拱桥问题与二次函数(3)
教学课件：第3课时-拱桥问题中的二次函数
代数法是通过代数运算来求解拱桥问 题的一种方法。
代数法适用于解决简单的二次函数问 题，但对于复杂的拱桥问题，可能需 要更高级的数学工具。
这种方法需要建立二次函数方程，然 后通过求解方程来得到拱桥的顶点坐 标和拱高。
解析方法二：图象法
图象法是通过绘制二次函数的图 象来直观地解决拱桥问题的方法。
通过观察图象，我们可以直接找 到函数的顶点，从而确定拱桥的
04 实际案例分析
案例一：某拱桥的承载能力分析
总结词
通过实际案例分析拱桥的承载能力，了解二次函数在解决实际问题中的应用。
详细描述
某拱桥在承受不同载荷时，其变形程度和承载能力是关键问题。通过建立二次 函数模型，可以预测拱桥在不同载荷下的变形程度，从而评估其承载能力。
案例二：不同载荷下的拱桥变形分析
二次函数在拱桥问题中的应用
二次函数在拱桥问题中扮演着重要的角色，它可以描述拱桥的形状、受力情况等。
通过分析二次函数的开口方向、顶点位置等性质，可以得出拱桥的稳定性、承载能 力等方面的结论。
在实际工程中，设计师需要根据二次函数的性质来设计拱桥，以确保其安全性和稳 定性。
03 拱桥问题的解析方法
解析方法一：代数法
总结词
研究不同载荷对拱桥变形的影响，进一步理解二次函数与实际问题的关联。
详细描述
在实际应用中，拱桥会受到各种载荷的作用，如车辆、人群等。通过建立二次函 数模型，可以分析不同载荷对拱桥变形的影响，为拱桥的安全评估提供依据。
案例三：拱桥的施工过程模拟
总结词
利用二次函数模拟拱桥的施工过程，有助于优化施工方案和 提高工程质量。
形状和位置。
图象法适用于解决中等难度的二 次函数问题，但对于复杂的拱桥 问题，可能还需要结合其他方法。
二次函数---拱桥问题中能否通过问题
22.3（3.2）---拱桥问题中能否通过问题一．【知识要点】1.常用“定宽比高”法解决拱桥问题中能否通过问题。
二．【经典例题】1.一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度16m，为了安全起见，分别在桥的两侧安装如图1所示的不锈钢护栏（护栏包括支柱和衡量），相邻两支柱间的距离均为4m．（1）如图所示建立直角坐标系，求这条抛物线的函数表达式；（2）求安装护栏所需钢管的总长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道，其中的一条行车道能否并排行驶宽2.4m，高3m的两辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．2.有一座抛物线形拱桥,正常水位时,桥下水面宽20m,拱顶距离水面4m.(1)在如图1所示的坐标系中,求抛物线的解析式;(2)在正常水位基础上,当水位上升h（m）时,桥下水面的宽度为d（m）,试写出用d表示h 的函数解析式;(3)设正常水位时桥下的水深2m,且桥下水面的宽度不得小于18m才能保证过往船只顺利通行,当水深超过多少米时,会影响过往船只在桥下通行?3.某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，篮圈距地面3m，设篮球运行的轨迹为抛物线．（1）建立如图的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）此球能否准确投中？（3）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？4.如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5米，圆柱形桶的直径CD为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如图，建立直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）如果竖直摆放7个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（3）当竖直摆放圆柱形桶至多多少个时，网球可以落入桶内？、5.如图，有一个横截面是抛物线的运河，一次，运河管理员将一根长6m的钢管（AB）一端在运河底部A点，另一端露出水面并靠在运河边缘的B点，发现钢管4m浸没在水中（AC ＝4米），露出水面部分的钢管BC与水面部分的钢管BC与水面成30°的夹角（钢管与抛物线的横截面在同一平面内）（1）以水面所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，求该运河横截面的抛物线解析式；（2）若有一艘货船从当中通过，已知货船底部最宽处为12米，吃水深（即船底与水面的距离）为1米，此时货船是否能安全通过该运河？若能，请说明理由；若不能，则需上游开闸放水提高水位，当水位上升多少米时，货船能顺利通过运河？（船与河床之间的缝隙忽略不计）6．（2021年绵阳期末第22题）如图①是一条抛物线形状的拱桥，水面宽AB为6米，拱顶C离水面的距离为4米．（1）建立恰当的坐标系，并求出抛物线的解析式；（2）一艘货船的截面如图②所示，它是由一个正方形MNEF和一个梯形KLGH组成的轴对称图形，货船的宽度KH为5米，货物高度MN为3米．若船弦离水面的安全距离为0.25米，请问货船能否安全通过桥洞？说明理由．三．【题库】【A】1.地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时速度为0；②小球在空中经过的路程是40m；③小球的高度h＝30m时，t＝1.5s；④小球抛出3秒后，速度越来越快．其中正确的是（）A．①④B．①② C．①②④D．②③【B】【C】1.如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，大棚在地面上的宽为AB（单位：米），AB＝10，以AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系，y轴与抛物线交于点C，抛物线解析式为y＝﹣x2+h．（1）求点C坐标；（2）若菜农身高为米，则在她直立的情况下，在大棚内的横向活动范围有几米？【D】1.如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4＝7）（3）运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取2＝5）。
二次函数与拱桥问题
建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：(1) 根据题意建立适当的 ________________________ ； (2) 把已知条件转化为 __________________ ； (3) 合理设出函数 ___________________ ； (4) 利用 _________________ 法求出函数解析式；(5) 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 知识点1 :二次函数在桥梁中的应用1. 有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20米，拱顶距离水面4米.在如图所示 的直角坐标系中，该抛物线的解析式为 ________________________ .2.有一座抛物线形的立交桥拱 ，这个桥拱的最大高度为 16 m ,跨度为40 m ,现把它的图形放在坐标系中(如图).若在离跨度中心 M 点5 m 处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶 ，则这根铁柱的长为 _____ m.3. 如图是一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于 A , B 两点，拱桥最高 点C 到AB 的距离为9 m , AB = 36 m , D , E 为拱桥底部的两点，且DE // AB ，点E 到直线 AB 的距离为7 m ,则DE 的长为 ___________ m .知识点2 :二次函数在隧道中的应用 4. 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成,尺寸如图如示，以隧道横断面抛物线的顶点16为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，则该抛物线的解析式为 知识点3:二次函数在其他建筑问题中的应用5.如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑， 大门底部地面宽4米，顶部距地面的高度为 4.4 米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为 2.4米，该车要想通过此门， 装货 后的高度应小于( ) A. 2.80 米B . 2.816 米C . 2.82 米D. 2.826 米\比米L -4 棊_'6•如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB 的薄壳屋顶.它的拱宽AB 为4 m拱高CO 为0.8 m •建立如图的直角坐标系，则屋顶的轮廓线所在的抛物线的解析式为知识点4 :二次函数在运动中的应用7.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平 面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y = — x 2 + 4x(单位：米)的一部分，则水喷出 的最大高度是( )A . 4米B . 3米C . 2米D .1米----- 6m ----- ►A .第3秒B .第3.5秒C .第4.2秒D .第6.5秒&军事演习在平坦的草原上进行 ，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y(m)与飞行时间 x(s)的关系满足y = — 5X 2 + 10x.经过 ________ 秒炮弹到达它的最高点，最高点的高度是________ 米，经过 ________ 秒炮弹落到地上爆炸了.9•竖直向上发射的小球的高度 h(m)关于运动时间t(s)的函数解析式为h = at + bt ,其图象如图所示.若小球在发射后第 2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是y(m)与滑行时间x(s)之间的函数关系式是 m 才能停下来.12.如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y = — 3x 1 2+ 3x + 1的一部分.5 (1)求演员弹跳离地面的最大高度；⑵已知人梯高BC = 3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是4米，问这次表 演是否成功？请说明理由.13•如图，小河上有一座拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三 边AE, ED, DB 组成.已知河底 ED 是水平的，ED = 16米，AE = 8米，抛物线的顶点 C 到ED 的距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系. (1) 求抛物线的解析式；(2) 已知从某时刻开始的 40小时内，水面与河底 ED 的距离h(单位：米)随时间t(单位：时) 的变化满足函数关系 h =- ±(t — 19)2+ 8(0 w tw 40),且当水面到顶点 C 的距离不大于5米 时，需禁止船只通行，请过计算说明：在这一时段内 ，需多少小时禁止船只通行？1 当h = 2.6时，求y 与x 的关系式；(不要求写出自变量 x 的取值范围)2 当h = 2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由？10.如图，有一座抛物线形拱桥 水面下降1 m 后，水面宽为( ,当水位线在AB 位置时，拱顶离水面2 m ,水面宽为4 m , ) A . 5 mB . 6 mC/, 6 mD . 2 6m11.某一型号飞机着陆后滑行的距离 1.5x 2，该型号飞机着陆后滑行 —y = 60x —14.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y = a(x —6)2 + h.已知球网与O 点的水平距离为9 m,高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.4、有座抛物线形拱桥（如图），正常水位时桥下河面宽20m,河面距拱顶4m为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m,求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。
人教版九年级上册数学二次函数与拱桥问题
一、教学目标 1．让学生能够用二次函数知识解决拱桥问题． 2．让学生能够根据实际问题构建二次函数模型．
二、教学重难点 重点
建坐标系解决拱桥问题．
难点 建立适当的坐标系解决抛物线形实际问题．
三、教学设计 活动1 新课导入 现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥(如图 )吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题 呢？
1．欢欢在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳
，函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描
述她跳跃时重心高度随时间的变化关系，则她起跳后
5
到重心到达最高时所用的时间是__1_4_s.
2．某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正
在投篮，已知球出手时离地面高
20 9
m，与篮圈中心的
-2= a×2²，
这条抛物线表示的二次函数为
当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3。请你根据 上面的函数解析式求出这是的书面宽度。
水面下降1m，水面宽度增加_________m。
提出问题： (1)对于抛物线形拱桥，要是能知道此抛物线的解析式 就好了．你能确定这条抛物线的表达式吗？ (2)水面下降1 m的含义是什么？怎样把距离转化成坐标 ？如何求宽度增加多少？你能先在图中建立一个恰当 的平面直角坐标系，使抛物线形拱桥转化为坐标系中 的抛物线吗？ (3)你还有其他的解决方法吗？
解：建立如图所示的平面直角坐标系．可设它的函数 解析式为y＝ax2＋k.把B(1，2.5)，C(－0.5，1)代入， 可求得a＝2，k＝0.5， ∴抛物线的解析式为y＝2x2＋0.5. ∵a＝2＞0， ∴y有最小值， ∴当x＝0时，y最小＝0.5. 答：绳子的最低点距地面的距离为0.5 m.
22.3 第3课时 二次函数与拱桥类问题
图22－3－4
解析总结反 思
解：由对称性可知：丙的身高与丁的身高相同，为1.625 m. 上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的
解答过程．
[答案]不正确．错误地认为丙、丁是“对称的”．实际上，抛
物线是轴对称图形，其对称轴是甲手、乙手所连线段的垂
直平分线，如图所示，但丙、丁并不关于对称轴对称．
图22－3－3
解目 析标
解：不能．理由如下：
突 破
因为抛物线的顶点为C(0，8)，所以可设抛物线的解析式为
y＝ax2＋8.
将(12，0)代入 y＝ax2＋8，求得 a＝－118， 所以抛物线的解析式为 y＝－118x2＋8.
解目 析标
当 y＝4 时，求得 x＝±6 2，
突
破 所以水面高 4 m 处的拱宽为 12 2 m，小于船的最大宽度，
解析总结反
反思 你知道吗？平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似
思 地看作抛物线．如图22－3－4所示，甩绳的甲、乙两名学生
拿绳的手之间的距离为4 m，距地面均为1 m，学生丁、丙分
别站在与甲拿绳的手水平距离为2.5 m，
1 m处，绳子在甩到最高处时刚好通过
他们的头顶，已知学生丁的身高是 1.625 m，求学生丙的身高．
谢 谢 观 看！
所以此船在正常水位时不能开到桥下．
解目 归纳总结
析标 突
利用二次函数解决拱桥类问题“五步法”：
破 (1)恰当地建立平面直角坐标系；
(2)将已知条件转化为点的坐标；
(3)合理地设出所求函数的解析式；
(4)代入已知条件或点的坐标求出解析式；
(5)利用解析式求解问题．
解析总结反
小结
知识点 利用二次函数解决拱桥类问题
九年级数学： 22.3.3拱桥问题教案10
22.3实际问题与二次函数(3)教案学情分析：通过前几节课的学习，学生已经学习了二次函数定义、图像和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，已接触了最大利润,最大面积等问题，体验了如何从实际问题中抽象出二次函数模型，为本节课的学习奠定了基础。
在本节中，需要建立适当的直角坐标来分析和解决问题。
教学目标：1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确建立坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决实际问题．2.通过建立平面直角坐标系解决实际问题中变量之间的函数关系,获得用数学方法解决实际问题的经验.3.在解决实际问题过程中使学生体验数学建模思想,培养学生分析问题、解决实际问题的能力, 感受数学模型思想在实际问题中的应用价值.教学重点：建立坐标系，利用二次函数的图象、性质解决实际问题． 教学难点：建立适当的平面直角坐标系,实际问题转化为数学问题. 教学过程： 一、复习回顾：1.问题：解决前几节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？所用知识在解决生活中问题时，还应注意什么？ (1)由于抛物线c bx ax y ++=2的顶点是最低（高）点，当abx 2-=时, 二次函数c bx ax y ++=2有最小（大）值ab ac 442- .(2)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围. (3)在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.2.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的解析式. 解：设所求二次函数解析式为)0(9)8(2≠+-=a x a y ∵ 函数图象经过点（0，1）∴19)80(2=+-a 解得：81-=a∴所求的二次函数解析式是 9)8(812+--=x y 即12812++-=x x yOxyOxyOxyOxy3.已知二次函数的图象经过A (0，1)，B (1，3)，C (-1，1)三点.求二次函数的解析式. 解：设所求二次函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ∵ 函数的图象经过点A (0，1)，B (1，3)，C (-1，1)∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=131c b a c b a c 解得： ⎪⎩⎪⎨⎧===111c b a∴所求的二次函数解析式是 12++=x x y 二、合作探究：问题：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少？ 思考：（1）求宽度增加多少需要什么数据？（2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）怎样求抛物线对应的函数的解析式？ 问题:如何建立直角坐标系？oyx-2-121 -1 -2 -31二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系．解: 如图以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立如下直角坐标系 可设这条抛物线表示的二次函数为y =2ax (a ≠0）.由抛物线经过点（2，－2），可得222-=⋅a解得：21-=a这条抛物线表示的二次函数为221x y -=当水面下降1m 时，水面的纵坐标为y = －3. 请你根据上面的函数表达式求出这时的水面宽度． 解：当 y= -3时，2213x -=-. 水面的宽度62m水面下降1m ，水面宽度增加)462(-m. 三、巩固应用：如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位AB 时，水面宽20米，水位上升3米，就达到警戒线CD ，这时水面宽为10米.(1)求抛物线形拱桥的解析式.(2)若洪水到来时,水位以每小时0.2米的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时就能达到拱桥顶? (3)在正常水位时,有一艘宽8米,高2.5米的小船能否安全通过这座桥?解: （1）如图以水面AB 所在的直线为x 轴， 以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。
22.3实际问题与二次函数-拱桥问题解析
试一试：
如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位 AB时，水面宽20米，水位上升3米，就达到警戒 线CD,这时水面宽为10米。
（1）求抛物线型拱桥的解析式。
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度 上升，从警戒线开始，在持续多少小时才能达到 拱桥顶？
抛物线的顶点在象限内，对称轴平行于_y__轴， 抛物线的形式为____y_=_a_(_x_-_h_)_2+_k.
探究1：
如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相
同的抛物线落下，如果喷头所在处A距地面1.25米,水流路
线最高处B距地面2.25米,且距水池中心的水平距离为1米.
以A处的竖直方向为y轴,水平方向为x轴建立直角坐标系,
该抛物线的解析式为 y= －(x-1)2 +2.25 ,如果不考虑其他
因素，那么水池的半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流
不致落到池外。
y
. 1 BB．(1,2.25 ） .AA(0,1.25)
1.25 2.25
O
Cx
探究2：
如图的抛物线形拱桥,当水面在 l时,拱桥顶离水面
2 m,水面宽 4 m,水面下降 1 m, 水面宽度增加多少?
所以，水面下降1m，水面的
宽度为2 6 m.
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
y
(0,0)
●
0
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y a(x 2)2 2
(2,2)
由抛物线经过点（0，0），可得
(4, 0)
a1
●
2
x 所以，这条抛物线的解析式为：
y 1 (x 2)2 2
22_3 第3课时 二次函数与拱桥类问题【人教九上数学学霸听课笔记】
(5)利用解析式求解问题.
探 究
例 某幢建筑物,从 10 m 高的窗口 A 用水管向外喷水,喷出的
与 应
水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直,如图 22－3－4
用 所示),如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m,离
地面430 m,求水流落地点 B 离墙的距离 OB.
图22－3－4
探 究
解：建立如图所示的平面直角坐标系.根据题意,设抛物线的解析
所以水面高 4 m 处的拱宽为 12 2 m,小于此船的最大宽度,
所以此船在正常水位时不能开到桥下.
随 1.如图22－3－6,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度CM是
堂
小 16 m,跨度AB是40 m,在线段AB上离中点M处5 m的地方,桥
检
测 的高度DN是多少米?
图22－3－6
随 解:如图22-3-7所示,以直线AB为x轴,向右为正方向﹐点M为
第 二
二次函数
十 二
22.3 实际问题与二次函数
章
-
第3课时 二次函数与拱桥类问题
探究与应用 随堂小检测
探
目标 能正确建立坐标系,并运用二次函数的图象、性质
究
解决拱桥类实际问题
与 应
问题 图22－3－3中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,
用 水面宽4 m.水面下降1 m,水面宽度增加多少?
与 标系.
应
用 解：方法二：如图所示：
由题意,设抛物线的解析式为y＝ax2.
把(2,－2)代入,得
－2＝a×22, 解得 a＝－12, ∴y＝－12x2.
探 当水面下降1 m时,水面的纵坐标为－3.
究
与 应
令 y＝－3,则－12x2＝－3,
223 实际问题与二次函数(第3课时)(教案)
备课人：王 帅 审核人：胡哲 授课时间：2015年10月 日
一、新知探究 ： 3]：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水 2 m 时，水面宽 4 m . 水面下降 1 m 水面宽度增加多少？ 想一想：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．从而求出水面下降
1 m 时，水面宽度增加多少?
②可设这条抛物线表示的二次函数为：
【归纳】(1)用二次函数知识解决拱桥类的
实际问题一定要建立适当的直角坐标系．解题简便．
教学内容 课前预习：1.函数y=ax 2
条_______，它的______，对称轴是______，当时，开口向上，当a______O
抛物线y=2
1x 的顶点坐标是有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面20米，拱顶距离水面如图26-3-12所示的直角坐标系中，求（3）你学到了哪些思考问题的方法？1．能力培养
2．学案中课后作业部分．
22.3 实际问题与二次函数（第例3： 习题。
二次函数实际问题之拱桥问题
二次函数实际问题之拱桥问题拱桥是一种常见而美丽的建筑形式，它不仅具备实用功能，还能展示人类的工程智慧和美感。
在数学中，我们可以通过二次函数来研究拱桥的形状和特性。
在本文中，我将探讨二次函数在拱桥问题中的应用，并深入分析拱桥的建设、维护和设计过程。
1. 什么是二次函数？二次函数是一种常见的函数形式，它的一般表达式为f(x) = ax^2 +bx + c，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像呈现出拱形或倒U形，其特点是在抛物线的顶点处有极值，也就是最高点或最低点。
这个性质使得二次函数在拱桥的研究中十分有用。
2. 拱桥问题的背景拱桥是一种由石头、混凝土等材料构成的桥梁，它通常被用于跨越河流、道路等障碍物。
拱桥在建筑和土木工程领域中扮演着重要的角色，因为它具备良好的承重能力和抗压性能。
为了确保拱桥的稳定和安全，工程师需要对其结构进行精确的设计和分析。
3. 拱桥的建设和维护拱桥的建设需要考虑许多因素，包括地理条件、基础设施、荷载等。
为了使拱桥具备足够的承重能力，工程师需要合理地确定拱的形状和高度。
在这个过程中，二次函数可以帮助我们建立与拱桥形状相关的方程。
通过研究这个方程，我们可以了解拱桥的强度和稳定性，并做出相应的调整和改进。
4. 二次函数在拱桥设计中的应用在拱桥设计中，二次函数可以帮助我们确定拱桥的最高点、最低点和抛物线的形状。
通过调整二次函数的参数，工程师可以得到不同形状和高度的拱桥。
二次函数还可以帮助我们计算拱桥的支持点位置、曲率和承重能力。
通过分析二次函数的图像和方程，我们可以预测拱桥在不同荷载下的行为，并为拱桥的设计提供指导。
5. 个人观点和理解作为一个写手，我对拱桥问题有着浓厚的兴趣。
通过研究二次函数在拱桥设计中的应用，我深刻意识到数学在工程中的重要性。
二次函数不仅能描述拱桥的形状和特性，还可以帮助我们预测和优化拱桥的结构。
在今后的工作中，我希望能继续深入研究拱桥问题，并与工程师们合作，为建设更安全、美观的拱桥贡献自己的力量。
二次函数之拱桥问题
道滘中学DDBB
• 1、如图，桥拱是抛物线形，其函数解 析式为当水位线在如图所示位置时， 水面宽AB=12m，这时水面离桥顶的高 度h是（ D ） A、3m B、2m C、4m D、9m
• 2、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所 示，现测得，警戒水位时水面宽AB=2m，涵 洞顶点与水面的距离为4m，现因洪水暴涨， 水面从警戒水位上升了2m,，此时，涵洞宽 DE是多少？
，得
1 -2 -1 1 -1 2
-2
-3
解得 x1 6, x2 6
水面的宽度
x 6
1 2 3 x 2 2
2 6 4 水面下降1cm，水面宽度增加____________m.
2x 2 6 m
• 4、下图是抛物线拱桥，当水 面在L时，拱顶离水面2 m，水 面宽8m，水面上升0.75 m， 水面宽度减少多少？
8
• 5、如图，有一抛物线拱桥，已知水位在AB 位置时，水面的宽为6米；水位上升1米， 就达到警戒线CD，这时的水面宽为4米， • （1）求抛物线的解析式。 • （2）若洪水以每小时上升0.2米的速度到来， 求几小时后水面从警戒线涨到拱桥顶端M处？
• 6、例2如图，隧道的截面由抛物线AED和矩 形ABCD构成，矩形的长BC为8 m、宽为2m， 以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对 称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m。 • （1）求抛物线的解析式。 • （2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运 卡车高4.2 m、宽2 m，这辆货运卡车能否通 过隧道？通过计算说明你的结论。
y O x
D
E
A
B
• 3、例1、图中是抛物线拱桥， 当水面在L时，拱顶离水面2 m， 水面宽4m，水面下降1 m，水 面宽度增加多少？
22.3.3实际问题与二次函数(3)(拱桥问题)
A
B
3、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现 测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水 面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处， 涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？
4、如图的抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱桥顶离
水面 2 m,水面宽 4 m,水面下降 1 m, 此时水面宽 度为多少？水面宽度增加多少 ?
zxxkw
解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点
O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系。
由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），
又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入
，
得 y ax2 (a 0)
所以 2.4 a 0.82
因此，函a数 1系45 式是
y 15 x2 4
22.3.3 二次函数与抛物线形问题
---------------拱桥问题
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1、如图，拱桥是抛物线形,其函数解析式 为 y - 1 x2 ，当水位线在AB位置时，水面的 宽度为302米5 ，这时水面离拱桥的高度是多少？
y
9米
x
A
B
2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测 得 水 面 宽 1 ． 6m ， 涵 洞 顶 点 O 到 水 面 的 距 离 为 2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线 的函数关系式是什么？
水面宽 2 6 4.9m.
增加（2 6 4）米
y
y
0
X
(1)
y
0
X
0 y
x
(2)
0
X
(3)
(4)
5、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物， 如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高 度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过 大 门 ， 货 物 顶 部 距 地 面 2 ． 8m ， 装 货 宽 度 为 2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．
人教版九年级数学上册 二次函数应用题之拱桥问题 讲义
二次函数之拱桥问题生活中有一些东西的运动轨迹就是抛物线，例如喷泉喷出来的水、投出去的篮球、投掷出去的标枪等。
学了二次函数，我们就可以用它来解决相关的问题例题讲解20m，与篮圈例1、（投篮问题）我校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高9中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m。
（1）建立如图所示的平面坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？例2、在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度v 0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：2012s v t gt =-(其中g 是常数，通常取10m/s 2).若v 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m例3、（拱桥问题）如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 宽20m ，水位上升3m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10m ．（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到桥拱顶？课堂练习1、学校要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是：25 24y x x=-++请回答下列问题：(1)柱子OA的高度是多少米？(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？2、如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是AB宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这是水面宽度为10m。
深度研究、精心设计、优化教学过程——“二次函数应用3—拱桥问
【 摘要 】 设计合理 的教 学过 程需 要进行 深度 教学研 究．
通过研讨课“ 二 次 函数应 用 ３ —— 拱桥 问题” 的课 后 思考 ， 说 明教 学 设 计 要 注 重 研 究教 材 、 研 究学 生、 研 究教 法 ； 精心 设计教学过程 ， 重视 设计 恰 当的数 学活 动， 突 出重点 ， 突 破
的 学 生 应 该 完 全 能 够 自主 构 建 “ 二 次 函数 ” 这 样 的 数 学 模
型 了．
就 需 要 教 师 在 备 课 中根 据 具 体 的 学 情 进 行 教 学 资 源 的 再 开
发、 整合 、 利用． 因 此 我 认 为 教 师 可 以 从 以 下 几 个 方 面 来 深
入研究教材 ：
因 此 根 据 本 节 课 的教 学 内 容 ， 结合 学生实 际 ， 设 计 了 如
此认知过程 ： 感 受背景 （ 抛物线 形拱桥 的情 境 ） 一 激 发 需 求 （ 数 学 的 刻 画抛 物 线 形 拱 桥 的认 知 倾 向 ） 一 形成 问题 （ 如 何 构 建 二 次 函数 模 型 ） 一探 究分析（ 联想相关知识 ， 数形 结合 ， 实际问题数学化 ） 一 数学建构． 我 认 为 这 种 认 识 过 程 的 层 次 性 的 凸现 正 是 遵 循 认 知 规 律 的 体 现 ．
效性．
热身练习 ： 如 图所 示 抛 物 线 的 解 析 式 可 设 为
， 若
Ａ Ｂ ／ ／ 轴 ， 且Ａ Ｂ＝ ６ ， Ｏ Ｃ＝３ ， 则 点 Ａ 的 坐 标 为
的 坐 标 为 ； 可 得 出此 抛 物 线 的解 析 式 为 ． 第 四 象 限 点 Ｄ（ ｍ， 一２ ） 在此抛物线 上 ， 则 ｍ＝ Ｅ （ ２ ， ｎ ） 在此抛 物线上 ， 则 ｎ＝
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《26.3.3桥拱问题与二次函数》
学习目标：1．会建立直角坐标系解决实际问题；
2．会解决桥洞水面宽度问题．
重 难 点：应用二次函数的性质解决桥洞水面宽度问题 活动1：旧知回顾
一般地，因为抛物线2y ax bx c =++的顶点是最低（高）点，二次函数2y ax bx c =++可化
为()2b
y a x a
=+
+ ，所以当 x= 时，有最小（大）值为 。
活动2：探究新知 第25页探究3
如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m,水面宽4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少？
分析：此类问题首先是选择适当的位置建立平面直角坐标系，然后求出这条抛物线所表示的二次函数，再由解析式求出问题答案。
解：以 为原点，以 为y 轴建立平面直角坐标系，可设此抛物线为（2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-、2()y a x h k =-+、
2y ax bx c =++（a ≠0）五种中的） 。
由题意可知，此抛物线经过点（2， ）故可得：
故：此抛物线表示的二次函数为
当水面下降1m 时，水面宽度为 ，故水面下降1m 时，水面宽度增加 m.
提示：选择适当的位置建立平面直角坐标系，可使问题简单化。
同学们可试一试本题选择其
它位置建立平面直角坐标系，如何求出这条抛物线所表示的二次函数，再比较两种解法的难易程度。
活动3：课堂展示
有一抛物线拱桥，已知水位线在AB 位置时，水面的宽为4 6 米，水位上升4米，就达
到警戒线CD ，这时水面宽为4 3 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M 处？
活动4课堂练习
1、拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y ＝ax 2＋c 的形式，请根据所给的数据求出a 、c 的值；
（2）求支柱MN 的长度； （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一宽2m 的隔离带），
其中的一条行车道能否并排行驶宽2m ，高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
图①
2、如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式．
（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？
3、（2011甘肃兰州）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋
千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5
米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.
4、（2012 四川南充）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．
（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？
（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？
5、（2013福建泉州南安）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直
角坐标系中，抛物线的解析式为c x y +-=2
20
1且过顶点C （0，5）（长度单位：m ） （1）直接写出c 的值；
（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5 m 的地毯，地毯的价格为20元 / 2
m ,求购买地毯需多少元？
6、（2012新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）如图（1），某灌溉设备的喷头B 高出地面1.25m ，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A 的距离为1m 处达到距地面最大高度2.25m ，试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数关系式。
学生小龙在解答图（1）所示的问题时，具体解答如下：
①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图（2）所示的平面直
角坐标系；②设抛物线水流对应的二次函数关系式为y=ax 2
；③根据题意可得B 点与x 轴的距离为1m ，故B
点的坐标为（-1， 1）；④代入y=ax 2
得-1=a ·1，所以a=-1；
⑤所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y=-x 2
.数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的”。
（1）请指出小龙的解题从第______步开始出现错误，错误的原因是什么？ （2）请你写出完整的正确解答过程。