密码学——第4章-数论与有限域基础

第14页/共131页
►模运算
▪ 例：设 Z8 = {0, 1, …,7}，考虑 Z8 上的模加法和模 乘法，结果如下表所示：
▪ 例 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 整除 24 ▪ 整除具有以下性质：
► 如果 a|1，那么a=±1 ► 如果 a|b 且 b|a，则a=±b ► 对任一 b (b≠0)，b|0 ► 如果 b|g，b|h，则对任意整数 m、n 有 b|(mg+nh)
2021/3/10
讲解：XX
讲解：XX
数论基础
第7页/共131页
►素数与互素
▪ 由于最大公因子为正，所以 gcd(a, b) = gcd(a, -b) = gcd(-a, b) = gcd(-a, -b)
一般地 gcd(a, b) = gcd(|a|, |b|)
▪ 由任一非 0 整数能整除 0，可得 gcd(a, 0) = |a|
▪ 从以上性质易知，同余类中的每一元素都可作为 这个同余类的表示元素。
2021/3/10
讲解：XX
数论基础
第11页/共131页
►模运算
▪ 求余数的操作 a mod n 将整数 a 映射到集合 {0, 1, …, n-1}，在这个集合上的算术运算称为 模运算，模运算有以下性质：
① [(a mod n)+(b mod n)] mod n = (a+b) mod n ② [(a mod n)-(b mod n)] mod n = (a-b) mod n ③ [(a mod n)×(b mod n)] mod n = (a×b) mod n
2021/3/10
讲解：XX
数论基础
第5页/共131页
►素数与互素
▪ 该性质称为整数分解的惟一性，也可如下陈述： 设 P 是所有素数集合，则任意整数 a (a>1) 都能 惟一地写成以下形式：
a pap pP
其中 ap≥0，等号右边的乘积项取所有的素数，然 而大多指数项 ap 为 0。 ▪ 相应地，任一正整数可由非 0 指数列表表示。 例如：11011可表示为{a7=1, a11=2, a13=1}。
112345670 101234567
223456701 202460246
334567012 303614725
445670123 404040404
556701234 505274163
667012345 606420642
770123456 707654321
2021/3/10
讲解：XX
数论基础
讲解：XX
数论基础
第8页/共131页
►素数与互素
▪ 如果 gcd(a, b) = 1，则称 a 和 b 互素 ▪ 整数 a, b 互素是指除 1 之外它们没有其它公因子，
例如：8 与15 互素
8 的因子：1, 2, 4, 8 15 的因子：1, 3, 5, 15 1 是 8 与15 唯一的公因子
2021/3/10
2021/3/10
讲解：XX
数论基础
第6页/共131页
►素数与互素
▪ 称 c 是两个整数 a、b 的最大公因子，当且仅当： ① c 是 a 的因子也是 b 的因子， 即 c 是 a、b 的公因子 ② a 和 b 的任一公因子，也是 c 的因子
▪ 表示为 c = gcd(a, b)
2021/3/10
▪ 如果将 a，b 都表示为素数的乘积，则 gcd(a, b) 极易确定。例如：300=22×31×52；18=21×32， 所以 gcd(18, 300) = 21×31×50 = 6
▪ 一般地，由 c = gcd(a, b)可得： 对每一素数p， cp = min(ap, bp)
2021/3/10
讲解：XX
数论基础
第9页/共131页
►模运算
▪ 设 n 是一正整数，a 是整数，如果用 n 除 a，得 商为 q，余数为 r，则
a qn r; 0 r n, q an ►其中 x为小于或等于 x 的最大整数。 ►用 a mod n 表示余数 r，则 a an n a mod n ►如果 (a mod n) = (b mod n)，则称 a 和 b (模 n) 同余，
第一部分 第四章 数论与有限域基础
张权 2012年秋季
2021/3/10
讲解：XX
1
►数论基础 ►群、环、域 ►有限域基础
本章提纲
第2页/共131页
2021/3/10
讲解：XX
数论基础
第3页/共131页
►素数与互素
▪ 对整数 b!=0 及 a，如果存在整数 m 使得 a=mb， 称 b 整除 a，也称 b 是 a 的因子，记作 b|a
记为 a≡b mod n。
►与 a 模 n 同余的数的全体称为 a 的同余类，记为[a]， 称 a 为这个同余类的表示元素。
►注意： 如果 a≡0 (mod n)，则n|a。
2021/3/10
讲解：XX
数论基础
第10页/共131页
►模运算
▪ 同余有以下性质：
① 若 n|(a-b)，则 a≡b mod n ② a≡b mod n，则 b≡a mod n ③ a≡b mod n 且 b≡c mod n，则 a≡c mod n
2021/3/10
讲解：XX
数论基础
第12页/共131页
►模运算
▪ 性质①的证明：
设 (a mod n) = ra，(b mod n) = rb，则存在整数 j、k 使得 a = jn+ra，b = kn+rb， 因此：
(a+b) mod n = [(j+k)n+ra+rb] mod n = (ra+rb) mod n = [(a mod n)+(b mod n)] mod n
数论基础
第4页/共131页
►素数与互素
▪ 称整数 p(p>1) 是素数，如果 p 的因子 只有±1，±p
▪ 任一整数 a(a>1) 都能惟一地表示为以下形式：
a
p p 1 2 12
p t t
其中 p1 > p2 > … > pt 是素数，αi >0(i=1,…,t)。 例如：91=7×13，11011=7×112×13
▪ 性质②、③的证明类似。
wenku.baidu.com（证毕）
2021/3/10
讲解：XX
数论基础
第13页/共131页
►模运算
▪ 例：设 Z8 = {0, 1, …, 7}，考虑 Z8 上的模加法和 模乘法，结果如下表所示：
+8 0 1 2 3 4 5 6 7 ×8 0 1 2 3 4 5 6 7 001234567 000000000