立体几何垂直证明

立体几何垂直证明方法技巧授课教师：***

类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）

（1） 共面垂直：掌握几种模型

①等腰（等边）三角形中的中线 ②菱形（正方形）的对角线互相垂直 ③勾股定理中的三角形 ④ 直角梯形

⑤利用相似或全等证明直角。

例：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心， E 为1CC 中点,求证： (1) 1A O OE ⊥ (2) 1A O BDE ⊥平面

（2） 异面垂直（利用线面垂直来证明） 例1 在正四面体ABCD 中， 求证：AC BD ⊥

变式1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，

已知

60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．

证明：AD PB ⊥；

变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED,△DCF分别沿,

DE DF折起，使,A C两点重合于'A.

求证:'A D EF

⊥；

变式3如图，在三棱锥P ABC

-中，⊿PAB是等边三角形，∠P AC=∠PBC=90 º证明：AB⊥PC

类型二：直线与平面垂直证明

B

E

'

A

D

F

G

方法○1利用线面垂直的判断定理

例：在正方体1111ABCD A B C D -中，,求证：1

1AC BDC ⊥平面

变式1：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒.E 为BB 1

的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；

变式2：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的

P

C

B

A

D

E

中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ====== 求证：AO ⊥平面BCD ；

变式3 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，

AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ． 3PA =，2AD =，23AB =，6BC =

()1求证：BD ⊥平面PAC

○

2利用面面垂直的性质定理

例3：在三棱锥P-ABC 中，PA ABC ⊥底面,PAC PBC ⊥面面，BC PAC ⊥求证：面。

变式1, 在四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，侧面PAB 是等腰三角形，且PAB ABCD ⊥面底面,求证：BC PAB ⊥面

类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直) 例:如图，已知AB ⊥平面ACD ， DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，

(1) 求证：//AF 平面BCE ；(2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ；

例2 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，

A B

C

D

E

F

A

B

C

D P

E

，，°，PA AB BC

60

⊥⊥∠=

AB AD AC CD ABC

==，

E是PC的中点．

⊥；（2）证明PD⊥平面ABE；

（1）证明CD AE

变式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，∠60

ABC，E、F分别是棱CC′与BB′上的点，

=

︒

且EC=BC=2FB=2．

（1）求证：平面AEF⊥平面AA′C′C；

类型三：平面与平面垂直证明

1.AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，点N为垂足，

求证：平面PAM⊥平面PBM

2．如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E，F，Ｇ分别为ＣＤ，ＤＡ和对角线ＡＣ的中点。

求证：平面ＢＥＦ 平面ＢＧＤ

.

3.在直平行六面体AC1中，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AC∩BD＝O，AB＝AA1.

(1)求证：C1O∥平面AB1D1；

(2)求证：平面AB1D1⊥平面ACC1A1.

4. 如下图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．

(1)求证：BM∥平面ADEF；

(2)求证：平面BDE⊥平面BEC.