数列全章知识点总结

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高中数学数列知识点总结(精华版)

..一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n与项数n是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列a n的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即af(n)n.3.递推公式：如果已知数列a n的第一项（或前几项），且任何一项a n与它的前一项a（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即a n f(a n1)或a n f(a n1,a n2)，n1那么这个式子叫做数列a的递推公式.如数列an中，a11,a n2a n1，其中na n2a n1是数列a n的递推公式.4.数列的前n项和与通项的公式①Sn a1a2a；②nS(n1)1a n.SS(n2)nn15.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何nN,均有a n1a n.②递减数列:对于任何nN,均有a n1a n.③摆动数列:例如:1,1,1,1,1,.④常数数列:例如:6,6,6,6,⋯⋯.⑤有界数列:存在正数M使a n M,n N.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项a使得a n M.n1、已知n*a2(nN)nn156，则在数列{}a的最大项为__（答：n125）；2、数列{}a的通项为nana n，其中a,b均为正数，则a n与a n1的大小关系为___（答：bn1aa n1）；n23、已知数列{a}中，a是递增数列，求实数的取值范围（答：3）；ann，且{}nnn4、一给定函数yf(x)的图象在下列图中，并且对任意a(0,1)，由关系式a n1f(a n)1*得到的数列{}a满足a n1a n(nN)，则该函数的图象是（）（答：A）neord完美格式..二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

数列知识点总结(经典)

数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+-等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+前n 项和()()11122n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G = 前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！）性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =··（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-.4. 求数列前n 项和的常用方法(1) 裂项法（2）错位相减法如：2311234n n S x x x nx -=+++++……① ()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-…… 1x ≠时，()()2111n n n x nx S x x -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=…… 温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。

数列知识点所有性质总结知识讲解

数列知识点所有性质总结一、等差数列1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=．从而mn a a d mn --=；3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

高一数学必修5：数列(知识点梳理)

第二章：数列一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成a a a a n ,,,,,123，简记为数列a n {}，其中第一项a 1也成为首项；a n 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集*N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1）有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；（2）无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列a n {}的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成=a f n n ()，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列a n {}，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即>+a a n n 1，那么这个数列叫做递增数列;高一数学必修5：数列（知识点梳理）如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列满足21=2n n n a a a +++，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和；（2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ; （2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则（1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------，设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结：类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列的首项,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

数学数列知识点归纳总结

数学数列知识点归纳总结一、数列的概念1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一系列数的集合，通常用一对大括号{}表示，其中的每个数称为数列的项。

例如：{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个数列，它包含了无穷多个项，每个项都是自然数。

1.2 数列的表示数列可以用不同的方式表示，常见的表示方法有公式法、图形表示法和文字描述法。

- 公式法：可以用一个通项公式来表示数列的每一项，例如：an = n^2表示数列{1, 4, 9, 16, ...}的通项公式。

- 图形表示法：可以用图形来表示数列，例如：等差数列可以用直线表示，等比数列可以用曲线表示。

- 文字描述法：可以用文字描述数列的规律，例如：数列{2, 4, 6, 8, ...}可以描述为“每一项都比前一项大2”。

1.3 数列的分类数列可以按照不同的规律进行分类，常见的分类有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。

- 等差数列：数列中相邻两项的差等于一个常数，这个常数称为公差。

- 等比数列：数列中相邻两项的比等于一个常数，这个常数称为公比。

- 斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和，例如：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...1.4 数列的通项公式数列的通项公式是指数列中任意一项与项号之间的函数关系式，一般用an表示第n项的值，n表示项号。

如果一个数列存在通项公式，则可以利用通项公式计算数列的任意项的值。

1.5 数列的性质数列有许多重要的性质，例如数列的有界性、单调性、敛散性以及极限等。

- 有界性：如果数列的项有上界或下界，则称该数列是有界的。

- 单调性：如果数列的项都单调递增或单调递减，则称该数列是单调的。

- 敛散性：数列是否有极限，如果有极限则称该数列是收敛的，否则是发散的。

二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项的差等于一个常数的数列，这个常数称为公差。

例如：{2, 4, 6, 8, ...}就是一个等差数列，公差为2。

数列知识要点梳理

数列知识要点梳理知识点一：数列的概念1、数列的定义：数列是按一定顺序排列的一列数，如1，1，2，3，5，…，a n，…，可简记为{a n} 注意：（1）数列可以看作是定义在自然数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}上的函数。

函数当自变量n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值，，…，，…，通常用代替，于是数列的一般形式为a1，a2，…，，…，简记为。

其中是数列的第n项，也叫做通项。

（2）数列的特征：有序性。

一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的顺序有关，“顺序”是对数列本质属性的刻画。

（3）数列的定义域是离散的，因而其图象也是离散的点集。

2、数列的通项公式一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。

注意：①不是每个数列都能写出它的通项公式。

如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。

如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成，也可以写成；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。

3、数列的表示：(1)列举法：如-2，-5，-8，…注意：数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。

(2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。

(3)解析式法：用数列的通项公式a n=f(n)，n∈N*或其他式子表示的数列。

4、数列的分类：（1）按项数：有限数列和无限数列；（2）按单调性：递增数列、递减数列（递增数列与递减数列统称为单调数列）；（3）按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分：有界数列、无界数列；（4）其他数列：摆动数列、常数列。

5、数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。

注意：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。

数列必背知识点总结

数列必背知识点总结一、数列的基本概念数列是指依照某种规律排列成的一列数字的集合，其中每个数字称为数列的项。

数列可以用公式、图形或者文字进行表示，例如1, 3, 5, 7, 9…是一个等差数列，其通项公式为an=2n-1。

数列中的每一项都可以通过通项公式计算出来。

数列中有几个重要的概念需要掌握：1.1 首项和公差在等差数列中，第一个数字称为首项，用 a1 表示；而等差数列中的通项与前一项的差称为公差，用 d 表示。

例如在数列1, 3, 5, 7, 9...中，1 是首项，3-1=2 是公差。

1.2 首项与末项数列中的第一个数称为首项，记作 a1；而数列中的最后一个数称为末项，可用 an 表示。

数列中的末项通常由数列的规律性和首项以及项数来决定。

1.3 通项公式通项公式是数列中的一种特定的计算公式，可以通过该公式计算出数列中任意一项的值。

对于等差数列an=a1+(n-1)d，对于等比数列an=a1*q^(n-1)，其中 n 表示数列中的项数。

1.4 数列的项数数列中的项数表示数列中的项的个数。

通常用 n 来表示项数。

对于有限数列，项数是有限的；对于无限数列，项数是无穷的。

二、常见的数列类型数列按照其规律性可以分为不同的类型，其中比较常见的数列类型有等差数列、等比数列和费波那契数列。

2.1 等差数列等差数列是指数列中每一项与其前一项的差都是一个常数，这个常数称为公差。

例如1, 3, 5, 7, 9...就是一个公差为2的等差数列。

2.2 等比数列等比数列是指数列中每一项与其前一项的比都是一个常数，这个常数称为公比。

例如1, 2, 4, 8, 16...就是一个公比为2的等比数列。

2.3 费波那契数列费波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列，例如1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...就是一个费波那契数列。

2.4 等差数列和等比数列的相关公式对于等差数列，其通项公式为 an=a1+(n-1)d；对于等比数列，其通项公式为 an=a1*q^(n-1)。

数列知识点总结大纲

数列知识点总结大纲
一、数列的概念和性质
1.1 数列的定义
1.2 数列的项、通项公式和前n项和
1.3 数列的分类：等差数列、等比数列、等差数列
1.4 数列的性质：有界性、单调性、周期性
二、等差数列
2.1 等差数列的概念和性质
2.2 等差数列的通项公式和前n项和公式
2.3 等差数列的应用：等差数列的中项、倒数第n项等问题
三、等比数列
3.1 等比数列的概念和性质
3.2 等比数列的通项公式和前n项和公式
3.3 等比数列的应用：等比数列的中项、倒数第n项等问题
四、递推数列
4.1 递推数列的概念和性质
4.2 递推数列的通项公式和前n项和公式
4.3 递推数列的应用：如何构造递推数列、递推数列的性质
五、综合应用
5.1 几何问题与数列：等差数列、等比数列在几何图形中的应用5.2 累加与数列：数列的和与级数的求和
5.3 数列的特殊问题：收敛性、散度性、收敛上界、收敛下界等问题
六、挑战问题
6.1 数列的特殊性质：如何判断一个数列的性质
6.2 数列的极限问题：数列的极限性质与收敛性定理
6.3 数列的推广问题：数列在数学、物理、工程等领域中的应用
七、拓展应用
7.1 数列与函数：数列与函数的关系
7.2 数列与级数：级数求和与展开
7.3 数列与微积分：数列在微积分中的应用
以上是对数列知识点的一个大致总结，通过学习这些知识点，我们可以深入了解数列的概念、性质与应用，从而更好地应用数列知识解决实际问题。

希望这份总结对你有所帮助，谢谢！。

完整版)数列知识点归纳

完整版)数列知识点归纳数列一、等差数列性质总结1.等差数列的定义式为：$a_n-a_{n-1}=d$（其中$d$为常数，$n\geq2$）；2.等差数列通项公式为：$a_n=a_1+(n-1)d$（其中$a_1$为首项，$d$为公差）推广公式为：$a_n=a_m+(n-m)d$。

因此，$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$；3.等差数列中，如果$a$、$A$、$b$成等差数列，那么$A$叫做$a$与$b$的等差中项，即$A=\frac{a+b}{2}$；4.等差数列的前$n$项和公式为：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$。

特别地，当项数为奇数$2n-1$时，$a_n$是项数为$2n-1$的等差数列的中间项，且$S_{2n-1}=n\cdot a_n$；5.等差数列的判定方法：1）定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；2）等差中项：数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^*$）；3）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$a_n=kn+b$（其中$k$、$b$为常数）；4）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$S_n=An^2+Bn$（其中$A$、$B$为常数）；6.等差数列的证明方法：定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；等差中项性质法：$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^+$）。

7.提醒：1）等差数列的通项公式及前$n$项和公式中，涉及到5个元素：$a_1$、$d$、$n$、$a_n$及$S_n$，其中$a_1$、$d$称作为基本元素。

高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)

数列一、知识梳理概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n=.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n na a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n na a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n)1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n)(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n nq a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11.3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为kq .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==nS a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S nn，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（）4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（） 5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。

数列详细知识点归纳总结

数列详细知识点归纳总结数列是数学中常见的概念，也是数学与实际问题相联系的桥梁。

在数学的学习过程中，掌握数列的相关知识点是非常重要的。

本文将对数列的定义、性质、分类和常用公式进行详细的归纳总结。

一、数列的定义和性质数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

通常用{a₁，a₂，a₃，...}或{aₙ}表示，其中a₁，a₂，a₃等表示数列的各项。

数列的性质主要包括有穷性、无穷性和有界性。

1. 有穷数列：数列中项的个数是有限的，即存在某个正整数N，使得当n>N时，aₙ为常数，此时数列也被称为等差数列。

2. 无穷数列：数列中的项的个数是无穷的，此时数列也被称为等比数列。

3. 有界数列：数列中的项有一个上界或者下界限制，即存在某个正整数M，使得当n>M时，aₙ≤M（或者aₙ≥M）。

二、数列的分类1. 级数数列：级数数列是由级数的部分和组成的数列，级数数列的通项公式通常为公差公式或者公比公式。

2. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数的数列，常用的关系式为aₙ = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。

3. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是一个常数的数列，常用的关系式为aₙ = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比。

三、数列的常用公式1. 等差数列的前n项和公式：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)，其中Sn为前n项和，a₁为首项，aₙ为前n项的最后一项。

2. 等差数列的通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d，其中aₙ为第n项，a₁为首项，d为公差。

3. 等比数列的前n项和公式：Sn = a₁(1-rⁿ)/(1-r)，其中Sn为前n项和，a₁为首项，r为公比。

4. 等比数列的通项公式：aₙ = a₁ * r^(n-1)，其中aₙ为第n项，a₁为首项，r为公比。

四、数列的应用数列作为数学的一个重要概念，在实际问题的建模和解决中有着广泛的应用。

数列知识点总结tn

数列知识点总结tn一、数列的定义及基本概念1.1 数列的定义数列是由一列按照一定顺序排列的数依次组成的集合，通常用{an}或{an}表示，其中an是数列的第n项。

1.2 数列的基本概念（1）通项公式：数列的第n项由其位置n的表达式称为通项公式，通常用an表示。

（2）公差：等差数列中相邻两项的差称为公差，通常用d表示。

（3）公比：等比数列中相邻两项的比称为公比，通常用r表示。

（4）首项：数列中的第一项称为首项，通常用a1表示。

（5）末项：数列中的最后一项称为末项，通常用an表示。

（6）有限数列和无限数列有限数列指数列中只含有有限个元素的数列，无限数列指数列中含有无限个元素的数列。

1.3 数列的表示方式数列可以通过列表、图形、公式等方式进行表示，听起来是不是觉得有点生硬呢？我们简单来举个例子，例如一个等差数列-2,-1,0,1,2，我们可以用列表的形式表示为{-2，-1，0，1，2}，用图形的形式可以表示为一列等距排列的点，用公式的形式可以表示为an=n-3。

这样是不是就好理解多了呢？二、等差数列2.1 等差数列的概念等差数列是指数列中任意两个相邻的项的差等于同一个常数d的数列，这个常数d称为等差数列的公差。

2.2 等差数列的通项公式对于等差数列{an}，其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d。

2.3 等差数列前n项和公式对于等差数列{an}，其前n项和Sn可以表示为Sn=n/2*[a1+an]或Sn=n/2*[2a1+(n-1)d]，这个公式的推导过程还是挺有意思的。

2.4 等差数列的性质（1）等差数列的性质：若{an}是等差数列，则有an=a1+(n-1)d。

（2）等差数列前n项和的性质：若{an}是等差数列，则其前n项和Sn=n/2*[a1+an]。

2.5 等差数列的应用等差数列可以在很多领域进行应用，特别是在数学、物理、经济学等领域更是有深远的影响。

三、等比数列3.1 等比数列的概念等比数列是指数列中任意两个相邻的项的比等于同一个常数r的数列，这个常数r称为等比数列的公比。

数列知识点回顾高三复习

数列知识点回顾第一部分：数列的基本概念1．理解数列定义的四个要点⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项an与项数n是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．2．数列的通项公式一个数列{ an }的第n项an与项数n之间的函数关系，如果用一个公式an=)(nf来表示，就把这个公式叫做数列{ an }的通项公式。

若给出数列{ an}的通项公式，则这个数列是已知的。

若数列{ an }的前n项和记为Sn，则Sn与an的关系是：an=⎩⎨⎧≥-=-2.1,11nSSnSnn。

第二部分：等差数列1．等差数列定义的几个特点：⑴公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即d = an －a1-n(n≥2)或d = a1+n －an(n∈N+)．⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意n∈N+，an－a1-n= d (n≥2)或d = a1+n－an都成立．一般采用的形式为：①当n≥2时，有a n－a1-n= d (d为常数)．②当n+∈N时，有a1+n－a n= d (d为常数)．③当n≥2时，有a1+n －an= an－a1-n成立．若判断数列{ an }不是等差数列，只需有a3－a2≠a2－a1即可．2．等差中项若a、A、b成等差数列，即A=2ba+，则A是a与b的等差中项；若A=2ba+，则a、A、b成等差数列，故A=2ba+是a、A、b成等差数列，的充要条件。

由于an =211-++nnaa，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。

3．等差数列的基本性质⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．⑶若{ an }、{ bn}为等差数列，则{ an±bn}与{kan＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．⑷对任何m、n+∈N，在等差数列{ a n}中有：a n= a m+ (n－m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．⑸、一般地，如果l ，k ，p ，…，m ，n ，r ，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{a n }为等差数列时，有：a l + a k + a p + … = a m + a n + a p + … ．⑹公差为d 的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k 为取出项数之差)．⑺如果{ a n }是等差数列，公差为d ，那么，a n ，a 1-n ，…，a 2、a 1也是等差数列，其公差为－d ；在等差数列{ a n }中，a l m +－a l = a k m +－a k = md ．(其中m 、k 、l ∈+N )⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．⑼当公差d ＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d ＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d ＝0时，等差数列中的数等于一个常数．⑽设a l ，a m ，a n 为等差数列中的三项，且a l 与a m ，a m 与a n 的项距差之比nm ml --=λ（λ≠－1），则a m =λλ++1nl a a ．4．等差数列前n 项和公式S n =2)(1n a a n +与S n = na 1＋d n n 2)1(-的比较5．等差数列前n 项和公式S n 的基本性质⑴数列{ a n }为等差数列的充要条件是：数列{ a n }的前n 项和S n 可以写成S n = an 2+ bn 的形式(其中a 、b 为常数)．⑵在等差数列{ a n }中，当项数为2n (n ∈N *)时，S 偶－S 奇= nd ，偶奇S S =1+n na a ；当项数为(2n －1) (n +∈N )时，S 偶－S 奇= a n ，偶奇S S =1-n n． ⑶若数列{ a n }为等差数列，则S n ，S n 2－S n ，S n 3－S n 2，…仍然成等差数列，公差为d n 2．⑷若两个等差数列{ a n }、{ b n }的前n 项和分别是S n 、T n (n 为奇数)，则n nT S =2121++n n b a ． ⑸在等差数列{ a n }中，S n = a ，S m = b (n ＞m)，则S n m +=mn mn -+(a －b)．⑹等差数列{a n }中，n S n 是n 的一次函数，且点（n ，n S n ）均在直线y =2dx + (a 1－2d)上． ⑺记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．①若a 1＞0，公差d ＜0，则当a n ≥0且a 1+n ≤0时，S n 最大；②若a 1＜0 ，公差d ＞0，则当a n ≤0且a 1+n ≥0时，S n 最小．第三部分：等比数列1．正确理解等比数列的含义⑴q 是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即q =nn a a 1+ (n +∈N )或q=1-n na a (n ≥2)． ⑵由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q 也不为0． ⑶要证明一个数列是等比数列，必须对任意n +∈N ，nn a a 1+= q ；或1-n na a = q (n ≥2)都成立．2．等比中项与等差中项的主要区别如果G 是a 与b 的等比中项，那么a G =Gb，即G 2= ab ，G =±ab ．所以，只要两个同号．．的数才有等比中项，而且等比中项有两个，它们互为相反数；如果A 是a 与b 的等差中项，那么等差中项A 唯一地表示为A=2ba +，其中，a 与b 没有同号．．的限制．在这里，等差中项与等比中项既有数量上的差异，又有限制条件的不同．3．等比数列的基本性质⑴公比为q 的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q m ( m 为等距离的项数之差)．⑵对任何m 、n +∈N ，在等比数列{ a n }中有：a n = a m · q m n -，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．⑶一般地，如果t ，k ，p ，…，m ，n ，r ，…皆为自然数，且t + k ，p ，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a n }为等比数列时，有：a t ．a k ．a p ．… = a m ．a n ．a p ．… ．．⑷若{ a n }是公比为q 的等比数列，则{| a n |}、{a 2n }、{ka n }、{na 1}也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q 2}、{q}、{q1}．⑸如果{ a n }是等比数列，公比为q ，那么，a 1，a 3，a 5，…，a 12-n ，…是以q 2为公比的等比数列．⑹如果{ a n }是等比数列，那么对任意在n +∈N ，都有a n ·a 2+n = a 2n ·q 2＞0． ⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．⑻当q ＞1且a 1＞0或0＜q ＜1且a 1＜0时，等比数列为递增数列；当a 1＞0且0＜q ＜1或a 1＜0且q ＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q ＜0时，等比数列为摆动数列．4．等比数列前n 项和公式S n 的基本性质⑴如果数列{a n }是公比为q 的等比数列，那么，它的前n 项和公式是S n =⎪⎩⎪⎨⎧≠--=.1,1)1(,1,11时当时当q qq a q na n也就是说，公比为q 的等比数列的前n 项和公式是q 的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n 项和公式，必须要弄清公比q 是可能等于1还是必不等于1，如果q 可能等于1，则需分q = 1和q ≠1进行讨论．⑵当已知a 1，q ，n 时，用公式S n =qq a n --1)1(1；当已知a 1，q ，a n 时，用公式S n =q q a a n --11．⑶若S n 是以q 为公比的等比数列，则有S m n += S m ＋qS n ．⑵⑷若数列{ a n }为等比数列，则S n ，S n 2－S n ，S n 3－S n 2，…仍然成等比数列．⑸若项数为3n 的等比数列(q ≠－1)前n 项和与前n 项积分别为S 1与T 1，次n 项和与次n 项积分别为S 2与T 2，最后n 项和与n 项积分别为S 3与T 3，则S 1，S 2，S 3成等比数列，T 1，T 2，T 3亦成等比数列．二、难点突破1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．2．等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项．3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴{ a n }与a n 是不同的，前者表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，而后者仅表示这个数列的第n 项；⑵数列a 1，a 2，…，a n ，…，与集合{ a 1，a 2，…，a n ，…，}不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S ，则通常设…，aq 2-， aq 1-， a ，aq ，aq 2，…；⑵对连续偶数个项同号．．的等比数列，若已知其积为S ，则通常设…，aq 3-， aq 1-， aq ，aq 3，…．5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意a n ≠0，因为当a n = 0时，虽有a 2n = a 1-n · a 1+n 成立，但{a n }不是等比数列，即“b 2= a · c ”是a 、b 、 c 成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{a n }，“2b = a + c ”是a 、b 、 c 成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n 项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和q ≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．另外，对于等差数列的求法，在进行详细总结，注意最后一种不动点法不要求掌握，其实是因为老师从来没讲过。

数列全章知识点总结

数列全章知识点总结一、数列的概念数列是按照一定规律排列的一组数的有序排列。

数列中排在第一位的数叫做第一个数，排在第二位的数叫做第二个数，以此类推。

根据数列的性质不同，可以将数列分为有限数列和无限数列。

有限数列是由有限个数构成的数列，而无限数列是由无限个数构成的数列。

根据数列中每个数的性质不同，数列可以分为等差数列、等比数列、递增数列、递减数列等。

二、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻的数之差都相等的数列。

设数列为{a1, a2, a3, ..., an}，若满足ai+1 - ai = d，其中d为常数，则称数列为等差数列，其中d为公共差。

数列中每个数与其前一个数的差都相等，这类数列有着相对简单的性质。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，an为第n项。

求等差数列的前n项和的公式为Sn = (a1 + an) * n / 2 = n * (a1 + an) / 2。

在等差数列中，首项、末项和项数的关系为an = a1 + (n-1)d。

对于等差数列，我们可以通过已知项数和首项、末项、公差等信息来求解等差数列的相关问题。

三、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻的数之比都相等的数列。

设数列为{a1, a2, a3, ..., an}，若满足ai+1 / ai = q，其中q为常数，则称数列为等比数列，其中q为公比。

等比数列在实际应用中也有着重要的作用。

等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，an为第n项。

求等比数列的前n项和的公式为Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，当|q| < 1时，Sn = a1 / (1 - q)。

对于等比数列，我们可以通过已知项数和首项、末项、公比等信息来求解等比数列的相关问题。

四、数列的求和公式在数列求和的过程中，常用的方法是利用通项公式或者递推公式来求解。

数列知识点归纳总结笔记

数列知识点归纳总结笔记一、数列的概念1. 数列的定义数列是由一系列有序的数按照一定的规律排列而成的。

我们通常用{n}来表示一个数列，其中n为自然数。

2. 数列的常见表示方式（1）通项公式表示：数列的一般形式为a₁，a₂，a₃，......，aₙ，其中aₙ是第n项的值。

数列的通项公式通常是一种算式，可以用来表示数列的第n项。

（2）递推关系表示：数列的第n项与它的前几项之间存在某种关系，这种关系称为数列的递推关系，通常用递归的方式表示。

3. 数列的分类（1）等差数列：数列中任意两项之间的差是常数，这种数列称为等差数列。

（2）等比数列：数列中任意两项之间的比是常数，这种数列称为等比数列。

（3）等差-等比混合数列：数列中既存在等差关系，又存在等比关系，这种数列称为等差-等比混合数列。

（4）等差-等比-等比差混合数列：数列中既存在等差关系，又存在等比关系，同时等差项间的差也构成等差数列，这种数列称为等差-等比-等比差混合数列。

二、数列的性质1. 数列的有界性（1）有界数列：如果一个数列存在一个上界和一个下界，那么该数列称为有界数列。

（2）无界数列：如果一个数列不存在上界或下界，那么该数列称为无界数列。

2. 数列的单调性（1）单调递增数列：如果数列的每一项都大于等于前一项，那么该数列称为单调递增数列。

（2）单调递减数列：如果数列的每一项都小于等于前一项，那么该数列称为单调递减数列。

3. 数列的极限（1）数列的极限定义：对于一个数列{aₙ}，如果对于任意给定的ε>0，存在N∈N，对于所有n>N，有|aₙ-L|<ε成立，则称数列{aₙ}的极限为L，记为lim⁡(n→∞) aₙ=L。

（2）数列的极限存在性：一个数列未必存在极限，但只要该数列有上界和下界，则该数列一定存在极限。

4. 数列的和（1）数列的部分和：对于数列{aₙ}，它的前n项的和称为数列的部分和，用Sₙ表示。

（2）数列的无穷和：如果lim⁡(n→∞) Sₙ=L，那么L称为数列{aₙ}的无穷和，即∑ aₙ=L。

高中数学数列知识点.总结(精华版)

. .一、数列1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集( 或它的有限子集) 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2. 通项公式：如果数列a n 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即 a f (n)n .3. 递推公式：如果已知数列a n 的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即a n f (a n 1 ) 或a n f (a n 1,a n 2) ，n 1那么这个式子叫做数列a的递推公式. 如数列a n 中，a1 1, a n 2a n 1 ，其中na n 2a n 1是数列a n 的递推公式.4. 数列的前n 项和与通项的公式①S n a1 a2 a ；②nS (n 1)1a n .S S (n 2)n n 15. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列: 对于任何n N , 均有a n 1 a n .②递减数列: 对于任何n N , 均有a n 1 a n .③摆动数列: 例如: 1,1 ,1, 1, 1, .④常数数列: 例如:6,6,6,6, ⋯⋯.⑤有界数列: 存在正数M 使a n M ,n N .⑥无界数列: 对于任何正数M , 总有项a 使得a n M .n1、已知n*a 2 (n N )nn 156，则在数列{ }a 的最大项为__（答：n125）；2、数列{ }a 的通项为nana n ，其中a,b 均为正数，则a n 与a n 1 的大小关系为___（答：bn 1a a n 1）；n23、已知数列{ a } 中， a 是递增数列，求实数的取值范围（答：3）；a n n ，且{ } nn n4、一给定函数y f (x)的图象在下列图中，并且对任意a( 0,1) ，由关系式a n 1 f (a n )1* 得到的数列{ }a 满足a n 1 a n (n N ) ，则该函数的图象是（）（答：A）neord 完美格式. .二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

数列详细知识点总结

数列详细知识点总结一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。

数列中的每一个数字称为该数列的项，数列的第一个数字称为第一项，第二个数字称为第二项，依此类推。

数列一般用字母$a$、$b$、$c$等表示。

数列通常可以表示为如下形式：\[a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots\]或者\[\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\]其中，$a_n$表示数列的第$n$项，$n$表示项的序号。

数列中的项可以是整数、分数、小数甚至是复数。

二、数列的性质1. 有限数列和无限数列：根据数列的项数是否有限，可以将数列分为有限数列和无限数列。

有限数列是指数列的项数有限个，无限数列是指数列的项数有无限个。

2. 等差数列：如果一个数列中任意相邻两项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。

等差数列的通项公式为：\[a_n = a_1 + (n-1)d\]其中，$a_1$表示等差数列的第一项，$d$表示公差，$n$表示项的序号。

3. 等比数列：如果一个数列中任意相邻两项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。

等比数列的通项公式为：\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]其中，$a_1$表示等比数列的第一项，$q$表示公比，$n$表示项的序号。

4. 通项公式：通项公式是指数列中第$n$项表达式的一般形式。

通常通过观察数列的规律可以得到通项公式。

5. 递推公式：递推公式是指数列中一个项和它前面几项之间的关系式。

递推公式可以用来求解数列中的任意项。

三、常见数列1. 等差数列：等差数列是一种最常见的数列，其中任意相邻两项的差都相等。

等差数列的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$表示第一项，$d$表示公差。

2. 等比数列：等比数列是指任意相邻两项的比值都相等的数列。

等比数列的通项公式为$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$，其中$a_1$表示第一项，$q$表示公比。

(完整版)数列知识点归纳

数列一、等差数列性质总结1. 等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*1(1) ()n a a n d n N =+-∈ ，首项:1a ，公差:d 推广： d m n a a m n )(-+=．从而mn a a d mn --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列*-112(2,)n n n a a a n n N +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n -时，n a 是项数为2n-1的等差数列的中间项()()()1212121212n n n n a a S n a ---+==-（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

高中数学数列知识点总结精华版

/ 9 二、等差数列 1、等差数列的定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即)2,*(1nNndaann且.(或)*(1Nndaann). 2、（1）等差数列的判断方法： ①定义法：)(1常数daannan为等差数列。 ② 中项法： aaannn212an为等差数列。 ③通项公式法：banan（a,b为常数）an为等差数列。 ④前n项和公式法：BnnAsn2（A,B为常数）an为等差数列。如设{}na是等差数列，求证：以bn=naaan21 *nN为通项公式的数列{}nb为等差数列。（2）等差数列的通项：1(1)naand或()nmaanmd。公式变形为:banan. 其中a=d, b= a1－d. 如1、等差数列{}na中，1030a，2050a，则通项na （答：210n）；2、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d）（3）等差数列的前n和：1()2nnnaaS，1(1)2nnnSnad。公式变形为：BnnAsn2，其中A=2d，B=21da.注意：已知n,d, a1,an, sn中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”。如数列 {}na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前n项和152nS，则1a＝＿，n＝＿（答：13a，10n）；（2）已知数列 {}na的前n项和212nSnn，求数列{||}na的前n项和nT（答：2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN）.
/ 9 三、等比数列 1、等比数列的有关概念：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即)2,(*1nnqNaann （或)(*1Naanqnn 2、等比数列的判断方法：定义法1(nnaqqa为常数），其中0,0nqa或11nnnnaaaa (2)n。如1、一个等比数列{na}共有21n项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1na为____（答：56）； 2、数列{}na中，nS=41na+1 (2n)且1a=1，若nnnaab21 ，求证：数列｛nb｝是等比数列。 3、等比数列的通项：11nnaaq或nmnmaaq。如设等比数列{}na中，166naa，21128naa，前n项和nS＝126，求n和公比q. （答：6n，12q或2） 4、等比数列的前n和：当1q时，1nSna；当1q时，1(1)1nnaqSq11naaqq。如等比数列中，q＝2，S99=77，求9963aaa（答：44）提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分1q和1q两种情形讨论求解。 5、等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=ab.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。如已知两个正数,()abab的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）

数列这章知识点总结

数列这章知识点总结**一、数列的定义及性质**1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数，通常用{ }表示。

其中的每一个数称为数列的项，用a1、a2、a3、...表示。

数列可以是有限的（有限数列），也可以是无限的（无限数列）。

数列的定义包含了以下几个要点：(1) 数列是有序的一组数的集合。

(2) 每个数列都有一个首项和一个公差。

(3) 数列中的每一项都可以按照公差的规律递推得到。

1.2 数列的性质数列有许多重要的性质，其中最基础的性质包括：(1) 公比：某些数列中，任意两个相邻的项之比都是一个常数，这个常数称为公比。

(2) 公差：某些数列中，相邻两项之差都是一个常数，这个常数称为公差。

(3) 通项公式：某些数列中，可以找到一个表达式，可以通过这个表达式计算出数列的任意一项，这个表达式称为数列的通项公式。

**二、常见的数列类型**常见的数列类型包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等等。

以下将分别介绍这些数列的定义、通项公式、性质和求和公式。

2.1 等差数列定义：如果一个数列中任意两个相邻的项之差都是一个常数d，那么这个数列就称为等差数列。

通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d。

性质：(1) 等差数列中，相邻两个项之差是一个常数d，这个常数称为公差。

(2) 等差数列的通项公式可以用来计算数列中的任意一项。

(3) 等差数列的前n项和可以用求和公式Sn = n/2 * (a1 + an)来表示。

2.2 等比数列定义：如果一个数列中任意两个相邻的项之比都是一个常数q，那么这个数列就称为等比数列。

通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)。

性质：(1) 等比数列中，相邻两个项之比是一个常数q，这个常数称为公比。

(2) 等比数列的通项公式可以用来计算数列中的任意一项。

(3) 等比数列的前n项和可以用求和公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)来表示。

2.3 斐波那契数列定义：斐波那契数列是一个非常有趣的数列，它的定义非常简单：第一个和第二个项都是1，从第三项开始，每一项都等于前两项的和。