武忠祥《2016高等数学辅导讲义》第八章解答

n (2 x0 ,2 y0 ,1)
又因为切平面平行于平面 2 x 2 y z 1 0 ，则
2 x0 2 y0 1 ， 2 2 1
x0 y0 1, z0 2.
4.【解】应选（B）. 对应于 t0 处曲线切线的方向向量 τ {1,2t0 ,3t0 } ，该切线与平面
grad h( x, y ) ( x
0 , y0
)
( y0 2 x0 )i ( x0 2 y0 ) j
方向的方向导数最大. 方向导数的最大值为该梯度的模，所以
2 2 g ( x0 , y0 ) ( y0 2 x0 )2 ( x0 2 y0 )2 5 x0 5 y0 8 x0 y0 .
主编：武忠祥
2016 高等数学辅导讲义练习题解答
《高等数学辅导讲义》 练习题解答
第八章 向量代数与空间解析几何及多元微分在几何上的应用
1.【解】应选（C）. L1 和 L2 的方向向量分别为 s1 {1,2,1} 和 s2 {1,1,2} ，
cos s1 s2 / | s1 || s2 |
2 2 2
（2）令 f ( x, y ) g ( x, y ) 5 x 5 y 8 xy. 由题意，只需求 f ( x, y ) 在约束条件 75 x y xy 0 下的最大值点. 令 L( x, y , ) 5 x 5 y 8 xy (75 x y xy ) ，则
2
x 2 y z 4 平行 τ 与该平面的法向量 n {1,2,1} 垂直
1 2 τ n 0 1 4t0 3t0 0 t0 1 或 t0 故选（B）. 3
5.【解】应选（C）. 函数 f ( x, y ) 虽然在点 (0,0) 处的两个偏导数存在，但不一定可微，故 （A）不对. 取 x 为参数，则曲线 x x ， y 0 ， z f ( x,0) 在 (0,0, f (0,0)) 的切向量为
2 2 2 2 2 2
L x 10 x 8 y ( y 2 x ) 0 L y 10 y 8 x ( y 2 x) 0, L 75 x 2 y 2 xy 0. x
①式与②式相加可得 ( x y )(2 ) 0 ，从而得 y x 或 2. 若 2 ，则由①式得 y x ，再由③式得 x 5 3 ， y 5 3. 若 y x ，则由③式得 x 5 ， y 5. 于是得到 4 个可能的极值点
z z x y {dx, dy} // , , x y x2 y2 x2 y2 4 1 9 1 16 36 16 36

4
dx dy 即 , 这就是投影曲线应满足的微分方程，解之得 y Cx 9 . x y 4 9
M 1 (5,5), M 2 (5,5), M 3 (5 3 ,5 3 ), M 4 (5 3 ,5 3 ).
由于 f ( M1 ) f ( M 2 ) 450 ， f ( M1 ) f ( M 4 ) 150. 故 M 1 (5,5) 或 M (5,5) 可作为攀登的起点.
{1,0,3} ，故应选（C）.
6.【解】应选（A）.
f y f x 2 2 ， ，故 grad f 2 x x y y x y2
( 0,1)
i.
7.【解】应选（A）. n 1, 1,1 ,则切平面方程为 x y z 2. 8.【解】应填 4. a b b c c a 2 a b c 4. 9.【解】应填 2 . d
1 ， . 2 3
2.【解】应选（C）.由于交成直线 L 的两平面的法线向量与 的法线向量均垂直，即
(1,3,2) (4,2,1),
(2,1,10) (4,2,1),
故 的法线向量与 L 的方向向量平行，因此，直线 L 垂直于 . 3.【解】应选（C）.设 P 点的坐标为 ( x0 , y0 , z0 ), 则曲面在 P 点的法线向量为
2
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A B 2C 0,
由此解得 A : B : C 1 : 3 : 2. 于是 1 的方程为
A B C 0, x 3 y 2 z 1 Fra Baidu bibliotek 0.
x 2 y, 即 1 z ( y 1). 2 1 2 2 2 2 于是 l0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程为 x z 4 y ( y 1) . 4
x y 2 z 1 0, 从而 l0 的方程为： x 3 y 2 z 1 0,
25.【解】点 (3,0,2) 处切平面 x 2 z 7 ；点 (1,2, 2) 处切平面 x 4 y 6 z 21 . 26.【解】 3 x 9 y 12 z 17 0. 27.【解】 （1）由梯度的几何意义知， h( x, y ) 在点 M ( x0 , y0 ) 处沿梯度
3
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28.【解】雨水沿着 z 下降最快的方向下流，即沿着 z 的梯度 gradz
z z i j 的反方 x y
向下流， 因而雨水从椭球面上流下的路线在坐标面 xoy 上的投影曲线上任一点处的切线应与
gradz 平行.
设雨水流下的路线在 xOy 面上的投影曲线的方程为 f ( x, y ) 0 ，那么在它上面任一点 处的切向量为 {dx, dy} ，它应与 gradz 平行，所以有
2
2
x 2 z 2 ( x) 2 ( z ) 2 1 y 2 ，所以有 x 2 z 2 1 y 2 .
2 1,2,2. 9 1 17.【解】应填 . 2
16.【解】应填 18.【解】应填
3 . 3
19.【解】应填 2 3. 20.【解】应填
13 u 4 4 3 13 . (6) 1 5 41 l 41 41 41 41
n {2,2,3}.
14.【解】应填
1 0, 2 , 3 . 5


2
15.【解】应填 x z 1 y . 设点 M ( x, y, z ) 是旋转曲面上的任一点，设它在直线上的对 应 点 M ( x, y , z ) ， 由 于 M 在 直 线 上 ， 所 以 有 x 1, y z ， 由 题 意 有
64 9 16 25
2.
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10.【解】应填 x y z 0. 所求平面的法线向量 n 和两直线的方向向量都垂直，故
n {1,1,1}.
11.【解】应填 x 3 y z 4 0. 12.【解】应填 x 3 y z 2 0. 所求平面的法线向量 n {1,0, 1} {2,1,1} {1,3,1}. 13.【解】应填 2 x 2 y 3z 0. 所求平面的法线向量 n {4,1,2} ， n {6,3, 2} ，取
令 x 1, y 3 ，知 C 3 ，故过房顶上点 P (1,3, 11) 的雨水流下的路线方程为
x2 y2 z 4 1 16 36 4 9 y 3x
4
21.【解】应填1. 22.【解】在点 (0,0,1) 沿方向 0,0 2和点 (0,0,1) 沿方向 0,02 的方向导数最大，其最大 值为 4. 23.【解】
x y z a , x ay 0. a a2 0
24.【解】设经过 l 且垂直于 的平面方程为 1 : A( x 1) By C ( z 1) 0 ，则由条件可 知