拱桥问题与二次函数(3)

《26.3.3桥拱问题与二次函数》

学习目标：1．会建立直角坐标系解决实际问题；

2．会解决桥洞水面宽度问题．

重 难 点：应用二次函数的性质解决桥洞水面宽度问题 活动1：旧知回顾

一般地，因为抛物线2y ax bx c =++的顶点是最低（高）点，二次函数2y ax bx c =++可化

为()2b

y a x a

=+

+ ，所以当 x= 时，有最小（大）值为 。 活动2：探究新知 第25页探究3

如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m,水面宽4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少？

分析：此类问题首先是选择适当的位置建立平面直角坐标系，然后求出这条抛物线所表示的二次函数，再由解析式求出问题答案。

解：以 为原点，以 为y 轴建立平面直角坐标系，可设此抛物线为（2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-、2()y a x h k =-+、

2y ax bx c =++（a ≠0）五种中的） 。

由题意可知，此抛物线经过点（2， ）故可得：

故：此抛物线表示的二次函数为

当水面下降1m 时，水面宽度为 ，故水面下降1m 时，水面宽度增加 m.

提示：选择适当的位置建立平面直角坐标系，可使问题简单化。同学们可试一试本题选择其

它位置建立平面直角坐标系，如何求出这条抛物线所表示的二次函数，再比较两种解法的难易程度。

活动3：课堂展示

有一抛物线拱桥，已知水位线在AB 位置时，水面的宽为4 6 米，水位上升4米，就达

到警戒线CD ，这时水面宽为4 3 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M 处？

活动4课堂练习

1、拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y ＝ax 2＋c 的形式，请根据所给的数据求出a 、c 的值；

（2）求支柱MN 的长度； （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一宽2m 的隔离带），

其中的一条行车道能否并排行驶宽2m ，高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．

图①

2、如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．

（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式．

（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

3、（2011甘肃兰州）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋

千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5

米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.

4、（2012 四川南充）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．

（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？

（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？

5、（2013福建泉州南安）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直

角坐标系中，抛物线的解析式为c x y +-=2

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1且过顶点C （0，5）（长度单位：m ） （1）直接写出c 的值；

（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5 m 的地毯，地毯的价格为20元 / 2

m ,求购买地毯需多少元？

6、（2012新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）如图（1），某灌溉设备的喷头B 高出地面1.25m ，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A 的距离为1m 处达到距地面最大高度2.25m ，试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数关系式。

学生小龙在解答图（1）所示的问题时，具体解答如下：

①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图（2）所示的平面直

角坐标系；②设抛物线水流对应的二次函数关系式为y=ax 2

；③根据题意可得B 点与x 轴的距离为1m ，故B

点的坐标为（-1， 1）；④代入y=ax 2

得-1=a ·1，所以a=-1；

⑤所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y=-x 2

.数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的”。

（1）请指出小龙的解题从第______步开始出现错误，错误的原因是什么？ （2）请你写出完整的正确解答过程。