人教版八年级数学上册12.2 第4课时 “斜边、直角边”1 (2)
八年级数学上册 12.2 第4课时 “斜边、直角边”2 优质教案
回答，只能作某种猜测)
画图有一定的难度，
现在不要求马上给出结论．看看，通过动手探究， 况且作图不是本节课
你是否能得出结论．直角三角形我们用 Rt△表示． 的重点．
思考：
让学生表述，培养归
任意画出一个 Rt△ABC，使／C＝90°，再画一 纳、表达能力，并能
A
A'
感知直角三角形全等 判定也能用已学的判
B C B' C'
定条件． 激发学生挑战新问题
1.再满足一边一锐角对应相等，就可用“AAS”或 的积极性．
“ASA”证全等了．
培养学生的分析、作
2.再满足两直角边对应相等，就可用“SAS”证全 图能力．
等了
画法直接由教师蛤
探究新知
提问：那么，如果满足斜边和一条直角边对应相等， 出，而不安排学生画
和信心．
（2）画好后，把 Rt△A'B'C'剪下，放到 Rt△ABC
让学生上台说方
巩固练习
小结提高 布置作业
上，看它们全等吗? （3）发现了什么结论？
（全等）． 结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角 三角形全等（简写成“斜边，直角边”或“HL”）． 注意两点：一是“HL”是仅适用于 Rt△的特殊 方法。二是应用“HL”时，虽只有两个条件，但必 须先有两个 Rt△的条件 4． 结合图形，先分析已知条件和求证． 从这些已知条件中，我们能发现什么?结合所求证 的，你又能发现什么?(留时间让生思考)…… 小组展示自己的成果： AC⊥BC，BD⊥AD，又加上 AC＝BD，我们能找到两个 Rt△：Rt△ADB，Rt△BCA．又因为 AC＝BD 已经是 一条直角边相等，我们再找到另一条件就行了． 从这道题中可以看到，若已知几个垂直关系，我们 可以试着找找 Rt△，看看这些 Rt△的关系．若能 发现全等，那就能得出对应边、对应角相等了． 学练优课后练习．
初二数学八年级上册(人教版)第十二章12.2三角形全等的判定第4课时 斜边、直角边 课件
理由：∵C是路段AB的中点， A
∴AC = BC，
又∵两人同时同速度出发，并同
C
时到达D，E两地.
E
∴CD = CE，
B
又DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B =90°，
在Rt△ACD与Rt△BCE中，
D
AC BC，
CD CE，
A
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL).
∴DA = EB，
C
E
即D、E与路段AB的距离相等.
春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 54、努不海力要内不为存不它知一的已定结，成束天功而涯，哭若不，比努应邻力当。一为Tu定它es不的da成开y,功始Ju。而ly笑T1u。4e,s72d.0a12y40,.2J0u2ly021704.1T,42u.02e20sd02aJ0uy2,l0yJ:32u30ly2T10u4:e3,s32d20a02y:03, 73Ju/:12ly4/212040:,232030:22407/14/2020 这醉人这芬醉芳人的芬季芳节的，季愿节你，生愿活你像生春活天像一春样天阳一光样，阳心光情，像心桃情像桃 65、莫你生愁必命前须的路非成无常长知努，已力需，，要天才吃下能饭谁看，人起还不来需识毫要君不吃。费苦8时力，3。吃3分亏8时8。时3T33u分3e分8sd时1a43y-3J, u分Jlu-1l2y401-7J4.u1,l42-2.02020702.J10u4l.y202200Tuesday, July 14, 20207/14/2020
=∠BCE.
在△ACD和△BEC中，
A CBE， D BCE， CD EC， ∴△ACD≌△BEC(AAS).
∴AD = BC，AC = BE，
∴AD+AB = BC+AB = AC = BE.
12.2.4斜边及一直角边证全等课件人教版数学八年级上册
6y 5 4 3 2 1
–1 O 1 2 3 4 5 x –1
情境导入
6y 5 4 3 2 1 –1 O 1 2 3 4 5 x –1
在平面直角坐标系 中找到以红色边为 斜边，以蓝色边为 直角边的直角三角 形，它们什么关系？
知识讲解
1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角
随堂练习
练习1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两 点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当__________时，△ABC和 △PQA全等．
随堂练习
练习1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两 点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当___5_或__1_0___时，△ABC和 △PQA全等．
2024年秋季 人教版数学 八年级上册
第十二章 全等三角形
12.2.4 斜边及一直角边证全等
目录
学习目标
1
2
情境导入
知识讲解
3
4
随堂练习
课后小结
5
学习目标
1.掌握用HL证明两个直角三角形全等的方法；（重点）
2.能根据条件灵活选择三角形全等的判定方法，并综合运用全等三角形的性质 证明线段相等和角相等。（难点）
解：全等三角形为：△ACD≌△CBE． 证明如下：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE． 在△ACD与△CBE中，
课后小结
1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜 边、直角边”或“HL”. 2.了解含义，灵活选择判定方法证明直角三角形全等.
八年级上册数学人教版12.2 三角形全等的判定第4课时-斜边 直角边
初中数学集体备课活页纸环节1：教师提问1：如图:(1) △ABC≌△DEF，指出它们的对应顶点、对应角、对应边2：我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？（SSS）、（SAS）、（ASA）、（AAS）环节2:师友释疑1、对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？（用已经学过的知识） 2、由三角形全等的条件判断，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？如果满足斜边和一条直角边 对应相等，这两个直角三角形全等吗？环节1:师友探究阅读课本第42页至第43页练习，思考以下问题：1、在探究5所画的直角三角形与原三角形之间满足哪些对应相等的关系？动手用尺规作图画出这个直角三角形2、由探究5的作图可以得出什么样的结论？3、在例5的证明中利用直角边斜边判定两个三角形全等要求必需具备的条件是什么？在书写格式上有哪些要求？环节2：教师讲解任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90°，再画一个Rt △A ′B ′C ′使∠C ′ =90°.B ′C ′=BC ，A ′B ′=AB ，然后把画好的Rt △A ′ B ′ C ′剪下来放到Rt △ABC 上，你发现了什么？画法： 1.画∠MC ′N =90°； 2.在射线C ′M 上取B ′C ′=BC ； 3.以B ′为圆心，AB 为半径画弧.交射线C ＇N 于点A ＇； 4.连接A ′B ′ 现象：两个直角三角形能重合． 说明：这两个直角三角形全等斜边、直角边判定方法：文字语言: 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．(简写成“斜边、直角边”或“HL”)符号语言:在Rt △ABC 与Rt△A′B′C′中,AB= A′B′,BC = B′C′,∴Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′（HL ）． AB C在使用“HL”时, 应注意什么?(1)“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.(2)注意分别相等.(3)“HL”仅适用直角三角形.书写格式应为:在Rt△ABC与Rt△DEF中，AB=DE，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).环节1 师友训练例5：如图，AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C, AC=BD．求证:BC=AD．证明：∵AC⊥BC,BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角在Rt△ABC与Rt△BAD中,AB=BA,AC= BD,∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．∴BC=AD．若图中AC,BD相交于点E,图中还有全等三角形吗?怎样证明?环节2 教师提升“HL”判定方法的运用变式1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由．（1）AD = BC（ HL）；（2）AC = BD（ HL）；∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）．环节1：师友检测1．如图,C是路段AB的中点,两人从C同时出发,以相同的速度分别沿两条直线行走,并同时到达D,E两地,DA⊥AB，EB⊥AB，D,E与路段AB的距离相等吗?为什么?答: D,E与路段AB的距离相等．理由是:由题意可知:DC=EC．∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A与∠B都是直角．∵C是路段AB的中点,∴AC=BC．在Rt△ACD与Rt△BCE中,DC=EC,AC=BC,∴Rt△ACD≌Rt△BC（HL）．∴AD=BE．2．如图, AB=CD, AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E,F,CE=BF．求证:AE=DF．证明: ∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB与∠DFC都是直角．又∵CE=BF,∴BE=CF．在Rt△ABE与Rt△DCF中,AB=DC,BE=CF,∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）．∴AE=DF．环节2：教师评价一、本节课最佳师友是…二、课后作业必做：教科书习题12.2第6、7、8题选做：同步练习册本课时。
人教版八年级数学上册12.2 第4课时 “斜边、直角边”1
第4课时“斜边、直角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．(重点)2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF.求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE.解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL ”即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．证明：∵BE＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE(HL)．方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的 斜边和直角边相等即可．探究点二：“斜边、直角边”判定三角形全等的 运用【类型一】 利用“HL ”判定线段相等如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的 高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE.求证：BC ＝BE.解析：根据“HL ”证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE.证明：∵AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的 高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD ＝BF －EF.即BC ＝BE. 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL ”公理就是直角三角形独有的 判定方法．所以直角三角形的 判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的 已知条件．【类型二】 利用“HL ”判定角相等或线段平行如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等．证明：∵AB⊥BC，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC(HL)，∴∠1＝∠2.方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】 利用“HL ”解决动点问题如图，有一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的 射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的 位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的 判定方法HL 可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA(HL)，∴AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA(HL)，∴AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的 关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的 对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】 综合运用全等三角形的 判定方法判定直角三角形全等 如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC.求证：OB ＝OC.解析：已知BE⊥AC，CD ⊥AB 可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD≌△AOE，根据ASA 证得△BOD≌△COE，即可证得OB ＝OC. 证明：∵BE⊥AC，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.∵AO 平分∠BAC，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE(AAS)．∴OD＝OE.在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE，∴△BOD ≌△COE(ASA)．∴OB＝OC.方法总结：判定直角三角形全等的 方法除“HL ”外，还有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS.三、板书设计“斜边、直角边”1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的 两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL ”．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的 常用方法是“HL ”，除此之外，还可以选用“SAS ”“ASA ”“AAS ”以及“SSS”．(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识．。
人教版数学八年级上册12 第4课时 “斜边、直角边”课件
（1） AD=BC
（ HL ）
（2） BD=AC
（ HL ）
（3） ∠ DAB= ∠ CBA （AAS ） D
（4）
∠ DBA= ∠ CAB （ AAS ）
A
C B
新课讲解
【变式2】如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，
垂足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.
D
C
HL
P
Rt△ABD≌Rt△BAC A
4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，
BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.
A
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中， E
D
CE=BD, BC=CB .
B
C
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
5.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.
等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直 角三角形全等吗？为什么？
B A
E D
复习引入
如图，已知AC=DF，BC=EF， ∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？
C
我们知道，证明三角形全等不存 在SSA定理.
F
新课讲解
直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”）
分析：本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝ BC＝5cm，可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此 时AP＝AC，P、C重合．
解：(1)当P运动到AP＝BC时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， PQ＝AB，AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm.
12.2 第4课时 “斜边、直角边”1
第4课时 “斜边、直角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．(重点)2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE .解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL ”即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．探究点二：“斜边、直角边”判定三角形全等的运用【类型一】 利用“HL ”判定线段相等如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .解析：根据“HL ”证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL ”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．【类型二】 利用“HL ”判定角相等或线段平行如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt△ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2. 方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】 利用“HL ”解决动点问题如图，有一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL)，∴AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △QPA中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL)，∴AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：已知BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，根据ASA 证得△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)．∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE(ASA)．∴OB＝OC.方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL”外，还有：SSS、SAS、ASA、AAS.三、板书设计“斜边、直角边”1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL”．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL”，除此之外，还可以选用“SAS”“ASA”“AAS”以及“SSS”．(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识．。
八年级数学人教版(上册)12.2第4课时“斜边、直角边”
AB=CD, AF=CE.
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
BF=DE ∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
侵权必究
C
FG=EG BD平分EF
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
课堂小结
内容
斜边和一条直角边对应相等的 两个直角三角形全等.
“斜边、 前提 直角边” 条件
使用 方法
侵权必究
在直角三角形中
只须找除直角外的两个条件即可 （两个条件中至少有一个条件是一 对对应边相等）
课堂小结
判定直角三角形全等的“四种思路”： (1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，
用“HL”判定． (2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定． (3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，①直角边是锐
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
B AB=A′B′,
BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
A
C B′
“SSA”可以判定两个直角
三角形全等，但是“边边”
指的是斜边和一直角边，
A′
C′
而“角”指的是直角.
侵权必究
练一练
侵权必究
在△ACD和△BEC中，
A CBE， D BCE， CD EC，
∴△ACD≌△BEC(AAS). ∴AD = BC，AC = BE， ∴AD+AB = BC+AB = AC = BE.
侵权必究
当堂练习
7、如图，AB=CD， BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF. 求证：BF=DE.
582.八年级新人教版数学上册12.2 第4课时 “斜边、直角边”1-教案
第4课时 “斜边、直角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．(重点)2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE .解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL ”即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．探究点二：“斜边、直角边”判定三角形全等的运用【类型一】 利用“HL ”判定线段相等如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .解析：根据“HL ”证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL ”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．【类型二】 利用“HL ”判定角相等或线段平行如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt△ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2. 方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】 利用“HL ”解决动点问题如图，有一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL)，∴AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL)，∴AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：已知BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，根据ASA 证得△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)．∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB ＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL ”外，还有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS.三、板书设计“斜边、直角边”1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL ”．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL ”，除此之外，还可以选用“SAS ”“ASA ”“AAS ”以及“SSS”．(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识．初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等34 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。
2020年八年级数学上册第十二章12.2 第4课时 “斜边、直角边”
证明两个三角形全等的基本模型
在这些图形中要注意寻找隐含的条件：如公共边， 对顶角，直角……
例 (教材P42例5变式)如图，已知AD，AF分别是 两个钝角△ABC和△ABE的高，AD＝AF，AC＝ AE.求证：BC＝BE.
分析：根据“HL”证Rt△ADC≌ Rt△AFE，得CD＝EF，再根据 “HL”证Rt△ABD≌Rt△ABF，得 BD＝BF，最后证明BC＝BE.
知识要点1 利用“斜边、直角边”判定三角形 全等
斜边 和一条 直角边 对应相等的两个直角三角形 全等．可简写成“斜边、直角边”或“ HL ”． 在实际证明中可根据条件灵活运用“SSS”“SAS” “ASA”“AAS”或“HL”来判定直角三角形全 等，不要只拘泥于“HL”．
要使两个三角形全等，至少需要三个 条件，其中必有 边 相等的条件，且 证明两个三 三个条件必满足一定的对应关系，如 角形全等的 条件 下列两种情况就不能判定两个三角形 全等：①三对量不是对应关系；② “AAA”和“SSA”不能判定全等.
2．(教材 P39 练习 T1 变式)如图，两根长度为 12 米 的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面 上的两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离 BD 与 CD 的大小关系是( C ) A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD＝CD D．不能确定
3．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，要使△ABD ≌△ACD ，若 根据 “HL”判 定 ，还需 要添加 条 件 AB＝AC ；若添加条件∠B＝∠C，则可直接 用“ AAS ”判定．
4．(教材 P43 练习 T2 变式)如图，已知 CE⊥AB， DF⊥AB，AC＝BD，CE＝DF.求证：AC∥BD. 证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB， ∴∠CEA＝∠DFB＝90°. 在 Rt△ACE 和 Rt△BDF 中， ∵AC＝BD，CE＝DF， ∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL)． ∴∠A＝∠B. ∴AC∥BD.
人教版八年级数学上册12.2 第4课时 “斜边、直角边” (2)
第4课时 “斜边、直角边”学习目标：掌握三角形全等的 判定HL学习方法：自我学习，小组合作学习一、自主学习（一）复习小测1、如图，在□ABCD 中，BD 是对角线，AE⊥BD于E,CF⊥BD于F ，求证BE=DF.（二）阅读书本，并思考下列几个问题.1、如图，已知Rt △ABC ，∠C=90°，求作Rt △C B A ''',使∠C '=90°，AB C B ='',AB B A ='',那么C B A Rt ABC Rt '''△与△全等吗？得出判定直角三角形全等的 方法：的 两个直角三角形全等.2、如图，已知AC ⊥BC,BD ⊥AD,AC=BD.求证BC=AD. C B ABA CD二、研学释疑1、如图，BE,CD 是△ABC 的 高，要证明△BCD ≌△CBE,还需增加一个条件 ，理由是 ，或增加一个条件 ，理由是 .2、要将图中的 ∠MON 平分，小明设计了如下方案：在射线OM,ON 上分别取OA=OB,过点A 作DA ⊥OM 交ON 于D,过点B 作EB ⊥ON 交OM 于E,AD,EB 交于C,过点O,C 作射线OC,即为∠MON 的 平分线，试说明这样做的 理由.三、实践探究1、在C B A Rt ABC Rt '''△与△中，∠C=∠C '=90°，下列条件中能判定两三角形全等的 有（ ）①C A AC ''=,∠A=∠A '； ②C A AC ''=，B A AB ''=； ③C A AC ''=，C B BC ''= ； ④B A AB ''=,∠A=∠A '.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 CO E D B N M A2、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC,FD=CD.求证：（1）△BFD≌△ACD；（2）BE⊥AC.四、拓展延伸如图，在△ABC中，已知D是BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB,垂足非别是E，F，DE=DF，求证AB=AC.五、小结:F EDC BA。
人教版数学初二上册(八年级)12.2.4-“斜边、直角边”课件
∴ BC﹦AD(全等三角形的对应边相等).
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.
变式1
如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，
垂足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.
D
C
HL
P
Rt△ABD≌Rt△BAC A
B
AC=BD
变式2
如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC
这醉人春芬春去芳去春的春又季又回节回，，新愿新桃你桃换生换旧活旧符像符。春。在天在那一那桃样桃花阳花盛光盛开，开的心的地情地方像方，桃，在在 54、勿海不以内要恶存为小知它而已的为，结之天束，涯而勿若哭以比，善邻应小。当而为Tu不它es为的da。开y,始TJuu而elys笑d1a。4y,,72J.01u24ly0.2J10u42l,y022700.21T04uJ.2eu0slyd2a02y20,0TJ:u2ue8lys2d10a4:2y,,82J20u02l:y02781/:413,402/220002:20087:/3104/2020 花这一这醉样醉人美人芬丽芬芳，芳的感的季谢季节你节，的，愿阅愿你读你生。生活活像像春春天天一一样样阳阳光光，，心心情情像像桃桃 65、莫天愁生生前命我路的才无成必知长有已，用，需。天要下吃8时谁饭2人，8分不还8识需时君要28。吃分苦81时4，-2J吃8u分l亏-28。0时7T.21u84e分.s2d10a42y-0J, uJlu-l2y0174.1,42.022002J0uly 20Tuesday, July 14, 20207/14/2020
【分析】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm， 可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形12-2第4课时斜边及一直角边证全等(HL)课件
第4课时 斜边及一直角边证全 等（HL）
基础过关全练
知识点6 用“斜边、直角边(HL)”判定两个三角形全等 1.(教材变式·P42例5)如图,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,要 根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等,则还需要添∵∠C=90°,DE⊥AB,∴∠C=∠BED=90°,
在Rt△BCD和Rt△BED中,
BD BC
BD, BE,
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL),∴CD=DE,
∴AD+DE=AD+DC=AC=8 cm.
4.如图,在△ABC中,过点A向BC作垂线,垂足为E,D为CA延长 线上一点,过点D作DF∥AE交BC于点F,交AB于点P,若DF= BE,BA=DC.请判断AB与CD的位置关系,并说明理由.
∴∠ABC+∠DEB=90°,
∵∠ACB=90°,∴∠ABC+∠A=90°,∴∠A=∠DEB,
ACB EBD,
在△ABC和△EDB中, A DEB,
AB ED,
∴△ABC≌△EDB(AAS),∴BD=BC.
(2)由(1)知△ABC≌△EDB,∴AC=BE,BC=BD=6 cm, ∵E是BC的中点,∴BE= 1 BC=3 cm,∴AC=3 cm.
2
素养探究全练
12.(几何直观)如图,△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分 ∠BAC、∠ACB,AD、CE相交于点P. (1)求∠APC的度数. (2)若AE=3,CD=4,求线段AC的长.
解析 (1)∵∠ABC=60°,∴∠BAC+∠ACB=120°, ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB, ∴∠PAC+∠PCA= 1 (∠BAC+∠ACB)=60°,
人教版数学八年级上册12.2 第4课时 “斜边、直角边”-课件 (2)
当堂练习
1. 如图，∠B=∠D=90°，要证明△ABC 与△ADC全等，
还需要补充的条件是
（写出一个即可）.
A
答案： AB=AD 或 BC=DC 或
B
D ∠BAC=∠DAC 或 ∠ACB=∠ACD.
C 注意 一定要注意直角三角形不是只能用HL证明全等，但 HL只能用于证明直角三角形的全等.
2.如图 在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求
∴∠BFA=∠DEC=90 °.
∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF.
即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB=CD,
A
E
B
F
C
AF=CE.
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
D
∴BF=DE.
课堂小结
内容
斜边和一条直角边对应相等 的两个直角三角形全等.
“斜边、 直角边”
前提 条件
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
B
∵∠C=∠C′=90°,
∴在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， A
C
AB=A′B′,
B′
BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). A′
C′
典例精析
例1 如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD. 应用“HL”的前提条 件是在直角三角形中.
我们，还在路上……
证：△EBC≌△DCB.
A
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
八年级数学上册-人教版八年级上册数学 12.2 第4课时 “斜边、直角边”学案2
第4课时“斜边、直角边”学习目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单推理。
学习重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
学习难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
学习方法：自主学习与小组合作探究学习过程：Ⅰ．想一想，填一填：1、判定两个三角形全等常用的方法：、、、2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）Ⅱ．探究学习（一）探索新知：1.阅读教材并作出三角形（动手操作）：2、与教材中的三角形比较，是否重合？3、从中你发现了什么？斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）（二）自学检测：1．如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）2．如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，（1）若AC//DB ，且AC=DB ，则△ACE ≌△BDF ，根据（2）若AC//DB ，且AE=BF ，则△ACE ≌△BDF ，根据（3）若AE=BF ，且CE=DF ，则△ACE ≌△BDF ，根据（4）若AC=BD ，AE=BF ，CE=DF 。
则△ACE ≌△BDF ，根据（5） 若AC=BD ，CE=DF （或AE=BF ），则△ACE ≌△BDF ，根据3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）（A ） 两条直角边对应相等 （B ）斜边和一锐角对应相等（C ）斜边和一条直角边对应相等 （D ）两个锐角对应相等4、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由答：理由：∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）在Rt △ 和Rt △ 中⎩⎨⎧==_______________________________ ∴ ≌ （ ）∴∠ = ∠ （ ）∴ （内错角相等，两直线平行）（三）、例题: 阅读教材例题:（四）小组合作学习：判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。
人教版八年级上册数学人教版八年级上册数学 12.2 第4课时 “斜边、直角边”学案2
第4课时“斜边、直角边”学习目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单推理。
学习重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
学习难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
学习方法：自主学习与小组合作探究学习过程：Ⅰ．想一想，填一填：1、判定两个三角形全等常用的方法：、、、2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）Ⅱ．探究学习（一）探索新知：1.阅读教材并作出三角形（动手操作）：2、与教材中的三角形比较，是否重合？3、从中你发现了什么？斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）（二）自学检测：1．如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）2．如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，（1）若AC//DB ，且AC=DB ，则△ACE ≌△BDF ，根据（2）若AC//DB ，且AE=BF ，则△ACE ≌△BDF ，根据（3）若AE=BF ，且CE=DF ，则△ACE ≌△BDF ，根据（4）若AC=BD ，AE=BF ，CE=DF 。
则△ACE ≌△BDF ，根据（5） 若AC=BD ，CE=DF （或AE=BF ），则△ACE ≌△BDF ，根据3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）（A ） 两条直角边对应相等 （B ）斜边和一锐角对应相等（C ）斜边和一条直角边对应相等 （D ）两个锐角对应相等4、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由答：理由：∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）在Rt △ 和Rt △ 中⎩⎨⎧==_______________________________ ∴ ≌ （ ）∴∠ = ∠ （ ）∴ （内错角相等，两直线平行）（三）、例题: 阅读教材例题:（四）小组合作学习：判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。
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12.2 三角形全等的判定(4)
.
,
,
AD
BC
BD
AC
AD
BD
BC
AC
=
=
⊥
⊥
求证：
如图，
例
个Rt△的条件
4．讲解教材P42页例5
结合图形，先分析已知条件和求证．
从这些已知条件中，我们能发现什么?
结合所求证的，你又能发现什么?(留
时间让生思考)……
小组展示自己的成果：
AC⊥BC，BD⊥AD，又加上AC＝BD，我
们能找到两个Rt△：Rt△ADB，Rt△
BCA．又因为AC＝BD已经是一条直角
边相等，我们再找到另一条件就行了．
从这道题中可以看到，若已知几个垂
直关系，我们可以试着找找Rt△，看
养归纳、表达能
力，并能进一步
理解“HL”这一
条件．
自己读题、审
题，先独自证
明，培养学生独
自面对围难的
勇气和信心．
让学生上
台说方法，说思
路，培养学生的
逻辑推理能力；
展示自己的探
究成果，获得成
功的喜悦．。