初中不等式专题复习知识点及习题
九年级数学中考复习专题——方程与不等式(附答案)
知识点一 一元一次方程及其解法1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．注意：x 前面的系数不为0．2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤知识点二 二元一次方程（组）及解法1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．知识点三分式方程及其解法1．分式方程：分母中含有的方程叫做分式方程；2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程。
（2）解分式方程的一般步骤：第一步：，将分式方程转化为整式方程；第二步：解整式方程；第三步：．（3）增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为的根，称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。
（4）产生增根的原因：将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为的因式。
知识点四一元二次方程及其解法1．一元二次方程：只含有个未知数（一元），并且未知数最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
完整版的不等式知识点和基本题型
完整版的不等式知识点和基本题型不等式是数学中一种重要的关系符号，它用来描述数值之间的大小关系。
以下是不等式的基本知识点和常见题型：1. 不等式基本概念- 不等式是指在两个数之间用不同的关系符号来表示大小关系，比如大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
- 不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。
2. 不等式的性质- 若 a > b，则 b < a。
- 若 a > b 且 b > c，则 a > c。
- 若 a > b 且 a > 0，则 ac > bc（c > 0）。
- 若 a > b 且 c < 0，则 ac < bc（c < 0）。
- 若 a > b 且c ≠ 0，则 ac > bc。
3. 不等式的解法- 在不等式两边同时加（减）相同的数，不等式的方向不变。
- 在不等式两边同时乘（除）正数，不等式的方向不变。
- 在不等式两边同时乘（除）负数，不等式的方向反向。
- 若不等式两边有平方根，应考虑正负情况。
4. 不等式的常见题型4.1. 一元一次不等式- 形如 ax + b > c 或 ax + b < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。
- 解法类似一元一次方程，通过移项和化简来求解。
4.2. 一元一次绝对值不等式- 形如 |ax + b| > c 或 |ax + b| < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。
- 需要根据绝对值的定义来分情况讨论和求解。
4.3. 二元一次不等式- 形如 ax + by > c 或 ax + by < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x、y 为变量。
- 解法类似于解一元一次不等式，通过移项和化简来求解。
4.4. 二次不等式- 形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。
经典不等式例题汇总
□▲○○○《不等式》考点及题型总结第一节 不等式一、知识要点：（一）不等式的定义：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
（二）不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（三）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
（四）不等式的性质：1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
，3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
二、题型分析：题型一： 不等式的概念和表达例1： x 的21与5的差不小于3，用不等式可表示为__________. 答案：1532x -≥例2：设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小的顺序排列为（ ）…A 、○□△B 、○△□C 、□○△D 、△□○ 答案：A题型二：不等式性质的考察]A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个分析：由a﹤b﹤0得，a、b同为负数并且︱a︱﹥︱b︱。
可取特殊值代入，如取a=－2，b=－1代入式子中。
答案：C例2：若a﹥b，则下列式子一定成立的是（）。
A、a＋3﹥b＋5，B、a－9﹥b－9，C、－10a﹥－10b，D、a2c﹥b2c分析：由于不等式的两边乘除同一个数时存在变号的问题，因此需要对a，b的符号进行分类讨论。
或者此题也可以取特殊值代入验证，通过排除法来求解。
A、C取0，-1即可排除，D将常数取0也可排除。
答案：B例3：下列结论：①若a﹤b，则a2c﹤b2c；②若a c﹥b c，则a﹥b；③若a﹥b且若c=d，则a c﹥b d；④若a2c﹤b2c，则a﹤b。
正确的有（）。
'A、4个B、3个C、2个D、1个分析：①2c=0，即可排除；②若a、b、c都为负数即可否定；③任用前两种方法都可以排除；只有④正确。
初中数学不等式知识点大全
一元一次不等式知识点1.不等式不等式的概念：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。
常用的表示不等关系的语言及符号：（1）大于、比……大、超过：；（2）小于、比……小、低于：；（3）不大于、不超过、至多：；（4）不小于、不低于、至少：；（5）正数：；（6）负数：；（7）非负数：；（8）非正数：【例1】下列式子中：；；；④；⑤⑥；⑦；⑧.是不等式的有_________________.【例2】下列语句不能用不等式表示的是（）A. 是负数B. 是正数C. 等于D. 是非负数【练习1】下列式子：；；；④；⑤；⑥；⑦，其中，不等式有______________.【练习2】符号“”的含义是“大于或等于”，即“不小于”；符号“”的含义是“小于或等于”，即“不大于”．请用文字语言翻译下列不等式：（1）：____________.（2）：_____________.知识点2.不等式的基本性质不等式性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 即如果，那么不等式的性质2 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.即如果，那么.不等式的性质3 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.即如果，那么.不等式的性质4 如果，那么.不等式的性质5 如果，那么.【例1】由，可得到的结论（）A.B.C. D. 【例2】如果，那么下列变形错误的是（）A. B.C. D. 【例3】下列判断中，正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【例4】若，则下列式子：；；；④. 其中正确的有_______________.【例5】已知关于的不等式可化为，试化简：.【练习1】若，则下列不等式成立的是（）A． B． C．D．【练习2】已知，则下列不等式不成立的是（）A． B． C． D．【练习3】下列叙述正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【练习4】有理数在数轴上的位置如图示，则下列关系式中正确的个数（）；；；；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【练习5】如果，且，那么的大小关系为（）A． B． C． D．知识点3.不等式的解集1.使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解。
不等式讲义知识点详解+例题+习题(含详细答案)(最新整理)
不等式讲义最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )．(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R ).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －c |＋|x －b |≥a .3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.问题探究：不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≥0，左侧“＝”成立的条件是ab ≤0且|a |≥|b |；不等式|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则≥，当且仅当a ＝b 时，等号成立．a ＋b 2ab 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则≥，当且仅当a ＝b ＝c 时，a ＋b ＋c 33abc 等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则≥，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．a 1＋a 2＋…＋a nn n a 1a 2…a n 4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则()()≥(i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝n ∑i ＝1a 2i n ∑i ＝1b 2i n ∑i ＝1a 1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( )(2)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )(3)|ax ＋b |≤c (c >0)的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( )(4)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为Ø.( )(5)若实数x 、y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√2．不等式|2x －1|－x <1的解集是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |0<x <1}D ．{x |1<x <3}[解析] 解法一：x ＝1时，满足不等关系，排除C 、D 、B ，故选A.解法二：令f (x )＝Error!则f (x )<1的解集为{x |0<x <2}．[答案] A3．设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A ．|a ＋b |＋|a －b |>2B ．|a ＋b |＋|a －b |<2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不能比较大小[解析] |a ＋b |＋|a －b |≤|2a |<2.[答案] B4．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则＋＋的最大值为( )a b c A ．1 B ． 2C. D ．23[解析] (＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤ (12＋12＋12)(a ＋b ＋c )a b c a b c ＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝时，等号成立．13∴(＋＋)2≤3.a b c ＋＋的最大值为.故应选C.a b c 3[答案] C5．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 利用数轴及不等式的几何意义可得x 到a 与到1的距离和小于3，所以a 的取值范围为－2≤a ≤4.[答案] －2≤a ≤4考点一 含绝对值的不等式的解法解|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为Error!，则a ＝________.[解题指导] 切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．[解析] (1)当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.(2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－<x <，与已知条件不符；1a 5a当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，<x <－，又不等式的解集为Error!，故a ＝－3.5a 1a[答案] (1)A (2)－3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．对点训练已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－3时，f (x )＝Error!当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．考点二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如|x －a |＋|x －b |>c 或|x －a |＋|x －b |<c 的不等式，利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性．|x －a |＋|x －b |的几何意义是数轴上表示x 的点与点a 和点b 的距离之和，应注意x 的系数为1.(1)(2014·重庆卷)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋a ＋2对任意实数x 恒成立，12则实数a 的取值范围是________．(2)不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．[解题指导] 切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题．[解析] (1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋a ＋2≤3，解得≤a ≤.12－1174－1＋174即实数a 的取值范围是.[－1－174，－1＋174](2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于PA －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y＝Error!要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．[答案] (1) (2)(－∞，－3)[－1－174，－1＋174]解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.对点训练(2015·唐山一模)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|2x－1|.(1)若当g(x)≤5时，恒有f(x)≤6，求a的最大值；(2)若当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．[解] (1)g(x)≤5⇔|2x－1|≤5⇔－5≤2x－1≤5⇔－2≤x≤3；f(x)≤6⇔|2x－a|≤6－a⇔a－6≤2x－a≤6－a⇔a－3≤x≤3.依题意有，a－3≤－2，a≤1.故a的最大值为1.(2)f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，当且仅当(2x－a)(2x－1)≤0时等号成立．解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞)．考点三 不等式的证明与应用不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则＋>＋；a b c d (2)＋>＋是|a －b |<|c －d |的充要条件．a b c d [解题指导] 切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明] (1)因为(＋)2＝a ＋b ＋2，(＋)2＝c ＋d ＋2，a b ab c d cd 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(＋)2>(＋)2.a b c d ＋>＋.a b c d (2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得＋>＋.a b c d ＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a b c d a b c d a ＋b ＋>c ＋d ＋2.ab cd 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |.＋>＋是|a －b |<|c －d |的充要条件．a b c d分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．对点训练(2014·新课标全国卷Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤；13(2)＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a[证明] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤.13(2)因为＋b ≥2a ，＋c ≥2b ，＋a ≥2c ，a 2b b 2c c 2a故＋＋＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，a 2b b 2c c 2a即＋＋≥a ＋b ＋c .a 2b b 2c c 2a所以＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a———————方法规律总结————————[方法技巧]1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．2．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．3．在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧．如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数．[易错点睛]1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．2．应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．课时跟踪训练(七十)一、填空题1．不等式|2x －1|<3的解集为__________．[解析] |2x －1|<3⇔－3<2x －1<3⇔－1<x <2.[答案] (－1,2)2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝__________.[解析] ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.[答案] 23．不等式|2x ＋1|＋|x －1|<2的解集为________．[解析] 当x ≤－时，原不等式等价为－(2x ＋1)－(x －1)<2，即－3x <2，x >－12，此时－<x ≤－.当－<x <1时，原不等式等价为(2x ＋1)－(x －1)<2，即x <0，23231212此时－<x <0.当x ≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x －1)<2，即3x <2，x <，此1223时不等式无解，综上，原不等式的解为－<x <0，即原不等式的解集为.23(－23，0)[答案] (－23，0)4．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是__________．[解析] ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k <1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k <1.[答案] (－∞，1)5．(2015·西安统考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．[解析] |x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8.[答案] (－∞，8]6．(2015·重庆卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝__________.[解析] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a <－1时，f (x )＝Error!f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝Error!f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4.[答案] －6或47．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是__________．[解析] ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝Error!∴f (x )≥3.要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解，∴|a |≥3，即a ≤－3或a ≥3.[答案] (－∞，－3]∪[3，＋∞)8．已知关于x 的不等式|x －a |＋1－x >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．[解析] 若x －1<0，则a ∈R ；若x －1≥0，则(x －a )2>(x －1)2对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，即(a －1)[(a ＋1)－2x ]>0对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，所以Error!(舍去)或Error!对任意的x ∈[1，＋∞]恒成立，解得a <1.综上，a <1.[答案] (－∞，1)9．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则＋＋的最小值为__________．2a 2b 2c[解析] ∵(a ＋b ＋c )(2a ＋2b ＋2c )＝[()2＋()2＋()2]a b c [(2a )2＋(2b )2＋(2c )2]≥2＝18，(a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c )∴＋＋≥2，∴＋＋的最小值为2.2a 2b 2c 2a 2b 2c[答案] 210．(2014·陕西卷)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．[解析] 由柯西不等式，得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(am ＋bn )2，即5(m 2＋n 2)≥25，∴m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立．∴的最小值为.m 2＋n 25[答案] 511．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为__________．[解析] ∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |)≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时等号成立，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.[答案] 312．若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取4a值范围是________．[解析] 只要函数f (x )＝|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋即可．由于||x ＋1|4a－|x －4||≤|(x ＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a ＋即4a可．当a >0时，将不等式－5≥a ＋整理，得a 2＋5a ＋4≤0，无解；当a <0时，4a将不等式－5≥a ＋整理，得a 2＋5a ＋4≥0，则有a ≤－4或－1≤a <0.综上可知，4a实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[答案] (－∞，－4]∪[－1,0)二、解答题13．已知不等式2|x －3|＋|x －4|<2a .(1)若a ＝1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，不等式即为2|x －3|＋|x －4|<2，若x ≥4，则3x －10<2，x <4，∴舍去；若3<x <4，则x －2<2，∴3<x <4；若x ≤3，则10－3x <2，∴<x ≤3.83综上，不等式的解集为Error!.(2)设f (x )＝2|x －3|＋|x －4|，则f (x )＝Error!作出函数f (x )的图象，如图所示．由图象可知，f (x )≥1，∴2a >1，a >，即a 的取值范围为.12(12，＋∞)14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得<x <1；23当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为Error!.(2)由题设可得，f (x )＝Error!所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为(a ＋1)2.(2a －13，0)23由题设得(a ＋1)2>6，故a >2.23所以a 的取值范围为(2，＋∞)．15．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝Error!作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象．由图象可知，不等式f (x )≥3的解集为Error!.(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；若a <1，f (x )＝Error!f (x )的最小值为1－a ；若a >1，f (x )＝Error!f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2015·福建卷)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求a 2＋b 2＋c 2的最小值．1419[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得(4＋9＋1)≥(14a 2＋19b 2＋c 2)2＝(a ＋b ＋c )2＝16，(a 2×2＋b 3×3＋c ×1)即a 2＋b 2＋c 2≥.141987当且仅当＝＝，12a 213b 3c 1即a ＝，b ＝，c ＝时等号成立．8718727故a 2＋b 2＋c 2的最小值为.141987。
不等式-七年级数学下册同步考点知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)
第1课时—不等式知识点一：不等式：1. 不等式的定义：用 连接的式子叫做不等式。
2. 常见的不等号：大于（ ）；小于（ ）；大于等于（ ）；小于等于（ ）；不等于（ ）。
判断一个式子是不是不等式，首先判断是否用不等号连接，其次判断是否满足不等关系。
二者必须同时满足。
【类型一：判断不等式】1．下列数学表达式中：①﹣3＜0．②2x +3y ≥0，③x ＝1，④x 2﹣2xy +y 2，⑤x ≠2，⑥x +1＞3中，不等式有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．以下数学表达式：①4x +3y ＞0；②x ＝3；③x 2+xy +y 2；④x ≠5．其中不等式有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2y ﹣5＞1，③m ＝1，④x 2﹣x ，⑤x ≠﹣2，⑥x +1＜2x ﹣1中，是不等式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【类型二：列简单的不等式】4．“x 与y 的2倍的和是正数”用不等式可表示为 ．5．x 是不大于2021的正数，则下列表示正确的是（ ）A ．0＜x ＜2021B ．0＜x ≤2021C ．0≤x ≤2021D ．x ≤20216．用适当的符号表示下列关系：（1）x 的31与x 的2倍的和是非正数； （2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（4）明天下雨的可能性不小于70%；（5）小明的身体不比小刚轻．知识点二：不等式的解与解集：1. 不等式的解：使不等关系 的未知数的值是不等式的一个解。
2. 不等式的解集：不等式的解有 个，这些解全部组合起来形成了不等式的解集。
3. 在数轴上表示不等式的解集：具体方法：①确定不等式解集的边界。
②确定边界处使用实心圆还是空心圈。
包含等于用 ，不包含等于使用 。
③确定方向：大于向 ；小于向 。
【类型一：判断不等式的解】7．下列各数中，是不等式x ＞2解的是（ ）A ．3B ．2C ．0D ．﹣18．下列哪个数是不等式2（x ﹣1）+3＜0的一个解（ ）A ．2B ．31C ．﹣21D ．﹣39．在4，3，2，1，0，﹣23，﹣310中，能使不等式3x ﹣2＞2x 成立的数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 【类型二：在数轴上表示不等式的解集】10．不等式x ＜1解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．在数轴上表示不等式x ≥﹣2的解集正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．不等式x ＞﹣4在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．13．在数轴上表示不等式﹣1≤x ＜2，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．14．在数轴上表示不等式组⎩⎨⎧≤-31x x ＞的解集，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 15．不等式组⎩⎨⎧≥52＜x x 的解集在数轴上可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【类型三：确定数轴上表示的解集】16．解集在数轴上表示为如图所示的不等式的是（ ）A ．x ＜2B ．x ≤2C ．x ＞2D ．x ≥217．如图，数轴上表示不等式的解集是（ ）A ．x ＞4B ．x ≥4C ．x ＜4D ．x ≤418．如图，数轴上表示的解集为（ ）A ．x ＞﹣3B ．x ≤2C ．﹣3＜x ≤2D ．﹣3≤x ＜2知识点三：不等式的性质1. 不等式的性质1：不等式的左右两边 加上（减去） ，不等号的方向 。
初二数学不等式部分知识点及练习题
初二数学不等式部分知识点及练习题初二数学不等式部分知识点及练题不等式部分1.一般地，用符号“≤”、“≥”、“＜”、“＞”或“≠”连接的式子叫做不等式。
题型一：列不等式用不等式表示下面叙述：1）a的一半的相反数是非负数；2）x的三倍比它与5的差大；3）a与2的差是非正数；4）x的5倍与-2的差大于x与1的和的三倍；题型二：不等式的意义下面列出的不等式，正确的是（）A。
a不是负数，可表示为a>0B。
x不大于3，可表示为x<3；C。
m与4的差是负数，可表示为m-4<0；D。
x与2的和是非负数，可表示为x+2≥0；2.不等式的基本性质一：不等式两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
（重点）不等式的基本性质二：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（重点）不等式的基本性质三：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
（重点、难点）题型一：利用不等式性质将不等式化为xa的形式根据不等式的基本性质，把下列不等式化为xa的形式：1）x/3>-2x/3-2;2）-3x+2<2x+3;3）(6-x)/2≥x/2;4）-5x/2≤-1;题型二：不等式的基本性质运用①若a<b，则-2a+5<-2b+5；②若x-y-z；③ a>b，且c>0，则ac+d>bc+d；④若ac>bc且c<0，则a<b；⑤如果a3-b；⑥由xa+1，那么a的取值范围是a0.XXX著⑦对不等式-3x>1变形得3x<-1.⑨有方程组2x+y=1+3m，x+2y=1-m，满足x+y<0，则m 的取值范围是m<1/3.⑩判断正误：因为5<6，所以5x<6x（错误）。
选择题⑴如果，下列不等式中错误的是（）A。
ab>0B。
a+b<0C。
a/b<1D。
a-b<0⑵若x>y，则下列式子错误的是（）A。
不等式复习题及答案
不等式复习题及答案1. 若不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 的解集为 \( (-1, 2) \)，求 \( a \)、\( b \) 和 \( c \) 的值。
答案：根据解集 \( (-1, 2) \) 可知，\( -1 \) 和 \( 2 \) 是方程\( ax^2 + bx + c = 0 \) 的两个实根，且 \( a < 0 \)。
根据根与系数的关系，我们有 \( -1 + 2 = -\frac{b}{a} \) 和 \( -1\times 2 = \frac{c}{a} \)。
解得 \( b = -a \) 和 \( c = -2a \)。
由于 \( a < 0 \)，我们可以取 \( a = -1 \)，则 \( b = 1 \)，\( c = 2 \)。
2. 已知 \( x \) 和 \( y \) 满足 \( x + y \geq 3 \) 且 \( x -y \leq 1 \)，求 \( x^2 + y^2 \) 的最小值。
答案：要使 \( x^2 + y^2 \) 最小，\( x \) 和 \( y \) 应尽可能接近。
由 \( x + y \geq 3 \) 和 \( x - y \leq 1 \) 可得 \( 2x\leq 4 \)，即 \( x \leq 2 \)。
当 \( x = 2 \) 时，\( y = 1 \)。
因此，\( x^2 + y^2 \) 的最小值为 \( 2^2 + 1^2 = 5 \)。
3. 若 \( a \)、\( b \) 和 \( c \) 是正实数，且满足 \( a + b +c = 1 \)，求 \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \) 的最小值。
答案：根据柯西-施瓦茨不等式，我们有 \( (a + b +c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \geq(1 + 1 + 1)^2 = 9 \)。
初二不等式经典例题
初二不等式经典例题摘要：一、初二不等式基本概念1.不等式的定义2.不等式的基本性质3.不等式的解集表示方法二、初二不等式经典例题解析1.例题一：简单一元一次不等式求解2.例题二：一元一次不等式的应用题3.例题三：一元一次不等式组求解4.例题四：一元二次不等式的解法三、解决初二不等式问题的技巧与方法1.技巧一：不等式性质的应用2.技巧二：图像法求解不等式3.技巧三：代数法求解不等式正文：一、初二不等式基本概念不等式是数学中的一种基本概念，用于表示大小关系。
不等式可以表示为“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等符号。
例如，3>2、x≤5等。
不等式的基本性质包括：1）若a>b，则a+c>b+c；2）若a>b，则-a<-b；3）若a>b且c>0，则ac>bc；4）若a>b且c<0，则ac<bc。
不等式的解集表示方法有：1）区间表示法；2）集合表示法。
二、初二不等式经典例题解析1.例题一：简单一元一次不等式求解题目：解不等式x+2>5。
解：移项得x>3，所以解集为x∈(3, +∞)。
2.例题二：一元一次不等式的应用题题目：一辆汽车从甲地到乙地，行驶100公里，已知汽车行驶的时间为2小时，求汽车的速度是否大于50公里/小时。
解：设汽车速度为v，根据距离=速度×时间，得v×2=100，所以v>50。
答案为汽车速度大于50公里/小时。
3.例题三：一元一次不等式组求解题目：解不等式组x+3>6和x-2<4。
解：分别解得x>3和x<6，所以解集为3<x<6。
4.例题四：一元二次不等式的解法题目：解不等式x^2-5x+6>0。
解：首先求出方程x^2-5x+6=0的根，得x=2,3。
因为二次函数开口向上，所以解集为x∈(2,3)。
三、解决初二不等式问题的技巧与方法1.技巧一：不等式性质的应用在解不等式时，可以充分利用不等式的基本性质，如加减、乘除、翻转不等号等，简化不等式的求解过程。
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不等式章节复习一、知识点：1. 实数的性质：0>-⇔>b a b a ；0<-⇔<b a b a ；0=-⇔=b a b a ．2. 不等式的性质：3. 常用基本不等式：4.利用重要不等式求最值的两个命题：命题1：已知a ，b 都是正数，若ab 是实值P ，则当a=b=时，和a ＋b 有最小值2.命题2：已知a ，b 都是正数，若a ＋b 是实值S ，则当a=b=2s 时，积ab 有最大值42s .注意：运用重要不等式求值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可.5.一元二次不等式的解法：设a>0,x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1≤x 2，则有结论：ax 2+bx+c>0⇔20040a ab ac >⎧=⎨-<⎩或检验；ax 2+bx+c<0⇔2040a ab ac <⎧=⎨-<⎩或检验 6. 绝对值不等式（1）｜x ｜＜a （a ＞0）的解集为：{x ｜－a ＜x ＜a}； ｜x ｜＞a （a ＞0）的解集为：{x ｜x ＞a 或x ＜－a}。
（2）|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤±≤-7. 不等式证明方法：基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法 辅助方法：换元法（三角换元、均值换元等）、放缩法、构造法、判别式法特别提醒：不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，最常用的思路是用分析法探求证明途径，再用综合法加以叙述。
我们在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。
8、线性规划问题的解题方法和步骤解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y 轴上的截距的最大值或最小值求解。
初中数学不等式知识点
初中数学不等式知识点一、不等式的定义与性质1.不等关系：对于任意两个实数a和b，只有以下三种情况之一成立：a>b，a=b，a<b。
2.不等式：由不等关系得到的表达式称为不等式。
3.不等式的解：使得不等式成立的数字的范围。
4.不等式的性质：a)若a>b且b>c，则a>c。
b)若a>b，则a+c>b+c。
c) 若a>b且c>0，则ac>bc。
d) 若a>b且c<0，则ac<bc。
二、一元一次不等式1.解一元一次不等式的方法：a)变形法：根据不等式性质对不等式进行变形，以求得解的范围。
b)试值法：取不等式两边的中心值，带入不等式进行判断。
c)图解法：将不等式转化为数轴上的表示，并用图形确定解的范围。
2.一元一次不等式的特殊情况：a)严格不等式：不等号中的大于或小于号是有实际意义的，例如x>3b)非严格不等式：不等号中的大于等于或小于等于号是有实际意义的，例如x≥33.一元一次不等式的解集表示方法：a)区间表示法：解集用区间表示，如(3,+∞)表示大于3的所有实数。
b)不等式表示法：通过不等式的形式表示解集，如x>3三、一元二次不等式1.解一元二次不等式的方法：a)求解开头为正负的二次不等式：将二次不等式化为二次方程，再通过求解二次方程得到解的范围。
b)求解开头为非负的二次不等式：直接观察二次不等式的开头，确定解的范围。
2.一元二次不等式的特殊情况：a)严格不等式：不等号中的大于或小于号是有实际意义的，例如x^2>4b)非严格不等式：不等号中的大于等于或小于等于号是有实际意义的，例如x^2≥43.一元二次不等式的解集表示方法：a)区间表示法：解集用区间表示，如(-∞,-2)∪(2,+∞)表示不在(-2,2)范围内的所有实数。
b)不等式表示法：通过不等式的形式表示解集，如x<-2或x>2四、两个不等式的关系1. 不等式的加减乘除运算：若a>b且c>0，则有a+c>b+c、ac>bc （或ac<bc）、a/c>b/c（或a/c<b/c）。
不等式的基础知识点与习题(含答案)
不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加)(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
不等式概念及性质知识点详解与练习
不等式的概念及性质知识点详解及练习一、不等式的概念及列不等式不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→≤≥≠→→表示出不等关系列出代数式设未知数步骤列不等式””、“”、“”、“”、““不等号概念πφ 1、不等式的概念及其分类（1）定义：用“＞”、“﹤”、“≠”、“≥”及“≤”等不等号把代数式连接起来，表示不等关系的式子。
a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b 。
（2）分类：①矛盾不等式：不等式只是表示了某种不等关系，它表示的关系可能在任何条件下都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式；如2＞3，x 2﹤0②绝对不等式：它表示的关系可能在任何条件下都成立，这样的不等式叫绝对不等式； ③条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。
（3）不等号的类型：①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小； ②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“﹤”读作“小于”， 它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”， 它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”， 它表示左边的数不大于右边的数；注意：要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
（4）常见不等式基本语言的含义：①若x ＞0，则x 是正数；②若x ﹤0，则x 是负数；③若x ≥0，则x 是非负数；④若x ≤0，则x 是非正数；⑤若x-y ＞0，则x 大于y ；⑥若x-y ﹤0，则x 小于y ；⑦若x-y ≥0，则x 不小于y ；⑧若x-y ≤0，则x 不大于y ；⑨若xy ＞0（或yx ＞0），则x ，y 同号；⑩若xy ﹤0（或yx ﹤0），则x ，y 异号； （5）等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。
初中不等式的知识点归纳
初中不等式的知识点归纳一、不等式的概念。
1. 不等式的定义。
- 用不等号（＞、≥、＜、≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
例如：3x + 5>2，a - 1≤0等。
2. 不等式的解。
- 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如，对于不等式x + 1>0，x = 1就是它的一个解，因为当x = 1时，1+1 = 2>0。
3. 不等式的解集。
- 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如，不等式x - 3>0的解集是x>3，这表示所有大于3的数都是这个不等式的解。
4. 解不等式。
- 求不等式解集的过程叫做解不等式。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（不等式的传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如：若5>3，3>1，则5>1。
2. 性质2（不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变）- 如果a>b，那么a±c>b±c。
例如：若x>2，那么x+1>2 + 1，即x+1>3；x-3>2-3，即x - 3>-1。
3. 性质3（不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc（或(a)/(c)>(b)/(c)）。
例如：若2x>4，两边同时除以2（2是正数），得到x>2。
4. 性质4（不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）- 如果a>b，c<0，那么ac（或(a)/(c)<(b)/(c)）。
例如：若-3x>6，两边同时除以 - 3（-3是负数），得到x<-2。
三、一元一次不等式。
1. 一元一次不等式的定义。
- 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
其一般形式是ax + b>0或ax + b<0（a≠0），例如2x - 1>0，3 - x<0等。
七年级不等式知识点及题型总结(新)
七年级不等式知识点及题型总结(新)不等式与不等式组不等式是指用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子。
不等式的解是指使不等式成立的未知数的值。
一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。
不等式有一些基本性质，比如不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边相乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边相乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变等等。
此外，不等式还有一些延伸性质，比如不等式的传递性、同向不等式相加性质、同向不等式相乘性质、不等式的倒数性质、不等式的乘方性质和不等式的开方性质等。
一元一次不等式是指只含一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式。
解一元一次不等式的步骤是移项，合并同类项，系数化为一，在数轴上表示出解集。
解一元一次不等式组的步骤是标序号①②，解不等式，将两式的解集在数轴上表示出来，写出解集。
在解不等式和不等式组时，需要注意“不大于”“不小于”“不超过”“超过”等词语的含义。
题型包括画数轴表示出不等式解集、求不等式的解、判定一系列式子哪些是不等式、利用不等式的性质答题等。
在利用不等式的性质答题时，需要根据不等式的基本性质和延伸性质进行推导和计算。
最后，需要注意数解的个数和根据文字描述写出不等式等问题。
在求解不等式和不等式组时，需要考虑同大取大，同小取小，大小小大取中间，小小无解等情况。
题目1：求解不等式$\frac{x}{2}-2\leq -1$的最大正数解，最小正整数解，最大负数解，并求取值范围。
答案：将不等式化简得$x\leq 2$，因此最大正数解为$x=2$，最小正整数解为$x=1$，最大负数解为$x=-\infty$。
取值范围为$x\in(-\infty,2]$。
题目2：若$|2a+1|>2a+1$，求$a$的取值范围。
答案：将不等式化简得$a0$，因此$a$的取值范围为$a\in(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(0,+\infty)$。
(完整版)初中不等式专题复习知识点及习题
专题二不等式（组）知识点汇总：1.不等式：用“＞”、“＜”、“≥”或“≤”将两个式子连结以表示大小关系的式子。
2.不等式的解：把使不等式建立的未知数的值叫做不等式的解。
3.不等式的解集：使不等式建立的 x 的取值范围叫做不等式解的会合，简称解集。
4.不等式的基天性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
5. 解不等式：求不等式解集的过程。
其目的本质就是把不等式化为“x＞a 或 x ≥ a”、“ x＜a 或 x≤ a”的形式。
6.用数轴表示不等式：（大于向右画，小于向左画，无等号画圆圈，有等号画实心点）7.一元一次不等式：不等式左右两边都是整式，只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是 1，这样的不等式叫做一元一次不等式。
思虑：解一元一次不等式与解一元一次方程有什么异同？8.一元一次不等式组：把两个或多个一元一次不等式组合起来是一个一元一次不等式组。
9.不等式组的解集：不等式组中每一个解集的公共部分叫做不等式组的解集。
记：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。
思虑：解一元一次方程组与解一元一次不等式组有什么异同？随堂练习：1.已知 a＜0，则对于 x 的不等式 ax＜ 5 的解为 ________,5x ＜a 的解为 ________。
2.已知 a，b 为常数，若 ax+b＞0 的解集为 x＜3，则 bx+a＜ 0 的解集为 ________。
3. 若不等式组有解，则k的取值范围是（）（A）k＜ 2（B）k≥ 2（C）k＜1（D）1≤k＜24.若（ x+1）（ x-1 ）＜ 0，则 x 的解集为 __________。
5.九年级一个班有几个同学毕业前合影纪念，每人交 0.7 元，一张彩色底片元，扩印一张相片 0.50 元，每人分一张，在收上来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最罕有 ________个。
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专题二不等式（组）
知识点汇总：
1.不等式：用“＞”、“＜”、“≥”或“≤”将两个式子连接以表示大小关系的式子。
2.不等式的解：把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
3.不等式的解集：使不等式成立的x的取值范围叫做不等式解的集合，简称解集。
4.不等式的基本性质：
（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
5.解不等式：求不等式解集的过程。
其目的实质就是把不等式化为“x＞a或x ≥a”、“x＜a或x≤a”的形式。
6.用数轴表示不等式：（大于向右画，小于向左画，无等号画圆圈，有等号画实心点）
7.一元一次不等式：不等式左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式。
思考：解一元一次不等式与解一元一次方程有什么异同？
8.一元一次不等式组：把两个或多个一元一次不等式组合起来是一个一元一次不等式组。
9.不等式组的解集：不等式组中每一个解集的公共部分叫做不等式组的解集。
记：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。
思考：解一元一次方程组与解一元一次不等式组有什么异同？
随堂练习：
1.已知a＜0，则关于x的不等式ax＜5的解为________,5x＜a的解为________。
2.已知a，b为常数，若ax+b＞0的解集为x＜3，则bx+a＜0的解集为________。
3.若不等式组有解，则k的取值范围是（）
（A）k＜2 （B）k≥2 （C）k＜1 （D）1≤k＜2
4.若（x+1）（x-1）＜0，则x的解集为__________。
5.九年级一个班有几个同学毕业前合影留念，每人交0.7元，一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人分一张，在收上来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有________个。
6.
7.某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲乙两个垃圾处理厂同时处理。
已知甲厂每小时可处理垃圾55吨，每吨需要费用10元；乙厂每小时可处理垃圾45吨，每吨需要费用11元。
如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不超过7370元，甲厂每天处理垃圾至少多少小时？
8.有个两位数的十位数字与个位数字的和大于11，如果这个两位数减去18后所得到的两位数是原两位数的十位数字与个位数字互换的两位数，求原来的两位数。
9.某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36 座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元.
（1）该校初三年级共有多少人参加春游？
（2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．
课后习题：
1.解下列不等式组。
（1）（2）
3.
4.如果关于x的不等式（a-1）x＜a+5和2x＜4的解集相同，求a的值。