生物统计学 单因素方差分析
单因素方差分析（one-wayANOVA）
单因素方差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（⽅）单因素⽅差分析概念是⽅来研究⽅个控制变量的不同⽅平是否对观测变量产⽅了显著影响。
这⽅，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素⽅差分析。
例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇⽅的⽅育率，研究学历对⽅资收⽅的影响等。
这些问题都可以通过单因素⽅差分析得到答案。
（⽅）单因素⽅差分析步骤第⽅步是明确观测变量和控制变量。
例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇⽅⽅育率、⽅资收⽅；控制变量分别为施肥量、地区、学历。
第⽅步是剖析观测变量的⽅差。
⽅差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两⽅⽅的影响。
据此，单因素⽅差分析将观测变量总的离差平⽅和分解为组间离差平⽅和和组内离差平⽅和两部分，⽅数学形式表述为：SST=SSA+SSE。
第三步是通过⽅较观测变量总离差平⽅和各部分所占的⽅例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
（三）单因素⽅差分析原理总结在观测变量总离差平⽅和中，如果组间离差平⽅和所占⽅例较⽅，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平⽅和所占⽅例⽅，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同⽅平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。
（四）单因素⽅差分析基本步骤1、提出原假设：H0——⽅差异；H1——有显著差异2、选择检验统计量：⽅差分析采⽅的检验统计量是F统计量，即F值检验。
3、计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的⽅的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。
4、给定显著性⽅平，并作出决策（五）单因素⽅差分析的进⽅步分析在完成上述单因素⽅差分析的基本分析后，可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论，接下来还应做其他⽅个重要分析，主要包括⽅差齐性检验、多重⽅较检验。
生物统计上机操作第五讲 方差分析
研究生《生物统计学》课程第五讲方差分析主要内容：一、单因素方差分析二、两因素方差分析三、多因素方差分析一、单因素方差分析[Analyze]=>[Compare Means]=>[ One-Way ANOV A]（1）建立数据文件，在Variable Vew中定义变量“饲料”、“增重”，“饲料”小数位数为0，用1、2、3、4分别代表甲、乙、丙、丁4种饲料。
输入数据。
（2）方差分析：[Analyze]=>[Compare Means]=>[ One-Way ANOVA]，打开[One-Way ANOVA]主对话框。
选定“增重”使之进入[Dependent List]（样本观测值）框，选定“饲料”使之进入[Factor]（因素）框（3）单击[Options]进入“选项”对话框，选择[Descriptive]要求输出描述统计量，[Homogeneity of Variance tese]（方差齐性检验），[Continue]返回；（4）单击[Post Hoc]打开[One-Way ANOV A: Post Hoc Multiple Comparisions]（单因素方差分析：验后多重比较）对话框，可选择确定多重比较方法，如LSD法、Duncan 法，[Continue]返回；（5）单击[OK]，运行单因素方差分析。
结果显示：方差分析表：（P＝0.005<0.01 不同饲料对鱼增重的作用差异极显著）多重比较：LSD法（解释：甲与其他三种饲料都具有显著差异，乙、丙、丁间差异不显著）Duncan法（解释：用Duncan法划分的相似性子集，在显著性水平为0.05的情况下，第一组包括丙乙丁，组内相似的概率为0.123；第二组包括甲，说明甲的均值与其他三个具有显著性差异）2、练习：某灯泡厂用四种配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中作随机抽样，测量其使用寿命（单位：小时），数据如下：问不同灯丝制成的灯泡的使用寿命是否有显著差异，存在差异则做多重比较。
生物统计学第九章单因素方差分析
E(MSA )
=
σ2 +
n a1
a i=1
a
2 i
=
σ2 +
n a1
a i=1
(μi -μ)2
即 MSA 除了代表随机误了σ2 外， 还，还有效应，
也就是说MS
是代表了各处理间的差异．
A
4. 统计量
当零假设 H0 : α1 = α2 = = αa成=立0 时，处理效
应的方差为零，亦即各处理观察值总体均数i (i=1， 2，…，a) 相等时，处理间均方MSA与处理内均方 一样，也是误差方差2的估计值。
❖ 在计算处理间平方和时，各处理均数要受
a
(xi -x)2 0 这一条件的约束，故处理间自由度
i 1
为处理数减1，即a-1。 处理间自由度记为dft ，则dft= a-1。
在计算处理内平方和时，要受a个条件的约束， n
即 (xij -x，i )i=01,2,...a。故处理内自由度为资料中观 j 1
… Xi …
χi1
χa1
χi2
χa2
χi3
χa3
…
j
ห้องสมุดไป่ตู้xχ11j xχ22j xχ33j
n
xχ11n x 2χ2n x3χ3n
合计 μ1 μ2 μ3
平均数 a1 a2 a3
xχi ij
xχaaj x
x iχin
x aχan x
μi
μa μ
ai
aa
符号
a n
xij n
xi. xij
j 1
xi.
1 n
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
二 固定模型fixed model
生物统计（4）-单因素方差分析
生物统计（4）-单因素方差分析方差分析的基本思想在进行科学研究时，有时要按实验设计将所研究的对象分为多个处理组进行不同的处理，其中处理因素(treatment)至少有两个水平（level）。
这类科研资料的统计分析，是通过所获得的样本信息来推断各处理组均数间的差别是否有统计学意义，即处理是否有影响。
常用采用的分析方法就是方差分析（ANOVA，analysis of variance），这是由英国统计学家R.A.Fisher首创，以F命名，故方差分析又称为F 检验。
设处理因素有g(g>= 2)个不同水平，实验对象随机分为g组，分别接受不同水平的干预，第i(i=1,2,...,g)组的样本含量为n_{i}，第i处理组的第j(j=1,2,…ni个观测值用Xij来表示，其计算结果可能可以整理成以下面的形式，如下所示：方差分析的目的就是在成立的条件下，通过分析各处理组均数之间的差别大小，推断g 个总体均数之间有无差别，从面说明处理因素的效应是否存在。
记总均数为各处理组均数为总例数为其中，g为处理组数。
实验数据有三个不同的变异：1. 总变异。
全部观测值大小不同，这种变异称为总变异。
总变异的大小可能用离均差平方和(sum of squares of deviations from eman,SS)来表示，即各观测值与总均数X差值的平方和，记为。
公式略。
2. 组间变异。
各处理组由于接受处理的水平不同，各组的样本均数也大小不等，这种变异称为组间变异，其大小用各组均数与总均数的离均差平方和表示，记为SS组间，计算公式略。
各组均数之间相关越悬殊，它们与总均数的差值越在在，就越大，反之就越小。
反应了各组均数的变异，存在这种变异的原因有：①随机误差；②处理的不同水平可能对实验结果的影响。
3. 组内变异。
在同一处理组中，虽然每个实验对象接受的处理相同，但观测值仍各不相同，这种变异称为组内变异（误差）。
组内变异用组内各观测值与其所在组的均数的差值的平方和表示，记为，表示随机误差的影响。
生物统计第三节单因素试验资料的方差分析
C T / N 460.5 / 25 8482.41
2
2
上一张 下一张 主 页
退 出
SST x C
2
ij
(21.5 2 19.5 2 17.0 2 16.0 2 ) 8482 . 41
8567 . 75 8482 . 41
Байду номын сангаас85.34
MSE
P
⑥ 列出方差分析表
df
3、确定P值、下结论
•从上表得F=14.32，查附表5（方差分析界值表，
单侧），自由度相同时，F界值越大，P值越小。
因F0.01，2，27= 5.49；故P<0.01，按α=0.05水准
拒绝H0，接受HA，可认为三个不同时期切痂对
ATP含量的影响有统计显著性差异。
方差分析的结果只能总的来说多组间是否
S，即
x
得各最小显著极差，所得结果列于表6-15。
上一张 下一张 主 页
退 出
表6-15 SSR值及LSR值
dfe
上一张 下一张 主 页
退 出
将表6-14中的差数与表6-15中相应的最小显
著极差比较并标记检验结果。
检验结果表明：5号品种母猪的平均窝产仔数
极显著高于2号品种母猪，显著高于4号和1号品
③ 计算总的变异及总的自由度
SST x C
2
ij
dfT kn 1 N 1
④ 计算组间变异及相应的自由度
SSB Ti 2 / ni C
df b k 1
⑤ 计算组内变异及相应的自由度
SSE SST SSB
df e dfT df b
N k
生物统计-8第八章单因素方差分析
01
确定因子和水平
确定要分析的因子（独立变量） 和因子水平（因子的不同类别或 条件）。
建立模型
02
03
模型假设
根据因子和水平，建立方差分析 模型。模型通常包括组间差异和 组内误差两部分。
确保满足方差分析的假设条件， 包括独立性、正态性和同方差性。
方差分析的统计检验
01
F检验
进行F检验，以评估组间差异是否 显著。F检验的结果将决定是否拒
生物统计-8第八章单因素方差分析
目录
• 引言 • 方差分析的原理 • 单因素方差分析的步骤 • 单因素方差分析的应用 • 单因素方差分析的局限性 • 单因素方差分析的软件实现
01
引言
目的和背景
目的
单因素方差分析是用来比较一个分类变量与一个连续变量的关系的统计分析方法。通过此分析，我们可以确定分 类变量对连续变量的影响是否显著。
VS
多元性
单因素方差分析适用于单一因素引起的变 异，如果存在多个因素引起的变异，单因 素方差分析可能无法准确反映实际情况。 此时需要考虑使用其他统计方法，如多元 方差分析或协方差分析等。
06
单因素方差分析的软件 实现
使用Excel进行单因素方差分析
打开Excel，输入数据。
点击“确定”，即可得到单因素方差分析 的结果。
输出结果，并进行解释和 解读。
谢谢观看
背景
在生物学、医学、农业等领域，经常需要研究一个分类变量对一个或多个连续变量的影响。例如，研究不同品种 的玉米对产量的影响，或者不同治疗方式对疾病治愈率的影响。
方差分析的定义
定义
方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或更多组数据的平均值 是否存在显著差异。在单因素方差分析中，我们只有一个分类变量。
生物统计单因素方差分析PPT课件
2020/4/18
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9
7.1.1 方差分析的一般概念
例 调查了5个不同小麦品系的株高，结果列于 表. 只出现“品系” 一个因素，称单 因素。有5个不 同品系，称这一 因素有5个水平。 5个品系认为5 个总体，表中数 据是从5总体抽 出5样通本过，比较5样本，判断5总体是否存在差异。
2020/4/18
生物统计与CAA
Biostatistics and Computer Aid Analysis
主讲教师：
关瑞章 冯建军 林鹏 谢钦明 黄良敏 郭松林
2020/4/18
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1
第七章 单因素方差分析
7.1 单因素试验设计 7.2 方差分析的基本原理 7.3 固定效应模型 7.4 随机效应模型 7.5 多重比较 7.6 方差分析应具备的条件
对于a个处理，各重复n次的单因素方差分析一般
化表示方法如下表：xij:第i次处理的第j次n 观测值
x i. x ij
j 1
第i个处理n个观测
值的和
n
xi. xij / n xi./ n
j1
第i个处理的平均数
kn
x..
xij /knx../kn 表示全部观测值的总平均数
i1 j1
2020/4/18
• 区组(block)：把类似的试验材料在大致相同的环 境条件安排在同一组，该组就称为一个区组，如 不同养殖场、水面、滩涂等。区组内分小区，一 个小区进行一个水平的处理。
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单因素完全随机设计
• 试验中只考虑一个因素（A）其他因素保 持或控制不变或变化一致．选择A（即试 验因素）的a个不同水平，研究A对试验 考察指标的影响，这类试验称为单因素试 验
生物统计学-单因素方差分析知识分享
均方差，均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有关，由于各部 分自由度不相等，因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将各部分离 均差平方和除以相应自由度，其比值称为均方差，简称均方。
MS总
SS总 v总
MS组间
S S组间 v组间
MS组内
SS组内 v组内
总变异（Total variation, SS总）：全部测量值Yij与总均数Y
间的差异 组间变异（ between group variation, SS组间）：各组的均
数 Yi 与总均数 Y 间的差异
组内变异（within group variation,SS组内)：每组的每个测量Yij与该组均数 Yi 的差异
生物统计学-单因素方差分析
一. 方差分析基础
单因素方差分析的典型数据
重复次数 Y1
Y2
Y3
…
Yi
… Ya (level)
1
y11
y21
y31
yi1
y.1
2
y12
y22
y32
yi2
y.2
3
y13
y23
y33
yi3
y.3
.
.
j
y1j
y2j
y3j
.
yij
y.j
.
n
y1n
y2n
y3n
yin
y.n
平均数 Y1.
Y2.
Y3.
…
Yi.
…
Y..
因素也称为处理(treatment) 因素（factor），每一处理因素至少有两个水 平(level)（也称“处理组”， a个处理组）,各重复n次。
生物统计第7章 单因素方差分析
7.2 固定效应模型
7.2.1 线性统计模型
在固定效应模型中，αi是处理平均数与总体 平均数的离差，是个常量，故：∑αi=0（i=1，
2，…n），要检验a个处理效应的相等性，就 要判断各αi是否都等于0。若各αi都等于0，则
各处理效应之间无差异。因此，零假设为：H0： α1=α2= … =αa =0 备择假设为：HA： αi≠0（至少有一个i）
2020/6/19
7.3.3 不等重复时平方和的计算
• 上述情况，无论是固定效应模型，还是随机效 应模型，各处理的观测次数都是相同的。若不 同处理观测次数不同，以上的方差分析方法仍 然适用，但在计算平方和时，公式要作改动。
• 检验程序及结果分析同上述讨论。
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7.4 多重比较(multiple comparison)
2020/6/19
7.1 方差分析的基本原理
7.1.1 方差分析的一般概念
方 差 分 析 （ analysis of variance ， ANOV）是一类特定情况下的统计假设检验， 平均数差异显著性检验----成组数据 t检验的一 种引伸。t检验可以判断两组数据平均数间的差 异显著性，而方差分析则可以同时判断多组数 据平均数之间的差异显著性。当然，在多组数 据的平均数之间做比较时，可以在平均数的所 有对之间做t检验。但这样做会提高犯Ⅰ型错误 的概率，因而是不可取的。
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7.2.3 均方期望与统计量F
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7.2.4 平方和的简易计算方法
• 实际应用时，总的平 方和与处理平方和一 般按右式计算：
• 式中的被减数C通常被称 为校正项（correction) ：
• 误差平方由右式算出 ： • 用SAS软件更简便
生物统计学-单因素方差分析.
每组具有n个观测值的k组样本数据资料
处理 重 复 A1 A2 … Ai … Ak x11 x21 … xi1 … xk1 x12 x22 … xi2 … xk2 … x1j x2j … xij … xkj … x1n x2n … xin … xkn T1. T2. … Ti. … Tk.
三、数学模型
方差分析的基本原理
组别 重 复
A1
A2 … Ai xi1 xi2 xij Ti.
x i
x11 x21 … x12 x22 … … x1j x2j … T1. T2. …
x1
x 2
…
总和Ti.
T xij
平均 xi
x
x
x
ij
x ( xij xi ) ( xi x )
x xij xi xi x
2
n 2 a n
ij
2
x
a i 1 j 1 a n i 1 j 1
ij x xij xi xi x i 1 j 1 a
2
x
ij
验方法，是将总变异按照来源分为处理效应和试验
误差，并做出其数量估计。
发现各变异原因在总变异中相对重要程度的一
种统计分析方法。
二、方差分析的基本原理
总变异分解为组间变异和组内变异。 组内变异是个体差异所致，是抽样误差。 组间变异可能由两种原因所致， 一是抽样误差； 二是处理不同。 在抽样研究中抽样误差是不可避免的，故 导致组间变异的第一种原因肯定存在；第二种原因 是否存在，需通过假设检验作出推断
方差分析的应用条件和用途
方差分析应用条件： 1、各样本须是相互独立的随机样本 2、各样本来自正态分布总体 3、各总体方差相等，即方差齐 方差分析基本用途： 1、多个样本平均数的比较 2、多个因素间的交互作用 3、回归方程的假设检验 4、方差的同质性检验
生物统计学-单因素方差分析
2021/3/11
17
常规剂量钙 (0.5%) 332.96 297.64 312.57 295.47 284.25 307.97 292.12 244.61 261.46 286.46 322.49 282.42
2.计算检验统计量
t y1y2 S(y1y2)
53.87
4.1770
49.8 99(11)
66
t0.05/2,302.042
3.确定 P值，作出判断
按照α=0.05水准，组次1与2比较，拒绝H0, 差别有统计学意义，喂 养中等剂量钙9周后体重不同。
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应用
解：
1.建立假设检验， 确定检验水准
充分。
2021/3/11
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数理统计的理论证明，当H0 成立时，F 统计量服从F分布
1.4 f( F)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
1 1, 2 5 1 5, 2 5
1 10, 2 10
2F
3
4
F 分布曲线
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二. 完全随机设计的单因素方差分析
为研究钙离子对体重的影响作用，某研究者将36只肥胖模型大白鼠随 机等分为3组，每组12只，分别给予常规剂量钙（0.5%）、中等剂量钙 和高剂量钙（1.5%）3种不同的高脂饲料，喂养9周，测其喂养前后体 重的差值（表7.1）问3种不同喂养方式下大白鼠体重改变是否相同？
生物统计学课件单因素方差分析
(i
)]2
n a 1
E[
a i 1
( i.
..)2
2
a i1
( i.
..) (i
)
a i 1
(i
)2
]
处理均方的数学期望
n [E a 1
a i1
(i. )2
a
E
(
2 ..
)]
n a 1
a
2 i
i1
n (a 2
]
i 1
( E(ij ) 0,
E
(
2 ij
)
2
)
1 (an 2 na 2 )
an a
n
2
处理均方的数学期望
E ( MS A
)
a
1 1
E(SSA
)
1
a
E[
a 1 i1
n
( xi.
j1
x..)2 ]
1 a 1
E[n
a i 1
(
i
i.
..)2
]
n a 1
E
a i 1
[( i
..)
均方
称为处理间均方
MS A
SSA a 1
称为误差均方
MSe
SSe a(n 1)
为了估计σ2，除以相应的自由度而得到的
误差均方数学期望
E(MSe )
1 na
a
E(SSe )
1
a
E[
an a i1
n
( xi j xi. )2 ]
j1
1 an a
a
E[
i1
n i1
(
i
ij
i
i. )2 ]
生物统计学 方差分析
缺点：加大犯I型错误的概率
Duncan多范围检验
P341
§8.5 方差分析应具备的条件
多个方差齐性检验
了解
Bartlett 检验（Bartlett test）
Levene 检验（ Levene test）
作业
P157
8.2（用C=80来编码） 8.8 （用C=4来编码）
请翻译以下术语/Try
§8.4 多重比较（multiple comparison）
目的：
哪些处理之间存在显著差异，平均数之 间进行一对一比较。
LSD法
Duncan法（SSR）
S-N-K法
/s/blog_54b63 97501014fz3.html
最小显著差数检验（LSD）检验
附：生物统计学
第九章 两因素及多因素 方差分析
2012.5
§9.2 固定效应模型
线性统计模型（linear
statistical model）
同一处理的处理效应是相同的
简易计算方法
statistical model）
如何做到？
§8.2 固定效应模型
线性统计模型
平方和与自由度的分解
艾塔
重要
组间 组内
简易计算方法
学习小组任务
自学并讲解表8-3及其计算式。
自学并讲解公式8.1的组成及含义
（p144-148）。 自学并讲解p149例题 。 课后阅读p152-154内容，或自行上网查 资料，说明多重比较是做什么的？常用 多重比较有哪些？
to translate these terms
please： One-factor ANOVA，固定因素，significant， 多重比较
生物统计上机操作第五讲 方差分析
研究生《生物统计学》课程第五讲方差分析主要内容：一、单因素方差分析二、两因素方差分析三、多因素方差分析一、单因素方差分析[Analyze]=>[Compare Means]=>[ One-Way ANOV A]1、案例分析：某水产研究所比较四种饲料对鱼的饲喂效果（1）建立数据文件，在Variable Vew中定义变量“饲料”、“增重”，“饲料”小数位数为0，用1、2、3、4分别代表甲、乙、丙、丁4种饲料。
输入数据。
（2）方差分析：[Analyze]=>[Compare Means]=>[ One-Way ANOVA]，打开[One-Way ANOVA]主对话框。
选定“增重”使之进入[Dependent List]（样本观测值）框，选定“饲料”使之进入[Factor]（因素）框（3）单击[Options]进入“选项”对话框，选择[Descriptive]要求输出描述统计量，[Homogeneity of Variance tese]（方差齐性检验），[Continue]返回；（4）单击[Post Hoc]打开[One-Way ANOV A: Post Hoc Multiple Comparisions]（单因素方差分析：验后多重比较）对话框，可选择确定多重比较方法，如LSD法、Duncan 法，[Continue]返回；（5）单击[OK]，运行单因素方差分析。
结果显示：方差分析表：（P＝0.005<0.01 不同饲料对鱼增重的作用差异极显著）多重比较：LSD法（解释：甲与其他三种饲料都具有显著差异，乙、丙、丁间差异不显著）Duncan法（解释：用Duncan法划分的相似性子集，在显著性水平为0.05的情况下，第一组包括丙乙丁，组内相似的概率为0.123；第二组包括甲，说明甲的均值与其他三个具有显著性差异）2、练习：某灯泡厂用四种配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中作随机抽样，测量其使用寿命（单位：小时），数据如下：问不同灯丝制成的灯泡的使用寿命是否有显著差异，存在差异则做多重比较。
生物统计第7章 单因素方差分析
由于上述原因，多个平均数的差异显著性检验不宜
用t检验，须采用方差分析法。
2020/6/19
生物试验常用术语
• 试验考察指标(target)：选定用于考察或衡量试验 效果的特性值。如养殖试验常用的日增量、产卵率 等。
• 试验因素(factor)：通常把影响试验考察指标的条 件或要素称为试验因素，可以是单因素，也可以是 多因素。如研究养殖日增重量时，品种、饲料、性 别、投喂方法等等就是其影响因素。
例 为了探讨不同窝的动物出生重是否存在差异， 每窝中均有四只幼仔，结果见表.
这两个例子共同点： 每个实验只有一个 因素，该因素有a 个处理，这样的实 验称为单因素实验。 从单因素实验的每 一处理所得到的结 果都是一随机变量 Xi.
2020/6/19
7.1.1 方差分析的一般概念
对于a个处理，各重复n次的单因素方差分析一般 化表示方法如下表：xij:第i次处理的第j次观测值
• 水平(level)：每一个因素根据其质或量所分的等 级或所为不同的水平。
2020/6/19
生物试验常用术语
• 处理(treatment)：处理是指试验过程中设置的 所有试验因素的所有水平，是试验的具体条件或 状态。在一项试验中，同一个试验条件下的试验 称为一个处理，不同条件下的试验称为不同处理。 单因素试验中的“处理”与“水平”是一致的， 但“处理”的含义要较“水平”更广些。
• 把试验对象应用随机表分配到各试验组称 为完全随机设计
2020/6/19
单因素完全随机设计
• 完全随机设计对试验条件限制少，容易实 现，但试验误差偏大
• 单因素试验必须在各水平上重复多次试验， 假定重复数为n，则总共要进行an个试验， 这样的设计称为单因素等重复试验。
生物统计学第5章 方差分析
2. 反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组
间平方和
3. 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 4. 计算公式为 (Sum of Squares for factor A)
k
SSA
ni
k
xi x 2 ni xi x 2
i1 j1
i 1
▪ 前例的计算结果：SSA = 76.8455
(三个平方和的作用)
SST反映了全部数据总的误差程度 SSE反映了随机误差的大小 SSA反映了随机误差和系统误差的大小
34
构造检验的统计量
(三个平方和的作用)
若原假设成立，即μ1＝ μ2 ＝…＝ μk为真，则 表明没有系统误差，组间平方和SSA除以自由 度后的均方与组内平方和SSE和除以自由度后 的均方差异就不会太大
32
构造检验的统计量
(三个平方和的关系)
总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、 水平项离差平方和 (SSA) 之间的关系
k
ni
k
xij x 2
ni
k
xij xi 2 ni xi x 2
i1 j1
i1 j1
i1
SST = SSE + SSA
33
构造检验的统计量
差平方和
3. 该平方和反映的是随机误差的大小 4. 计算公式为 (Sum of Squares for Error)
k ni
SSE
xij xi 2
i1 j1
▪ 前例的计算结果：SSE = 39.084
31
构造检验的统计量
(计算水平项平方和 SSA)
1. 各组平均值 xi (i 1,2,, k)与总平均值 x 的离差
一、单因素方差分析
单因素方差分析单因素方差分析也称作一维方差分析。
它检验由单一因素影响的一个(或几个相互独立的)因变量由因是否具有统计意义。
还可以对该因素的若干水平分组中哪一组与其他各组均值间具有显著性差异进行分析Way ANOVA过程要求因变量属于正态分布总体。
如果因变量的分布明显的是非正态，不能使用该过程，而应个因变量之间彼此不独立，应该用Repeated Measure过程。
[例子]调查不同水稻品种百丛中稻纵卷叶螟幼虫的数量，数据如表5-1所示。
表5-1 不同水稻品种百丛中稻纵卷叶螟幼虫数水 稻 品 种从复12345141333837312393735393434035353834”文件中，变量格式如图5-1。
数据保存在“DATA5-1.SAV分析水稻品种对稻纵卷叶螟幼虫抗虫性是否存在显著性差异。
1）准备分析数据在数据编辑窗口中输入数据。
建立因变量“幼虫”和因素水平变量“品种”，然后输入对应的数值，数据文件“DATA5-1.SAV”。
2）启动分析过程点击主菜单“Analyze”项，在下拉菜单中点击“Compare Means”项，在右拉式菜单中点击“0ne-Wa 打开单因素方差分析设置窗口如图5-2。
图5-2 单因素方差分析窗口3）设置分析变量因变量: 选择一个或多个因子变量进入“Dependent List”框中。
本例选择“幼虫”。
因素变量: 选择一个因素变量进入“Factor”框中。
本例选择“品种”。
4）设置多项式比较单击“Contrasts”按钮，将打开如图5-3所示的对话框。
该对话框用于设置均值的多项式比较。
图5-3 “Contrasts”对话框定义多项式的步骤为：均值的多项式比较是包括两个或更多个均值的比较。
例如图5-3中显示的是要求计算“1.1×mean1-1第一组均值的1.1倍与第二组的均值相等。
单因素方差分析的“0ne-Way ANOVA”过程允许进行高达5次的均要由读者自己根据研究的需要输入。
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a
n
a
a
n
所以 (xij -x..)2 n (xi.-x..)2
(xij -xi .)2
i1 j 1
i 1
i1 j 1
a
an
SSA n (xi. - x.. )2 ; SSe
( xij - xi. )2
i 1
i1 j 1
a
SSA n (xi. - x..)2，为各处理平均数xi 与总平均数x 的 i 1
一、线性模型
（一）线性模型 linear statistical model 假设某单因素试验有a个处理，每个处理有
n次重复，共有na个观测值。这类试验资料的 数据模式如表9-1所示。
表9-1 单因素方差分析的典型数据模式
合计 Xa 1 2 3 … …
X1
X2
X3
χ11 χ21 χ31 χ12 χ22 χ32 χ13 χ23 χ33 … ……
… Xi …
χi1
χa1
χi2
χa2
χi3
χa3
…
j n
合计 平均数
xχ11j xχ22j xχ33j xχ11n x2χ2n x3χ3n μ1 μ2 μ3 a1 a2 a3
xχi ij
xχቤተ መጻሕፍቲ ባይዱaj x
x iχin
xaχan x
μi
μa μ
ai
aa
符号
a n
xij n
xi. xij
j 1
xi.
1 n
（三）因素水平 level of factor 试验因素所处的某些特定状态或数量等级称
为因素水平，简称水平。比如：不同的温度；溶 液不同浓度等。 （四）重复 repeat
在试验中，将一个处理实施在两个或两个以 上的试验单位上，称为处理有重复；某一处理实 施的试验单位数称为该处理的重复数。
本章主要内容
第一节 单因素方差分析的基本原理
第二节 单因素方差分析的基本步骤 教学重点：
单因素方差分析的方法
教学要求：
1. 掌握方差分析的概念、作用、基本原理与步骤 2. 掌握单因素试验资料的方差分析方法
第一节 单因素方差分析的基本原理
一、线性模型 二、固定线性模型 三、随机线性模型 四、多重比较 五、基本假定
方差分析中常用基本概念 （一）试验指标 experimental index
为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低，在 试验中具体测定的性状或观测的项目。 （二）试验因素 experimental factor
试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验
因素，常用大写字母A、B、C、…等表示。
单因素试验与两因素或多因素试验。 固定因素与随机因素：是否可控制。
an
[(xi. -x..)2 2(xi. -x.. )(xij -xi. ) (xij -xi. )2 ]
i1 j 1
a
a
n
an
n (xi.-x..)2 2 [(xi.-x..) (xij -xi.)]
(xij -xi .)2
i 1
i 1
j 1
i1 j 1
a
其中 (xi. -x..)2 0 i 1
故an个观察值的总变异可分解为处理间的变 异和处理内的变异两部分。
全部观察值的总变异可以用总均方来度量， 处理间变异和处理内变异分别用处理间均 方和处理内均方来度量。
总平方和的拆分
an
2
an
SST
(xij -x..)
[(xi. -x..)(xij -xi. )]2
i1 j 1
i1 j 1
离均差平方和与重复数n的乘积，
反映了重复n次的处理间变异；
用6种培养液培养红苜蓿，每一种培养液做5次重复， 测定5盆苜蓿的含氮量，结果如下表（单位:mg）。问 用6种不同培养液培养的红苜蓿含氮量差异是否显著？
培养方法 盆号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ
1 19.4 17.7 17.0 20.7 14.3 17.3 2 32.6 24.8 19.4 21.0 14.4 19.4 3 27.0 27.9 9.1 20.5 11.8 19.1 4 32.1 25.2 11.9 18.8 11.6 16.9 5 33.0 24.3 15.8 18.6 14.2 20.8
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
二 固定模型fixed model
因素固定、效应也固定，反应到线性模型中即
a为i 常数．可要求
1. 假设
a α。i = 0
i =1
固定模型的零假设为：H0 : α1 = α2 = = αa = 0 备择假设为：HA : αi ≠0
2. 平方和与自由度的剖分
可xij以分解为
xij = μi + εij
μ表i 示第i个处理观测值总体的平均数。为了看出各处理的
影响大小，将 再μ进i 行分解，
令 μ
=
1 a
a i =1
μi
a i = μi -μ
则 xij = μ+ a i + εij
其中μ表示全试验观测值的总体平均数(overall mean)，
ai是第i个处理的效应(treatment effect),表示处理i对试验结果产
xi.
an
x.. xij i1 j 1
x.. 1 x.. an
Si2.
1 n-1
a i 1
(xij -xi. )2
文字表述
因素水平数 每一水平的重复数 第i水平的第j次观察值 第i水平所有观察值的 和
第i水平均值
全部观察值的和
总平均值
第i水平上的子样方差
各处理总和、 平均数、大总 和、总平均数 是计算的一级 数据，在本章 我们采用了黑 点符号体系法 表示，要注意 熟悉和掌握。
生的影响。
ε ij 是试验误差，相互独立，且服从正态分布N（0，σ2）。
该式称为单因素试验的线性统计模型或数学模型。 （二） 方差分析的基本思路
将a个处理的观测值作为一个整体看待， 把观察值 总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的 平方和及自由度，进而获得不同变异来源的总体方差估 计值；通过计算这些估计值的适当比值，就能检验各样 本所属总体均值是否相等。
方差分析 analysis of variance－ANOVA
由英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出。 方差分析是一种特殊的假设检验，是用来判断 多组数据之间平均数差异显著性的。
它不同于t检验之处在于：它把所有数据放 在一起，一次比较就对所有各组间是否有差异做 出判断，如果没有显著性差异，则认为各组平均 数相同；如果发现有差异，再进一步比较是哪组 数据与其它数据不同。