因式分解题型分类解析

因式分解

一、因式分解的概念：

因式分解（分解因式）：把一个多项式化为几个整式（）的形式。

二、因式分解的方法：

1、提公因式法：

（1）公因式的构成一般情况下有三部分：

①系数一各项系数的最大公约数；

②字母——各项含有的相同字母；

③指数——相同字母的最低次数；

（2）提公因式法的步骤：

第一步是找出公因式；

第二步是提取公因式并确定另一因式。

（3）注意：①提取完公因式后，看另一个因式的项数与原多项式的项数是否一致，可用来检验是否漏项；

②提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；

③如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。

2、公式法：

运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；

常用的公式：

①平方差公式： a2－b2＝

②完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝

a2－2ab＋b2＝

3、十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=

特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

一、按知识点：

题型一: 概念的理解：

例1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说出理由。

（1）、()ay ax y x a +=+ （2）、()()()112122

2

-+++=-++y y y x x y xy x

(3)、)3)(3(92

-+=-x x a a ax （4）、2

22)1(12x

x x x +=+

+ （5）、a a a a ••=223

例3、下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ） ①2

2

b

a -- ②2

242b

a - ③42

2--y x ④192

2+-b a ⑤

22)()(x y y x -+- ⑥14-x

题型五：十字相乘法：

例5、(1) 652

++x x (2) 672

+-x x (3)24142

++x x

(4)36152+-a a (5)542-+x x (6)22

-+x x

技巧四： 展开变换

例：a(a+2)+b(b+2)+2ab 分解因式x(x-1)-y(y-1)

技巧五：添项变换

例：分解因式x2+4x-12 分解因式x2-6x+8 分解因式a4+4

2

c

应用扩展：

因式分解在解方程与等式变换中的应用：

解方程0)2753)(3555()2653)(3555(=++-++x x x x

1.2.3.4.5.6.7.8.

3、若关于x 的多项式2

6x px --含有因式3x -，则实数p 的值为？

4、已知多项式2

ax bx c ++因式分解的结果是()()3143x x +-，求a+b+c 的值

方法总结：

题型三：数学中看错问题

例：两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成

()()219x x --，而另一位同学因看错了常数项而分解成()()224x x --，求原多项式。

变式：分解因式2

x ax b ++时，一位同学因看错了a 的值，分解的结果是()()16x x -+，

乙看错了b 而分解成()()21x x -+，求a+b 的值。

题型四：利用因式分解简便计算

（1）2 0042－4×2 004; （2）39×37－13×34

（3）2015+20152-2015×2016 （4）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21

（5）20152014

20142013

3333

-- （6）100019999⨯

（7）4322222n n n ++-⨯⨯ （8） 332201622016-20142016+2016-2017

-⨯

（9）2222111111112342005⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-

--- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

211-2004

题型五：利用因式分解化简求值

1

2

3

4、 已知2

(1)(2)1a a a b +-+=，求22

4424a ab b a b -+-+的值。

5、已知：x 3+x 2+x+1=0，求1+x+x 2+x 3+x 4+x 5+…+x 2007的值

6、 已知：，求（1）2

21

x x

+

（2）的值。

题型六：与整除有关的问题 1、求证: 2016

201520143

43103-⨯+⨯能被7整除。

（同底数）

2、 求证：791381279--能被45整除。（不同底数）

变式：求证：712255-能被250整除

1、 设n 为整数，求证：（2n+1）2－25能被4整除。

2、 求证：对于任意正整数n, 2

23232n n n n ++-+-一定是10的倍数。

思考1、两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么

思考2、3322-能被11至20直接的两个数整除，求这两个数

题型七：与三角形有关的问题 形状类问题：完全平方公式 1、已知

是

的三条边，且满足

，试判断

的形状。

变式：已知

是

的三条边，且满足2222

()3()a b c a b c ++=++，试判断

的形状。

若上述满足条件改为：2

2

22b ab c ac +=+

3、若一个三角形的两边长b a ,满足052422=+--+b a b a ，求第三边c 的取值范围．

符号类：平方差 2、 若

是三角形的三条边，求证：①

②2

2

2

2a b c ac -+-的符号