初中数学拓展课程精品教案：《四点共圆巧解难题》
初二数学最新教案-初二数学竞赛辅导四：四点共圆 精品
初二数学竞赛辅导四：四点共圆
例题分析：
1、如图，设AB 为圆的直径，过点A 在AB 的同侧作弦AP 、AQ ，交B 处的切线于点R 、S ，求证：P 、Q 、S 、R 四点共圆
2、设A 为圆O 外一点，AB 、AC 和圆O 分别切于B 、C 两点，APQ 为圆O 的一条割线，过点B 作BR//AQ 交圆O 于点R ，连接CR 交AQ 于点M ，试证：A 、B 、C 、O 、M 五点共圆
3、如图，在ABC ∆中，AD 是BC 上的高，BE 是CA 上的高，CF 是AB 边上的高，三条高线相交于点H ，从A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中可以找到多少组四点共圆
4、在A B C ∆中，0030,70=∠=∠ACB ABC ，P 、Q 为三角形内两点，010==∠QCB QBC ，020=∠=∠PCB PBQ ，求证：A 、P 、Q 三点共线
5、直线AB 和AC 与圆O 分别相切于B 、C 两点，P 为圆上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为6厘米、4厘米，试求P 到BC 的距离
6、如图，已知在ABC ∆中，4:2:1::=∠∠∠C B A ，求证：BC
AC AB 111=+
7、在A B C ∆中，AB=AC ，D 为BC 中点，AC BE ⊥于E ，交AD 于P ，已知BP=3，PE=1，求PA
8、如图，AB 为定圆O 中的定弦（不是直径），作圆O 的弦199819982211,,,D C D C D C ，对其中的每一个i i D C i i ),19981(≤≤都被AB 平分于i M ，过i i D C ,分别作圆O 的切线，两切线交于i P ，求证：点1998321,,,,P P P P 与某定点等距离，并指出这定点是什么点？。
初二数学最新教案-初二数学竞赛辅导四：四点共圆 精品
初二数学竞赛辅导四：四点共圆
例题分析：
1、如图，设AB 为圆的直径，过点A 在AB 的同侧作弦AP 、AQ ，交B 处的切线于点R 、S ，求证：P 、Q 、S 、R 四点共圆
2、设A 为圆O 外一点，AB 、AC 和圆O 分别切于B 、C 两点，APQ 为圆O 的一条割线，过点B 作BR//AQ 交圆O 于点R ，连接CR 交AQ 于点M ，试证：A 、B 、C 、O 、M 五点共圆
3、如图，在ABC ∆中，AD 是BC 上的高，BE 是CA 上的高，CF 是AB 边上的高，三条高线相交于点H ，从A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中可以找到多少组四点共圆
4、在A B C ∆中，0030,70=∠=∠ACB ABC ，P 、Q 为三角形内两点，010==∠QCB QBC ，020=∠=∠PCB PBQ ，求证：A 、P 、Q 三点共线
5、直线AB 和AC 与圆O 分别相切于B 、C 两点，P 为圆上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为6厘米、4厘米，试求P 到BC 的距离
6、如图，已知在ABC ∆中，4:2:1::=∠∠∠C B A ，求证：BC
AC AB 111=+
7、在A B C ∆中，AB=AC ，D 为BC 中点，AC BE ⊥于E ，交AD 于P ，已知BP=3，PE=1，求PA
8、如图，AB 为定圆O 中的定弦（不是直径），作圆O 的弦199819982211,,,D C D C D C ，对其中的每一个i i D C i i ),19981(≤≤都被AB 平分于i M ，过i i D C ,分别作圆O 的切线，两切线交于i P ，求证：点1998321,,,,P P P P 与某定点等距离，并指出这定点是什么点？。
四点共圆公开课教案教学设计课件资料
四点共圆公开课教案教学设计课件资料教学目标：1. 让学生理解四点共圆的定义和性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生合作交流、思考探索的能力。
教学内容：1. 四点共圆的定义和性质2. 四点共圆的证明方法3. 四点共圆在实际问题中的应用教学准备：1. 课件和教学素材2. 几何画板或白板3. 练习题和答案教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用课件或实物展示四点共圆的实例，引导学生观察和思考。
2. 提问：你们能找出这个图形的特征吗？它是如何定义的？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解四点共圆的定义和性质，通过示例和几何画板进行演示。
2. 引导学生思考和讨论四点共圆的证明方法，给出几种常见的证明方法。
三、案例分析（15分钟）1. 给出几个实际问题，让学生运用四点共圆的知识进行解决。
2. 分组讨论和展示解题过程，互相交流和学习。
四、练习与巩固（10分钟）1. 给出一些练习题，让学生独立完成。
2. 老师对答案进行讲解和解析，解答学生的疑问。
2. 提出一些思考题，引导学生进行深入思考和探索。
教学评价：1. 学生对四点共圆的定义和性质的理解程度。
2. 学生运用四点共圆知识解决实际问题的能力。
3. 学生在课堂上的参与程度和合作交流的能力。
教学反思：本节课通过实例导入，引导学生观察和思考四点共圆的特征。
通过讲解和演示，让学生理解和掌握四点共圆的定义和性质。
通过案例分析和练习巩固，让学生运用所学知识解决实际问题。
整个教学过程注重学生的参与和思考，培养学生的合作交流能力。
在教学评价中，不仅要关注学生对知识的理解和应用能力，还要关注学生在课堂上的参与程度和合作交流的能力。
在今后的教学中，可以尝试更多的实际问题引入，增加学生的思考和探索空间，提高学生的学习兴趣和主动性。
六、实践操作（15分钟）目标：让学生通过实际操作，加深对四点共圆的理解和应用。
1. 利用几何画板或白板，让学生自己尝试绘制四点共圆的图形。
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件教学设计
1.探究四点共圆的条件：引导学生通过观察、思考和尝试，发现四点共圆的条件。在此过程中，教师可给予提示，如连接四点构成的四边形的对角线，引导学生发现对角线互相垂直平分的关系。
2.严谨证明：给出四点共圆的判定方法，并进行严谨的数学证明。让学生理解四点共圆的内在规律，提高几何逻辑思维能力。
3.方法总结：总结四点共圆的判定方法，并强调其在解决实际问题中的应用。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组学生共同探讨四点共圆的条件，并尝试解决实际问题。
2.交流分享：各小组派代表汇报讨论成果，分享解题思路和方法。在此过程中，教师引导学生互相评价、互相学习，提高学生的合作能力和交流沟通能力。
3.教师点评：针对学生的讨论成果，教师给予点评，指出优点和不足，引导学生进一步思考和完善。
5.培养学生的审美观念，让学生在探究四点共圆的过程中，感受数学图形的美。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面发展。同时，教师应充分利用现代教育技术手段，提高教学效果，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
二、学情分析
九年级学生在前两年的数学学习过程中，已经积累了较为扎实的几何基础知识，掌握了圆的基本性质和定理。在此基础上，学生对四点共圆的条件进行探究，既能够巩固已有的知识体系，又能激发学生对几何学习的兴趣。然而，学生在解决实际问题时，可能存在以下问题：1.对四点共圆的条件理解不深，难以运用到具体问题中；2.缺乏主动探究和合作学习的意识；3.部分学生对数学学习存在恐惧心理，信心不足。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性，引导他们通过合作探究、问题驱动等方式，克服困难，提高解决问题的能力，增强自信心。同时，注重培养学生的几何直观和空间想象能力，为今后的数学学习打下坚实基础。
初中数学拓展课程精品教案：《四点共圆的判定方法》
初中数学拓展课程精品教案
四点共圆的判定方法
一、知识准备
圆内接四边形的概念、性质
二、拓展导学
【问题呈现】
如图，在矩形ABCD 中，延长CB 至点E ，使CE=CA ，F 为AE 中点，
连结BF 、DF.
求证：BF ⊥DF 【思路点拨】 在矩形ABCD 中，∠BCD=90°,如果能证B 、C 、D 、F 四点共圆，则由四点共圆（圆内接四边形）的性质即可得∠BFD=90°.那么如何证B 、C 、D 、F 四点共圆呢？
【知识背景】
1. 圆内接四边形（四点共圆）的判定方法
判定方法（1）：如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形是圆内接四边形，也就是四边形的四个顶点共圆。
判定方法（2）：如果线段同侧的二点到线段两端点连线的夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆，也就是以这四个点为顶点的四边形是圆内接四边形。
2. 四点共圆判定方法（1）的证明 判定方法（1）：如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形是圆内接四边形，也就是四边形的四个顶点共圆。
已知：四边形ABCD 中，∠A+∠C=180°
求证：四边形ABCD 内接于一个圆（A ，B ，C ，D 四点共圆）。
教案：数学活动探究四点共圆的条件.docx
课题：活动2探究四点共圆的条件教学内容：新人教版九年级上册二T•四章圆的数学活动任课教师：南宁沛鸿民族中学董金林设计理念：教学的实质是以教材屮提供的素材或实际生活屮的一些问题为载体，通过一系列探究互动过程，渗透分类讨论、特殊到一般和转化的思想方法，达到学牛知识的构建、能力的培养、情感的升华。
一、教材及教学内容分析（-）教材的地位和作用分析探究四点共I员I的条件是新人教版九年级上册二十四章第的数学活动课。
四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点的圆、三介形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究.圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆，因此本节课是对前面所学圆知识的很好补充。
另外，木堂课通过“活动探究”、“观察一猜想一证明”等途径，进一步培养学生的动手能力、观察能力、分析能力和逻辑推理能力，因此，木堂课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育等方面都有着十分重要的作用。
（二）教学内容解析在四点共圆的条件的探究过程屮，通过对特殊的四边形（正方形、矩形、等腰梯形、菱形）以及-•般的对角线相等的四边形和对角相等的四边形四个顶点共圆规律的探究，发现一般的规律（过対角互补的四边形的四个顶点能作一个圆），体现了特姝到一般的思想.同时，在研究的过程中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件, 体现了转化的思想和方法.另外，学生经历探究四点共圆的条件这一数学活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，让学生形成口我的数学思维和能力，发展学生推理能力，发展学牛应用数学的意识，从而帮助学牛积累有效的数学活动经验.二、目标及其解析㈠教学目标：知识技能：1.了解过某个四边形的四个顶点能作一个関的条件;2 .掌握对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法数学思考：1.通过观察、比较、分析不同的四边形四个顶点能否共圆，发展学生合理推理能力和演绎推理能力；让学生经历“观察=＞实验=＞猜想=＞论证”的过程，发展学生儿何直观能力；2.通过观察图形，提高学牛的识图能力。
初中物理拓展课程精品教案：《四个节点共圆的巧解难题》
初中物理拓展课程精品教案：《四个节点共圆的巧解难题》一、教学目标本课程旨在帮助学生掌握解决四个节点共圆难题的方法和技巧，培养学生的物理思维和问题解决能力。
具体目标包括：- 理解什么是四个节点共圆问题- 掌握解决四个节点共圆问题的基本步骤和方法- 运用所学知识解决实际问题- 提高逻辑思维和推理能力二、教学内容本课程将涵盖以下内容：1. 什么是四个节点共圆问题2. 解决四个节点共圆问题的基本步骤3. 实例分析：通过案例讲解如何应用解决方法4. 练与讨论：让学生进行练和思考，加深理解和掌握程度三、教学过程步骤一：引入通过简短的引导，激发学生对四个节点共圆问题的兴趣，引发思考。
步骤二：概念讲解向学生介绍四个节点共圆问题的定义和基本概念，确保学生对问题的理解。
步骤三：解决方法讲解向学生详细介绍解决四个节点共圆问题的基本步骤和方法，包括：- 确定已知条件和待求条件- 利用几何知识分析问题- 运用相应公式或原理进行计算和推导步骤四：实例分析通过具体案例进行分析和讲解，让学生了解如何应用所学方法解决实际问题。
步骤五：练与讨论提供一些练题，让学生进行练和思考，加深对四个节点共圆问题解决方法的理解和掌握程度。
鼓励学生积极参与讨论，互相交流和分享解题思路。
四、教学评估教学过程中，教师可以通过以下方式进行评估：- 在引入环节观察学生对问题的反应和思考程度- 在概念讲解和解决方法讲解过程中观察学生对概念和方法的理解程度- 在练与讨论环节检查学生解题情况和解题思路五、教学资源- 幻灯片或投影仪展示教学内容和案例分析- 练题和答案- 黑板和粉笔六、教学延伸鼓励学生自主研究和探索更多有关几何问题的知识，例如如何解决更复杂的节点共圆问题，拓展学生的几何思维。
七、教学反思根据学生在课堂上的表现和理解情况，及时调整教学方法和步骤，注重培养学生的实际应用能力和创新思维能力。
四点共圆公开课教案教学设计课件资料
四点共圆公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 让学生理解四点共圆的定义及性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生合作交流、思考创新的能力。
二、教学内容1. 四点共圆的定义及判定方法。
2. 四点共圆的性质及其应用。
3. 运用四点共圆解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 重点：四点共圆的定义、性质及应用。
2. 难点：四点共圆的判定方法及运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究四点共圆的性质。
2. 利用多媒体课件，直观展示四点共圆的实例。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作交流能力。
4. 结合实际问题，锻炼学生的解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示生活中的四点共圆现象，引导学生关注四点共圆。
2. 探究四点共圆的定义：让学生通过观察、讨论，总结出四点共圆的定义。
3. 学习四点共圆的性质：引导学生发现四点共圆的性质，并运用性质解决问题。
4. 判定方法的学习：讲解四点共圆的判定方法，并通过实例进行分析。
5. 实践应用：让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调四点共圆的定义、性质及应用。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价目标：检查学生对四点共圆定义、性质和判定方法的理解及应用能力。
2. 评价方法：a. 课堂问答：通过提问，了解学生对四点共圆基本概念的理解。
b. 练习题：设计不同难度的练习题，评估学生对知识的掌握程度。
c. 小组讨论：评估学生在小组中的合作交流和问题解决能力。
d. 课后作业：通过作业提交，检查学生的学习效果和应用能力。
七、教学反思1. 教师在课后应对本节课的教学效果进行反思，包括：a. 学生对四点共圆概念的理解程度。
b. 教学方法的使用是否得当，学生参与度如何。
c. 教学内容的难易程度是否适合学生。
d. 课堂管理和学生提问的处理情况。
2. 根据反思结果，调整教学策略，为后续课程做准备。
初中数学拓展课程精品教案：《四点共圆巧解难题》
四点共圆巧解难题一、知识准备四点共圆的概念、性质、判定方法二、拓展导学 【问题解决】例1：如图，在矩形ABCD 中，延长CB 至点E ，使CE=CA ；F 为AE 中点，连结BF 、DF.求证：BF ⊥DF 解法1：连结CF ，在等腰△ACE 中，用三线合一的性质可得CF ⊥AE ，即∠CFA=90°∴可证∠CFA+∠ADC=180°，得点A ，F ，C ，D 共圆， 即F 在△ACD 的外接圆上又∵在矩形ABCD 中，可证∠ABC+∠ADC=180°， 得点A ，B ，C ，D 共圆，即B 在△ACD 的外接圆上 ∴可得点F ，B ，C ，D 四点共圆，由圆内接四边形对角互补的性质可证∠BFD+∠BCD=180°，可得∠BFD=90°，即BF ⊥DF.解法2：①图形所在平面内找出一点，如果能使这一点到点F ，B ，C ，D 的距离都相等，那么由点与圆的位置关系可得这四点共圆；②连结BD ，与AC 交于点G ，由矩形对角线相等且互相 平分的性质可得BG=DG=CG ；③连结FG ，由点F ，G 分别是AE ，AC 的中点得FG 是△AEC 的一条中位线，所以可证FG = CE =CA=CG ， 即FG=BG=DG=CG ；④由点与圆的位置关系可得点F ，B ，C ，D 都在以点G 为圆心、FG 的长为半径的圆G 上，即点F ，B ，C ，D 四点共圆（后续过程同解法1）.【难题呈现】例2：如图，锐角△ABC 中，∠A=60°，BC=4，△ABC 的面积等于6，点P 是BC 边上的动点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E.FDABCF AGF DAB C求线段DE 的最小值.【思路点拨】1．求线段长度的最值问题常用方法有：利用轴对称转化；建立函数关系.2．线段DE 是哪一个圆中的一条弦？这个圆的大小和线段DE 长有关吗？尝试用四点共圆来探求新的解决方法.【巧解难题】四点共圆法60°常规解法60°O P 2P 1E DE D ABCCBAPP常规解法：分别延长PD 、PE 至点P 1、P 2，使PD=P 1D ，PE=P 2E ，连结P 1P 2 则可得DE 为△P P 1P 2的一条中位线∴P 1P 2=2DE ，既当P 1P 2最小时，DE 也随之达到最小值. 连结AP ，AP 1，AP 2由垂直平分线的性质可证：AP 1=AP= AP 2由等腰三角形三线合一的性质可证：∠P 1AP 2=∠P 1AP+∠P 2AP=2×60°=120° ∴在顶角为120°的等腰△P 1AP 2中，P 1P 2 = AP 1=AP即当AP 最小时，P 1P 2也随之达到最小值又∵由题意可得，当AP ⊥BC 时，AP 最小，且此时可求得AP=3 ∴此时P 1P 2=，AP=3∴DE min = P 1P 2min =四点共圆法：①由PD ⊥AB 、PE ⊥AC 可证∠ADP+∠AEP=180°；则点A ，D ，P ，E 四点共圆60°E D AB（设为圆O）且AP为该圆直径；②DE为圆O中60°圆周角对的弦，可得当圆O的直径AP最小时弦DE也就最小；③由P是BC边上动点得当AP⊥BC时，AP最小，此时DE也取得最小值；由BC=4、S△ABC=6可得AP min=3；④可求得直径为3的圆中，60°圆周角对的弦长是；由同圆（等圆）中相等的圆周角所对的弦相等得DE min =.【经验分享】四点共圆法也能用来求线段长度的最值问题。
四点共圆公开课教案教学设计课件资料
四点共圆公开课教案教学设计课件资料教学目标：1. 让学生理解四点共圆的定义和性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和团队合作能力。
教学重点：1. 四点共圆的定义和性质。
2. 运用四点共圆解决实际问题。
教学难点：1. 四点共圆的证明。
2. 灵活运用四点共圆解决复杂问题。
教学准备：1. 教学课件。
2. 几何图形工具。
3. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用课件展示生活中的圆形现象，如太阳、地球、圆桌等，引导学生关注圆形的特征。
2. 提问：你们知道圆形有哪些性质吗？二、新课导入（10分钟）1. 介绍四点共圆的定义：在平面上有四个点，若这四个点恰好在同一个圆上，则称这四个点为四点共圆。
2. 引导学生通过观察和推理，总结四点共圆的性质。
三、案例分析（10分钟）1. 利用课件展示四个点共圆的实例，让学生观察并分析。
2. 引导学生运用四点共圆的性质解决实际问题。
四、课堂练习（10分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。
2. 选取部分学生的作业进行点评和讲解。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结本节课的主要内容和知识点。
2. 提出拓展问题，激发学生的思考和兴趣。
教学反思：本节课通过导入、新课、案例分析、课堂练习和总结拓展等环节，让学生掌握了四点共圆的定义和性质，并能运用到实际问题中。
在教学过程中，注意调动学生的积极性，培养他们的观察能力和推理能力。
通过小组合作，培养学生的团队合作意识。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标。
六、课堂互动与讨论（10分钟）1. 引导学生分组进行讨论，每组选择一个实际问题，运用四点共圆的知识进行解决。
2. 邀请几组学生分享他们的解题过程和答案，讨论不同解题方法的优劣。
七、应用拓展（10分钟）1. 利用课件展示一些与四点共圆相关的实际问题，让学生独立解决。
2. 引导学生思考四点共圆在现实生活中的应用，如建筑设计、交通规划等。
八、总结与复习（10分钟）1. 带领学生总结本节课的主要内容和知识点，强调四点共圆的定义和性质。
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件优秀教学案例
（一）情景创设
1.利用多媒体课件展示现实生活中的四点共圆现象，如圆形桌面、车轮等，让学生感受四点共圆的存在，激发学生的学习兴趣。
2.设计问题情境，让学生思考：为什么圆形的桌面不会倒下？四点共圆的条件是什么？
3.创设实践情境，让学生动手画出四点共圆的图形，并尝试找出四点共圆的条件。
（二）问题导向
1.提出问题：什么是四点共圆？四点共圆的条件是什么？
2.引导学生思考：如何判断四个点共圆？有哪些方法可以验证四点共圆的条件？
3.鼓励学生提出问题：在探究过程中，你们遇到了哪些困难？如何解决？
（三）小组合作
1.将学生分成若干小组，每组四人，以便于合作探究。
2.分配任务：每组需找出四点共圆的条件，并进行验证。
（五）作业小结
1.布置作业：让学生运用所学知识解决实际问题，巩固四点共圆的条件。
2.鼓励学生在课后进行深入思考和探究，培养他们的独立学习能力。
（二）过程与方法
1.培养学生观察、操作、猜想、验证的探究能力，使其掌握科学研究的方法。
2.引导学生运用合作交流的方式，提高团队协作能力和沟通能力。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升创新实践能力。
为实现这一目标，我设计了丰富的教学活动。首先，通过多媒体课件展示生活中的四点共圆现象，引导学生观察和思考。其次，让学生动手画出四点共圆的图形，并提出可能的判定条件。在此基础上，组织学生进行小组讨论，交流各自的猜想，并进行验证。最后，我将实际问题引入课堂，让学生运用所学知识解决，提高他们的实践能力。
2.组织小组讨论：让学生交流自己的猜想，互相启发，共同解决问题。
3.教师巡回指导：关注学生在讨论过程中的需求和困难，给予及时的指导和帮助。
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件(教案)
此外，学生在小组讨论环节表现得相当积极，提出了很多有创意的想法。这说明学生们在探究四点共圆的条件方面，具有一定的兴趣和热情。但同时，我也注意到有些小组在讨论过程中，偏离了主题。为了提高讨论的效率，我应该在学生讨论时，适时地进行引导和调整。
2.培养学生的逻辑推理能力，让学生在探讨四点共圆的过程中，学会运用几何定理和逻辑推理方法，形成严密的思维习惯；
3.培养学生的数学建模能力，使学生能够运用所学知识解决实际问题，如求圆的方程、判断四个点是否共圆等，提高数学应用能力；
4.培养学生的团队合作意识，通过小组合作探讨、交流四点共圆的条件，培养学生的沟通能力和协作精神。
1.讨论主题：学生将围绕“四点共圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
这些核心素养目标与新教材要求相符，有助于学生全面发展，为今后的学习和生活打下坚实基础。
三、教学难点与点共圆的定义及判断方法，包括相交弦定理、圆周角定理等；
（2）学会运用作图工具验证四点共圆，并能解决实际问题，如求圆的方程、判断四个点是否共圆等；
（3）理解圆的相关性质，如圆心角、圆周角、弦等之间的关系。
四点共圆公开课教案教学设计课件资料
四点共圆公开课教案教学设计课件资料一、教学目标：1. 让学生理解四点共圆的定义和性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的观察能力、推理能力和团队合作能力。
二、教学内容：1. 四点共圆的定义和性质。
2. 如何判断四点是否共圆。
3. 应用四点共圆解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：四点共圆的定义和性质，判断四点是否共圆的方法。
2. 教学难点：运用四点共圆解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究四点共圆的性质。
2. 利用几何画板软件，直观展示四点共圆的过程。
3. 开展小组讨论，培养学生团队合作能力。
4. 结合实际案例，培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
五、教学过程：1. 导入：利用几何画板软件展示四个点共圆的案例，引导学生思考四点共圆的性质。
2. 新课：讲解四点共圆的定义和性质，引导学生通过观察、推理得出结论。
3. 练习：布置一些判断四点是否共圆的练习题，巩固所学知识。
4. 拓展：结合实际案例，让学生运用四点共圆的知识解决实际问题。
5. 小结：对本节课的内容进行总结，强调四点共圆的定义和性质。
6. 作业：布置一些有关四点共圆的练习题，巩固所学知识。
7. 反馈：收集学生作业，了解掌握情况，为下一步教学做好准备。
六、教学评价：1. 采用课堂提问、练习题和小组讨论等方式，评价学生对四点共圆定义和性质的理解。
2. 关注学生在实际问题中的应用能力，评价其运用四点共圆解决问题的关键步骤。
3. 观察学生在团队合作中的表现，评价其沟通、协作能力及解决问题的策略。
七、教学反思：1. 教师需在课后对自己的教学进行反思，分析教学过程中的优点与不足。
2. 根据学生的反馈，调整教学方法，以提高教学效果。
3. 针对学生的掌握情况，对后续教学内容进行调整，确保教学进度与学生能力相匹配。
八、教学拓展：1. 探讨四点共圆在实际生活中的应用，如建筑设计、电路布局等。
中学数学 四点共圆巧解 课件
课堂精讲
例 1 (2019·潍坊)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB
为直径，AD＝CD，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，连接 AC 交 DE 于
点 F.若 sin∠CAB＝35，DF＝5，则 BC 的长为(
)
A．8
B．10 C．12 D．16
课堂精讲
【分析】连接BD，如图，先利用圆周角定理证明 ∠ADE＝∠DAC得到FD＝FA＝5，再根据正弦的定义计算 出EF＝3，则AE＝4，DE＝8，接着证明△ADE∽△DBE， 利用相似比得到BE＝16，所以AB＝20，然后在Rt△ABC 中利用正弦定义计算出BC的长．
课堂精讲
例2 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对 角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，过点 C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，求OF的长．
课堂精讲
【分析】方法一：∵正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是 对角线 AC，BD 的交点．∴△AOB，△AOD，△BOC，△COD 为 等腰直角三角形，且 AO＝BO＝CO＝DO＝3 2.∵DE＝2CE， ∴CE＝2，DE＝4.∴BE＝2 10(在 Rt△BCE 中用勾股定理求 得)．然后利用△BCF∽△BEC，求得 BF.利用BBFD＝BBEO，易证 △BOF∽△BED，根据比例求解 OF 即可．
数学
考点解读
四点共圆在圆内接四边形综合问题的求解中占据 了重要地位，都是在大题中结合题目的几何背景进行 综合考查，重在考查学生对知识的应用能力．考查的 基本类型有：利用四点共圆证相似，利用四点共圆求 最值，这些问题大都利用转化思想，将几何问题转化 为四点共圆问题，使题目能简单求解.
方法提炼
1.四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四 个点共圆，一般简称为“四点共圆”． 2．四点共圆的性质 (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的 顶角相等． (2)圆内接四边形的对角互补． (3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
初中数学九年级《探究四点共圆的条件》公开课教学设计
第24章活动2 《探究四点共圆的条件》教学设计班级姓名座号一、课型：综合活动课二、活动目标：1、探究四边形四个顶点共圆的条件。
2、通过观察、比较、分析不同的四边形四个顶点能否共圆，提高学生识图能力，发展学生合情推理和演绎推理的能力。
3、在探究四边形四个顶点能够共圆的问题中，学会运用从特殊到一般的数学思想，能利用转化思想来解决问题，感受解决问题的多样性。
三、重点：通过活动探究四点共圆的条件。
难点：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法。
四、学情分析：经历《圆》的全章单元学习后，学生对圆的相关知识点还未能透彻贯通，需要加强能力方面的训练。
让学生自己结合线索推理发现、得出结论，课堂教学既要重视数学结论的探索过程，又要强化各种技能之间的综合运用。
五、教具：多媒体设备（含几何画板、PPT、投影展台）六、教学反思：四点共圆研究方法具有多样性和灵活性，理解点和圆的位置关系，实现位置关系和数量关系的相互转化，体现知识的普遍联系和深入发展特性，丰富学生的研究方法。
通过观察、实验操作、归纳猜想、验证活动，使不同层次学生思维水平和推理水平有不同的提高。
表格式梳理对照，自学复习相关知识点，以数学活动为契机，培养探索精神，调动全章圆的知识的相关储备，串联综合运用的能力猜想并加以验证。
七、课堂过程活动一、考题片段引入如图，已知矩形ABCD,，动点E 从点B 沿线段BC 运动到点C 停止，连结AE,以AE 为边作矩形AEFG,使边FG 过点 D.直接写出点G 所经过的路径长。
关键：点G 路径是什么样的轨迹？★（设计意图）从考题片段引入，清晰给出学习目标，引发学生思考。
在完成表格二猜想一后再进行展开，结合几何画板演示动态过程，运用新结论，形成基本数学图形模式。
活动二、复习旧知类比迁移表格一多边形任意一个三角形任意一个四边形有且只有个外接圆外接圆多边形名称内接三角形（根据圆的定义）共圆的顶点要具备的条件三个顶点到定点（心）的距离都等于定长（即）即：OA=OB=OC个顶点到定点（心）的距离都等于定长（即）即：OA=OB=OC=OD 定点（外心）的作法任意两边交点任意两边交点提醒：三角形也是任意多边形组成的基本图形单位。
教案：数学活动探究四点共圆的条件.docx
课题：活动2探究四点共圆的条件教学内容：新人教版九年级上册二T•四章圆的数学活动任课教师：南宁沛鸿民族中学董金林设计理念：教学的实质是以教材屮提供的素材或实际生活屮的一些问题为载体，通过一系列探究互动过程，渗透分类讨论、特殊到一般和转化的思想方法，达到学牛知识的构建、能力的培养、情感的升华。
一、教材及教学内容分析（-）教材的地位和作用分析探究四点共I员I的条件是新人教版九年级上册二十四章第的数学活动课。
四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点的圆、三介形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究.圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆，因此本节课是对前面所学圆知识的很好补充。
另外，木堂课通过“活动探究”、“观察一猜想一证明”等途径，进一步培养学生的动手能力、观察能力、分析能力和逻辑推理能力，因此，木堂课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育等方面都有着十分重要的作用。
（二）教学内容解析在四点共圆的条件的探究过程屮，通过对特殊的四边形（正方形、矩形、等腰梯形、菱形）以及-•般的对角线相等的四边形和对角相等的四边形四个顶点共圆规律的探究，发现一般的规律（过対角互补的四边形的四个顶点能作一个圆），体现了特姝到一般的思想.同时，在研究的过程中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件, 体现了转化的思想和方法.另外，学生经历探究四点共圆的条件这一数学活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，让学生形成口我的数学思维和能力，发展学生推理能力，发展学牛应用数学的意识，从而帮助学牛积累有效的数学活动经验.二、目标及其解析㈠教学目标：知识技能：1.了解过某个四边形的四个顶点能作一个関的条件;2 .掌握对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法数学思考：1.通过观察、比较、分析不同的四边形四个顶点能否共圆，发展学生合理推理能力和演绎推理能力；让学生经历“观察=＞实验=＞猜想=＞论证”的过程，发展学生儿何直观能力；2.通过观察图形，提高学牛的识图能力。
初中物理拓展课程精品教案：《四个节点共圆的巧解难题》
初中物理拓展课程精品教案：《四个节点共圆的巧解难题》一、本课程的教学目标：1. 研究掌握欧拉圆心定理的基本内容和推导方法；2. 学会应用欧拉圆心定理和勾股定理解决实际问题；3. 发展学生的逻辑思维和分析问题的能力；4. 培养学生发现问题、解决问题的兴趣和能力。
二、本课程的重点难点：1. 欧拉圆心定理的理解与推导；2. 如何将定理应用到实际问题中去。
三、教学内容及方法：1. 欧拉圆心定理的介绍学生们通过观察示意图，分析欧拉圆心的特点及与三角形三个顶点和三条边之间的关系，引出欧拉圆心定理，并推导出定理的公式。
2. 应用欧拉圆心定理解决问题引导学生通过几个具体问题的讨论，帮助学生掌握欧拉圆心定理的应用方法与技巧，并在解决问题的过程中巩固定理的理解。
3. 欧拉圆心定理与勾股定理的综合运用引导学生分析和解决具体问题，在解决问题的过程中综合运用欧拉圆心定理和勾股定理，提高学生综合运用知识解决问题的能力。
4. 总结通过案例的讲述和问题的解决，引导学生进一步理解欧拉圆心定理的应用和作用，掌握欧拉圆心定理的应用技巧。
并在课堂上适当提出开放性问题，引导学生进一步探索、发现问题，提高逻辑思维和分析问题的能力。
四、教学评价：1. 编写小组编写教案，并制定课堂教学计划；2. 教师应监控并引导学生的研究进程，及时反馈；3. 课后记录并总结学生的表现，并及时反馈。
本课程通过欧拉圆心定理在生活中的应用，以案例的形式引导学生在知识学习过程中深化对知识的理解，发现问题、解决问题的兴趣和能力，并通过适当设置问题调动学生的积极性和主动性，提高学生综合运用知识解决问题的能力，促进学生综合素质的提高。
《四点共圆课例》教学设计
《四点共圆课例》教学设计刘得顺课型：习题课（附PPT版本）教学目标：1.探究四边形四个顶点共圆的条件。
2.通过观察、比较、分析，提高学生识图能力，发展学生合情推理和演绎推理的能力。
3.学会运用从特殊到一般的数学思想，能利用转化思想来解决问题。
重点：通过课本习题探究四点共圆的条件。
难点：习题变式、图形变换后四个点共圆的证明方法。
学情分析：通过《圆》的定义的学习后，学生对圆的相关知识还没有透彻贯通，需要加强能力方面的训练。
让学生自己结合线索推理发现、得出结论，课堂教学既要重视数学结论的探索过程，又要强化各种技能之间的综合运用。
教具准备：多媒体平台（几何画板、投影台）课堂过程：一、复习圆的定义，回顾画圆的过程。
从画圆的过程可以看出：（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）（2）到定点的距离二、教材P80例1（回忆证明思路）例1.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上∵矩形对角线互相平分只要: = = =∴A、B、C、D四点在以O为圆心，OA为半径的圆上依据是圆的定义：三．如图，△ABC中，∠A=90°，点O是BC的中点∴OA= = = BC根据是什么？回忆：这个定理证明的思路是什么？教材P81练习第3题【例1】如图，在∆ABC 中，∠C ＝90°求证：A 、B 、C 三点在同一个圆上证明：取AB 的中点O ，连接OC∵∠C ＝90°∴OC=OA=OB=21AB （依据：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∴点A 、B 、C 三点在以点O 为圆心，OA 为半径的圆上。
变式1已知: ∠A=∠D=90°.求证：A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上.变式2已知: ∠A=∠D=90°求证： A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上变式3已知: ∠A=∠D=90°.求证：A、B、C、D四点在同一个圆上拓展如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线相交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°.求∠AOC的度数小结从圆的定义出发，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，从而得到OA=OB=OC=OD，∴A、B、C、D四点在以O为圆心，BC为直径的圆上从特殊到一般，从三点共圆迁移到四点共圆，甚至N点共圆。
《数学活动：探究四点共圆的条件》教案
《数学活动：探究四点共圆的条件》教案知能演练提升一、能力提升1.如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”,则半径为2的“等边扇形”的面积为( )A.πB.1C.2D.2π32.如图,在扇形OAB 中,已知∠AOB=90°,OA=√2,过AB ⏜的中点C 作CD ⊥OA ,CE ⊥OB ,垂足分别为D ,E ,则图中阴影部分的面积为( )A.π-1B.π2-1C.π-12D.π2−123.如图,半径为10的扇形AOB 中,∠AOB=90°,C 为AB⏜上一点,CD ⊥OA ,CE ⊥OB ,垂足分别为D ,E.若∠CDE 为36°,则图中阴影部分的面积为( )A.10πB.9πC.8πD.6π4.如图,水平地面上有一面积为30π cm 2的扇形OAB ,半径OA=6 cm,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则点O 移动的距离为( )A.20 cmB.24 cmC.10π cmD.30π cm5.某花园内有一块五边形的空地如图所示,为了美化环境,现计划在以五边形各顶点为圆心,2 m长为半径的扇形区域(阴影部分)内种上花草,那么种上花草的扇形区域总面积是()A.6π m2B.5π m2C.4π m2D.3π m26.如图,△ABC是正三角形,曲线CDE……叫做“正三角形的渐开线”,其中CD⏜,DE⏜,EF⏜……的圆心依次按A,B,C循环,它们依次相连接,若AB=1,则曲线CDEF的长是.7.如图,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.筝形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.以点B为圆心,BO长⏜的长为半径画弧,分别交AB,BC于点E,F.若∠ABD=∠ACD=30°,AD=1,则EF为.(结果保留π)⏜是一段圆弧,AC,BD是线段,8.图中的粗线CD表示某条公路的一段,其中AmB⏜相切于点A,B,线段AB=180 m,∠ABD=150°.且AC,BD分别与圆弧AmB(1)画出圆弧AmB ⏜ 的圆心O ; (2)求A 到B 这段弧形公路的长.★9.如图,AB 为☉O 的直径,CD ⊥AB ,OF ⊥AC ,垂足分别为E ,F. (1)请写出三条与BC 有关的正确结论;(2)当∠D=30°,BC=1时,求圆中阴影部分的面积.二、创新应用★10.图①是某学校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图),车棚顶部是圆柱侧面的一部分,其展开图是矩形.图②是车棚顶部截面的示意图,AB ⏜所在圆的圆心为O.车棚顶部是用一种帆布覆盖的,求覆盖棚顶的帆布的面积.(不考虑接缝等因素,计算结果保留π)知能演练·提升 一、能力提升1.C 使用扇形的面积公式S=12lR 可求出其面积,即S=12×2×2=2. 2.B 3.A4.C 点O 移动的距离即扇形OAB 所对应的弧长,先运用扇形的面积公式S 扇形=nπR 2360求出扇形的圆心角n=300°,再由弧长公式l=nπR180,得l=10π cm .5.A6.4π 关键是确定圆心角和半径.因为△ABC 是边长为1的正三角形,所以CD⏜,DE ⏜,EF ⏜的圆心角都为120°,对应的半径分别为1,2,3. 因此CD ⏜=2π3,DE ⏜=4π3,EF ⏜=6π3=2π.所以曲线CDEF 的长是2π3+4π3+2π=4π. 7.π28.解 (1)如图,过点A 作AO ⊥AC ,过点B 作BO ⊥BD ,AO 与BO 相交于点O ,O 即为圆心.(2)因为AO ,BO 都是圆弧AmB ⏜ 的半径,O 是其所在圆的圆心, 所以∠OBA=∠OAB=150°-90°=60°. 所以△AOB 为等边三角形, 即AO=BO=AB=180 m . 所以AB⏜=60×π×180180=60π(m),即A 到B 这段弧形公路的长为60π m . 9.解 (1)答案不唯一,只要合理均可.例如: ①BC=BD ;②OF ∥BC ; ③∠BCD=∠A ; ④BC 2=CE 2+BE 2; ⑤△ABC 是直角三角形;⑥△BCD 是等腰三角形.(2)连接OC (图略),则OC=OA=OB.∵∠D=30°,∴∠A=∠D=30°. ∴∠AOC=120°.∵AB 为☉O 的直径, ∴∠ACB=90°.在Rt △ABC 中,BC=1,∴AB=2,AC=√3. ∵OF ⊥AC ,∴AF=CF. ∵OA=OB ,∴OF 是△ABC 的中位线. ∴OF=12BC=12.∴S △AOC =12AC ·OF=12×√3×12=√34,S 扇形AOC =13π·OA 2=π3.∴S 阴影=S 扇形AOC -S △AOC =π3−√34.二、创新应用10.分析 车棚的顶棚的展开图是矩形,顶棚的横截面是弓形,求出弓形的弧长,即得到了展开图的宽.解 连接OB ,过点O 作OE ⊥AB ,垂足为点E ,并延长交AB⏜于点F ,如图.由垂径定理,知E 是AB 的中点,F 是AB ⏜的中点,从而EF 是弓形的高. 故AE=12AB=2√3 m,EF=2 m . 设半径为R m, 则OE=(R-2)m .在Rt △AOE 中,由勾股定理, 得R 2=(R-2)2+(2√3)2. 解得R=4(m). 在Rt △AEO 中,AO=2OE ,故∠OAE=30°,∠AOE=60°,∠AOB=120°. 所以AB⏜的长为120×4π180=8π3(m). 即帆布的面积为8π3×60=160π(m 2).。
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四点共圆巧解难题
一、知识准备
四点共圆的概念、性质、判定方法
二、拓展导学 【问题解决】
例1：如图，在矩形ABCD 中，延长CB 至点E ，使CE=CA ；F 为AE 中点，连结BF 、DF.
求证：BF ⊥DF 解法1：连结CF ，在等腰△ACE 中，用三线合一的性质可得
CF ⊥AE ，即∠CFA=90°
∴可证∠CFA+∠ADC=180°，得点A ，F ，C ，D 共圆， 即F 在△ACD 的外接圆上
又∵在矩形ABCD 中，可证∠ABC+∠ADC=180°， 得点A ，B ，C ，D 共圆，即B 在△ACD 的外接圆上 ∴可得点F ，B ，C ，D 四点共圆，由圆内接四边形
对角互补的性质可证∠BFD+∠BCD=180°，可得∠BFD=90°，即BF ⊥DF.
解法2：①图形所在平面内找出一点，如果能使这一点到点F ，B ，C ，D 的距离都相等，那
么由点与圆的位置关系可得这四点共圆；
②连结BD ，与AC 交于点G ，由矩形对角线相等且互相 平分的性质可得BG=DG=CG ；
③连结FG ，由点F ，G 分别是AE ，AC 的中点得FG 是
△AEC 的一条中位线，所以可证FG = CE =CA=CG ， 即FG=BG=DG=CG ；
④由点与圆的位置关系可得点F ，B ，C ，D 都在以点G 为圆心、FG 的长为半径的圆G 上，即点F ，B ，C ，D 四点共圆（后续过程同解法1）.
【难题呈现】
例2：如图，锐角△ABC 中，∠A=60°，BC=4，△ABC 的面积等于6，点P 是BC 边上的动点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E.
F
D
A
B
C
F A
G
F D
A
B C
求线段DE 的最小值.
【思路点拨】
1．求线段长度的最值问题常用方法有：利用轴对称转化；建立函数关系.
2．线段DE 是哪一个圆中的一条弦？这个圆的大小和线段DE 长有关吗？尝试用四点共圆来探求新的解决方法.
【巧解难题】
四点共圆法
60°
常规解法
60°
O P 2
P 1
E D
E D A
B
C
C
B
A
P
P
常规解法：分别延长PD 、PE 至点P 1、P 2，使PD=P 1D ，PE=P 2E ，连结P 1P 2 则可得DE 为△P P 1P 2的一条中位线
∴P 1P 2=2DE ，既当P 1P 2最小时，DE 也随之达到最小值. 连结AP ，AP 1，AP 2
由垂直平分线的性质可证：AP 1=AP= AP 2
由等腰三角形三线合一的性质可证：∠P 1AP 2=∠P 1AP+∠P 2AP=2×60°=120° ∴在顶角为120°的等腰△P 1AP 2中，P 1P 2 = AP 1=
AP
即当AP 最小时，P 1P 2也随之达到最小值
又∵由题意可得，当AP ⊥BC 时，AP 最小，且此时可求得AP=3 ∴此时P 1P 2=
，AP=3
∴DE min = P 1P 2min =
四点共圆法：①由PD ⊥AB 、PE ⊥AC 可证∠ADP+∠AEP=180°；则点A ，D ，P ，E 四点共圆
60°
E D A
B。