人教版高中数学必修五1.1.2余弦定理公开课教学课件 (共17张PPT)

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人教A版高中数学必修5第一章1.1.2 余弦定理课件(共19张PPT)

及时巩固
。
1、在△ABC中，若三边a,b,c满足，则A= 。
2、△ABC中，已知这个三角形是
三角形
总结
（1）余弦定理适用于任何三角形（2）余弦定理的作用：
a、已知三边，求三个角
b、已知两边及这两边的夹角，求第三边，进而可求出其它两个角
c、判断三角形的形状
（3）由余弦定理可知：
A 9 0 o a 2 b 2 c 2 A 9 0 o a 2 b 2 c 2 A 9 0 o a 2 b 2 c 2
Ca
B
A2 C si2nCC2B 2CB Ac CoCsA2 C co2C s
A2 C C2B 2CB Ac CoCs
c 2 a 2 b 2 2 acb C os
新情课境探引究入
你还有别的方法吗？
A
b
c
Ca
c2a2b2 勾股定理
你能用向量证明勾股定理吗？
即证
2
2
2
ABACCB
B ABACCB
新情课境探引究入向量法 A 那么一般三角形呢
当角C为锐角时
A
证明：过A作AD CB交CB于D
b
c
在Rt ADC中
A A D sC C i,C n A D cC C o C s a D
B
在 RtABD中
A2BA2 D B2 D
(AsCiC n)2(C BC)D 2
A2 C si2nCC2B 2CB Ac CoCsA2 C co2C s
A2 C C2B 2CB Ac CoCs
A ( b cC , o b sC s i ) B ( n , a , 0 ) C ( , 0 , 0 )
A2 B (bcoCsa)2(bsiC n0)2 b2co2C s2acboCsa2b2si2n C a2b22acboCs c 2 a 2 b 2 2 acb C os

高二数学公开课课件：必修五《1.1.2余弦定理》(共29张PPT)

思考：
已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？
如：已知b=4,c= ,C=60° 求边a.
剖析剖析定理
（3）已知a、b、c（三边），可
以求什么？
a2 = b2 +c2 - 2bccosA b2 = a2 +c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC
练习: 求sin2 700 sin2 500 sin 700 sin 500的值.
解 :原式 sin2 700 sin2 500 2sin700 sin500 cos600
sin2 600 3 4
剖析剖析定理
问题3：余弦定理在解三角形中的作用
是什么？
（1）已知三边求三个角 SSS
余弦定理
证明
解析法
y
证明：以CB所在的直线为x轴，过示的坐标系，则A、B、C三点的坐标
分别为：
x
C(0, 0) B(a, 0) A(bcosC,bsin C)
AB 2 (b cosC a)2 (b sin C 0)2
b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin 2 C
情景问题
千岛湖
在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，
∠B=120o，求 AC
岛B 屿B
A岛屿A
120°
?
岛C 屿C
用正弦定理能否直接求出 AC？
看一看想一想
直角三角形中的边a、
b不变，角C进行变动
AAA AA AA
AA
ccccc cbc bbb bb c b c b

人教A版数学必修五第一章1.1.2 余弦定理同步教学课件(共25张PPT)

因此 A＝45°. 故 C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
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结束
[类题通法] 已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这个问题[在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的]，故用余弦定理求解较好．
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结束
[活学活用] 在△ABC 中，已知 a＝2 2，b＝2 3，C＝15°，解此三角形．解：c2＝a2＋b2－2abcos C＝(2 2)2＋(2 3)2－2×2 2×2 3 ×cos(45°－30°)＝8－4 3＝( 6－ 2) 2， ∴c＝ 6－ 2.
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(2)∵a∶b∶c＝1∶ 3∶2， ∴设 a＝x，则 b＝ 3x，c＝2x(x>0)．由余弦定理，得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝3x22＋34xx·22－x x2＝ 23，∴ A＝30°.同理 cos B＝12，cos C＝0， ∴B＝60°，C＝90°.
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结束
1.利用正、余弦定理求解平面图形中线段长 [典例] (12分)如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD， AD ＝ 10 ， AB ＝ 14 ， ∠BDA ＝ 60° ， ∠BCD ＝ 135° ，求 BC 的长．
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高中数学人教B版必修五1.1.2《余弦定理》ppt课件

【自主解答】 (1) 法一 cos 15°＝ cos(45°－ 30°) ＝
6＋ 4
2，sin 15°＝sin(45°－30°)＝
6－ 4
2 .
由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2 2×( 6
＋ 2)＝8－4 3，
∴c＝ 6－ 2.又 b>a，∴∠B>∠A，∴角 A 为锐角．
在△ABC 中，若 acos A＋bcos B＝ccos C．试判断△ABC 的形状．
【解】由余弦定理可得 a·b2＋2cb2c－a2＋b·a2＋2ca2c－b2＝c·a2＋2ba2b－c2，等式两边同乘以 2abc，得 a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＝c2(a2＋b2－c2)，整理化简得 a4＋b4－2a2b2＝c4， ∴(a2－b2)2＝c4.
1．1.2 余弦定理
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题．
2．过程与方法通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦
定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力．
3．情感、态度与价值观探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想．通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义．
由余弦定理推论得： cos C＝a2＋2ba2b－c2＝9k2＋22·35kk·25－k 49k2＝－12， ∴∠C＝120°，即最大内角为 120°.
1．本题已知的是三边的关系，设出三边的大小是解题的关键．
2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角．

人教版数学必修五1.1.2 余弦定理课件 (共17张PPT)

2tanα 1-tan2α
06:37:52
创设情境兴趣导入
引例 2009年10月，内蒙古交通设计研究院有限责任公司在设
计丹锡高速赤峰二道井子段（K166+280～K166+570）时,为保护
夏家店文化文物，需要挖掘隧道，勘测人员将隧道口A和B定位在山的两侧(如图）,在平地上选择适合测量的点C ，如果∠C=60°,
可以证明，上述结论对于任意三角形都成立．于是得到余弦定理．
06:37:52
动脑思考探索新知
余弦定理三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边的长与它们的夹角的余弦乘积的2倍. 即 2 2 2 a b c 2bc cos A
b a c 2ac cos B
c a b 2ab cos C
第一章
三角公式及应用
1.2.1 余弦定理
授课班级：14普教授课教师：郭清山 2016年11月6日
06:37:52
知识积累复习巩固
1、正弦二倍角公式 sin2α= 2sinαcosα
2、余弦二倍角公式 cos2α-sin2α cos2α= 2cos2α-1 1-2sin2α 3、正切二倍角公式 tan2α=
约为12.12m.
D B
A
06:37:52
归纳总结理论升华
余弦定理的内容是什么？
a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2ab cos C
夜半偶句
余弦定理考夹角，两边平方和求好；减去倍乘抠塞角，三边平方见分晓。
分析这是已知三角形 ∠A=44°25′，的三边，求其它元素的问题，可以直 ∠B=101°32′，接应用余弦定理变 ∠C=180°-∠A-∠B=34°3′. 形公式1.22．查表或计算器可得

人教版高中数学必修5(A版) 1.1.2《余弦定理》 PPT课件

A
c a
B
C
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A
C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？ ①已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.
A C B

情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角？
练习：
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角
形(角度精确到1 , 边长精确到0.1cm):
(1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2 ； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3 .
o o
o
课堂小结
1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 2. 余弦定理的应用范围： ①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，求第三边.
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

高中数学必修五全册课件PPT(全册)人教版

答：此船可以继续一直沿正北方向航行
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径）（边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A

人教版高中数学课件-高中数学必修五课件：1.1.2-2《余弦定理》(人教A版必修5)

[分析] 本题主要考查了余弦定理及大边对大角等平面几何性质，要求出最大内角的正弦值，须先确定哪条边最大(同时表达出边a、b、c的长)，然后应用余弦定理先求出余弦值，再求正弦值．
[解] 设 b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，其中 k>0.易解得
a＝72k，b＝52k，c＝32k，
3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝ 60°，则a＝________.
4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角 C等于________．
解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ ab.
又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝a2 ＋b2－2abcosC.
由正弦定理sianA＝sincC得
sinC＝csianA＝5×7
3 2 ＝5143，
∴最大角 A 为 120°，sinC＝5143.
[例3] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝ 2bccosBcosC，试判断三角形的形状．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
① 边角之间的关系： b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC；
利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：各角
(1)已知三边，求
第；三边和其他两个角
(2)已知两边和它们的夹角，求．
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是
( )
A．锐角三角形形
B．直角三角
C．钝角三角形
D．非钝角三角形
解析：因为 AB2 ＋ BC2 － AC2 ＝ 52 ＋ 62 － 82<0，
[分析] 由条件知C为边a、b的夹角，故应由余弦定理来求c的值．

人教A版高中数学必修五1.1.2 余弦定理课件

cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
cos C a2 b2 c2 。 2ab
4.余弦定理可以解决有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角；
（3）判断三角形的形状。
500m
?
B
120° 300m
C
1、如何用初中的三角方法来求AB的长 2、如何边、角为一般的结论是否成立
向量法证明余弦定理
?
如图，由向量的减法，A
B
AB CB CA C
AB AB (CB CA) (CB CA)
AB AB CB CB CACA 2CB CA
2
2
2
AB CB CA 2CB CA cosC
c2 a2 b2 2ab cosC
合作探究
1的、对若边已边知长△c。ABC中A两边长a，b和角C，求角C
c
b
B
C
a
2、若已知△ABC中两边长b ， c和角A，求角A
的对边边长a。
3、若已知△ABC中两边长a ， c和角B，求角B 的对边边长b 。
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？在已知三边和一个角的情况下：求另一个角正余弦弦定定理理
(1)用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断取舍。
(2)用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断取舍。
思考
我们讨论的解三角形的问题可以分为几种
1.1.2 余弦定理

人教A版高中数学必修五PPT课件：.2余弦定理

人教A版高中数学必修五PPT课件：.2 余弦定理
用余弦定理,可解决两类问题：
A
b
c
C
a
B
①已知两边和它们的夹角, 求第三边和其它两个角；
②已知三边，求三个角.
人教A版高中数学必修五PPT课件：.2 余弦定理
思考：余弦定理的使用范围是什么？人教A版高中数学必修五PPT课件：.2余弦定理
若三角形ABC为直角三角形，则余弦定理的表达式有怎样的变化？ △ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
2bc
2 2( 3 1)
2
A 60
cosB a2 c2 b2 ( 6)2 ( 3 1)2 22
2ac
2 6 ( 3 1)
2 2
B 45
C 180 A B 180 60 45 75
人教A版高中数学必修五PPT课件：.2 余弦定理
练习：
1.在三角形ABC中，若a 3,b 1, c 2,则A 6_0__ _______
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：BC2 | AB |2 | AC |2 2 | AB | AC | cos A
12 ( 3)2 21 3 1 7
2
22 4
BC 7 2
人教A版高中数学必修五PPT课件：.2 余弦定理
求 A、B、C 的值。
解：（1） a 2 = b 2 + c 2 －2 b c ·cos A=84
a= 2 21
人教A版高中数学必修五PPT课件：.2 余弦定理
人教A版高中数学必修五PPT课件：.2 余弦定理

1.1.2余弦定理-人教A版高中数学必修五课件

试一试
若三角形的三边为7，8，3，试判断此三角形的形
状.
钝角三角形
四.小结
四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角。（3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（4）已知三边，求三个角。
五、题型探究
题型一余弦定理的简单应用
解：由余弦定理知，有 cos B a 2 c 2 b2 , 2ac
代入c a cos B, 得c a a 2 c 2 b2 , b2 c 2 a 2 2ac
△ABC是以A为直角的直角三角形，sin C c a
又 b a sin C, b a c c. a
△ ABC也是等腰三角形
又 2cos Asin B sin C,且sin B 0 cos A sin C c . 2sin B 2b
由余弦定理，有 cos A b2 c 2 a 2 , 2bc
c b2 c 2 a 2 ,即c 2 b2 c 2 a 2 , a b
2b
2bc
又 (a b c)(a b c) 3ab，且a b
例3、在△ABC中，a2>b2+c2，那么A是( A )
A、钝角
B、直角
C、锐角
D、不能确定
结论：一般地,判断△ABC是锐角，直角还是钝角
三角形,可用如下方法.
设a是最长边,则由 cos
A
b2
c2
a2
可得
2bc
（1）A为直角⇔a²=b²+c²
（2）A为锐角⇔a²<b²+c²
（3）A为钝角⇔a²>b²+c²
又 2cos Asin B sin C,

人教版高中数学必修5课件：1.1.2余弦定理(说课)(共20张PPT)

角形
5.学生练习
人教版A版高中数学必修5
玉林高中饶蔼
通过探究学会掌握两种表示运用
过程与方法：
培养特殊到一般提升解决几何问题
情感态度价值观：
数学来源于生活学习热情合作能力
一.教材分析
重点
发现与证明及基本应用
难点
几何法证明应用思路
二.学情分析
知识起点
正弦定理知两角与任一边知两边与对应角
经验起点
几何问题建立直角坐标系
向量知识
问题1 问题2 问题3 问题4
问题5
对“冷艳”的数学进行“火热”的思考
突出重点
亮点：基于教材高于教材培养思维能力拓展思维空间
突破难点
例题讲解，解决问题
例1：在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.
知两边与夹角
例2：在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.
三角形的形状具有什么特点？强化能力
探究题：小组课后学习P8的《探究与发现》，小组探究“知两边与对应角”题型的解的情况问题。
拓展思维
板书设计
1.余弦定理
2.证明方法: (1)几何法; (2)向量法； (3)坐标法；
1.1.2余弦定理
3.例题讲解
4.小结
(1)已知三边求任意角;
(2)已知两边、一角解三
三.教学方法
问题导学
小组探究
总结反思
构建
学生主体
四.教学过程
一 • 创设情境，引入课题 6分钟二 • 合作探究，证明定理 20分钟三 • 例题讲解，解决问题 6分钟四 • 牛刀小试，学以致用 4分钟五 • 课堂小结，回顾反思 3分钟六 • 布置作业，巩固升华 1分钟

人教版高中数学必修五1.1.2余弦定理公开课教学课件 (共14张PPT)

思考：可否通过正弦定理解决？
技巧：在三角形中与三边有关问题，通常优先选择余弦定理及其推论。
a2b2c22bc oAs的三边一角四知个三量求中一
当堂检测 1、在 AB中 Ca， 7,b43,c 1, 3 求最小
2 、 A 在中 Bb C ， 3 ,c 33 ,B ,求 a 。 6
适用范围：已知两边夹角，求第三边。
问题引入：
余弦定理指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系。那应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边，确定三角形角的问题吗？怎样确定呢？
讨论：
在 A中 BCa ， 2 , b2 , c31 ，A求。
余弦定理
a2b2c22bcco As b2a2c22acco Bs c2a2b22acbo Cs
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。。2021年8月2021/8/52021/8/52021/8/58/5/2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/8/52021/8/5August 5, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。2021/8/52021/8/52021/8/52021/8/5
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。2021/8/52021/8/5T hursday, August 05, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/52021/8/52021/8/58/5/2021 12:41:06 AM
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡。2021/8/52021/8/52021/8/5Aug-215-Aug-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/8/52021/8/52021/8/5T hursday, August 05, 2021