阿基米德三角形的几个结论_熊昌进

专题写作

阿基米德三角形的几个结论

熊昌进

(四川越西县越西中学　616650)

孔繁秋

(厦门禾山中学　361009)

李迪淼

(湖南师大附中　410006)

编者按:关于抛物线的阿基米德三角形的有关性质,本刊于97年第5期,98年第6期,99年第1期先后发表了四篇论文,在此基础上又有几位作者进一步作了深入探讨,如四川省越西县越西中学熊昌进,厦门市禾山中学孔繁秋等,而湖南师大附中的李迪淼又把这一问题推广至非退化的二次曲线的阿基米德三角形,作者运用统一的直角坐标方程得出类似的若干性质,其推证方法大同小异,其中所运用的一个基本命题是:过二次曲线(C):Ax 2+Cy 2+Dx +Ey +F =0外一点T (x 0,y 0)引曲线(C)两切线,其切点弦方程为:Ax 0x +Cy 0y +

D 2(x +x 0)+

E 2

(y +y 0)+F =0.若切点弦过曲线内一定点Q (m ,n ),则易得出阿基米德三角形顶点T 的轨迹为一直线(l ):Ax 0m +By 0n +D 2(m +x 0)+E 2(n +y 0)+C =0,其次这类问题应用范围有限,因此我们仅将诸位作者所提出的一些新的结论归纳综合整理如下,供读者参考研究.

一、关于抛物线的阿基米德三角形的若干性质补充:

1.若T (x 0,y 0)是抛物线y 2=2px (p >0)外一点.则以T 为顶点的抛物线阿基米德三角形的面积

S =

1

p

(y 20-2px 0)

3

(=1

p

[f (x 0,y 0)]32),其中f (x 0,y 0)=y 2

-2px 0.

2.若T 为抛物线y 2=2px (p >0)外一点,以T 为顶点的抛物线的阿基米德三角形的面积为定值S ,则顶点T 的轨迹为一抛物线:

y 2=2px +

3

S 2p

2.

3.若点M (m ,n )是抛物线y 2=2px (p >0)内一定点,则以过点M 的抛物线的弦为底边的阿基米德三角形的面积最小值为

1

p (2pm -n 2)

3

.(=

1

p

·[-f (m ,n )]3

2)

其中f (m ,n )=n 2-2pm <0.

4.定直线l :ax +by +c =0与抛物线y 2=2px (ac ≠0,p >0)没有公共点,以l 上任一点T 为顶点的抛物线的阿基米德三角形的底边必过定点M (c a ,-pb a

),且当T M ∥x 轴时,此类三角形面积取最小值1

a

3p (2ac -pb 2)3.

二、关于二次曲线的阿基米德三角形的性质.

若二次曲线(C):(1-l 2)x 2+y 2-2p x +p 2=0(p >0),M (m ,n )为不在曲线(C)上且不与其中心重

合之定点.过M 任作曲线(C)的弦AB ,则曲线(C)过A ,B 两点的切线交于T (x 0,y 0),则△T AB 为曲线(C )相应于定点M 的阿基米德三角形,其中T 为其顶点,AB 为其底边.

1.以过点M 的弦AB 为底边的所有曲线(C)的阿基米德三角形顶点轨迹为一直线,其方程为:

[(1-l 2)m -p ]x +ny +p 2-pm =0.推论1:若定点M 为M (x m ,0),则顶点T 的轨迹为与x 轴垂直之直线或两射线x =p 2-pm

p -m (1-l 2)

.

推论2:若定点为焦点M (p ,0),则顶点T 的轨

迹为与M 相应之准线x =0.

推论3:与定点M 相应的曲线(C)的阿基米德三角形顶点T 的轨迹与以点M 为中点的弦平行.

若以M 为中点之弦为AB ,且设A (x 1,y 1),B

(x 2,y 2),则将(1-l 2)x 21+y 21-2px 1+p 2

=0与(1-l 2)x 22+y 22-2p x 2+p 2=0两式相减,即可得出AB 的

斜率与T 点轨迹(直线)之斜率(特殊时,两倾角为90°)相同.

2.若直线l :Ax +By +C =0与曲线C :(1-l 2)x 2

+y 2-2p x +p 2=0无公共点,则以l 上任一点T 为顶点的曲线C 的阿基米德三角形之底边必过定点.

其他与此有关的命题就不再一一提出.如前所述,关于阿基米德三角形的研究如无特别的新意,本刊再不一一介绍了.)

(武汉市二中田化澜整理)

27

1999年第10期 数学通讯