点集拓扑学(1)

点集拓扑学~非同凡响畅想系列注明：（拓扑学的语言表达准确性很重要），这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。

本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。

由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。

点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后研究的那些不变性和不变量，比如连通性，可数性，分离性等。

其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。

这些都和弹性变形下的拓扑不变性有关，这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸关系，相近点变相近点的连续概念。

拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。

第一节：关系与映射集合概念的发展历程：集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。

朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识和总结，在现实中得到了广泛的运用。

集合的定义：① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。

② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来作为一个群体来研究，这个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体，或一个抽象的概念，或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不完全相同，也可能是没有包涵关系的子集，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。

全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。

集合一般用大写字母代表，其中元素用小写代表。

集合的表示方式:1枚举法一般在大括号里罗列出集合的元素，如下:{}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,,Λc b a2文字语言表述法用文字语言来表达构成集合的要求：某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。

3图示法4数学关系描述法或者数学语言描述法用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，或者用数学表达方式来抽象的替代构成集合的要求，为了便于数学分析与研究我们一般用这种数学表达方式来抽象的描述集合，如下： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论，比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。

又比如：{}{}能是该集合的元素同时说明一个集合不可了离模式表示方式就合理所以我们采用下面的分的元素都是矛盾，元素与不是这个集合中很显然是这个集合中的呢？也就是说是不是这个集合的元素是一个集合，那么如果X A A x X x R R x R R x x x R ⊂∉∈==∉=,? 集合的关系符号：（=∈∋⊆⊇⊂⊃∪∩⊊⊋⊄⊅⊈⊉）如果在集合A 中的某个元素a 属于它那么记为A a ∈否则A a ∉；如果集合B 中的元素包含在集合A 中我们记为A B ⊆或者B A ⊇，这时当A 中元素有多的异于B 中的元素时记为A B ⊂或者B A ⊃;当A 与B 中元素相同时我们称它们相等记为B A =集合的运算：运算符号：交⋂，并⋃，差-，补︒A ,余A ',{}B A x x B A ∈∈=⋃x 或者，{}B x A x x B A ∈∈=⋂且1幂等律：A A A A A A =⋃=⋂,2交换律：A B B A A B B A ⋃=⋃⋂=⋂,3分配律：()()()()()()C A B A C B A C A B A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃⋂⋃⋂=⋃⋂,4结合律:()()()()C B A C B A C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃⋂⋂=⋂⋂,5 De Morgan 律：()()()()()()C A B A C B A C A B A C B A -⋂-=⋃--⋃-=⋂-,6 ()()()()()()C A B A C B A C A B A C B A ⨯⋃⨯=⋃⨯⨯⋂⨯=⋂⨯,7 ()()A A X X X A X A A X X =--⊆⋂=--则，若,8 B B A B A A B A =⋃⇔⊆⇔=⋂集合中的元素也可能是一个集合，这样的集合有两种，第一种虽然集合中的元素是集合但是该集合中的元素是把集合当做一个对象或者个体，与集合中其它对象（这里的对象是集合）没有包含关系，这样的集合本质上还是集合概念所定义的集合，也可以称为集族，比如集合，{}别和一般集合没有本质区共同的全集元素没有合，且没有包含关系各一个元素而不是一个集它们都是作为集合中的时一群羊都是集合，而此，一群人，一群大象，群羊一群人，一群大象，一,第二种是集合中的元素都是集合，但是这些集合有一个全集，它们和全集有包含关系，我们把由全集的部分子集作为研究对象构成子集族。

这种子集族和集合是有区别的，我们把全集的所有子集放在一起称为幂集。

点集拓扑学主要研究的是第二种情况，下面给出指标集族的定义：子集族：给定一个集合X ，X X i ⊆,把X 的所有子集抽象出来构成一个集合称为X 的幂集()X P ，把幂集中有一部分子集或者全部拿出来构成一个集合，我们称为子集族。

数列{}{}+∈=Z n n n x x ，数列可以看做定义域在整数集或者子集上的函数或者映射，其中元素可以有相同的，但是数列中的元素必须是有序的，也就是说遵循正整数由小到大的排列顺序规律，即映射中元素之间关系必须遵循整数的由小到大排列顺序。

而集合中的元素是无序的，互不相同的，这就是区别。

我们以这样的方式表示集族：给定一个集合J ,对于任意不同的J j ∈，存在不同的集合j A ，我们把所有不同的j A 全体称为有标集族()J j j A ∈=A ，称J 为指标集，j 为有标集族中某个集合元素的指标，当任意j A 都是某个集合X 的子集时，这时候的有标集族为有标子集族。

集族中元素是互不相同的，但是可能有序，这种有序有标集族称为集列，这时指标集为自然数N ,集列按自然数由小到大排列。

当然有标集也可以是实数，集族中的元素也可以按实数由小到大排列。

幂集：集合中的关系：对于集合X 与Y 的笛卡尔集Y X ⨯,存在它的一个子集Y X R ⨯⊆,子集R 中的元素()R y x ∈,,我们说y x ,是对于R 二元相关记作xRy ，当Y X =时R 称为X 上的二元关系。

若R 是X 到Y 的关系则：()(){}R y x Y X x y R OP ∈⨯∈=,,是Y 到X 的关系，称为R 的对偶关系。

有()R R op op =。

集合X 上的一个关系R 如果是等价的那么必须满足三个条件：1 自反的：()()xRx R x x X x R X 即∈∃∈∀⊆∆,,, 2 对称的：R R op =，若xRy ，且yRx3 传递的：R R R ⊆ο,若yRz xRy ,，则xRz()()()()y x R x y y x id X R RR X X op =⇒∈=∆=,,,即称为反对称的：上关系另外I 恒同关系()(){}X x x x X ∈=∆,，模p （素数）等价关系：(){}np y x t s Z n Z Z y x p =-∈∃⨯∈=..,,mod ，同柸关系等都是等价关系。

(){}y x R y x y x <∈,,,小于关系不是等价的它是传递的，不是对称的和自反的。

R 是X 上的一个等价关系，存在X x ∈,集合[](){}R y x X y x ∈∈=,称为x 关于R 的等价类。

我们把[]{}X x x ∈叫作集合X 关于R 的商集，记作R X /。

定律：如果R 是非空集合X 上的等价关系，则1 [][]≠∴∈∈∀x x x X x ，则,∅2 [][]y x y x R y x =，则等价记关于~,3 [][][][]y x y x X y x ≠=∈∀要么要么,,,4 []x X X x ∈=Y 。

X 上的一个等价类[]x 是X 上的某类划分中的其中一个部分，X 的不同划分中X 中的元素x 有不同的等价类，且个划分的各部分之间没有交集，所有部分的并为全集X ，即[]x X X x ∈=Y 。

如下图是对集合XX 其中A 是其中一种划分中的一个划分部分或者等价类或称等价类集，A 中任何元素都是以A 部分为等价的，A 中的元素相对于A 划分部分都是同柸的。

划分与同柸：集合的一个划分就是把一个集合进行等价关系分类，每个类别就决定一个等价关系，这个类别称为等价类，等价类中的所有元我们称为同柸。

集合X 的一个等价关系决定了某个划分中的一部分，反过来集合的一个划部分对应着一个等价关系。

同柸指的是拓扑空间的图形满足拓扑不变性的映射关系的一类图形的搜集，同柸是一个集合，所有不同的同柸构成同柸集或者同柸集族，同柸集是把其中元素作为一个点处理，同柸族是把里面的元素作为一个图形处理，这个图形可以理解为一个集合。

同柸族的并是全集X ，可以理解为族或集。

它相当于X 的一个划分或等价类。

使拓扑空间中的图形满足拓扑不变性的关系对应的的映射称同柸映射，满足同柸映射的关系有多种，其中的恒同关系是等价关系，不同的图形可能有不同的同柸，所以一个同柸代表一个划分，它们是等价的。

我们把在拓扑空间中满足图形的拓扑不变性的所有映射或者函数统称为同柸关系，满足同柸关系的映射为同柸映射，同柸映射的因变量与自变量是拓扑图形，图形在同柸映射下互为同柸，所以同柸映射与同柸关系不是同一概念，同柸关系包涵所有同柸映射。

（拓扑学的语言表达准确性很重要）映射：映射是集合之间关系的一种术语，是在纯数学中讨论的一个基本数学概念，映射由三部分组成：定义域，值域，对应法则，在定义域X 中任意一个取值x 按照某种对应法则f在值域Y 中都有唯一确定的值y 与之对应。

然而在点集拓扑学里我们这样来定义映射：给定两个集合Y X ,以及它们的一个关系R ,如果集合X 中任意一个元素x ，集合Y 中存在唯一的元素y ，使得y x ,对于R 相关，即xRy ，我们称R 是集合X 到集合Y 的对映法则，这时候我们称在对映法则R 下建立了集合X 到Y 的映射，映射的原像称为定义域，映射的像称为值域，映射的关系R 称为对应法则，一般记为f ，记Y X f →:。

两个映射22:2111,:Y X f Y X f →→相同,当且仅当212121,,f f Y Y X X ===函数：y x f →:像：()(){}A x x f A f X A ∈=⊆∀,原像：()(){}B x f X x B fY B ∈∈=⊆∀-1,几种映射：单射：存在映射Y X f →:,如果集合X 中存在任意的不同的元素x ，按照对应关系f在集合Y 中都有唯一的不同元素y 与之对映称之为单射。