《乒乓球与盒子》

《乒乓球与盒子》

《乒乓球与盒子》

北京市顺义区杨镇中心小学赵艳辉

【数学素养】乒乓球与盒子的本质

抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。抽屉原理最常见的形式原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

数学课堂教学是师生互动与发展的过程，学生是数学学习的主人，教师是课堂的组织者，引导者和合作者。因此对于抽象的抽屉原理借助于游戏教学可以寓教于学，使学生在轻松的游戏活动中完成学习任务。“抽屉原理”在生活中的应用很广泛且灵活多变，可以解决一些看上去很复杂、觉得无从下手，却又是相当有趣的数学问题。所以首先要激发学生的学习兴趣，引发学生的求知欲。这样从教师站在教室不同的位置，引出“存在”这种现象，然后从学生熟悉的“抢椅子”游戏开始，让学生初步体验不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学，这里蕴含着一个有趣的数学原理，使学生明确这是现实生活中存在着的一种现象。

《乒乓球与盒子》是北京版小学数学四年级下册第八单元数学百花园的教学内容。这部分教材通过直观例子，借助实际操作，向学生介绍“抽屉原理”，让学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“抽屉原理”加以解决。

抽屉原理是学生从未接触过的新知识，难以理解抽屉原理的真正含义，发现有相当多的学生他们自己提前先学了，在具体分的过程中，都在运用平均分的方法，也能就一个具体的问题得出结论。但是这些学生中大多数只“知其然，不知其所以然”，为什么平均分能保证“至少”的情况，他们并不理解。有时

生：我们反馈交流摆放的方法

生：

师：其他小组同意他们的分法吗？

生：我觉得他们这种分法当中有重复的。第一种和第四种就是重复的；第二种和第三种是重复的。

生：其实他们就是一种方法。第一个笔筒放2支，第二个笔筒放一支，它们与第一个笔筒放1支，第二个笔筒放2支，只是交换了一下位置，其实还是一种方法。

师：同学们认为应该是几种方法？

生：应该是两种方法。

师：哪个小组再来汇报？

生：

生：

师：我们看看这种方法，它是用数字来表述的，你认为哪种方法最简洁？

生：用数字表达更简洁。

师：是的，数学讲究简洁，这样我们在记录的时候就能够既省时又明了。

师：板书：（3,0）、（2,1）

师：指着板书，同学们你们看一看，每一种放法中最多放进了几支笔？不管怎么放，总有一个笔筒至少有2支笔，是这样吗？小组间互相说一说。

师：那么，把4枝笔放进3个盒子里，怎么放？有几种不同的放法？

生：小组合作，探究几种方法？

师：巡视学生的放法。

师：哪个小组到前边汇报？

生：汇报

师：板书：（4 、0、0）（3、1、0）（2、2、0）（2、1、1）

师：每一种摆法中，最多放进了几支笔？

师：用课件逐一验证每种方法是否都符合结论，最后一个先每一个笔筒放进一支笔，之后剩下的一支笔，无论怎么放，总有一个盒子里至少有2支笔。

师：至少放进了2支笔，是什么意思？

生：有可能放进2支笔、还有可能放进3支笔、4支笔，最少放进2支笔。

师：你能用更直接的方法，只摆一种情况，就能得到这个结论吗？通过这样摆放你有什么发现？

师：课件演示，如果每个笔筒里放1枝铅笔，剩下的1支铅笔，无论怎么放，总有一个笔筒里至少放2支笔支铅笔。

生：小组合作、操作演示。

生：小组汇报。

师：用课件演示，把5枝铅笔放在4个文具盒里，还是不管怎么放,总有一个文具盒里至少放进了2枝铅笔。

生：观察、、思考、组内讨论交流。

师：（总结方法及过程）平均分的方法：先平均分，余下的1枝，不管放在哪个笔筒里，一定会出现“总有一个笔筒里至少有2支笔”的结论。

师：课件演示，5支笔放在4个笔筒（先平均分，每个盒子放1枝，余下的1枝，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝笔）

师：你能列出算式吗？

生：用算式表示：5 ÷ 4 =1 (1)

师：你能说说5指的什么？4呢？商1呢？余数1呢？

生：汇报5是要分5支笔，4是4个笔筒，商1只的是每个笔筒都放进了一支笔，余数1只的是余下1支笔无论怎么放，总有一个笔筒中至少放进了2支笔。

师：刚才我们通过操作，观察发现得出的结论。假如我们要放的笔的支数很多，我们还能一一摆吗？那么，我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一次，也能得出这个结论呢？

（1）如果把6个苹果放入5个抽屉中，至少有几个放到同一个抽屉里？

（2）如果把7个苹果放入6个抽屉中，至少有几个放到同一个抽屉里呢？

（3）如果把100个苹果放入99个抽屉中，至少有几个放到同一个抽屉里呢？……

（4）如果把6个苹果放入4个抽屉中，至少有几个苹果被放到同一个抽屉里呢？

（5）如果把8个苹果放入5个抽屉中，至少有几个苹果被放到同一个抽屉里呢？

师：我们找到了解决这类问题的方法是平均分，怎样求出至少数呢？

生：小组合作、自主探究

生：学生汇报

6÷5=1个……1个 7÷6=1个……1个 100÷99=1个……1个

6÷4=1个……2个 8÷5=1个……3个

师：小组讨论猜测猜测至少数怎么求？

（板书：【有余数至少数=商+1】）

（4）（ppt）抽屉原理”类问题解决模式：确定“待分物体”—确定“抽屉”—平均分—商＋1

（三）知识窗

同学们的这一发现，称为“抽屉原理”，“抽屉原理”又称“鸽笼原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄利克雷原理”，也称为“鸽巢原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。

三、应用原理解决问题

1. 一副扑克牌(除去大小王)52张中有四种花色，从中随意抽5张牌，无论怎么抽, 总有两张牌是同一花色的。为什么？

2.大家玩过石头、剪刀、布的游戏吗?如果自己任意划四次,至少有（）次划出的手势是一样的。

3.一盒围棋棋子，黑白子混放，我们任意摸出（）个棋子，至少有2个棋子是同颜色的，为什么？