考研数学利用变限积分求导计算函数极限的方法

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积分变限函数求导的基本方法

善ｒ一
导类型及方法概括总结，并详细解答例题，帮助学生深刻理解积分
变限函数的实质及内涵，击破难点。
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１积分变限函数基本求导公式
积分变限函数求导，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ基本原理是以下五个公式【３Ｊ：
因为ｆ（０）＝１，ｆ（０）≠０，分子的极限值为０，若满足同阶无穷
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积分变限函数求导的基本方法
秦琳（北京科技大学天津学院，天津３０１８３０）
摘要：本文总结了积分变限函数的基本求导公式，研究了被积函数中含有参变量的积分变限函数求导问题，并结合实例做了详细演算，能帮助学生突破积分变限函数求导这一难点。
参考文献
Ｆ（）＝ｅ口，（ｘ，，）＝ｒａｇ（ ·ｈ（ｔ）ｄｔ＝ｇ（）－．’ｆ￣ｈ（ｔ）ｄｔ，那么
【１】卢亚丽等．变限积分函数求导方法研究［Ｊ】．河南教育学院学报（自
然科学版），２００４（３）：４—６．
Ｆ（＝ｇ）·ｒ（ｆ）＋ｇ（）·（ｅ（ｆ）鳓＝ｇ（）Ｃ万（＋ｇ（ｘ）（ｘ）．【２】同济大学数学系．高等数学【Ｍ】．北京：高等教育出版社，２０１４．
其基本原理，是ｇ（ｘ）不参与积分运算，将其提到积分号前面，然［３】吕继荣等．关于变限积分函数求导问题的研究与应用［Ｊ］．数学学习
后利用乘积的求导法则求解。
与研究．２０１５（１９）：１３４—１３７．
例２（２０１２天津大学生数学竞赛）·设函数ｆ（ｘ）有连续导数，ｆ（０）

考研高数中求极限的几种特殊方法

考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。

通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。

求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。

对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。

例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。

当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。

例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。

洛必达法则是求未定式极限的重要方法。

如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。

例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。

对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。

通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。

例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。

夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。

如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。

例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。

考研数学重点考点导数的概念及运用

2018考研数学重点考点导数的概念及运用2018考研数学重点考点导数的概念及运用【导数定义和求导要注意的】第一，理解并牢记导数定义。

导数定义是考研数学的出题点，大部分以选择题的形式出题，01年数一考一道选题，考查在一点处可导的充要条件，这个并不会直接教材上的导数充要条件，他是变换形式后的，这就需要同学们真正理解导数的定义，要记住几个关键点：1)在某点的领域范围内。

2)趋近于这一点时极限存在，极限存在就要保证左右极限都存在，这一点至关重要，也是01年数一考查的点，我们要从四个选项中找出表示左导数和右导数都存在且相等的选项。

3)导数定义中一定要出现这一点的函数值，如果已知告诉等于零，那极限表达式中就可以不出现，否就不能推出在这一点可导，请同学们记清楚了。

4)掌握导数定义的不同书写形式。

第二，导数定义相关计算。

这里有几种题型：1)已知某点处导数存在，计算极限，这需要掌握导数的广义化形式，还要注意是在这一点处导数存在的前提下，否则是不一定成立的。

第三，导数、可微与连续的关系。

函数在一点处可导与可微是等价的，可以推出在这一点处是连续的，反过来则是不成立的，相信这一点大家都很清楚，而我要提醒大家的是可导推连续的逆否命题：函数在一点处不连续，则在一点处不可导。

这也常常应用在做题中。

第四，导数的计算。

导数的计算可以说在每一年的考研数学中都会涉及到，而且形式不一，考查的方法也不同。

要能很好的掌握不同类型题，首先就需要我们把基本的导数计算弄明白：1)基本的求导公式。

指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数这些基本的初等函数导数都是需要记住的，这也告诉我们在对函数变形到什么形式的时候就可以直接代公式，也为后面学习不定积分和定积分打基础。

2)求导法则。

求导法则这里无非是四则运算，复合函数求导和反函数求导，要求四则运算记住求导公式;复合函数要会写出它的复合过程，按照复合函数的求导法则一次求导就可以了，也是通过这个复合函数求导法则，我们可求出很多函数的导数;反函数求导法则为我们开辟了一条新路，建立函数与其反函数之间的导数关系，从而也使我们得到反三角函数求导公式，这些公式都将要列为基本导数公式，也要很好的理解并掌握反函数的求导思路，在13年数二的考试中相应的考过，请同学们注意。

(超级总结吐血推荐)考研数学二经典知识点题型技巧总结(高数线代)综合网上及个人线代心得

高等数学(数二>一.重点知识标记高等数学科目大纲章节知识点题型重要度等级高等数学第一章函数、极限、连续1 .等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限★★★★★2 .函数连续的概念、函数间断点的类型3 .判断函数连续性与间断点的类型★★★第二章一元函数微分学1 .导数的定义、可导与连续之间的关系按定义求一点处的导数，可导与连续的关系★★★★2 .函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值★★★★3.闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用★★★★★第三章一元函数积分学1 .积分上限的函数及其导数变限积分求导问题★★★★★2 .有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分★★第四章多元函数微分学1 .隐函数、偏导数、的存在性以及它们之间的因果关系2 .函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系★★3 .多元复合函数、隐函数的求导法求偏导数，全微分★★★★★第五章多元函数积分学1. 二重积分的概念、性质及计算2.二重积分的计算及应用★★第六章常微分方程1.一阶线性微分方程、齐次方程，2.微分方程的简单应用，用微分方程解决一些应用问题★★★★一、函数、极限、连续部分：极限的运算法则、极限存在的准则(单调有界准则和夹逼准则>、未定式的极限、主要的等价无穷小、函数间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质(尤其是介值定理>，这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。

二、微分学部分：主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础亦是重点。

一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。

2021考研数学高数必考的4个定理证明

2021考研数学高数必考的4个定理证明来源：文都图书高数是考研数学考察的重要科目，也是比较难的一门，其中有4个定理是高数的高频考点，我们一起来学习一下该如何运用这几个定理。

一、微分公式的证明2021年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。

几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为陌生。

实际上，从授课的角度，这种在2021年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。

如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。

这里给2021考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。

当然，该公式的证明并不难。

先考量f(x)*g(x)在点x0处的导数。

函数在一点的导数自然用导数定义实地考察，可以按照导数定义写下一个音速式子。

该音速为“0分之0”型，但无法用洛必达法则，因为分子的导数不好算是(乘积的导数公式恰好就是要证的，无法用!)。

利用数学上常用的堆砌之法，提一项，减至一项。

这个“无中生有”的项要和前后都存有联系，易于加公因子。

之后分子的四项两两接合，除以分母后考量音速，不难得出结论结果。

再由x0的任意性，便获得了f(x)*g(x)在任一点的导数公式。

类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。

二、微分中值定理的证明这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。

除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。

费马定理的条件存有两个：1.f'(x0)存有2.f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。

考量函数在一点的导数，用什么方法?自然想起导数定义。

我们可以按照导数定义写下f'(x0)的音速形式。

往下如何推理小说?关键必须看看第二个条件怎么用。

考研数学：求极限的16种方法1500字

考研数学：求极限的16种方法1500字极限是数学中的重要概念，是解析数学中很多问题的基础。

求极限的方法有很多种，下面就介绍一下求极限的16种常用方法。

1. 直接代入法：对于某个函数在某个点的极限，如果可以直接将极限点代入函数中计算出极限值，则可以使用直接代入法。

2. 连续性法则：如果一个函数在某个点处连续，那么该点的极限值就是函数在该点的函数值。

3. 无穷小量的性质：利用无穷小量的性质对极限进行求解，例如利用已知的极限，对函数进行分子分母的化简、展开等操作。

4. 夹逼法：当一个函数夹在两个函数之间时，利用两个函数的极限值可以求出该函数的极限值。

5. 单调有界原理：对于单调有界的函数，可以通过证明上下确界得到极限值。

6. 极限的四则运算法则：对于两个函数的极限，可以利用四则运算法则求出其和、差、积、商的极限。

7. 换元法：通过对函数进行变量替换，将原来的极限问题转化为更简单的问题求解。

8. 泰勒级数展开法：对于某些函数，可以利用泰勒级数展开的性质，将函数进行级数展开，然后求出极限值。

9. 符号常用极限法：对于一些特殊的函数，例如正弦函数、指数函数等，可以通过符号常用极限值来求出其极限。

10. 隐函数极限法：对于隐函数的极限问题，需要通过隐函数求导的方式来求出极限值。

11. 单调列法：对于一个递增（递减）且有上（下）界的序列，可以通过极限的单调列法求出极限。

12. Stolz定理：当一个数列为无穷大与无穷小的极限的商时，可以利用Stolz定理求出极限。

13. 递推法：对于递归定义的数列，可以通过递推的方式求出极限。

14. 分部积分法：对于一些函数的积分，可以通过分部积分法转化为极限问题求解。

15. L'Hospital法则：对于一些不定型的极限问题，可以通过L'Hospital法则来求出其极限。

16. 堪培拉法则：对于一些含有多个变量的函数，可以利用堪培拉法则求出其极限。

以上是求解极限的16种常用方法，掌握这些方法可以更好地应对极限求解问题。

考研高数知识点超强归纳

(t )
连续，
公式 2 ． lim⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n = e ； lim⎜⎛1 + 1 ⎟⎞u = e ；
n→∞⎝ n ⎠
u→∞⎝ u ⎠
lim (1
+
v
)1 v
=
e
v→0
则 dy dx
=
f [ϕ2 (x)]ϕ2′ (x) −
f [ϕ1(x)]ϕ1′(x)
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和
2
( )e x ′ = e x
de x = e x dx
考研数学知识点-高等数学
ψ ′(t)存在，且ϕ ′(t) ≠ 0 ，则
(arcsin x)′ = 1
1− x2
d arcsin x = 1 dx 1− x2
(arccos x)′ = − 1
d arccos x = − 1 dx
1− x2
1− x2
连续，则 f (x) 必在 [a,b]上有界。
定理 2．（最大值和最小值定理）如果函数 f (x) 在闭
区间 [a, ]b 上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和
最小值 m 。其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下：
定义设 f (x0 ) = M 是区间 [a,b]上某点 x0 处的函数
且有
dy = dy du = f ′[ϕ(x)]ϕ ′(x)
dx du dx
对应地 dy = f ′(u)du = f ′[ϕ(x)]ϕ ′(x)dx
由于公式 dy = f ′(u)du 不管 u 是自变量或中间变量
6．隐函数运算法则
设 y = y(x) 是由方程 F (x, y) = 0 所确定，求 y′ 的方

变上限积分求导规则

变上限积分求导规则
变上限积分求导如下：
当积分上限为被积函数的自变量时，变限积分在某一点的导数等于被积分函数在这一点的值，就是说积分这一点的增量为被积分函数在这一点的值乘以自变量增量区间大小，求导求出来的就是这一点的导数即为被积分函数在这一点的值。

自变量增量区间为某个函数时，此函数也需要进行求导方可平衡。

变上限积分求导公式：即∫f（t）dt（积分限a到x），根据映射的观点，每给一个x就积分出一个实数，因此这是关于x的一元函数，记为g（x）=∫f（t）dt （积分限a到x），注意积分变量用什么符号都不影响积分值，改用t是为了不与上限x混淆。

现在用导数定义求g'（x），根据定义，g'（x）=lim【∫f（t）dt-∫f（t）dt】/h （h趋于0，积分限前者为a到x+h，后者为a到x）=lim∫f（t）dt/h（积分限x 到x+h，根据的是积分的区间可加性）。

根据积分中值定理，存在ξ属于（x，x+h），使得∫f（t）dt/h=f（ξ）h，又因为h趋于0时ξ是趋于x的，故极限=limf（ξ）h/h=f（x），至此证明了g'（x）=f（x）。

考研数学二重点

高等数学部分第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二))第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)4、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)第九章级数(数一、数三)1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开线性代数部分第一章行列式1、行列式的定义2、行列式的性质3、特殊行列式的值4、行列式展开定理5、抽象行列式的计算第二章矩阵1、矩阵的定义及线性运算2、乘法3、矩阵方幂4、转置5、逆矩阵的概念和性质6、伴随矩阵7、分块矩阵及其运算8、矩阵的初等变换与初等矩阵9、矩阵的等价10、矩阵的秩第三章向量1、向量的概念及其运算2、向量的线性组合与线性表出3、等价向量组4、向量组的线性相关与线性无关5、极大线性无关组与向量组的秩6、内积与施密特正交化7、n维向量空间(数学一)第四章线性方程组1、线性方程组的克莱姆法则2、齐次线性方程组有非零解的判定条件3、非齐次线性方程组有解的判定条件4、线性方程组解的结构第五章矩阵的特征值和特征向量1、矩阵的特征值和特征向量的概念和性质2、相似矩阵的概念及性质3、矩阵的相似对角化4、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵第六章二次型1、二次型及其矩阵表示2、合同变换与合同矩阵3、二次型的秩4、二次型的标准型和规范型5、惯性定理6、用正交变换和配方法化二次型为标准型7、正定二次型及其判定概率论与数理统计部分第一章随机事件和概率1、随机事件的关系与运算2、随机事件的运算律3、特殊随机事件(必然事件、不可能事件、互不相容事件和对立事件)4、概率的基本性质5、随机事件的条件概率与独立性6、五大概率计算公式(加法、减法、乘法、全概率公式和贝叶斯公式)7、全概率公式的思想8、概型的计算(古典概型和几何概型)第二章随机变量及其分布1、分布函数的定义2、分布函数的充要条件3、分布函数的性质4、离散型随机变量的分布律及分布函数5、概率密度的充要条件6、连续型随机变量的性质7、常见分布(0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布)8、随机变量函数的分布(离散型、连续型)第三章多维随机变量及其分布1、二维离散型随机变量的三大分布(联合、边缘、条件)2、二维连续型随机变量的三大分布(联合、边缘和条件)3、随机变量的独立性(判断和性质)4、二维常见分布的性质(二维均匀分布、二维正态分布)5、随机变量函数的分布(离散型、连续型)第四章随机变量的数字特征1、期望公式(一个随机变量的期望及随机变量函数的期望)2、方差、协方差、相关系数的计算公式3、运算性质(期望、方差、协方差、相关系数)4、常见分布的期望和方差公式第五章大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式2、大数定律(切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、伯努利大数定律)3、中心极限定理(列维—林德伯格定理、棣莫弗—拉普拉斯定理)第六章数理统计的基本概念1、常见统计量(定义、数字特征公式)2、统计分布3、一维正态总体下的统计量具有的性质4、估计量的评选标准(数学一)5、上侧分位数(数学一)第七章参数估计1、矩估计法2、最大似然估计法3、区间估计(数学一)第八章假设检验(数学一)1、显着性检验2、假设检验的两类错误3、单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验最后冲刺很多同学在做模拟题，提醒大家要学会思考着去做题。

函数极限的计算方法

函数极限的计算⽅法<body>1. 极限的四则运算法则与特殊⽤法1. 极限的四则运算法则只有当两个极限同时存在的情况下，极限的四则才可以与四则的极限相互转换。

2. 极限的四则运算特殊⽤法由于在考试中，我们已知极限最后是可以求出解的，所以当我们在⽤极限四则运算将它们拆分的时候，只要其中⼀个分量的极限明显存在，我们就能够判定这样的拆分⽅法合理，并将极限明显存在的⼀部分先计算出来，下⾯就是明了的数学公式：lim这种⽅法给⼈们的感觉就好像是部分代⼊，这也就逐渐成为了化简极限的重要⼿段。

2. 函数极限计算的基本流程1. 因式分解⼀个函数\mathcal{F}(x)可以被划分为分⼦和分母两个部分，然后对这两个部分分别做因式分解：\mathcal{F}(x)=\frac{\mathcal{G}(x)}{\mathcal{H}(x)}=\frac{g_1(x)\cdots g_n(x)}{h_1(x)\cdotsh_m(x)}=\frac{\prod_i g_i(x)}{\prod_j h_j(x)}这⾥的每⼀个因式（g(x)和h(x)）都必须是x的多项式函数或者初等函数的正幂次，这⼀要求被统称为因式条件，可以确保我们在化简的时候不会过于复杂化。

2. 乘式化简因式g(x)和h(x)也可以被称为乘式，这样更直观地表达出他们参加的是乘积运算。

1. 如果乘式的极限为⾮零常数根据极限的四则运算特殊⽤法，我们可以利⽤部分代⼊⽅法将其先⾏提出计算。

2. 如果乘式的极限为0(⽆穷⼩)查看这个乘式是否是我们熟稔于⼼的等替公式：1. 如果是：我们可以⽤等价⽆穷⼩替换；2. 如果否：我们可以⽤和式化简；3. 如果乘式的极限为\infty(⽆穷⼤)那么就不能⽤泰勒展开和等价⽆穷⼩替换了。

1.1. 当乘式是容易求导的函数时：借助于洛必达法则求导计算；特别注意当含有变限积分函数时的求导规则：1. 直接求导型：\int_0^xf(t)dt；2. 拆分求导型：\int_0^x{(x-t)f(t)dt}=x\int{f(t)dt}-\int{tf(t)dt}；3. 换元求导型：\int_0^x{f(x-t)dt}=\int_0^xf(u)du，令x-t=u；题⽬中已知f(x)时，式中的函数积分和导数积分均要在最后化为函数形式，也就是说最后的式中不能出现任何积分形式，只能是函数形式。

考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结

考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。

注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。

2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。

（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。

）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。

定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。

定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。

这是积分上限函数的良好性质。

而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。

（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。

它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。

我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。

定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。

重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。

> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。

函数极限的几种求解方法

函数极限的几种求解方法函数极限是微积分中的重要概念，它在分析数学、物理和工程学等领域中具有广泛的应用。

在实际问题中，我们经常需要求解函数极限，以帮助我们更好地理解函数在某一点的行为。

在微积分中，有多种方法可以帮助我们求解函数极限，包括代数法、夹逼法、洛必达法等。

本文将介绍这几种求解函数极限的方法，并举例说明其应用。

一、代数法代数法是求解函数极限最基本的方法之一。

对于一个给定的函数，如果其极限存在，那么我们可以通过代数运算来求解。

代数法的基本思想就是通过变形、化简等代数运算，将函数化为更易求解的形式。

一般来说，我们可以利用分子有理化、分母有理化、分子分母同时有理化等方法来求解。

下面通过一个例子来说明代数法的求解过程。

例1：求解函数极限lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)解：我们可以尝试直接代入x=2来求解：lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = (2^2 - 4) / (2 - 2) = 0/0由于分子为0、分母也为0，无法直接求解。

此时，我们可以尝试分子有理化：(x^2 - 4) = (x+2)(x-2)可以看到，此时分母可以约去(x-2)，得到：lim(x→2) (x+2)再次代入x=2，得到极限值：lim(x→2) (x+2) = 4二、夹逼法夹逼法也是求解函数极限常用的方法之一。

当函数极限存在时，夹逼法可以通过构造两个函数，使得它们夹住原函数，并且这两个函数的极限值相等，从而求得原函数的极限值。

夹逼法的核心思想是通过构造合适的不等式来限制函数值的大小，从而求解函数极限。

下面通过一个例子来说明夹逼法的求解过程。

解：对于x*sin(1/x)函数，当x≠0时，我们可以得到不等式：-x ≤ x*sin(1/x) ≤ x两边同乘以x，得到：-x^2 ≤ x*sin(1/x) ≤ x^2显然，当x→0时，-x^2和x^2都趋近于0，根据夹逼法，我们可以求得极限：lim(x→0) x*sin(1/x) = 0通过夹逼法，我们成功求解了函数极限lim(x→0) x*sin(1/x)的值为0。

考研数学常考题型方法总结与精练(1)

x f ( x) F ( x) 2, F ( x) t n 1 f ( x n t n ) dt, 求 lim 2 n . 0 x 0 x x
1、已知f ( x)可导， lim
x 0
2、f ( x)连续，f (0) 0, 求 lim
x 0 2
x f ( x t ) dt
f ( x) 1、已知f ( x)在x 1的某邻域内连续, 且 lim 1, 求 lim 0 x 1 x 1 x 0
sin 2 x
et f (1 esin x et )dt x 2 ln cos x
2
.
2
考研数学常考题型方法总结与精练---毕生明
2、f ( x)二阶可导， lim
(3)求定积分 [e x ]dx.
0
1
1 (4)求极限 lim x[ ]. x 0 x 1 1 (5) x (n 2,3, )是函数f ( x) x[ ]的( ). n x A.无穷间断点 B.跳跃间断点 C.可去间断点
D.连续点
3
考研数学常考题型方法总结与精练---毕生明
题型二：n 项和求极限

2、求 lim x 2 (e 2 x 1 e 2 x 1 ).
x
3、 lim
e tan x esin x . x 0 x3 4、 lim (sin x 2004 sin x ).
x
题型五：夹逼准则+单调有界必有极限
【方法总结】证明{an }单调的三种方法： 1、数学归纳法 2、转化为函数，利用求导。 a 3、利用an +1 an 或 n +1 来判断. an
【方法总结】 (1)夹逼定理; i 找 n x 1 (2)定积分定义(记住三步走)找 dx n 组装成定积分，求定积分注意处理方法，见定积分章节 (3)先用夹逼定理再用定积分定义. 使用定积分定义求n项和极限的条件：分子的次数齐，分母的次数齐

【考研数学】考研数学常考70题型通法

《高等数学部分》题型考点01极限的概念与性质【通用方法】极限与无穷小的关系：00lim (),()(1)x x f x A x x f x A o .题型考点02无穷小的比较（1）高阶无穷小、等价无穷小【通用方法】用定义转化成函数极限的计算问题.（2）无穷小排序【通用方法】利用0()lim0n x f x k x，解得n ，然后排序.题型考点03函数求极限【通用方法】（1）分析：把?x 代入极限，分析类型和化简方法（2）化简：①根式有理化②提公因子③计算非零因子④等价无穷小替换⑤拆分极限存在的项⑥幂指函数指数化⑦变量替换（尤其是倒代换）（3）计算：①洛必达法则②泰勒公式题型考点04极限的反问题（1）已知极限求另一极限【通用方法】加减乘除凑已知极限（2）已知极限求参数【通用方法】7种化简方法、泰勒公式、洛必达法则题型考点05函数的渐近线【通用方法】（1）垂直渐近线：若 )(lim x f ax ，则函数存在渐近线a x ；（2）水平渐近线：若b x f x)(lim ，则函数存在渐近线b y ；（3）斜渐近线：若b kx x f kx x f x x ])([lim )(lim ，则函数存在渐近线b kx y .题型考点06利用单调有界准则求数列极限【通用方法】（1）单调性①计算n n u u 1.若01 n n u u ，则}{n u 单调递增；若01 n n u u ，则}{n u 单调递减.②若)(1n n u f u ，构造函数)(x f ，单调数列应该有0)( x f ，若12u u ，则}{n u 单调递增；若12u u ，则}{n u 单调递减；另外，若0)( x f ，则数列不单调.（2）有界性①数学归纳法②均值不等式题型考点07求n 项和的数列极限【通用方法】①定积分定义②夹逼准则题型考点08判断函数的连续性与间断点【通用方法】①连续的定义②四种间断点的定义题型考点09一个点的导数【通用方法】一个点的导数用定义题型考点10切线方程与法线方程【通用方法】①求00(),()f x f x ②代入切线方程与法线方程.题型考点11各类函数求导（1）反函数求导【通用方法】反函数的导数等于原来函数导数的倒数.（2）复合函数求导【通用方法】从外层往内层逐层求导相乘.（3）隐函数求导【通用方法】把y 看成x 的函数，等式两边直接求导.（4）参数方程求导【通用方法】()()(),()()y t h t y h t y x t x t.（5）变限积分函数求导【通用方法】①设)()(21)()(x x dt t f x F，则)()]([)()]([)(1122x x f x x f x F ；②设xdt t xf x F 0)()(，则)()()()(00x xf dt t f dt t f x x F xx；注：被积函数中含有求导的变量时，要把变量分离出来，再求导.③设xdt t x f x F 0)()(，则令t x u ， xdu u f x F 0)()(，)()(x f x F .注：被积函数中含有求导的变量但不能直接分离时，要通过换元分离，再求导.（6）分段函数求导【通用方法】分段函数分段求，分段点处定义求题型考点12求0x 处的n 阶导数【通用方法】利用泰勒公式的唯一性题型考点13判断函数的单调性、极值点与凹凸性、拐点【通用方法】求函数的一阶导数、二阶导数进行判断题型考点14不等式的证明【通用方法】利用单调性证明（1）移项到大于号一边，构造()F x （2）求()()F x F x ,，判断()F x 的单调性（3）找()F x 的最小值点，验证最小值大于等于0.题型考点15方程根的问题【通用方法】①单调性②零点定理题型考点16曲率与曲率半径（仅数一、二要求）【通用方法】曲率公式232)1(y y K，KR 1.题型考点17罗尔定理的证明题【通用方法】（1）证明一阶导等于零（0)( f ），找两个原函数的点相等；（2）证明二阶导等于零（0)( f ），找三个原函数的点相等，或者两个一阶导相等；（3）证明表达式的题目（0)](),(,[ f f G ），思路如下：草稿纸上：① 换成x 把要证明的表达式抄下来；②两边移项，目的是便于积分求原函数注：遇到)(x f 可以把它除到)(x f 下面去，积分为)(ln x f ；③两边积分，目的是构造有用的)(x F 试卷上：令 )(x F ，易知)(x F 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，再证明)(x F 两个点相等即可.（4）双介值问题：解题思路：①分离介值，把含不同介值的表达式移到等号两边；②结合（3）的思路，分别使用微分中值定理证明左边C ，右边C 即可注：C 为某常数，需要通过其中一边C ，满足罗尔定理的情况下，求得.另外，若只是证明存在两个介值，则不需要把区间分段；若要求证明存在两个不同的介值，则必须把区间分段，证明介值分别来自两个不同的区间.题型考点18拉格朗日中值定理的证明题【通用方法】找对区间（一般需要将区间等分或者根据第一问提示点将区间分开），在各区间上使用拉氏定理，然后相加相减凑所证结论.题型考点19泰勒中值定理的证明题【通用方法】找对展开点（一般为区间中点或端点），然后写出泰勒展开式，带入端点值，相加相减凑所证结论.题型考点20不定积分的计算【通用方法】①凑微分②去根号③分部积分④有理函数积分题型考点21定积分的计算【通用方法】①牛顿莱布尼兹公式②定积分的换元法③区间再现④分段函数分段积分⑤含抽象函数的积分使用分部积分题型考点22积分不等式的证明【通用方法】①转化为函数不等式，利用单调性证明②积分中值定理题型考点23含变限积分函数的等式方程【通用方法】①初值②求导题型考点24反常积分的计算【通用方法】在瑕点处拆开，直接按定积分计算.题型考点25反常积分敛散性的判定【通用方法】根据比较审敛法的极限形式，与P 积分进行比较判断.题型考点26定积分的几何应用【通用方法】微元法（1）求平面图形的面积① dxx y x y S ba121② d r S2221③dtt t ydx S ba3（2）求旋转体的体积① dxx fV bax2②bay dxx xf V2③d y V Dx（3）求平面曲线的弧长d r r dt t y t x dxx y ds 222221（仅数一、二要求）（4）求旋转体的侧面积ydsd S 2 侧（仅数一、二要求）题型考点27定积分的物理应用（仅数一、二要求）【通用方法】微元法（1）变力沿曲线做功①FSW ②maF （2）静水侧压力①PS F ②ghP（3）引力问题①221r m m GF 万②221r Q Q kF 库题型考点28微分方程的求解【通用方法】根据各类微分方程的固定求解步骤进行即可.（1）一阶微分方程①可分离变量的方程②齐次方程③一阶线性微分方程（2）可降阶的微分方程①不显含y 的微分方程②不显含x 的微分方程（3）二阶常系数线性微分方程①二阶常系数线性齐次方程②二阶常系数线性非齐次方程（4）伯努利方程、欧拉方程（仅数一）通过换元化为常见方程求解题型考点29微分方程的物理应用（仅数一、二要求）【通用方法】从问题出发，找两个变量，列微分方程.题型考点30多元复合函数求偏导【通用方法】①画出复合函数关系图②从外往内逐层求偏导题型考点31多元隐函数求偏导【通用方法】①直接求②公式法③一阶微分形式不变性（全微分法）题型考点32偏积分【通用方法】注意对x 积分时加)(y C ，对y 积分时加)(x C .题型考点33多元函数极值【通用方法】①令偏导数等于0解得驻点②根据充分条件判断极值题型考点34多元函数条件极值【通用方法】①代入法②拉格朗日乘数法题型考点35多元函数求闭区域上的最值【通用方法】①开区域内求极值②边界上求条件极值③比大小题型考点36各类积分比大小【通用方法】①不等式性质②对称性③格林公式、高斯公式（仅数一）题型考点37二重积分的计算【通用方法】①画D②观察对称性③选择坐标系和积分次序④化为累次积分计算题型考点38数项级数敛散性的判断（仅数一、三）【通用方法】（1）正项级数①比较审敛法（极限形式）②比值（根植）审敛法（2）交错级数①加绝对值后判断是否绝对收敛②莱布尼兹判别法（3）一般级数①加绝对值后判断是否绝对收敛②级数敛散性的性质题型考点39幂级数的收敛域及和函数（仅数一、三）【通用方法】（1）收敛域比值法（2）和函数逐项积分，逐项求导（3）函数展开成幂级数①逐项积分，逐项求导②常见泰勒级数题型考点40函数展开成傅里叶级数（仅数一）【通用方法】（1）周期为 2的傅里叶级数①10sin cos 2~)(n n n nx b nx a a x f ，其中,2,1,sin )(1,)(1,2,1,cos )(1n nxdx x f b dx x f a n nxdx x f a n n.②余弦级数若)(x f 为偶函数，则10cos 2~)(n n nx a a x f ，其中.0,)(2,2,1,cos )(200n n b dx x f a n nxdx x f a③正弦级数若)(x f 为奇函数，则1sin ~)(n nnx bx f ，其中,2,1,sin )(2,2,1,0,00n nxdx x f b n a n n（2）周期为l 2的傅里叶级数10sincos 2~)(n n n lxn b l x n a a x f ，其中 l l n l l n dx lxn x f l b dx l x n x f l a sin )(1,cos )(1.（3）狄里克雷收敛定理设)(x f 是周期为 2的可积函数，且满足①)(x f 上],[ 连续或只有有限个第一类间断点；②)(x f 上],[ 只有有限个单调区间，则)(x f 的以 2为周期的傅里叶级数收敛，且2)0()0()(000x f x f x S .题型考点41空间解析几何（仅数一）【通用方法】（1）平面与直线①平面点法式②直线点向式（2）曲面与曲线①旋转曲面轨迹法②投影曲线消元法（3）空间曲面的切平面与空间曲线的切线①曲面的法向量),,(z y x F F F ②曲线的切向量))(),(),((t z t y t x 或))(),(,1(x z x y 等.题型考点42三重积分的计算（仅数一）【通用方法】①投影法②截面法③柱面坐标④球面坐标题型考点43曲线积分的计算（仅数一）【通用方法】（1）第一类曲线积分①对称性②参数法（2）第二类曲线积分①对称性②参数法③积分与路径无关④格林公式题型考点44曲面积分的计算（仅数一）【通用方法】（1）第一类曲面积分①对称性②一投二代三计算（2）第二类曲面积分①对称性②一投二代三定号③轮换投影法④高斯公式题型考点45多元积分学的应用（仅数一）【通用方法】（1）质心、形心①质心横坐标D Dd y x f d y x xf x),(),(；dVz y x f dV z y x xf x ),,(),,(；LL dsy x f ds y x xf x ),(),(；dSz y x f dS z y x xf x ),,(),,(.②形心横坐标（数二、三的同学要求掌握平面图形的形心）DDd xd x；dVxdV x ；L Ldsxds x ；dSxdSx .（2）转动惯量2mr I 题型考点46场论公式（仅数一）【通用方法】（1）方向导数①定义),()cos ,cos (lim 00000y x f y x f l.②可微函数cos cos y x f f l.（2）梯度),(),(y x f f y x gradf （3）散度zR y Q x P A div（4）旋度Qy j A rot题型考点47经济学应用（仅数三）【通用方法】（1）边际)(x f dxdy（2）弹性xdx y dy E yx《线性代数部分》题型考点01数值型行列式的计算【通用方法】边化零，边展开题型考点02抽象行列式的计算【通用方法】①化为乘法②特征值的乘积题型考点03方阵的幂【通用方法】（1）找规律（2）若1)( A r ，则A A 1n nl，其中)(A tr l .（3）若1A P ΛP ，则P ΛP A nn1.题型考点04矩阵的秩【通用方法】①化行阶梯形②利用秩的9个结论题型考点05具体方程组的求解【通用方法】①化行阶梯形②化行最简形③写出同解方程组④写出通解题型考点06抽象方程组的求解【通用方法】解的结构（1）齐次方程组的基础解系：①是解②无关③个数()n r A （2）非齐次方程组的通解：通通特非齐非题型考点07向量组的线性相关性【通用方法】①秩②定义题型考点08向量组的线性表示【通用方法】①秩②定义题型考点09向量组的极大无关组【通用方法】①部分组②无关③个数()r A .题型考点10相似对角化【通用方法】（1）解0 E A 得特征值123,, ；（2）解()0x E A 得特征向量123,,ααα；（3）令123(,,) P ααα，则1P AP Λ.题型考点11正交变换法化二次型为标准形【通用方法】（1）解0 E A 得特征值123,, ；（2）解()0x E A 得特征向量123,,ααα；（3）正交化得：123,,βββ；（4）单位化得：123,,γγγ；（5）令123(,,) Q γγγ，则在正交变换x y Q 下，二次型的标准形为222112233y y y .题型考点12配方法化二次型为标准形【通用方法】①优先配交叉项少的变量②所用变换必须为可逆变换题型考点13二次型的正定型【通用方法】等价条件：①0,0Tx x x A ；②特征值均大于0；③正惯性指数为n ；④顺序主子式均大于0.《概率统计部分》题型考点01概率计算公式【通用方法】（1）加法公式()P A B C 加奇减偶（2）减法公式()()()P AB P A P AB （3）乘法公式()(|)()(|)()P AB P A B P B P B A P A （4）条件概率()(|)()P AB P A B P B（5）全概率公式1()(|)()nk k k P A P A B P B （6）贝叶斯公式(|)()(|)()k k k P A B P B P B A P A题型考点02概率密度与分布函数【通用方法】（1）概率密度①()1f x dx；(,)1xoyf x y d ②()0f x ；(,)0f x y （2）分布函数①规范性()0,()1F F ②右连续性00(0)()F x F x ③单调不减性题型考点03常见分布【通用方法】题型考点04二维连续型随机变量的分布【通用方法】（1）边缘概率密度()(,),()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx（2）条件概率密度(,)()()X Y Y f x y f x y f y（3）独立性若(,)()()X Y f x y f x f y ，则,X Y 独立（4）事件概率{(,)}(,)DP X Y D f x y d题型考点05随机变量函数的分布【通用方法】（1）一维连续型随机变量函数的概率密度分布函数法：①定义②代入③讨论④求导（2）一维连续型随机变量函数的概率密度分布函数法：①定义②代入③讨论④求导公式法：()(,(,))Z y f z f x y x z dx z（3）离散型+连续型随机变量函数的概率密度分布函数法：①定义②代入③全概率公式④讨论⑤求导题型考点06数字特征【通用方法】（1）随机变量的数字特征①期望取值概率②方差性质化简，公式计算③协方差性质化简，公式计算④相关系数性质化简，公式计算（2）统计量的数字特征①E X EX②1D X DX n③2ES DX④2()E n n⑤2()2D n n题型考点07二维正态分布的性质【通用方法】若221212(,)~(,;,;)X Y N ，则：（1）边缘分布都是服从一维正态分布，即 221122~,,~,X NY N .（2）X 和Y 任意的非零线性组合aX bY 服从一维正态分布.（3）X 和Y 相互独立的充要条件是相关系数0 .（4）若12,Z Z 是,X Y 的非零线性组合，则 12,Z Z 也服从二维正态分布.题型考点08三大抽样分布【通用方法】（1）2分布：222212()nn X X X （2）F 分布：22()(,)()m mF m n n n（4）t 分布：()t n（5）若12,,,n X X X 为来自正态总体2~(,)X N 的简单随机样本，则：~(0,1)X N②222(1)~(1)n S n ~(1)X t n 题型考点09点估计【通用方法】（1）矩估计总体的矩等于样本的矩（2）最大似然估计①离散型1()()n i i L P X X ；1()ln(())ni i LnL P X X ②连续型1()()ni i L f x ；1()ln(())ni i LnL f x 题型考点10估计量的评选标准【通用方法】（1）无偏性 ()E（2）有效性若 12()()D D ，则 1 比 2更有效（3）一致性P。

变限积分函数的相关计算方法总结(一)

变限积分函数的相关计算方法总结（一）来源：文都教育在近几年的考研数学中，变限积分函数的相关计算（如求极限、求导数）出现的频率越来越多，以2015年数学二、数学三中的一道填空题为例，如下：设函数()f x 连续，20()()d .x x xf t t ϕ=⎰ 若(1)1ϕ=，(1)5ϕ'=, 则(1)f = . 本文已知20()()d x x xf t t ϕ=⎰，根据变限积分函数求导和乘积的导数公式可得：2220()()d 2().x x f t t x f x ϕ'=+⎰ 所以有10(1)()d 1,f t t ϕ==⎰从而(1) 2.f =上面例题的解题关键是应用变限积分函数的求导公式，作为函数它与考生熟悉的常见函数一样，作为一种特殊的函数它还具有其自身的特殊性质. 因此，首先需要知道变限积分函数的相关性质及求导公式.变限积分函数确定了参变量x 的一个函数，若函数()f x 连续，(),()x x ϕψ均可导，则()()d ()d [()]()[()]().d x x f t t f x x f x x x ϕψϕϕψψ''=-⎰ ①利用上述公式，可以求解积分上限函数、积分下限函数及积分上限和积分下限函数的导数.例1 设()f x 连续，且310()d ,x f t t x -=⎰则(7)f = .解根据求导公式，由310d ()d ,d x f t t x x -'=⎰得32(1)31,f x x -⋅=即321(1),3f x x-=故2x =时，3211(7)(21).3212f f =-==⨯例2 设()f x 可导，证明：d ()()d ()().d x a x t f t t f x f a x'-=-⎰ 证明应用变限积分函数导数公式，得d ()()d ()()0.d x ax t f t t x x f x x ''-=-=⎰ 显然，上述证明方法没有达到题目要求，是错误的，到底错在哪里？经过观察发现，被积函数中含有未知变量x ，因此求导过程中需要考虑对其求导. 因此，证明过程如下：()()d ()d ()d ,x x x a a a x t f t t xf t t tf t t '''-=-⎰⎰⎰ 在右端第一个积分中，由于积分变量为t ，变量x 与积分变量无关，可视为常量故可把x 提到积分号外面，得： ()()d ()d ()d .xx xa a a x t f t t x f t t tf t t '''-=-⎰⎰⎰ 故可直接利用乘积的求导公式，得到：d ()()d ()d ()()d x x a a x t f t t f t t xf x xf x x''''-=+-⎰⎰ ()d ()().xa f t t f x f a '==-⎰ 上述两例分两种情况举例说明变限积分函数的求导运算，考生在复习备考过程中需要熟记公式①，同时在解题过程中还应特别注意被积函数是否含有自变量（如例2中的情况），视情况将其提取到积分号外面在进行下面的计算，如果不能提取到积分号外，这时通常需要通过变量代换的方法来进行计算. 在复习过程中有意识地选择各种类型的题目加以练习，必将在考试中对这类题目游刃有余，取得高分.。

年考研数学函数与极限解题技巧与方法分享

Part Six
考研数学函数与极限解题方法总结
解题方法的归纳与总结
极限的定义和性质：理解极限的概念，掌握极限的性质和运算法则
极限的计算方法：掌握极限的计算方法，如洛必达法则、泰勒公式等
函数的连续性：理解函数的连续性，掌握连续函数的性质和运算法则
导数的定义和性质：理解导数的概念，掌握导数的性质和运算法则
添加标题
导数与积分的关系：导数是积分的基础，积分是导数的推广
添加标题
导数在函数与极限中的应用：通过求导，可以找到函数的极值点，从而求解极限问题
添加标题
积分在函数与极限中的应用：通过积分，可以求解一些复杂的极限问题，如无穷小量、无穷大量等
添加标题
函数与极限的应用题解题技巧
掌握解题式法：将函数展开为泰勒级数，然后求极限
直接代入法：将函数值代入极限表达式，直接求解
极限的存在性定理
极限的存在性定理与连续性的关系：如果函数在某一点处的极限值存在，那么该点处的函数值也存在，即函数在该点处连续
极限的存在性定理的应用：判断函数在某一点处的极限值是否存在，以及求解极限值
极限的存在性定理：如果函数在某一点处的极限值存在，那么该点处的函数值也存在
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考研数学函数与极限解题技巧与方法分享
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Part One.
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Part Two.
考研数学函数与极限概述
Part Three.
考研数学函数解题技巧
Part Four.
考研数学极限解题技巧
Part Five.
考研数学函数与极限综合解题技巧
Part Six.
极限的应用，如求极值、最值、凹凸性等
Part Three

2019考研数学怎么计算含变限积分的函数极限

2019考研数学怎么计算含变限积分的函数极限（来源：文都教育）计算极限是考研数学的重要考查内容，其中一个重要题型就是计算含变限积分的函数极限，文都教育认为在2019考研数学的复习中需要熟练掌握这部分内容。

含变限积分的函数极限如果是0或者∞∞未定式，一般可以考虑用洛必达法则，应用变限积分函数求导公式，消去积分符号。

本文介绍另外一种方法，涉及到对无穷小式子的积分公式，如下所示：10()()xn n o t dt o x +=⎰，当0x →时。

①这里被积函数()n o t 是可积的；上述公式可以推广为：()(1)0()()m O x n m n o t dt o x +=⎰，当0x →时。

这里注意积分上限是表示同阶无穷小的大O 符号。

对于极限式中的变限积分函数，我们一般是把被积函数表示为多项式加一个高阶无穷小（可以应用极限基本定理或者Taylor 公式或者等价无穷小获得），其中多项式的积分容易计算，而无穷小的积分则应用上述2个公式计算，这样就可消掉积分符号，转化为不含变限积分的函数极限计算题。

真题1（1999年，数学（二），3分） 1.设50sin ()xtx dt tα=⎰，1sin 0()(1)x t x t dt β=+⎰，则当0x →时，()x α是()x β的（）。

（A ）高阶无穷小（B ）低阶无穷小（C ）同阶但不等价的无穷小（D ）等价无穷小答案：（C ）解析：55200sin ()[1()]5()~5xx tx dt o t dt x o x x tα==+=+⎰⎰， 1sin sin 20()(1)[()]sin ()x xtx t dt e o t dt e x o x ex β=+=+=+⎰⎰，故()x α是()x β同阶但不等价的无穷小。

真题2（2002年，数学（三），5分）2.求极限200arctan(1)lim(1cos )xu x t dt du x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-⎰⎰.答案：6π.简析：arctan(1)(1)4t o π+=+，当0t →时。

极限求积分的方法

极限求积分的方法极限是微积分学中的一个基本概念，是微积分学中各种概念和计算方法能够建立和应用的前提。

下面求函数极限的方法总结，欢迎阅读参考！利用函数连续性：直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0；通过已知极限：两个重要极限需要牢记；采用洛必达法则求极限：洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。

函数音速就是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都就是在函数音速的定义上顺利完成的。

函数音速性质的合理运用。

常用的函数音速的性质存有函数音速的唯一性、局部有界性、保序性以及函数音速的运算法则和无机函数的音速等等。

1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，前提是必须证明拆分后极限依然存在，e的x次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于ax等等。

全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。

2、洛必达法则（大题目有时候可以存有表明必须你采用这个方法）。

首先他的采用存有严苛的采用前提！必须就是x收敛而不是n收敛！（所以直面数列音速时候先必须转化成谋x收敛情况下的音速，当然n收敛就是x收敛的一种情况而已，就是必要条件（除了一点数列音速的n当然就是收敛于正无穷的，不可能将就是负无穷！）必须就是函数的导数必须存有！（假如说你g（x），没有说你与否可微，轻易用，无疑于那可真！）必须就是0比0无穷大比无穷大！当然还要特别注意分母无法为0。

洛必达法则分成3种情况：0比0无穷比无穷时候轻易用;0除以无穷，无穷乘以无穷（应属无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都译成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能够变为第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。

对于（指数幂数）方程方法主要就是挑指数Perdana对数的方法，这样就能够把幂上的函数移下来了，就是译成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，lnx两端都收敛于无穷时候他的幂移下来收敛于0，当他的幂移下来收敛于无穷的时候，lnx收敛于0）。