二年级奥数第七讲：重叠问题

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二年级重叠问题

重叠问题---趣味数学
例：某小学二（1）班人人都参加课外活动，有20人参加数学兴趣班，有25人参加作文兴趣班，其中5人两项都参加，问二（1）班共有多少人？
动脑筋：图中左圈中表示数学兴趣班的人数，右圈表示作文兴趣班的人数，两圈重叠的部份（即图中阴影部份），表示两项都参加的人数。

从图中可以看出，两项都参加的5人被算了2次，重复了。

所以要从两组共有的人数中减去重复的5人。

列式如下：
20+25=45（人）45-5=40（人）
答：二（1）班共有40人。

我会啦！
1、二（2）班同学人人都订阅报纸，订《数学报》的有38人，订
《中国儿童报》的有30人，其中8人这两种都订，问二（2）
班共有多少人？
2、老师出了两组题给全班45名同学做，做对第一组有38人，做
对第二组的有42人，两组题全做对的有多少名同学？
数独-----九宫格。

二年级奥数第七讲：重叠问题

第七讲重叠问题哪吒智闯水晶宫---哪吒被骗了哪吒继续往前去寻宝，只见一位白胡子老爷爷拿着哪吒地乾坤圈站在大厅中间。

“那是我的乾坤圈！”哪吒激动的叫起来。

哪吒赶紧跑过去一看，“怎么有两个乾坤圈？”　白胡子老爷爷微笑的说：“哪吒不认识我了？”哪吒仔细打量了这位老爷爷后说：“我记起来了，你是太白金星。

”太白金星：“哪吒，我听说了你的事后，特意来帮助你的，你看，我帮你把乾坤圈要回来了。

”哪吒：“那怎么有两个乾坤圈？”太白金星：“这其中一个是我的金钢圈，另一个是你的乾坤圈，刚才我拿一个圈称连我共重67千克，拿另一个圈称连我共重68千克，我的金刚圈比你的乾坤圈重，你猜得出来你的乾坤圈和我的金刚圈多重，我就把你的宝贝还给你”哪吒：“太白金星，你说话可得算数！”太白金星：“那当然了，我胡子都白了，还会骗你？你就在这里想吧，我有事先走，一会儿就回来”哪吒在原地想了一天一夜，也没有想出答案，他明白了，他并不知道太白金星的体重是不可能算出乾坤圈和金刚圈的重量的，他被骗了，那个老人根本不是太白金星！他不过是中了龙王的圈套而已，哪吒气冲冲的继续前进，心想，要再被我碰到这假冒的太白金星，我一定把他的胡子拔了！例题精讲例1 小朋友们排队练体操，小红的左边有6个人，右边有2个人，这一排共有几个人？6 小红 2分析：由图知道，小红所在一队的小朋友，可以分成三部分：第一部分是小红的左边的6个人，第二部分是小红这1个人，第三部分是小红右边的2个人。

要求一共有多少人，就是把这三部分加起来。

即6+1+2=9（人）。

小朋友排队去春游，小云的前面有5个同学，小云的后面有几个同学？小云分析：这一队的小朋友，可以分成三部分：要求小云后面有几个同学，就要从总人数12里面去掉小云前面的5个同学，再去掉小云1个人，才能求出问题。

即12―5―1=6（人）。

例3 幼儿园小朋友排队参观盆景，从前面数，小林是第10个，从后面数，小林是第17个，这一排共有几个小朋友？分析：“从前面数，小林是第10个”说明小林和他前面同学一共是10人，这个“10”里面包括小林，也包括他前面的同学；“从后面数，小林是第17个”，说明小林和他后面同学一共是17人，这个“17”里面包括小林，也包括他后面的同学。

二年级奥数重叠问题

图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的人数加起来得21＋18=39人，这39人比全班总人数36多出了39－36=3人，这多出的3人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。
1
2
例
160厘米
90厘米
？厘米
90+90-160=20（厘米）答：中间钉在一起的部分长20厘米。
把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长8米，中间重叠部分是2米，这两块木板各长多少米？
【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是2米，所以这两块木板的总长度是8+2＝10米，每块木板的长度是10÷2=5米。
重
叠
问
题
两块木板各长80厘米，如下图，钉在一起。中间钉在一起的地方是15厘米。这两块钉起来的木板长多少厘米？
例
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
15厘米
80厘米
80厘米
80+80-15=145（厘米）答：这两块钉起来的木板长145厘米。
两块各长90厘米的木板钉成一块长160厘米的木板，中间钉在一起的部分长多少厘米？
39+42=81（人） 81-50=31（人）答：有31人语文、数学都得了100分。
50个同学参加期末考试，每个同学至少有一门是100分。语文得100分的39人，数学得100分的是42人，请问有多少人语文、数学都得了100分？
例
一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？【思路导航】根据题意，画出下图：

重叠问题课件ppt

来验证假设的有效性。
诊断重叠问题的工具和方法
鱼骨图
用于展示问题产生的原因和影响，帮助团队全面了解问题的
各个方面。
5W分析法
通过对问题进行“为什么、是什么、在哪里、何时、谁”的分析，深入挖掘问题的根源。
流程图
用于梳理业务流程，发现流程中的瓶颈和问题。
数据分析
利用统计学和数据挖掘技术，对大量数据进行深入分析，发
现数据背后的规律和趋势。
重叠问题的根源分析
组织结构问题
组织结构不合理，导致部门间沟通不畅、职责
不明确。
流程问题
业务流程存在缺陷或不合理之处，导致工作效
率低下、资源浪费。
文化问题
企业文化不健康，缺乏团队协作精神、创新精
神。
人员素质问题
员工素质不高，缺乏必要的技能和知识，导致
工作质量低下。
2023
流程再造
对不合理流程进行重新设计，提高流程效率和效益。
信息化管理
利用信息技术手段，实现流程自动化和智能化。
资源整合
资源共享
实现资源在不同部门间的共享，提高资源利用效率。
集中采购
通过集中采购降低成本，提高采购效益。
内部市场
建立内部市场机制，促进资源优化配置和有效利用。
激励机制设计
目标管理
2023
重叠问题课件
REPORTING
2023
目录
• 引言 • 重叠问题的识别与诊断 • 解决重叠问题的策略 • 重叠问题的案例分析 • 总结与展望
2023
PART 01
引言
REPORTING
什么是重叠问题
重叠问题是指两个或多个物体或形状在空间上部分或全部重叠在一起的问题。

小学奥数总复习第七讲《容斥原理》练习

1、先包含——A ＋B 重叠部分A ∩B 计算了2次，多加了1次；2、再排除——A ＋B －A ∩B小学奥数总复习第七讲《容斥原理》练习容斥原理1：两量重叠问题计算公式：A ∪B=A ＋B-A ∩B说明：A ∪B 读作：“A 并B ”，表示A 、B 情况的总和。

A ∩B 读作：“A 交B ”，表示A 、B 的公共部分。

容斥原理2：三量重叠问题计算公式： A ∪B ∪C= A ＋B ＋C －A ∩B －B ∩C －A ∩C －A ∩B ∩C说明：A ∪B ∪读作：“A 并B 并C ”，表示A 、B 、C 情况的总和。

A ∩B ∩C 读作：“A 交B 交C ”，表示A 、B 、C 的公共部分。

1、有两块一样长的木板，各长130厘米，中间钉在一起后成了一块长木板，中间钉在一起的重叠部分时10厘米，长木板的长度是多少？2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。

中间重叠部分长11厘米。

这两块木板各长多少厘米？3、老师出了两道数学题，在40人中，做对第一题的有31人，做对第二题的有28人，每人至少做对一道，两道题都做对的有几人？4、三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。

问两项比赛都参加的有几人？5、某班共有42人，参加美术小组的有11人，参加陶艺小组的有15人，有6人两个小组都参加。

这个班既没参加美术小组也没参加陶艺小组的有多少人？6、三（2）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸，三(1)班有学生多少人？7、校运动会上，四个年级共有118人参加跑步比赛。

其中一、二年级共有70人参加，一、三年级共有65人参加，二、三年级共有59人参加。

问:四年级有多少学生参加跑步比赛？8、某校三年级共有三个班级128名学生，一班和二班共有89人，二班和三班共有87人。

三年级各班有多少名学生？A ∩C A ∩B ∩C B ∩C A ∩B 图中小圆表示A 的个数，中圆表示B 的个数，大圆表示C 的个数 1、先包含——A ＋B ＋C 重叠部分A ∩B 、 B ∩C 、 A ∩C 重叠了2次， A ∩B ∩C 重叠了3次。

2019年二年级奥数重叠问题

知识要点：前面已学过排队问题，从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这一排共有几个人？这里丽丽被重复数了两次，有时我们也把这类问题叫重叠问题。

[ 例1 ]洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？分析：由图知道，两块手帕有一边重叠，用3个夹子。

三块手帕有两边重叠，用4个夹子，我们发现夹子数总比手帕数多1，因此8块手帕就要用9个夹子。

[ 例2 ]把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有5张画要多少个图钉呢？分析：每排两张画要6个图钉，每排三张画要8个图钉，每排四张画要10个图钉。

可以看出，图画每增加一张，图钉就要增加2颗，那么5张画要12个图钉。

[ 例3 ]有两块一样长的木板，钉在一起，如果每块木板长25厘米，中间钉在一起的长5厘米，现在长木板有多长？分析：把两块木板钉起来，钉在一起的地方的长度就是重叠的部分。

现在的总长就是原来两个总长的和减去重叠的部分。

算式：25+25-5=45（厘米）所以现在木板长45厘米。

[ 例4 ]张老师出了两道题，做对第一题的有13人，做对第二题的有22人，两道题都做对的有8人，这个班一共有多少人？分析：做对第一题的13个人里，有8个人也做对第二题，那么做对第二题的22个人里这8个人就又重复数了一次，因此把做对第一题的人数和做对第二题的人数和起来，再减去重复数的这8个人。

算式：13+22-8=27（人）所以这个班一共有27人。

[ 例5 ]四根长都是8厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长绳，打结处每根绳用去1厘米，绳结长度不计，现在这根长绳长多少厘米？分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结。

一个结用去1+1=2厘米，那么三个结用去2+2+2=6厘米，绳子总长8+8+8+8=32厘米，减去打结的6厘米，32-6=26，现在这根长绳是26厘米。

2019年二年级奥数重叠问题1，小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。

重叠问题：提高数学教案二年级的动手能力

重叠问题：提高数学教案二年级的动手能力在数学教学中，动手能力是非常重要的一环。

二年级的孩子们正处于认识世界、完善自我认知能力和表达能力的关键时期，他们向往亲手制造某些东西，及探究人们感兴趣的对象的动机也难以想象，教师需要根据学生接受的能力和特点灵活地设计教学方案，以开发学生的动手能力。

其中的一个重要练习就是“重叠问题”。

一、重叠问题的定义和元素“重叠问题”是指将不同形状的图形，按照一定的要求重叠在一起，形成新的图形，而求出新图形的面积、周长、体积的问题。

重叠问题具有如下的元素：（1）形状不同的图形（2）要求对这些图形进行重叠处理（3）求出新图形的面积、周长、体积二、重叠问题的教学策略1.引入问题学习新知识，引入问题是非常重要的一步。

在引入重叠问题时，可以让学生察觉到日常生活中有很多物品都是由不同的图形重叠而成的，比如灯箱、折叠箱、玩具、建筑物等等，这都需要具备一定的技巧和知识才能制作。

鼓励学生团队合作，相互协助，以完成良好的成果，这样既能激发学生的兴趣，又能使他们充分了解重叠问题的应用意义和实际背景。

2. 制定计划在教学中，需要制定详细的教学计划，将整个复杂任务分解为一步一个步骤，来方便学生的学习。

制定现实可行的计划，逐步升级操作的难度，给学生提供足够的时间和机会，让他们能够熟练掌握操作技巧，以此激发个人与团队的自信心。

3. 操作技术操作技术是完成一道数学题的重要环节。

在学生的操作过程中，教师不仅要提供实际指导，帮助学生克服操作和计算困难，还要注重提高学生的自我学习和独立思考能力。

当学生由独立运算到合作运算的转变时，教师应该适时调整指导策略，帮助他们发展团队精神和协作独立性。

4. 思维的转化在教学中，要注意培养学生思维的转化能力。

当学生在完成一次重叠问题时，教师应该将求解的策略、思路和方法讲解清楚，让学生能够将问题的解决办法应用于其他的现实问题中，扩展思维，将知识点灵活应用，从而发现更多的规律和特性，在掌握复杂题目求解技巧的同时，提高学生的综合素质和人才培养水平。

二年级奥数重叠问题

8-1=7（个） 7+2=9（个）答：一共有9个夹子。
例2 春节期间，校门口挂了一行不同颜色的彩灯，无论从左数还是从右数，第6 盏都是红灯，这一行共有彩灯多少盏？
12 345654321
6×2-1=11（盏）或 5×2+1=11（盏）答：这一行共有彩灯11盏。
例3 两块木板各长80厘米，如下图，钉在一起。中间钉在一起的地方是15厘米。这两块钉起来的木板长多少厘米？
39+42=81（人） 81-50=31（人）答：有31人语文、数学都得了100分。
1、小朋友排队做操，小林排在第二队，顺着数他排在第6个，倒着数他排第9个。这一队一共有几个同学？
2、小丽坐在第五组，从前面数，她是第4个，从后面数，她是第3个。第五组一共坐着几个同学？
3、李老师把同学们的画排成一行展览，从左边起第 8张是方方的画，从方方的画开始再往右数还有8张。一
8、20只小动物排一排，从左往右数第16只是小龟，从右往左数第10只是小松鼠。求从小松鼠数到小龟，一共有几只小动物？
9、第一小队有15名同学，在期末考试中至少一门课得优，8人语文得优， 10人数学得优。问两门都得优的有几名同学？
10、一块木板长24分米，另一块木板长15分米，把两块木板重叠一部分后钉成一块长34分米的木板。重叠部分长多少分米？
在数学学习中，我们还常常会碰到有关重叠问题的应用题，对这类应用题，我们要从条件入手，进行认真地分析，有时还要作图分析，借助图形作思考，找出解题方法。
名师手把手
例1 幼儿园阿姨将洗好的8块毛巾用夹子夹在铅丝上晾干，每一块毛巾的两边必须用夹子夹住，同一个夹子可夹住相邻的两块毛巾的两边，这样一共有多少个夹子？
共展出了多少张画？

二年级数学7-重叠问题

<例1> 把两根长为 20 厘米的筷子用绳子捆成一根长筷子，中间捆在一起的重叠部分是 3 厘米。捆成的筷子长多少厘米？
分析：问捆成的，是现在还是原来？现在长。两根筷子捆在一起肯定变长了吧，那用什么方法？加法。直接加就做完了吗？没有，还有重叠的，要减去。算式： 20+20=40（厘米），40-3=37（厘米）40 是捆在一起，原来总长，3 是重叠部分，37 是现在总长。现总长=原总长-重叠
49名算式：至少会一样：30+28-13=45（名）
都不会：49-45=4（名）答
学校乐器队按计划招收了42名新学员会拉小提琴的有27人会弾电子琴又会拉小提琴的有16人两项都不会的有1人
第七讲：重叠问题 ——学而思赵杨老师
一．总长 1. 现总长=原总长-重叠关键：重叠数=总数-1 2. 原总长=现总长+重叠 3.重叠=原总长-现总长二．韦恩图（大饼A，大饼B，重叠部分AB） 1. 总数=A+B-AB 2. AB=A+B=总数 3. B=总数-A+AB
（1）求一共的，知道英语班、电脑班，还知道重叠的，总共的：20+26-4=42 （人）
（2）总结：这个图不叫饼图，叫韦恩图，左圈叫A，右圈叫B，中间重叠的叫 AB。总数=A+B-AB
每周一练
<拓1> 把10根长为10cm的筷子，捆成一根长的筷子，中间重叠部分为2cm，问捆成后的筷子长多少cm？
答案解析
（1）分析：10根筷子9处重叠算式：10*10-（10-1）*2=82cm 答
（2）分析：四根铁丝3处重叠算式：（40*4-130）/(4-1)=10cm 答
（3）分析：画韦恩图小1人

二年级数学重叠问题

二年级数学重叠问题一、知识点讲解1. 重叠问题的概念在数学中，重叠问题是指有部分元素在不同的集合中重复出现的情况。

例如，同学们参加语文小组和数学小组，有一些同学既参加了语文小组又参加了数学小组，这就是重叠部分。

2. 解决重叠问题的方法常用的方法是画韦恩图（集合图）来直观地表示各个集合以及它们之间的重叠关系。

另外，也可以通过计算来解决，计算时要注意避免重复计算重叠部分。

例如：计算参加两个小组的总人数时，如果直接把参加语文小组的人数和参加数学小组的人数相加，就会把既参加语文小组又参加数学小组（重叠部分）的人数多计算一次，所以需要减去重叠部分的人数。

二、经典例题及解析1. 例题1题目：二（1）班同学参加课外活动，有20人参加英语班，25人参加电脑班，其中有10人两个班都参加了。

二（1）班一共有多少人参加课外活动？解析：我们可以画韦恩图来理解。

先画两个相交的圆，一个圆表示参加英语班的同学，另一个圆表示参加电脑班的同学，相交的部分就是两个班都参加的同学。

如果直接把参加英语班的20人和参加电脑班的25人相加：20 + 25=45（人），这里面把两个班都参加的10人重复计算了一次。

所以正确的计算方法是：20+25 10 = 35（人）。

2. 例题2题目：学校乐器队招收了42名新学员，其中会拉小提琴的有25名，会弹钢琴的有22名，两项都不会的有3名。

两项都会的有多少名？解析：我们知道总共有42名新学员，其中两项都不会的有3名，那么至少会一项乐器的学员有42 3 = 39（名）。

会拉小提琴的有25名，会弹钢琴的有22名，那么25+22 = 47（名），这个数字比至少会一项乐器的39名多。

多出来的部分就是两项都会的人数，即47 39 = 8（名）。

3. 例题3题目：把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板，中间重叠部分长11厘米。

这两块木板各长多少厘米？解析：两块木板钉在一起后总长度是35厘米，但是中间重叠了11厘米。

(完整版)二年级奥数重叠问题

知识重点：前方已学过排队问题，以前方数，从后边数，丽丽都排第 6，这一排共有几个人？这里丽丽被重复数了两次，有时我们也把这种问题叫重叠问题。

[例1 ]洗好的8块手帕夹在绳索上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？剖析：由图知道，两块手帕有一边重叠，用 3 个夹子。

三块手帕有两边重叠，用 4 个夹子，我们发现夹子数总比手帕数多1，所以 8 块手帕就要用 9 个夹子。

[例2 ]把图画每两张重叠在一同钉在墙上，此刻有 5 张画要多少个图钉呢？剖析：每排两张画要 6 个图钉，每排三张画要 8 个图钉，每排四张画要 10 个图钉。

能够看出，图画每增添一张，图钉就要增添 2 颗，那么 5 张画要 12 个图钉。

[例3 ]有两块相同长的木板，钉在一同，假如每块木板长25 厘米，中间钉在一同的长 5 厘米，此刻长木板有多长？剖析：把两块木板钉起来，钉在一同的地方的长度就是重叠的部分。

现在的总长就是本来两个总长的和减去重叠的部分。

算式：25+25-5=45（厘米）所以此刻木板长 45 厘米。

[ 例 4 ] 张老师出了两道题，做对第一题的有 13 人，做对第二题的有 22人，两道题都做对的有 8 人，这个班一共有多少人？剖析：做对第一题的 13 个人里，有 8 个人也做对第二题，那么做对第二题的 22 个人里这 8 个人就又重复数了一次，所以把做对第一题的人数和做对第二题的人数和起来，再减去重复数的这8 个人。

算式： 13+22-8=27（人）所以这个班一共有 27 人。

[ 例 5 ] 四根长都是 8 厘米的绳索，把它们打结连在一同，成为一根长绳，打结处每根绳用去 1 厘米，绳结长度不计，此刻这根长绳长多少厘米？剖析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结。

一个结用去 1+1=2 厘米，那么三个结用去 2+2+2=6厘米，绳索总长 8+8+8+8=32厘米，减去打结的 6 厘米， 32-6=26，此刻这根长绳是 26 厘米。

二年级重叠问题

二年级重叠问题
1、王老师将8块手帕用夹子夹在绳子上晾晒，每一块手帕的两边必须用夹子夹住，同一个夹子夹住相邻的2块手帕的两边，王老师一共要用多少个夹子？
2、严老师的班级有28人订阅了《好儿童》和《儿童画报》，其中订阅《好儿童》的有16人，两种杂志都订有3人，订《儿童画报》有多少人?
3、王阿姨把洗好的床单用夹子夹在绳子上晾晒，每一床床单两边都用夹子夹住，同一个夹子夹住相邻的两块床单，一共用了20个夹子，绳子上晒了多少块床单？
4、两块木板各长40厘米，把这两块木板钉起来的木板长70厘米，中间钉在一起的地方长是多少厘米？
5、把两根各长30厘米的绳子结成了一根长50厘米的绳子，打结部分长是多少厘米？
6、有两块一样长的木板，现在要把这两块木板钉在一起成一块木板，如果这两块木板各长40厘米，中间钉在一起的地方长是10厘米，这块钉起来的木板长多少厘米？
7、有两块塑料板各长50厘米，把两块板钉成一个塑料板，中间钉在一起的重叠部分是10厘米，钉成的塑料板长是多少厘米？
8、丁老师出了两组数学题给数学兴趣小组的18名同学做，做对第一组题有10名，做对第二组题有12名，两组都做对的有多少名同
学？
9、二（3）班有学生42人，期末考试语文得100分的有32人，数学得100分的有36人，语文、数学都得100分的有多少人？
10、三（3）班有10位同学参加了趣味语文，有12位同学参加了趣味数学，有4位同学两个兴趣小组都参加了。

一共有多少人参加了兴趣小组?。

小学奥数专题-重叠问题(精华版)

小学奥数重叠问题专题日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。

重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。

学生学习奥数，一定要掌握容斥原理。

下面小编给大家分享解决重叠的方法。

1. 解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

2. 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。

明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。

3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合和集合之间的关系。

这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。

4. 解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。

这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。

5. 容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。

容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。

一、重叠问题之长度：（1）拼接（对接）（2）搭接（3）打结题目1：（搭接正问题：求总长度）把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

中间重叠的部分是6厘米，粘好的纸条长多少厘米？题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度）把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

这段更长的纸条长30厘米，中间重叠的部分是6厘米，原来两条纸条各长多少厘米？题目3：（搭接反问题一：不等长搭接，求原来长度）两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。

小学奥数几何中的重叠问题

小学奥数几何中的重叠问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．7-7-3.几何中的重叠问题教学目标知识要点1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B I 、B C I 、C A I 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---I I I重叠部分A B C I I 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --I I I 计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+I I I I I ．【例 1】把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487+-=(厘米)．【答案】87厘米【巩固】把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)．【答案】57厘米【例 2】两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42⨯的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】12厘米【巩固】如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分．于是，组合图形的面积：86664468⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】68平方厘米【巩固】一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答图32厘米4厘米图3例题精讲【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】140平方厘米【例 3】三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【考点】几何中的重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B+圆面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三个纸片共同重叠的面积，得：100505050A =++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+），得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=⨯+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．【答案】30平方厘米【巩固】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【考点】几何中的重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ．=30，=6，=8，=5，=73，而=.有73=30×3-6-8-5+，即=2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(⑧)，乙与丙(⑧)，甲与丙(⑧)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(⑧、⑧、⑧部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 4】如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】阴6412CBA10A B C ==A B I B C I A C I A B C U U A B C U U A B C +--A B B C A C A B C --+I I I I I A B C I I A B C I I叠部分的面积60310040220（）(平方厘米)．=⨯--÷=【答案】20平方厘米【巩固】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答Array【解析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得：⑧ 先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑧ 再“排除”：5687x---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑧ 再“包含”：56873x---+，这就是三张纸片覆盖的面积．根据上面的分析得：5687338xx=．---+=，解得：6【答案】6。

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