03-讲义：4.1 概述及三铰拱的受力分析

第四章静定拱和悬索结构
拱结构是一种主要承受轴向压力并由两端推力维持平衡的曲线或折线形构件。

拱结构的主要内力为压力，使构件摆脱了弯曲变形。

如采用抗压性能较好的材料（如砖石或混凝土），则能充分发挥材料性能。

悬索结构是由柔性受拉索及其边缘构件所形成的承重结构，它能充分利用高强材料的抗拉性能，可以做到跨度大、自重小、省材料、易施工。

本章主要针对这两种受力性能截然不同的结构，讲述其内力分析方法，并对受力特性进行讨论。

第一节概述和三铰拱的计算
拱式结构是应用较广泛的工程结构形式之一，我国远在古代就在桥梁和房屋建筑中采用了拱式结构。

图4-1（a）所示为修建于公元606年前的河北赵州桥，跨径37.02m，桥高7.23m，宽9.6m，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，经历了多次水灾、战乱和地震，却安然屹于清水河上，被称为中国工程界一绝。

在近代土木工程中，拱式结构是桥梁、隧道及屋盖中的重要结构型式之一。

图4-1(b)为2003年建成的主跨跨径达550m的上海芦浦大桥，是当今世界跨度第二长的钢结构拱桥，也是世界上首座完全采用焊接工艺连接的大型拱桥。

（a）（b）
图4-1 拱式结构工程实例
(a)赵州桥(b) 上海芦浦大桥
为了说明拱式结构和梁式结构的受力特点，可将图4-2(a)、图4-2(b)及图4-2(c) 所示三种情况做一对比，这三种情况下结构所受的荷载及跨度均相同。

图4-2(a)所示为简支梁，在竖向荷载作用下，梁内有弯矩和剪力。

图4-2(b)所示结构，其杆轴虽为曲线，但在竖向荷载作用下支座并不产生水平支反力，它的弯矩图与图4-2(a)所示简支梁相同（剪力和轴力发生变化），故称为曲梁。

曲梁在竖向荷载作用下将在支座B处产生水平位移。

若用支承链杆约束该处的位移则变为图4-2(c)所示的情况，这种结构在竖向荷载作用下会产生水平推力，故属于拱式结构。

由此可见，水平推力的存在是拱式结构区别于梁式结构的一个重要标志，因此通常又将拱式结构称为有推力结构。

图4-2 梁式结构与拱式结构
(a)简支梁（b ）简支曲梁（c ）拱
拱结构中由于存在水平推力，与相应简支梁相比，其弯矩和剪力较小，主要承受轴力且为压力。

因此，拱用料比梁节省，能跨越较大的跨度，而且可以充分利用抗拉性能差但抗压性能较强的材料，如砖、石和混凝土等。

但是，由于推力的存在，拱结构需要较为坚固的基础或支承结构（如墙、柱、墩等）。

图4-3所示为工程中常用的拱结构形式。

其中，图4-3(a)所示的三铰拱为静定结构，它是本章的主要研究对象。

图4-3(b)所示两铰拱和图4-3(c)所示无铰拱均为超静定结构，将在第七章力法中对它们进行研究。

实际工程中，在基础水平抗力较差的情况下，或为了消除推力对支承结构（如墙、柱等）的影响，常在支座位置处设置拉杆以抵抗水平推力，如图4-3(d)所示为带拉杆的三铰拱。

拉杆内所产生的拉力代替了水平推力，使支座在竖向荷载作用下只产生竖向反力。

为了获得较大的空间，拉杆有时做成如图4-3(e)所示的折线形式。

支座处两铰位在同一水平线上的三铰拱称为三铰平拱（图4-3(a)），若支座处两铰不在同一水平线上的三铰拱称为三铰斜拱，如图4-3(f)所示。

图4-3拱的形式
(a)三铰平拱 (b)两铰拱 (c)无铰拱 (d)带拉杆的三铰拱 (e)带折线形拉杆的三铰拱 (f)三铰斜拱 在三铰拱中，铰A 、B 称为拱趾，铰C 称为拱顶，拱顶通常设置在拱轴最高点处。

两个拱趾的水平距离l 称为拱的跨度。

由拱顶到拱趾连线的竖直距离f 称为拱高或矢高，如图4-4所示。

高跨比/f l 对拱结构的受力性能有着重要影响，其值一般在1～110/之间。

图4-4三铰拱各部位名称
下面主要讨论三铰拱在竖向荷载作用下支座反力和截面内力的计算方法，并将拱和相应梁加以比较，用以说明拱结构的受力特性。

一、支座反力的计算
如图4-5(a)所示三铰平拱承受竖向荷载（包括集中力偶）作用，共有四个支座反力，分别记为AV F 、BV F 和AH F 、BH F 。

这四个支座反力的求解，除了以上部整体为研究对象可列出三个平衡方程外，还可对AC (或BC)部分作为隔离体列出对拱顶铰C 取矩的平衡方程。

首先，由整体平衡条件
0B M =∑及0A M =∑可分别求得两个竖向支座反力，即：
()B i AV M F F l =∑ （4-1a ）
()A i BV M F F l =
∑ （4-1b ） 式中，()B i M F ∑表示拱上所有外荷载对B 点取矩（逆时针取正）的代数和，()A i M F ∑表
示拱上所有外荷载对A 点取矩（顺时针取正）的代数和。

图4-5(c)所示为与三铰拱同跨度并承受相同荷载的相应简支梁，其竖向支座反力记为0AV F 和
0BV
F ，很明显有： 0AV AV
F F =, 0BV BV F F = （4-2） 其次，由拱的整体平衡条件0x F =∑可得：
H BH AH F F F == （4-3）
式中，H F 为拱对支座的水平推力。

最后，取拱顶铰C 以左部分AC 段作为隔离体（图4-5(b)）研究，由0c M =∑得：
1()AC AV C i H F l M F F f -=∑0C M f = （4-4） 式中，()AC C i M F ∑为AC 段上外荷载对C 点取矩（逆时针取正）的代数和，0C M 为相应简支梁上拱顶铰C 对应截面的弯矩值。

图4-5 三铰平拱的受力分析
（a ）三铰平拱计算简图（b ）左半拱隔离体分析（c ）相应简支梁（d ）AK 隔离体分析
由此可见，在竖向荷载作用下，三铰平拱的支座反力有如下特点：
（1）支座反力与拱轴线形式无关，只与三个铰的位置有关；
（2）两个竖向支座反力与相应简支梁竖向支反力对应相等，这说明竖向支反力与拱高无关；
（3）水平推力H F 与相应简支梁拱顶对应截面上的弯矩成正比，而与拱高f 成反比。

即：拱
高越小，水平推力越大。

当0f →时，∞→H F ，这时体系形成几何瞬变体系。

因此，在设计中应根据实际情况适当选取高跨比，以满足结构受力和使用方面的要求。

二、内力的计算
求得支座反力后，根据截面法即可求得拱上任意截面的内力。

从拱上任意指定某一截面K ，K 截面的位置及方向由拱的轴线方程确定参数（,,K K K x y ϕ）(图4-5(a))。

取AK 段为隔离体(图4-5(d))，截面K 上的内力包括弯矩K M (设内侧受拉为正)，剪力K F 和轴力NK F ，剪力和轴力均以正方向示出。

由平衡条件
0K M =∑，即 ()0AK K AH K AV K k i M F y F x M F +-+=∑ 即：
0()AK K AV K k i AH K K H K M F x M F F y M F y =--=-∑ (4-5) 这里，()AK K i M F ∑
为AK 段上外荷载对K 点取矩（逆时针取正）之和，0K M 为相应简支梁上对应K 截面的弯矩。

为求剪力SK F ，在图4-5(d)中沿SK F 方向列力的投影平衡方程，即有：
()0()cos sin cos sin AK SK AV i K AH K SK K H K F F F F F F ϕϕϕϕ=--=-∑ (4-6)
同理，求轴力NK F 时列出沿NK F 方向的投影平衡方程，即有：
()0()sin cos sin cos AK NK i AV K AH K SK K H K F F F F F F ϕϕϕϕ=--=--∑ (4-7)
式(4-6)及式(4-7)中，()AK i F ∑为AK 段上外荷载在竖向投影的代数和（方向向下取正），0SK F 为
相应简支梁中对应K 截面的剪力。

K ϕ值为K 截面法线的倾角（如图4-5(a)所示的坐标系中），在拱顶铰以左取正，以右取负。

K ϕ可根据其与拱轴方程)(x f y =之间的关系式确定，即：
c o s ,s i n c o s K K K K
x y ϕϕϕ='== (4-8) 式(4-5)至(4-7)即是三铰平拱在竖向荷载作用下任意截面的内力计算表达式。

由式（4-5）可知，由于水平推力H F 的作用，拱截面上的弯矩比相应简支梁上对应截面的弯矩要小。

但式(4-7)则表明，在拱截面上产生了相应简支梁中所不存在的轴力，且为压力。

弯矩使截面上产生不均匀的正应力，而轴力则引起均匀的正应力，因此拱截面上的应力分布比梁截面上的应力分布要均匀些，拱比梁要节省材料。