高斯光束通过光阑的传输
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霍夫公式，经圆孔衍射后，在距光阑平面为 Z 处的光场振幅 为
a 2"
"" U（ r，z）=
i !z
U（ ra ）ex（p - ik#）ra dra i$
00
其中，!为源点到场点的距离，在圆对称的情况下，由上
式可得
U（ r，z）= i!z2"ex（p - ikz）ex（p - ikr2 / 2 z）X
w0.0（1 w0 ） 1510 1520 1560 1730 1950 2310 3520
为了研究光束的传输特性，固定 Ratio 为 1，计算得不同 距离 z 处的光束强度分布如图 4 所示。从图 4 中可以得到 在不同位置处如上述定义的光束半径如图 5 所示。从图 5 中可以看出，光束半径随距离的增加基本呈线性增加，直线
" U（ r，z） 2 r2 rdr
r（2b z）=
0 b
" U（ r，z） 2 rdr 0
但这时在同一处的光斑半径 wJ 的具体值与 J 有关，将
随 J 的增大而增大。图 3 给出了 Ratio = 1，Z = 1000Zr 情况下，
J 取不同值时 wJ 的计算值。可见，应用上述光斑半径的定
义，光束半径对 J 值的选取十分敏感，该定义不适合讨论此
可以看出，即使在 Ratio = 0 . 5 的较为极端的情况下，第 1 次衍
0.5
1 6 . 28% 2 . 43% 1 . 29% 0 . 80%
着重考虑衍射主峰。图 2 给出了不同截断系数下，高斯 光束在 Z = 1000Zr 处的强度颁上，图中同时以点划线给出了 自由传输 的 高 斯 光 束 的 分 布 曲 线。从 图 中 可 以 看 出，对 于
（I w0.1 ）= 0 . 1（I 0） （I w0.01） = 0 . 01（I 0）
从图 2 中可得不同截断系数下的光斑半径见表 3。 表 3 不同截断系数下的光斑半径
Ratio
2 1.5 1.2 1.0 0.8 0.5
w1/e2（w0 ） 1000 1020 1110 1260 1440 1730 2650 w0.（1 w0 ） 1070 1090 1180 1340 1520 1830 2800
种情况的光束。
按激光工程中通行的作法，分别定义 1/e2 半径 w 1/e2 ，
10% 半径 w0.1 ，及 1% 半径 w0.01 如下：
在光束的强度分布曲线 （I r）中，当 r 分别等于 w1/e2 、w0.1
及 w0.01 时，分别有： （I w1/ e2 ） = e-2 （I 0）= 0 . 135（I 0）
的斜率即应为光束的远场发散角。对于此种情况，与上述 3 种光束半径相对应的远场发散角分别为：
!e12
=
1.4
w0 zr
= 1 . 4#"w0
= 1 . 4$0
!0 .1
=
1.5
w0 zr
= 1 . 5#"w0
= 1 . 5$0
!0 .01
=
1.9
w0 zr
=
1 . 9#"w0
=
1 . 9$0
分别计算了不同截断系数下的光束远场发散角如图 6 所示。
Propagation of the Guassian beam through an aperture
Tan Rongging （Institute of Eiectronics，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100080） Abstract：The propagation property in the far fieid of the Guassian beam through an aperture is studied in detaii by simuiation method according the Fresnei
参考文献
〔1〕 Yajun Li and EmiI WoIf . FocaI shift in focused truncated Guassian Jeams. Optics Comm. 1982，4（2 3）：151
〔2〕 Richard G. ScheII and George Tyras. Irradiance from an aperture with a truncated - Gaussian fieId distriJution. J. Opt . Soc. Am，1971，61（1）： 31
a
"U（
ra
） （0
krra z
）ex（p
-
ikr2a /2 z）ra dra
0
根据上式，通过 数 值 计 算 方 法，可 求 出 光 束 在 远 场 的 分
布，并以之为基础对高斯光束的传输特性进行研究。
3 数值计算结果与讨论
取"= 10 . 6#m，w0 = 1000"，令
zr
= "w20 !
即瑞利距离。
引证文献(5条)
1.韩冰.纪雷刚.赵延磊 基于Zemax的多模高斯光束拟合[期刊论文]-科技创新导报 2009(19) 2.郭海.赵延磊.韩冰 基于DDE数据交换技术的Zemax数据传递[期刊论文]-科技创新导报 2009(19) 3.李汝烯.李汝恒.赵承良.陆璇辉 高阶贝塞尔-高斯光束通过圆环形硬边光阑的传输特性[期刊论文]-激光与红外
1.5
1 1 . 1x10 - 4 2 . 2x10 - 4 9 . 6x10 - 5 4 . 6x10 - 5
1.2
1 2 . 0x10 - 3 6 . 9x10 - 4 2 . 9x10 - 4 1 . 6x10 - 4
1.0
1 4 . 8x10 - 3 1 . 3x10 - 3 5 . 3x10 - 4 2 . 5x10 - 4
《激光杂志》2003 年第 24 卷第 3 期
LASER JOURNAL（Voi. 24 . No. 3 . 2003）
7
高斯光束通过光阑的传输
谭荣清
（中科院电子所，北京 100080）
提要：根据菲涅耳 - 基尔霍夫衍射积分公式，采用数值方法，详细研究了高斯光束经圆形孔径后的远场传输特性。 关键词：衍射，高斯光束，光束半径，远场发散角
- Kirchhoff formuia. Key words：diffraction，Guassian beam，the beam’s radius，far - fieid divergence angie
1 引言!
高斯光束，是激光工程中最为常见最具代表性的激光光 束。由于任何光学系统的口径都是有限的，因此，研究高斯 光束通过光阑的传输，具有重要意义。虽然有很多工作对高 斯光束的衍射问题进行了研究〔1 ~ 3〕，但主要集中于对轴上及
=〔1 . 07
+
1 . 75ex（p -
Ratio - 0 . 5）〕"
0 . 39
#w0
=〔1 . 07
+
1 . 75ex（p -
Ratio 0.
-0 39
.
5）〕$0
!0 .01
=〔1 . 49
+
2 . 05ex（p -
Ratio - 0 . 5）〕"
0 . 34
#w0
=〔1 . 49
+
2 . 05ex（p -
射峰的能量值也仅为主衍射峰的 6 . 28% ，因此在通常的工程 设计中，仅仅考虑主衍射峰应是足够的，尤其对 Ratio#1 . 2 的情况，次 衍 射 峰 的 作 用 可 基 本 不 予 考 虑。不 同 截 断 系 数
下，各衍射峰的强度极大值如表 2 所示。 表 1 不同截断系数下，各衍射峰的能量
Ratio 主峰 第 1 次峰 第 2 次峰 第 3 次峰 第 4 次峰
焦点附近强度分布以及聚焦点移动等问题的研究。本文结
2.0
1 0 . 0023% 0 . 0018% 0 . 0014% 0 . 0010%
合激光的工程应用，研究高斯光束经光阑后，远场强度分布、
1.5
1 0 . 02% 0 . 11% 0 . 06% 0wenku.baidu.com. 04%
谭荣清 中科院电子所,北京,100080
激光杂志 LASER JOURNAL 2003,24(3) 5次
参考文献(3条) 1.Kazumasa Tanaka Focusing a Gaussian beam through a finite aperture lens 1985(08) 2.Richard GSchell;George Tyras Irradiance from an aperture with a truncated-Gaussian field distribution[外文期刊] 1971(01) 3.Yajun Li;Emil Wolf Focal shift in focused truncated Guassian beams[外文期刊] 1982(03)
〔3〕 KaZumasa Tanaka et aI . Focusing a Gaussian Jeam through a finite aperture Iens. AppI . Optics，1985，2（4 8）：1998
高斯光束通过光阑的传输
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
0.8
1 8 . 3x10 - 3 2 . 1x10 - 3 7 . 9x10 - 4 3 . 9x10 - 4
0.5
1 1 . 3x10 - 2 3 . 2x10 - 3 1 . 3x10 - 3 6 . 4x10 - 4
该定义对自由空间传输的圆对称光束是成立的，但对于 经硬边光阑衍射的光束，其强度分布的二阶矩是不收敛的，
考虑光阑孔径为圆形的情况。为了简化问题，假设入射
高斯光束的光腰位于光阑平面上，高斯光束与光阑的对称轴
重合。取光阑平面位置为 Z = 0，光阑半径为 a。则在光阑平
面上，入射高斯光束的振幅可表示为
U（ ra ）= cex（p - r2a / w20 ） 其中，w0 为高斯光束的束腰半径。根据菲涅耳 - 基尔
" U（ r，z） 2 r2 rdr
w（6 z）= $2 r（26 z）r（2 z）= 0
" U（ r，z） 2 rdr 0
表 2 不同截断系数下，各衍射峰的强度极值
Ratio 主峰 第 1 次峰 第 2 次峰 第 3 次峰 第 4 次峰
2.0
1 5 . 3x10 - 6 3 . 2x10 - 6 2 . 0x10 - 6 1 . 3x10 - 6
Ratio = 2 的情况，光束的强度分布与自由传输的高斯光束几 乎相同。可见当光学系统的孔径为高斯光束直径的 2 倍以 上时，可以完全忽略衍射效应的影响。当 Ratio 由 1 . 5 依次 减小至 0 . 5 时，光束相应逐渐展宽。进一步的讨论涉及光束 半径的定义问题。光束半径有多种不同的具体定义。按近 年较为流行的 M2 传输因子的理论，光束的半径应以强度分 布的二阶矩定义，即：
Ratio 0.
-0 34
.
5）〕$0
在图 6 中，分别绘出了按上述经验公式计算的曲线，可
以看出，该组经验公式的符合性较好。
4 结论
本文通过数值求解衍射积分方程的方法，得到了高斯光 束经圆形光阑后的远场分布。详细分析了光阑对光束传输 特性的影响。计算了存在光阑效应时的远场发散角，并给出 了其经验公式。
图 1 为截断系数（光阑半径与光腰半径之比）Ratio 为 1
情况下，在光阑后 Z = 1000Zr 处的光强分布。从图中可以看 出，由于光阑的衍射效应，一方面在衍射主峰以外存在一系
列小的衍射旁瓣，另一方面衍射主峰宽度也有一定增大。考
虑各衍射峰所包含的能量，所得结果如表 1 所示。表中的数
据是分别以 各 截 断 系 数 下 的 主 峰 能 量 值 为 基 准 的 相 对 值。
! 2003 年 2 月 15 日收稿
8
《激光杂志》2003 年第 24 卷第 3 期
LASER JOURNAL（VoI. 24 . No. 3 . 2003）
因此不能用上述定义确定光束半径。半上述积分式的积分 上限由无穷改取为有限值，可以使其收敛以得到 w（J Z），即：
w（b z）= !2 r（2b z）
从图中可以看出，随着 Ratio 的从大到小，光束发散角呈指数
上升。可以总结出光束的发散角分别符合如下的经验公式：
!e12
=〔1 . 00
+
1 . 67ex（p -
Ratio - 0 . 5）〕"
0 . 39
#w0
=〔1 . 00
+
1 . 67ex（p -
Ratio 0.
-0 39
.
5）〕$0
!0 .1
光束宽度、光束发散角及传输特性等问题，以作为实验工作
和光学系统设计的参考。
1.2
1 0 . 68% 0 . 43% 0 . 24% 0 . 15%
2 计算方法
1.0
1 1 . 85% 0 . 85% 0 . 47% 0 . 29%
0.8
1 3 . 53% 1 . 44% 0 . 77% 0 . 48%
a 2"
"" U（ r，z）=
i !z
U（ ra ）ex（p - ik#）ra dra i$
00
其中，!为源点到场点的距离，在圆对称的情况下，由上
式可得
U（ r，z）= i!z2"ex（p - ikz）ex（p - ikr2 / 2 z）X
w0.0（1 w0 ） 1510 1520 1560 1730 1950 2310 3520
为了研究光束的传输特性，固定 Ratio 为 1，计算得不同 距离 z 处的光束强度分布如图 4 所示。从图 4 中可以得到 在不同位置处如上述定义的光束半径如图 5 所示。从图 5 中可以看出，光束半径随距离的增加基本呈线性增加，直线
" U（ r，z） 2 r2 rdr
r（2b z）=
0 b
" U（ r，z） 2 rdr 0
但这时在同一处的光斑半径 wJ 的具体值与 J 有关，将
随 J 的增大而增大。图 3 给出了 Ratio = 1，Z = 1000Zr 情况下，
J 取不同值时 wJ 的计算值。可见，应用上述光斑半径的定
义，光束半径对 J 值的选取十分敏感，该定义不适合讨论此
可以看出，即使在 Ratio = 0 . 5 的较为极端的情况下，第 1 次衍
0.5
1 6 . 28% 2 . 43% 1 . 29% 0 . 80%
着重考虑衍射主峰。图 2 给出了不同截断系数下，高斯 光束在 Z = 1000Zr 处的强度颁上，图中同时以点划线给出了 自由传输 的 高 斯 光 束 的 分 布 曲 线。从 图 中 可 以 看 出，对 于
（I w0.1 ）= 0 . 1（I 0） （I w0.01） = 0 . 01（I 0）
从图 2 中可得不同截断系数下的光斑半径见表 3。 表 3 不同截断系数下的光斑半径
Ratio
2 1.5 1.2 1.0 0.8 0.5
w1/e2（w0 ） 1000 1020 1110 1260 1440 1730 2650 w0.（1 w0 ） 1070 1090 1180 1340 1520 1830 2800
种情况的光束。
按激光工程中通行的作法，分别定义 1/e2 半径 w 1/e2 ，
10% 半径 w0.1 ，及 1% 半径 w0.01 如下：
在光束的强度分布曲线 （I r）中，当 r 分别等于 w1/e2 、w0.1
及 w0.01 时，分别有： （I w1/ e2 ） = e-2 （I 0）= 0 . 135（I 0）
的斜率即应为光束的远场发散角。对于此种情况，与上述 3 种光束半径相对应的远场发散角分别为：
!e12
=
1.4
w0 zr
= 1 . 4#"w0
= 1 . 4$0
!0 .1
=
1.5
w0 zr
= 1 . 5#"w0
= 1 . 5$0
!0 .01
=
1.9
w0 zr
=
1 . 9#"w0
=
1 . 9$0
分别计算了不同截断系数下的光束远场发散角如图 6 所示。
Propagation of the Guassian beam through an aperture
Tan Rongging （Institute of Eiectronics，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100080） Abstract：The propagation property in the far fieid of the Guassian beam through an aperture is studied in detaii by simuiation method according the Fresnei
参考文献
〔1〕 Yajun Li and EmiI WoIf . FocaI shift in focused truncated Guassian Jeams. Optics Comm. 1982，4（2 3）：151
〔2〕 Richard G. ScheII and George Tyras. Irradiance from an aperture with a truncated - Gaussian fieId distriJution. J. Opt . Soc. Am，1971，61（1）： 31
a
"U（
ra
） （0
krra z
）ex（p
-
ikr2a /2 z）ra dra
0
根据上式，通过 数 值 计 算 方 法，可 求 出 光 束 在 远 场 的 分
布，并以之为基础对高斯光束的传输特性进行研究。
3 数值计算结果与讨论
取"= 10 . 6#m，w0 = 1000"，令
zr
= "w20 !
即瑞利距离。
引证文献(5条)
1.韩冰.纪雷刚.赵延磊 基于Zemax的多模高斯光束拟合[期刊论文]-科技创新导报 2009(19) 2.郭海.赵延磊.韩冰 基于DDE数据交换技术的Zemax数据传递[期刊论文]-科技创新导报 2009(19) 3.李汝烯.李汝恒.赵承良.陆璇辉 高阶贝塞尔-高斯光束通过圆环形硬边光阑的传输特性[期刊论文]-激光与红外
1.5
1 1 . 1x10 - 4 2 . 2x10 - 4 9 . 6x10 - 5 4 . 6x10 - 5
1.2
1 2 . 0x10 - 3 6 . 9x10 - 4 2 . 9x10 - 4 1 . 6x10 - 4
1.0
1 4 . 8x10 - 3 1 . 3x10 - 3 5 . 3x10 - 4 2 . 5x10 - 4
《激光杂志》2003 年第 24 卷第 3 期
LASER JOURNAL（Voi. 24 . No. 3 . 2003）
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高斯光束通过光阑的传输
谭荣清
（中科院电子所，北京 100080）
提要：根据菲涅耳 - 基尔霍夫衍射积分公式，采用数值方法，详细研究了高斯光束经圆形孔径后的远场传输特性。 关键词：衍射，高斯光束，光束半径，远场发散角
- Kirchhoff formuia. Key words：diffraction，Guassian beam，the beam’s radius，far - fieid divergence angie
1 引言!
高斯光束，是激光工程中最为常见最具代表性的激光光 束。由于任何光学系统的口径都是有限的，因此，研究高斯 光束通过光阑的传输，具有重要意义。虽然有很多工作对高 斯光束的衍射问题进行了研究〔1 ~ 3〕，但主要集中于对轴上及
=〔1 . 07
+
1 . 75ex（p -
Ratio - 0 . 5）〕"
0 . 39
#w0
=〔1 . 07
+
1 . 75ex（p -
Ratio 0.
-0 39
.
5）〕$0
!0 .01
=〔1 . 49
+
2 . 05ex（p -
Ratio - 0 . 5）〕"
0 . 34
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=〔1 . 49
+
2 . 05ex（p -
射峰的能量值也仅为主衍射峰的 6 . 28% ，因此在通常的工程 设计中，仅仅考虑主衍射峰应是足够的，尤其对 Ratio#1 . 2 的情况，次 衍 射 峰 的 作 用 可 基 本 不 予 考 虑。不 同 截 断 系 数
下，各衍射峰的强度极大值如表 2 所示。 表 1 不同截断系数下，各衍射峰的能量
Ratio 主峰 第 1 次峰 第 2 次峰 第 3 次峰 第 4 次峰
焦点附近强度分布以及聚焦点移动等问题的研究。本文结
2.0
1 0 . 0023% 0 . 0018% 0 . 0014% 0 . 0010%
合激光的工程应用，研究高斯光束经光阑后，远场强度分布、
1.5
1 0 . 02% 0 . 11% 0 . 06% 0wenku.baidu.com. 04%
谭荣清 中科院电子所,北京,100080
激光杂志 LASER JOURNAL 2003,24(3) 5次
参考文献(3条) 1.Kazumasa Tanaka Focusing a Gaussian beam through a finite aperture lens 1985(08) 2.Richard GSchell;George Tyras Irradiance from an aperture with a truncated-Gaussian field distribution[外文期刊] 1971(01) 3.Yajun Li;Emil Wolf Focal shift in focused truncated Guassian beams[外文期刊] 1982(03)
〔3〕 KaZumasa Tanaka et aI . Focusing a Gaussian Jeam through a finite aperture Iens. AppI . Optics，1985，2（4 8）：1998
高斯光束通过光阑的传输
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
0.8
1 8 . 3x10 - 3 2 . 1x10 - 3 7 . 9x10 - 4 3 . 9x10 - 4
0.5
1 1 . 3x10 - 2 3 . 2x10 - 3 1 . 3x10 - 3 6 . 4x10 - 4
该定义对自由空间传输的圆对称光束是成立的，但对于 经硬边光阑衍射的光束，其强度分布的二阶矩是不收敛的，
考虑光阑孔径为圆形的情况。为了简化问题，假设入射
高斯光束的光腰位于光阑平面上，高斯光束与光阑的对称轴
重合。取光阑平面位置为 Z = 0，光阑半径为 a。则在光阑平
面上，入射高斯光束的振幅可表示为
U（ ra ）= cex（p - r2a / w20 ） 其中，w0 为高斯光束的束腰半径。根据菲涅耳 - 基尔
" U（ r，z） 2 r2 rdr
w（6 z）= $2 r（26 z）r（2 z）= 0
" U（ r，z） 2 rdr 0
表 2 不同截断系数下，各衍射峰的强度极值
Ratio 主峰 第 1 次峰 第 2 次峰 第 3 次峰 第 4 次峰
2.0
1 5 . 3x10 - 6 3 . 2x10 - 6 2 . 0x10 - 6 1 . 3x10 - 6
Ratio = 2 的情况，光束的强度分布与自由传输的高斯光束几 乎相同。可见当光学系统的孔径为高斯光束直径的 2 倍以 上时，可以完全忽略衍射效应的影响。当 Ratio 由 1 . 5 依次 减小至 0 . 5 时，光束相应逐渐展宽。进一步的讨论涉及光束 半径的定义问题。光束半径有多种不同的具体定义。按近 年较为流行的 M2 传输因子的理论，光束的半径应以强度分 布的二阶矩定义，即：
Ratio 0.
-0 34
.
5）〕$0
在图 6 中，分别绘出了按上述经验公式计算的曲线，可
以看出，该组经验公式的符合性较好。
4 结论
本文通过数值求解衍射积分方程的方法，得到了高斯光 束经圆形光阑后的远场分布。详细分析了光阑对光束传输 特性的影响。计算了存在光阑效应时的远场发散角，并给出 了其经验公式。
图 1 为截断系数（光阑半径与光腰半径之比）Ratio 为 1
情况下，在光阑后 Z = 1000Zr 处的光强分布。从图中可以看 出，由于光阑的衍射效应，一方面在衍射主峰以外存在一系
列小的衍射旁瓣，另一方面衍射主峰宽度也有一定增大。考
虑各衍射峰所包含的能量，所得结果如表 1 所示。表中的数
据是分别以 各 截 断 系 数 下 的 主 峰 能 量 值 为 基 准 的 相 对 值。
! 2003 年 2 月 15 日收稿
8
《激光杂志》2003 年第 24 卷第 3 期
LASER JOURNAL（VoI. 24 . No. 3 . 2003）
因此不能用上述定义确定光束半径。半上述积分式的积分 上限由无穷改取为有限值，可以使其收敛以得到 w（J Z），即：
w（b z）= !2 r（2b z）
从图中可以看出，随着 Ratio 的从大到小，光束发散角呈指数
上升。可以总结出光束的发散角分别符合如下的经验公式：
!e12
=〔1 . 00
+
1 . 67ex（p -
Ratio - 0 . 5）〕"
0 . 39
#w0
=〔1 . 00
+
1 . 67ex（p -
Ratio 0.
-0 39
.
5）〕$0
!0 .1
光束宽度、光束发散角及传输特性等问题，以作为实验工作
和光学系统设计的参考。
1.2
1 0 . 68% 0 . 43% 0 . 24% 0 . 15%
2 计算方法
1.0
1 1 . 85% 0 . 85% 0 . 47% 0 . 29%
0.8
1 3 . 53% 1 . 44% 0 . 77% 0 . 48%