变形体的虚功原理
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静力结构的位移计算——变形体虚功原理及位移计算的一般表达式
FNK cos
A
FP
B
R
ds Rd
BM
FR R3 2EI
()
FP=1
R
A
BQ
kFP R 2GA
()
BN
FP R 2EA
()
例4： 自学167页例5—3。 例 5 ：自学171页例5—5。
小结：
位移计算的一般公式：
K (F NK* F QK* M K* )ds RK*R
GA
4GA
对于截面为矩形
CQ 3.2( h )2
CM
L
结论：对于浅梁可忽略剪切变形作用;
对于深梁和短梁，不可忽略剪切变形作用。
例 3：求图示结构B点水平位移，EI、GA、EA为常数
M P FP R sin
FQP FP cos
FNP FP sin
M K R(1 cos)
FQK sin
(b)
线弹性材料在荷载作用下的位移计算公式：
K
(
FNP F NK *
kFQP F NK *
MPM
* K
)ds
EA
GA
EI
(c)
具体结构的简化公式：
*
1、桁架
K
FNP FNK L EA
2、梁和刚架
K
M P M K* ds EI
3、组合结构 4、拱
K 梁
*
M P M K ds
*
F NP FNK L
第五章 静定结构的位移计算
§5-3 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式 一、变形体虚功原理
位移协调状态
FP FRCR (M FQ 0 FN )ds
平衡状态 变形体虚功原理只需要满足平衡条件、位移连续条件， 而与材料特性无关。 对于刚体，由于变形等于零，内力在刚体上不做 功 ，所以，刚体虚功原理是变形体虚功原理的特例。
关于变形体虚功原理
未知力数 > 有效平衡方程数
内力不可求
二者之差 —— 静不定度
多余未知力
多余约束
• 与静定问题的根本区别 • 求解的关键
外部 三
内部 种
混合
类 型
静不定问题类型
仅在结构外部存在多余约束 －外力静不定结构
仅在结构内部存在多余约束 －内力静不定结构
在结构内外部均存在多余约束 －混合型静不定结构
几度静不定？
力法求解思路 解除多余约束
多余约束力 相当系统 原有外载荷
静不定 结构
静定结构 基本系统
受力、变形与 原结构相当的
静定结构
结构的应力、位移
多余约束力
计算多余约 束处的位移
利用基本系统 静定分析
静不定 问题得解
力法要点
力法求解步骤
判断静不定度与问题所属类型 选择与解除多余约束，建立相当系统 建立补充方程（找位移边界条件或变形协调条件） 由补充方程确定多余未知力 利用基本系统计算原结构位移等
Pd
P
Dst
Dd
P1
v
EA gPl
d
Pd A
P A
1
v
EA gPl
§1 引 言
静不定问题概念 静不定度判断
静不定问题概念
静定问题 未知力数＝有效平衡方程数
可求内力
静不定问题 （Statically Indeterminate）
单位载荷法
D l F N( x)d T ( x)d M y( x)dy M z ( x)dz
D －广义位移，施加相应单位广义载荷
有限元方法及应用04_弹性力学
ae Aβ
3. 以单元结点位移ae表示单元位移函数u，得到单元插值函数矩阵N。
u ΦA1ae Na
4. 以单元结点位移ae表示单元应变ε，并得到应变矩阵B
ε Lu Bae
sdustzhu
弹性力学问题有限元分析的执行步骤
(1)对结构进行离散。按问题的几何特点和精度等因素划分单元 并形成网格，即将对原来的连续体离散为在结点处相互联结的有限
➢ 虚应力原理
几何方程：
ij
Байду номын сангаас
1 2
ui, j u j,i
位移边界条件： ui ui
等效积分：V ij
ij
1 2
ui, j u j,i
dV
Su Ti ui ui dS 0
分部积分：
V ijij uiij, j dV S ijnjuidS Su Ti ui ui dS 0
分弱形式。
sdustzhu
➢ 虚位移原理
平衡方程：
ij, j fi 0
力的边界条件： ijnj Ti 0
(在V内) (在Sσ上)
等效积分： V ui (ij, j fi )dV S ui (ijnj Ti )dS 0
V uiij, jdV
V ( ui ij ), j dV
sdustzhu
线弹性力学的变分原理
➢ 最小位能原理
从虚位移原理出发，代入弹性力学的本构方程得：
V ij Dijklkl ui fi dV S uiTidS 0
利用单位体积应变能公式得：
ij
Di jkl kl
1 2
Dijkl ij kl
U
mn
在线弹性力学中，假定体积力和边界上面力的大小和 方向都是不变的，则有：
3. 以单元结点位移ae表示单元位移函数u，得到单元插值函数矩阵N。
u ΦA1ae Na
4. 以单元结点位移ae表示单元应变ε，并得到应变矩阵B
ε Lu Bae
sdustzhu
弹性力学问题有限元分析的执行步骤
(1)对结构进行离散。按问题的几何特点和精度等因素划分单元 并形成网格，即将对原来的连续体离散为在结点处相互联结的有限
➢ 虚应力原理
几何方程：
ij
Байду номын сангаас
1 2
ui, j u j,i
位移边界条件： ui ui
等效积分：V ij
ij
1 2
ui, j u j,i
dV
Su Ti ui ui dS 0
分部积分：
V ijij uiij, j dV S ijnjuidS Su Ti ui ui dS 0
分弱形式。
sdustzhu
➢ 虚位移原理
平衡方程：
ij, j fi 0
力的边界条件： ijnj Ti 0
(在V内) (在Sσ上)
等效积分： V ui (ij, j fi )dV S ui (ijnj Ti )dS 0
V uiij, jdV
V ( ui ij ), j dV
sdustzhu
线弹性力学的变分原理
➢ 最小位能原理
从虚位移原理出发，代入弹性力学的本构方程得：
V ij Dijklkl ui fi dV S uiTidS 0
利用单位体积应变能公式得：
ij
Di jkl kl
1 2
Dijkl ij kl
U
mn
在线弹性力学中，假定体积力和边界上面力的大小和 方向都是不变的，则有：
4.1虚功原理
刚体虚功原理
刚体(体系)在外力作用下平衡的 充分必要条件:对于任何虚位移,
外力虚功总和=0
刚体虚功原理
虚设位移,求未知力 虚设力,求未知位移 虚力原理 单位力法
虚位移原理 单位位移法
虚位移原理
虚力原理 虚力方程: 形式上是功的方程. 实质是几何方程. 计算手段: 通过力的平衡关系 求解未知位移
c
1
Md
Ndu
Q ds R C
c
变形体系位移计算的一般公式:
Md
Ndu
Q ds R C
c
一般性:
不受结构类型限制:各类结构 不受引起位移因素限制:人为因素，自然因素
不受结构材料类型限制:石；砖；木；砼；塑料等
Qds
变形体虚功原理（变形体虚功方程）
dW Md
b
Ndu
Qds
Qds
We
Md
Ndu
平面杆系结构的虚功方程
四、 变形体系虚功原理的应用(单位荷载法)
R C 1 Md Ndu Q ds
dT dWb
一根杆虚功:
全部杆虚功:
dT
dWb
反映的是力 的平衡条件!
简写为:
T Wb (2)
比较(1)、（2）两式，则得：
We Wb
变形体虚功原理
变形体虚功原理成立的条件
力状态是平衡的。
位移状态：微小、连 续、约束允许的。
三、内力变形虚功的计算
ds d ds du ds
第三章思考题答案
kij ≡ −δ ji
17．为使图示多跨静定梁 D 截面两侧截面产生 ∆θ 的相对转角，需在 D 处施加一对多 大的力偶 M（如图 a） ？已知 EI ＝ 常数，弹簧刚度 k = 3EI l 3 。
∆θ
答：解法一： 有弹性支座的位移计算公式为：
∆
=
∑∫
MPM EI
dx
+
∑
FRk Fk k
因此，除作单位和荷载 M 图外，还需求出弹性支座由荷载与单位广义力引起的反力。
刚架，忽略轴向和剪切变形对位移的贡献，其误差小于２％～千分之３。
9．如下图乘结果是否正确？为什么？
答：三个结论都是不对的。原因为（a） yi 应该是面积 Ai 形心对应的直线图形坐标， 不应该是分割图形的对应坐标。（b）M 是折线图形，图乘条件必须有一个是直线图形。（c） 二次抛物线 hl 3 的面积公式必须是标准抛物线，也即顶点处图形切线必须与基线（轴线）
11．图乘法求位移时应注意避免哪些易犯的错误？ 答：有如下一些情况应注意避免： １）求面积范围内所对应的取纵坐标图形是折线而非一条直线。例如：
２）非标准抛物线图形没有分解。例如：
8
３）梯形图形相乘时，取坐标图形不能因求面积时分割而只取分割部分坐标。例如：
４）各杆件刚度不同时，没有考虑各杆件应该用其对应的刚度。或者遗漏分母刚度项。
应的虚曲率、虚轴向线应变和虚切应变，ds 为微段长度，ck 为 k 支座的已知位移，FRk 为与 已知位移 ck 对应的单位广义力引起的反力。
5．试说明荷载下位移计算公式的适用条件、各项的物理意义。 答：荷载作用下的位移计算公式一般适用于一切线弹性结构的荷载位移计算，因为这
里荷载引起的应变量是用材料力学公式计算的。式中 M、FN、FQ 分别为单位广义力状态所 引起的杆件弯矩、轴力和剪力， M P 、 FNP 、 FQP 分别为荷载所引起对应的杆件弯矩、轴力
17．为使图示多跨静定梁 D 截面两侧截面产生 ∆θ 的相对转角，需在 D 处施加一对多 大的力偶 M（如图 a） ？已知 EI ＝ 常数，弹簧刚度 k = 3EI l 3 。
∆θ
答：解法一： 有弹性支座的位移计算公式为：
∆
=
∑∫
MPM EI
dx
+
∑
FRk Fk k
因此，除作单位和荷载 M 图外，还需求出弹性支座由荷载与单位广义力引起的反力。
刚架，忽略轴向和剪切变形对位移的贡献，其误差小于２％～千分之３。
9．如下图乘结果是否正确？为什么？
答：三个结论都是不对的。原因为（a） yi 应该是面积 Ai 形心对应的直线图形坐标， 不应该是分割图形的对应坐标。（b）M 是折线图形，图乘条件必须有一个是直线图形。（c） 二次抛物线 hl 3 的面积公式必须是标准抛物线，也即顶点处图形切线必须与基线（轴线）
11．图乘法求位移时应注意避免哪些易犯的错误？ 答：有如下一些情况应注意避免： １）求面积范围内所对应的取纵坐标图形是折线而非一条直线。例如：
２）非标准抛物线图形没有分解。例如：
8
３）梯形图形相乘时，取坐标图形不能因求面积时分割而只取分割部分坐标。例如：
４）各杆件刚度不同时，没有考虑各杆件应该用其对应的刚度。或者遗漏分母刚度项。
应的虚曲率、虚轴向线应变和虚切应变，ds 为微段长度，ck 为 k 支座的已知位移，FRk 为与 已知位移 ck 对应的单位广义力引起的反力。
5．试说明荷载下位移计算公式的适用条件、各项的物理意义。 答：荷载作用下的位移计算公式一般适用于一切线弹性结构的荷载位移计算，因为这
里荷载引起的应变量是用材料力学公式计算的。式中 M、FN、FQ 分别为单位广义力状态所 引起的杆件弯矩、轴力和剪力， M P 、 FNP 、 FQP 分别为荷载所引起对应的杆件弯矩、轴力
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(温度位移、虚功、互等)
温度改变时的位移计算
结构位移计算的一般公式
普遍性
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK·cK
⑵ 变形因素：荷载、温度改变或支座移动引起的位移；
温度改变的位移计算公式
应用背景
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14:26
LOGO
温度改变时的位移计算
温度改变的位移计算公式
基本假设
FQ FN
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
• 集M M 0 0
M
FQ FN
M
Page 22
q
FQ+ dFQ
p
FN+ dFN
O
x
M+ dM dx
y
dx
M0 O
Fx
Fy y
FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN x
M+ ΔM
14:26
D 1
α=1×10-5，求D点的竖向位移ΔDV。
2m 2m
解：⑴ 在D点作用一向上的单位力F=1，
4m
作弯矩图 M 和轴力图 F N；
⑵ 由于各杆 α，t0，Δt，h 相同，
故可先计算
+1
1
M ds
1 2
4
4
4
4
24(m2
)
M
FN
F Nds 1 2 1 4 2(m)
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14:26
LOGO
结构力学I
第五章 虚功原理与 结构位移计算
2021年4月15日
LOGO
3-12(g)
指出弯矩图错误并改正；
作业点评
变形体的虚功原理
变形体的虚功原理变形体是工程力学中的重要概念，它指的是在受力作用下形状或尺寸发生变化的物体。
在研究变形体的力学特性时，虚功原理是一种常用的分析方法。
虚功原理是指，在变形体受力作用下，通过引入虚位移，将受力和虚位移的乘积对整个系统进行求和，从而得到系统的平衡方程。
本文将详细介绍变形体的虚功原理及其应用。
首先，我们来了解一下虚功原理的基本概念。
虚功原理是基于能量守恒定律的，它认为在平衡状态下，外力对系统所做的虚功等于内力所做的实功。
虚功原理的应用需要引入虚位移，虚位移是指在系统受力作用下，假设系统中的某一部分发生微小位移，而其他部分不发生位移。
通过引入虚位移，我们可以得到系统的平衡方程，从而分析系统的受力情况。
在实际工程中，虚功原理常常用于分析结构体系的受力情况。
以梁结构为例，当外力作用于梁上时，梁会产生弯曲变形。
通过引入虚位移，我们可以得到梁的弯曲方程，进而分析梁的受力情况。
虚功原理的应用不仅可以简化受力分析的过程，还可以得到更为准确的结果。
除了在静力学中的应用，虚功原理在弹性力学、材料力学等领域也有着重要的应用。
在弹性力学中，虚功原理可以用于分析材料的应力-应变关系，从而得到材料的力学性能参数。
在材料力学中，虚功原理可以用于分析材料的变形情况，进而指导工程设计和材料选择。
总之，虚功原理是工程力学中的重要分析方法，它通过引入虚位移，得到系统的平衡方程，从而分析系统的受力情况。
虚功原理不仅在静力学中有着重要的应用，还在弹性力学、材料力学等领域发挥着重要作用。
掌握虚功原理的基本原理和应用方法，对于工程力学的学习和工程实践都具有重要意义。
希望本文能够帮助读者更好地理解变形体的虚功原理，同时也希望读者能够在工程实践中灵活运用虚功原理，为工程设计和分析提供有力的支持。
04-课件：6.2 虚功原理
原理
原理
力系平衡 位移相容
实 虚
实
虚位移原理
虚 虚力原理
u 变形体体系的虚功原理适用于所有变形体体系（二维板壳结构
和三维块体）
u 实际或虚设的力状态（内外力） 均应满足的静力平衡条件。
u 杆件结构的每一个杆件的位移状态 （实际或虚设）均应满足：①任一 微段满足应变～位移关系；②边界 位移满足约束边界条件。
Ø3、虚功原理的两种应用
虚位移原理
对于给定的力状态（实力状态）， 另虚设一个位移状态（虚位移状 态），利用虚功方程来求解力状态
中的未知力
虚力原理
对于给定的位移状态（实位移 状态），另虚设一个力状态 （虚力状态），利用虚功方程 来求解位移状态中的位移
Ø4、变形体系虚功原理的几点说明
功 能 力与位移无关 虚功
u单位位移法
总结利用刚体体系的虚位移原理求解静定结构的支反力 和内力的求解步骤：单位位移法
①取实际力状态 ：撤除与待求力相应约束，用约束力X 代替
②取虚位移状态：沿X正方向产生单位位移X=1；与荷载 F处对应位移记为P(由几何关系求得)
③列虚功方程：X.1+(F.P)=0 ④ X=-F.P
例3：一伸臂梁，支座A向下移动距离c1，求C点的竖向位移△。
A
c1
a
A
F RA F. b a
A
F RA b a
c
B
C
实位移状态
b
F
B
C
虚力状态
F 1
B
C
说明：①实位移状态：给 定的实际状态
②虚力状态：沿所求位移 方向假设一外力
③虚功方程：
F.
FR .c1
0
结构力学第七章虚功原理和结构的位移计算
而这里（b）中的W变仅指所有微段上内力在截面的变形 位移上所做虚功的总和。
1) 变形虚功W变
由于微段上弯矩、轴力和剪力的增量dM、dFN和dFQ以及分布 荷载q 在这些变形上所做虚功为高阶微量而可略去，因此微段 上各力在其变形上所做的虚功为 dW变= Mdθ+ FNdu + FQdv （6-6）
假如此微段上还有集中荷载或力偶荷载作用，可以认为它们作 用在截面AB上，因而当微段变形时，它们并不做功。总之，仅 考虑微段的变形虚位移而不考虑其刚体虚位移时，外力不做功， 只有截面上的内力做功。对于平面杆系有 (d ) W dW Md F du F dv
又由于虚位移是光滑的、连 续的，两微段相邻的截面总 是紧密贴在一起的，而且有 相同的位移，
因此，每一对相邻截面上的内力所做的虚功总是相 互抵消的。由此可见，必有：W内= 0 ；
因此： W总=W外
（a）
(2)按刚体虚功与变形虚功计算(从力系的平衡条件考虑)
将微段的虚位移区分为刚体虚位移和变形虚位移两类
平衡力系
F
P
Δ Md FN du FQ dv （6-7）
位移状态
3、关于原理的说明
1）在上面的推证过程中，只考虑了力系的平衡条件和变形 的连续条件。所以，虚功方程既可以用来代替平衡方程，也 可以用来代替几何方程（即协调方程）。
2）虚功方程是个“两用方程”，具体应用时可有两种形式。 鉴于力系与变形彼此是独立无关的，因此， a.如果力系是给定的，则可虚设位移，式（6-7）便称为变形体 系的虚位移方程，它代表力系的平衡方程，常可用于求力系中 的某未知力(3.8节) ； b.如果位移是实有的，则可虚设力系，式（6-7）便称为变形体 系的虚力方程，它代表几何协调方程，常可用于求实际位移状 态中某个未知位移。本章即主要介绍虚力方程及其应用
1) 变形虚功W变
由于微段上弯矩、轴力和剪力的增量dM、dFN和dFQ以及分布 荷载q 在这些变形上所做虚功为高阶微量而可略去，因此微段 上各力在其变形上所做的虚功为 dW变= Mdθ+ FNdu + FQdv （6-6）
假如此微段上还有集中荷载或力偶荷载作用，可以认为它们作 用在截面AB上，因而当微段变形时，它们并不做功。总之，仅 考虑微段的变形虚位移而不考虑其刚体虚位移时，外力不做功， 只有截面上的内力做功。对于平面杆系有 (d ) W dW Md F du F dv
又由于虚位移是光滑的、连 续的，两微段相邻的截面总 是紧密贴在一起的，而且有 相同的位移，
因此，每一对相邻截面上的内力所做的虚功总是相 互抵消的。由此可见，必有：W内= 0 ；
因此： W总=W外
（a）
(2)按刚体虚功与变形虚功计算(从力系的平衡条件考虑)
将微段的虚位移区分为刚体虚位移和变形虚位移两类
平衡力系
F
P
Δ Md FN du FQ dv （6-7）
位移状态
3、关于原理的说明
1）在上面的推证过程中，只考虑了力系的平衡条件和变形 的连续条件。所以，虚功方程既可以用来代替平衡方程，也 可以用来代替几何方程（即协调方程）。
2）虚功方程是个“两用方程”，具体应用时可有两种形式。 鉴于力系与变形彼此是独立无关的，因此， a.如果力系是给定的，则可虚设位移，式（6-7）便称为变形体 系的虚位移方程，它代表力系的平衡方程，常可用于求力系中 的某未知力(3.8节) ； b.如果位移是实有的，则可虚设力系，式（6-7）便称为变形体 系的虚力方程，它代表几何协调方程，常可用于求实际位移状 态中某个未知位移。本章即主要介绍虚力方程及其应用
结构力学第四章虚功原理和结构的位移计算
N N Pl EA
杆件 NP
A 1.50 1/2
E
N
－1.58
l 0.263l
N N P l EA
1.97Pl/AbEb 1.84Pl/AbEb 0 0 0.63Pl/AgEg 0.5Pl/AgEg
AD
－4.74P
Ab Ab 0.75Ab
Ag 3Ag 2Ag
钢筋 混凝土
CD DE CE
－4.42P
－1.58
2
§4· 位移计算概述 1
a）验算结构的刚度； 1、计算位移目的： b）为超静定结构的内力分析 打基础； a）荷载作用； 2、产生位移的主要原因： b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ -t +t
d w dx
2 2
l β Δ
/l
M ,Q, N
, ,
A
Δ
B
6
4、刚体虚功原理 刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是， 对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。 W=0 二、虚功原理的应用 1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 2）虚设力系求位移（虚力原理） P 1、需设位移求静定结构的未知力（虚位移原理）
X X P P 0
19
l/2
(a+l)/3 (b+l)/3
一、变形体虚功原理 状态 1 是满足平衡条件的力状 ≠ T12 ＝ 0 态，状态2是满足变形连续条件 的位移状态，状态1的外力在状 态2的位移上作的外虚功等于状 态1的各微段的内力在状态2 各 微段的变形上作的内虚功之和 即：T12= V 12
变
10
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ds
变形体的虚功原理
F 表示由零增加到 Fi 过程中的某一数值，以 表示相应位移，则当 F 增加 dF 时，
位移 也相应增加 d iF ，则在此微小阶段荷载 F 所做的元功为
dW (F d F )d F d d F d (a) 略去高阶微量，则元功又可表示为
dW F d
(b)
图10-4
图10-5
从几何角度上看，元功 dW 就是如图10-5 所示的窄条阴影面积。由于F 与 d iF 成 线性关系，若设 α 为比例常数，则有
W内 W内 l M d FQ d v FN du
(10-7)
1. 4 变形体的虚功原理
变形体处于平衡状态的必要和充分条件为：变形体上所有外力在其对应位移 上所做的外力虚功的总和等于各微段上内力在其对应变形上所做的内力虚功 W内 的 总和 ( 证明从略 )，即
W外 W内 将式 (10-6) 和式 (10-7) 代人式 (10-8)，于是得
① 虚设位移，求力，故称为虚位移原理。若虚设单位位移，应用虚位移原 理求力的方法称为虚拟单位位移法。
② 虚设力系，求位移，故称为虚力原理。若虚设单位荷载，应用虚力原理 求位移的方法称为虚拟单位荷载法。
建筑力学
1. 2 实功与虚功
1. 实功与虚功的概念 力在某位移上所做的功根据位移产生的原因可分为如下两类： ① 实功：力在其自身引起的位移上所做的功； ② 虚功：力在其他因素引起的位移上所做的功。
2. 实功与虚功的计算
设图10-6 所示的简支梁，在其梁上 1 点作用由零增加至 F1 时，使梁产生弯 曲变形如虚线Ⅰ所示，则 1 点发生竖向 位移 Δ 11 是由 F1 上作用所引起的；当 F1 平稳后，又在其梁上 2 点作用力 F2 使梁 继续产生弯曲变形如实线Ⅱ所示，由于 F2 作用，则1点又发生竖向位移 Δ 12 。
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算
结构位移计算的一般公式
叠加法：总位移Δ是微元段变形引起的微小位移dΔ之叠加； Δ = ∫dΔ = ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
多个杆件：每根杆件产生的位移效应的叠加 Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds 变形+支座位移：叠加法 支座位移产生的位移Δ=- ∑FRK· cK
另一种形式： 1 ·Δ+ ∑FRK· cK = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds =
=
外力虚功
W
=
Wi
内力虚功
变形体的虚力方程
Page 23
14:33
LOGO
结构体位移计算的单位荷载法
l
Page 19
d θ
M M
ds
14:33
LOGO
结构体位移计算的单位荷载法
局部变形时的位移计算公式
微元段的局部变形
1 相对轴向位移 dλ = εds
ds变形
相对轴向位移 dη = γ0ds
相对转角 dθ = ds/R = κds
⑴ 这些相对位移dλ、 dη和dθ 分别对应的广义力是B点的轴力FN， 剪力FQ ，及弯矩M； 这些微小变形在A端产生的位移dΔ如何求？ 单位荷载法！ ⑵ 设单位位移在B点产生的的轴力，剪力及弯矩分别为 FN ， FQ 和M，利用虚力原理，有
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应用虚力原理求刚体体系的位移
结构位移计算概述
位移：结构上的某一截面在荷载或其它因素作用下由某一位置 移动到另一位置，这个移动的量就称为该截面的位移； 思考：变形和位移的差别？ 变形：结构在外部因素作用下发生的形状变化；
4虚功原理及静定结构位移计算1
10
9
A
A1
M P、FQP 、FNP——荷载作用下结构产生的弯矩、剪力、轴力 式中：
——单位广义力作用下结构产生的弯矩、剪力 、轴力 M k、 F Qk 、 F Nk 、
内力正负号规定：轴力拉为正，剪力使微段顺时针转动为正，弯 矩只规定乘积的正负号，当两个弯矩使杆件同一侧受拉时，乘积 取正号。
30
（1）荷载； （2）温度改变； （3）支座位移； （4）制造误差； 荷载 温度改 变、材 料收缩 制造误 差、支 座位移
变形
位移
（5）材料收缩
3
二结构位移的种类 .结构位移的种类 2. （1）某点的线位移 （2）某截面的角位移
（3）两点间的相对线位移
（4）两截面间的相对角移 线位移： 角位移： 线位移： 角位移： A C
We Wi
外力虚功：
内力虚功：
23
F F
p
RK
Ck FN ds FQds Mds Ck （FN FQ M）ds
杆件结构：
F F
p
RK
说明：（1）虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。 （2）原理适用于任何 (线性和非线性)的变形体，适用于 任何结构。
(a)
MB 0 由外力虚功总和为零，即： 实际受力状态的平衡方程
(2)虚位移与实际力状态无关 将 X / C a ,/故可设 b 代入得 :x
X x
X X P C 0 1X bP / a
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 1 通常取 (4)特点：用几何法来解静力平衡问题
L1
Fp=1/L Fp=1/L
结构力学-虚功原理和结构的位移计算
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第九章 虚功原理和结构的位移计算 第四节 图乘法及其应用
受弯为主的构件位移计算常遇到积分公式：
∑ ∫ ΔiP =
MMP ds EI
称莫尔积分
在杆件数量多或荷载较复杂的情况下，不方 便。下面寻求一种简单的计算位移的法。
利用图形的静矩原理将图形积分变为图形相乘
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第九章 虚功原理和结构的位移计算
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第九章 虚功原理和结构的位移计算
第一节 位移计算概述
3、产生位移的主要原因 各种因素对静定结构的影响
内力
变形
位移
荷载
√
√
√
温度改变或 ×
√
√
材料胀缩
支座移动或 ×
×
√
制造误差
产生位移的主要原因主要三种：①荷载作用、②温度改变和材料胀
缩、③支座移动和制造误差。
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第九章 虚功原理和结构的位移计算 第一节 位移计算概述 4 体系特征假定
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功。
（力与位移相互独立）
FP2 Δ22
FP1
Δ11 Δ12
W12 = FP1Δ12
（此过程力保持为常量）
虚功具体有两种情况：
1 作功双方其一是虚设的； 2 作功双方均是实际存在的，但彼此无关。11 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算
第二节 变形体虚功原理
注意：
外力虚功
∑ We = 1 ⋅ Δk + FRi ⋅ ci
内力虚功
Wi = ∑ ∫ Mdϕ + ∑ ∫ FNdλ + ∑ ∫ FQdη
由虚功方程 We = Wi
Δk = ∑ ∫ Mdϕ + ∑ ∫ FNdλ + ∑ ∫ FQdη − ∑ FRici
5.1概述 5.2虚功原理 单位荷载法(远程教学)
y M EI
（2）利用虚功原理：
功=力×位移
位移=功/力
2.基本假设
（1）小变形假设；
（2）线弹性
e
E
,
G
（3）理想联结
5.2 变形体虚功原理
一、功的概念：
F
单位荷载法
T Fs
s
T Fcos s
功=力乘以在力的方向上所发生的位移。
5.2 变形体虚功原理 单位荷载法
一、功的概念：
功=力乘以在力的方向上所发生的位移。
➢ 利用公式 R iCi 求位移
5.2 变形体虚功原理 单位荷载法
六、单位荷载法： 虚设一单位力作为力状态，利用虚功原理（虚
力原理）求位移的方法叫单位荷载法。
P
C
AP=1
M=1
A
C
A
B AH? C ?
AH
C
注意：虚设力状态必须另外画一个图。
5.2 变形体虚功原理 单位荷载法
六、单位荷载法
（4）刚体虚功原理是特殊情况，即内力虚功为零的情况。
5.2 变形体虚功原理 单位荷载法
四、虚功原理的两种实用形式
（一）虚位移原理
特点：受力真实，位移虚设。 用途：用以计算真实受力状态下的未知力，与平衡方程等效。
XA
由虚功原理：T外=W内 =0
YA
YB
P 2 YB 0
虚功方程
平衡方程
Δ/2
R iCi
Ri的正向与Ci的正向一致
5.2 变形体虚功原理 单位荷载法
五、静定结构由支座移动引起的位移计算
求ΔCV。
ΔCV
Δ
P=1
R iCi
1/2
1/2
Δ= - (-1/2* Δ)= Δ /2
变形体虚功原理
变形体虚功原理
变形体虚功原理是结构力学中的一个重要概念，它在分析和计算结构变形过程中起着重要作用。
变形体虚功原理是从能量角度出发，利用虚功原理来推导出结构的变形方程，从而可以通过能量方法来求解结构的变形和内力分布。
在工程实践中，变形体虚功原理被广泛应用于各种结构的分析和设计中。
首先，我们来了解一下虚功原理。
虚功原理是说，当一个结构处于平衡状态时，对这个结构施加一个微小的虚位移，所做的虚功等于零。
这个原理可以用数学公式表示为，δW=0，其中δW表示虚功，当结构受到外力和内力的作用时，对结构施加一个微小的虚位移，所做的虚功等于零。
在结构力学中，变形体虚功原理是指，在结构受力平衡的情况下，对结构进行微小的虚位移，所做的虚功等于零。
通过变形体虚功原理，我们可以得到结构的变形方程，从而可以求解结构的变形和内力分布。
变形体虚功原理的应用非常广泛，可以用于各种结构的分析和设计。
例如，在桥梁工程中，可以利用变形体虚功原理来分析桥梁
的变形和内力分布，从而指导桥梁的设计和施工。
在建筑工程中，可以利用变形体虚功原理来分析建筑结构的变形和内力分布，从而指导建筑结构的设计和施工。
在机械工程中，可以利用变形体虚功原理来分析机械结构的变形和内力分布，从而指导机械结构的设计和制造。
总之，变形体虚功原理是结构力学中的重要概念，它通过能量方法来分析和计算结构的变形和内力分布。
在工程实践中，变形体虚功原理被广泛应用于各种结构的分析和设计中，对于提高结构的安全性和经济性具有重要意义。
希望通过本文的介绍，读者能对变形体虚功原理有一个更加深入的理解，从而在工程实践中更好地应用这一理论。
变形体的虚功原理
得 FB＝F 根据几何关系有＝
We＝FBδB－FδP＝0
可求得 FB＝F
图4.7
1.2 刚体的虚功原理及其应用
上述计算是在虚拟位移状态与给定的实际力状态之间应用虚功方 程，这种形式的虚功原理又称为虚位移原理。
根据虚位移原理建立的虚功方程，实质上是静力平衡方程(在本 例特的计算几中点方何，是便关所将，系得一可计的个令算虚静未功力知方平力程衡F与问B。∑题M由转A于化＝δ为0P的/几δB方的何程比问是值题相与，同δ即B的的利)。大用这小δB个无、方关δP之法，的为间 δB＝1
【例4.2】 已知图4.9(a)所示静定梁的支座B向下移动距离c，试用 虚力原理求梁上点C的竖向位移ΔCV。
图4.9
1.2 刚体的虚功原理及其应用
【解】 静定结构在支座移动时只产生刚体位移。欲求C点的竖向 位功移方程ΔC为V，可虚拟一力状态如图4.9(b)所示。应用虚力原理建立虚
由此得
FΔCV－FBy c＝0
因此，上述沿未知力方向虚设单位位移的方法称为单位位移法。 由上可归纳出以下几点： 1) 用虚位移原理建立的虚功方程形式上是功的方程，实质上是平
衡方程。 2) 虚位移是人为虚设的。为了计算方便，可设欲求未知力方向上
的虚位移为单位位移。 3) 用虚位移原理求解时的一个重要步骤是找出虚位移间的几何关
1) 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载，并求出在单位荷载作用 下给定位移的支座处的反力。
2) 令虚拟力系在相应实际位移上作功，写出虚功方程。
3) 由虚功方程解出欲求位移。如果求得的位移为正值，表明位移的 实际方向与所设单位荷载的方向一致；如果求得的位移为负值，
表明位移的实际方向与所设单位荷载的方向相反。
图4.6
变形体的虚功原理
22
12
虚: 并不是假的、不存在的，而是真的、 存在的。它只是表示位移 与力 之间不存在因果关系。
二、虚功原理
根据能量守恒原理有：
由于
改写为 外力虚功
，
， 因此
虚功原理 ！
外力虚功在杆件中产生的变形能 ，关键是求
较好求，例如对本例
§5-2 变形体的虚功原理
三、 的求法
力状态（由P1引起） 微段力状态: + +
相对于P1
虚位移状态（由P2引起）
微段虚位移状态:
+
+
各微段力状态在相应微段虚位移状态所作的虚功
各微段中所产生的变形能
：轴向虚应变 ：平均虚剪切角 ：虚曲率 虚功原理
代入虚功方程 We U 得 We ( FN FQ 0 M )ds Wቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 外力虚功 内力虚功
当有多根杆件时， We
( FN ds FQ 0 ds M ds )
( F F
N Q
0
M )ds
由于因此虚功原理外力虚功外力虚功在杆件中产生的变形能改写为较好求例如对本例关键是求52变形体的虚功原理的求法代入虚功方程外力虚功内力虚功wffms各微段力状态在相应微段虚位移状态所作的虚功微段力状态
§5-2 变形体的虚功原理
一、虚功
: 实功
: 实功 : 虚功
虚位移 虚功
P P1 P P2 P P1
11
11.4 变形体的虚功原理[6页]
![11.4 变形体的虚功原理[6页]](https://img.taocdn.com/s3/m/121d3d52bf23482fb4daa58da0116c175f0e1e9f.png)
⑷ 对于两个相互无关的力状态和位移状态的，可 以虚设其中一个状态，让另一实际状态在此虚设状态 下做功，列出虚功方程，可以求解不同的问题。
2. 虚位移原理
令实际的力状态在虚设的位移状态下做功所建立 的虚功方程表达的是力的平衡条件。从中可以求出实 际力系中的未知力。这就是虚位移原理。
例如：应用虚位移原理求支座C的反力FC。
A F yA
1
C B
令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，得虚
功方程
Δ 1 c1 F yA 0
求得
Δ
c1 F yA
c1 (
b) a
b a
c1 ( )与单位力方向相同。
注意：虚力原理写出的虚功方程是一个几何方 程，可用于求解几何问题。
3. 虚力原理
令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功所 建立虚功方程表达的是位移协调条件，从中可求出 位移状态中的一些未知位移。这就是虚力原理(也称 为余虚功原理)。
例：当A支座向上移动一个 A'
c1
已知位移c1，求点B产生的竖向
位移⊿。
A
a
C
B
△
b
在拟求线位移的方向加单位力
由平衡条件 F yA b a
11.4 变形体的虚功原理
1. 虚功原理：
设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变 形体由于其他原因产生一符合约束条件的微小连续位 移时，则外力系在位移上做的虚功的总和δWe，等于 变形体的内力在变形上做的虚功的总和δWi，即，
δWe δWi
——此即为虚功方程。
需注意：
⑴ 外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；
⑵ 位移必须满足虚位移的条件——满足约束条件 的非常微小的连续位移；
2. 虚位移原理
令实际的力状态在虚设的位移状态下做功所建立 的虚功方程表达的是力的平衡条件。从中可以求出实 际力系中的未知力。这就是虚位移原理。
例如：应用虚位移原理求支座C的反力FC。
A F yA
1
C B
令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，得虚
功方程
Δ 1 c1 F yA 0
求得
Δ
c1 F yA
c1 (
b) a
b a
c1 ( )与单位力方向相同。
注意：虚力原理写出的虚功方程是一个几何方 程，可用于求解几何问题。
3. 虚力原理
令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功所 建立虚功方程表达的是位移协调条件，从中可求出 位移状态中的一些未知位移。这就是虚力原理(也称 为余虚功原理)。
例：当A支座向上移动一个 A'
c1
已知位移c1，求点B产生的竖向
位移⊿。
A
a
C
B
△
b
在拟求线位移的方向加单位力
由平衡条件 F yA b a
11.4 变形体的虚功原理
1. 虚功原理：
设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变 形体由于其他原因产生一符合约束条件的微小连续位 移时，则外力系在位移上做的虚功的总和δWe，等于 变形体的内力在变形上做的虚功的总和δWi，即，
δWe δWi
——此即为虚功方程。
需注意：
⑴ 外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；
⑵ 位移必须满足虚位移的条件——满足约束条件 的非常微小的连续位移；
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§5-2 变形体的虚功原理
一、虚功
: 实功
: 实功 : 虚功
虚位移 虚功
P P1 P P2 P P1
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虚: 并不是假的、不存在的，而源自真的、 存在的。它只是表示位移 与力 之间不存在因果关系。
二、虚功原理
根据能量守恒原理有：
由于
改写为 外力虚功
，
， 因此
虚功原理 ！
外力虚功在杆件中产生的变形能 ，关键是求
较好求，例如对本例
§5-2 变形体的虚功原理
三、 的求法
力状态（由P1引起） 微段力状态: + +
相对于P1
虚位移状态（由P2引起）
微段虚位移状态:
+
+
各微段力状态在相应微段虚位移状态所作的虚功
各微段中所产生的变形能
：轴向虚应变 ：平均虚剪切角 ：虚曲率 虚功原理
代入虚功方程 We U 得 We ( FN FQ 0 M )ds Wi 外力虚功 内力虚功
当有多根杆件时， We
( FN ds FQ 0 ds M ds )
( F F
N Q
0
M )ds
一、虚功
: 实功
: 实功 : 虚功
虚位移 虚功
P P1 P P2 P P1
11
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虚: 并不是假的、不存在的，而源自真的、 存在的。它只是表示位移 与力 之间不存在因果关系。
二、虚功原理
根据能量守恒原理有：
由于
改写为 外力虚功
，
， 因此
虚功原理 ！
外力虚功在杆件中产生的变形能 ，关键是求
较好求，例如对本例
§5-2 变形体的虚功原理
三、 的求法
力状态（由P1引起） 微段力状态: + +
相对于P1
虚位移状态（由P2引起）
微段虚位移状态:
+
+
各微段力状态在相应微段虚位移状态所作的虚功
各微段中所产生的变形能
：轴向虚应变 ：平均虚剪切角 ：虚曲率 虚功原理
代入虚功方程 We U 得 We ( FN FQ 0 M )ds Wi 外力虚功 内力虚功
当有多根杆件时， We
( FN ds FQ 0 ds M ds )
( F F
N Q
0
M )ds