收敛数列的性质

§2 收敛数列的性质

Ⅰ. 教学目的与要求

1.理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证明相关命题.

2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限.

3．掌握数列极限迫敛性定理 、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性.

Ⅱ. 教学重点与难点:

重点: 收敛数列的性质.

难点: 收敛数列的性质的证明及其应用. Ⅲ. 讲授内容

收敛数列有如下一些重要性质：

定理2．2(唯一性) 若数列}{n a 收敛，则它只有一个极限．

证 设a 是}{n a 的一个极限．我们证明：对任何数b a b ,≠不是}{n a 的极限．事实上，若取||2

1

0a b -=

ε，则按定义'1，在U(a );0ε之外至多只有}{n a 中有限个项，从而在U(0;εb )内至多只有{}n a 中有限个项；所以b 不是}{n a 的极限．这就证明了收敛数列只能有一个极限． 一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数．我们单凭这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小．以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实．

定理2．3(有界性) 若数列}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数有

.||M a n ≤

证 设a a n n =∞

→lim 取1=ε，存在正数N ，对一切n >N 有

1||<-a a n 即 .11+<<-a a a n 记 |},1||,1||,||,||,m ax {|21+-=a a a a a M N

则对一切正整数n 都有n a ≤M ． 注 有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列(){

}n

1-有界，但它并

不收敛．

定理2.4 (保号性) 若0lim >=∞

→a a n n (或<0)，则对任何),0(a a ∈' (或a '

))0,(a ∈，

存在正数N ，使得当N n >时有a a n '>(或a a n '<)．

证 设0>a ．取a a '-=ε(>0)，则存在正数N ，使得当N n >时有a a n >

a '=-ε，这就证得结果．对于0

注 在应用保号性时，经常取2

a

a ='.

定理2.5(保不等式性) 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列．若存在正数0N ，使得当0N n >时，有n n b a <，则.lim lim n n n n b a ∞

→∞

→≤

证 设,0.lim ,lim >==∞

→∞

→ε任给b b a a n n n n 分别存在正数n N N ，使得当与211N >时，

有

n a a <-ε， （1）

当2N n >时有

ε+

取

{}210,,max N N N N =，则当N n >时，按假设及不等式(1)和(2)有

,εε+<≤<-b b a a n n

由此得到.2ε+

→n n a lim .lim n n b ∞

→

请学生思考：如果把定理2.5中的条件n n b a ≤换成严格不等式

→∞

→<，并给出理由 .

例1 设() ,2,10=≥n a n ．证明：若,lim a a n n =∞

→则

.lim a a n n =∞

→ （3）

证 由定理2.5可得.0≥a

若0=a ，则由0lim =∞

→n n a ，任给0>ε，存在正数N ，使得当N n >时有

2ε，从而ε

→n n a

若0>a ，则有

a

a a a

a a a a a n n n n -≤

+-=

-.

任给0>ε，由a a n n =∞

→lim ，存在正数N ，使得当N n >时有

,εa a a n <-

从而

ε<-a a n ．(3)式得证．

定理 7.2(迫敛性) 设收敛数列{}{}n n b a ,都以a 为极限，数列{}n c 满足： 存在正数0N ，当0N n >时有

n n n b c a ≤≤， (4) 则数列{}n c 收敛，且a c n n =∞

→lim ．

证 任给0>ε，由a b a n n n n ==∞

→∞

→lim lim ，分别存在正数1N 与2N ，使得当n >

1N 时有

n a a <-ε， (5) 当2N n >时有

ε+时,不等式(4)、(5)、(6)同时成立，即有

εε+<≤≤<-a b c a a n n n ．

从而有ε<-a c n ，这就证得所要的结果． 定理2．6不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限 的工具．

例2 求数列{

n

n }的极限．

解 记n n n h n a +==1，这里()10>>n h n ，则有

()().2

112

n n

n h n n h n ->

+= 由上式得 ()11

2

0>-<

2

111-+

≤+=≤n h a n n . (7)