第八章晶体结构的几何理论
晶体构造的几何理论
同于对应的单位平行六面体参数。
▪一般未加说明的晶胞一词是指单位晶胞。
例如：NaCl晶体的晶胞，对应的是立方面心格子， a=b=c=0.5628nm，α=β=γ=90°。许许多多该晶 胞在三维空间无间隙的排列就构成了NaCl晶体。（一 个晶胞含有4个NaCl分子）
例如，下图为具有L44P的平面格子。显然，4、5、6 与对称不符，3的轮廓虽然符合对称性，但结合其内 部结点的分布一起来考虑时，就与对称不符了。在1 和2中，则以1的面积最小，故应选1作为基本单位。
平行六面体的三根棱长a、b、c及其夹角α、 β、γ是表示它本身的形状、大小的一组参数， 称为单位平行六面体参数或格子常数。
四方体心格子
三
方
与本晶系
晶 系
对称不符
三方菱面体格子(标记为R)
三 、 六 方 晶 系
六方和三方原始格子
不符合六 方对称
等 轴
与本晶系
晶 系
对称不符
立方原始格子
I＝R 与空间格子 条件不符
立方体心格子
F＝I
F胞的概念
▪晶胞：是指晶体结构中的平行六面体单位，
代表格子类型（P、C、I、F）。后一部分与对称型国际符
号基本相同，只是将宏观对称要素符号换成相应的内部结 构对称要素的符号。
Cl－ Na＋
Cl- Na+
三、晶体内部构造的对称要素
❖晶体内部构造的对称属于微观的无限图形的对称， 不同于晶体外形的对称，外形的对称取决于内部构造 的对称，而且是宏观的有限图形的对称。
晶体的微观对称的主要特点如下： ⑴在晶体构造中，平行任何一个对称要素都有无穷多 的和它相同的对称要素。
⑵在晶体构造中出现了一种在晶体外形上不可能有的 对称操作——平移操作。
结晶学讲义
结晶学基础第一章绪论第二章晶体及其基本性质第三章晶体的发生与成长晶体的宏观对称第四章晶体的定向和晶面符号第五章晶体结构的几何理论第六章晶体化学第七章典型晶体结构第八章晶体缺陷第一章绪论一、结晶学(crystallography)：是以晶体为研究对象的一门科学。
自然界中的绝大多数矿物都是晶体，要了解这些结晶的矿物，就必须了解和掌握结晶学特别是几何结晶学的基本知识。
如：冰、雪、土壤、金属、矿物、陶瓷、水泥、化学药品等晶体和非晶质体：人们常见的晶体有水晶、石盐、蔗糖等，在一般人的心目中就认为晶体就像水晶和石盐那样，具有规则的几何多面体形状。
晶体—具有格子构造的固体, 或内部质点在三维空间成周期性重复排列的固体。
研究表明，数以千计的不同种类晶体尽管各种晶体的结构各不相同，但都具有格子状构造，这是一切晶体的共同属性。
与晶体结构相反，内部质点不作周期性的重复排列的固体，即称为非晶质体。
二、研究简史：★1000多年前，认识了石英和石盐具有规则的外形；★17世纪中叶前，以外形研究为主；★1912年，X射线晶体衍射实验成功，结晶学进入快速发展阶段；★19世纪中叶开始对晶体内部结构探索，逐渐发展成为一门独立的学科；★20世纪初, 内部结构的理论探索。
三、结晶学的研究意义：是矿物学的基础，是材料科学的基础，是生命科学的基础。
四、现代结晶学的几个分支：1、晶体生成学：研究天然及人工晶体的发生、成长和变化的过程与机理，以及控制和影响它们的因素。
2、几何结晶学：研究晶体外表几何多面体的形状及其规律性。
3、晶体结构学：研究晶体内部结构中质点排列的规律性，以及晶体结构的不完善性。
4、晶体化学：研究晶体的化学组成与晶体结构以及晶体的物理、化学性质之间关系的规律性。
5、晶体物理学：研究晶体的各项物理性质及其产生的机理。
思考题1、什么是矿物？2、什么是晶体？晶体和非晶体有何本质区别？3、现代结晶学有哪几个分支?第二章晶体及其基本性质晶体的定义：晶体是内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体；或者说是具有格子状构造的固体。
第八章晶体结构的几何理论
C心格子 A心格子 B心格子
体 心 格 子 I
面 心 格 子 F
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
⑷ 十四种布拉维空间格子
综合考虑单位平行六面体的形状和结点分布， 空间格子共有14种。称为14种布拉维空间格 子。
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
8.3 空间格子中点的坐标、行列及面网符号 ① 空间格子中坐标系的建立
Z
坐标轴 单位平行六面体三条棱的方向。 坐标原点 单位平行六面体的角顶。
坐标轴度量单位 单位平行六面体的棱长a、b、c 。
X
c a
b Y
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
合成锐钛矿（TiO2）:
测得d008＝1.1871Å，则d004＝2.3742Å；d303＝1.1714Å，则 d101＝3.5144Å。
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
面网符号
当点阵参数a, b, c,α,β,γ已知时，dhkl值可以用下列公式算出：
dhkl＝V [h2b2c2sin2α+k2a2c2sin2β+l 2a2b2sin2γ+ 2hkabc2(cosαcosβ-cosγ)+2kla2bc(cosβcosγcosα)+2hlab2c(cosαcosγ-cosβ)]-1/2 其中V＝abc(1-cos2α-cos2β-cos2γ+2cosαcosβcosγ)1/2
第8章 晶体结构的几何理论
三方体心转变为三方原始格子
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
晶体化学课件：第八章晶体结构的几何理论
3/4
1/2
1/4
1/2
1/4 0
41
3/4 0
43
规定： 41为右旋，43则为左旋。但43右旋时移距应 为3/4T。
即螺旋轴的国际符号ns是以右旋为准的。
0< s< n/2：右旋螺旋轴－31, 41, 61, 62 n/2<s<n ：左旋螺旋轴－32 , 43, 64, 65 s= n/2：中性螺旋轴－21, 42, 63
⑺三方晶系－菱面体格子 单位平行六面体参数： a=b=c； α=β=γ≠90°,
60°, 109°28′16″
90°
菱面体格子α=90°时, 可划分成立方原始格子
109°18′06″
菱面体格子α=109°28′16″时 可划分成立方体心格子
60°
菱面体格子α=60°时, 可划分成 立方面心格子
空间格子中的平行六面体
⑴划分原则
① 所选平行六面体应当符合相应空间点 阵的对称性。 ② 在满足①的前提下， 棱与棱之间的直 角最多。 ③ 在满足①②的前提下，体积最小。
下面两个平面点阵图案中，请同学们画出其空间格子：
4mm
mm2
4mm
mm2 引出一个问题：空间格子可以有带心的格子； 另外请思考：如果上面的图案对称为3m，该怎么画？
[001]
[010] [100]
Directions in a Cubic Unit Cell
[101]
[011]
[110]
Directions in a Cubic Unit Cell
3.面网符号
用（hkl）表示面网与各晶轴的关系。
Lattice Planes and Miller Indices
-晶体结构的几何理论.
十四种空间格子
总结： 在四种格子类型当中，其中底心、
体心、面心格子称带心的格子，这是因为有 些晶体结构在符合其对称的前提下不能画出 原始格子，只能画出带心的格子。
第8章 晶体结构的几何理论
原始格子（P）底心格子（C） 体心格子（I） 面心格子（F）
三 斜
C=I
I=F
F=P
单
斜
I=F
F=C
斜 方
Crystallography
有些格子类型与所在晶系的对称不符。 有些格子类型与空间格子的条件不符。 有些格子类型可以被改划为其它格子。
➢ 因此，只有14种空间格子，也叫14种布拉维格子。 （A.Bravis于1848年最先推导出来的）
十四种空间格子
举例说明： 1、四方底心格子可转变为体积更小的四方原 始格子 ； 2、在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面 的中心安置结点，则完全不符合等轴晶系具 有4L3的对称特点，故不可能存在立方底心格 子。
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
①等轴晶系
a=b=c； α=β=γ=90°。
c βα b aγ
立方格子
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
②四方晶系 a=b≠c； α=β=γ=90°。
Crystallography
c
βα b aγ
四方格子
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
③斜方晶系 a≠b≠c α=β=γ=90°
Crystallography
c
βα b aγ
斜方格子
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
晶体结构
§3 晶体结构一、晶体与非晶体1、晶体的特征：⑴有一定的几何外形，非晶体如玻璃等又称无定形体；⑵有固定的熔点；⑶各向异性：晶体在不同方向上表现出不同的物理性质。
一块晶体的某些性质，如光学性质、力学性质、导电导热性质、机械强度等，从晶体的不同方向去测定，常不同。
⑷晶体具有平移对称性：在晶体的微观空间中，原子呈现周期性的整齐排列。
对于理想的完美晶体，这种周期性是单调的，不变的，这是晶体的普遍特征，叫做平移对称性。
⑸自范性：在适宜条件下，晶体能够自发地呈现封闭的、规则的多面体外形。
2、晶体的内部结构⑴晶格：把晶体中规则排列的微粒抽象成几何学中的点，并称为结点。
这些点的结合称为点阵，沿着一定的方向按某种规则把结点连结起来，则得到描述各种晶体内部结构的几何图像——晶体的空间格子，称为晶格。
⑵晶胞：在晶格中，能表现出其结构的一切特征的最小部分称为晶胞。
（晶体中最有代表性的重复单位）⑶晶胞基本特征：晶胞有二个要素：①是晶胞的大小、型式，②是晶胞的内容。
晶胞的大小、型式由a、b、c三个晶轴及它们间的夹角α.β.γ所确定。
晶胞的内容由组成晶胞的原子或分子及它们在晶胞中的位置所决定。
3、单晶体和多晶体⑴单晶体——由一个晶核（微小的晶体）各向均匀生成而成，其内部的粒子基本上按某种规律整齐排列。
如冰糖、单晶硅等。
⑵多晶体——由很多单晶体杂乱聚结而成，失去了各二、离子晶体及其性质1、离子晶体的特征和性质⑴由阳离子和阴离子通过静电引力结合成的晶体——离子晶体。
⑵性质：静电作用力较大，故一般熔点较高，硬度较大、难挥发，但质脆，一般易溶于水，其水溶液或熔融态能导电。
2、离子键⑴定义：阳离子和阴离子通过静电作用形成的化学键。
⑵离子键的形成条件：元素的电负性差要比较大。
⑶离子键的本质特征：是①静电作用力，②没有方向性和饱和性。
⑷影响离子键强度的因素①离子电荷数的影响。
②离子半径的影响：半径大, 导致离子间距大, 所以作用力小; 相反, 半径小, 则作用力大。
chap8-晶体结构的几何理论
4mm(L44P)
mm2(L22P)
4mm
mm2
引出： 引出：空间格子可以有带心的格子
平行六面体中结点的分布
1）原始格子（P）：结点分布于平行六面体的八个角顶。 ）原始格子（ ） 结点分布于平行六面体的八个角顶。 2）底心格子（ C、A、B）：结点分布于平行六面体的角 ）底心格子（ ） 顶及某一对面的中心。 顶及某一对面的中心。 3）体心格子(I )：结点分布于平行六面体的角顶和体中心。 ）体心格子 ：结点分布于平行六面体的角顶和体中心。 4）面心格子（F）：结点分布于平行六面体的角顶和三对 ）面心格子（ ） 面的中心。 面的中心。
第八章 晶体结构的几何理论
主要教学内容
• • • • • • • 十四种空间格子* 十四种空间格子 空间格子中点的坐标、行列及面网符号* 空间格子中点的坐标、行列及面网符号 晶胞* 晶胞 晶体内部结构的对称要素* 晶体内部结构的对称要素 空间群(符号 符号)* 空间群 符号 等效点系 晶格缺陷
思考题： 思考题：
8.1 十四种空间格子 十四种空间格子(space lattice)
回顾： 回顾： • 空间格子是表示晶体结构中质点重复规 律的立体几何图形。 律的立体几何图形。 • 空间格子要素包括结点、行列、面网、 空间格子要素包括结点、行列、面网、 单位平行六面体。 单位平行六面体。
1．平行六面体的选择
平行六面体是空间格子中最小重复单位 对于每一种晶体结构而言，其结点的分布是客观存在的， 对于每一种晶体结构而言，其结ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的分布是客观存在的， 但平行六面体的选择是人为的。 但平行六面体的选择是人为的。 空间格子是无限图形。在一个空间格子中可以划分出无数 空间格子是无限图形。 种不同形状和大小的平行六面体。如何划分？ 种不同形状和大小的平行六面体。如何划分？
晶体结构与晶体化学晶体几何学理论基础
1.1.2 空间点阵
在图3.1的单位平移中，有两个最短的矢量，如图3.2所示。原点的选择是任意 的，任何图案的平移对称都可从图形的一点开始描述。如将图案抽象成一个点， 通过上述的一套平移对称操作即可得到一套平面上点的集合，称为网格或二维 点阵（图3.3）。在空间三维情况下，称作空间格子或空间点阵，点阵中的每个 点称为结点或点阵点。
晶体几何学理论基础
对称性是一种规律的重复，具有变化中的不变性，是自 然科学中一个重要的基本概念。晶体就是指原子或分子 在空间按一定规律重复排列构成的固体物质。晶体结构 的基本特征是其中的质点在三维空间作规律的重复排列。 晶体结构研究的就是揭示晶体内部原子和分子在空间排 列上的对称规律，这种规律只有在晶体结构中每个原子 在空间相对位置揭示出来时才能得到完整证明。
基本图案可以先旋转后反伸，也可以先反伸后旋转。其中1相当于i（反伸中心）， 2相当于m）（对称面），3相当于3次轴加反伸中心，6相当于3次轴加对称面， 因此只有4是具有多利意义的旋转反伸轴。
2.点群 2.1 点对称要素 晶体外形上可能出现的对称要素称为点对称要素，包括对称中心、对称面、旋转轴 及旋转反伸轴。这些对称要素的特点是在进行对称操作过程中至少有一点是不动的。 二维空间的对称要素有：旋转点，2、3、4、6次轴；反映线，m。 三维空间的对称要素：旋转轴，2、3、4、6次轴；反伸（对称）中心，i；镜（对称） 面，m；旋转倒反轴，1、2、3、4、6。
1、对称操作 晶体学中的对称图形是通过对称操作来表征的。 对称操作 周期平移对称操作（晶体中） 有公度的
无公度的 准周期平移对称操作（准晶体中） 严格自相似准周期
点对称操作
旋转 反映 反伸
统计自相似准周期
1.1 平移
结晶学
《结晶学》课程教学大纲课程名称：结晶学（Crystallography）课程编号：112039总学时数：64学时讲课学时：40学时实验学时：24学时学分：4学分先修课程：高等数学、无机化学、大学物理、材料科学与工程导论。
教材：王萍、李国昌编，《结晶学教程》，国防工业出版社，2006年。
参考书目：周志朝主编，《结晶学》，浙江大学出版社，1998年。
潘兆橹主编，《结晶学及矿物学》，地质出版社，1999年。
廖立兵编著，《晶体化学与晶体物理学》，地质出版社，1999年。
陆佩文主编：《无机材料科学基础》，武汉理工大学出版社。
1996年。
课程内容简介：《结晶学》系统介绍了晶体形态和内部结构的几何规律；晶体的化学组成、结构与物理性质的关系；晶体结构的类型与典型结构；晶体的生长的基本理论。
内容分为十章，第一章讲授晶体的概念与性质、空间格子的概念及组成要素；第二章讲授有关晶体生长和晶面发育的基本理论；第三章介绍晶体的面角恒等定律和极射赤平投影方法；第四章讲授晶体的宏观对称；第五章讲授单形和聚形；第六章讲授晶体定向与结晶符号；第七章讲授实际晶体的形态与规则连生；第八章讲授晶体结构的几何理论及晶格缺陷；第九章讲授晶体化学的基础理论与基础知识；第十章讲授晶体结构的类型及常见典型结构。
一、课程的性质、目的及任务《结晶学》是材料科学与工程本科专业必修课，是培养材料人才的专业基础课程之一。
本课程的任务是使学生学习必要的结晶学的基本知识、掌握晶体形态及结构分析的基本技能，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，为后续专业课的学习打下坚实的基础。
二、教学内容、要点和课时安排《结晶学》授课课时分配表本课程的教学内容共分10章。
第一章：晶体与非晶体的概念晶体与非晶体的概念、空间格子概念及组成要素、晶体的基本性质。
第二章：晶体的形成晶体的形成方式、成核作用及一般规律、层生长理论、晶体的阶梯状生长和螺旋状生长、布拉维法则、居里-吴里夫原理、周期键链理论。
晶体几何学基础
晶体生长过程中，原子或分子的排列遵循一定的几何规律，形成规 则的空间结构。
晶体生长的动力学原理
晶体生长速度受控于结晶界面上的原子或分子迁移速率，以及结晶 界面的稳定性。
晶体生长方法
01
02
03
溶液法
通过控制溶液的浓度、温 度等条件，使晶体在溶液 中自发结晶。
熔体法
将原料加热至熔化，然后 缓慢冷却至结晶温度，使 晶体从熔体中析出。
晶体几何学基础
目录
• 晶体结构基础 • 晶体对称性 • 晶体几何形态 • 晶体光学性质 • 晶体物理性质 • 晶体化学键合 • 晶体生长与制备
01
CATALOGUE
晶体结构基础
晶体结构定义
01
晶体结构定义
晶体结构是指晶体中原子或分子 的排列方式，以及原子或分子间 的相互作用关系。
02
03
空间格子
ห้องสมุดไป่ตู้性质
单晶体形态具有高度的对称性，其内部原子或分子排列呈现规律性 ，导致单晶体具有独特的物理和化学性质。
多晶体形态
定义
多晶体是由许多小的单晶体聚集 而成的集合体，其形态通常不规
则。
形成方式
多晶体形态的形成方式与结晶过程 有关，由于结晶过程中原子或分子 的排列方向不同，导致多晶体形态 各异。
性质
多晶体形态的物理和化学性质通常 表现为各向异性，即不同方向上性 质不同。
气相法
通过控制气体成分和温度 ，使原料在气相中反应并 结晶。
晶体制备技术
人工合成法
通过化学反应或物理过程，在实验室内制备晶体 。
天然采集法
从自然界中采集已形成的天然晶体。
晶体生长技术
利用各种晶体生长方法，在实验室内或工业生产 中制备晶体。
结晶学基础教案
第一部分结晶学基础教案任课老师：许虹2002年2月第一章绪论一．晶体和非晶体 crystal and noncrystal晶体：具有格子构造的固体。
如SiO2:石英——晶体,玻璃——非晶体NaCl晶体二．空间格子 Space lattice晶格结点重复规律，抽象→ 几何图形—空间格子—相当点组成相当点条件：（1）性质相同，质点，空间任意一点（2）环境方位性同空间格子要素：空间格子最小重复单位。
实际晶体相应的是晶胞（形状，大小）三．晶体的基本性质 The ultimate properties of crystal自限性 property of self-confinement,均一性 homogeneity,各向异性 anisotropy,对称性symmetry,最小内能minimum internalenergy,稳定性 stability第二章晶体的形成 crystal formation （第一章和第二章共2学时）重点：晶体概念，空间格子，晶体的基本性质难点：空间格子←NaCl晶体←空间格子←NaCl, FeS2一．晶体形成的方式the way of crystal formation 二．晶核的形成三，晶体的生长 crystal growth介绍两种主要理论。
1．层生长理论layer growth2．螺旋生长理论 BCF Buston-Cabresa-Frank三．晶面发育growth of crystal face三个主要理论。
1.布拉维法则law of Bravais实际晶体的晶面常常平行网面结点密度最大的面网。
2.居里—吴里夫原理就晶体的平衡形态而言，各晶面的生长速度与各晶面的比表面能成正比。
3.周期键链理论PBC Periodic Bond Chain晶体平行键链生长，键力最强的方向生长速度最快。
第三章、晶体的测量与投影一．面角恒等定律Law of constancy of angle 定律：同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等。
-晶体结构的几何理论
单位平行六面体是空间格子的最小组成单位。
无数个平行并置的单位平行六面体构成空间格子.
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
⑴单位平行六面体的划分
Crystallography
⑴单位平行六面体的划分
对于每一种晶体结构而言，其结点的分布是客 观存在的，但平行六面体的选择是人为的。
第8章 晶体结构的几何理论
四 方
C=P
F=I
三 方
与本晶系对称 不符
I=F
F=P
六 方
与本晶系对称 不符
与空间格子 条件不符
与空间格子 条件不符
等 轴
与本晶系对称 不符
Crystallography
十四种空间格子
七个晶系—七套晶体常数—七种平行六面体形状。 每种形状有四种类型，那么就有7×4=28种空间格子？
可以全为正值：1，1，1 也可以有负值：-x，–x， 0
b
0,1,0,
Y
1/2,1/2,0
分数：1/2，1/2，1/2
小数：0.5，0.5，0.5 例：金红石中x＝0.33
Crystallography
X
1,0,0,
第8章 晶体结构的几何理论
③行列（晶向）符号(Crystal directions) 表示行列方向的符号，[x y z]
2hkabc2(cosαcosβ-cosγ)+2kla2bc(cosβcosγ-
cosα)+2hlab2c(cosαcosγ-cosβ)]-1/2
其中V＝abc(1-cos2α-cos2β-cos2γ+2cosαcosβcosγ)1/2
第8章 晶体结构的几何理论
晶体结构几何理论
《晶体结构几何理论》课程教学大纲课程英文名称：Theory of Crystal Structure Geometry课程编号：0332272002课程计划学时：32学分：2课程简介：本课程为专业课。
通过该课程的学习，学生可以掌握晶体结构几何理论的基本理论与基本方法，能提高本科生分析和解决实际物理问题的能力，为本科生今后的实际工作奠定一定的理论基础，并掌握初步的解决问题方法。
让学生掌握描述晶体结构几何的一些基本思想和晶体结构理论方法。
这些内容将为今后本科生在晶体物理学、固体物理学和凝聚态物理学等专业理论方面的进一步学习奠定一定的理论基础，并可以使本科生初步掌握分析问题和解决问题的方法。
一、课程教学内容及教学基本要求第一章绪论本章重点：1)介绍晶体结构几何理论的发展简况，在介绍晶体多面体几何研究中的几个基本实验定律。
2)着重介绍早期晶体结构几何理论及晶体的基本性质。
3)介绍晶体结构几何理论的发展前景，能从宽广的角度认识晶体结构几何理论的地位和作用，增强学习自觉性。
同时初步了解学科的特点，对下一步的学习有相应的准备。
难点：晶体与非晶体在微观结构上的差异。
本章学时: 4学时教学形式:讲授教具:黑板，粉笔第一节晶体的基本性质本节要求：掌握：晶体的基本性质。
（重点：考核概率50%）。
1 晶体与非晶体在宏观性质上的区别。
2 晶体与非晶体在微观结构上的差异。
3晶体结构与晶体缺陷的相互关系第二节晶体结构几何理论的发展简况本节要求：了解：晶体多面体几何研究中的几个实验定律，了解晶体结构几何理论新发展的几个方面。
1晶体多面体几何研究中的几个经验定律。
（掌握）（考核概率50%）2最早提出的晶体结构几何理论。
（理解）（考核概率20%）3了解晶体结构几何理论新发展的几个方面（了解）（考核概率10%）第二章晶体结构的周期性本章重点：1)本章是本课程的重点内容之一，第一节介绍了空间点阵的概念，空间点阵的矩阵表示，应予充分重视。
晶体几何学基础PPT课件
V
V
= cosa cosb cos sina sin b
同样可求 得α *, β *。
正空间七大晶系在倒易空间它的晶系仍然不变。 正空间所有的矢量运算-埸论，在倒易空间均能用。
第43页/共59页
正、倒点阵在晶体几何中的关系
对于一种正点阵，其倒易点阵是唯
晶体结构中那些原子密度相同的等同晶向称为 晶向轴，用<UVW>表示
第26页/共59页
晶面指数的标定方法
晶面指数确定步骤：
① 建立坐标系
② 确定晶面在各坐标轴 上的截距
③ 取截距的倒数，并通 分，化为最小的简单整 数（hkl）
(100) (200)
(111) (110)
晶体中具有等同条件（这些晶面的原子排列情况和面间距 完全相同），而只是空间位向不同的各组晶面称为晶面族， 用{ hkl}表示。
(200)
(110)
(110)
(111)
第30页/共59页
(102)
立方晶系中点阵常数与晶面的关系
(100)
intersects with
d(100) =
a
=a
12 02 02
(200)
intersects with
d(200) =
a
=a
22 02 02 2
(110)
intersects with
面都属于以[UVW]为晶带轴的晶带，已知两个非平行的晶
面指数为（h1k1l1）和（h2k2l2）则其交线即为晶带轴的指
数。
第34页/共59页
晶带
属于[001]晶带的某些晶面
第35页/共59页
倒易点阵 P.136
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第八章 晶体结构的几何理论
⑵对称要素的组合
组合定理5个 对称型32种 ⑶由对称要素联系起来的一组或几组晶 面－单形和聚形 几何单形47种 结晶单形146种
Crystallography
第八章 晶体结构的几何理论
⑷晶面、晶棱与晶轴的关系
晶面符号 晶棱符号
Crystallography
第八章 晶体结构的几何理论
Crystallography
第八章 晶体结构的几何理论
Crystallography
第八章 晶体结构的几何理论
Z
Z
Y
Y X
X
(010)
(111)
Miller indices of some planes in cubic crystal
Crystallography
第八章 晶体结构的几何理论
Z
Z
Y X
Y X
(020)
(100)
Miller indices of some planes in cubic crystal
晶胞角顶的原子按1/8计数(由8个晶胞共享)
Crystallography
第八章 晶体结构的几何理论
晶胞面上的原子按1/2计数(由2个晶胞共享)
Crystallography
第八章 晶体结构的几何理论
晶胞棱上的原子按1/4计数(由4个晶胞 共享) Crystallography
第八章 晶体结构的几何理论
Crystallography
第八章 晶体结构的几何理论
四方底心格子转变为四方原始格子
Crystallography
第八章 晶体结构的几何理论
8.2 晶胞 (unit cell)
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第八章 晶体结构的几何理论
1.晶胞的概念
晶体结构中，与单位平行六面体相对应 的划分单位称为晶胞。 晶胞是能够反映晶体结构特征(对称性和 质点分布)的最小构造单位。
晶胞是晶体结构的基本组成单位，由一 个晶胞出发，能够借助于平移群而重复 出整个晶体结构。
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第八章 晶体结构的几何理论
The Lattice and the Basis
Crystallography
第八章 晶体结构的几何理论
A crystal can be thought of as being like wallpaper. The motif is analogous to the basis and the arrangement of the motif over the surface is like the lattice.
第八章 晶体结构的几何理论
Z
点的坐标： u，v，w。 用a、b、c作为 坐标轴度量单位 时的坐标系数。
X
0,0,1
0,1,1
1,1,1
c 0,1,0 a
1,0,0
b 1,1,0
Y
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第八章 晶体结构的几何理论
2.行列符号
如果一行列经过坐标原点，则把该行列 上距离原点最近的结点坐标u，v，w放 在“[ ]”内，[u v w]即为该行列的行列 符 号。 Crystallography
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第八章 晶体结构的几何理论
Crystallography
第八章 晶体结构的几何理论
2.单位晶胞中分子数(Z)计算
Ti：8 × (1/8) + 1 = 2 O：4 × (1/2) + 2 = 4 TiO2的分子数： Z=2
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第八章 晶体结构的几何理论
菱面体格子α=109°28′16″时 可划分成立方体心格子
Crystallography
第八章 晶体结构的几何理论
60°
菱面体格子α=60°, 可划分成 立方面心格子
Crystallography
第八章 晶体结构的几何理论
3.单位平行六面体中的结点分布
⑴原始格子（P）
Crystallography
Crystallography
第八章 晶体结构的几何理论
回顾： 空间格子是表示晶体结构中质点重复 规律的立体几何图形。 空间格子要素包括结点、行列、面网、 单位平行六面体。
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第八章 晶体结构的几何理论
1.单位平行六面体的划分
空间格子是无限图形。在一个空间格子 中可以划分出无数种不同形状和大小的 平行六面体。如何划分？
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第八章 晶体结构的几何理论
[111]
[111]
[111]
Directions in a Cubic Unit Cell
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第八章 晶体结构的几何理论
3.面网符号
用（hkl）表示面网与各晶轴的关系。
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第八章 晶体结构的几何理论
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第八章 晶体结构的几何理论
Z
c a
b
Y
X 空间格子中的坐标系
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第八章 晶体结构的几何理论
⑵空间格子中点的坐标 用u，v，w表示空间格子中任意一点在 X、Y、Z轴上的坐标。当在单位平行六 面体内确定某个点的坐标时，一般采用 分数坐标，此时，将一个轴单位的长度 定为1。 Crystallography
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第八章 晶体结构的几何理论
Z
Z
Y
c b Y
X
b
c
a
a X
(1)
(2)
Crystallography
第八章 晶体结构的几何理论
Z Z
c b Y
c b a X
Y
a X
(3)
(4)
Crystallography
第八章 晶体结构的几何理论
答案： (1)：(-11-1)面 (2)：(112)面 (3)： (211)方向 (4)：(1-11)方向 Crystallography
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第八章 晶体结构的几何理论
三斜面心格子转变为三斜原始格子
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第八章 晶体结构的几何理论
β
体心格子
底心格子
单斜体心格子转变为单斜底心格子
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第八章 晶体结构的几何理论
β
B心格子 原始格子
单斜B心格子转变为单斜原始格子
Lattice Planes and Miller Indices
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第八章 晶体结构的几何理论
Lattice Planes and Miller Indices
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第八章 晶体结构的几何理论
Lattice Planes and Miller Indices
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第八章 晶体结构的几何理论
既然平行六面体有七种形状和四种结点 分布方式，那么，空间格子为什么不是 28种而是14种呢？
Crystallography
第八章 晶体结构的几何理论
这是因为某些格子类型是重复的；还有 些格子类型与所在晶系的对称不符，因 而不能出现在该晶系中。
⑺三方晶系－菱面体格子 单位平行六面体参数： a=b=c； α=β=γ≠90°, 60°, 109°28′16″
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第八章 晶体结构的几何理论
90°
菱面体格子α=90°时, 可划分成立方原始格子
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第八章 晶体结构的几何理论
109°18′06″
Crystallography
第八章 晶体结构的几何理论
2.晶胞参数
晶胞的形状大小由晶胞参数a、b、c和 α、β、γ来表征。其数据与对应的 单位平行六面体参数完全一致。
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第八章 晶体结构的几何理论
立方面心格子
晶胞
石盐的晶体结构
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第八章 晶体结构的几何理论
第八章 晶体结构的几何理论
第八章 晶体结构的几何理论
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第八章 晶体结构的几何理论
主要教学内容
十四种空间格子*
晶胞* 空间格子中点的坐标、行列及面网 符号*
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第八章 晶体结构的几何理论
晶体内部结构的对称要素* 空间群#
等效点系#
⑵单位平行六面体参数
a，b，c；α，β，γ 为单位平行六面体参数。
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第八章 晶体结构的几何理论
2.单位平行六面体的形状
⑴ 等轴晶系－立方格子 单位平行六面体参数 a=b=c；α=β=γ=90°。
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第八章 晶体结构的几何理论
⑵四方晶系－四方格子 单位平行六面体参数： a=b≠c； α=β=γ=90°。
第八章 晶体结构的几何理论
[021]
空间格子中的行列符号
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第八章 晶体结构的几何理论
[001]
[010]
[100]
Directions in a Cubic Unit Cell
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第八章 晶体结构的几何理论
[011] [101]
[110]
Directions in a Cubic Unit Cell