第一章 波函数

第一章 波函数与dinger o
Schr 方程 一 内容提要
1 波函数的统计解释
[1] 在量子力学中用波函数描述微观体系的运动状态 ； [2] 2
),(t r
ψ表示粒子在空间出现的几率密度； [3] 波函数归一化条件
1),(2
=ψ⎰
t r ；
[4] 波函数应满足的基本条件：单值、有限、连续。

2态的叠加原理
设 ,,,,321n ψψψψ是体系的可能状态，那么态的线性叠加
∑ψ=ψn
n n c
也是体系的一个可能状态；
3 dinger o Schr
方程 [1] 含时间的dinger o Schr
方程 ψ+ψ∇μ
-=∂ψ∂),(222t r V t i
[2]定态dinger o Schr
方程 当)(r V 不显含时间t 时，波函数的解为定态解：
/)(),(iEt e
r t r -ψ=ψ
)(r ψ满足定态dinger o
Schr 方程ψ=ψ+∇μ
-E r V )](2[22
该方程也是能量算符的本征值方程。

4 几率流密度)(2ψ∇ψ-ψ∇ψμ=**
i j 与几率密度ψψ=ρ*满足连续性方程 0=⋅∇+∂ρ∂j t
5 量子力学中的初值问题
已知量子态的初态波函数)0,(r ψ，原则上可以利用S,eq 求出任意时刻的波函数),(t r ψ
二 例题讲解
1 粒子在一维无限深势阱中运动，阱宽为a ， （1）设a
x
ASin
x π=ψ)(，求归一化系数A 。

（2）设)()(x a Ax x -=ψ，求归一化系数A 并求粒子的最可几位置。

[解] （1）令12)()
(220
2
==π=ψ⎰⎰a
A dx a x ASin
dx x a
a
则 a
A 2
= 那么a
x Sin a x π=
ψ2)( （2）令130)]([)
(5
2
2
2
==-=ψ⎰⎰
a A dx x a x A dx x a
a
则530a A = 2 证明具有不同能量的两个束缚态，其波函数的重叠积分为零。

解：设1ψ、2ψ分别为对应能量1E 、2E 束缚态波函数，21E E ≠，要证明等式
0)()(2
*
1
=ψ
τψ⎰r r d 。

凡这种与具体势函数无关的结论，第一选择是从S.eq 出发。

1ψ、2ψ满足的两个定态S.eq 为：
)()()(211112
2r E r V r m ψ=ψ+ψ∇- （1） )()()(222222
2r E r V r m
ψ=ψ+ψ∇- （2） )2()1(*
1*2⨯ψ-⨯ψ ，再对空间积分：⎰
τd ，得
)(2)()()(22
*1*12222*
1
21ψ∇ψ-ψ∇ψτ-=ψτψ-⎰⎰d m
r r d E E )(22*1*122ψ∇ψ-ψ∇ψ∇τ-=⎰d m 0)(22*
1*122=ψ∇ψ-ψ∇ψ-=⎰dS m
（束缚态边界条件：0,0,21→ψ→ψ∞→处r ）
因为21E E ≠ 那么有0)()(2*
1=ψτψ⎰
r r d
3 已知描述单粒子一维束缚态的两个本征函数分别为 22
11x Ae
α-=ψ 22
12
1)(x e
c bx x B α-++=ψ
试求这两个状态的能级间隔。

解：1ψ、2ψ满足的两个定态S.eq 为：
)()()(211112
2r E r V r m ψ=ψ+ψ∇- （1） )()()(222222
2r E r V r m
ψ=ψ+ψ∇- （2） )2()1(12⨯ψ-⨯ψ得
)(2)('
'21''1222112ψψ-ψψ=ψψ-m
E E （3） （3）对任意x 都成立，找一个波函数的非零点，如x=0，在方程（3）两边取值，得
mc
AB m ABc E E 2
212)2(2 -=-=-
4 已知自由粒子的动量为p
，初态波函数为)0,(r ψ，求任意时刻的波函数),(t r ψ。

解： 自由粒子的单色波函数是
/).(2
3)
2(1),(Et r p i e
t r -π=
ψ 而m
p E 22
= （1）
自由粒子的波函数可以由平面单色波叠加得到
)
.(3
23)()2(1),(Et r p i e
p dp t r -∞
∞
-ϕπ=
ψ⎰ （2） 那么初态波函数为
r
p i e p dp r .323
)()
2(1)0,(ϕπ=
ψ⎰
∞
∞
- （3） （3）的逆变换为
/.3
23)0,()
2(1)(r p i e r dr p -∞
∞
-ψπ=
ϕ⎰ （4）
即)(p ϕ由)0,(r ψ决定。

以（4）代入（2）得： )0,()2(1),('/])([3'
323'r e
dp r
d t r Et r r p i
ψπ=
ψ--∞∞
-∞∞
-⎰⎰ （5）
一维自由粒子初值问题
)0,()
2(1
),(/])(['21
'x e
dp dx t x Et x x p i ψπ=
ψ---∞
∞
-∞∞
-⎰⎰
而m
p E 22
= （6） 5 证明：如果量子系统的态是可以归一化的，则一旦归一化，它在任何时刻也都是归一化的。

解：设描述态的波函数为),(t r ψ，它可归一化，意味着积分ψτψ⎰
*
d 是有限的。

那么在∞→=r r
时
必然有0→ψ
由0=⋅∇+∂ρ∂j t 对空间积分得：0=τ⋅∇+τ∂ρ∂⎰⎰d j d t 或0=⋅∇τ+ψτψ∂∂⎰⎰∙
j d d t
则
⎰⎰⎰=⋅-=⋅∇τ-=ψτψ∂∂∙
s
S d j j d d t 0 这表明⎰ψτψ∙d 不显含时间。

故当波函数归一化后，它不随时间变化，这也说明了几率守恒的性质。

三 练习
1 质量为m 的粒子处于能量为E 的本征态，波函数为22
1x Axe
α-=ψ求势函数V(x).
[答案：将波函数直接代入。

)3(2)(2242
α-α+=x m
E x V ] 2 对于一维自由粒子)()0,(x x δ=ψ求⎣⎦
2
),(t x ψ
[答案为：⎣⎦
t
m
t x π=
ψ2),(2
提示：利用k p = 令dk e k x ikx
⎰∞
∞-ϕπ=ψ)(21)0,( 则 π
=ψπ=ϕ⎰∞
∞--21)0,(21)(dx e x k ikx 那么)44()2(22
2)(21),(π
--∞
∞-π=ϕπ=ψ⎰x t m i m k kx i e t
m e k dk t x 其中利用了积分公式
2
2
2
π=
ξξ=
ξξ⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-d Sin d Cos ]
3 一质量为m 的粒子处于一维无限深势阱，初始时刻其归一化波函数为： a
x
Sin a x Cos a x ππ+=
ψ)1(58)0,( 求 （1）0>t
时刻粒子的波函数；
（2）0>t 时粒子处于2
0a
x ≤≤中的几率。

[答案：t E i
t E i
e x e x t x 21)(5
1)(54),(21 --ϕ+ϕ=ψ，2
223cos 151621)(ma t t p ππ+=] 4 处于势场)(r V
中粒子，在坐标表象中的能量本征方程表示成
)()()](2[22
r E r r V ψ=ψ+∇μ
- 试在动量表象中写出相应的能量本征方程。

[答案：)()()](2[2p E p p
i V p
ψ=ψ∂∂+μ]。