杆件的应力

A
横截面对Z轴的静矩
My
z dA 0
A
zE
A
y dA
E
A
zydA
0
zydA I yz 0
A
截面对yz轴的惯性积
由于y为对称轴、上式自然满足。
M z
y dA
A
M
yE
A
y dA
M
令： Iz y2dA
A
截面对z轴的惯性矩
1 M
EI z
中性轴过截面形心
中性层的曲率公式： 1 M
dx
dA
T
dA
o
G
d
dx
2dA
T
A
令 I p 2dA
A
I p 2dA 极惯性矩
A
则 d T
dx G I p
d T
dx G I p
G
d
dx
G T
GIp
T
Ip
max
T max
Ip
T Wp
Wp
I p 抗扭截面模量
max
T I
p
max
T Wp
max
max
下面求极惯性矩I p 和抗扭截面模量Wt
K max n
§6.4圆轴扭转切应力
一、薄壁圆筒的扭转 等厚度的薄壁圆筒,平均半径为 r,壁厚为 t
壁厚t<<r
m 薄壁圆筒扭转试验
m
预先在圆筒的表面画上等间距 的纵向线和圆周线，从而形成 一系列的正方格子。
观察到的现象
圆周线保持不变；纵向线发生倾斜
设想 薄壁圆筒扭转后，横截面保持为大小均无改变的平面，相邻 两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。
所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 剪应力
dA dA
dA dA M dA Q dA Q dA M
M Q
在横截面上，只有法向内力元素dN=σdA才能 合成弯矩M，只有切向内力元素dQ=τdA才能 合成剪力Q
6.5 梁的弯曲正应力
1.纯弯曲的概念
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
mn
a
a
b
b
mn
M
M
根据观察，梁变形后： 1. 侧面上的两纵向线 aa ， bb 弯成弧线； 2. 横向线 mm , nn 仍为直线，但相对转了一个角度且
与弯曲后的 aa ，bb垂直； 3. 靠近底面的纵线 bb 伸长，而靠近顶面的纵线 aa 缩短；
mn
a
a
b
b
mn
(a)
M
m
a
b m
M
n a b n
πd13
40MPa
d1
3
16 716.2 π 40106
0.045m=45mm
§6-5 梁的弯曲正应力
当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有 弯矩 M ，又有剪力 Q 。
Q
M
只有与剪应力有关的切向内力元素 dQ = dA 才能合成剪力 只有与正应力有关的法向内力元素 dN = dA 才能合成弯矩
胡克定律
• 实验结果表明，在弹性范围内加载（应力 小于某一极限值）
E
和
G
E 弹性模量（或杨氏模量）
G 切变模量
E
G
6.3轴向拉压时的正应力
F
F
平面假设：变形前为平面的横截面变 形后仍为平面
平面假设——轴向变形均匀分布
1)只有轴向正应力 2)正应力在横截上均匀分布
FN
A
圣维南(Saint Venant)原理：
3000 25.6 108
0.0152
178106 Pa 178MPa
C max
M max Iz
y2
3000 25.6 108
0.0328
385106 Pa 385MPa
惯性矩的计算 一、简单截面的惯性矩的计算
矩形：
dy
I z
y 2dA
A
y
h/2
y2bdy
h / 2
bh 3
大切应力不得超过40MPa,空心圆轴
的内外直径之比 = 0.5。二轴长
度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
实心轴
Mx
T
9549
P n
9549 7.5 100
716.2N m
max1
MT x
WP1
16MT x
d /2
d /2
I p 2dA 2 2 d 2 3d
A
2
d 2
4
0
d
4
4 32
0
d
Wp
Ip
max
Ip d
d3
16
o
2
对于空心圆，外径为D，内径为d
I p
2dA
A
D/2
22
d /2
d
(D4 d 4)
32
D4 (1 4 )
32
Wp
Ip
max
Ip D
2
D3 (1 4 )
剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上, 剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同 时指向或背离两平面的交线。
G
其中，比例常数G 称为切变模量。常用单位GPa
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E
泊松比μ
对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ 三个弹 性常数之间存在着如下关系
G E
2(1 )
中性层与横截面的交线称为中性轴
横截面的 对称轴
横截面
中性层
中性轴
C d
O
O
dx
中性层
中性轴
中性层
将梁的轴线方向取为 x 轴， 横截面的对称轴取为 y 轴， 中性轴取为 z 轴。
Z
O
x
y
C d
O
O
dx
纯弯曲梁的正应力
二、物理关系
胡克定理 E
E y
目录
二、物理关系
E
E
y
正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的 正应力为零
2.纯弯曲时的正应力 变形几何关系
从三方面考虑： 物理关系 静力学关系
一、变形几何关系 用较易变形的材料制成的具有对称截面(如
矩形截面)等直梁作纯弯曲试验:
几何方面 取纯弯曲梁来研究。梁的任一横截面上只有弯矩M。梁 在加载前先在其侧面上画两条相邻的横向线 mm 和 nn , 并在两横向线间靠近顶面和底面处分别画两条纵向线 aa 和 bb 。
(b)
梁在纯弯曲时的平面假设：
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面， 并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一 轴旋转了一个角度。
再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间 互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或 受压的状态。
推论： 梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，
下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既 不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤 维层称为中性层。
EI z
正应力计算公式：
My
Iz
1）沿y轴线性分布，同一 坐标y处，正应力相等。中 性轴上正应力为零。
2）中性轴将截面分为受 拉、受压两个区域。
3）最大正应力发生在距 中性轴最远处。
横截面上的最大正应力：
t
M y1 IZ
,
c
M y2 IZ
当中性轴是横截面的对称轴时：
y1 y2 ymax
t c max
§6.2 应变的概念·胡克定律
正应变——线应变
x
lim
dx0
x dx
y
lim
dy0
y dy
变形前dx 变形后dx x 变形前dy 变形后dy y
显然
x与
有关系
y
x y
为泊松比，与材料有关 的常数
切应变（剪应变）——角应变
切应变与切应力 有关，反映夹角
的变化，用
表示, 应变是无量纲量
解：（1）作弯矩图，求最大弯矩 梁的弯矩图如图5-8b所示，由图知 梁在固定端横截面上的弯矩最大，
其值为
M ql 2 600012 3000N m
max
2
2
（2）求最大应力
因危险截面上的弯矩为负，故截 面上缘受最大拉应力，其值为
在截面的下端受最大压应力，其值 为
T max
M max Iz
y1
圆筒两端截面之间相对转
动的角位移，称为 相对 扭转角 ，用 表示。
m
A
圆筒表面上每个格子的直角 B
的改变量，称为 剪应变。
用 表示 。
由设想推知
圆筒横截面上只有剪应力，而无正 应力。由于壁很簿，可认为剪应力 沿薄壁均匀分布，方向垂直于半 径与周线相切。
D
C
A B
m
D
D'
C C'
剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径 与周线相切
W D3 (1 4 )
32
二、组合截面的惯性矩 平行移轴公式
Izi , IyiIx—yi — 第 i个简单截面对 z ,y 轴的惯性矩
组合截面的惯性矩
n
20
I I z
zi
i 1
n
I y I yi i 1
20 140
100
z
zc
y y
a
dA
C
O
y y a z z b
m
m
TT
dA
dA
r
r dA T
A
r dA T
A
r 2rt T
T 2 r2t
根据精确的理论分析,当t≤r/10时,上式 的误差不超过4.52%,是足够精确的。
二、剪应力互等定理
纯剪切：单元体上只有 剪应力而无正应力。
dy
t dx
微元体 单元体
( t dy)dx ( t dx)dy
max
M ymax IZ
M W
W Iz ym ax
W 称为抗弯截面模量
公式适用条件： 1）符合平面弯曲条件（平面假设， 横截面具有一根对称轴） 2）p(材料服从虎克定律）
例 图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度q=6kN/m； 梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大 拉应力和最大压应力。
Iy
2Iz
d 4
32
Iz
Iy
Iz 2
d 4 )
64
圆环：
I y I z I z大 I z小
D4 d 4
64 64
D4 (1 4 )
64 其中 d
D
y
x d D
bh3 I Z 12
W bh2 6
d4
I Z 64
W d3
32
IZ
(D4 d 4)
64
D4
64
(1 4 )
上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算：
1）由于中性轴z的位置未确定，故y无法标定； 2）式中未知，（若已知M，与M有何关系？）
三、静力学关系 设中性轴为z
N dA 0
A
M y z dA 0
A
Mz y dA M
A
y
z dA
N dA 0
A
A
E
y
dA
0
E
A
ydA
0
ydA Sz yc A 0 中性轴Z必过截面形心
16
极惯性矩：
d4
实心圆： I p 32
空心圆：I p
(D4 d 4) 32
D4
32
(1 4 )
抗扭截面模量：
实心圆：
Wp
d3
16
空心圆：
Wp
D3
16
(1 4 )
圆轴扭转时截面上的应力计算
例1：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴， 受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A点的剪应力及 横截面上的最大和最小剪应力。
像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
d
dx rd
r d
dx
在圆轴表面 r d
dx
横截面上距形心为的任一点处应变
dx d
d
dx
2. 物理关系
根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时
G
G d
dx
剪应力方向垂直于半径
3.静力学关系
Fra Baidu bibliotek
dA
dA T
A
A
G
d
§6-4 圆轴扭转切应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力
变形几何关系 从三方面考虑：物理关系
静力学关系
1.变形几何关系
观察到下列现象: (1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距
离没有变化 (2)纵向线仍为直线, 但都倾斜了同一角度γ （3）表面方格变为平行四边形。
平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它
12
同理:
Iy
hb3 12
圆及圆环：
方程：z2 y2 R2
y
I z
y2dA
A
(R2 z 2 )dA
A
dA 2 R2 y2 dy
dy
y
IZ
R y2
R
R2 y 2 dy d 4
64
0
Z
(实际：I p
2
dA
A
( y2 z2 )dA
A
y2dA
A
z2dA
A
Iz
作用于物体某一局部区域内的外力系，可 以用一个与之静力等效的力系来代替。而两力 系所产生的应力分布只在力系作用区域附近有 显著的影响，在离开力系作用区域较远处，应 力分布几乎相同
应力集中的概念
• 在局部区域应力突然增大的现象，称 为应力集中。
横截面上的最大应力max与平均应力n 的比值称为应力集中系数，以K表示。
第六章 杆件的应力
§6.1 应力的概念
应力:是内力的集度，即单位面积上的内力
P A
平均应力 p P A
总应力
p
lim
A0
P A
p
p
正应力 p cos
剪应力 或切应力
p sin
应力的单位:
单位：帕斯卡（Pa），或 • Mpa, GPa • 1Pa=1N/m2, 1Mpa=106Pa • 1GPa=103MPa=109Pa
轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多0少.8?
解：设实心轴的直径为 d1 ，由
T
d13
T
D3 (1 0.54 )
16
16
0.8
得： D 1.022 d1 1.192
A空
D2 (1 0.52 )
4
0.8
0.783
A实
d12
0.512
4
圆轴扭转时截面上的应力计算
例题3
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最
解：
A
TA
Ip
1000 0.015 0.044 (1 0.54 )
63.66MPa
32
max
T Wp
1000
0.043 (1 0.54 )
84.88MPa
16
min
max
10 20
42.44 MPa
圆轴扭转时截面上的应力计算
例2：在最大切应力相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆