考研数学利用变限积分求导计算函数极限的方法

考研数学：利用变限积分求导计算函数极限的方法

在考研数学中，利用变限积分求导来计算定积分、函数极限和证明积分等式或不等式是常考的题型，事实上，变限积分是与微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）紧密联系在一起的，其重要性不言而喻。在上一篇文章中，文都考研数学辅导老师向大家介绍了利用变限积分求导来计算定积分的技巧，下面对利用变限积分求导来计算函数极限这类题的解题方法进行分析介绍，供各位考生参考，希望对大家有所裨益。 变限积分求导的基本公式： 公式1：若()f x 连续，则

()()x

a

d f t dt f x dx =⎰； 公式2：若()f x 连续，12(),()x x ϕϕ可导，则21

()

2211()()(())()(())()x x d f t dt f x x f x x dx ϕϕϕϕϕϕ''=-⎰ 利用变限积分求导计算函数极限的基本方法：

1）如果函数是含变限积分的分式，可以考虑使用变限积分求导法计算极限； 2）通常是对

00型和∞

∞

型不定式积分使用，并结合洛必达法则使用； 3）如果被积函数中含参数x ，应该先将参数x 分离出来，提到积分号前面去。

例1. 求极限2

2

2lim

x t x x te dt

x e

→∞

⎰

解析：这是一个

∞

∞

型不定式极限，可以运用洛必达法则，而分子是一个变上限积分函数，因此可如下计算：2

2

2

2

2

20

232lim

lim

22x t x x x x

x x te dt

x e x x e

xe x e →∞

→∞

⋅==+⎰2

2

lim

11x x x →∞=+ 例2. 0

()()(0)0,lim

()x

x x tf x t dt

f x f x f t dt

→-≠⎰⎰若连续，求

解析：这是一个

型不定式极限，可以运用洛必达法则，但分子中的被积函数含参数x ，需要先将x 分离出来，提到积分号外面去，这可以通过积分换元法实现，具体过程如下：

1.()()()()()()()x t u

x

x

x

x

x

tf x t dt x u f u du x t f t dt x f t dt -=-=

--=

-=-⎰⎰

⎰

⎰

⎰

()()()()2.lim

lim

lim

()()()

()()

x

x

x

x

x

x x

x x x f t dt

x f t dt tf t dt

f t dt

x I x f t dt

f t dt xf x f t dt f x x

→→→-===++⎰

⎰

⎰⎰⎰

⎰

⎰

()(0)1

3.

lim

lim ()(0),(0)(0)2

x

x x f t dt f f x f I x

f f →→==∴=

=+⎰

例3. 224

00

0()()

()lim 2,()(),lim x x x f x F x f x F x tf x t dt x

x →→==-⎰设连续，

求 22

2202

2

2222

00

1111.()()()()(

222x t u x

x x x F x tf x t dt f x t d x t f u du f -==

-=---=-=⎰

⎰⎰⎰解：（）

22204432000011

()()2()1()1222.lim lim lim lim 442

x x x x x f u du f x x F x f x x x x x →→→→⋅⋅====⎰ 上面就是对考研数学中利用变限积分求导来计算函数极限这种题型的基本解题方法，在以后的时间里，文都考研数学辅导老师还会向考生们介绍利用变限积分求导来证明积分等式或不等式的解题技巧，以及考研数学中其它常考题型和相应的解题方法，希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩，成功实现自己的人生梦想。