高斯光束通过光阑的传输
高阶贝塞尔-高斯光束通过圆环形硬边光阑的传输特性
高阶贝塞尔 一 高斯光束通过圆环形硬边光阑的传输特性
李 汝烯 李汝 恒 赵 承 良 ， ， ， 陆璇 辉
（． １大理学院物理与电子信息学 院， 云南 大理 ６ １０ ；． ７０３２ 浙江大学光学研究所 。 江 杭州 ３０２ ） 浙 １０８
摘
要： 文中通过把环形光阑函数展开为复高斯函数的方法， 推导 出了高 阶贝塞尔ａ ａ ｏ ｐ ｒｘ ｍａｉ ｎ ａ ａｙｉ ｘ ｒ ｓ ｉｎ ａ ｄ ｔ ｅ ｐ ｐ ｇ ｔ ｎ ｐ ｐ ｒ ｅ ｆｔ ｅ ｈ —ｒ ｅ ｅ ｓ ｌ ｓ ｒ ｃ ： ｈ ｒ ｐ ｇ ｔ ｎ ａ ｐ ｉ ｔ ｌｔｃ ｅ ｐ ｅ ｓｏ ｒ ａ ａ ｉ ｒ ｅ ｔ ｓｏ ｉｈ ｏｄ ｒＢ ｓ ｅ— ｉ ｏ ｏ ｎ ｎ ｈ ｏ ｏ ｏ ｉ ｈ ｇ
ｓｍｅｉｔｎ ｉ ｅ ｋ ｌ ａ ｐ ａ ｎ ｅ ｒｐ ｒｖ ｌｅｏ ｅｉｎ ｒｒｄｕ ｄ ｗ ｄ ｆｔｅａ ｎ ａ ｐ ｒｕｅ ａ ｎｅ ｓｔ ｐ ａ ｓｗ ｌ ｐ ｅ ｕ ｄ ｒｐ ｅ ａｕ ｆｔ ｎ ｅ ａ ｉｓａ ｔ ｏ ｈ ｕｒ ａ ｅｔｒ． ｙ ｉ ｒ ｏ ｈ ｎ ｉ ｈ ｎ ｌ
（ ． ｏ ｅｅｏ ｈ ｓ ｓ ｎ ｌｃ ｏｉ Ｉｆ ｍ ｔ ｎ Ｄ ｌ Ｕ ｉ ｒｉ 。 ａ ７ ０ ３ １Ｃ ｌ ｇ ｆ ｙｉ ｄＥｅｔ ｎｃ ｎｏ ａｉ ， ａ ｎ ｅｓｙ Ｄ ｉ ０ ； ｌ Ｐ ｃａ ｒ ｒ ｏ ｉ ｖ ｔ ｌ ６１
２ Ｒ ｓａｃ ｎｔｕｅ ｆ ｐ Ｃ ， ｈｊ ｇＵ ｉｅ ｉ ，Ｈ ｎｚｏ １０ ８ Ｃ ｉ ） ． ｅｅｒｈＩｓｔｔ ｏ ｔ Ｓ Ｚ ｅｉ ｎｖｒｔ ｉ Ｏ ｉ ｎ ａ ｓｙ ａｇｈ ｕ３０ ２ 。ｈｎ ａ
近年来 ， 由于空心光束在激光导管、 光镊和原子 操控等方面有着越来越多的应用而引起了人们广泛
§2.7+高斯光束及其传输规律
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.7 高斯光束及其传输规律
r2 r2 −1 z −ik z+ −tan − 2 2R( z) f w ( z)
c 自由空间的基 Ψ x, y, z) = e 模 高 斯 光 束 00 ( w( z)
• 情况1：已知w0, w'0, 确定透镜焦距(F)及透镜的距离 l, l'
( l − F ) F2 l′ = F + 2 l − F) + f 2 (
′ w =
2 0
w0 l −F =± F2 − f02 ′ w0 ′ w0 l′ − F = ± F2 − f02 ′ w0
( F −l )
w2 F2 0
1 1 λ = −i 2 定义q 参数 q z R z 高斯光束的复曲率半径) ( ) ( ) πw ( z) (高斯光束的复曲率半径
若已知高斯光束在某一位置的q参数 若已知高斯光束在某一位置的 参数 → w(z), R(z), θ
1 1 = Re , R( z ) q ( z )
3. 光学系统(元件)
r2 A B r 1 球面波 = θ2 C Dθ1
r2 = Ar + Bθ1 1
r2 ≈ R2θ2
r ≈ Rθ1 1 1
θ2 = Cr + D 1 θ 1
R2 =
θ2
r2
=
AR + B 1 CR + D 1
参数通过光学系统的变换与球面波R的变换相同 高斯光束 q参数通过光学系统的变换与球面波 的变换相同 参数通过光学系统的变换与球面波
两式相减
华中科技大学激光原理课件--第6讲 高斯光束的传输变换
• 将上面两式与光线矩阵相比较可以得到球面 波的传播规律： 波的传播规律：
AR1( z ) + B R 2( z ) = CR1( z ) + D
6.2 高斯光束通过薄透镜的传输
• 高斯光束q参数的变换规律 高斯光束q
– 高斯光束在近轴部分可以看作一系列非均匀、曲率中心不断改变 高斯光束在近轴部分可以看作一系列非均匀、 的球面波，也具有类似于普通球面波的曲率半径R的参数， 的球面波，也具有类似于普通球面波的曲率半径R的参数，即q参 数： πω 20 2 R( z ) = z 1 + λz 1 1 λ = −i 2 其中 2 q ( z ) R( z ) πω ( z ) ω 2( z ) = ω 2 1 + λ z 0 2 πω 0
πω 20 q( z ) = i + z = q0 + z – 通过整理q的表达式可以得到： 通过整理q的表达式可以得到： λ
– 可以得到通过长度为L的均匀介质后的q参数为： 可以得到通过长度为L的均匀介质后的q参数为：
q 2( z ) = q1( z ) + ( z 2 − z1) = q1( z ) + L
(1)
= − – 代入到(1)式中，并且比较实部与虚部得到： ω 2 = ω1; 代入到(1)式中 并且比较实部与虚部得到： 式中， R 2 R1 F – 上面的第一个公式表明薄透镜两面的高斯光束光斑半径相同，这与薄透 上面的第一个公式表明薄透镜两面的高斯光束光斑半径相同， 镜的特性是一致的； 镜的特性是一致的；第二个公式表明薄透镜两面等相位面的曲率半径满 足成像公式，即球面中心是关于该透镜的共轭像点， 足成像公式，即球面中心是关于该透镜的共轭像点，这与薄透镜对球面 波成像的规律是一致的。 波成像的规律是一致的。
高斯光束通过光阑的传输
- Kirchhoff formuia. Key words：diffraction，Guassian beam，the beam’s radius，far - fieid divergence angie
1 引言!
高斯光束，是激光工程中最为常见最具代表性的激光光 束。由于任何光学系统的口径都是有限的，因此，研究高斯 光束通过光阑的传输，具有重要意义。虽然有很多工作对高 斯光束的衍射问题进行了研究〔1 ~ 3〕，但主要集中于对轴上及
Ratio 主峰 第 1 次峰 第 2 次峰 第 3 次峰 第 4 次峰
焦点附近强度分布以及聚焦点移动等问题的研究。本文结
2.0
1 0 . 0023% 0 . 0018% 0 . 0014% 0 . 0010%
合激光的工程应用，研究高斯光束经光阑后，远场强度分布、
1.5
1 0 . 02% 0 . 11% 0 . 06% 0 . 04%
（I w0.1 ）= 0 . 1（I 0） （I w0.01） = 0 . 01（I 0）
从图 2 中可得不同截断系数下的光斑半径见表 3。 表 3 不同截断系数下的光斑半径
Ratio
2 1.5 1.2 1.0 0.8 0.5
w1/e2（w0 ） 1000 1020 1110 1260 1440 1730 2650 w0.（1 w0 ） 1070 1090 1180 1340 1520 1830 2800
" U（ r，z） 2 r2 rdr
r（2b z）=
0 b
" U（ r，z） 2 rdr 0
但这时在同一处的光斑半径 wJ 的具体值与 J 有关，将
随 J 的增大而增大。图 3 给出了 Ratio = 1，Z = 1000Zr 情况下，
厄米-高斯光束在内含硬边光阑光学系统中的传输
析 计 算得 到如 下 结论 ： 于任 意一 个含 有硬 边 光 阑的复 杂 光 学 系统 ， 可 以把 光 阑的作 用从 系统 对 都
中“ ” 移 出来 ， 其看作 是 出射 光 瞳的作 用 ， 而 可 以较 为 简便地 求 出观察 面上 的场 分布 。 把 从 关键词 ： 激 光传 输 ；厄 米一 高斯 光束 ；硬 边 光 阑；场 分布 ； 值模 拟． 数
中 图分 类号 ：ＴＮ２ １ ４ 文献 标 志码 ：Ａ
Ｐｒ ｐａ ａ ｉ ｎ ｏ ｅ ｍ ｉｅ Ｇａ ｓ ｉ ｎ ｂ ａ ｔ ｒ ｕｇ ａ ａ ｉ ｌ ｏ ｇ ｔｏ ｆ Ｈ ｒ ｔ — ｕ ｓ ａ ｅ ｍ ｈ ｏ ｈ ｐ ｒ ｘ ａ
ｏ ｔ ｃ ｌｓ ｓ ｅ ｗｉ ｈ ｈ ｒ ｅ ｅ ａ ｒ ｕ ｅ ｐ ｉ ａ ｙ ｔ ｍ ｔ ａ ｄ— ｄｇ ｐｅ ｔ ｒ
Ｖｏ１ ８ Ｎｏ．６ ．２
Ｎｏｖ． ２ ７ ００
厄 米一 高斯 光 束 在 内含 硬 边 光 阑光 学 系统 中的传输
陈婷 婷 ， 陆 群 英 ， 丁 桂 林
（ 苏 大学 机 械 工 程 学 院 ，江 苏 镇 江 ２２ １ ） 江 １ ０ ３
摘 要 ： 把 硬 边光 阑从 复 杂光 学 系统 中“ ” 移 出来 ， 即把 任 意 一个 含 有硬 边 光 阑的 复杂 光 学 系统
ＣＨＥＮ ｎ — ｎ Ｔｉ ｇ ｒ ｇ， ＬＵ ｎ ｙ ｎ ｉ Ｑｕ — ｉｇ， ＤＩ Ｇ ｉｌ Ｎ Ｇｕ—ｉ ｎ
（ ｅ ｈ ｎ ｃｌＥｎ ｉｅ ｒｎ ｏ ｌｇ ，Ｊａ ｇ ｕ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ Ｍ ｃ ａ ｉａ ｇｎ ｅ ｉｇ Ｃ ｌ ｅ ｉｎ ｓ ｉｅｓｔ ｅ ｙ，Ｚ ｅ ｊ ｎ １ ０ ３，Ｃｈｎ ） ｈ ｎｉ ｇ ２ ２ １ ａ ｉａ
光学谐振腔理论-第8节-高斯光束的传输
05 高斯光束的未来发展与应 用
高斯光束在光学通信中的应用
高速光通信
高斯光束在光学通信中具有较高的传输速度和较低的信号衰减，有助于实现高 速、大容量的光通信系统。
远程通信
高斯光束具有较好的光束质量和传输稳定性，适用于长距离的光纤通信，有助 于实现远程、稳定的通信连接。
高斯光束在光学传感中的应用
03 高斯光束的调制与控制
高斯光束的相位调制
01
相位调制是指通过改变高斯光束的相位分布来改变其波前的状 态。
02
常见的相位调制方法包括利用液晶空间光调制器、光栅或其他
光学元件对高斯光束进行相位调制。
相位调制在光学通信、光学传感和光学计算等领域有广泛应用，
03
可以实现光束的聚焦、散焦、波形转换等功能。
高斯光束的波前测量
波前测量概述
波前是描述光束相位变化的物理量，高斯光束的波前测量有助于 了解光束的传播特性和干涉、衍射等光学现象。
波前测量方法
常用的波前测量方法有干涉法、散斑法、剪切干涉法等，可以根据 高斯光束的特点和测量精度要求选择合适的方法。
测量误差来源
波前测量误差主要来源于光束的聚焦、光束截面分布、光学元件的 误差等因素。
高斯光束的聚焦特性
聚焦原理
高斯光束经过透镜聚焦后，其横截面 上的强度分布会发生变化，形成明暗 相间的干涉条纹。
干涉条纹
干涉条纹的形状取决于透镜的焦距和 光束的束腰半径。当透镜焦距一定时 ，束腰半径越小，干涉条纹越密集； 反之，则越稀疏。
02 高斯光束在光学谐振腔中 的应用
光学谐振腔对高斯光束的影响
偏振态调制是指通过改变高斯光 束的偏振状态来改变其电磁场分
布。
常见的偏振态调制方法包括利用 偏振片、电光晶体或液晶等对高
厄米双曲余弦高斯光束通过光阑透镜的位相奇点
Ｐｈ ｓ ｉ ｇ ｌ ｒｔｅ ｆＨ ｅ ｍ ｉｅ ｃ ｓ Ｇ ａ ｓｉ ｎ ｂ ａ ｓ ａ ｅ ｓｎ ｕ ａ ｉｉｓ ｏ ｒ ｔ —ｏ ｈ－ ｕ ｓａ ｅ ｍ
ｐ ｓ ｉ ｇ ｔ ｒ ｕ ｈ ａ ｐ ｒｕ ｅ ｌｎ ａ ｓｎ ｈ ｏ ｇ ｎ ａ ｅ ｔ ｒ ｅ ｓ
第４ ０卷 第 ９期 Ｖ Ｏ ．０ Ｎ ｏ９ Nhomakorabea１４ ．
红 外 与 激 光 工 程
Ｉ ｆ ａ ｅ ｎｄ Ｌａ ｅ ｇｉ ｅ ｒｎｇ ｎ ｒ ｄ ａ ｓ ｒ Ｅｎ ｎ ｅ ｉ ｒ
２１ ０ １年 ９ 月
Ｓ ｐ．２ １ ｅ ０１
厄 米 双 曲余 弦高斯 光 束通 过 光 阑透 镜 的位相 奇点
ｗｅ ｅ ｓｕｄｅ ｒ ｔ ｉｄ．Ｎｕ ｅ ｃ ｌ ａｃ ｌ ｔ ｎ ｅ ｕｔ ｗｅ ｅ ｇ ｖ ｎ ｏ ｉｌｓｒ ｔ ｈ ｄ ｐ ｎ ｅ ｃ ｆ ｐ ａ ｅ ｉ ｇ ｌｒｔ ｓ ｍ ｒ ａ ｃ ｌ ｕａｉ ｒｓ ｌ ｉ ｏ ｓ ｒ ｉｅ ｔ ｌ ｔａｅ ｔ ｅ ｅ ｅ ｄ ｎ ｅ ｏ ｈ ｓ ｓｎ ｕａ ｉ ｅ ｕ ｉ ｏ ｏ ｕ ｅ ｒｎ ｔ・ ｏ ｈ— ｕ ｓａ ｅ ｓ ｏ ｅ ｔｕ ｃ ｔ ｎ ｐ ｒ ｅｅ ｎ ｅ ｅ ｅ ｅ ａａ ｔｒ ｂ ｔｉ ｆ ｆ ｃ ｓ ｄ Ｈｅ ｒｉ ｃ ｓ Ｇａ ｓｉｎ ｂ ａ ｎ ｔ ｒ ｎ ａｉ ａ ａ ｔｒ ６ ａ ｄ ｄ ｃ ｎｔｒ ｄ ｐ ｒ ｍｅｅ ．Ｉ ｓ ｅ ｍ ｈ ｏ ｍ ｓ ｏ ｔ ａ ａ ｔｅ ｒ ｎ ａｉｎ ａ ａ ｅｅ ６ ｇ ａ ｕ ｌ ｉ ｃ ｅ ｓ ｓ ｔ ｅ ｒ ａｉ ｎ ｎ ａ ｎｈ ｌｔ ｎ ｐ ｏ ｅ ｓ ｏ ｈ ｗｎ ｈ ｔ ｓ ｈ ｔｕ ｃ ｔ ｐ ｒ ｍ ｔｒ ｒ ｄ ａｌ ｎ ｒ ａ ｅ ． ｈ ｃｅ ｔ ａ ｄ ｎ ｉｉａｉ ｒ ｃ ｓ ｆ ｏ ｙ ｏ ｏ ｐｈ ｓ ｉ ｇ ｌｒｔｅ ｆ ｆ ｃ ｓ ｄ Ｈｅ ｒｉｅ ｃ ｓ Ｇａ ｓｉ ｎ ｂ ａ ｓ ｔｋ ｌｃ ，ａ ｄ ｔｅ ｏ ａ ｏ ｏｏ ｉａ ｈ ｇ ｓ ａｅ ｓｎ ｕａ ｉ ｓ ｏ ｏ ｕ ｅ ｒｎｔ —ｏ ｈ— ｕ ｓａ ｅ ｍ ａ ｅ ｐ ａ ｅ ｎ ｈ ｔｔｌｔ ｐ ｌｇ ｃ ｃ ａ ｅ ｉ ｉ ｌ ｒ
贝塞尔-高斯光束通过圆孔与圆环光阑的衍射
贝塞尔-高斯光束通过圆孔与圆环光阑的衍射屈军;孟凯;汪六三;丁培宏;崔执凤【摘要】为了研究贝塞尔-高斯光束通过圆孔硬边光阑和圆环光阑的衍射特性,从Collins公式出发,采用数值模拟的方法模拟出光强分布.模拟结果表明,贝塞尔-高斯光束经圆孔光阑衍射后轴上光强随菲涅耳数F呈周期振荡;贝塞尔-高斯光束经圆环光阑后轴上光强随F呈振动衰减.在F相同时,贝塞尔-高斯光束经圆孔光阑衍射后横向光强分布比经圆环光阑衍射后横向光强分布平滑,孔径越小,光强调制越明显;当孔径与束腰相等时候,横向光强分布与菲涅耳数没有关系.【期刊名称】《激光技术》【年(卷),期】2008(032)004【总页数】3页(P393-395)【关键词】激光光学;贝塞尔高斯光束;衍射;圆孔光阑;圆环光阑【作者】屈军;孟凯;汪六三;丁培宏;崔执凤【作者单位】安徽师范大学,物理与电子信息学院,芜湖,241008;安徽师范大学,物理与电子信息学院,芜湖,241008;中国科学院,安徽光学精密机械研究所,合肥,230031;安徽师范大学,物理与电子信息学院,芜湖,241008;安徽师范大学,物理与电子信息学院,芜湖,241008【正文语种】中文【中图分类】O435引言贝塞尔-高斯光束是一种有应用前景的光束，它在一定条件下呈现“无衍射”特性，对这种光束的研究引起人们的极大关注[1-10]。
LIU等人对贝塞尔光束及贝塞尔-高斯光束的传输和聚焦特性已做了详细的计算分析和实验研究进行了比较[5]；PAMELA,OVERFELT等人对贝塞尔-高斯光束经不同几何构形光阑的衍射作了比较研究[6-7]；JIANG等人计算了加光阑贝塞尔光束的空间频谱[8]。
作者就贝塞尔-高斯光束经圆孔光阑和圆环光阑衍射后光强分布随菲涅耳数F的变化作了研究，并对F相同时的横向光强分布，以及当孔径与束腰相等时的横向光强分布与菲涅耳数的关系作了比较，对进一步研究贝塞尔-高斯光束有理论和现实意义。
几何光学中的光线传输矩阵高斯光束通过光学元件的变换
A处：r0, 0 B处：r’,’
r r0 L0 0
自由空间 光线矩阵
r
A C
B D
r00
TL
r00
1 TL 0
L 1
3. 空气与介质(折射率为n2)的界面
r CA
入射 r0,0 出射 r,
B D
r00
Tn1n2
r00
n1 sin0 n2 sin '
n10
r
L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
D
L f1
1
L f1
1
L f2
rs1 Ars Bs
or
s
1 B
rs1
Ars
s1
1 B
rs2 Ars1
Crs Ds
1 B
rs2
Ars1
Crs
D B
rs1
Ars
rs2
2(
A 2
D )rs1
AD
BCrs
0
AD BC 1
rs2
2(
A
2
D
)rs
2
f
f
可见，同一谐振腔，不同
的传播次序，往返矩阵T不
相同，但(A+D)/2相同。
s
1
s 1
T1 T2
T13
T23
1 0
0 1
A D
AD
1
L
1
1,1
2 T1
2 T2
f2
AD BC AD BC 1
T1
T2
思考题：
对1和2两种光线顺序， 分别求
rs rmax sins
高斯光束经圆形光阑衍射的远场发散特性
高斯 光束 是一个 经典 的光 束模 型 ， 在实 际 的光 学系 统 中或多 或少用 到光 阑特别 是 圆形 光 阑 。因此 ， 而 高斯 光 束经 圆形光 阑 的衍 射特 别受 到光学 工作 者们 的关 注 。傍 轴高斯 光 束经 圆形光 阑弱 衍射后 的远 场可 视为另 一 个 参数 略为不 同 的傍 轴高 斯光 束口 。沈锋 等人研 究 了各种 不 同中心遮 拦和 不 同光 束截 断 比对高斯 光束 远场 环 ］ 围能量分 布 的影响口 。吕百 达 和赵道 木等人 采 用不 同的方 法 分别 给 出 了傍 轴 高 斯光 束 经带 光 阑 ＡＢ Ｄ 光 学 ］ Ｃ
第 ２ ４卷第 ９期
２１ ０ ２年 ９月
强 激 光 与 粒 子 ‘ 束
ＨＩ ＧＨ ＰＯＷ ＥＲ ＬＡＳＥＲ Ａ ＮＤ ＰＡＲＴＩ ＣＬＥ ＢＥＡＭ Ｓ
Ｖ ｏ ． ４，ＮＯ １２ ．９
Ｓｅ ．，２ ２ ｐ ０１
文 章 编 号 ： １０ —３ ２ ２ １ ）９２４ —６ ０ １４ ２ （ ０ ２ ０ — ０ ７０
传 输公式 ， 利用 标量 角谱法 分析 了高斯 衍射 光束 的远 场特性 ］ 并 。通过采 用两 种不 同 的处 理方 法 ， 国泉 等 周 人 给 出了高斯 光束经 圆形 光 阑衍射后 的远 场矢 量结 构［ ］ ８ 。由于 圆形光 阑半 径对 高 斯衍 射 光 束远 场 发 散角 的 影 响对实 际应 用至关 重要 ， 因此 有必要 研究 高斯 衍射 光束 的远场 发散 特性 。Ｅ Ｍ． ｒ ｇ 等 人导 出 了傍 轴高 斯 ． Ｄｖｅ 光束 经 圆形光 阑衍射 后远 场发 散角 的近似 解析 表达式 ［ 但 所得 结果 不适用 于 发散 度较 大 或横 向光 斑 尺寸 可 １ ， 与 波长相 比拟 的高斯 衍射 光束 。 目前 ， 生 大角 度 光 束 的激 光 光 源不 断 诞 生 ； 产 同时 微 型衍 射 光 学 元件 普 遍 使
圆平顶高斯光束经圆形光阑衍射的远场特性
摘�要� 基于角谱表述和稳相法 � 导出了圆平顶高斯光束经圆形光阑衍射后在远场的解析表达式 � 进而利用该公式数 值计算了衍射圆平顶高斯光束在远场的归一化强度分布和远场发散角 . 结果表明 � � 参数对衍射圆平顶高斯光束远场 傍轴性的影响相对较大 � 而截取参数� 的影响相对较小 . 衍射圆平顶高斯光束采用非傍轴处理和傍轴处理两者的差异 与光束阶数 N 无关 . 随着 � 参数的增大� 衍射圆平顶高斯光束的远场发散角先增大后趋向于一饱和值 . 增大截取参数 远场发散角先增大后趋向于一最小值. 衍射圆平顶高斯光束的远场发散角几乎与光束阶数 N 无关 . �� 关�键�词� 圆平顶高斯光束 �远场特性 �圆形光阑 �衍射 中图分类号 � O 4 3 6. 1���� 文献标志码 � A�� �� 文章编号 � 1 0 0 8 9 4 9 7( 2 0 1 2) 0 5 5 4 1 0 6 � �ZHOU XU� Y i i n G u o u a n( S � � � � � � S � � � � � � ��Z � � � a � A � � � � � � � � � a � �� F � � � � � � U � � � � � � � � � � � a � q g � q � �� � �� � � �� ��L � � ) 3 1 1 3 0 0 Z � � � � a � �� P � � � � � � � C � � � a F a � � � e � d � � � e � � � e � � � � � c � � c � � a � � � � a � � e � e d � G a � � � � a � � b e a � � � d � � � � a c � e d � b a � c � � c � � a � � a e � � � � e .J o u r n a l � o f � Z h e j i a n g � � � � � ) � � � U n i � e r s i t S c i e n c e E d i t i o n 2 0 1 2 3 9( 5) 5 4 1-5 4 6 �( � � � A b � � � a c � B a s e d o n t h e a n u l a r s e c t r u m r e r e s e n t a t i o n a n d t h e m e t h o d o f s t a t i o n a r h a s e a n a n a l t i c a l l e � r e s � � � g � p � p � � � � � � � p � � � � p s i o n � o f � t h e � f a r f i e l d � o f � a � c i r c u l a r � f l a t t e n e d � G a u s s i a n � b e a m( C F G B) d i f f r a c t e d � b � a � c i r c u l a r � a p e r t u r e � i s � d e r i � e d.T h e � n o r m a l i � e d � i n t e n s i t � d i s t r i b u t i o n s � a n d � t h e � f a r f i e l d � d i � e r g e n c e � a n g l e s � o f � d i f f r a c t e d � C F G B s � a r e � n u m e r i c a l l � d e m o n s t r a � � t e d i n t h e f a r f i e l d. T h e i n f l u e n c e o f t h e a r a m e t e r o n t h e n o n a r a � i a l i t o f t h e f a r f i e l d o f a d i f f r a c t e d C F G B i s � � � � � � � �p � � � p � � � � � � � � � � l a r e r a n d t h e e f f e c t o f t h e t r u n c a t i o n a r a m e t e r n t h e n o n a r a � i a l i t o f t h e f a r f i e l d i s s m a l l e r .T h e d i f f e r e n c e g � � � � � � p �o � � p � � � � � � � b e t � e e n � t h e � n o n p a r a � i a l � a n d � t h e � p a r a � i a l � r e s u l t s � i s � i n d e p e n d e n t � o f � t h e � b e a m � o r d e r � N.T h e � f a r f i e l d � d i � e r g e n c e � a n g l e o f � d i f f r a c t e d � C F G B s � f i r s t � i n c r e a s e s � a n d � t h e n � t e n d s � t o � a � s u t u r e d � � a l u e � � i t h � i n c r e a s i n g t h e � p a r a m e t e r .W i t h � i n c r e a s � �i n t h e t r u n c a t i o n a r a m e t e r t h e f a r f i e l d d i � e r e n c e a n l e f i r s t d e c r e a s e s a n d t h e n t e n d s t o a m i n i m u m � a l u e. T h e g � � � p �� � � g � g � � � � � � � � � f a r f i e l d � d i � e r g e n c e � a n g l e � o f � d i f f r a c t e d � C F G B s � i s � n e a r l � � i n d e p e n d e n t � o f � t h e � b e a m � o r d e r � N. � � K e W� � d � c i r c u l a r � f l a t t e n e d � G a u s s i a n � b e a m� f a r f i e l d � r o e r t c i r c u l a r � a e r t u r e d i f f r a c t i o n �� p p �� p
对高斯光束传输理论的一些学习笔记
高斯光束传输理论研究光与光纤耦合的时候，必须清楚的知道高斯光束在自由空间中是如何传输的，还有光束经过光学元件后高斯光束如何变化。
高斯光束的传输规律激光光束具有方向性好的特点，光束的能量在空间的分布高度的集中在光的传播方向上，其光束具有一定的发散角，光束分布有着特殊的结构。
由球面波构成谐振腔产生的激光束，在它的横截面上，光强是以高斯函数型分布的，称为高斯光束。
高斯光束在光学设计中有着广泛的应用。
沿z 轴方向传播的基模高斯光束可以表示为如下的一般形式：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--=])2([exp ))(exp()(),,(222200f z arctg R r z k i z r z E z y x E ωωω （1）其中E 0为常数因子，zf z z f f z f z f z z R R 22)(])(1[)(+=+=+==20)(1)(fzz +=ωω；222y x r +=；λπ2=k ；λπω20=f ；πλωf =0；（2） ω0为基模高斯光束的腰斑半径；f 为高斯光束的共焦参数；R(z)为与传播轴相较于z 点的高斯光束等相位面的曲率半径；由上式我们可以看出，高斯光束具有下述基本性质：（1）基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯函数))(exp(22z r ω-所描述的规律从中心（即传输轴线）向外平滑地降落。
由振幅降落到中心值的1/e 的点所定义的光斑半径为22020)(1)(1)(πωλωωωz fz z +=+= 可见，光斑半径随坐标z 按照双曲线规律增大1)(2222=-f z z ωω在z=0处，0)(ωω=z ，为极小值。
双曲线的对称轴为z 轴，基模高斯光束是上式双曲线绕z 轴旋转所构成的回转双曲面为界的。
（2）基模高斯光束的相移相位因子由下式决定fzarctg R r z k z y x -+=)2(),,(2φ它描述高斯光束在点（x,y,z ）处相对于原点（0,0,0）处的相位滞后。
高斯光束通过含硬边光阑复杂光学系统的传输
文章编号:100123806(2003)0420299203高斯光束通过含硬边光阑复杂光学系统的传输3赵光普1,2 吕百达1,3(1四川大学激光物理与化学研究所,成都,610064) (2宜宾学院电子信息与工程系,宜宾,644007)(3华中科技大学激光技术国家重点实验室,武汉,430074)摘要:使用矩阵分解方法,推导出了高斯光束通过内含硬边光阑AB CD 光学系统的解析传输公式,并作了物理分析。
以高斯光束通过空间滤波器所作的数值计算为例对理论结果进行了说明。
对进一步的推广应用亦作了讨论。
关键词:传输公式;矩阵分解;含硬边光阑AB CD 光学系统;高斯光束中图分类号:O435 文献标识码:APropagation of G aussian beams passing through complicated ABCD opticalsystem with internal hard 2edge apertureZhao Guangpu 1,2,L üB ai da 1,3(1Institute of Laser Physics and Chemistry ,Sichuan University ,Chengdu ,610064)(2Department of Electronic Information and Engineering ,Y ibin College ,Y ibin ,644007)(3National Laboratory of Laser Technology ,HUST ,Wuhan ,430074)Abstract :Based on matrix decomposition method ,the analytical propagation expression for G aussian beams passing through complicated AB CD optical systems with internal hard 2edge aperture is derived and analyzed physically.The theoretical result is illustrated with numerical exam ples of G aussian beams passing through a spatial filter.Finally its extensive application is also discussed.K ey w ords :propagation equation ;matrix decomposition ;AB CD optical system with internal hard 2edge aperture ;G aussian beam 3华中科技大学激光技术国家重点实验室资助项目。
激光原理：7-2高斯光束的传输规律
第7章 高斯光束
一、球面波的R参数 R(z)=z
R(z):等相位面曲率半径
R(z) z
0
z
二、ABCD定律
若某元件的光学变换矩阵为 CA
B D
，则通过此元件
前、后的球面波R参数和高斯光束q参数满足关系。
R AR B CR D
q Aq B Cq D
R、q:通过元件前的参数 R、q:通过元件后的参数
q2 q1 L
近轴情况 R2 l2 发散(+) 会聚(-)
1 11 R2 R1 F
1 q2
1 R2
i
w22
1 11
R2 R1 F
w2 w1
（薄透镜）
1 11 q2 q1 F
7.2 高斯光束的传输规律
第7章 高斯光束
例1：某高斯光束共焦参数为f=1m，将焦距F=1m的凸 透镜置於其腰右方l=2m处，求经透镜变换后的像光束 的焦参数f及其腰距透镜的距离l。
7.2 高斯光束的传输规律
三、球面波R参数的传输规律
1、传播L距离
R=R+L
传播L距离的光学变换矩阵
R 1 R L R L 0 R1
或 R=R(z)=z
R=R(z)=z
R-R=z-z=L ∴R=R+L
第7章 高斯光束
T
1 0
L 1
R=R(z) R=R(z)
z
0 z z
L
7.2 高斯光束的传输规律
2、通过透镜
q Fq Fq
1 0
透镜的光学变换矩阵
T
1
1
q
1 q 0 1 q 1
q 1 q
Fq F q
高斯光束通过含失调窄缝光阑的失调光学系统的传输特性
程 ； （ Ｏ 为 入 射 面 上 光 场 复 振 幅 分 布 。 设 口是 光 阑 半 宽 度 ， Ｅ・ｚ ，）
ｄ是 光 阑 中心偏 离 轴 的距 离 ，ａ是 光 阑相 对 于 ２轴 垂 轴 截 面 的倾角 ， 光 阑孔径 函数 为 则
～
１４ ５ ． ６ ｎ范 围 的 相 对 相 移 ， 光 阑横 向位 移 、 学 系 统 横 向位 移 和 角 位 移 均 引 起 焦 平 面 前 后 相 对 相 移 的 迅 速 且 光
变 化 。 随 光 阑 宽 度 变 小 ， 失 调 量 对 输 出光 束 特 性 的影 响越 明 显 。 各 关 键 词 ： 失 调 光 学 系统 ； 高 斯 光 束 ； 硬 边 窄 缝 光 阑孔 径 函数 ； 强 度 分 布 ； 相 对 相 移
第 ２ ０卷第 ９ 期
２０ ０ ８年 ９月
强 激 光 与 粒 子 束
ＨＩ Ｈ Ｐ Ｇ ＯＷ ＥＲ ＬＡＳ ＥＲ ＡＮ Ｄ ＰＡＲＴＩ ＣＬＥ ＢＥＡＭ Ｓ
Ｖｏ ． Ｏ Ｎｏ ９ １２ ， ．
Ｓ ｐ．， ０ ｅ ２ ０８
文 章 编 号 ： １ ０ — ３ ２ ２ ０ ） ９１ ４ — ５ ０ １４ ２ （ ０ ８ Ｏ — ４ ７０
Ｅ （ １０ １ｚ ， ）一 ｅ ｐ － Ｘ ｘ （ ｝ｗ５ ）
＊ 收 稿 日期 ：０ ８０ —７ ２ ０—５２ ； 修 订 日期 ：０ ８０ —８ ２０９ ３ ）男 。 士 ， 教 授 ， 事 激 光 技 术 和 光 学 信 息 处 理 研 究 ；ｈ ｊｐｉｓ ｙ ｈ ｏ ｔｍ． ｎ 沈 １ ６一 ， 博 副 从 ｓｘｏ ｔ ＠ ａ ｏ ．ｏ ｃ ｃ
矩阵表示法在贝塞尔-高斯光束通过多光阑复杂光学系统传输中的应用
（＝ （ （ ． （ ｒ未 ４ ） ） ）
由（ ） （ ） ３ 和 ４ 式可得 Ｅ （） 一 １ｒ （ ）一 ｅ ｐ ｉ ） ｘ ｘ（ ｅ ｐ （ Ｆ）× ２
１ 传 输 公 式
设 贝塞尔 一 光束 在 ＝ 高斯 Ｏ平 面上 的场 分 布为
收 稿 日期 ：０ ６ ０ ０ ２０ — ７— ２ 基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 （０ ７ ｏ８ 和 四 川省 教 育 厅 自然 科 学 重 点 基 金 资 助 项 目 ６ ７ ８４ ）
叠加
个 圆 孑 光 阑 的传 输 时在 近 场误 差 大 的 问题 ； Ｌ 同
时 ， 决 了光束模 式 展开法 光 阑 和 出射 面 积 只能位 解 于夫 琅 和费衍 射 区不 能位 于 菲涅 尔 衍射 区 的 困难 ． 数值 计算 表 明 ， 阵表示 法不 但 能达 到 足 够 的计 算 矩 精 度 ， 且可 节约 大量机 时 ． 而
其 中 ｋ＝２ｒＡ为 波数 ， ＇ ｒ ／ Ａ为 波长 ， 为输 入 面与 观 察 面 间的距 离 ， Ｂ 、 Ａ 、 Ｄ 为第 一个 光学 系统 的变换 矩 阵元 ， 为第一 类零 阶 贝塞尔 函数． 令
有 限扩 展范 围 的圆 对 称 激 光束 传 输 的计 算 模 拟 方 法． 迄今 为 止 ， 一方 法仅 用 于 研 究 了高 斯 光 束 通 这 过多 个 软 边 光 阑 和 硬 边 光 阑 自由 空 间 系 统 的传 输 Ｊ还 未 见将此 方法 用于激 光 束通 过 多个 硬 边 光 ， 阑复杂光 学系统 传输 的报 道 ． 文用 矩 阵 表示 法 研 本 究 了贝塞 尔一 高斯 光束 通 过 多个 圆 孑光 阑 复杂 光 学 Ｌ 系 统 的传 输 ， 出了 用 矩 阵 表示 的传 输 公 式 ， 不 给 它 仅 在夫 琅和 费 区可 得到 精确 的结果 ， 且 在 菲 涅尔 而 区 也 能 达 到 足 够 的 精 度 ， 决 了 Ｄ ｉｇ和 Ｘ． 解 ．Ｄｎ “ｕ６ 用复 高斯 展开 法研究 贝塞 尔 一 光束通 过 利 Ｌ 高斯
高斯光束传输方程及其解法
高斯光束传输方程及其解法光学是研究光的物理现象和规律的科学，光在自然界中广泛存在并起到重要作用，对于现代科技的发展也有着不可替代的作用。
高斯光束是一种常见的光束形式，其具有良好的传输性质和应用前景，因此得到广泛应用。
一、高斯光束的定义和特性高斯光束是指在自由空间中横向至少二次可微、纵向一次可微的光束，其光强分布和相位分布都可用高斯函数表征。
高斯光束具有如下的重要特性：1. 具有良好的射程特性，能够在传输过程中保持约束的形态；2. 横向光强分布呈高斯分布，纵向呈指数分布，能够满足许多光学应用中对于光束形态和光强的要求；3. 光束通过透镜进行聚焦后，仍然是高斯光束，具有良好的自聚焦能力；4. 具有相干性，能够满足干涉、衍射等光学现象的要求。
二、高斯光束传输方程的推导在光学应用中，高斯光束的传输是一个重要的问题，需要准确描述其传输过程。
高斯光束传输方程可以描述高斯光束在自由空间中传输的过程，其推导如下：设高斯光束的累计相位为φ(x,y,z)，其横向强度分布为I(x,y)，则光强的分布可以表示为：I(x,y,z)=|A(x,y,z)|^2其中，A(x,y,z)是高斯光束的复振幅，其表示为：A(x,y,z)=u(x,y,z)exp(jφ(x,y,z))其中u(x,y,z)表示高斯光束的复场，根据标量波动方程可以得到：△u+k^2u=0其中k=2π/λ为波数，λ为波长。
将复场u分解为实部和虚部，可得到：u=u1+ju2则标量波动方程可以分解为实部和虚部的两个方程：△u1+k^2u1=-△u2-k^2u2△u2+k^2u2=△u1-k^2u1再利用高斯光束的对称性和横向可微性，可以得到：▽^2u1+k^2u1=0▽^2u2+k^2u2=0则高斯光束的传输方程可以写为：∂A(x,y,z)/∂z+iβ(x,y,z)A(x,y,z)=0其中β(x,y,z)为传输因子，可以表示为：β(x,y,z)=k/2n[∂^2φ(x,y,z)/∂x^2+∂^2φ(x,y,z)/∂y^2]则高斯光束的累计相位和传输因子分别代表了光束的位相和弯曲程度，通过方程可以描述光束在自由空间中传输时的演化形态。
大学毕业论文-高斯光束通过梯度折射率介质的传输特性
本科毕业设计论文设计(论文)题目高斯光束通过梯度折射率介质中的传输特性指导教师姓名___________ 辛晓天________ ____学生姓名___________ 赵晓鹏________ ____学生学号_________ 200910320129___ ___ _院系_______理学院________ _专业 ____ 应用物理_____ _班级____ 0901___ _高斯光束通过梯度折射率介质中的传输特性学生姓名：赵晓鹏指导教师：辛晓天浙江工业大学理学院摘要本文利用广义惠更斯-菲涅耳衍射积分(Collins公式)法，导出了高斯光束在均匀介质和梯度折射率介质中传输的解析表达式。
对高斯光束在均匀介质和梯度折射率介质中传输特性进行了分析，重点分析了梯度折射率系数和传输距离对传输特性的影响。
结果表明，高斯光束在梯度折射率介质中传输时，随着梯度折射率的变化，轴上光强分布呈周期性变化；在梯度折射率系数一定时，其轴上光强分布关于光强最大位置是对称的。
关键词：广义衍射积分法、高斯光束、均匀介质、梯度折射率介质、传输特性- 1 -Propagation properties of Gaussian beamsin Gradient-Index mediumStudent: Zhao Xiao-Peng Advisor: Xin Xiao-TianCollege of ScienceZhejiang University of TechnologyAbstractUsing the generalized Huygens Fresnel diffraction integral (Collins formula), this paper deduces the analytical expression of Gauss beam in a homogeneous medium and gradient refractive index medium.The Gauss beam propagation in homogeneous media and the gradient refractive index medium are analyzed, and analyze the influence of gradient refractive index coefficient and transmission distance of the transmission characteristics.The results show that Gauss beams in the gradient index medium transmission, along with the change of gradient refractive index, light intensity on axis changes periodically;In the gradient refractive index coefficient is fixed, the axial intensity distribution of light intensity maximum position is symmetrical.Keywords：Generalized diffraction integral; Gaussian beam; homogeneous medium;Gradient-index media; Propagation properties- 2 -目录中文摘要 (i)英文摘要 ............................................................ i i 目录 ............................................................... i ii 第一章绪论 .................................................... 1-11.1研究动机与目的...............................................1.2研究背景.....................................................1.3研究方法.....................................................1.4论文內容概述................................................. 第二章基础概念 ................................................ 2-12.1高斯光束....................................................2.2梯度折射率光学元件..........................................2.2.1梯度折射率的分布.......................................2.2.2梯度折射率光学元件的发展前景...........................2.3柯林斯(C OLLINS)公式.......................................... 第三章高斯光束通过光学系统的传输 .............................. 3-13.1高斯光束通过一阶ABCD光学系统的传输..........................3.2高斯光束在均匀介质中的传输..................................3.3数值计算及分析第四章高斯光束在梯度折射率介质中的传输特性 .................... 4-1 4.1 高斯光束在梯度折射率介质中的传输 ...........................4.2 数值计算及分析 ............................................. 第五章结论 .................................................... 5-1 参考文献 ........................................................... R-1 致谢 ..................................................................- 3 -第一章绪论1.1 研究动机与目的近年来,各种新型空心激光束(Hollow Laser Beam , HLB) 相继出现 ,其应用领域不断扩大. 作为光通信光源、激光导管、光学镊子(光钳) 和光学扳手 ,空心激光束在通信,在微观粒子(如微米粒子、纳米粒子、自由电子、生物细胞和原子或分子等) 的精确、无接触操纵和控制,在激光加工和原子冷却等方面有着广泛的应用.本课题重点要解决的问题是研究高斯光束通过光学系统的传输特性，得到光束的传输和变换特性，为其实践中关于这类光束的应用解决提供实际的指导和借鉴。
几何光学中的光线传输矩阵高斯光束通过光学元件的变换
g1g2
0 g1g2 1
L
L
g1,2
1 2 f1,2
1
R1,2
rs为实数 rs Ce js C*e js
or
rs rmax sins
r0 rmax sin
r1 Ar0 B0 rmax sin
cos A D
2
rmax,
rs
n次往返传播矩阵:
Tn
1
sin
Asin n sinn 1
几何光学中的光线传输矩阵 （ABCD矩阵）
和
高斯光束通过光学元件的变换－ ABCD公式
一、几何光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）
r z
正,负号规定:
2. 自由空间区的光线矩阵
B
r0 ,0
r,
A
L
1. 表示光线的参数
r － 光线离光轴的距离 － 光线与光轴的夹角
傍轴光线 dr/dz = tan sin
L
1
B
L 2
L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
D
L f1
1
L f1
1
L f2
rs1 Ars Bs
or
s
1 B
rs1
Ars
s1
1 B
rs2 Ars1
Crs Ds
1 B
rs2
Ars1
Crs
D B
rs1
Ars
rs2
2(
A
2
D
)rs
1
AD
BCrs
0
AD BC 1
rs2
A处 qA = q0+ l
C处 qc= qB+ lc
高斯光束衍射极限
高斯光束衍射极限
高斯光束衍射极限是指高斯光束通过透镜或光阑进行衍射时，其传播距离与入射光束半径的比值达到最小值时的距离。
它是基于高斯光束的数学模型和光的传播理论计算得出的。
衍射极限与光束来源、光线传播的介质、光路长度、光束大小等因素密切相关。
对于高斯光束而言，由于其自然成像性优秀，加上其具有均匀的光强分布和理想的光束形状，因此在光学系统的设计和应用上应用广泛。
在实际应用中，高斯光束衍射极限的计算和理解对于光学系统的优化和性能的评估具有重要意义。
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LASER JOURNAL（Voi. 24 . No. 3 . 2003）
7
高斯光束通过光阑的传输
谭荣清
（中科院电子所，北京 100080）
提要：根据菲涅耳 - 基尔霍夫衍射积分公式，采用数值方法，详细研究了高斯光束经圆形孔径后的远场传输特性。 关键词：衍射，高斯光束，光束半径，远场发散角
参考文献
〔1〕 Yajun Li and EmiI WoIf . FocaI shift in focused truncated Guassian Jeams. Optics Comm. 1982，4（2 3）：151
〔2〕 Richard G. ScheII and George Tyras. Irradiance from an aperture with a truncated - Gaussian fieId distriJution. J. Opt . Soc. Am，1971，61（1）： 31
! 2003 年 2 月 15 日收稿
8
《激光杂志》2003 年第 24 卷第 3 期
LASER JOURNAL（VoI. 24 . No. 3 . 2003）
因此不能用上述定义确定光束半径。半上述积分式的积分 上限由无穷改取为有限值，可以使其收敛以得到 w（J Z），即：
w（b z）= !2 r（2b z）
引证文献(5条)
1.韩冰.纪雷刚.赵延磊 基于Zemax的多模高斯光束拟合[期刊论文]-科技创新导报 2009(19) 2.郭海.赵延磊.韩冰 基于DDE数据交换技术的Zemax数据传递[期刊论文]-科技创新导报 2009(19) 3.李汝烯.李汝恒.赵承良.陆璇辉 高阶贝塞尔-高斯光束通过圆环形硬边光阑的传输特性[期刊论文]-激光与红外
- Kirchhoff formuia. Key words：diffraction，Guassian beam，the beam’s radius，far - fieid divergence angie
1 引言!
高斯光束，是激光工程中最为常见最具代表性的激光光 束。由于任何光学系统的口径都是有限的，因此，研究高斯 光束通过光阑的传输，具有重要意义。虽然有很多工作对高 斯光束（ r，z） 2 r2 rdr
w（6 z）= $2 r（26 z）r（2 z）= 0
" U（ r，z） 2 rdr 0
表 2 不同截断系数下，各衍射峰的强度极值
Ratio 主峰 第 1 次峰 第 2 次峰 第 3 次峰 第 4 次峰
2.0
1 5 . 3x10 - 6 3 . 2x10 - 6 2 . 0x10 - 6 1 . 3x10 - 6
谭荣清 中科院电子所,北京,100080
激光杂志 LASER JOURNAL 2003,24(3) 5次
参考文献(3条) 1.Kazumasa Tanaka Focusing a Gaussian beam through a finite aperture lens 1985(08) 2.Richard GSchell;George Tyras Irradiance from an aperture with a truncated-Gaussian field distribution[外文期刊] 1971(01) 3.Yajun Li;Emil Wolf Focal shift in focused truncated Guassian beams[外文期刊] 1982(03)
霍夫公式，经圆孔衍射后，在距光阑平面为 Z 处的光场振幅 为
a 2"
"" U（ r，z）=
i !z
U（ ra ）ex（p - ik#）ra dra i$
00
其中，!为源点到场点的距离，在圆对称的情况下，由上
式可得
U（ r，z）= i!z2"ex（p - ikz）ex（p - ikr2 / 2 z）X
1.5
1 1 . 1x10 - 4 2 . 2x10 - 4 9 . 6x10 - 5 4 . 6x10 - 5
1.2
1 2 . 0x10 - 3 6 . 9x10 - 4 2 . 9x10 - 4 1 . 6x10 - 4
1.0
1 4 . 8x10 - 3 1 . 3x10 - 3 5 . 3x10 - 4 2 . 5x10 - 4
的斜率即应为光束的远场发散角。对于此种情况，与上述 3 种光束半径相对应的远场发散角分别为：
!e12
=
1.4
w0 zr
= 1 . 4#"w0
= 1 . 4$0
!0 .1
=
1.5
w0 zr
= 1 . 5#"w0
= 1 . 5$0
!0 .01
=
1.9
w0 zr
=
1 . 9#"w0
=
1 . 9$0
分别计算了不同截断系数下的光束远场发散角如图 6 所示。
考虑光阑孔径为圆形的情况。为了简化问题，假设入射
高斯光束的光腰位于光阑平面上，高斯光束与光阑的对称轴
重合。取光阑平面位置为 Z = 0，光阑半径为 a。则在光阑平
面上，入射高斯光束的振幅可表示为
U（ ra ）= cex（p - r2a / w20 ） 其中，w0 为高斯光束的束腰半径。根据菲涅耳 - 基尔
可以看出，即使在 Ratio = 0 . 5 的较为极端的情况下，第 1 次衍
0.5
1 6 . 28% 2 . 43% 1 . 29% 0 . 80%
着重考虑衍射主峰。图 2 给出了不同截断系数下，高斯 光束在 Z = 1000Zr 处的强度颁上，图中同时以点划线给出了 自由传输 的 高 斯 光 束 的 分 布 曲 线。从 图 中 可 以 看 出，对 于
Ratio = 2 的情况，光束的强度分布与自由传输的高斯光束几 乎相同。可见当光学系统的孔径为高斯光束直径的 2 倍以 上时，可以完全忽略衍射效应的影响。当 Ratio 由 1 . 5 依次 减小至 0 . 5 时，光束相应逐渐展宽。进一步的讨论涉及光束 半径的定义问题。光束半径有多种不同的具体定义。按近 年较为流行的 M2 传输因子的理论，光束的半径应以强度分 布的二阶矩定义，即：
图 1 为截断系数（光阑半径与光腰半径之比）Ratio 为 1
情况下，在光阑后 Z = 1000Zr 处的光强分布。从图中可以看 出，由于光阑的衍射效应，一方面在衍射主峰以外存在一系
列小的衍射旁瓣，另一方面衍射主峰宽度也有一定增大。考
虑各衍射峰所包含的能量，所得结果如表 1 所示。表中的数
据是分别以 各 截 断 系 数 下 的 主 峰 能 量 值 为 基 准 的 相 对 值。
光束宽度、光束发散角及传输特性等问题，以作为实验工作
和光学系统设计的参考。
1.2
1 0 . 68% 0 . 43% 0 . 24% 0 . 15%
2 计算方法
1.0
1 1 . 85% 0 . 85% 0 . 47% 0 . 29%
0.8
1 3 . 53% 1 . 44% 0 . 77% 0 . 48%
〔3〕 KaZumasa Tanaka et aI . Focusing a Gaussian Jeam through a finite aperture Iens. AppI . Optics，1985，2（4 8）：1998
高斯光束通过光阑的传输
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
w0.0（1 w0 ） 1510 1520 1560 1730 1950 2310 3520
为了研究光束的传输特性，固定 Ratio 为 1，计算得不同 距离 z 处的光束强度分布如图 4 所示。从图 4 中可以得到 在不同位置处如上述定义的光束半径如图 5 所示。从图 5 中可以看出，光束半径随距离的增加基本呈线性增加，直线
从图中可以看出，随着 Ratio 的从大到小，光束发散角呈指数
上升。可以总结出光束的发散角分别符合如下的经验公式：
!e12
=〔1 . 00
+
1 . 67ex（p -
Ratio - 0 . 5）〕"
0 . 39
#w0
=〔1 . 00
+
1 . 67ex（p -
Ratio 0.
-0 39
.
5）〕$0
!0 .1
种情况的光束。
按激光工程中通行的作法，分别定义 1/e2 半径 w 1/e2 ，
10% 半径 w0.1 ，及 1% 半径 w0.01 如下：
在光束的强度分布曲线 （I r）中，当 r 分别等于 w1/e2 、w0.1
及 w0.01 时，分别有： （I w1/ e2 ） = e-2 （I 0）= 0 . 135（I 0）
Propagation of the Guassian beam through an aperture
Tan Rongging （Institute of Eiectronics，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100080） Abstract：The propagation property in the far fieid of the Guassian beam through an aperture is studied in detaii by simuiation method according the Fresnei
" U（ r，z） 2 r2 rdr
r（2b z）=
0 b
" U（ r，z） 2 rdr 0
但这时在同一处的光斑半径 wJ 的具体值与 J 有关，将
随 J 的增大而增大。图 3 给出了 Ratio = 1，Z = 1000Zr 情况下，