人教版九年级上册数学课件：12.2全等三角形的判定(3)—ASAAAS(共17张PPT)
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∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴BC=BD
(全等三角形对应边相等).
小结
一般三角形 全等的识别 S.S.S S.A.S A.S.A A.A.S 直角三角形 H.L 全等的识别 灵活运用各种方法证明直角三角形全等
谢谢！
第十二章 全等三角形
三角形全等的判定（3）
— ASA AAS
一、知识梳理: 三角形全等判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写
为“边边边”或“SSS”）。
A
用符号语言表达为：
在△ABC和△ DEF中
B
C
AB=DE
D
BC=EF
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
F
例1：如图．△ＡＢＣ是一个钢架，ＡＢ＝ＡＣ， ＡＤ是连接Ａ与ＢＣ中点Ｄ的支架．
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中
来自百度文库
∠A=∠D （已知 ）
AB=DE（已知 ）
∠B=∠E（已知 ）
B
∴ △ABC≌△DEF（ASA）
A
D
CF E
例1： 已知如图，O是AB的中点，∠A=∠B，
求证：△AOC≌△BOD
证明：
∵ O是AB的中点(已知） C
∴ OA=OB(中点定义）
在△AOC和△BOD中 A
求证△ＡＢＤ≌△ＡＣＤ
证明 ∵Ｄ是ＢＣ的中点
Ａ
∴ＢＤ＝ＣＤ
在△ＡＢＤ与△ＡＣＤ中
Ｂ
Ｄ
Ｃ ＡＢ＝ＡＣ
ＢＤ＝ＣＤ
ＡＤ＝ＡＤ
∴ △ＡＢＤ≌△ＡＣＤ（ＳＳＳ）
例2：已知: 如图,AC=AD ,BC=BD.
求证: ∠C＝∠D.
C 解: 在△ACB 和 △ADB中
AC = A D
A
B
BC = BD
A B = A B (公共边）
证明：BC=AD
C
D
A
B
证明:在△ABC与△BAD中
AC=BD (已知)
∠CAB=∠DBA (已知)
AB=BA (公共边) ∴△ABC≌△BAD（SAS）
∴BC=AD (全等三角形的对应边相等）
三、知识梳理: 三角形全等判定方法3
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全 等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。
BC=B′C′
∴△ABC≌△A’B’C’（AAS）
例3：已知如图， ∠1＝∠2， ∠C＝∠D 求证：AD＝AC.
证明：在△ABD和△ABC中
∠1＝∠2
D
∠D＝∠C AB＝AB
1 A 2B
∴△ABD≌△ABC（AAS）
∴AD＝AC
C
五、知识梳理: 三角形全等判定方法5
斜边、直角边公理 (HL)推理格式 ∵∠C=∠C′=90° ∴在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中
,有
AB=AB,
A
B
AC=AD. ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). (2)∵ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴ BC=AD
例2. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角， 将上述条件标注在图中，求证BC=BD
C A
D
解：在Rt△ACB和 Rt△ADB 中,有
AB=AB,
B AC=AD.
例子1：如图，在△AEC和△ADB中，已 知AE=AD，AC=AB，请说明△AEC ≌ △ADB的理由。
解：在△AEC和△ADB中
C
_A_E__=__A_D_(已知)
D
∠A= ∠A( 公共角)
A
E
B
_A_C___=_A__B_(已知)
∴ △AEC≌△ADB（ SAS ）
例2：如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，
1O
B
2
∠A= ∠B (已知）
D OA=OB (已证）
∠1= ∠2 (对顶角相等） ∴ △AOC≌△BO（ASA）
例2： 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE 和CD相交于点O,AB=AC, ∠B= ∠C
求证： ∴△ADC≌△AEB AD=AE.
证明：在△ADC和△AEB中
A
∠A= ∠A (公共角）
AC=AB (已知） ∠C= ∠B (已知）
D
E
∴△ADC≌△AEB（ASA）
O
∴AD=AE
B
（全等三角形的对应边相等）
C
四、知识梳理: 三角形全等判定方法4
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
(可以简写成“角角边”或“AAS”）。
C
C′
A
B
A′
B′
证明:在△ABC与△A′ B′C′中
∠A=∠A ′ ∠B=∠B ′
∴△ACB≌△ADB （SSS） D
∴∠C＝∠D. （全等三角形对应角相等）
二、知识梳理: 三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中
A
D
AC=DF ∠C=∠F BC=EF
CF
B
E
∴△ABC≌△DEF（SAS）
AB=A´B´
BC=B´C´
∴Rt△ABC≌ Rt△A´B´C´(HL)
B
B′
A
C
已知：如图,在△ABC和△ABD中,AC⊥BC,
BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD
(1)求证： △ABC≌△BAD.
(2)求证：BC=AD
(1)解： ∵ AC⊥BC, BD⊥AD D
C
∴ ∠C=∠D=90°
在Rt△ABC和 Rt△BAD中
(全等三角形对应边相等).
小结
一般三角形 全等的识别 S.S.S S.A.S A.S.A A.A.S 直角三角形 H.L 全等的识别 灵活运用各种方法证明直角三角形全等
谢谢！
第十二章 全等三角形
三角形全等的判定（3）
— ASA AAS
一、知识梳理: 三角形全等判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写
为“边边边”或“SSS”）。
A
用符号语言表达为：
在△ABC和△ DEF中
B
C
AB=DE
D
BC=EF
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
F
例1：如图．△ＡＢＣ是一个钢架，ＡＢ＝ＡＣ， ＡＤ是连接Ａ与ＢＣ中点Ｄ的支架．
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中
来自百度文库
∠A=∠D （已知 ）
AB=DE（已知 ）
∠B=∠E（已知 ）
B
∴ △ABC≌△DEF（ASA）
A
D
CF E
例1： 已知如图，O是AB的中点，∠A=∠B，
求证：△AOC≌△BOD
证明：
∵ O是AB的中点(已知） C
∴ OA=OB(中点定义）
在△AOC和△BOD中 A
求证△ＡＢＤ≌△ＡＣＤ
证明 ∵Ｄ是ＢＣ的中点
Ａ
∴ＢＤ＝ＣＤ
在△ＡＢＤ与△ＡＣＤ中
Ｂ
Ｄ
Ｃ ＡＢ＝ＡＣ
ＢＤ＝ＣＤ
ＡＤ＝ＡＤ
∴ △ＡＢＤ≌△ＡＣＤ（ＳＳＳ）
例2：已知: 如图,AC=AD ,BC=BD.
求证: ∠C＝∠D.
C 解: 在△ACB 和 △ADB中
AC = A D
A
B
BC = BD
A B = A B (公共边）
证明：BC=AD
C
D
A
B
证明:在△ABC与△BAD中
AC=BD (已知)
∠CAB=∠DBA (已知)
AB=BA (公共边) ∴△ABC≌△BAD（SAS）
∴BC=AD (全等三角形的对应边相等）
三、知识梳理: 三角形全等判定方法3
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全 等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。
BC=B′C′
∴△ABC≌△A’B’C’（AAS）
例3：已知如图， ∠1＝∠2， ∠C＝∠D 求证：AD＝AC.
证明：在△ABD和△ABC中
∠1＝∠2
D
∠D＝∠C AB＝AB
1 A 2B
∴△ABD≌△ABC（AAS）
∴AD＝AC
C
五、知识梳理: 三角形全等判定方法5
斜边、直角边公理 (HL)推理格式 ∵∠C=∠C′=90° ∴在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中
,有
AB=AB,
A
B
AC=AD. ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). (2)∵ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴ BC=AD
例2. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角， 将上述条件标注在图中，求证BC=BD
C A
D
解：在Rt△ACB和 Rt△ADB 中,有
AB=AB,
B AC=AD.
例子1：如图，在△AEC和△ADB中，已 知AE=AD，AC=AB，请说明△AEC ≌ △ADB的理由。
解：在△AEC和△ADB中
C
_A_E__=__A_D_(已知)
D
∠A= ∠A( 公共角)
A
E
B
_A_C___=_A__B_(已知)
∴ △AEC≌△ADB（ SAS ）
例2：如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，
1O
B
2
∠A= ∠B (已知）
D OA=OB (已证）
∠1= ∠2 (对顶角相等） ∴ △AOC≌△BO（ASA）
例2： 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE 和CD相交于点O,AB=AC, ∠B= ∠C
求证： ∴△ADC≌△AEB AD=AE.
证明：在△ADC和△AEB中
A
∠A= ∠A (公共角）
AC=AB (已知） ∠C= ∠B (已知）
D
E
∴△ADC≌△AEB（ASA）
O
∴AD=AE
B
（全等三角形的对应边相等）
C
四、知识梳理: 三角形全等判定方法4
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
(可以简写成“角角边”或“AAS”）。
C
C′
A
B
A′
B′
证明:在△ABC与△A′ B′C′中
∠A=∠A ′ ∠B=∠B ′
∴△ACB≌△ADB （SSS） D
∴∠C＝∠D. （全等三角形对应角相等）
二、知识梳理: 三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中
A
D
AC=DF ∠C=∠F BC=EF
CF
B
E
∴△ABC≌△DEF（SAS）
AB=A´B´
BC=B´C´
∴Rt△ABC≌ Rt△A´B´C´(HL)
B
B′
A
C
已知：如图,在△ABC和△ABD中,AC⊥BC,
BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD
(1)求证： △ABC≌△BAD.
(2)求证：BC=AD
(1)解： ∵ AC⊥BC, BD⊥AD D
C
∴ ∠C=∠D=90°
在Rt△ABC和 Rt△BAD中