，矛盾，故1d =． 从而由性质⑶－①推知正整数a b -与221a b ++都是完全平方数．【例 5】 证明：两个连续正整数之积不能是完全平方，也不能是完全立方． 【解析】 反证法，假设有正整数x ，y 使得2(1)x x y +=．则24(1)4x x y +=22(21)41x y ⇔+=+(212)(212)1x y x y ⇔+++-=．因左边两个因数都是正整数，故有21212121x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得0x y ==，矛盾．然而对于方程3(1)x x y +=，上面的分解方法不易奏效．采用另一种分解：设所说的方程有正整数解x 、y ，则由于x 和1x +互素，而它们的积是一个完全立方数，故x 与1x +都是正整数的立方，即3x u =，31x v +=，y uv =，u 、v 都是正整数，由此产生331v u -=，易知这不可能．不难看到，用类似的论证，可以证明连续两个正整数之积不会是整数的k 次幂（这里2k ≥）．【变式】 给定的正整数2k ≥，证明：连续三个正整数的积不能是整数的k 次幂． 【解析】 假设有正整数2x ≥及y ，使得(1)(1)k x x x y -+=．注意到上述式子左端的三个因数1x -、x 、1x +并非总两两互素，因此不能推出它们都是k 次方幂．克服这个困难的一种方法是将其变形为2(1)k x x y -=．因x 和21x -互素，故可由上式推出，有正整数a 、b ，使得k x a =，21k x b -=，ab y =，由此我们有221()k k k k a b a b =-=-22224221()()k k k k a b a a b a b b ----=-++++ ，由于2x ≥，故2a ≥，又2k ≥，故上式后一个因数必大于1，导出矛盾．【点评】 实际上，连续四个正整数的积也不能是整数的k 次幂，由于证明需要使用二项式定理，所以将在以后介绍．【例 6】 （09年集训队测试题）设n 是一个合数．证明存在正整数m ，满足|m n ，m n 3()()d n d m ≤．这里()d k 表示正整数k 的正约数的个数．【解析】 若n 有一个素因子p 满足p n ＞，令nm p=，则有m n ＜由p n ＞知()1m p =，，因此()()()2()d n d p d m d m ==．又由n 是合数知1m ＞，即()2d m ≥．因此2()()d n d m ≤．现在设n n 1m 为n n 2m 为1nm 的不n 21m ＞． 若不然，则1n m 没有大于1n 1n m 是合数，则它在区间1(1]n m ，内至少有一个因子，矛盾！因此1nm 是素数．但前面已假设n 的所有素因子都不大于n ，又1n n m n =1n n m =2m n 21m =矛盾！由21m ＞知121m m m ＞，且12m m 是n 的因子，由1m 的选取可知12m m n ＞，因此令312nm m m =，则有(123)i m n i =，，．因此，333123123123()()()()()max{()()()}d n d m m m d m d m d m d m d m d m =≤≤，，，故取123m m m ，，中因子数最多的一个为m 即可． 【点评】 以上用到一个基本的事实：若u v ，为正整数，则()()()d uv d u d v ≤，这可用数()d x 的计算公式推出来．【变式】 求出最小的正整数n ，使其恰有144个不同的正约数，且其中有10个连续约数．【解析】 从n 有10个连续正约数条件出发，我们不难得到n 必须被23410 ，，，，整除，对n 进行质因数分解进行讨论．n 是322357，，，的倍数，设n 的标准分解式为312235k r r r r k n p = ，则 12343211r r r r ，，，≥≥≥≥．又n 的正约数的个数12()(1)(1)(1)144k d n r r r =+++= ，而 1234(1)(1)(1)(1)432248r r r r ++++⨯⨯⨯=≥，因此 56(1)(1)(1)3k r r r +++ ≤．所以，在56k r r r ，，，中最多还有一个不为0． 要使n 最小，则5502k r =，≤≤．于是n 的形式为 35124235711r r r r r n =，此处12345321102r r r r r ，，，，≥≥≥≥≤≤．从而有1234(1)(1)(1)(1)144r r r r ++++=或12345(1)(1)(1)(1)(1)144r r r r r +++++=．显然当12345r r r r r ≥≥≥≥时，n 最小．由144222233=⨯⨯⨯⨯⨯，试算满足上式的数组12345()r r r r r ，，，，，得数组(52111)，，，，可使n 最小．这样，最小的52235711110880n =⨯⨯⨯⨯=．习题 1. 证明：⑪2001001 共能被1001整除； ⑫设正整数n 的十进制表示为10k n a a a = （090i k a a ≠，≤≤），记 01()(1)k k T n a a a =-++- （由n 个各位起始的数字的正、负交错和）． 证明：()n T n -被11整除．由此得出被11整除的数的数字特征：11整除n 的充分必要条件是11整除()T n ．【解析】 ⑪2001001 共201101=+367(10)1=+33663653(101)[(10)(10)101]=+-+-+ ，所以 1001∣2001001 0． ⑫()n T n -=0011()(10)[10(1)]k k k k a a a a a a -++++⨯-- ．按i 为偶数、奇数分别用整除分解式可以得到数10(1)i i i i a a ⨯--被11整除．因此()n T n -被11整除，故问题中结论的两方面均成立．习题 2. 利用Bezout 等式证明，任给整数n ，分数214143n n ++是既约分数．【解析】 ∵3(143)2(214)1n n +-+=，∴(214,143)n n ++1=．所以原命题成立．习题 3. 证明：对任意给定的正整数1n >，都存在连续n 个合数． 【解析】 容易验证，(1)!2,(1)!3,(1)!(1)n n n n +++++++ 是n 个连续的合数．习题 4. 求自然数N ，使它能被5和49整除，并且包括1和N 在内，它共有10个约数．【解析】 把N 写成素因数分解形式1223n a a a n N p = ，其中012i a i n = ，，，，≥． 则它所有约数的个数为12(1)(1)(1)10n a a a +++= ， 由于25|7|N N ，，则34121a a ++，≥≥3， 因此125n a a a a ，，，，必然都为0，即3457a a N =． 由于34(1)(1)1025a a ++==⨯，可得3414a a ==，， 即本题有唯一解457N =⋅．习题 5. 求所有的正整数对()a b ，，使得22(7)|()ab b a b a b ++++． 【解析】 由条件，22(7)|()ab b a b a b b ++++，而222()(7)7a b a b b a ab b b a ++=+++-，故22(7)|(7)ab b b a ++-．⑴当270b a ->时，要使22(7)|(7)ab b b a ++-，必须2277b a ab b -++≥，易知这不可能； ⑵当270b a -=时，即27b a =，此时a b ，应具有277*a k b k k ==∈N ，，的形式，经检验， 2()(77)a b k k =，，满足要求；⑶当270b a -<时，要使22(7)|(7)ab b b a ++-，必须2277a b ab b -++≥，那么2222777a b ab b ab b +++>⇒<≥，于是1b =或2b =．①1b =时，由题中条件2157788a a a a a ++=-+++是自然数，可知11a =或49a =，得解 ()(111)a b =，，或(491)，；②2b =时，由22(7)|(7)ab b b a ++-得7449a a -+是自然数，而74249a a -<+，所以74149a a -=+，此时133a =非自然数，舍去． 综上，所有解为2()(111)(491)(77)*a b k k k =∈N ，，，，，，，．建国60周年(四)我古老而年轻的祖国啊，我是你广袤大地上一棵稚嫩的幼苗，摇曳在你温暖呵护的怀抱，我是你无垠天空中一只飞翔的小鸟，鸣唱在你春风和煦的心头，我的血管里，涌动着黄河的波浪，我的心灵里，开放着文明的鲜花，我心中的理想，正展现在祖国蔚蓝的天空里。
初等数论(1)数的整除
初等数论（1）----数的整除初等数论又称初等整数论，它的研究对象是整数集。
整数是小学就接触的一类数，但是关于数论的问题却是最难解决的。
1、整数的离散性：任何两个整数,x y 之间的距离至少为1，因此有不等式1x y x y <⇔+≤。
例如：（1）若222912842440a ab b bc c c -+-+-+=，求a b c ++的值.（2）求整数,,a b c ，使它们满足不等式222332a b c ab b c +++<++.作比较。
2、整数的奇偶性：将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m （m ∈Z ），任一奇数可表为2m+1或2m －1的形式.关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数； （3）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数； 奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数； 奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；（4）两个整数的和与这两个整数的差有相同的奇偶性； （5）奇数的平方都可表为81m +形式，偶数的平方都可表为8m 或84m +的形式（m ∈Z ）. （6）任意两个整数的平方和被4除余数不可能是3. （7）任意两个整数的平方差被4除余数不可能是2.以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.例如： 1．（1）已知c b a ,,是整数，c b a ++是奇数，判断c b a -+，c b a +-，c b a ++-的奇偶性，说明理由。
（2）你能找到三个整数c b a ,,，使得关系式()()()()2010a b c a b c a b c b c a ++-++-+-=成立吗？如果能找到，请举一例，如果找不到，请说明理由.2、是否存在整数,m n ，满足222010m n +=?3、设1,2,3,,9的任一排列为1239,,,,a a a a ，求证：129(1)(2)(9)a a a ---是一个偶数. 类题：（1906，匈牙利）假设12,,,n a a a 是1,2,,n 的某种排列，证明：如果n 是奇数，则乘积()()()1212n a a a n ---是偶数.解法1 （反证法）假设()()()1212n a a a n ---为奇数，则i a i -均为奇数，奇数个奇数的和还是奇数奇数=()()()1212n a a a n -+-++-()()12120n a a a n =+++-+++=，这与“奇数≠偶数”矛盾. 所以()()()1212n a a a n ---是偶数.评析 这个解法说明()()()1212n a a a n ---不为偶数是不行的，体现了整体处理的优点，但掩盖了“乘积”为偶数的原因. 解法2 （反证法）假设()()()1212n a a a n ---为奇数，则i a i -均为奇数，i a 与i 的奇偶性相反，{}1,2,,n 中奇数与偶数一样多，n 为偶数但已知条件n 为奇数，矛盾. 所以()()()1212n a a a n ---是偶数.评析 这个解法揭示了()()()1212n a a a n ---为偶数的原因是“n 为奇数”.那么为什么“n 为奇数”时“乘积”就为偶数呢？解法3 121,2,,,,,,n n a a a 中有1n +个奇数，放到n 个括号，必有两个奇数在同一个括号，这两个奇数的差为偶数，得()()()1212n a a a n ---为偶数.例4-1（1986，英国）设127,,,a a a 是整数，127,,,b b b 是它们的一个排列，证明()()()112277a b a b a b ---是偶数.例4-2 π的前24位数字为 3.14159265358979323846264π=，记1224,,,a a a 为该24个数字的任一排列，求证()()()12342324a a a a a a ---必为偶数.4、有n 个数12,,,n x x x ，它们中的每一个数或者为1，或者为1-，如果1234110n n n x x x x x x x x -++++=，求证：n 是4的倍数。
初数数学公式认识代数式的整除
初数数学公式认识代数式的整除任何一个正整数m被另一个正整数n整除的条件是：存在一个整数k，使得 m = nk。
初数数学公式是学习数学的基础，而代数式是数学公式中的一种表达形式。
本文将探讨代数式中整除的概念以及相关的数学公式。
一、整除的定义在数学中，整除是指一个数能够整除另一个数，即被除数能够被除数整除，商为整数。
如果整除关系成立，我们可以说被除数是除数的倍数，或者说除数是被除数的约数。
例如，5能够整除15，可以写作15 ÷ 5 = 3，其中15是被除数，5是除数，3是商。
这里的商是一个整数，所以我们可以说5整除15。
二、代数式中的整除在代数式中，整除的概念同样适用。
当代数式中的某些项或者式子能够整除另一项或者式子时，我们可以利用整除的性质简化代数式。
例如，考虑代数式 6x^2 - 3x。
我们可以因式分解，写作 3x(2x-1)。
这里的3x整除了6x^2中的每一项，并且能够整除-3x中的每一项。
同样地，如果我们有一个代数式 8y^3 + 4y^2 - 2y，我们可以因式分解，写作 2y(y+1)(4y-1)。
这里的2y整除了每一项。
通过利用整除的概念，我们可以将复杂的代数式简化成更简单的形式，方便进行计算和推导。
三、常见的整除性质整除有一些常见的性质，我们可以在进行代数运算时使用。
1. 传递性：如果一个数能够整除另一个数，而后者能够整除另一个数，那么前者也能整除后者。
例如，如果2能够整除6，而6能够整除12，那么2也能够整除12。
2. 0的整除性：任何数都能够被0整除。
但需要注意的是，0不能够整除任何数（除了0本身）。
3. 1的整除性：任何数都能够被1整除。
这些整除性质可以帮助我们更好地理解和运用代数式中的整除关系。
四、应用举例整除的概念在数学中有着广泛的应用。
下面举例说明一些常见的应用场景。
1. 因式分解：当我们要将一个代数式分解为乘积形式时，可以利用整除的概念找到可以整除各个项的公因子，从而简化代数式。
代数式的概念与运算
代数式的概念与运算代数式指的是由数和字母根据运算法则组成的表达式。
它是数学中常见的一种表示方法，用来描述数的关系和运算。
在代数式中，字母表示未知数或变量，而数则表示已知的数值。
代数式包含常数、变量、运算符和括号等组成部分。
对于代数式的概念和运算，我们将逐一进行讨论。
一、代数式的概念代数式由字母、数字、符号和括号等元素组成。
字母表示未知数或变量，数字表示已知数值，符号则表示不同的运算关系。
代数式可以是一个数，也可以是一组数。
代数式的组成元素可以是常数、变量和运算符。
常数是已知的具体数值，例如2、3、5等。
常数可以直接进行运算，例如2+3=5。
变量是代表未知数的符号，如x、y、a等。
变量可以表示不确定的数值，需要根据具体问题进行求解。
例如，3x表示3乘以一个未知数x。
运算符用来表示不同的运算关系，常见的运算符包括加号(+)、减号(-)、乘号(×)、除号(÷)和等号(=)等。
括号主要用来改变运算顺序，它可以使代数式的运算结果发生变化。
例如，(2+3)×4和2+(3×4)的运算结果不同。
代数式可以进行各种运算，例如加法、减法、乘法和除法等。
在具体运算过程中，我们需要根据运算法则和优先级进行计算。
二、代数式的运算1. 代数式的加法运算代数式的加法运算是指将两个或多个代数式进行相加的操作。
当我们进行代数式的加法运算时，需要注意相同字母项的合并。
例如，将3x+5y和2x+4y进行相加，根据同类项合并的原则，可以得到(3x+2x)+(5y+4y)=5x+9y。
2. 代数式的减法运算代数式的减法运算是指将一个代数式减去另一个代数式的操作。
与加法运算类似，减法运算也需要注意同类项的合并。
例如，将4x-2y和2x+3y进行相减，根据同类项合并的原则，可以得到(4x-2x)+(3y-2y)=2x+y。
3. 代数式的乘法运算代数式的乘法运算是指将一个代数式乘以另一个代数式的操作。
在进行代数式的乘法运算时，需要注意各项之间的相乘。
初中数学《数的整除》讲义及练习 (2)
5-2数的整除教学目标本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。
本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。
另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对于学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。
知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b和c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；例题精讲模块一、常见数的整除判定特征【例 1】已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【巩固】六位数2008能被99整除，是多少？【巩固】六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？【例 2】173□是个四位数字。
初中数学知识归纳代数式的运算法则
初中数学知识归纳代数式的运算法则在初中数学中，代数式的运算法则是学习代数的基础，也是解决各种数学问题的重要工具。
代数式是由数字、字母和运算符号组成的数学表达式，通过运算法则可以进行简化、展开、合并等操作，进一步加深对数学概念和规律的理解。
本文将从加减法、乘法、除法以及括号运算等方面对初中数学中代数式的运算法则进行归纳。
一、加减法运算法则1.1 相同的数字项可以合并，即可以将它们相加或相减。
例如：“3x + 5x”可以合并为“8x”；“2a - 3a”可以合并为“-a”。
1.2 变量不同但指数相同的项也可以进行合并，即可以将它们相加或相减。
例如：“2ab + 3ab”可以合并为“5ab”；“4xy - 2xy”可以合并为“2xy”。
1.3 当代数式中出现括号时，需要先将括号中的代数式进行运算，再根据运算法则进行合并。
例如：将“3(x + 2)”进行展开，得到“3x + 6”。
二、乘法运算法则2.1 相同的变量相乘时，可以将它们的系数相乘。
例如：“2x * 3x”可以合并为“6x^2”。
2.2 需要注意指数的运算，例如：“(3x)^2”等于“3x * 3x”，即可以合并为“9x^2”。
三、除法运算法则3.1 当除号后面是一个常数时，可以将代数式中的每一项都除以这个常数。
例如：“2x/2”可以简化为“x”。
3.2 当两项的系数能整除时，可以进行约分操作。
例如：“6x^2/3x”可以简化为“2x”。
四、括号运算法则4.1 使用分配律进行括号运算。
例如：将“2(x + 3)”展开，得到“2x + 6”。
4.2 多个括号运算时，可以按照运算规则逐步进行展开和合并。
例如：“(2x + 3)(x - 1)”可以展开为“2x^2 - 2x + 3x - 3”，再根据合并法则简化为“2x^2 + x - 3”。
综上所述，初中数学中代数式的运算法则包括加减法、乘法、除法和括号运算。
通过这些运算法则，我们可以对代数式进行简化、展开和合并，从而更好地理解数学概念和规律，解决各种数学问题。
数学运算笔记
数字推理数学运算第一点：你在开始做数学运算部分的题目的时候，前两道题如果是整数的性质的题目，你要注意使用整除性。
被2整除的特点：偶数被3整除的特点：每位数字相加的和是3的倍数被4和25整除的特点：末两位所构成的数字能够被4整除被5整除的特点：末位数字是0或5被6整除的特点：兼被2和3整除，即是偶数，且每位数字相加的和是3被7整除的特点：数字的最后一位乘以2与前面剩下的数字所组成的数做差，差能被7整除；或将原数字的后三位与前面的数字分成两部分，作差，差能被7整除被8和125整除的特点：末三位所构成的数字能够被8整除被9整除的特点：每位数字相加的和是9的倍数被10整除的特点：不解释（囧）被11整除的特点：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和之间的差是11的倍数。
（2010年9.18联考第一题）36、在一个除法算式里，被除数、除数、商和余数之和是319，已知商是21，余数是6，问被除数是( )?A 237B 258C 279D 290设被除数、除数、商、余数分别是a、b、c、d,你很容易知道a+b+c+d=319,a=21b+6,c=21,d=6b=3k+1 a=63k+27（北京社招2005-11）两个整数的差是2345，两数相除的商是8，求这两个数之和？( )A.2353B.2896C.3015D.34569的倍数之后奇偶性（2010年4.25联考第二题）n为100以内的自然数，那么能令2^n－1被7整除的n 有多少个？A.32B. 33C.34D.35循环的即三的倍数第二点，在后面的应用题中，你碰到题目少条件的要考虑整除性。
例如：（2009年国考）109、甲乙共有图书260本，其中甲有专业书13%，乙有专业书12.5%，那么甲的非专业书有多少本?A.75B.87C.174D.67甲的书只能是100或200本之后分析只能是100本（2008国考）小华在练习自然数求和。
从1开始，数着数着他发现自己重复数了一个数，在此情况下他将所数的全部数求平均数得7.4。
2整式
整式一、知识要点概述1、代数式的分类2、同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．合并同类项时，只把同类项系数相加，字母和字母的指数不变．3、整式的运算(1)整式的加减——先去括号或添括号，再合并同类项．(2)整式的乘除a．幂的运算性质①a m·a n=a m＋n(a≠0，m，n为整数)②(a m)n=a mn(a≠0，m，n为整数)③(ab)n=a n b n(n为整数，a≠0，b≠0)b．零指数幂与负整数指数幂(3)乘法公式a．平方差公式(a＋b)(a－b)=a2－b2b．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab＋b24、基本规律(1)代数式的分类遵循按所给的代数式的形式分类．(2)同类项的寻找是遵循两同两无关法则(字母相同，相同字母的指数相同；与系数无关，与字母的排列顺序无关．)(3)整式的运算法则与有理数运算法则类似．5、因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式叫多项式的因式分解．6、因式分解的基本方法：①提取公因式法；②公式法；③分组分解法；④十字相乘法．7、因式分解常用的公式如下：①a2－b2=(a＋b)(a－b)②a2±2ab＋b2=(a±b)2．二、典例剖析例1、填空题(1)如果单项式与－2x3y a＋b是同类项，那么这两个单项式的积是__________．(2)m，n满足|m－2|＋(n－4)2=0．分解因式：(x2＋y2)－(mxy＋n)．例2、若3x3－x=1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2008的值．例3、已知多项式2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6可分解为(x＋2y＋m)(2x－y＋n)的形式，求的值．例5、已知a、b、c，满足，求(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2的最大值．例6、若2x3－kx2＋3被2x＋1除后余2，求k的值．例7、分解因式(1)a4＋4；(2)x3－3x2＋4；(3)x2＋xy－6y2＋x＋13y－6；(4)(x＋y)(x＋y＋2xy)＋(xy＋1)(xy－1)一、填空题2、已知x2＋y2=25，x＋y=7且x＞y，则x－y=__________．5、已知实数a，b，x，y满足ax＋by=3，ay－bx=5，则(a2＋b2)(x2＋y2)的值为________．6、已知a＋b＋c=0，a2＋b2＋c2=4，那么a4＋b4＋c4的值等于________．7、已知多项式3x3＋ax2＋bx＋1能被x2＋1整除，且商式是3x＋1，那么(－a)b的值是________．8、若x3＋3x2－3x＋k有一个因式是x＋1，则k=__________．二、选择题9、若x=a2＋b2＋5a＋1，y=10a2＋b2－7a＋6．则x、y的大小关系是（）A．x＞y B．x＜yC．x=y D．不能确定10、下列运算中正确的是（）A．x5＋x5=2x10B．－(－x)3·(－x)5=－x8C．(－2x2y)3·4x－3=－24x3y2D．11、下列因式分解中，错误的是（）A．2a3－8a2＋12a=2a(a2－4a＋6)B．x3－5x＋6=(x－2)(x－3)C．(a－b)2－c2=(a－b＋c)(a－b－c)D．x2＋xy＋xz＋yz=(x＋y)(x＋z)12、已知m2＋m－1=0，那么代数式m3＋2m2－2008的值是（）A．2006B．－2006C．2007D．－200713、设a、b、c是三角形的三边长，且a2＋b2＋c2=ab＋bc＋ac，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形，其中正确的说法的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个14、方程组2x2－3xy－2y2=98的正整数解有（）A．3组B．2组C．1组D．0组15、已知a，b，c是实数，x=a2－b，y=b2－c，z=c2－a＋1，则下列说法正确的是（）A．x，y，z三个数中至少有一个是零B．x，y，z三个数中至少有一个是正数C．x，y，z三个数中至少有一个是负数D．x，y，z三个数中必为两正一负，或者必为两负一正三、解答题16、已知m，n互为相反数，a，b互为负倒数，x的绝对值等于3，求x3－(1＋m＋n＋ab)x2＋(m＋n)x2007＋(－ab)2008的值．17、已知a=2009x＋2006，b=2009x＋2007，c=2009x＋2008，求多项式a2＋b2＋c2－ab －bc－ca的值．18、若多项式2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被x2＋x－2整除，求的值．19、分解因式(1)(x2－1)(x＋3)(x＋5)＋12(2)6x2－5xy－6y2－2xz－23yz－20z2(3)x2－4y2－9z2－12yz(4)(x2＋xy＋y2)2－4xy(x2＋y2)21、若△ABC的三边长是a、b、c，且满足a4=b4＋c4－b2c2，b4=c4＋a4－c2a2，c4=b4＋a4－a2b2，试判断△ABC的形状？分析：此类代数式求值问题，一般采用整体代入法，即将要求的代数式经过变形，使之含有3x3－x－1的乘积的代数和的形式，再求其值．解：由3x3－x=1得3x3－x－1=0所以9x4＋12x3－3x2－7x＋2008=3x(3x3－x－1)＋4(3x3－x－1)＋2012=2012分析：由题设可知，两个一次三项式的积等于2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6，根据多项式恒等的条件可列出关于m，n的二元一次方程组，进而求出m、n．解：由题意得：(x＋2y＋m)(2x－y＋n)=2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6又因为(x＋2y＋m)(2x－y＋n)=2x2＋3xy－2y2＋(2m＋n)x＋(2n－m)y＋mn根据多项式恒等的条件，得：点评：解此类题的关键是利用多项式恒等对应项的系数相等得到相关方程组，求待定系数．分析：本题若直接计算是很复杂的，因每个括号内都是两个数的平方差，故可利用平方差公式使计算简化．点评：涉及与乘法有关的复杂计算，要创造条件运用公式简化计算．分析：条件等式和待求代数式都涉及数的平方关系，由此联想到利用完全平方公式求其最大值．分析：要求k的值，需找到关于k的方程，由2x3－kx2＋3被2x＋1除后余2，可知2x3－kx2＋1能被2x＋1整除，由此可得关于k的一次方程．点评：关键是利用余数定理找出关于k的方程，当f(x)能被x－a整除时，f(a)=0．解：(1)a4＋4=a4＋4a2＋4－4a2=(a2＋2)2－(2a)2=(a2＋2a＋2)(a2－2a＋2)点评：本题不可分组，又无法直接运用公式，但这两项都是完全平方数，因此可通过添项利用公式去分解．(2)解法一：x3－3x2＋4=x3＋x2－4x2＋4=x2(x＋1)－4(x＋1)(x－1)=(x＋1)(x－2)2解法2：x3－3x2＋4=x3＋1－3x2＋3=(x＋1)(x2－x＋1)－3(x＋1)(x－1)=(x＋1)(x2－4x＋4)=(x＋1)(x－2)2解法3：x3－3x2＋4=x3＋x2－4x2－4x＋4x＋4=x2(x＋1)－4x(x＋1)＋4(x＋1)=(x＋1)(x2－4x＋4)=(x＋1)(x－2)2点评：这是一个关于x的三次式，直接运用分组分解法是难以完成的，可以先将二次项或常数项进行拆项，再进行恰当的分组分解．(3)设x2＋xy－6y2＋x＋13y－6=(x＋3y＋m)(x－2y＋n)=x2－2xy＋nx＋3xy－6y2＋3ny＋mx－2my＋my=x2＋xy－6y2＋(n＋m)x＋(3n－2m)y＋mn比较左、右两边对应项系数得：∴x2＋xy－6y2＋x＋13y－6=(x＋3y－2)(x－2y＋3).点评：这是一个二次六项式，运用分组分解法有困难，根据整式乘法可知，这个二次六项式可分解为两个一次三项式，且前三项二次式x2＋xy－6y2=(x＋3y)(x－2y)，由此可知，这两个一次式的常数项待定，因此可用待定系数法分解．(4)设x＋y=a，xy=b则原式=a(a＋2b)＋(b＋1)(b－1)=a2＋2ab＋b2－1=(a＋b)2－1=(a＋b＋1)(a＋b－1)=(x＋y＋xy＋1)(x＋y＋xy－1)=(x＋1)(y＋1)(x＋y＋xy－1)点评：整体思想，换元思想是常用的数学思想方法，此题设x＋y=a，xy=b进行代换后，再运用公式法和提公因式法来分解．答案：2、1 ∵x＋y=7，∴x2＋y2＋2xy=49，又∵x2＋y2=25，∴xy=12，又∵x＞y，5、34(a2＋b2)(x2＋y2)=a2x2＋a2y2＋b2x2＋b2y2=(a2x2－b2y2＋2abxy)＋(a2y2＋b2x2－2abxy)=(ax＋by)2＋(ay－bx)2=32＋52=34．6、8 提示：由已知等式得a＋b=－c，a2＋b2=4－c2，又∵ab=[(a＋b)2－(a2＋b2)]=[(－c)2－(4－c2)]=c2－2，从而有a4＋b4=(a2＋b2)2－2a2b2=(4－c2)2－2(c2－2)2=8－c4，∴a4＋b4＋c4=8．7、－1 提示：∵(x2＋1)(3x＋1)=3x3＋x2＋3x＋1，∴3x3＋ax2＋bx＋1=3x3＋x2＋3x ＋1，∴a=1，b=3，即(－a)b=(－1)3=－1．8、－5 提示：∵x3＋3x2－3x＋k有一个因式是x＋1，∴x3＋3x2－3x＋k能被x＋1整除，令x＋1=0得x=－1，把x=－1代入x3＋3x2－3x＋k=0，得－1＋3＋3＋k=0，∴k=－5．9-15 B/B/B/D/B/C/B9、∵x－y=－9a2－12a－5=－(9a2＋12a＋4)－1=－(3a＋2)2－1＜0，∴x＜y．12、由m2＋m－1=0得m2＋m=1，∴m3＋2m2－2008=m(m2＋m)＋m2－2008=m＋m2－2008=－2007．13、由a2＋b2＋c2=ab＋bc＋ca得(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2=0，∴a=b=c，所以①②③都正确．14、∵(x－2y)(2x＋y)=98，x，y是正整数，∴x＞2y且2x＋y＞x－2y，∴方程组可能的解只有以下情形，其中只有第二种情形有解为．15、16、分析：要求此多项式的值，显然不能直接运用多项式乘法展开它，由题可知，多项式(1＋m＋n＋ab)，(m＋n)与(－ab)都等于特殊值．解：∵m，n互为相反数，∴m＋n=0，又∵a，b互为负倒数，∴ab=－1．而|x|=3，∴x=±3，当x=3时，原式=33－(1＋0－1)×32＋0＋[－(－1)]2008=27＋1=28．当x=－3时，原式=(－3)3－(1＋0－1)×(－3)2＋0＋[－(－1)]2008=－27＋1=－26．17、分析：多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca具有完全平方式的基本特征，经过变形可转化(a－b)2，(b－c)2，(c－a)2的代数和的形式，再结合题设，即可求其值．解：∵a－b=2009x＋2006－(2009x＋2007)=－1，b－c=2009x＋2007－(2009x＋2008)=－1，c－a=2009x＋2008－(2009x＋2006)=2，∴a2＋b2＋c2－ab－bc－ca=[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]=×[(－1)2＋(－1)2＋22]=3．18、分析：因为(x－1)(x＋2)=x2＋x－2所以多项式f(x)=2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被x＋2和x－1整除，利用余数定理可求解．解：设f(x)=2x4－3x3＋ax2＋7x＋b∵x2＋x－2=(x－1)(x＋2)由已知f(x)能被(x＋2)(x－1)整除，所以根据余数定理有f(1)=0，f(－2)=0，19、解：(1)(x2－1)(x＋3)(x＋5)＋12=(x＋1)(x＋3)(x－1)(x＋5)＋12=(x2＋4x＋3)(x2＋4x－5)＋12=(x2＋4x)2－2(x2＋4x)－15＋12=(x2＋4x)2－2(x2＋4x)－3=(x2＋4x－3)(x2＋4x＋1)(2)6x2－5xy－6y2－2xz－23yz－20z2=(2x－3y－4z)(3x＋2y＋5z)由下面的双十字相乘法，得2×5＋3×(－4)=10－12=－2－3×5＋2×(－4)=－15－8=－23(3)x2－4y2－9z2－12yz=x2－(4y2＋12yz＋9z2)=x2－(2y＋3z)2=(x＋2y＋3z)(x－2y－3z)(4) 设x＋y=a，xy=b，则(x2＋xy＋y2)2－4xy(x2＋y2)=[(x＋y)2－xy]2－4xy[(x＋y)2－2xy]=(a2－b)2－4b(a2－2b)=a4－6a2b＋9b2=(a2－3b)2=(x2＋2xy＋y2－3xy)2 =(x2－xy＋y2)2．20、分析：本题直接计算比较复杂，由于分子和分母都有平方与差的关系，由此可联想到运用因式分解方法化简计算．21、分析：将三式相加得a4＋b4＋c4－a2b2－b2c2－c2a2=0再配方，注意运用式子a2＋b2＋c2－ab－bc－ca=[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]．解：将已知三式相加得：a4＋b4＋c4－a2b2－b2c2－c2a2=0配方得：(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2=0又因为a＞0，b＞0，c＞0，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形．。
(完整)经典讲义——代数式
代数式【知识要点】 1．代数式的概念:用基本的运算符号（指加，减，乘，除，乘方以及以后要学的开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。
数的一切运算规律也适用于代数式.（1)加法交换律：a b b a +=+ （2)加法结合律：()()a b c a b c ++=++ (3）乘法交换律:ab ba = （4）乘法结合律：()()ab c a bc = （5）分配律：()a b c ab ac +=+ 2. 代数式的书写:(1)系数写在字母前面（2)带分数写成假分数的形式(3)除号用分数线“—"代替 3．列代数式把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫做列代数式。
4．代数式的值用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的计算，计算出的结果就叫做代数式的值。
【典型例题】例1 下列式子中，是代数式的有： 。
①a b c d +=+ ②0 ③2()1a b +- ④2s R π= ⑤32x + ⑥23410x x ++= 例2 下列式子中，符合书写要求的是（ ）（A ）5a b (B ）2156a b （C)a b c ÷⨯ （D)2mn 例3 叙述下列代数式的意义（1)2a b -（2）33a b - （3）3()a b - （4)(2)()a b a b -+ （5）bca (6） aba b-例4 根据题意列代数式，设甲数为x ,乙数为y ，用代数式表示① 甲、乙两数差的2倍;②甲数的12与乙数的和的12；③甲、乙两数的和与甲、乙两数的差的积； ④甲、乙两数的立方和.例5 用代数式表示：比a 除以b 的商与c 的差的3倍大7的数。
例6 当112a =，0.5b =时,求代数式22212()()a a b a b -++的值.例7 已知:13x x +=,求代数式211()6x x x x++++的值.例8 用代数式证明：一个四位数，它的末尾两位数如果是4的倍数,则这个四位数也是4的倍数．【巩固练习】 一、选择题：1．下列式子中，符号代数式书写要求的是（ ） A ．3a B ．132x C ．12a D ．3x +人 2．比a 多3的数是（ ）A ．3a -B ．3a +C ．3aD ．3a 3．,ab 两数差的平方除以,a b 两数的平方差是（ ）A ．222()a b a b --B ．222()a b a b --C ．222a b a b --D ．222a b a b-- 4．代数式2a -所表示的意义是( ）A ．比2多a 的数B ．比a 多2的数C ．比2少a 的数D ．比a 少2的数 5．下列各题中，错误的是（ )A ．代数式22x y +的意义是,x y 的平方和.B ．代数式5()x y +的意义是5与x y +的积。
整式除法知识点总结
整式除法知识点总结一、整式除法的概念整式是指由字母和数字组成的代数式，包括有理式和无理式。
整式除法是指两个整式相除的运算。
在进行整式除法时，被除数除以除数得到商，商与除数的乘积再与被除数相减后，得到余数为零的整除。
整式除法是代数式的一种运算方法，主要包括多项式的除法和分式的除法。
二、多项式的除法1. 多项式的概念多项式是指由多项式基本运算规律所产生的代数式。
它由有限个单项式相加减而成，如：3x^2+2x-1。
2. 多项式除法的步骤多项式除法的步骤主要包括以下几个步骤：（1）将被除式按照x的幂次从高到低排列。
（2）将除式按照x的幂次从高到低排列。
（3）用被除数的最高次项除以除数的最高次项得到商。
（4）将得到的商与除数相乘后加减，得到的结果与被除式相减，得到新的被除数。
（5）循环进行以上步骤，直至得到余数为零的整除为止。
3. 多项式除法的例子例如：计算多项式的除法（x^3-3x^2+5）÷（x-2）。
（1）将被除数按照x的幂次从高到低排列，得到x^3-3x^2+5。
（2）将除数按照x的幂次从高到低排列，得到x-2。
（3）用被除数的最高次项除以除数的最高次项得到商，得到x^2-2x。
（4）将得到的商与除数相乘后加减，得到的结果与被除式相减，得到新的被除数，得到了余数为4x+5。
（5）得到余数为零的整除。
三、分式的除法1. 分式的概念分式是指分母式不为零的代数式，它包括真分式和假分式，如：a/b。
2. 分式除法的步骤分式的除法主要包括以下步骤：（1）将除数和被除数化为通分形式。
（2）将被除数改写为乘法的倒数。
（3）将乘法的倒数与除数相乘。
（4）化简分式，得到最简形式。
3. 分式除法的例子例如：计算分式的除法（3/x）÷（2/x-1）。
（1）将除数和被除数化为通分形式，得到3/x÷(2-1x)/x=(3/x)*(x/2-x)（2）将被除数改写为乘法的倒数，得到3/x*(x/2-x)（3）将乘法的倒数与除数相乘，得到3/2-x（4）化简分式，得到最简形式，得到3/2-x。
八年级数学整式的整除知识点
八年级数学整式的整除知识点数学整式的整除是中学数学中比较重要的基础知识，也是后续学习更加复杂的代数知识的前置技能。
八年级数学整式的整除包括了很多知识点，下面我们逐一讲解。
一、定理1：同类项的整除同类项指的是字母与字母、数字与数字之间能够对应的项。
例如3x^2与4x^2就是同类项，但是3x^2与4y^2就不是同类项。
同类项的整除原则是：当两个同类项的系数相等时，它们相除的结果为它们的代数式系数的商。
举例来说，现在我们要化简式子4x^3+8x^2+12x，可以先将公因数4x提取出来，也就是将每一项除以4x，得4x^3/4x + 8x^2/4x + 12x/4x = x^2+2x+3。
这里我们可以使用同类项的整除原则，将每一项除以4，进而发现x^2+2x+3已经是最简形式了。
二、定理2：余式定理余式定理是整式的一个重要性质，它可以用来确定整式除以另一个整式的余数。
余式定理的表述是：如果一个整式f(x)除以另一个一次式x-a(a为常数)的余数为f(a)。
例如，我们要求(x^3-2x^2+3x-4)÷(x-2)的余数，根据余式定理，我们只需要将2带入到f(x)中，求得的结果就是所求余数。
带入2后，得到f(2) = 8-8+6-4=2，因此所求余数为2。
三、定理3：因式定理因式定理是整式的一个重要性质，它可以把一些较为复杂的积式化简为一个二次式或者三次式的乘积。
因式定理的表述是：在整式的乘法中，若一个整式F(x)含有一个因式x-a，则F(a)为F(x)÷(x-a)的余数。
例如，我们要将整式3x^2+7x+2分解成(x+2)(3x+1)的形式，可以使用因式定理。
先找到其中一个因式，显然x=-2是3x^2+7x+2的一个根，此时F(x)除以(x+2)的余数为0，因此F(-2)=0。
接着我们可以使用余式定理求出F(x)÷(x+2)的商3x+1，进而得到原式为(3x+1)(x+2)。
四、定理4：多项式的公因式提取公因式提取也是整式的一个基本操作。
初中数学中的代数知识点汇总
初中数学中的代数知识点汇总代数是数学中的一个重要分支，它研究数的运算、未知数和变量之间的关系，以及多项式、方程和函数等数学结构。
在初中数学中，学生们将接触到许多与代数相关的知识点。
本文将对初中数学中的代数知识点进行汇总，帮助学生们更好地理解和掌握代数这一部分的内容。
一、代数表达式代数表达式是用数和字母组合起来表示数的式子。
在代数表达式中，字母称为变量，代表一个未知数。
初中代数表达式的知识点主要包括以下几个方面：1.1 代数表达式的基本概念：括号、系数、指数、项、多项式等概念的理解和运用。
1.2 合并同类项：将同一变量的各项相加或相减，并化简合并得到一个结果。
例如，3x + 2x可以合并为5x。
1.3 分配律：将一个数与一对括号中的每个项分别相乘或相加。
例如，2(x + 3)可以分配为2x + 6。
1.4 代数表达式的求值：用具体数值代入代数表达式中的变量，并计算出结果。
二、一元一次方程一元一次方程是指未知数只有一个，且未知数的最高次数为1的方程。
初中一元一次方程的知识点主要包括以下内容：2.1 方程的概念：由等号连接的两个代数表达式构成。
2.2 解方程的基本方法：通过加减消元、乘除消元或移项运算，求出方程中未知数的值。
2.3 方程的应用：利用方程来解决实际问题，如年龄、速度和长度等。
三、二元一次方程组二元一次方程组是指含有两个未知数和两个方程的方程组。
初中二元一次方程组的知识点主要包括以下内容：3.1 方程组的概念：由多个方程构成的一个数学系统。
3.2 方程组的解法：通过消元法、代入法或加减法来求解未知数的值。
3.3 方程组的解集表示：解集的概念，以及用不等式表示解集的方法。
四、因式分解与最大公因数因式分解是将一个代数式写成几个乘积的形式的过程，最大公因数是指能够同时整除一个代数式中的所有项的最大的公因数。
初中因式分解与最大公因数的知识点主要包括以下内容：4.1 因式分解的基本方法：把多项式写成几个乘积的形式，并合并同类项。
小学六年级数学知识点解析代数式的运算步骤和规律
小学六年级数学知识点解析代数式的运算步骤和规律在数学学习中，代数式的运算步骤和规律是小学六年级的重点内容之一。
通过学习代数式的运算规则，孩子们可以提高他们的逻辑思维能力、数学问题解决能力以及运算技巧。
本文将对小学六年级数学知识点中的代数式的运算步骤和规律进行解析。
一、代数式的基本概念代数式是由数字、字母、数字符号以及运算符号（如加减乘除等）组成的表达式。
在代数式中，字母一般代表着未知数或变量，通过对字母进行运算，我们可以得到数值结果。
例如，一个典型的代数式可以是：3x + 5，其中3和5是常数，x是未知数。
二、整数的四则运算在代数式的运算中，了解整数的四则运算是非常重要的。
整数的加法、减法、乘法和除法的运算规则与自然数是类似的，但需要注意一些特殊情况。
1. 加法运算：对于两个整数的加法，可以直接将两个数相加。
如果两个整数的符号相同，结果的符号将与它们相同；如果两个整数的符号不同，结果的符号将与绝对值较大的数相同。
例如，-7 + 3 = -4；-7 + (-3) = -10；7 + (-3) = 42. 减法运算：减法是加法的逆运算。
对于两个整数的减法，可以将相减的两个数看成一个整体，然后按照加法运算的规则进行处理。
例如，7 - 3 = 7 + (-3) = 4；-7 - 3 = -7 + (-3) = -103. 乘法运算：对于两个整数的乘法，可以直接将两个数相乘。
两个整数的乘法结果的符号由两个整数的符号决定，如果两个整数的符号相同，结果为正数；如果两个整数的符号不同，结果为负数。
例如，-2 × -3 = 6；-2 × 3 = -6；2 × (-3) = -64. 除法运算：对于两个整数的除法，需要注意0的特殊情况。
除法运算遵循以下原则：一个整数除以0没有意义，除数不能为0。
三、代数式的运算步骤和规律1. 同类项的合并：在代数式的运算中，同类项指的是具有相同字母和次数的项。
代数式的基本运算
代数式的基本运算代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，是我们学习代数的基础。
在代数中，我们需要进行一些基本的运算，包括代数式的加法、减法、乘法和除法。
本文将详细介绍代数式的基本运算方法。
一、代数式的加法运算代数式的加法运算就是将两个或多个代数式进行相加。
其基本规则如下：1. 合并同类项：同类项是指字母变量的指数相同的项。
我们可以将同类项合并在一起，将系数相加。
2. 如果不同变量的项无法合并，则它们保持不变。
示例：(3x + 4y) + (2x + 3y) = 3x + 2x + 4y + 3y = 5x + 7y二、代数式的减法运算代数式的减法运算就是将两个代数式进行相减。
其基本规则如下：1. 与加法类似，我们也需要合并同类项。
2. 减去一个数等于加上它的相反数。
示例：(5x + 6y) - (2x + 3y) = 5x - 2x + 6y - 3y = 3x + 3y三、代数式的乘法运算代数式的乘法运算就是将两个代数式进行相乘。
其基本规则如下：1. 将每一项的系数相乘，同时将字母变量的指数相加。
2. 将乘积的项合并。
示例：(2x + 3y)(4x - 5y) = 2x * 4x + 2x * (-5y) + 3y * 4x + 3y * (-5y)= 8x^2 - 10xy + 12xy - 15y^2= 8x^2 + 2xy - 15y^2四、代数式的除法运算代数式的除法运算就是将一个代数式除以另一个代数式。
其基本规则如下：1. 需要先确定整除，再进行除法运算。
2. 对于除法中的字母变量，我们使用指数相减的方法。
示例：(6x^2 + 5xy - 4y^2) / (2x + 3y) = 2x - y五、代数式的化简运算在运算中，往往需要对代数式进行化简。
主要包括合并同类项、因式分解等。
示例：3x + 2y + 5x - y = 8x + y （合并同类项）5x^2 + 10xy = 5x(x + 2y) （因式分解）总结：代数式的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
初中数学常用公式及性质
初中数学常用公式及性质一、整数性质：1.整数加减法的性质：整数加法满足交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)；整数减法满足a-b=a+(-b)；加减法的运算可以通过数轴或逐位计算的方法进行。
2.整数乘除法的性质：整数乘法满足交换律和结合律，即a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)；整数乘法有零乘法：a×0=0，和单位元乘法：a×1=a；整数除法根据除法的定义，若a能整除b，则称a是b的约数，b是a的倍数；对于不等于0的整数a和正整数b，有且只有一个整数q，使得a=bq，称为a被b整除，b整除a，记作b，a。
二、分数性质：1.分数的加减法性质：同分母分数相加减，保持分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，通常需要通分为同分母再进行运算；分数加法、减法的结果仍然是分数。
2.分数的乘除法性质：分数乘法，分子乘分子，分母乘分母；分数除法，将除数的分子分母互换，再进行乘法运算；分数乘法、除法的结果仍然是分数。
三、代数式性质：1.同类项的加减法性质：同类项是指含有相同字母且指数相同的项；同类项相加减，保持字母和指数不变，系数相加减；代数式加减法的结果仍然是代数式。
2.代数式的乘法性质：代数式乘法，将同类项的系数相乘，字母和指数不变；代数式乘法的结果仍然是代数式。
四、平方和立方性质：1.平方性质：平方是指一个数自乘，如a²=a×a；平方的运算有平方的唯一性，即正数的平方是正数，负数的平方是正数，0的平方是0。
2.立方性质：立方是指一个数自乘两次，如a³=a×a×a；立方的运算有立方的唯一性，即正数的立方是正数，负数的立方是负数，0的立方是0。
五、平均数性质：1.算术平均数性质：算术平均数是一组数的和除以个数，用于表示一组数的集中趋势；若一组数中的最大值、最小值都增加同一个常数，那么这组数的算术平均数也增加这个常数；若一组数中的每个数都增加或减少同一个常数，那么这组数的算术平均数也增加或减少这个常数。
七年级数学代数知识点公式
七年级数学代数知识点公式代数是数学中的基础部分，它是我们学习高级数学的基础，也是我们日常生活中必不可少的一部分。
在七年级的数学课程中，代数是非常重要的一个知识点。
本文将分享一些七年级数学代数知识点的公式，帮助大家更好地掌握这一部分的内容。
一、代数运算1.加减乘除法则a+b=b+aa-b=-b+a=a+(-b)a×b=b×aa÷b=a×(1/b)2.乘方a²表示a的平方，即a×aa³表示a的立方，即a×a×aa⁴表示a的四次方，即a×a×a×aa的n次方表示a×a×a……（共n个a）3.开方√a表示a的平方根∛a表示a的立方根a的n次方根表示一个数的n次方等于a，即n√a二、代数式与多项式1.代数式的加减法将同类项的系数相加减，变量部分不变例如：3x+2y-5x-8y=(3-5)x+(2-8)y=-2x-6y2.代数式的乘法(a+b)×c=a×c+b×c例如：(3x+2)(4x-5)=3x×4x+2×4x+3x×(-5)+2×(-5)=12x²-7x-10 3.代数式的整除当a能被b整除时，称b为a的因数，a为b的倍数例如：18能被2整除，2是18的因数，18是2的倍数4.多项式单项式：只有一个项的代数式，例如：3x²、-5y、9a³多项式：由多个单项式相加或相减得到的代数式，例如：2x²+3x-5、4b³-2b²+9b-6三、一元一次方程与解法1.一元一次方程的表示ax+b=0（a≠0），其中a是未知数的系数，b是常数例如：3x-5=2x+12.解方程的步骤（1）将含有未知数的项移动到等式左边，常数项移动到等式的右边3x-2x=1+5（2）将未知数系数化为1，即去除含有未知数系数的项x=6四、常用代数公式1.平均数公式对于n个数a₁,a₂,…,aₙ,平均数为：(ₙ₁+ₙ₂+…+ₙₙ)/ₙ2.二次根式公式ax²+bx+c=0的解为：x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)3.勾股定理公式对于直角三角形ABC，满足AC²=AB²+BC²4.平方差公式(a+b)²=ₙ²+2ab+b²(a-b)²=ₙ²-2ab+b²例如：(2x+3)²=4x²+12x+9总结本文总结了七年级数学代数知识点中的一些基本公式和运算方法，希望能够对同学们在学习中有所帮助，让大家更好地掌握代数知识。
数学公式知识：代数式的幂次计算与整理
数学公式知识：代数式的幂次计算与整理代数式是数学中的一个重要概念，其幂次计算和整理就是代数式的基础知识。
在代数式中，幂次是非常重要的一部分，因为它能够帮助我们简化并计算代数式。
本文将会讨论代数式的幂次计算与整理，为大家介绍相关的基础知识，并且提供一些实用的技巧和方法。
一、代数式的幂次计算在代数式中，幂次代表着变量的次数，也是代数式的指数。
例如，x的二次幂可以写成x²，其中“²”代表了x的次数为2。
在代数式中，幂次的基本运算有加、减、乘、除等。
1.幂次的加法：当两个代数式具有相同的变量和相同的次数时，它们的幂次可以进行加法运算。
例如，3x²和5x²可以进行幂次加法运算，结果为8x²。
2.幂次的减法：当两个代数式具有相同的变量和相同的次数时，它们的幂次可以进行减法运算。
例如，5x³和2x³可以进行幂次减法运算，结果为3x³。
3.幂次的乘法：当两个代数式具有相同的变量时，它们的幂次可以进行乘法运算。
例如，3x²和4x³可以进行幂次乘法运算，结果为12x⁵。
4.幂次的除法：当两个代数式具有相同的变量时，它们的幂次可以进行除法运算。
例如，4x³除以2x²可以进行幂次除法运算，结果为2x¹。
二、代数式的整理代数式的整理是将代数式从复杂的形式转化为更简单的形式，使其更易于理解和计算。
在代数式的整理中，我们通常会进行如下操作：1.合并同类项代数式中的同类项指的是具有相同变量和同一次数的项。
例如，3x²和5x²是同类项，但3x²和5x³不是同类项。
当代数式中有多个同类项时，我们可以将它们合并在一起，例如，3x²+5x²可以合并为8x²。
2.分解因式代数式中的因式是指一个或多个数的乘积，它可以被其他项整除。
例如，x²-4是一个因式，可以被(x+2)(x-2)整除。
1 代数式能否被某数整除
1首先我们先复习一下数字整除的概念：若整数a 除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a 能被b 整除（或说b 能整除a），a 叫做b 的倍数，b 叫做a 的约数（或因数）。
那么推而广之，对于代数式来说同样适用。
例1对于任意自然数22,(7)(5)n n n +--能否被24整除，为什么？【思路分析】能否被24整除就是判断该代数式是否含有24这个因式，把所给式子利用平方差公式因式分解，（n+7）2-（n-5）2=[（n+7）+（n-5）][（n+7）-（n-5）]=12·（2n+2）=24（n+1）因此能被24整除．例2任意取一个两位数，交换个位数字和十位数字的位置得到一个新的两位数，这两个两位数的差能否被9整除？这两个两位数的和又有什么特点？【思路分析】首先我们要把这个两位数用代数式表示出来，设a 、b 分别表示两位数十位上的数字和个位上的数字，那么这个两位数可以表示为：10a+b ．则对调后得到的新的两位数是：10b+a．原来的两位数与新两位数的差为（10b+a）-（10a+b）=9b-9a=9（b-a），因为含有9这个因式，那么这个数一定能被9整除。
两数的和表示为（10b+a）+（10a+b），整理该式得到（10b+a）+（10a+b）=11（a+b），因其含有因式11，故可以被11整除。
【总结归纳】处理代数式能否被某数整除问题的一般步骤是：将代数式因式分解，观察除数是否是代数式完全因式分解后的一个因式，如果是，那么这个代数式能被该数整除，如果不是，则不能被这个数整除。
练习：1.对于任何整数m，多项式（4m+5）2-9都能（）A．被8整除B．被m整除C．被（m-1）整除D．被（2m-1）整除2.试说明把一个两位数的十位上的数字与个位上的数字互换位置后,所得的新两位数与原来两位数的和能被11整除.233,设a 表示一个两位数,b 表示一个三位数,把a 放在b 的左边,组成一个五位数x,把b 放在a 的左边,组成一个五位数y,试问9能否整除x －y?4.（1）证明：形如的六位数一定能被7，11，13整除．（2）若4b+2c+d=32，试问能否被8整除？请说明理由．5.同学们可能都知道，对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a ，百位上的数字是b ，十位上的数字为c ，个为上的数字为d ，如果a+b+c+d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．（1）你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．（2）通过本题的证明，你能总结出能被9整除的整数的特点吗？不必证明．6.如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如:自然数464746从最高位到个位排出的一串数字是:6、4、7、4、6,从个位到最高排出的一串数字也是:6、4、7、4、6,所以64746是“和谐数”.再如:33,181,212,4664,…,都是“和谐数”.(1)请你直接写出3个四位“和谐数”,猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除,并说明理由;(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”,设个位上的数字为x(1≤x≤4,x 为自然数),十位上的数字为y,求y 与x 的函数关系式.答案：1.解析：（4m+5）2-9=（4m+5）2-32=（4m+8）（4m+2）=8（m+2）（2m+1），∵m是整数，而（m+2）和（2m+1）都是随着m 的变化而变化的数，∴该多项式肯定能被8整除．故选A ．4.解析：（1）将此6位数表示出来，=1001（100a+10b+c ）=7×11×13（100a+10b+c ），∴形如的六位数一定能被7，11，13整除．（2）将表示为1000a+100b+10c+d ,=1000a+100b+10c+d=1000a+96b+8c+（4b+2c+d ），=1000a+96b+8c+32，以上各式均能被8整除，故若4b+2c+d=32，能被8整除．5.解析：（1）首先根据题意可设a+b+c+d=3e，则此四位数1000a+100b+10c+d可表示为999a+99b+9c+a+b+c+d，即3（333a+33b+3c）+3e，所以可得这个四位数就可以被3整除；（2）根据（1）可知如果一个整数的各个数位上的数字和可以被9整除，那么这个数就一定能够被9整除．证明：（1）设a+b+c+d=3e（e为整数），这个四位数可以写为：1000a+100b+10c+d，∴1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3（333a+33b+3c）+3e，∴=333a+33b+3c+e，∵333a+33b+3c+e是整数，∴1000a+100b+10c+d可以被3整除．（2）如果一个整数的各个数位上的数字和可以被9整除，那么这个数就一定能够被9整除．5。