雅礼高一期末数学试卷解析版
2024届湖南省长沙市雅礼教育集团数学高一下期末经典试题含解析
2024届湖南省长沙市雅礼教育集团数学高一下期末经典试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．方程tan 2x =的解集为（ ） A ．{}|2πarctan 2,x x k k =+∈Z B ．{}|2πarctan 2,x x k k =±∈Z C ．{}|πarctan 2,x x k k =+∈Z D ．(){}|π1arctan 2,kx x k k =+-∈Z2．若(3,1),(1,),2a b t a b a =-=+⊥（），则t =（） A ．32B ．23C ．14D ．133．设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A ．0PA PB += B ．0PC PA +=C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++= 4．已知集合A ＝｛x ｜0≤x≤3｝，B ＝｛x R ｜－2＜x ＜2｝则A ∩B =( ) A ．{0,1}B ．{1}C ．[0,1]D ．[0,2)5．在ABC ∆中，三个内角成等差数列是60B ∠=︒的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件6．已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为 A ．5B ．4C ．2D ．17．从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．238．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若::4:3:2a b c =，则2sin sin sin 2A BC-=（ ）A ．37B ．57C ．97D ．1079．半径为1cm ，中心角为150的弧长为（ ） A ．23cm B ．23cm π C ．56cmD ．56cm π 10．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2021年湖南省长沙市雅礼雨花中学高一数学理期末试题含解析
2021年湖南省长沙市雅礼雨花中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay=0互相垂直，则a的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1参考答案：C【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由已知得（2a﹣1）a+a（﹣1）=0，由此能求出结果．【解答】解：∵直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay=0互相垂直，∴（2a﹣1）a+a（﹣1）=0，解得a=0或a=1．故选C．2. 的值等于（）A．B．C．D．参考答案：B3. （5分）设a=60.5，b=0.56，c=log0.56，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a参考答案：A考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：∵a=60.5＞1，0＜b=0.56＜1，c=log0.56＜0，∴c＜b＜a．故选：A．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．4. 已知等差数列{a n}的公差d＞0，则下列四个命题：①数列{a n}是递增数列；②数列{na n}是递增数列；③数列是递增数列；④数列是递增数列；其中正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：B【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．【详解】设等差数列，d＞0∵对于①，n+1﹣n＝d＞0，∴数列是递增数列成立，是真命题．对于②，数列，得，，所以不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，是假命题．对于③，数列，得，，不一定是正实数，故是假命题．对于④，数列，故数列是递增数列成立，是真命题．故选：B．5. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是( )．A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定参考答案：C【分析】根据正弦定理可求得；根据余弦定理可判断出，进而得到结果. 【详解】由正弦定理可知：，可知△ABC为钝角三角形本题正确选项：C【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状的问题，属于基础题.6. 在中，，则等于A． B． C． D．参考答案：C7. 阅读如右图所示的算法框图，运行相应的程序，输出的结果是( )A.1 B．2 C．3 D．4参考答案：D程序在运行过程中各变量的值如下表示：S n 是否继续循环循环前 2 1第一圈-1 2 是第二圈 3 是,第三圈 2 4 否,则输出的结果为4,故选D.8. 函数，的值域是A B C D参考答案：B9. 与向量平行的单位向量是（）A. (0,1)B. (1,0)C.D. (－3,－4)参考答案：C【分析】由计算即可得出答案.【详解】与向量平行的一个单位向量，，所以.故选：C【点睛】本题主要考查向量的模和向量的坐标运算，属于基础题.10. 在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b sin A=a cos B，则角B的大小是（）A．B．C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 幂函数的图象经过点，则的值为__________．参考答案：212. 若在第_____________象限．参考答案：三由题意，根据三角函数的定义sinθ=＜0，cosθ=0∵r＞0，∴y＜0，x0．∴θ在第三象限，故答案为三13. 设、分别是的斜边上的两个三等分点，已知，，则= ．参考答案：1014. 若函数f（x ）=x2-2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为______．参考答案：{－3，3}【分析】根据函数解析式求出对称轴和顶点坐标，画出函数图象，即可求出a的值．【详解】因为函数f(x)=x2-2x+1=(x-1)2，所以对称轴为x=1，顶点坐标为(1，0)．令x2-2x+1=4得：x2-2x-3=0，解得：x=-1或3，所以a+2=-1或a=3，即：a=-3或3．故答案为：{-3，3}【点睛】本题主要考查二次函数的图象，以及利用图象求最值问题．15. 已知a，b，c三个数成等比数列，若其中a=2-，c=2+，则b= ．参考答案：略16. 已知等比数列{a n}的公比，且，则数列的前n项和为▲．参考答案：17. （5分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是；．参考答案：n≥22，或n＞20考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：计算每一次执行循环n，s的值，和已知比较即可确定退出循环的判定条件．解答：第1次循环：n=2，s=；第2次循环：n=4，s=+；第3次循环：n=6，s=++；…第10次循环：n=20，s=；第11次循环：n=22，s=+；故退出循环的判断条件是n≥22，或n＞20；．故答案为：n≥22，或n＞20；．．点评：本题主要考查算法和程序框图，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年长沙市雅礼教育集团高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．42．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4＝0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（）A．2B．﹣2C．2，﹣2D．2，0，﹣23．在△ABC中，a＝1，c＝2，∠B＝120°，则b边长为（）A．3B．4C．5D．4．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 3655．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．26．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°10．数列{a n}中，a1＝2，且a n+a n﹣1＝+2（n≥2），则数列{}前2019项和为（）A．B．C．D．11．如图，四面体A﹣BCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．πB．3πC．πD．2π12．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前100项和为（）A．3690B．5050C．1845D．1830二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上. 13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与A1D所成角的大小为．14．设，为单位向量，且，则＝．15．若数列{a n}的前n项和为S n＝a n+，则数列{a n}的通项公式是a n＝．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列命题：①直线BD1⊥平面A1C1D；②三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；③异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]；④直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．其中所有真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E 为线段PC上一点．[Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．18．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD ＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．21．已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆E：x2+y2＝4上运动．（1）求过点C且被圆E截得的弦长为的直线方程；（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．22．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n＝3n+5，且a1＝1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1＝3λ＜0，b n＝λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4【分析】设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，由此解得d的值．解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5＝10，a4＝7，可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，解得d＝2，故选：B．2．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4＝0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（）A．2B．﹣2C．2，﹣2D．2，0，﹣2【分析】根据两直线垂直的充要条件：A1A2+B1B2＝0解：因为两直线垂直，所以：（2a+5）（2﹣a）+（a﹣2）（a+3）＝0，化简得：a2﹣4＝0，解得：a＝2或a＝﹣2故选：C．3．在△ABC中，a＝1，c＝2，∠B＝120°，则b边长为（）A．3B．4C．5D．【分析】根据题意和余弦定理直接求出b即可．解：由题意得，a＝1，c＝2，B＝120°，在△ABC中，由余弦定理得：b2＝c2+a2﹣2ca cos B＝1+4﹣2×1×2×（﹣）＝7，可得：b＝，故选：D．4．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 365【分析】设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意列出方程组，由此能求出结果．解：设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意得，解得b＝125，a＝20%，m＝369．故选：A．5．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．2【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个腰长是2的等腰直角三角形，求出底面的面积，垂直于底面的侧棱长是2，做出体积．解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，右图为该三棱锥的直观图，三棱锥的底面是一个腰长是2的等腰直角三角形，∴底面的面积是＝2垂直于底面的侧棱长是2，即高为2，∴三棱锥的体积是故选：C．6．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】利用已知条件求出||，然后利用向量的数量积求解即可．解：向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，可得||＝＝＝7，cos＜，+＞＝＝＝＝．故选：D．7．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB＝O，所以l⊥γ．所以正确．D、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确；故选：A．8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．【分析】由已知设圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，（2，1）代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a，a），则半径为a，a＞0．故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，再把点（2，1）代入，求得a＝5或1，故要求的圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）；故圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离d＝＝或d＝＝；故选：B．9．在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°【分析】根据正弦定理的式子，将题中数据代入求出sin A＝，结合三角形内角的取值范围即可算出A的值．解：∵在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，∴由正弦定理，得化简得sin A＝•sin30°＝∵a＝＞b＝1∴A＞B，可得A＝60°或120°故选：D．10．数列{a n}中，a1＝2，且a n+a n﹣1＝+2（n≥2），则数列{}前2019项和为（）A．B．C．D．【分析】由a n+a n﹣1＝+2（n≥2），可得﹣﹣2（a n﹣a n﹣1）＝n，化为：﹣＝n，利用“累加求和”方法可得，利用裂项求和即可得出．解：∵a n+a n﹣1＝+2（n≥2），∴﹣﹣2（a n﹣a n﹣1）＝n，化为：﹣＝n，∴﹣＝n+（n﹣1）+ (2)∴＝，可得：＝＝2（）．则数列{}前2019项和＝2＝2＝．故选：B．11．如图，四面体A﹣BCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．πB．3πC．πD．2π【分析】由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的体积．解：由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△ABC都是直角三角形，所以BC的中点就是球心，所以BC＝，球的半径为：所以球的体积为：×＝π．故选：A．12．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前100项和为（）A．3690B．5050C．1845D．1830【分析】n＝2k（k∈N*）时，a2k+1+a2k＝4k﹣1，n＝2k﹣1时，a2k﹣a2k﹣1＝4k﹣3，可得a2k+2﹣a2k+1＝4k+1，可得a2k+1+a2k﹣1＝2，a2k+2+a2k＝8k，利用分组求和即可得出．解：n＝2k（k∈N*）时，a2k+1+a2k＝4k﹣1，n＝2k﹣1时，a2k﹣a2k﹣1＝4k﹣3，可得a2k+2﹣a2k+1＝4k+1，∴a2k+1+a2k﹣1＝2，a2k+2+a2k＝8k，∴{a n}的前100项和＝（a1+a3）+…+（a97+a99）+（a2+a4）+…+（a98+a100）＝2×25+8（1+3+ (49)＝50+＝5050．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上. 13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与A1D所成角的大小为60°．【分析】由直线AD1∥B1C，得∠ACB1是直线AB1与A1D，由AB1＝CB1＝AC，求出直线AB1与A1D所成角的大小．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵直线AD1∥B1C，∴∠ACB1是直线AB1与A1D，∵AB1＝CB1＝AC，∴∠ACB1＝60°，∴直线AB1与A1D所成角的大小为60°．故答案为：60°．14．设，为单位向量，且，则＝．【分析】根据条件，对两边平方，进行数量积的运算即可求出，从而可求出的值．解：∵，∴＝，∴，∴．故答案为：．15．若数列{a n}的前n项和为S n＝a n+，则数列{a n}的通项公式是a n＝（﹣2）n﹣1．【分析】把n＝1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．解：当n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝1当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（）﹣（）＝，整理可得，即＝﹣2，故数列{a n}是以1为首项，﹣2为公比的等比数列，∴a n＝（﹣2）n﹣1．故答案为：（﹣2）n﹣1．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列命题：①直线BD1⊥平面A1C1D；②三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；③异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]；④直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．其中所有真命题的序号是①②④．【分析】在A中，推导出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，从而直线BD1⊥平面A1C1D；在B中，由B1C∥平面A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；在C中，异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．解：在①中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故①正确；在②中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故②正确；在③中，∵A1D∥B1C，∴异面直线AP与A1D所成的角为直线AP与B1C所成的角，当P运动到B1或C点时，直线AP与B1C所成的角最小为60°，当P在为B1C中点时，直线AP与B1C所成的角最大为90°，∴异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]，故③错误；在④中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，P（a，1，a），则D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），＝（1，0，1）＝（0，1，1），＝（a，0，a﹣1），设平面A1C1D的法向量＝（x，y，z），则取x＝1，得＝（1，1，﹣1），∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为＝＝：，∴当a＝时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E 为线段PC上一点．[Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．【分析】（Ⅰ）由PA⊥AB，PA⊥BC，推导出PA⊥平面ABC，由此能证明PA⊥BD．（Ⅱ）推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面BDE⊥平面PAC．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，∴PA⊥平面ABC，∵D为线段AC的中点，∴BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD．（Ⅱ）∵AB＝BC，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，∵PA⊥BD，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC．18．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．（2）＝＝﹣．利用裂项求和方法即可得出．解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1＝2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n＝2．∴a n＝．当n＝1时，a1＝2，上式也成立．∴a n＝．（2）＝＝﹣．∴数列{}的前n项和＝++…+＝1﹣＝．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出A的值．（2）利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出三角形的周长．解：（1）知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．则：2b sin A cos A＝a sin B，由于：sin A sin B≠0，则：cos A＝，由于：0＜A＜π，所以：A＝．（2）利用余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，由于：a＝2，所以：4＝b2+c2﹣bc，△ABC的面积为，则：，解得：bc＝4．故：b2+c2＝8，所以：（b+c）2＝8+2•4＝16，则：b+c＝4．所以：三角形的周长为2+4＝6．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD ＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．【分析】（I）取AD的中点H，连接GH，FH，说明PA不在平面EFG，FH在平面EFG，证明PA平行平面EFG内的直线FH即可证明PA∥平面EFG；（II）利用转化法，求出底面面积和高，求三棱锥P﹣EFG 的体积．【解答】解（I）：如图，取AD的中点H，连接GH，FH，∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD．∵G，H分别为BC，AD的中点，∴GH∥CD．∴EF∥GH．∴E，F，H，G四点共面．∵F，H分别为DP，DA的中点，∴PA∥FH．∵PA不在平面EFG，FH⊂平面EFG，∴PA∥平面EFG．（II）解：∵PD⊥平面ABCD，GC⊂平面ABCD，∴GC⊥PD．∵ABCD为正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD＝D，∴GC⊥平面PCD．∵PF＝PD＝1，EF＝CD＝1，∴．∵GC＝＝1，∴21．已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆E：x2+y2＝4上运动．（1）求过点C且被圆E截得的弦长为的直线方程；（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．【分析】（1）设直线方程为y+2＝k（x﹣4），由题意可知圆心到直线的距离为，利用点到直线距离公式即可求出k的值，从而得出直线方程；（2）P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，利用两点间距离公式化简|PA|2+|PB|2+|PC|2＝80﹣4y又﹣2≤y≤2，从而得到|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．解：（1）依题意，直线的斜率存在，因为过点C的直线被圆E截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为，设直线方程为y+2＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣2＝0，所以，解得或k＝﹣1，所以直线方程为x+7y+10＝0或x+y﹣2＝0；（2）设P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，所以|PA|2+|PB|2+|PC|2＝（x+2）2+（y+2）2+（x+2）2+（y﹣6）2+（x﹣4）2+（y+2）2＝3（x2+y2）﹣4y+68＝80﹣4y，因为﹣2≤y≤2，所以72≤80﹣4y≤88，即|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88，最小值为72．22．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n＝3n+5，且a1＝1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1＝3λ＜0，b n＝λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．【分析】（1）把b n＝3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n＝6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n ＝2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ＝﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n 的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围．【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），b n＝3n+5，∴a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n）＝2（3n+8﹣3n﹣5）＝6，∴{a n}是等差数列，首项为a1＝1，公差为6，则a n＝1+（n﹣1）×6＝6n﹣5；（2）∵a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1＝2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m＝a1＝3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得．∴λ∈（）．②当λ＝﹣1时，a2n＝1，a2n﹣1＝﹣3，∴M＝3，m＝﹣1，不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．。
2018-2019学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知不等式2340x x -->的解集为A ，则A =（ ） A ．()1,4- B ．()(),14,-∞-+∞U C ．(]4,1- D ．()(),41,-∞-+∞U【答案】B【解析】解一元二次不等式得集合A 即可. 【详解】解不等式()()234410x x x x --=-+>，得4x >或1x <-，所以不等式的解集为()(),14,A =-∞-+∞U .故选：B 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.2．已知向量a r ，b r，满足1a =r ，1a b ⋅=-r r ，则()a ab ⋅+=r r r （ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】利用向量的模长及运算法则，计算即可. 【详解】向量a r ，b r，满足1a =r ，1a b ⋅=-r r ，则()2110a a b a a b ⋅+=+⋅=-=r r r r r r .故选：D. 【点睛】本题考查了向量的模长和数量积及运算的法则，属于基础题.3．等差数列{}n a 中，382a a +=-，则数列前10项和10S 的值为（ ） A ．20- B ．10-C ．20D ．10【答案】B【解析】由等差数列前n 项和公式和等差数列的性质求出结果即可． 【详解】∵在等差数列{}n a 中，382a a +=-，∴该数列前10项和：S 10＝()()11038101022a a a a +=+＝()102102⨯-=-． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的求法，注意等差数列性质的合理运用，属于基础题． 4．函数()2sin cos f x x x =是 A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数【答案】C【解析】试题分析：本题考查三角函数的性质f （x ）=2sinxcosx=sin2x ，周期为π的奇函数．解：∵f （x ）=2sinxcosx=sin2x ， ∴f （x ）为周期为π的奇函数， 故选C【考点】二倍角的正弦．5．要得到函数cos(21)y x =+的图象，只要将函数cos 2y x =的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移 12个单位 D ．向右平移12个单位 【答案】C【解析】y ＝cos2x 向左平移12个单位得y ＝cos2(x ＋12)＝cos(2x ＋1)，选C 项．6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB AC ⋅uu u r uuu r等于( ) A ．－16 B ．－8C ．8D ．16【答案】D【解析】因为∠C ＝90°，所以AC u u u r ·CB u u u r ＝0，所以AB u u u r ·AC u u u r ＝(AC u u u r ＋CB u u u r )·AC u u u r ＝|AC u u u r|2＋AC u u u r ·CB u u u r＝AC 2＝16.7．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A． BC． D．【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1nn a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.8．设变量x ，y 满足10020015x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩，则23x y +的最大值为（ ）A ．55B ．45C ．35D ．25【答案】A【解析】画出满足约束条件的平面区域，结合目标函数的几何意义，令23z x y =+，求出目标函数23z x y =+取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可． 【详解】变量x ，y 满足约束条件10020015x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩的平面区域，如图所示：令23z x y =+，可得233zy x =-+，则3z 为直线230x y z +-=在y 轴上的截距，截距越大，z 越大，作直线l ：230x y +=，把直线向上平移可得过点D 时，z 最大，由1520y x y =⎧⎨+=⎩可得x ＝5，y ＝15，此时232531555z x y =+=⨯+⨯=.故选：A ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题．9．已知函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ，若24g π⎛⎫=⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2 B 2C ．2-D ．2-【答案】B【解析】根据条件求出ω的值，结合函数图象变换关系求出()g x 的解析式，结合条件求出A 的值，利用代入法进行求解即可． 【详解】∵()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的最小正周期为π，∴2πω＝π，得ω＝2，则f （x ）＝A sin2x ，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ． 则()g x ＝A sin x ，若g （4π，则g （4π）＝A sin 4π＝2A，即A ＝2，得()2sin 2f x x =，则f （38π）＝2sin （2×38π）＝2sin 34π＝2×2.故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出A ，ω的值是解决本题的关键，属于基础题．10．若4cos 5α=-,α是第三象限的角,则1tan21tan 2αα+=-（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．-2【答案】A【解析】试题分析：∵4cos 5α=-，α为第三象限，∴3sin 5α=-, ∵2sin211tancos cos sin (cossin)2222221tansin cossin(cossin)(cossin)222222221cos2αααααααααααααααα++++===---+-2231()1sin 1sin 154cos 2cos sin 225ααααα+-++====---． 【考点】同角间的三角函数关系，二倍角公式．11．已知ABC ∆中，D 为边BC 上一点，13BD BC =，ADC 60∠=o ，4=AD ，若ADB ∆的面积为6-，则cos BAC ∠=（ ）A．12B．13C．624-D．0【答案】A【解析】利用ADB∆的面积求得DC，进而根据余弦定理求得AB和AC，在ABC∆中利用余弦定理求得cos BAC∠的值．【详解】由已知条件得，()11sin180604sin1206322ADBS BD AD BD∆=⨯⨯-=⨯⨯=-o o o，232BD∴=-，Q13BD BC=，636BC∴=-，434CD=-，在ABD∆中，由余弦定理得AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°＝()()22423224232cos12024+--⨯⨯-=o，∴26AB=.在ABD∆中，由余弦定理得AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos60°＝()()()222443424434cos602431+--⨯⨯-=-o，∴()2631AC=-.在ABC∆中，由余弦定理得((()2222224243136311cos222262631AB AC BCBACAB AC+---+-∠===⋅⨯⨯-.故选：A.【点睛】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积，余弦定理等基础知识，考查分析问题与解决问题的能力以及相应的运算能力，属于中档题．二、填空题12．若1sin3α=，则cos2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭______．【答案】13-【解析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值． 【详解】1sin 3α=Q ，1cos sin 23παα⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭．故答案为13-． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题． 13．等比数列{}n a 中，158a a =，3416a a =，则{}n a 的公比为______. 【答案】2【解析】利用等比数列通项公式计算即可. 【详解】在等比数列{}n a 中，设{}n a 的公比为q ，则241518a a a q ==，2534116a a a q ==，所以2512411628a q q a q ===. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用，属于基础题.14．已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若()AO AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，AB AC ⊥，则λ=______. 【答案】12【解析】根据向量加法的运算及圆直径的性质，即可得到结论． 【详解】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若()AO AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r，设D 为BC 的中点，则()2AO AB AC AD λλ=+=u u u r u u u r u u u r u u u r ，且AB AC ⊥，即2BAC π∠=,得BC 为圆O 的直径.所以点O 与点D 重合，即21λ=，得12λ=. 故答案为：12【点睛】本题主要考查平面向量加法的运算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，属于基础题． 15．设a R ∈，若0x >时均有()()211310a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦，则a =______.【答案】54【解析】当a ＝1时，不等式不可能恒成立；当a ≠1，若对任意的x ＞0时均有()()211310a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦，则构造函数y 1＝（a ﹣1）x ﹣1，y 2＝x 2﹣3ax ﹣1，与x 轴交于同一点，代入可得答案． 【详解】当a ＝1时，代入题中不等式得2310x x --≤，明显不恒成立，舍．当a ≠1，构造函数y 1＝（a ﹣1）x ﹣1，y 2＝x 2﹣3ax ﹣1，它们都过定点P （0，﹣1）． 在函数y 1＝（a ﹣1）x ﹣1中，令y ＝0，得M （11a -，0）； 在函数y 2＝x 2﹣3ax ﹣1，∵x ＞0时，均有()()211310a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦成立，又∵y 2＝x 2﹣3ax ﹣1开口向上，随着x 的增加，y 2＞0成立，所以a ﹣1＞0. ∴y 2＝x 2﹣3ax ﹣1显然过点M （11a -，0），代入得：（11a -）2﹣3a •11a -﹣1＝0， 解之得：a ＝54或a ＝0（舍去）． 故答案为：54.【点睛】本题考查的知识点为函数不等式恒成立问题，函数的图象和性质，分类讨论思想，数形结合思想，属于中档题．三、解答题16．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=. （1）求n a ； （2）令()()*21n n b n N a n=∈+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+；（2）1n nT n =+. 【解析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出； （2）由（1）得111n b n n =-+，再利用“裂项相消法求和”即可得出． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，由于37a =，5726a a +=， ∴112721026a d a d +⎧⎨+⎩＝＝，解得132a d ⎧⎨⎩＝＝，∴()1121n a a n d n =+-=+；（2）由（1）知a n ＝2n +1，∴()()11221221n n a n n b n n n =-=+++=，∴因此T n ＝b 1+b 2+…+b n ＝1111223⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+…+111111n n n ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭＝1n n +． 所以1n nT n =+. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项相消法求和，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17．在平面直角坐标系xoy中，己知向量m =⎝⎭u r ，向量()sin ,cos n x x =r ，()0,x π∈.（1）若m n ⊥u r r，求tan x 的值； （2）若//m n u r r，求x 的值. 【答案】（1）1；（2）34π. 【解析】（1）由已知向量的坐标，结合向量垂直的坐标运算可求tan x 的值； （2）由向量平行的坐标运算得，∴2sin x+2cos x ＝0，解出tan x ，结合x 的范围再求出x ； 【详解】（1）己知向量,22m ⎛=- ⎝⎭u r ，向量()sin ,cos n x x =r ，若m n ⊥u r r，则,(sin ,cos )cos 02222m n x x x x ⎛⋅=-⋅=-= ⎝⎭u r r ，即cos 22x x =，得sin x ＝cos x ，∴tan x ＝1；（2）∵//m n u r r，sin xcos x ＝0，即sin x +cos x ＝0，∴tan x ＝﹣1，∴()0,x π∈，∴x ＝34π． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，向量的位置关系与数量积的关系，属于基础题．18．某实验室一天的温度（单位：C o ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()10sin1212f t t t ππ=-，[)0,24t ∈.（1）求实验室这一天的最高温度；（2）若要求实验室温度不高于11C o ，则在哪段时间实验室需要降温？ 【答案】（1）12C ︒；（2）10时到18时【解析】（1）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f （t ）=10﹣2sin （12πt +3π），t ∈[0，24），利用正弦函数的定义域求得f （x ）的最大值；（2）由题意可得，当f （t ）＞11时，需要降温，由f （t ）＞11，求得sin （12πt +3π）＜﹣12，即 76π＜12πt +3π＜116π，解得t 的范围，可得结论．【详解】（1）∵f （t ）＝10sin1212t t ππ-＝10﹣2（2cos 12πt +12sin 12πt ）＝10﹣2sin （12πt +3π），[)0,24t ∈，∴3π≤12πt +3π＜73π，故当12πt +3π＝32π时，即t ＝14时，函数取得最大值为10+2＝12.实验室这一天的最高温度12C ︒.（2）由题意可得，当f （t ）＞11时，需要降温，由（1）可得f （t ）＝10﹣2sin （12πt +3π），由10﹣2sin （12πt +3π）＞11，求得sin （12πt +3π）＜﹣12，∵[)0,24t ∈，∴3π≤12πt +3π＜73π， 结合正弦函数的图象可得76π＜12πt +3π＜116π，解得10＜t ＜18，即在10时到18时，需要降温．【点睛】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．19．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .（1）若a ，b ，c 成等差数列，求()sin sin sin A C A C ++的值； （2）若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值.【答案】（1）2；（2）12. 【解析】（1）由a ，b ，c 成等差数列，可得2b ＝a +c ，由三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可得解．（2）由a 、b 、c 成等比数列，则b 2＝ac ，由余弦定理和基本不等式，即可得到cos B 的最小值.【详解】（1）∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a +c ，由正弦定理得：2sin B ＝sin A +sin C ，且A B C π++=，∴2sin （A +C ）＝sin A +sin C ，∵sin B ＝sin （A +C ）≠0，∴sin sin 2sin()A C A C +=+； （2）∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ∴cosB ＝22222212222a c a a c ac ac ac ac c b ac +--=≥=+-， 当且仅当a c =取等号，∴1cos ,12B ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以cos B 的最小值为12. 【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理的运用，等差数列，等比数列的性质及运用，考查基本不等式的运用求最值，属于基础题．20．等比数列{}n a 满足：12a =，且1a ，21a +，3a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若不等式81410n a n p≤+-成立的正整数n 恰有4个，求正整数p 的值. 【答案】（1）2n n a =；（2）3.【解析】（1）利用等比数列的通项公式计算即可；（2）结合条件对n 进行分类讨论，当3n ≥时利用分离常数法化简得162225np n ≤--，利用取特值和做商法判断出225nn -的单调性，再判断出162225n n --的单调性，根据条件即可求出正整数p 的值．【详解】 （1）已知等比数列{}n a 满足：12a =，设公比为q ，且1a ，21a +，3a 成等差数列，∴()21321a a a +=+，得()222122q q +=+，解得2q =，或0q =（舍）.所以1222n n n a -=⨯=，即2n n a =；（2）由（1）得，281410n n p≤+-， ∵0p >，∴当n ＝1、2时，上式一定成立；当3n ≥时，化简16(25)2410n n p n -≤-+＝162225n n --， 当n ＝3时，1681210p ≤-+＝83＝223， 当n ＝4时，163161610p ⨯≤-+＝245＝4.8， 当n ＝5时，165322010p ⨯≤-+＝40411<， 当n ＝6时，56325p ≤<，… 设b n ＝225nn -，则1n nb b +＝1225232n n n n +-⋅-＝2(25)23n n --＝2（1﹣223n -）， 当n ≥4时，2（1﹣223n -）≥615≥，则1n n b b +＞1，∴当n ≥4时，b n 随着n 的增大而增大，则162225nn --随着n 的增大而减小， ∵不等式81410n a n p≤+-成立的正整数n 恰有4个，即n ＝1、2、4、5， ∴正整数p 的值为3．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的性质的判断与应用，同时考查了累加法的应用及方程思想与分类讨论的思想应用，属于中档题．21．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放(04a a <≤且)a R ∈个单位的营养液，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中()()()3023727x x f x x x x +⎧≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效.（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的营养液，4天后再投放b 个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b 的最小值.【答案】（1）4天；（2）20-【解析】（1）营养液有效则需满足y ≥4，由分段函数，对x 讨论，解不等式即可得到结论；（2）通过化简、利用基本不等式可知()()21071x x b x --≥-在[4，7]上恒成立，运用参数分离和换元法，结合基本不等式，即可得到b 的最小值．【详解】（1）已知()()()3,0237,27x x f x x x x +⎧≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩，当2a =时，()()()()32,022327,27x x y f x x x x +⎧⨯≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩要使营养液有效，则需满足y ≥4，则023243x x x⎧⎪+⎨⋅≥⎪-⎩剟或()27274x x <≤⎧⎨-≥⎩， 即为1≤x ≤2或2＜x ≤5，解得1≤x ≤5，所以营养液有效时间可达4天；（2）当4≤x ≤7时，y ＝14﹣2x +b •()()34434x x +-≥--在[4，7]上恒成立，∴()()21071x x b x --≥-在[4，7]上恒成立，令[]13,6t x =-∈，则b ≥﹣2（t +24t）+20， 又﹣2（t +24t ）+20≤﹣2•＝20﹣ 当且仅当t ＝24t ，当t＝1x =时，取等号；∵[]14,7x =∈，∴20b ≥-b的最小值为20-．所以，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，b的最小值为20-．【点睛】本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．。
2021-2022学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期末考试数学试卷【含答案】
雅礼教育集团2022年高一下学期期末试卷数学分值：150一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ={1，2，3，4}，集合A ={1，2}，B ={2，3}，则（ ）()U A B = A ．{1，3，4}B ．{3，4}C ．{3}D ．{4}2．设，为z 的共轭复数，则（）()i 2i z =+z z =A ．B ．C ．D ．12i+12i--12i-12i -+3．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则（）1122AC BD +=A ．B ．C ．D ．ABCD AD CB4．设m 、n 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ αβ）A ．若m ∥，n ∥，则m //nB ．若m ∥，∥，则m ∥ααααββC ．若m ∥，，则D ．若m //n ，，则ααβ⊥m β⊥m α⊥n α⊥5．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：5，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为260的样本，则从高三年级抽取的学生人数为（ ）A ．40B ．50C ．80D ．1006．已知，，，则（ ）0.21.5a =0.8log 1.2b =0.20.8c =A ．B ．C ．D ．a c b >>c b a >>a b c >>c a b >>7．如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB =∠A 1AD =60°，且AA 1=2，则AC 1的长为（ ）A B ．C D 8．在新冠病毒流行期间，为了让居民能及时了解疫情是否被控制，专家组通过会商一致认为：疫情被控制的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇，根据最新的连续四个预报簇①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数；②平均数，且标准差；③平均数3x ≤3x ≤3s ≤，且极差；④众数等于1，且极差．其中符合疫情被控制的预报簇个数3x ≤2m ≤4m ≤为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试卷(答案解析)
雅礼教育集团2021下学期期末考试试卷1．【答案】A ∵U =R ，集合{}1A x x =>，∴{}1U A x x =≤ð，则(){}11U A B x x ⋂=-<≤ð.2．【答案】B 3．【答案】A 根据题意，因为331log log 210a =<=，ln 2ln e=1b =<且ln 2ln10b =>=，102551c =>=，所以a b c <<.4．【答案】B.因为3cos 5α==，且180βα=+︒，则()3cos cos 180cos 5βαα=+︒=-=-.5．【答案】C解：sin 20cos10sin10sin 70︒︒+︒︒cos70cos10sin 70sin10=︒︒+︒︒cos(7010)=︒-︒1cos 60.2=︒=6．【答案】D【详解】函数()f x 的定义域为{|R x x ∈且}0x ≠，关于原点对称，因为()()2211()||||x x x f f x x x =----==-，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除选项A ，B ，当0x >时，()21f x x x=-，由2y x =在(0,)+∞上单调递增，1y x =在(0,)+∞上单调递减，可得()21f x x x=-在(0,)+∞上单调递增，排除选项C ，7．【答案】C∵1tan 2B =，1tan 3A =，∴()11tan tan 32tan 111tan tan 16A B A B A B +++===--，∴()tan tan 1C A B =-+=-，又()0,C π∈，∴34C π=.8．【答案】C【详解】根据题意可得1202022020ab m a b a b+==++a b =等号成立，266122a b a bm ++==≥，当且仅当a b =等号成立，由题意可得a b ¹，所以1m <2m >21m m >.9．【答案】CD 【解析】因为13x -<≤是3x a -<<的充分不必要条件，所以3a >，所以a 的可取值有4,5，10．【答案】BCD 【详解】由已知得20,0a ax bx c <++=的两根为1-和2，∴121,122b ca a-=-+==-⨯=-，∴,2,b a c a =-=-∴0,0,0,b c a b >>+=∴0a b c c ++=>,故选：BCD.11．【答案】ACD 【详解】对于A 选项，22T ππ==，故A 选项正确.对于B 选项，由()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间是()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，()75,,12121212k k k Z ππππππ⎡⎤⎡⎤⊄-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，所以B 选项错误.对于C 选项，1sin 0063f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以C 选项正确.对于D 选项，0,02,242336x x x πππππ≤≤≤≤-≤-≤，所以，当236x ππ-=时，函数()f x 取得最大值，即()max 1111sin 36326f x π===，所以D 选项正确.12．【答案】ACD 解：定义在实数集R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，故(4)(2)()f x f x f x +=-+=，可得()f x 的最小正周期为4，且函数f (x )的值域为[﹣1，1],作出5log ||y x =的图象，可得共有5个交点，可得方程5()log ||f x x =有5个根，则B 错误；ACD 正确．13．【答案】16.解：设()y f x x α==，因为幂函数()y f x =的图象经过点1(,4)2，所以2211(4()2()22f x x αα--==⇒=-⇒=，因此212211(((4)41644f ---====14．【答案】2解：21203π︒=，扇形AOB 的面积为43π，所以2241123223r r ππα==⨯，解得2r =．15．【答案】512,233k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭k ∈Z .解：()ππtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,∴令ππ,2232Z k x k k ππππ-<+<+∈，解得1,35232k x k k Z -+<<+∈,所以函数的单调递增区间为512,233k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z .16．【答案】2(,33x ππ∈；37[2,244x k k ππππ∈++，k Z ∈．【解答】：由sin 2x >，[0x ∈，2)π，得2(,33x ππ∈，sin cos 0x x +=，令sin cos t x x =+，则212sin cos t x x =+ ，0t ∴=，||0t t +=，t ≤0，可得sin cos )04t x x x π=+=+<≤0，解得37[2,244x k k ππππ∈++，k Z ∈，故答案为：2(,)33x ππ∈；37[2,244x k k ππππ∈++，k Z ∈．17．【详解】因为()()()222g x f x x x b x c =+=+++为偶函数，且定义域为R 关于原点对称，所以()()g x g x =-，所以()()()()2222x b x c x b x c +++=-++-+，所以()220b x +=，又因为x 不恒为0，所以20b +=，所以2b =-，所以()22f x x x c =-+，若选①：因为()()211f x x c =-+-，对称轴为1x =，所以()f x 在[)2,1-上递减，在(]1,2上递增，所以()()(){}max max 2,2f x f f =-，又因为()28f c -=+，()2f c =，所以85c +=，所以3c =-，所以()223f x x x =--；若选②：因为220x x c -+=的两根为12,x x ，且221210x x +=，所以12122,x x x x c +==，所以()22122121242102x x x x x x c =+-+=-=，所以3c =-，所以()223f x x x =--.18．【答案】（1）()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）0或3π或π.【详解】（1）因为由图象可知4362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以22T ππω==且0>ω，所以1ω=，所以()()sin f x x ϕ=+，代入点,13π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭且2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）()f x 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12后得到的函数解析式为：()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]0,x π∈，所以132,666x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为()12g x =，所以1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以266x ππ+=或56π或136π，所以0x =或3π或π，所以方程()12g x =在[]0,π的实数解为：0或3π或π.19．【详解】（1）因为sin α，且α为锐角，所以1cos 3α==，所以1sin 22sin cos 2339ααα==⨯⨯=．（2）因为α，β均为锐角，所以()0,παβ+∈，又()1cos 3αβ+=-，所以()sin 3αβ+=，由（1）知sin 3α=，1cos 3α=，所以αβααβααβαβsin )cos(cos )sin())sin((sin +-+=-+==9243223131322=⋅--⋅）（20．【答案】（1）2m − =5；（2）(,-∞.【详解】（1）因为()211cos cos sin 2cos 2222f x x x x m x x m =++=+++，所以()1sin 262f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，所以当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 有最小值，所以()min 1132f x m =-++=-，所以52m =-；（2）因为sin 06a x f x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭对()0,x π∀∈恒成立，所以sin sin 2202a x x π⎛⎫++-< ⎪⎝⎭对()0,x π∀∈恒成立，所以sin cos 220a x x +-<对()0,x π∀∈恒成立，所以2sin 12sin 20a x x +--<对()0,x π∀∈恒成立，所以2sin 2sin 1a x x <+对()0,x π∀∈恒成立，又因为()0,x π∈，所以sin 0x >，所以12sin sin a x x<+对()0,x π∀∈恒成立，所以min12sin sin a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭且()0,x π∈，又因为12sin sin x x +≥，取等号时12sin sin sin 0x x x ⎧=⎪⎨⎪>⎩，即2sin 2x =，即4x π=或34x π=，所以(,a ∈-∞.21．【答案】（1）y =55196×1.022t （2）（ⅰ）24，（ⅱ）按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到400千克解：（1）由题意可得055196y =，则96720755196r e =，()9ln 67207ln 55196ln 551969re r ==+，所以9ln 67207ln 5519690.02188r =-≈⨯，所以0.02188r =，所以0.021885519655196 1.022t t y e =≈⨯。
雅礼高一期末数学试卷解析版
雅礼中学高一年级期末测试数学试卷一,选择题〔本大题共12小题,每题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.〕1.设集合M m Z 3< m 2, N=nZ1n3,那么M N =答案：【B】A. 0,1 1.0,1 0,1,2 D 1,0,1,22.10g2 3的定义域是3.A. R答案: [D]11,1,—,32A. 1,3,B. -1,D 3,0 0,x a的定义域为R且为奇函数的所有a值为C. - 1, 3D. -1,1, 34.答案:x,b 10g2x,那么x>1时,a,b,c的大小关系是3A. a< tx G B G< b< a C G< a< b D a< G< b5.答案：【Q一个几何体的三视图如下图,那该几何体的体积为A.里+1231 L2 T正视图31 12 f侧视图2D 32 8答案：【A 】假设函数y f x 是函数y a x a>0且a 1的反函数,且 y f x 的图像经过点ja,a ,那么 f x12A. log 2x B log 2xC —D. x2x答案：【B 】丙申猴年春节马上就要到来,长沙某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠,商 场规定： ①如一次性购物不超过 200元,不予以折扣；②如一次性购物超过 200元,但不超过500 元,按标价予以九折优惠；③如一次性购物超过500元,其中500元予以九折优惠,超过500元的局部予以八五折优惠；某人两次去购物,分别付款 只去一次购置同样的商品,那么应付款A. 608元B. 574.1 元 C 582.6元 D. 456.8 元答案：【Q直线x 2y 1 0关于直线x 1对称的直线方程是D 1,2C 16 8俯视图6. 7. 176元和432元,如果他 8. A. x 2y 1 0 B 2x y 1 0C 2x y 3 0答案：【D 】D x 2y 3 09. 函数f x10g 2 x 2x 1的零点必落在区间A.答案：【Q10.在三^黏t S ABC中,AB AC,SB SC,那么直线SA与BC所成角的大小为A. 90oB. 60oC. 45oD. 30o答案：【A】11.设f x是定义在R上且图象为连续不断的偶函数,且当x>0时,f X是单调函数,X3那么满足f x f 的所有实数x之和为x 4A. 5B. 2C. 3D. 8答案：【A】12.定义在R上的函数,对于任意实数x,都有fx3 f x 3,且f x 2 f x 2,且f1 2— 2021 的值为A. 2021B. 2021 C 2021 D. 2021答案：【Q二、填空题〔本大题共4小题,每题5分,共20分〕13. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且共同顶点上的三条棱的长分别是1,2,3 ,那么此球的外表积为.答案：【14兀】14.在矩形ABCM, AB边所在的直线方程为x 3y 6 0,点T 1,1在AD边所在直线上.那么AD边所在直线方程为.答案：【3x y 2 0】15.湖南某县方案十年时间产值翻两番〔4倍〕,那么产值平均每年增长的百分率为.〔参考数据：lg 2 0.3010,10°.°6021.149,lg11.49 1.0602〕16.函数f x 10g3 x的定义域为a,b,值域为0,t,用含t的表达式表示b a的最大值记为M t ,最小值记为N t ,设g t M t N t(1)假设t =1,那么M 1 =.2g t 15(2) 当1 t 2时,- ---------------- 的取值范围为 _____________g t 1答案：【工三、解做题(本大题共6小题,共70分,解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.)17.(本小题总分值10分)1 函数f x的定义域为xx 0,x R的奇函数,且当x>0时,f x -2(1) 求函数f x的解析式/(2) 画出函数的图象,根据图象写出 f x的单调区间.解：(1)由题意得：f 0 0；当x<0时,x>0. f x f x 2x2 2x x<0所以,函数解析式为f x I 0 x=0x< _ x>02(2)函数图象如下列图所示,单调递减区间为,0 , 0,18.(本小题总分值12分)两直线：11: ax by 4 0,l2: a 1 x y b 0(1) 当a 2且直线11与直线12平行时,求直线11与直线12的距离.(2) 直线11过点3, 1 ,并且直线11与直线12垂直,求a,b的值.解：(1) 11 :2x by 4 0,12：x y b 0,又11Pl2, b 2直线11与直线12的距离d 2 J2 3a b 4 0 (2)由条件得：a a 1 b 即a24a 4 0,求得：a 2,b 219.(本小题总分值12分)如图,三棱锥S ABC中,底面ABC是边长为J2a的正三角形.SA SC a,D为AC 的中点.S(1) 求证：ACL平面SBD(2)假设二面角S AC B的大小为90o, 求二面角S BC A的正切值.A解：(1) QSA SC AC SDH「底面ABC^正三角形-- -.BA BC AC BDQSD,BD为面SB叩两相交线. ACL平面SBD(2)作DH BC 交BC 于H,连接SH又 BC DH,二面角S BC A 的平面角为 SHD、2a可求得：SD 上,SB .2a2利用三角形面积相等,可得：SH —二a4tan SHD "逮型2 43由〔1〕可知,二面角SAC B 的平面角为SDB 90°SD 平面ABCSD BCBC 平面SDHBC SH。
2018～2019学年度湖南省长沙市雅礼中学高一第1学期期末数学试题试题解析
2018～2019学年度湖南省长沙市雅礼中学高一第一学期期末数学试题一、单选题1.已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2},B ＝{x |x ≥﹣1},则A ∩B ＝( ) A.(﹣1,1] B.(﹣1,2)C.∅D.[﹣1,2]【参考答案】：B【试题解答】：直接利用交集的运算求解即可.解:因为A ＝{x |﹣1＜x ＜2},B ＝{x |x ≥﹣1}, 所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜2}. 故选:B .本题考查了交集的运算,属基础题.2.圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的表面积为( ) A.πB.3πC.2πD.4π【参考答案】：D【试题解答】：根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可.解:因为圆柱的底面半径为1,高为1,所以圆柱的表面积221214S πππ=⨯+⨯⨯=. 故选:D .本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.3.若点2)在直线l ：10ax y ++=上,则直线l 的倾斜角为( ) A.30°B.45︒C.60︒D.120︒【参考答案】：C【试题解答】：210,a ++=∴=直线方程为：10y ++=,据此可得,直线l 的倾斜角为60︒.本题选择C 选项.4.已知函数f (x )＝1,0,0x x x a x -≤⎧⎨>⎩,若f (1)＝f (－1),则实数a =A.1B.2C.3D.4【参考答案】：B【试题解答】：根据题意,由f (1)＝f (－1)可得a ＝1－(－1)＝2,故选:B 5.已知m,n 为不同的直线,α,β为不同的平面,则下列说法正确的是( ) A.m ⊂α,n ∥m ⇒n ∥α B .m ⊂α,n ⊥m ⇒n ⊥α C.m ⊂α,n ⊂β,m ∥n ⇒α∥β D .n ⊂β,n ⊥α⇒α⊥β 【参考答案】：D【试题解答】：在A 选项中,可能有n ⊂α,故A 错误； 在B 选项中,可能有n ⊂α,故B 错误； 在C 选项中,两平面有可能相交,故C 错误；在D 选项中,由平面与平面垂直的判定定理得D 正确. 故选：D.6.已知直线:20l kx y k -+-=过定点M ,点(),P x y 在直线210x y +-=上,则MP 的最小值是( )D.【参考答案】：B【试题解答】：令直线l 的参数k 的系数等于零,求得定点M 的坐标,利用两点间的距离公式、二次函数的性质,求得MP 的最小值.直线:20l kx y k -+-=,即()120k x y --+=,过定点()1,2M , 点(),P x y 在直线210x y +-=上,12y x ∴=-,MP ∴==故当15x =-时,MP ,故选B.本题主要考查直线经过定点问題,两点间的距离公式的应用,二次函数的性质,属于中档题.7.设2()3xa =,13()2x b -=,23c log x =,若x ＞1,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.c ＜b ＜a【参考答案】：B【试题解答】：根据x ＞1,取x ＝2,则可以得到a ,b ,c 的具体值,然后比较大小即可.解:由x ＞1,取x ＝2,则2()439x a ==,123()23x b -==,2233log log 20c x ==<,所以b a c >>. 故选:B .本题考查了指数和对数大小的比较,解题的关键是根据条件取特殊值,属基础题. 8.在正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与AC 所成角是( ) A.30°B.45︒C.60︒D.90︒【参考答案】：C【试题解答】：在正方体1111ABCD A B C D -中,11//AC A C , 所以11B AC ∠即为所求(或其补角).连接1B C ,因为1111B C AC A B ==,所以11B 60AC ∠=︒. 故选C.9.设两条直线的方程分别为x ＋y ﹣a ＝0、x ＋y ＋b ＝0,已知a 、b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根,则这两条直线之间的距离是( )D.无法确定【参考答案】：C【试题解答】：根据条件,由韦达定理可得1a b +=-,然后利用平行线间的距离公式求出距离.解:因为a 、b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根,所以1a b +=-,所以两直线间的距离2d ==.故选:C .本题考查了韦达定理和两平行直线间的距离,属基础题.10.已知函数22y x x =+在闭区间[,]a b 上的值域为[﹣1,3],则满足题意的有序实数对(,)a b 在坐标平面内所对应点组成的图形为A. B.C. D.【参考答案】：C【试题解答】：∵y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2﹣1,∴可画出图象如图1所示.；由x 2＋2x ＝3,解得x ＝﹣3或x ＝1；又当x ＝﹣1时,(﹣1)2﹣2＝﹣1.①当a ＝﹣3时,b 必须满足﹣1≤b≤1,可得点(a,b)在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|AB|＝1﹣(﹣1)＝2；②当﹣3＜a≤﹣1时,b 必须满足b ＝1,可得点(a,b)在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|BC|＝(﹣1)﹣(﹣3)＝2. 如图2所示：图2；故选：C.点睛：本题考查了二次函数在给定区间上的值域问题,值域是确定的,而定义域是变动的,解题关键是分辨清楚最大值是在左端点取到还是在右端点取到,问题就迎刃而解了. 11.已知函数y＝f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠2},且y＝f(x＋2)是偶函数,当x＜2时,f(x)＝|2x﹣1|,那么当x＞2时,函数f(x)的递减区间是( )A.(3,5)B.(3,＋∞)C.(2,＋∞)D.(2,4]【参考答案】：D【试题解答】：试题分析：根据函数的奇偶性,推导出函数的对称性,再由题意和对称性求出函数的解析式,根据指数函数的图象画出函数大致的图形,可得到函数的减区间.解：∵y＝f(x＋2)是偶函数,∴f(﹣x＋2)＝f(x＋2),则函数f(x)关于x＝2对称,则f(x)＝f(4﹣x).若x＞2,则4﹣x＜2,∵当x＜2时,f(x)＝|2x﹣1|,∴当x＞2时,f(x)＝f(4﹣x)＝|24﹣x﹣1|,则当x≥4时,4﹣x≤0,24﹣x﹣1≤0,此时f(x)＝|24﹣x﹣1|＝1﹣24﹣x＝1﹣16×,此时函数递增,当2＜x≤4时,4﹣x＞0,24﹣x﹣1＞0,此时f(x)＝|24﹣x﹣1|＝24﹣x﹣1＝16×﹣1,此时函数递减,所以函数的递减区间为(2,4],故选D.【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质.12.设函数21(0)()ln 2(0)a x y f x x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩,若()y f x =的图像上有四个不同的点A 、B 、C 、D 同时满足：①A 、B 、C 、D 、O (原点)五点共线；②共线的这条直线斜率为3-,则a 的取值范围是( )A.)+∞B.(4)-∞，C.(-∞-，D.(4)+∞，【参考答案】：A【试题解答】：由题过A 、B 、C 、D 、O 的直线y 3x =-,当x 0>时,记()2g ln 2x x x =-,则()241g'x x x-+=()g x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增,12∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递减,与y 3x =-有两个交点C 、D 。
2022年湖南省长沙市雅礼中学 高一数学文下学期期末试卷含解析
2022年湖南省长沙市雅礼中学高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】1、根据不等式的性质利用作差法即可得出答案。
2、取特殊值（即取一个具体的值），只需满足,即可排除ABC答案。
【详解】法一:根据不等式的性质得，A错误。
因为，又因为，所以错误。
因为，所以由基本不等式得（当且仅当时取等）C错误。
由前面可知A错误，因此，所以，D对法二：特殊值法：取，A答案（不对）。
B答案（不对）。
C.答案（不对），因此选择D。
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，比较两个数的大小常用的方法有作差法、作商法等。
做选择题常用方法：特殊值法，代入法等。
特殊值法能快速的解决本题。
2. 点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是（）A．B．2C．D．2参考答案：B【考点】点到直线的距离公式．【分析】过O作已知直线的垂线，垂足为P，此时|OP|最小，所以|OP|最小即为原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出即可．【解答】解：由题意可知：过O作已知直线的垂线，垂足为P，此时|OP|最小，则原点（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离d==2，即|OP|的最小值为2．故选B．3. 曲线y=1+与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个交点时，实数k取值范围是（）A．（，] B．（，）C．（，] D．（0，）参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先将曲线进行化简得到一个圆心是（0，1）的上半圆，直线y=k（x﹣2）+4表示过定点（2，4）的直线，利用直线与圆的位置关系可以求实数k的取值范围．【解答】解：因为曲线y=1+所以x2+（y﹣1）2=4，此时表示为圆心M（0，1），半径r=2的圆．因为x∈[﹣2，2]，y=1+≥1，所以表示为圆的上部分．直线y=k（x﹣2）+4表示过定点P（2，4）的直线，当直线与圆相切时，有圆心到直线kx﹣y+4﹣2k=0的距离d==2，解得k=．当直线经过点B（﹣2，1）时，直线PB的斜率为k=．所以要使直线与曲线有两个不同的公共点，则必有＜k≤．即实数k的取值范围是＜k≤．故选A．4. （5分）圆（x+2）2+y2=4与圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离参考答案：B考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心和半径，根据圆心距和半径之间的关系即可得到结论．解答：圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=9，圆心坐标为A（2，1），半径R=3，圆（x+2）2+y2=4的圆心坐标为B（﹣2，0），半径r=2，则圆心距离d=|AB|=，则R﹣r＜|AB|＜R+r，即两圆相交，故选：B 点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，求出两圆的圆心和半径，判断圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键．5. 如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是（）A、B、C、D、参考答案：A略6. 下列说法正确的是（）.A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面C．梯形一定是平面图形 D．过平面外一点只有一条直线与该平面平行参考答案：C7.参考答案：A8. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ( )（A）（B）（C）（D）参考答案：C9. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A． B． C． D．参考答案：A10. （5分）若函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4（﹣1≤x＜4）有两个零点，则m的取值范围是（）A．（0，9] B．（4，9）C．（0，4）D．参考答案：C考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=（x﹣2）2，（﹣1≤x＜4），与y=m有2个交点，画出图象求解即可．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4=（x﹣2）2﹣m，（﹣1≤x＜4），∴设g（x）=（x﹣2）2，（﹣1≤x＜4），∵函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4（﹣1≤x＜4）有两个零点，∴函数g（x）=（x﹣2）2，（﹣1≤x＜4），与y=m有2个交点，f（2）=0．f（﹣1）=9，f（4）=4，根据图象得出：m的取值范围是（0， 4）故选：C点评：本题考查了函数的零点与函数图象的交点关系，构造函数画出图象求解即可，难度不大，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在中，，则角的最小值是. 参考答案：12. 已知sinα=，α∈（，π），则sin2α的值为．参考答案：【考点】GS ：二倍角的正弦．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵sinα=，α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣， ∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）=．故答案为：．13. 函数的图象恒过定点，则点坐标为____________.参考答案：14. 函数f （x ）=x 2﹣4x+5，x∈[1，5]，则该函数值域为 ．参考答案：[1，10]【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据函数f （x ）的解析式，利用二次函数的性质求得函数的最值，从而求得函数的值域． 【解答】解：由于函数f （x ）=x 2﹣4x+5=（x ﹣2）2+1，x∈[1，5]， 则当x=2时，函数取得最小值为1，当x=5时，函数取得最大值为10， 故该函数值域为[1，10]， 故答案为[1，10]．15. 若实数，满足不等式组，则的最小值是 ．参考答案：略16. 下列四个命题： ①方程若有一个正实根，一个负实根，则；②函数是偶函数，但不是奇函数；③函数的值域是，则函数的值域为； ④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是．其中正确的有________________（写出所有正确命题的序号）．参考答案：①④17. 在锐角△ABC 中，若，则边长的取值范围是_________。
湖南省长沙市雅礼教育集团2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
12 12
6
2
2
12 12
所以是充分不必要条件，选 A.
【考点】 充要条件
【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若 p q ，则 p 是 q的充分条件，若 q p ， 则 p 是 q的必要条件，若 p q ，则 p 是 q的充要条件；从集合的角度看，若 A B ，
则 A 是 B 的充分条件，若 B A ，则 A 是 B 的必要条件，若 A B ，则 A 是 B 的充要
【详解】由题意 A x R | x2 16 0 x | 4 x 4 ，
B x R | log2x log23 x R | 0 x 3 ， 所以 A B x | 0 x 3 ．
故选：A．
3．A
【详解】| π | π 0 π sin 1 ，但 0,sin 1 ，不满足 | π | π ，
12
k
Z ，
即函数 f x 的对称轴方程为 x k k Z ，C 对；
2 12
对于 D 选项，由 2k 2x 2k k Z ，解得 k 5 x k k Z ，
6
12
12
所以，函数
f
x
的单调增区间
k
5 12
,
k
12
k
Z
，D
错.
故选：AC.
12．AC
【分析】作出 f x 的图像如图所示，B 可直接由图像或二次函数单调性判断；AC 零点及交
对于 B,b R ，二次函数 y x2 b 图象的对称轴为直线 x 0 ，即 y 轴，故 B 正确.
对于 C ，对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形可能为菱形，反之成立.故 C 错误.
对于 D ，令 a 2, b 3，则 a2 4,b2 9 a2 ，即充分性不成立，
湖南省长沙市雅礼中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥﹣1}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，1] B ．（﹣1，2）C ．∅D ．[﹣1，2]【答案】B【解析】直接利用交集的运算求解即可. 【详解】解:因为A ＝{x |﹣1＜x ＜2},B ＝{x |x ≥﹣1}, 所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜2}. 故选:B . 【点睛】本题考查了交集的运算,属基础题.2．圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的表面积为（ ） A ．π B ．3πC ．2πD ．4π【答案】D【解析】根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可. 【详解】解:因为圆柱的底面半径为1,高为1,所以圆柱的表面积221214S πππ=⨯+⨯⨯=. 故选:D . 【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.3．若点2)在直线l ：10ax y ++=上，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】C【解析】210,a ++=∴=直线方程为：10y ++=，据此可得，直线l 的倾斜角为60︒. 本题选择C 选项.4．已知函数f (x )＝1,0,0x x x a x -≤⎧⎨>⎩，若f (1)＝f (－1)，则实数a =A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据题意，由f (1)＝f (－1)可得a ＝1－(－1)＝2，故选:B5．已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥α B ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥α C ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥β D ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β 【答案】D【解析】在A 选项中，可能有n ⊂α，故A 错误； 在B 选项中，可能有n ⊂α，故B 错误； 在C 选项中，两平面有可能相交，故C 错误；在D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D 正确． 故选：D ．6．已知直线:20l kx y k -+-=过定点M ，点(),P x y 在直线210x y +-=上，则MP 的最小值是（ ）A ．BCD ．【答案】B【解析】令直线l 的参数k 的系数等于零，求得定点M 的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得MP 的最小值. 【详解】直线:20l kx y k -+-=，即()120k x y --+=，过定点()1,2M ， 点(),P x y 在直线210x y +-=上，12y x ∴=-，MP ∴==故当15x =-时，MP ，故选B. 【点睛】本题主要考查直线经过定点问題，两点间的距离公式的应用，二次函数的性质，属于中档题.7．设2()3xa =，13()2x b -=，23c log x =，若x ＞1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a【答案】B【解析】根据x ＞1,取x =2,则可以得到a ,b ,c 的具体值,然后比较大小即可. 【详解】解:由x ＞1,取x =2,则2()439x a ==,123()23x b -==,2233log log 20c x ==<,所以b a c >>. 故选:B . 【点睛】本题考查了指数和对数大小的比较,解题的关键是根据条件取特殊值,属基础题. 8．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与AC 所成角是（ ） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AC A C ， 所以11B AC ∠即为所求（或其补角）.连接1B C ，因为1111B C AC A B ==，所以11B 60AC ∠=︒. 故选C.9．设两条直线的方程分别为x +y ﹣a ＝0、x +y +b ＝0，已知a 、b 是关于x 的方程x 2+x +c ＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离是（ ）A ．4B C ．2D ．无法确定【答案】C【解析】根据条件,由韦达定理可得1a b +=-,然后利用平行线间的距离公式求出距离. 【详解】解:因为a 、b 是关于x 的方程x 2+x +c ＝0的两个实数根,所以1a b +=-,所以两直线间的距离2d ==.故选:C . 【点睛】本题考查了韦达定理和两平行直线间的距离,属基础题.10．已知函数22y x x =+在闭区间[,]a b 上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数对(,)a b 在坐标平面内所对应点组成的图形为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵y=x 2+2x=（x+1）2﹣1，∴可画出图象如图1所示．；由x 2+2x=3，解得x=﹣3或x=1；又当x=﹣1时，（﹣1）2﹣2=﹣1．①当a=﹣3时，b 必须满足﹣1≤b≤1，可得点（a ，b ）在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|AB|=1﹣（﹣1）=2；②当﹣3＜a≤﹣1时，b 必须满足b=1，可得点（a ，b ）在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|BC|=（﹣1）﹣（﹣3）=2． 如图2所示：图2；故选：C．点睛：本题考查了二次函数在给定区间上的值域问题，值域是确定的，而定义域是变动的，解题关键是分辨清楚最大值是在左端点取到还是在右端点取到，问题就迎刃而解了. 11．已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠2}，且y=f（x+2）是偶函数，当x＜2时，f（x）=|2x﹣1|，那么当x＞2时，函数f（x）的递减区间是（）A．（3，5）B．（3，+∞）C．（2，+∞）D．（2，4]【答案】D【解析】试题分析：根据函数的奇偶性，推导出函数的对称性，再由题意和对称性求出函数的解析式，根据指数函数的图象画出函数大致的图形，可得到函数的减区间．解：∵y=f（x+2）是偶函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2），则函数f（x）关于x=2对称，则f（x）=f（4﹣x）．若x＞2，则4﹣x＜2，∵当x＜2时，f（x）=|2x﹣1|，∴当x＞2时，f（x）=f（4﹣x）=|24﹣x﹣1|，则当x≥4时，4﹣x≤0，24﹣x﹣1≤0，此时f（x）=|24﹣x﹣1|=1﹣24﹣x=1﹣16×，此时函数递增，当2＜x≤4时，4﹣x＞0，24﹣x﹣1＞0，此时f（x）=|24﹣x﹣1|=24﹣x﹣1=16×﹣1，此时函数递减，所以函数的递减区间为（2，4]，故选D．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质．12．设函数21(0)()ln 2(0)a x y f x xx x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，若()y f x =的图像上有四个不同的点A 、B 、C 、D 同时满足：①A 、B 、C 、D 、O （原点）五点共线；②共线的这条直线斜率为3-，则a 的取值范围是（ ） A．)+∞ B ．(4)-∞，C．(-∞-，D ．(4)+∞，【答案】A【解析】由题过A 、B 、C 、D 、O 的直线y 3x =-，当x 0>时，记()2g ln 2x x x =-，则()241g'x x x-+=()g x 在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，12∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递减，与y 3x =-有两个交点C 、D 。
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x＜2}，B＝{0，1}，则下列判断正确的是（）A．B∈A B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A2．已知x＞0，则对于2﹣3x﹣，说法正确的是（）A．有最小值2+4B．有最小值2﹣4C．有最大值2+4D．有最大值2﹣43．已知＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．D．104．已知a＝log0.33，b＝log0.34，c＝30.3，那么（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．为了得到函数y＝cos，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y＝cos x，x∈R上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变6．随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分．如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是（）A．这9年我国快递业务量有增有减B．这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C．这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D．这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件7．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为（）A．相交但不垂直B．垂直但不相交C．不相交也不垂直D．无法判断8．若直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α≤B．＜α＜πC．≤α＜D．＜α≤二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，则a的取值可以是（）A．﹣1B．1C．2D．510．已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的定义域为RB．函数f（x）在R上为增函数C．函数f（x）的值域为（﹣3，+∞）D．函数f（x）只有一个零点11．设z为复数，在复平面内z、对应的点分别为P、Q，坐标原点为O，则下列命题中正确的有（）A．当z为纯虚数时，P，O，Q三点共线B．当z＝1+i时，△POQ为等腰直角三角形C．对任意复数z，D．当z为实数时，12．如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，下列命题中真命题是（）A．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交B．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直C．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交D．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，，则tan2α＝．14．已知两点A（1，﹣2），B（5，0），则线段AB的垂直平分线方程为．15．甲、乙两位同学进行羽毛球赛，采取三局两胜制．设甲每一局获胜的概率为，乙每一局获胜的概率为，且甲已获得第一局胜利．求甲获得最终比赛胜利的概率为．16．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，△SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，则该三棱锥外接球的表面积为．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g （x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．18．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，f（A）＝，a＝，b＝2c，求c．19．某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查．（1）求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率．20．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°．求：（1）AC1的长；（2）直线BD1与AC所成角的余弦值．21．已知直线l：（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．（2）为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝PD ＝PA＝AD＝AB＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x＜2}，B＝{0，1}，则下列判断正确的是（）A．B∈A B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B集合的元素都在集合A中，∴B⊆A．故选：D．2．已知x＞0，则对于2﹣3x﹣，说法正确的是（）A．有最小值2+4B．有最小值2﹣4C．有最大值2+4D．有最大值2﹣4解：2﹣3x﹣＝2﹣（3x+），x＞0，3x+≥＝4．当且仅当3x2＝4，即x ＝是取等号．∴2﹣3x﹣＝2﹣（3x+）≤2﹣4．故选：D．3．已知＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．D．10解：∵，∴，解得x＝2，∵，∴﹣4﹣2y＝0，解得y＝﹣2，∴，，∴．故选：A．4．已知a＝log0.33，b＝log0.34，c＝30.3，那么（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a解：∵log0.34＜log0.33＜log0.31＝0，30.3＞0，∴b＜a＜c．故选：C．5．为了得到函数y＝cos，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y＝cos x，x∈R上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变解：将函数y＝cos x图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos x的图象．故选：A．6．随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分．如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是（）A．这9年我国快递业务量有增有减B．这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C．这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D．这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件解：由条形图可得，这9年我国快递业务量逐年增加，故A错误；将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得：25.3%，26.6%，28.0%，30.5%，48.0%，51.4%，51.9%，54.8%，61.6%，故中位数为第五个数48.0%，故B错误；这9年我国快递业务量同比增速的极差为61.6%﹣25.3%＝36.3%＞36%，故C错误；由条形图可得，自2016年起，各年的快递业务量远超过210亿件，故快递业务量的平均数超过210亿件，故D正确．故选：D．7．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为（）A．相交但不垂直B．垂直但不相交C．不相交也不垂直D．无法判断解：如图，作AO⊥平面BCD，垂足为O，可得AO⊥CD，又AB⊥CD，则CD⊥平面ABO，所以BO⊥CD，同理可证DO⊥BC，所以O为△BCD的垂心，所以OC⊥BD，又OA⊥BD，OA∩OC＝O，所以BD⊥平面ACO，故BD⊥AC．故选：B．8．若直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α≤B．＜α＜πC．≤α＜D．＜α≤解：根据题意，直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2），则直线l的斜率k＝＝1+m2，又由m∈R，则k＝1+m2≥1，则有tanα＝k≥1，又由0≤α＜π，则≤α＜；故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，则a的取值可以是（）A．﹣1B．1C．2D．5解：∵三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点．而直线x+y＝0和x﹣y＝0交于原点，无论a为何值，直线x+ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay＝3与另两条直线不平行，所以，a≠±1，故选：CD．10．已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的定义域为RB．函数f（x）在R上为增函数C．函数f（x）的值域为（﹣3，+∞）D．函数f（x）只有一个零点解：选项A：由已知可得函数定义域为R，故A正确；选项B：当x＜1时，函数f（x）为增函数，当x≥1时，函数为增函数，且41﹣3＝1＞ln1＝0，所以函数在R上不单调，故B错误；选项C：当x＜1时，﹣3＜f（x）＜1，当x≥1时，f（x）≥0，所以函数的值域为（﹣3，+∞），故C正确；选项D：当x＜1时，令4x﹣3＝0，解得x＝log43，当x≥1时，令lnx＝0，解得x＝1，故函数有两个零点，故D错误，故选：AC．11．设z为复数，在复平面内z、对应的点分别为P、Q，坐标原点为O，则下列命题中正确的有（）A．当z为纯虚数时，P，O，Q三点共线B．当z＝1+i时，△POQ为等腰直角三角形C．对任意复数z，D．当z为实数时，解：对于A，当z为纯虚数时，设z＝bi（b∈R且b≠0），则P（0，b），O（0，0），Q（0，﹣b），三点共线，故A正确；对于B，当z＝1+i时，，则P（1，1），Q（1，﹣1），|OP|＝|OQ|，且，则△POQ为等腰直角三角形，故B正确；对于C，取z＝1，则，有，故C错误；对于D，当z为实数时，，则，故D正确．故选：ABD．12．如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，下列命题中真命题是（）A．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交B．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直C．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交D．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行解：直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取C1C的中点N，则MN∥AB，且MN＝AB，设BN与B1C1交于H，则点A、B、M、N、H共面，直线HM必与AB直线相交于某点O．所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故A正确．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故B正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故C不正确．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，，则tan2α＝．解：∵，，∴cosα＝﹣，∴tanα＝．则tan2α＝＝．故答案为：﹣．14．已知两点A（1，﹣2），B（5，0），则线段AB的垂直平分线方程为2x+y﹣5＝0．解：经过两点A（1，﹣2），B（5，0）的直线的斜率为＝，中点为（3，﹣1），则线段AB的垂直平分线的斜率为﹣2，故线段AB的垂直平分线方程为y+1＝﹣2（x﹣3），即2x+y﹣5＝0，故答案为：2x+y﹣5＝0．15．甲、乙两位同学进行羽毛球赛，采取三局两胜制．设甲每一局获胜的概率为，乙每一局获胜的概率为，且甲已获得第一局胜利．求甲获得最终比赛胜利的概率为．解：直接法：分成甲胜第二局直接取胜和乙胜第二局甲胜第三局两种情况．甲胜第二局概率为：，乙胜第二局甲胜第三局概率为：＝，∴甲获胜概率为：＝．间接法：乙获胜概率为＝，所以甲获胜概率为：1﹣＝．故答案为：．16．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，△SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，则该三棱锥外接球的表面积为．解：如图，取AB中点G，则G为三角形SAB的外心，取等边三角形ABC的外心O，则OG⊥平面SAB，又二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，即平面SAB⊥平面ABC，且平面SAB∩平面ABC＝AB，∴OG⊥平面SAB，则OC＝OA＝OB＝OS，故O为三棱锥S﹣ABC的外接球的球心，则外接球的半径R＝OC＝，则该三棱锥外接球的表面积为4π×＝．故答案为：．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g （x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．解：由题意可得：（1）；（2）由（1）可得：当0≤x≤10时，f（x）＝﹣2（x﹣8）2+23．当x＝8时，f（x）max＝f（8）＝23；当x＞10时，f（x）＝30﹣x为减函数，则f（x）＜20．∴当x＝8时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大．最大利润为：w＝23×10＝230（万元）．18．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，f（A）＝，a＝，b＝2c，求c．解：（I）f（x）＝，＝﹣cos x，＝sin（x﹣），故函数的最大值为1；（II）由f（A）＝sin（A﹣）＝且A为三角形内角，则A＝，因为a＝，b＝2c，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc，即3＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝1．19．某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查．（1）求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率．解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.020+0.050+0.070+a+a）×5＝1，解得a＝0.03．∴估算这100位学生学习的平均时长为：3.5×0.020×5+8.5×0.050×5+13.5×0.070×5+18.5×0.030×5+23.5×0.030×5＝13.5（小时）．（2）从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，学习时长在[6，11）的学生中抽取：8×＝5位，学习时长在[21，26）的学生中抽取：8×＝3位，从这8位学生中随机抽取2位家访，基本事件总数n＝＝28，这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m＝＝15．∴这2位学生来自不同组别的概率P＝＝．20．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°．求：（1）AC1的长；（2）直线BD1与AC所成角的余弦值．解：（1）∵，∴＝+＝22+12+12+2×1×2×cos120°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°＝2，∴；（2）∵，∴＝12+12+0＝2，∴，∵，∴＝+＝22+12+12+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°＝6，∴，∴＝﹣2．∴＝．∴直线BD1与AC所成角的余弦值为．21．已知直线l：（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．（2）为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．解：（1）直线l方程可整理为：a（3x﹣y）+（﹣x+2y﹣1）＝0，联立，解得，∴直线恒过定点（，）；（2）∵（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1，当a＝2时，x＝，满足题意，当a≠2时，∴y＝x﹣，∵直线不经过第二象限，∴，解得a＞2．∴实数a的取值范围是[2，+∞）；（3）由题意可知直线的斜率k＝＜0，解得＜a＜2，令y＝0可得x＝，令x＝0可得y＝．∴S△＝•|•|＝||，对于函数y＝3a2﹣7a+2其对称轴为a＝，当a＝时，此时函数y取最小值，且为负数，为﹣所以函数y＝|3a2﹣7a+2|的范围为（0，]，∴S的面积有最小值，当a＝时取最小值．此时l的方程为：5y+15x﹣6＝0．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝PD ＝PA＝AD＝AB＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．【解答】（1）证明：取PB的中点E，PA的中点F，连接DF，EF，EC，所以EF∥AB，AB＝2EF，又因为AB∥CD，AB＝2CD，则EF∥CD，且EF＝CD，故四边形EFDC为平行四边形，所以CE∥DF，因为平面PDA⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，又因为AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，又DF⊂平面PAD，所以AB⊥DF，因为PD＝PA，F为PA的中点，所以DF⊥AP，因为CE∥DF，所以CE⊥AB，CE⊥AP，又AP∩AB＝A，AB⊂平面PAB，所以CE⊥平面PAB，又因为CE⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．（2）解：取AD的中点O，取BC的中点G，以点O为坐标原地，建立如空间直角坐标系图所示，则O（0，0，0），，所以，，设平面PCB的法向量为，则，即，令，则x＝1，y＝﹣1，故，设平面PCD的法向量为，则，即，令，则x＝3，故，设二面角D﹣PC﹣B的大小为θ，所以|cosθ|＝＝，则，故二面角D﹣PC﹣B的正弦值为．。
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一(下)期末数学试卷(含解析)
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M ＝{x |﹣4＜x ＜2}，N ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，则M ∩N ＝（ ）A ．{x |﹣4＜x ＜3}B ．{x |﹣4＜x ＜﹣2}C ．{x |﹣2＜x ＜2}D ．{x |2＜x ＜3}2．（5分）设复数z 满足（1+2i ）•z ＝5i （i 是虚数单位），则z =（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2﹣iD ．﹣2+i3．（5分）在△ABC 中，“A ＜30°”是“sinA ＜12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．235．（5分）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）A ．f （x ）＝sin x B ．f （x ）＝2|x |C ．f （x ）＝x 3+xD ．f(x)=12(e ―x―e x )6．（5分）已知平面向量→a =(1，3)，|→b |=2，且|→a ―→b |=10，则(2→a +→b )⋅(→a ―→b )=（ ）A ．1B ．14C ．14D ．107．（5分）若cos(π6―α)=35，则sin(2α+π6)=（ ）A ．-2425B ．-725C ．725D ．24258．（5分）把边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角D ﹣AC ﹣B ，则三棱锥D ﹣ABC 的外接球的球心到平面BCD 的距离为（ ）A ．33B ．22C ．63D ．12二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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雅礼中学高一年级期末测试
数学试卷
一，选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设集合{}{}
3213=M m Z m N n Z n =∈-∈-≤≤＜＜，，则=M N ⋂
A. {}0,1
B . {}1,0,1-
C . {}0,1,2
D . {}1,0,1,2-
答案：【B 】 2. 函数()21
log 3y x x
=
++的定义域是 A. R
B .()3,-+∞
C . (),3-∞-
D . ()()
3,00,-⋃+∞
答案：【D 】
3. 设11,1,,32
a ⎧
⎫∈-⎨⎬⎩
⎭
，则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为
A. 1, 3
B. -1, 1
C. -1, 3
D. -1, 1, 3
答案：【A 】
4. 若2
23
2,,log ,3x
a b x c x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则1x ＞时，,,a b c 的大小关系是
A. a b c ＜＜ B .c b a ＜＜ C . c a b ＜＜ D . a c b ＜＜
答案：【C 】
5. 一个几何体的三视图如图所示，那该几何体的体积为
A.
16123
+π
B .32123
+π
正视图
侧视图
C . 168π+
D . 328π+
答案：【A 】
6. 若函数()y f x =是函数()01x
y a
a a =≠＞
且的反函数，且()y f x =
的图像经过点)
a ，则()f x =
A. 2log x B .2log x - C .
12
x D . 2
x 答案：【B 】
7. 丙申猴年春节马上就要到来，长沙某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商
场规定：
①如一次性购物不超过200元，不予以折扣；②如一次性购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次性购物超过500元，其中500元予以九折优惠，超过500元的部分予以八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款
A. 608元 B .574.1元
C . 582.6元
D . 456.8元
答案：【C 】
8. 直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是
A. 210x y +-= B .210x y +-=
C . 230x y +-=
D . 230x y +-=
答案：【D 】
9. 函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间
A. 11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭
B .11,42⎛⎫
⎪⎝⎭ C . 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D . ()
1,2
俯视图
答案：【C 】
10. 在三棱锥S ABC -中，,AB AC SB SC ==,则直线SA 与BC 所成角的大小为
A. 90o
B .60o
C . 45o
D . 30o
答案：【A 】
11. 设()f x 是定义在R 上且图象为连续不断的偶函数，且当0x ＞时，()f x 是单调函数，
则满足()34x f x f x -⎛⎫
=
⎪+⎝⎭
的所有实数x 之和为 A. 5-
B .2-
C . 3-
D . 8-
答案：【A 】
12. 定义在R 上的函数，对于任意实数x ，都有()()33f x f x +≤+，且
()()22f x f x +≥+，且()12f =，则()2016f 的值为
A. 2014 B .2015
C . 2016
D . 2017
答案：【C 】
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且共同顶点上的三条棱的长分别是1,2,3，
则此球的表面积为_________. 答案：【14π】
14. 在矩形ABCD 中，AB 边所在的直线方程为360x y --=，点()1,1T -在AD 边所在直线
上.则AD 边所在直线方程为__________________. 答案：【320x y ++=】
15. 湖南某县计划十年时间产值翻两番（4倍），则产值平均每年增长的百分率为_________.
（参考数据：0.0602
lg 20.3010,10 1.149,lg11.49 1.0602===）
答案：【14.9%】
16. 已知函数()3log f x x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,t ，用含t 的表达式表示b a -的
最大值记为()M t ，最小值记为()N t ，设()()()g t M t N t =-. （1） 若t =1,则()1M =________.
（2） 当12t ≤≤时，()()2
151
g t g t +⎡⎤⎣⎦+的取值范围为___________.
答案：【879;6,39⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
】 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤.）
17. （本小题满分10分）
已知函数()f x 的定义域为{}0,x x x R ≠∈的奇函数，且当0x ＞时，()12x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（1） 求函数()f x 的解析式/
（2） 画出函数的图象，根据图象写出()f x 的单调区间.
解：（1）由题意得：()00f =；当0x ＜时，0x -＞；()()2x
f x f x =--=-
所以，函数解析式为()f x = ()
()
()
2000102=x x
x x x -⎛⎫
⎪⎝⎭
＜＞
（2）函数图象如下图所示，单调递减区间为()(),0,0,-∞+∞
18. （本小题满分12分）
已知两直线：()12:40,:10l ax by l a x y b -+=-++=
（1） 当2a =且直线1l 与直线2l 平行时，求直线1l 与直线2l 的距离. （2） 直线1l 过点()3,1--，并且直线1l 与直线2l 垂直，求a,b 的值. 解：（1）12:240,:0l x by l x y b -+=++=，又12l l P ，2b =-
直线1l 与直线2l
的距离d =（2）由已知条件得：(){
340
1a b a a b
-++=-=即2
440,a a -+=求得：2,2a b ==
19. （本小题满分12分）
如图，三棱锥S ABC -中，底面ABC
的正三角形. ,SA SC a D ==为AC 的中点.
（1） 求证：AC ⊥平面SBD
（2）若二面角S AC B --的大小为90o
， 求二面角S BC A --的正切值.
解：（1）SA SC AC SD =∴⊥Q
∵底面ABC 是正三角形 ∴BA BC = AC BD ⊥
,SD BD Q 为面SBD 内两相交线
∴AC ⊥平面SBD
A
B
C
D
S
H
（2） 作DH BC ⊥交BC 于H ，连接SH .
由（1）可知，二面角S AC B --的平面角为90SDB ∠=o
SD ∴⊥平面ABC SD BC ⊥
又BC DH ⊥
BC SDH ∴⊥平面 BC SH ∴⊥
∴二面角S BC A --的平面角为SHD ∠
可求得：,2
SD SB =
=
利用三角形面积相等，可得：4
SH a =
∴tan /2SHD ∠=
=。