对称变换和对称矩阵.

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定理7.5.2
是 A 的属于特征根 的特征向量，于是有
0且A ，为了证
c1 c2 A (aij ), , cn
记
A un ( R )，故 A A，在A 两端取共轭转置，
a ji aki k , j ( i ), j i , ( j )
i , akj k aij
k 1
n
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因此，A 是对称矩阵.
充分性 设 关于V 的标准正交基{1 , 2 矩阵是 A= ( aij ) 是实对称矩阵，即
7.5 对称变换和对称矩阵
授课题目 对称变换和对称矩阵 授课时数 3学时 教学目的 1．掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对 称矩阵之间的关系解题． 2．掌握对称变换的特征根、特征向量的性质． 3．对一个实对称矩阵Ａ，能熟练地找到正交矩阵 Ｔ，使T AT 为对角形 教学重点对称变换的特征根、特征向量的性质; 对实 对称矩阵Ａ，能熟练地找到正交矩阵Ｔ，使 T AT 为对角形 教学难点 定理7.5.4的证明
n } y
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于是
( ) {1 , 2 n } A ( ) {1 , 2 n } AY
其中 A ， AY 分别是 ( ) ， ( ) 关于标准正交 基{1 , 2
n }的坐标列向量，因此
( ), ( A)T Y T ATY
, ( ) T ( AY ) T AY
因 A= A 故 ( ), = , ( )
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二、对称变换的基本性质 1、特征根的性质 实对称矩阵的特征根都是实数. 证 设 A = (aij ) 是一个 n 阶实对称矩阵， 2 是 A在复数域内的任意一个特征根， c1 c 2 cn cn
交基{1 , 2
n
n }的矩阵是 A = (aij ), A un( R ) 即
( (1 ), ( 2 ) ( n )) {1 , 2
则 ( i ) aki k
k 1
n } A
1 i n
因 是对称变换，{1 , 2
n k 1
n }是标准正交基，所以
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由复数共轭的性质及 A A得
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( A ) ( A ) A A A
T T T
T
T
T
T
(C1 ,C2
Cn ) A ( ) ( ) (C1 ,C2
T
T
Cn )
所以
A ( C1 , C 2
c1 c2 Cn ) = (C1 ,C 2 cn
即
(c1c1
n k 1
cncn ) (c1c1
cn cn )
因 0 ck ck 0, 从而由消去律得 ， 即为实数
对称变换的特征多项式在C内的根都是实根
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定理7.5.3 n 维欧氏空间的一个对称变换的属于 不同特征根的特征向量彼此正交.
证 设 是 n维欧氏空间欧氏空间V 的一个对称变换，
, 是V 的特征向量。则 ( ) , ( )
3 ( x1 , x2 , x3 ) ( x2 , x1 , x3 )
3、对称变换与对称矩阵的关系
定理 7.5.1
n 维欧氏空间V 中的线性变换 是对
称变换的充分必要条件是： 关于任意一个正交基 的矩阵是实对称矩阵 .
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证
必要性. 设 是对称变换， 关于V 的标准正
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一、对称变换 1、一个问题
问题 欧氏空间V 中的线性变换 应该满足什么 条件，才能使它在某个正交基下的矩阵是对角形？
V 满足： （）， , ( ) , , V
2、对称变换的定义
设 是欧氏空间V 中的线性变换，如果 , V 都有
c1 c2 C n ) cn
(C1 ,C 2
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(C1 ,C 2
c1 c 2 Cn ) (C1 ,C 2 cn
c1 c 2 Cn ) cn
（）， , ( )
则称 是V 的一个对称变换
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例1 以下 R 3 的线性变换中,指出哪些是对称变换? 1 ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 , x2 x3 , x3 x1 ) 2 ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x3 , x2 2 x3 , x1 2 x2 x3 );
n }的
( (1 ), ( 2 ) ( n )) {1 , 2
对任意 , V ，有
n } A， A= A
n }
x11 x2 2
xn n {1 , 2
y11 y2 2
yn n {1 , 2
c1 c2 Cn ) cn
c1 c1 c2 c2 又因为 A 即 A = cn cn
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所以
(C1 ,C 2
c1 c2 Cn ) A =(C1 ,C 2 cn c1 c2 Cn ) cn