环境流体力学(第三章)

' M 其为X的k阶原点矩。（可以写成 k ）；
) k f ( x)dx, k 1,2, 存在，则称其 若 E[( x E ( X )) )] ( x E ( X）
k

为X的k阶中心矩（可以写成 M k ）；
四、矩
设X和Y是随机变量，若 E ( X Y )
k l
因为是针对不同空间位置的流速而引出的相关系数,故称作距离
相关系数,以 RL 表示.
RL
1 ' 2 ' 1 '2 2 '2
十九世纪末，Reynolds（雷诺兹）演示了一系列关于有 色溶液在管道中迁移的实验。这些实验是关于紊流的开创性 的观察，他的分析使得Re（雷诺数）而得名。很有意思地发 现，紊流研究的首要贡献是在污染物迁移中的（有色溶液的 线条形式）；因此，我们可以假定紊流对输移有很重要的影 响。在他的论文中，Reynolds（1883）这样写到（从




(3)一个正态分布的随机变量的数学期望和方差. X为服从正态分布 N ( , ) 的随机变量,其概率密度为
1 f (X ) exp 2 X的数学期望为 ( x u ) 2 2 2



f ( x)dx 1
( x u ) 2 2 2
1 E( X ) x exp 2
若级数
x
k 1

k
pk 绝对收敛，则称级数 xk pk 为随机变量
k 1

X的数学期望 ,记为 E ( X ) ，即
E ( X ) xk pk
k 1

，它是一个加权概率平均值，权重为pk
•
（2）连续型随机变量X,若其概率密度为f(x)，
若积分



xf ( x)dx 绝对收敛，则称该积分为X的
RL 越小,以至趋于零 . 1,离开管轴中心越远,即r越大，
RL
' ' u0 ur
u u
'2 0
'2 r
将相关系数沿径向积分 L 0 RL dr 积分值是一个长度量纲,以L
来表示,称L为平均欧拉尺度。
r0
欧拉:按欧拉法考察同一时刻在不同位置的流速之间的相关
关系,它代表了两点流速发生相关关系的最大距离. 欧拉平均尺度可作为紊动旋涡的特征长度,紊流的形成是和 旋涡紧密联系在一起的,在紊流内部充满了大小不等的旋涡, 而旋涡的大小可以用脉动流速来判断.如果任意两点脉动流速 之间有相关关系则说明这两点共存于一个旋涡内,反之,当相 互之间不存在相关关系时,说明这两点不在一个旋涡之内了.
dx
积分得
E( X ) u
正态分布的随机变量的均值为分布曲线的对称轴所在处的 横坐标值.
设若曲线以纵坐标为对称轴,则该随机变量之均值为零.而方
差为
D( X ) ( x u)2 f ( x)dx


2 D ( X ) 代入f(x)并积分得
将D(X)开方得均方差或标准差，正态分布标准差为：
子扩散则需要几天的时间.紊动扩散是指紊流的脉动或者由
紊流的旋涡运动引起的物质传递.实践证明,由紊动而引起的
物质扩散在数量上比分子扩散大的多,一般在紊流情况下可
忽略分子扩散的作用.
由于紊流的不确定性和随机性,许多学者采用随机事
件的统计方法来研究紊流问题. 水力学中已对紊流的一些特性作了阐述,这里仅介绍 一些与紊流有关的统计特性,以此奠基研究紊动扩散的基 础,然后再讨论紊动扩散的问题.


2

来
表达.其含义是变量与均值之差平方的数学期望.之所以采用
差值的平方而不是差值来代替,是因为差值会出现负的问题. （1）离散型随机变量
D( x) E X E ( X ) xk E ( x) pk
2 2 k 1


对于连续型随机变量,则方差的表达式为
D( X ) E X E ( X ) [ x E ( X )]2 f ( x)dx
2


2
M ( x ut ) exp( )dx 4 Dt 4 Dt
2

2



( x u ) 2 c( x, t )dx



c( x, t )dx
' 2 M2 ' u 2 Dt M0
值越大，正态分布曲线越平坦。
不同 值的曲线族代表不同时刻t的浓度分布曲线族。
2


[ x E ( X ) 2 xE( X )] f ( x)dx x f ( x)dx E ( X ) f (x)dx 2 xE( X ) f ( x)dx
2 2 2 2 2 2 2 E (X 2） E（ X） 2E（ X） E (X 2） E（ X）
雷诺兹总结到，这些流动特性由无量纲数Re= UL/ν决定， 式中U代表管道流速，L是管径，ν是运动粘度，Re值相 对高时发生紊流。紊流的主要结果是它增大了动量和质 量传递。
拉格朗日观点，如果我们跟踪一个流体质点，它可能开始被冲 进一个大涡流，然后随着涡流分解它会从一个涡流移动到另一
个涡流中去。最终，流体质点会留在一个足够小的涡流中，该
他所描述的第一种情况中具有缓慢流速的是层流：流体沿着几 乎完美的线条流进平行层面，水的粘度降低了水体干扰。分子扩 散是染色条纹可以在层流中横向延伸的唯一途径；因此，在分子 扩散将染料均匀分散到管子横截面之前需要更长的管道。
另一种情况中具有较快速度的是紊流：流体突然变得不稳定并
发展成为一个涡频谱，并且这些干扰由于不稳定性而增大。随着 涡流的增大，多多少少随着流体被动地流着的染料在横截面迅速 混合，并与紊流一起充满整个管子。使用电火花观察表明，染料 符合涡流形状，但是，过了一段时间后涡流增大并破碎足够多的 次数后染料将不再具有能构出涡流的浓度梯度：这时，染料充分 混合且这种混合或多或少是随机的（即使混合仍然受到离散涡流 的控制）。
涡流的粘度将动能转化为热能。这小涡流也是大涡流的一部分； 因此，在任何时候流体中都会存在各种尺寸大小的涡流。
u u(t )
在某点处的紊流脉动流速的测量示意图
在流速测量中，测量的一小部分，速度具有高度的相关性似
乎是确定的。如果大涡流产生长期的速度波动，小涡流产生短
期的速度波动，所有这些同时出现在流体中。上图给出了在某 点处就速度因素测试的紊流速度测量例子。如果我们考虑速度 我们对比下时间轴上的更远处的速度，会发现这些速度变得完 全不相关，似乎是随机的。当速度开始完全不相关和随机时的 时间尺度叫做积分时间尺度tI。在拉格朗日参考系中，需要一定 的时间使水改变它的初始速度。给出积分尺度uI和lI，这个时间
对于C(x,t)浓度分布函数（曲线） 正态分布曲线
c ( x, t )
M ( x ut ) 2 exp( ) 4 Dt 4Dt
零阶浓度原点矩（关于x）
M '0 c( x, t )dx




M ( x ut ) 2 exp( )M 4 Dt 4Dt
2
一阶浓度原点矩（关于x）

§3-1 紊流的时间平均与统计平均
统计平均法(总体平均法)—在同样条件下重复多次试验,每 次试验要在同一地点、同一时间取样统计.样本的总和称为 总体,如测量某一点流速,样本总和为N,其中测得流速为 ui
的次数为 ni ,该点流速总体平均值为
e 来自百度文库
n u
i 1 i
n
i
N
随机过程属于平稳过程而又具有遍历性或各态历经性,其
数学期望，记为 E ( X )
E ( X ) xf ( x)dx


数学期望又称均值,它体现了一个随机变量最有可能(最有希 望)出现的值 。
二、方差 （描述随机变量X相对于E（X）离散程度的量）
随机变量的数值总是忽大忽小,很不规则.如果要度量一个随机
变量与均值的偏离程度,常用量D（X）= E X E ( X )
第三章 紊动扩散
第二章仅仅介绍了静止液体中的分子扩散和层流运动 情况下的移流扩散,可是环境中的流体大多处于紊流状态,所 以紊动扩散更具有普遍意义.紊动扩散比分子扩散快得多,紊 动扩散系数比分子扩散系数大 105 ~ 106 倍 .例如,燃着的香 烟,若用紊动扩散传播,几秒钟就可以使房间充满烟味,而分
D( X )
三、相关与相关系数
任意两个随机变量X和Y之间有无相互关系用无量纲的相关系数来衡 量,R定义为
EX E ( X )Y E (Y ) R D( X ) D(Y )
随机变量X和Y的协方差
Cov( X , Y ) EX E ( X )Y E (Y )
Acheson (1990)得到）：
这个实验在三个管子中做。它们大约4英尺6英寸长（1.37m）， 进水口呈喇叭形，可使水可以无干扰的进入。水从一个较大的玻 璃槽引进管子，管子在玻璃槽中淹没，做相关安排，以使得高度 着色的水带着清水一条一条的进入管子。
雷诺兹展示的层流（顶图），紊流（中间），以及使用电火花照亮的紊流示意图。
尺度也可以写成一个特定的长度和流速。
泰勒首先开辟了根据实测的脉动流速分析涡旋尺度的研究 途径，他考虑了两种情况：（1）在紊流中相隔一定距离的两 点同时观测脉动流速；（2）在不同时间观测同一点的脉动流 速，从而得到两种相关系数。
a。第一种情况 图为管道横截断面上圆心点和距圆心为r处的脉动流速之间 的相关系数 RL 的变化情况,当两点距离很小时, RL 接近于
若X与Y是互相独立而无关联的变量，则 Cov( X , Y ) 0 ，R=0 若X与Y是不是相互独立而存在一定关系，则 Cov( X , Y ) 0 ， R≠0 若R→1，则两变量关系密切。
四、矩
k E ( X ) x 设X和Y是随机变量，若 f ( x)dx, k 1,2, 存在，则称 k
若以紊流中任意点瞬时流速u作为离散型随机变量系列,令时
间平均流速为 u ,脉动流速为u ,流速的标准差为:
'
ni 2 '2 (ui u) (ui u ) ui N i 1
2
N
标准差为脉动流速的均方根，其量纲仍为流速，反映了脉动 流速的强弱程度，故称脉动强度。
设紊流中任意不同点处的脉动流速为 u1 ' 与 u2 '
时间平均值和统计值是相等的.
平稳过程是指随机过程的统计特性不随时间推移而改
变的过程,时均恒定紊流中时间平均值和总体平均值是相 等的.
§3-2 数学期望、方差、相关与相关系数、矩

一、数学期望
数学期望是描述位置特征的量（几何分布中心、平均数）
pk , （1）设离散型随机变量X 的 概率为 P X xk k=1,2……，


x k y l f ( x, y)dxdy 存在，则
称其为X和Y的（k+l）阶混合矩；若
E [ x E ( X )] [ y E (Y )]
k l






( x E ( X ))k ( y E (Y ))l f ( x, y)dxdy
存在，则称其为X和Y的（k+l）阶中心混合矩。 故数学期望为一阶原点矩；方差为二阶中心矩；协方差为二阶混合 中心矩。
其相关系数为
E[ X E ( X )][Y E (Y )] R(u1 , u2 ) D( X ) D(Y )
(u1i u1 )(u2i u2 )
i 1 2 n1i (u1i u1 ) N i 1 N1 N2
N
ni N
2
n2i (u2i u2 ) N i 1
M ( x ut ) M '1 xc( x, t )dx x exp( ) 4 Dt 4Dt

浓度分布曲线的重心距
坐标原点的水平距离
M '1 x ut M '0
二阶浓度中心矩（关于x）
M 2 ( x x) c( x, t )dx ( x x)
一般的结论如下： 1.当速度足够慢时，色纹沿着管子延伸成一条美丽的直线。 2.如果水槽中的水没有完全静置达到足够小的速度，色纹会
在管子中改变方向，但是不会出现弯曲现象。
3.随着速度逐步增大，在管子的某个点处，通常在距离喇叭 口或者入口相当远的地方，色带会立马和周围的水混合在一 起，并和大量有色水体一起充满剩余的管子。任何速度增量 都引起了破点更接近喇叭口，但是还没有尝试这样做过。通 过使用电火花的亮光来观察管子，大量的染料分解成大量有 或多或少差异的卷流中，呈现出涡流。