收敛数列的性质
收敛数列的性质(经典课件)
.四则运算法则：对于收敛数列，可以进行加法、减法、乘法和除法运算，得到的结果 仍然是收敛的，并且其极限可以通过对应的运算法则得到。
.收敛数列的子数列也收敛：如果一个数列收敛，那么它的任何子数列也收敛，并且收 敛于相同的极限。
收敛数列的性质(经典课 件)
演讲人
收敛数列具有以下几个重要的性质：
.有界性：收敛数列是有界的，即存在一个正数 ，使得数列的所有项都在区间 内。 这是因为收敛数列的极限存在，可以取极限的绝对值加上一个足够大的正数作为界。
.单调性（对于部分数列）：对于部分数列来说，如果数列是单调递增或单调递减的， 则收敛数列的极限与数列的单调性一致。也就是说，如果数列是单调递增的，那么 它的极限是不超过数列的所有项的最大值；如果数列是单调递减的，那么它的极限 是不低于数列的所有项的最小值。
谢谢
Байду номын сангаас
收敛数列的性质和函数极限的性质
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xnaa 2ba 2b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
同理, 因 limynb, 故存在 N2 ,
n
使当 n > N2 时, 有
从而
ynba 2ba 2b
取 N m N 1 ,N a 2 ,x 则当 n > N 时, 便有
组成的数列：
1 2k
是其子数列. 它的第k 项是 x n kx 2k2 1 k (k1 ,2 ,3 ， )
(2) 收敛数列与其子数列的关系
定理2.4
若nl i m xna, 则 {xn}的任意子 { xnk } 也收敛，且 kl i m xnka.
证设
的任一子数列 .
若
则 0, N,当
时, 有
第二节
第二章
极限的基本性质
一、收敛数列的性质 1. 唯一性 2. 有界性 3. 保号性、保序性
4. 收敛数列与其子列的关系
第二章
二、函数极限的性质 1. 唯一性 2. 局部有界性 3. 局部保号性 4. 函数极限与数列极限的关系
一、收敛数列的性质
1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性)
函数 f (x) 有界.
3. 局部保号性
定理2.3' (函数极限的局部保号性)
(1) 如果
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f(x)0. (f(x)0)
(2) 如果
据此，可由函极数限在符 该号点推邻得域函内数的在符该号点 推得邻极域限内符的号符号
§2.2收敛数列性质
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
12
《数学分析》(1)
§2.2 收敛数列的性质
1 1 1 练习1 求极限: lim n n 1 n 2 n n
1 解： n n n 1
n
lim
n
1 n n
注 有界性是数列收敛的必要条件, 不是充分条件. n 例:数列 {(1) } 是有界的, 但却不收敛. 推论 无界数列必定发散.
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
3
《数学分析》(1)
§2.2 收敛数列的性质
a n a , 且b a c, 定理 2.4（保号性） 设 lim n
当n N时, 有 a n bn .
ab 证 由 于a b, 由保号性 2 ab an . N 1 N , 当n N 1时, 2 ab bn . N 2 N , 当n N 2时, 2
取N max{N 1 , N 2 }, 当n N时, a n bn .
二、 极限的四则运算
定理2.7
设 lim an a , lim bn b, 则
n n
n
(1) lim(a n bn ) a b;
( 2) lim(a n bn ) a b;
n
an a ( 3) lim , 其中b 0. n b b n
n
则n n 1 hn ,
2 . n
n( n 1) 2 n (1 hn ) 1 hn n 2 , 则hn 2 n 2 故 1 n 1 hn 1 . 又因 n 2 1 , l im 1 l im 1 n n n
§2.2收敛数列的性质
n hn 1
证毕
an 例5. 证明: lim 0 ，其中 a 0 . n n ! 证明：当 n [ a ] 1 时，有
k a a a a a a a a a a 0 n! 1 2 [a] ([a] 1) ([a] 2) (n 1) n [a]! n
当 n N1 时，有：
an a
(1) (2)
当 n N 2 时，有： bn b
取 N max N1 , N 2 0, 则当 n N 时, 有
(1)(2)式同时成立. 进而
an a bb 2 ① an bn a b b nbn
M max x1 , x2 , , x N , a 1 , a 1
xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
此定理的 逆否命题？
3. 收敛数列的保号性. 定理3 若 且 时, 有 直观:
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
定理特殊情况
直观:
yn a 或 zn a
a
(1) yn xn zn ( n N 0 )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
想 证
寻找N 是关键
0 , N , 当 n N 时, 有 xn a ,
证明直观:
收敛数列的性质
§2.2 收敛数列的性质本节主要教学内容：收敛数列的性质；运算法则；子列及其收敛性。
教学方法与设计：性质的证明以保序性为重点，以训练)(N -ε定义为主要目的；多以例题讲解运算法则（包括迫敛性）；子列及其收敛性为本节的难点，以子列的概念和)(N -ε定义突破之。
一、收敛数列的性质1、极限的唯一性：若}{n a 收敛，则它的极限是唯一的。
证明：设b a a a n n n n ==∞→∞→lim ,lim ，则由N -ε定义及P 3例2和P 4习题3知a=b 。
2、有界性：若}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列。
即N n M ∈∀>∃,0有M a n ≤。
证明：设.l i m a n =∞→取N n N N >∀∈∃=,,1ε有.1<-a a n 即a a n +≤1，取{}N a a a a M ,,,,1m a x 21 +=，则N n ∈∀有.M a n ≤注意：有界性只是数列收敛的必要条件而非充分条件。
例如数列{}n)1(-有界但不收敛。
当然：无界⇒发散。
3、保序性：若b b a a n n n n ==∞→∞→lim .lim .且b a <，则N n >∀有n n b a <。
证明：取,0)(21>-=a b ε由N -ε定义有： ε<-⇒>∀∃a a N n N n 11,，即)(21b a a n +<； （1）ε<-⇒>∀∃b b N n N n 22,，即n b b a <+)(21。
（2）取},m ax {21N N N =，则N n >∀有n n b a <。
1o 、推论1：若.lim b a a n n <=∞→则b a N n N n <⇒>∀∃,.2o 、推论2：若0lim <=∞→a a n n ,则.0,<⇒>∀∃n a N n N3o 、推论3：（不等式定理）。
1-4收敛数列的性质解析
lim
n
5n2
4n
1
lim
n
2 5
3
n 4
n
4
n2 1
n2
3
4
lim 2
n
lim 5
n
lim
n
lim
n
n 4
n
lim
n
lim
n
n2 1
n2
2 5
例3: 设 | q | 1, 计算极限 lim(1 q q2 ... qn1 ) n
lim(1 q q2 ... qn1 )
n
1 qn lim
n 1 q
1
qn
lim lim
n 1 q n 1 q
1 1 limqn 1 q 1 q n
1. 1q
三、 无穷小
定义: 如果收敛数列{an }的极限为0,那么这个数列 称为无穷小列, 简称无穷小.
定理6 : 1o{an }为无穷小的充要条件是{| an |}为无穷小;
2o 两个无穷小之和(或差)仍是无穷小;
比如：数列xn (1)n1 是发散的.
数列{sin n}是发散的
4. 不等式性质
定理4：
1o
设
lim
n
an
a,
, 满足
a
, 那么当
n充分大时有an ; an ;
2o
设
lim
n
a
n
a,
lim
n
bn
b, 且a
b, 那么当
n充分大时有 an bn;
3o
设
lim
n
a
n
a
,
lim
n
bn
b,
收敛数列的性质
§1.2 收敛数列的性质收敛数列有如下一些重要性质：定理1（唯一性）： 数列 n x 不能收敛于两个不同的极限。
即数列收敛，则它只有一个极限。
证明：设a 和b 为n x 的任意两个极限，下证b a =。
由极限的定义，对0>∀ε，必分别∃自然数21,N N ，当1N n >时，有ε<-a x n (1)当2N n >时，有 ε<-b x n (2)令{}21,N N Max N =，当N n >时，（1），（2）同时成立。
现考虑： εεε2)()(=+<-+-≤---=-a x b x a x b x b a n n n n 由于b a ,均为常数b a =⇒，所以n x 的极限只能有一个。
定理2 （有界性）： 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。
即存在一个正数M ，使得对一切正整数n 有||n a M ≤。
证明：设lim n n a a →∞=。
取1ε=，则存在正数N ，对一切n N >有||1n a a -<即11n a a a -<<+。
记12max{||,||,,||,|1|,|1|}N M a a a a a =-+ ，则对一切正整数n 有||n a M ≤。
定理3（保不等式性）： 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列。
若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则limlim n n n n a b →∞→∞≤。
证明： 设lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==。
0ε∀>，分别存在正数1N 与2N ，使得当1n N >时有n a a ε-<，使得当2n N >时有n b b ε<+。
取012max{,,}N N N N =，则当n N >时有n n a a b b εε-<≤<+。
由此得到2a b ε<+。
高考收敛数列知识点归纳
高考收敛数列知识点归纳高考数学中，数列是一个重要的概念，它在不同的考题中经常出现。
其中，收敛数列更是一个被广泛讨论的知识点。
本文将对高考收敛数列的相关概念、性质以及解题方法进行归纳总结，以帮助广大考生更好地应对数学考试。
一、收敛数列的概念在数列的学习过程中，我们经常会遇到一类特殊的数列，即收敛数列。
所谓收敛数列，就是在数列的后项无限逼近某一确定的数。
举个例子来说，考虑数列{1，0.5，0.25，0.125，…}，该数列中的每个数都是前一个数除以2得到的。
我们可以看到，这个数列中的每个数都无限接近于0，而0正是该数列的极限值。
因此，我们可以说这个数列是一个收敛数列。
二、收敛数列的性质收敛数列有一些重要的性质，掌握这些性质对于解题至关重要。
下面我们来介绍几个常见的性质。
1. 收敛数列的极限唯一性对于一个收敛数列，它的极限是唯一的。
也就是说，一个数列只能收敛于一个确定的数。
这个性质在解题过程中经常被用到。
2. 收敛数列的有界性对于一个收敛数列，它是有界的。
也就是说，存在一个正数M，当数列中的所有项的绝对值大于M时，这个数列是发散的；当数列中的所有项的绝对值小于或等于M时，这个数列是有界的。
3. 收敛数列的保序性对于一个收敛数列，它是保持有序的。
也就是说，如果数列中的每一项都大于（或小于）极限值，那么其后项也是大于（或小于）极限值的。
三、解决收敛数列的方法在高考解题中，遇到收敛数列的题目并不少见。
为了更好地解决这类问题，我们需要掌握一些常用的方法。
1. 利用收敛数列的定义对于一个收敛数列，我们可以利用其定义来证明一些性质。
例如，在证明某个数列是有界的时候，我们可以采用反证法，假设数列是无界的，然后利用收敛数列的定义推导出矛盾，从而得出结论。
2. 利用数列的性质进行推导在解决数列题目时，我们可以利用数列的性质来进行推导。
例如，在证明某个数列的极限存在时，我们可以利用数列有界性质，找到一个上界和下界，然后利用夹逼定理来推导出结论。
收敛数列的性质
性质4: “两边夹”定理 设an , bn 为收敛数列,且 lim an lim bn a
n n
若 自然数 N 0 ,使当 n N 0时,有 an cn bn 则 lim cn a （迫敛性）
n
性质5: 极限的四则运算法则
若 lim an a, lim bn b ,则
n n
（1） lim (an bn ) lim an lim bn a b
n n n
(an bn ) lim an lim bn （3） lim ( ) (b 0) n b lim bn b n
性质1:收敛的数列必定有界（有界性）
注意：逆命题不成立.有界未必收敛.
例如： xn (1)n
推论：无界数列必定发散.
n
保号性
性质2:若 lim xn a p( p) ,则 正整数
N,使当 n N 时,有: xn p( p) 推论1:若 lim xn a 0( 0) ,则 正整数 N,使当 n N 时,有: xn 0( 0)
n
lim an
n
推论2:如果数列 xn 从某项起有 xn 0( 0),且
lim xn a,那么 a 0( 0)
n
注意:如果数列 xn 0( 0) , lim xn a不能推 出
a 0( 0)
n
1 例如：lim n n
性质3:收敛数列的极限是唯一的（唯一性）
第2节 收敛数列的性质
1 n
2 2 n n n n 2 n 2n
2
例5.
设 0 a1 a2 ak 则
lim n
n
a a
n 1 n 2
a ak
n k
证明： 由不等式
n n n n n ak n ak n a1 a2 ak n kak ak
an M , n 1,2,3,
则称M是{an }的上界.
相应的, 可以给出有下界的定义
一个数列即有上界又有下界, 则称为有界数列.
定义: 对数列{ x n }, 若存在正数 M , 使得一切自然数 n, 恒有 x n M 成立, 则称数列{ x n }有界；否则, 称为无界.
n }; 有界 例如, 数列 { n1
n 又 lim 2 lim n n n n
1
1 1 n n 1 lim 2 lim 1, 由夹逼定理得 n n 1 n 1 1 2 n 1 1 1 lim( 2 ) 1. 2 2 n n 1 n 2 n n
1,
例4
设a 0, 求证 : lim a 1
则对一切自然数n,皆有 x n M ,
故xn 有界.
注：有界未必一定收敛。（有界性是收敛的必要条件）
比如： 数列x n ( 1) n 1 是发散的.
推论
无界数列必定发散.
定理2.3 (数列极限的保序性）
1o 设 lim an a , 且 a , 则N,当
n
见教材P8图形
证明
a (1)取 , N 1 ,当n N 1 , | an a | 2 a 即an a ; 2 同理，取
第2节收敛数列的性质64585
n
n
令 n an a, 则所证结论转化为
若
lim
n
n
0,
则 lim 1 2 n 0.
n
n
证明：令 n an a, 则待证结果转化为:
若
lim
n
n
0,
则 lim 1 2 n 0.
n
n
由
lim
n
n
0,
记为 { xnk }
nk k (教材P12)
定理2.6 如果数列 {an } 收敛于 a ，那么它的任 一子数列也收敛于 a .
证 设 { xnk } 是数列 { xn } 的任一子列，由
lim
n
xn
a,
故对于任意给定的正数
存在着正整数 N , 当 n N 时，
| xn a | 成立。
N2 ,n
N 2 ,|
bn
b
|
2(a
, 1)
取N max{N1, N2 },当n N ,得 | anbn ab | .
(3) 先证 lim 1 1 n bn b
对于
|b| 2
0,
N 1 ,
s.t
当n
N1时,
|
bn
b
|
|
b 2
|
,
| bn || b | | bn b |
5o
lim
n
an
a的充要条件是{an
a}为无穷小.
例6
例4 :
已知
lim
数学分析2.2收敛数列的性质
第二章数列极限2 收敛数列的性质定理2.2(唯一性)：若数列{ a n }收敛，则它只有一个极限.证：设a=，对任何b≠a，取ε0=，则在(a;ε0)之外有{ a n }的有限个项，从而，在(b;ε0)之内至多只有{ a n }的有限个项，所以b不是{ a n }的极限。
所以收敛数列只有一个极限.定理2.3(有界性)：若数列{a n}收敛，则{a n}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n有：| a n |≤M.证：设=a，取ε=1，存在正数N，对一切n>N，有|a n -a|≤1；又|a n|-|a|≤|a n -a|≤1；∴|a n|≤1+|；记M=max{|a1|,|a2|,…, |a N|,1+|}，则|a n|≤M，∴{a n}为有界数列.所以收敛数列有界.定理2.4(保号性)：若=a>0(或<0)，则对任何a’∈(0,a)(或a’∈(a,0))，存在正数N，使得当n>N时，有a n>a’(或a n<a’).（注：在应用保号性时，常取a’=）证：当a>0时，取ε=a-a’>0，则存在正数N，使得n>N时，有a n>a-ε=a’；当a<0时，取ε=a’-a>0，则存在正数N，使得n>N时，有a n<ε+a=a’.所以原命题得证.定理2.5(保不等式性)：设{a n}与{b n}均为收敛数列. 若存在正数N0，使得当n> N0时，有a n≤b n，则.证：设，则∀ε，∃自然数N1 ,N2，使当n>N1时，有a n>a-ε;当n>N2时，有b n<ε+b.取N={N0,N1,N2}，则当n>N时，有a-ε<a n≤b n<ε+b，∴a<b+2ε，由ε的任意性，得a≤b，即. 所以原命题得证.注：当a n<b n时，取ε0，则∃正数N1,N2，使当n>N1时，有a< a n +ε0;当n>N2时，有b> b n-ε0. 取N=max{N0,N1,N2}，则当n>N时，有a<<b.∴a<b，即<.例1：设a n≥0(n=1,2,…). 证明=a，则.证：∀ε，∃自然数N，使得当n>N时，有|a n -a|<ε.∵a n≥0，由保不等式性可知a≥0；当a=0时，有a n<ε，则<ε，即|-0|<ε，∴.当a>0时，则有|-|=<, ∴.定理2.6(迫敛性)：设收敛数列{a n},{b n}都以a为极限，数列{c n}满足：存在正数N0时有a n≤c n≤b n，则数列{c n}收敛，且=a.证：∀ε，∃正数N1,N2，使当n>N1时，有a n>a-ε;当n>N2时，有b n<ε+a. 取N=max{ N0,N1,N2}，则当n>N时，有a-ε<a n≤c n≤b n<ε+a，即| c n -a|<ε; ∴数列{c n}收敛，且=a. 原命题得证。
1-3收敛数列的性质
2007／09／24§1.3 收敛数列的性质1. 唯一性定理1 每个收敛的数列只有一个极限.证,lim ,lim b x a x n n n n ==∞→∞→又设由定义知,使得 ,, ,021N N ∃>∀ε;,1ε<->a x N n n 恒有时当;,2ε<->b x N n n 恒有时当一、收敛数列的性质{},,max 21N N N =取时有则当N n >)()(a x b x b a n n ---=-ax b x n n -+-≤.2ε=ε+ε<.时才能成立上式仅当b a =故收敛数列极限唯一.2. 有界性定义: 对数列{n x }, 若存在正数M , 使得一切自然数n , 恒有M x n ≤成立, 则称数列{n x }有界, 否则, 称为无界.例如,};1{+n n 数列}.2{n 数列数轴上对应于有界数列的点n x 都落在闭区间],[M M -上.有界无界相应的, 可以给出有上界和有下界的定义定理2 收敛的数列必定有界.证,lim a x n n =∞→设由定义,,1=ε取,1,<->∃a x N n N n 时恒有使得当则.11+<<-a x a n 即有},1,1,,,max{1+-=a a x x M N 记,,M x n n ≤皆有则对一切自然数{}.有界故n x 注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.例1.)1(1是发散的证明数列+-=n n x 证,lim a x n n =∞→设由定义,,21=ε对于,21,,成立有时使得当则<->∃a x N n N n ),21,21(,+-∈>a a x N n n 时即当区间长度为1.,1,1两个数无休止地反复取而-n x 不可能同时位于长度为1的区间内..)1(1发散所以数列+-=n n x3. 子列极限一致性定义：在数列中任意抽取无限多项并保持}{n x 这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列}{n x 的子数列，简称子列.}{ k n x 记为一子数列也收敛于}{n x 定理3如果数列收敛于a , 那么它的任.a, N K =取,时则当K k >.N n n n N K k ≥=>,|ε<-a x k n 于是｜证, }{ }{ 的任一子列是数列设n n x x k,lim a x n n =∞→由总有时使得当 , N n >. ||成立ε<-a x n ,N 0, *∈∃>∀N ε故对.lim a x k n n =∞→证得数列是发散的，通常利用此定理来证明是发散的数列}{sin n )14(P .)1( 1是发散的数列比如：+-=n n x4. 不等式性质P20证明见 ; ; ,, ,lim 14oβαβαβα<><<=∞→n n n n a a n a a a 充分大时有那么当满足设：定理; , ,lim ,lim 2 n n n n n n o b a n b a b b a a <<==∞→∞→充分大时有那么当且设. , ,lim ,lim 3 b a b a n b b a a n n n n n n o ≤≤==∞→∞→那么有有充分大时且当设定理5.0,lim )3(;][lim )2(;][lim )1(,lim ,lim ≠=⋅=⋅±=±==∞→∞→∞→∞→∞→b b a b a b a b a b a b a b b a a n n n n n n n n n n n n n 其中则设证二、极限的四则运算; )1(绝对值的三角形不等式; , , )2(绝对值不等式添加项收敛数列的有界性b b b nn 11lim ,0)3(=≠∞→时先证, . , ,0112||时当对于N n t s N b >∃>2||||b b b n <-.02||||>>b b n 且此时,1时所以当N n >.||22b b bn -≤|||||11| b b b b b b n n n -=-.11lim ,b b n n =∞→即证得.)2(易见结论成立再由.||2|11| 2ε<-≤-b b bb b n n . , 0, ,lim 2t s N b b n n ∃>∀=∞→ε对由于.2|| , 22εb b b N n n <->有时当便有时因此当 ,},max{21N N n >说明：有+无=无，无+无=不定；有=⨯⨯无=不定;无,不定无推广到有限项.例2:145432lim 22-++-∞→n n n n n 22145432lim nn n n n -++-=∞→221lim 4lim 5lim 4lim 3lim 2lim n n n n n n n n n n ∞→∞→∞→∞→∞→∞→-++-=52=例3:)...1(lim 12-∞→++++n n q q q q q q n n n ---=∞→∞→1lim 11lim n n q q q ∞→---=lim 1111 .11 q-=qq n n --=∞→11lim .)...1(lim ,1||12-∞→++++<n n q q q q 计算极限设:解三、无穷小:定义. ,,0 }{ 简称无穷小数列称为无穷小列那么这个的极限为如果收敛数列n a:6定理;}||{}{ 1 为无穷小为无穷小的充要条件是n n oa a ;)( 2仍是无穷小或差两个无穷小之和o ; }{ ,}{,}{ 3为无穷小那么为有界数列为无穷小设n n n n oa c c a;}{ ,}{,N ,0 4*也是无穷小那么为无穷小如果设n n n n o a b n b a ∈≤≤.}{lim 5为无穷小的充要条件是a a a a n n n o -=∞→....lim ,lim :421a na a a a a n n n n =+++=∞→∞→求证已知例分析：a na a a n n =+++∞→...lim 210)()()(lim 21=-++-+-∞→na a a a a a n n ⇔.0lim 21=+++∞→n n n ααα 则0)(lim lim =-⇔=∞→∞→a a a a n n n n ,a a n n -=α令,0lim =∞→n n α若证明：, a a n n -=α令,0lim =∞→n n α若.0lim 21=+++∞→n n n ααα 则:则待证结果转化为,0lim =∞→n n α由 0,>∀ε对.2 ,εα<>n N n 时当,N *∈∃N 使得所以2)(||21εααα⋅-++++<n N n n N n nN αααα+++++ 212||21εααα++++<n N ,0lim 21=+++∞→n N n ααα 而,,N 1*1N N N >∈∃所以,1时使得当N n >,2||21εααα<+++n N ,22 21εεεααα=+<+++n n 故......所以四、夹逼准则(两边夹法则)定理7 如果数列}{},{n n y x 及}{n z 满足条件:,lim ,lim )2()3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n nn n ===≤≤∞→∞→那末数列{n x }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证,,a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>∃>∀N N ε,1ε<->a y N n n 时恒有当},,max{21N N N =取恒有时当,N n >,ε+<<ε-a y a n 即,2ε<->a z N n n 时恒有当,ε+<<ε-a z a n 上两式同时成立,,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n .lim a x n n =∴∞→例5).12111(lim 222nn n n n ++++++∞→ 求解,11112222+<++++<+n nn n n n n n nn n n n n 111lim lim 2+=+∞→∞→又,1=22111lim1limnn n n n +=+∞→∞→,1=由夹逼定理得.1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n1lim : 0, 61=>∞→na a n 求证设例nn na a n a 111 , 1, :≤≤>≥我们有时当先设证明,1lim 1=∞→nn n 由于知由夹逼定理 ,.11lim 1成立对≥=∞→a a nn 于是这时再设 ,1 ),1,0(1>∈-aa .1111lim 1lim 11==⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→n na a n n)13( lim :7 --+∞→n n n 求极限例n n n n n n 434134)13( 0 :<+≤-++=--+<我们有不等式解0.)13( lim ,}4{=--+∞→n n nn 所以是无穷小因为例８.ka a a ≤≤≤≤ 210设则knnkn n n a a a a =+++∞→ 21lim证明：kn n k n n k n n n n k k a ka a a a a a →≤+++≤= 21由夹逼定理，knnkn n n a a a a =+++∞→ 21lim五、小结收敛数列的性质有界性、唯一性、子列极限一致性、不等式性质极限的四则运算无穷小夹逼准则(两边夹法则)作业(习题集)习题1-3 A：2；3（偶数）；5；6；8；9.。
收敛数列的性质
如果数列{an}收敛 那么数列{an}一定有界 ❖定理2.4(收敛数列的保号性)
如果数列{an}收敛于a, 且a0(或a0) 那么存在正整 数N 当nN时 有an0(或an0) •推论
如果数列{an}从某项起有an0(或an0) 且数列{an} 收敛于a 那么a0(或a0)
定理2.5(保不等式性) 设{an}与{bn}均为收敛数列.若存在
正数N0 , 使得当N
N0时有an
bn
,
则
lim
n
an
lim
n
bn
.
证
设
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
则 0,分别存在N1与N2,
使得当n N1时有a an , (1)
当n N2时有bn b .
(2)
取N max{N0 , N1, N2}
故由迫敛性得证.
例2 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解
n
n2 n
1
n2 1
1
n2 n
n ,
n2 1
又 lim n
n lim
n2 n n
1 1 1 1,
n
lim n lim 1 1, 由夹逼定理得
n n2 1
n
1
1 n2
1
1
xn
a.
证 由定理2.5可得 a≥0
任给 0,
lim
n
xn
a,
(对1
a )
N使得当n N时恒有 xn a 1 ,
从而有 xn a
故 lim n
第二节 收敛数列的性质
{收敛。
（证明过程见书上33页，留与大家自己阅读理解）
小结 (1), 唯一性; (2), 有界性; (3), 保号性; (4), 四则运算法则; (5), 迫敛性定理; (6), 收敛数列与其子列的关系. 作业 P33: 1（3）（4）（6), 3, 4, 6.
第二章 数列极限
§2 收敛数列的性质
收敛数列的性质
定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一. 证明 假设同时有 lim xn =a 及 lim xn =b , 且 a<b.
n→∞ n→∞
按极限的定义, 对于ε = b−a >0, 存在充分大的正整数 N, 2 使当n>N时, 同时有 |xn−a|<ε = b−a 及|xn−b|<ε = b−a , 2 2 因此同时有 xn < b+a 及xn > b+a , 2 2 这是不可能的. 所以只能有a=b.
注：上定理条件中即便换为xn > 0(或xn < 0),也未必有 lim xn = a > 0 n →∞ 1 或 lim x n < 0 例如： x n = n→ ∞ n 定理4.（保不等式性）
(
)
设{an }与{bn }均为收敛数列.若存在正整数N 0 , 使当n > N 0时有
收敛数列的性质
定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一. 定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. 定理3(收敛数列的保号性) 如果数列{xn}收敛于a, 且a>b(或a<b), 那么存在正整 数N, 当n>N时, 有xn>b(或xn<b).
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§2 收敛数列的性质Ⅰ. 教学目的与要求1.理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证明相关命题.2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限.3．掌握数列极限迫敛性定理 、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性.Ⅱ. 教学重点与难点:重点: 收敛数列的性质.难点: 收敛数列的性质的证明及其应用. Ⅲ. 讲授内容收敛数列有如下一些重要性质：定理2．2(唯一性) 若数列}{n a 收敛，则它只有一个极限．证 设a 是}{n a 的一个极限．我们证明：对任何数b a b ,≠不是}{n a 的极限．事实上，若取||210a b -=ε，则按定义'1，在U(a );0ε之外至多只有}{n a 中有限个项，从而在U(0;εb )内至多只有{}n a 中有限个项；所以b 不是}{n a 的极限．这就证明了收敛数列只能有一个极限． 一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数．我们单凭这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小．以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实．定理2．3(有界性) 若数列}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数有.||M a n ≤证 设a a n n =∞→lim 取1=ε，存在正数N ，对一切n >N 有1||<-a a n 即 .11+<<-a a a n 记 |},1||,1||,||,||,m ax {|21+-=a a a a a M N则对一切正整数n 都有n a ≤M ． 注 有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列(){}n1-有界，但它并不收敛．定理2.4 (保号性) 若0lim >=∞→a a n n (或<0)，则对任何),0(a a ∈' (或a '))0,(a ∈，存在正数N ，使得当N n >时有a a n '>(或a a n '<)．证 设0>a ．取a a '-=ε(>0)，则存在正数N ，使得当N n >时有a a n >a '=-ε，这就证得结果．对于0<a 的情形，也可类似地证明．注 在应用保号性时，经常取2aa ='.定理2.5(保不等式性) 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列．若存在正数0N ，使得当0N n >时，有n n b a <，则.lim lim n n n n b a ∞→∞→≤证 设,0.lim ,lim >==∞→∞→ε任给b b a a n n n n 分别存在正数n N N ，使得当与211N >时，有n a a <-ε， （1）当2N n >时有ε+<b b n . (2)取{}210,,max N N N N =，则当N n >时，按假设及不等式(1)和(2)有,εε+<≤<-b b a a n n由此得到.2ε+<b a 由的ε任意性推得b a ≤，即≤∞→n n a lim .lim n n b ∞→请学生思考：如果把定理2.5中的条件n n b a ≤换成严格不等式<n a n b ，那么能否把结论换成?lim lim n n n n b a ∞→∞→<，并给出理由 .例1 设() ,2,10=≥n a n ．证明：若,lim a a n n =∞→则.lim a a n n =∞→ （3）证 由定理2.5可得.0≥a若0=a ，则由0lim =∞→n n a ，任给0>ε，存在正数N ，使得当N n >时有<n a2ε，从而ε<n a 即,0ε<-n a 故有.0lim =∞→n n a若0>a ，则有aa a aa a a a a n n n n -≤+-=-.任给0>ε，由a a n n =∞→lim ，存在正数N ，使得当N n >时有,εa a a n <-从而ε<-a a n ．(3)式得证．定理 7.2(迫敛性) 设收敛数列{}{}n n b a ,都以a 为极限，数列{}n c 满足： 存在正数0N ，当0N n >时有n n n b c a ≤≤， (4) 则数列{}n c 收敛，且a c n n =∞→lim ．证 任给0>ε，由a b a n n n n ==∞→∞→lim lim ，分别存在正数1N 与2N ，使得当n >1N 时有n a a <-ε， (5) 当2N n >时有ε+<a b n ． (6) 取{},,,m ax 210N N N N =，则当N n >时,不等式(4)、(5)、(6)同时成立，即有εε+<≤≤<-a b c a a n n n ．从而有ε<-a c n ，这就证得所要的结果． 定理2．6不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限 的工具．例2 求数列{nn }的极限．解 记n n n h n a +==1，这里()10>>n h n ，则有()().2112n nn h n n h n ->+= 由上式得 ()1120>-<<n n h n ，从而有 12111-+≤+=≤n h a n n . (7)数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+121n 是收敛于1的，因对任给的0>ε，取221ε+=N ，则当N n > 时有ε<--+1121n ．于是，不等式(7)的左右两边的极限皆为1，故由迫敛 性证得1lim =∞→n n n ．在求数列极限时，常需要使用极限的四则运算法则．定理2．7(四则运算法则) 若{}n a 与{}n b 为收敛数列，则{}n n b a +，-n a {}n b ，{}n n b a .也都是收敛数列，且有()n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→±=±lim lim lim ，().lim .lim .lim n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→=特别当n b 为常数c 时有().lim lim ,lim lim n n n n n n n n a c ca c a c a ∞→∞→∞→∞→=+=+若再假设0≠n b 及0lim ≠∞→n n b ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 也是收敛数列，且有 n n n n nnn b a b a ∞→∞→∞→=lim lim lim.证 由于()n n n n b a b a 1-+=-及nn n n b a b a 1.=，因此我们只须证明关于和、积与倒数运算的结论即可.设,lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→则对任给的,0>ε分别存在正数1N 与2N ，使得,ε<-n n b a 当,1N n > ,ε<-b b n 当.2N n >取{},,m ax 21N N N =则当N n >时上述两不等式同时成立，从而有1．()()().lim 2b a b a b b a a b a b a n n n n n n n +=+⇒<-+-≤+-+∞→ε2． ()().b b a b a a b b a b a a ab b a n n n n n n n n -+-≤-+-=- （8） 由收敛数列的有界性定理，存在正数M ，对一切n 有M b n <.于是，当N n >时由（8）式可得()εa M ab b a n n +<-.由ε的任意性，得ab b a n n n =∞→lim .3．由于,0lim ≠=∞→b b n n 根据收敛数列的保号性，存在正数3N ，则当>n 3N 时有b b n 21>.取{},,m ax 32N N N ='则当N n '>时有 222211bb b b b b b b b b n n n n ε<-<-=- 由ε的任意性，这就证得b b nn 11lim =∞→.例3 求01110111lim b n b nb n b a n a n a n a k k k k m m m m n ++++++++----∞→ ， 其中k m ≤，0,0≠≠k m b a ． 解 以kn-同乘分子分母后，所求极限式化为k k k k kk k m m k m m n nb n b n b b n a n a n a n a ----------∞→++++++++0111101111lim . 当0>α时有0lim =-∞→αnn .于是，当k m =时，上式除了分子分母的第一项分别为m a 与m b 外，期于各项的极限皆为0，故此时所求的极限等于mmb a ； 当k m <时，由于()∞→→-n n km 0，故此时所求的极限等于0．综上所述，得到⎪⎩⎪⎨⎧>==++++++++----.,0,,lim 1110111m k m k b ab b n b n b a a n a n a m m nn k k k k n m m m m例4 求,1lim +∞→nnn a a 其中1-≠a .解 若,1=a 则显然有211lim =+∞→nn n a a ; 若1<a ,则由0lim =∞→nn a 得()01lim lim lim 1lim =+=+∞→∞→∞→∞→n n n n n n nn a a a a 若1>a ,则.1011111lim 1lim =+=+=+∞→∞→nn n nn a a a 例5求().1limn n nn -+∞→解(),111111++=++=-+nnn n n n n由()∞→→+n n111及例1得 ∞→n lim().211111lim1=++=-+∞→nn n nn 最后，我们给出数列的子列概念和关于子列的一个重要定理．定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集+N 的无限子集，且<<< 21n n , <k n 则数列,,,,21k n n n a a a称为数列{}n a 的一个子列,简记为}{k n a .注1 由定义1可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都选自{}n a ，且保持这些项在{}n a 中的先后次序．{}k n a 中的第k 项是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k ≥．实际上{}k n 本身也是正整数列{}n 的子列．例如，子列{}k a 2由数列{}n a 的所有偶数项所组成，而子列{}12-k a 则由{}n a 的所有奇数项所组成．又{}n a 本身也是{}n a 的一个子列，此时k n k =，2,1=k ，.注2 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列．例如{}k a 2和{}12-k a 都是{}n a 的非平凡子列．由上节例8可知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限． 定理2．8 数列{}n a 收敛的充要条件是：{}n a 的任何非平凡子列都收敛．证 必要性 设a a n n =∞→lim ，{}k n a 是{}n a 的任一子列．任给0>ε，存在正数N ，使得当N k >时有ε<-a a k ．由于k n k ≥，故当N k >时更有N n k >，从而也有ε<-a a k n ，这就证明了{}k n a 收敛(且与{}n a 有相同的极限)．充分性 考虑{}n a 的非平凡子列{}k a 2，{}12-k a 与{}k a 3．按假设，它们都收 敛．由于}{6k a 既是{}k a 2，又是{}k a 3的子列，故由刚才证明的必要性，k k k k k k a a a 362lim lim lim ∞→∞→∞←==． （9）又{}36-k a 既是{}k a 2又是{}k a 3的子列，同样可得.lim lim 312k k k k a a ∞→-∞→= （10）(9)式与(10)式给出.lim lim 122-∞→∞→=k k k k a a所以由上节例7可知{}n a 收敛由定理2．8的证明可见，若数列{}n a 的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与{}n a 必收敛于同一个极限．于是，若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{}n a 一定发散．例如数列(){}n1-，其偶数项组成的子列(){}n21-收敛于1，而奇数项组成的子列(){}121--k 收敛于—1，从而(){}n1-发散.再如数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧2sin πn ，它的奇数项组成的子列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-π212sink 即为(){}11--k ，由于这个子列发散，故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧2sin πn 发散.由此可见，定理2.8是判断数列发散的有力工具．Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握收敛数列的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.P 2、3、5、7、8、9、10.Ⅴ课外作业:３３。