利用导数讨论函数的单调性

课题：导数在函数中的应用

——利用导数讨论函数的单调性

一．复习回顾

1.导数与函数的单调性:一般地，在某个区间(ab)内：

（1）如果f′(x)>0，函数f (x)在这个区间内单调递增;

（2）如果f′(x)<0，函数f (x)在这个区间内单调递减;

（3）如果f′(x)=0，函数f (x)在这个区间内是常数函数．

------利用导数的正负研究函数的增减

2.利用导数讨论函数单调性的方法

（1）直接解不等式：f′(x)>0和f′(x)<0；

（2）利用f′(x)的图像（示意图）；

（3）列表法；

注：考虑f′(x)＝0的根；

二．新课讲解

（一）讨论函数的单调性

【例1】

（2018年全国I卷）已知函数 f(x)＝aex

－ln x－1 （1）设x＝2是f(x)的极值点．求a，并求f(x)的单调区间；

（二）讨论含参数函数的单调性

【解法技巧】考虑f′(x)=0的根

1. 若f′(x)=0在区间D上无解，则f′(x)恒正或恒负，f(x)在D上单调；

2. 根有没有，要不要，比大小。

【例2】求f(x)＝ex－ax的单调区间；

【例3】已知函数f(x)＝1

2x2－(a＋1)x＋a ln x

(1)当a＜1时，讨论f(x)的单调性；

【变式】已知函数f(x)＝1

2x2－(a＋1)x＋a ln x，讨论f(x)的单调性；

三．归纳总结----导数讨论含参数函数单调性的思路：

1. 若f′(x)=0在区间D上无解，则f′(x)恒正或恒负，f(x)在D上单调；

2. f′(x)=0根有没有，要不要，比大小；

①若f′(x)=0在R上无解或在R上有解但明显解不在定义域D内则f(x)在D上单调；

②若f′(x)=0在R上有解但解是否在定义域D内需讨论，ⅰ若解都不在定义域D内，则f(x)在D上单调；

ⅱ若有解在定义域D内，则利用f′(x)的图像或列表分析；

四．课后作业：

1.（2018-2019潮州高三期末）已知函数f(x)＝2( x－1) ln x＋a (x2－x－1＋1

x).

（1）当 a＝0讨论f(x)的单调性

2. (2017·全国卷Ⅲ) 已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性；

3. (2016·全国卷Ⅰ) 已知函数f(x)＝(x－2)ex－a (x－1)2 （1）讨论f(x)的单调性；