生物统计学 单因素方差分析
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用6种培养液培养红苜蓿，每一种培养液做5次重复， 测定5盆苜蓿的含氮量，结果如下表（单位:mg）。问 用6种不同培养液培养的红苜蓿含氮量差异是否显著？
培养方法 盆号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ
1 19.4 17.7 17.0 20.7 14.3 17.3 2 32.6 24.8 19.4 21.0 14.4 19.4 3 27.0 27.9 9.1 20.5 11.8 19.1 4 32.1 25.2 11.9 18.8 11.6 16.9 5 33.0 24.3 15.8 18.6 14.2 20.8
xi.
an
x.. xij i1 j 1
x.. 1 x.. an
Si2.
1 n-1
a i 1
(xij -xi. )2
文字表述
因素水平数 每一水平的重复数 第i水平的第j次观察值 第i水平所有观察值的 和
第i水平均值
全部观察值的和
总平均值
第i水平上的子样方差
各处理总和、 平均数、大总 和、总平均数 是计算的一级 数据，在本章 我们采用了黑 点符号体系法 表示，要注意 熟悉和掌握。
方差分析中常用基本概念 （一）试验指标 experimental index
为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低，在 试验中具体测定的性状或观测的项目。 （二）试验因素 experimental factor
试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验
因素，常用大写字母A、B、C、…等表示。
单因素试验与两因素或多因素试验。 固定因素与随机因素：是否可控制。
一、线性模型
（一）线性模型 linear statistical model 假设某单因素试验有a个处理，每个处理有
n次重复，共有na个观测值。这类试验资料的 数据模式如表9-1所示。
表9-1 单因素方差分析的典型数据模式
合计 Xa 1 2 3 … …
X1
X2
X3
χ11 χ21 χ31 χ12 χ22 χ32 χ13 χ23 χ33 … ……
生的影响。
ε ij 是试验误差，相互独立，且服从正态分布N（0，σ2）。
该式称为单因素试验的线性统计模型或数学模型。 （二） 方差分析的基本思路
将a个处理的观测值作为一个整体看待， 把观察值 总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的 平方和及自由度，进而获得不同变异来源的总体方差估 计值；通过计算这些估计值的适当比值，就能检验各样 本所属总体均值是否相等。
方差分析 analysis of variance－ANOVA
由英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出。 方差分析是一种特殊的假设检验，是用来判断 多组数据之间平均数差异显著性的。
它不同于t检验之处在于：它把所有数据放 在一起，一次比较就对所有各组间是否有差异做 出判断，如果没有显著性差异，则认为各组平均 数相同；如果发现有差异，再进一步比较是哪组 数据与其它数据不同。
… Xi …
χi1
χa1
χi2
χa2
χi3
χa3
…
j n
合计 平均数
xχ11j xχ22j xχ33j xχ11n x2χ2n x3χ3n μ1 μ2 μ3 a1 a2 a3
xχi ij
xχaaj x
x iχin
xaχan x
μi
μa μ
ai
aa
符号
a n
xij n
xi. xij
j 1
xi.
1 n
a
n
a
a
n
所以 (xij -x..)2 n (xi.-x..)2
(xij -xi .)2
i1 j 1
i 1
i1 j 1
a
an
SSA n (xi. - x.. )2 ; SSe
( xij - xi. )2
i 1
i1 j 1
a
SSA n (xi. - x..)2，为各处理平均数xi 与总平均数x 的 i 1
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
二 固定模型fixed model
因素固定、效应也固定，反应到线性模型中即
aBaidu Nhomakorabeai 常数．可要求
1. 假设
a α。i = 0
i =1
固定模型的零假设为：H0 : α1 = α2 = = αa = 0 备择假设为：HA : αi ≠0
2. 平方和与自由度的剖分
可xij以分解为
xij = μi + εij
μ表i 示第i个处理观测值总体的平均数。为了看出各处理的
影响大小，将 再μ进i 行分解，
令 μ
=
1 a
a i =1
μi
a i = μi -μ
则 xij = μ+ a i + εij
其中μ表示全试验观测值的总体平均数(overall mean)，
ai是第i个处理的效应(treatment effect),表示处理i对试验结果产
离均差平方和与重复数n的乘积，
反映了重复n次的处理间变异；
第一节 单因素方差分析的基本原理
第二节 单因素方差分析的基本步骤 教学重点：
单因素方差分析的方法
教学要求：
1. 掌握方差分析的概念、作用、基本原理与步骤 2. 掌握单因素试验资料的方差分析方法
第一节 单因素方差分析的基本原理
一、线性模型 二、固定线性模型 三、随机线性模型 四、多重比较 五、基本假定
故an个观察值的总变异可分解为处理间的变 异和处理内的变异两部分。
全部观察值的总变异可以用总均方来度量， 处理间变异和处理内变异分别用处理间均 方和处理内均方来度量。
总平方和的拆分
an
2
an
SST
(xij -x..)
[(xi. -x..)(xij -xi. )]2
i1 j 1
i1 j 1
an
[(xi. -x..)2 2(xi. -x.. )(xij -xi. ) (xij -xi. )2 ]
i1 j 1
a
a
n
an
n (xi.-x..)2 2 [(xi.-x..) (xij -xi.)]
(xij -xi .)2
i 1
i 1
j 1
i1 j 1
a
其中 (xi. -x..)2 0 i 1
（三）因素水平 level of factor 试验因素所处的某些特定状态或数量等级称
为因素水平，简称水平。比如：不同的温度；溶 液不同浓度等。 （四）重复 repeat
在试验中，将一个处理实施在两个或两个以 上的试验单位上，称为处理有重复；某一处理实 施的试验单位数称为该处理的重复数。
本章主要内容
培养方法 盆号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ
1 19.4 17.7 17.0 20.7 14.3 17.3 2 32.6 24.8 19.4 21.0 14.4 19.4 3 27.0 27.9 9.1 20.5 11.8 19.1 4 32.1 25.2 11.9 18.8 11.6 16.9 5 33.0 24.3 15.8 18.6 14.2 20.8
xi.
an
x.. xij i1 j 1
x.. 1 x.. an
Si2.
1 n-1
a i 1
(xij -xi. )2
文字表述
因素水平数 每一水平的重复数 第i水平的第j次观察值 第i水平所有观察值的 和
第i水平均值
全部观察值的和
总平均值
第i水平上的子样方差
各处理总和、 平均数、大总 和、总平均数 是计算的一级 数据，在本章 我们采用了黑 点符号体系法 表示，要注意 熟悉和掌握。
方差分析中常用基本概念 （一）试验指标 experimental index
为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低，在 试验中具体测定的性状或观测的项目。 （二）试验因素 experimental factor
试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验
因素，常用大写字母A、B、C、…等表示。
单因素试验与两因素或多因素试验。 固定因素与随机因素：是否可控制。
一、线性模型
（一）线性模型 linear statistical model 假设某单因素试验有a个处理，每个处理有
n次重复，共有na个观测值。这类试验资料的 数据模式如表9-1所示。
表9-1 单因素方差分析的典型数据模式
合计 Xa 1 2 3 … …
X1
X2
X3
χ11 χ21 χ31 χ12 χ22 χ32 χ13 χ23 χ33 … ……
生的影响。
ε ij 是试验误差，相互独立，且服从正态分布N（0，σ2）。
该式称为单因素试验的线性统计模型或数学模型。 （二） 方差分析的基本思路
将a个处理的观测值作为一个整体看待， 把观察值 总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的 平方和及自由度，进而获得不同变异来源的总体方差估 计值；通过计算这些估计值的适当比值，就能检验各样 本所属总体均值是否相等。
方差分析 analysis of variance－ANOVA
由英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出。 方差分析是一种特殊的假设检验，是用来判断 多组数据之间平均数差异显著性的。
它不同于t检验之处在于：它把所有数据放 在一起，一次比较就对所有各组间是否有差异做 出判断，如果没有显著性差异，则认为各组平均 数相同；如果发现有差异，再进一步比较是哪组 数据与其它数据不同。
… Xi …
χi1
χa1
χi2
χa2
χi3
χa3
…
j n
合计 平均数
xχ11j xχ22j xχ33j xχ11n x2χ2n x3χ3n μ1 μ2 μ3 a1 a2 a3
xχi ij
xχaaj x
x iχin
xaχan x
μi
μa μ
ai
aa
符号
a n
xij n
xi. xij
j 1
xi.
1 n
a
n
a
a
n
所以 (xij -x..)2 n (xi.-x..)2
(xij -xi .)2
i1 j 1
i 1
i1 j 1
a
an
SSA n (xi. - x.. )2 ; SSe
( xij - xi. )2
i 1
i1 j 1
a
SSA n (xi. - x..)2，为各处理平均数xi 与总平均数x 的 i 1
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
二 固定模型fixed model
因素固定、效应也固定，反应到线性模型中即
aBaidu Nhomakorabeai 常数．可要求
1. 假设
a α。i = 0
i =1
固定模型的零假设为：H0 : α1 = α2 = = αa = 0 备择假设为：HA : αi ≠0
2. 平方和与自由度的剖分
可xij以分解为
xij = μi + εij
μ表i 示第i个处理观测值总体的平均数。为了看出各处理的
影响大小，将 再μ进i 行分解，
令 μ
=
1 a
a i =1
μi
a i = μi -μ
则 xij = μ+ a i + εij
其中μ表示全试验观测值的总体平均数(overall mean)，
ai是第i个处理的效应(treatment effect),表示处理i对试验结果产
离均差平方和与重复数n的乘积，
反映了重复n次的处理间变异；
第一节 单因素方差分析的基本原理
第二节 单因素方差分析的基本步骤 教学重点：
单因素方差分析的方法
教学要求：
1. 掌握方差分析的概念、作用、基本原理与步骤 2. 掌握单因素试验资料的方差分析方法
第一节 单因素方差分析的基本原理
一、线性模型 二、固定线性模型 三、随机线性模型 四、多重比较 五、基本假定
故an个观察值的总变异可分解为处理间的变 异和处理内的变异两部分。
全部观察值的总变异可以用总均方来度量， 处理间变异和处理内变异分别用处理间均 方和处理内均方来度量。
总平方和的拆分
an
2
an
SST
(xij -x..)
[(xi. -x..)(xij -xi. )]2
i1 j 1
i1 j 1
an
[(xi. -x..)2 2(xi. -x.. )(xij -xi. ) (xij -xi. )2 ]
i1 j 1
a
a
n
an
n (xi.-x..)2 2 [(xi.-x..) (xij -xi.)]
(xij -xi .)2
i 1
i 1
j 1
i1 j 1
a
其中 (xi. -x..)2 0 i 1
（三）因素水平 level of factor 试验因素所处的某些特定状态或数量等级称
为因素水平，简称水平。比如：不同的温度；溶 液不同浓度等。 （四）重复 repeat
在试验中，将一个处理实施在两个或两个以 上的试验单位上，称为处理有重复；某一处理实 施的试验单位数称为该处理的重复数。
本章主要内容