密码学——第4章-数论与有限域基础
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数论在密码学中的应用
数论在数字签名中的应用
01 数字签名算法的基本原理
用私钥对信息进行签名，公钥验证签名的方 法
02 数论如何保证数字签名的安全性
数论算法保证数字签名的唯一性和不可伪造 性
03
● 02
第2章 质数和素数
质数的定义和性 质
质数是指只能被1和 自身整除的正整数。 在密码学中，质数被 广泛运用于加密算法 中，其特性决定了加 密过程的安全性。费 马小定理是一个重要 的数论定理，在密码 学中也有着重要的应 用。Fra bibliotek欧拉函数
欧拉函数的定义和 性质
欧拉函数是小于等于n的正 整数中与n互质的数目。 欧拉函数的计算涉及较多 数论知识。
欧拉定理及其证明
欧拉定理是一个与欧拉函 数相关的重要定理。 其证明需要一定的数论知 识和技巧。
欧 拉 函 数 在 RSA 加 密算法中的应用
RSA加密算法中的密钥生 成依赖于欧拉函数的性质。 欧拉函数在RSA算法的加 密和解密过程中起到关键 作用。
费马大定理
费马大定理 的概念及历
史
介绍费马大定理 的由来和发展
费马大定理 在密码学中
的应用
探讨费马大定理 在密码学领域的
具体应用
费马大定理 的证明
讨论费马大定理 的证明过程
模运算
模运算是一种数学运 算，常用于密码学中 的加密算法。它具有 独特的性质和应用， 在数据传输和信息加 密过程中发挥重要作 用。模逆元的计算方 法是模运算中的重要 计算方式之一。
03 医疗健康领域的数字签名
保护病历和医疗数据的隐私性
数字签名的技术 原理
数字签名使用非对称 加密技术保障数据传 输的安全性和完整性， 发送者使用私钥对信 息进行签名，接收者 使用公钥进行验证。 这种加密方式基于数 论的难解性原理，确 保签名不可伪造。
密码学——第4章 数论与有限域基础 ppt课件
一般地，由 c = gcd(a, b)可得： 对每一素数p， cp = min(ap, bp)
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数论基础
第8页/共131页
►素数与互素
如果 gcd(a, b) = 1，则称 a 和 b 互素 整数 a, b 互素是指除 1 之外它们没有其它公因子，
例如：8 与15 互素
8 的因子：1, 2, 4, 8 15 的因子：1, 3, 5, 15 1 是 8 与15 唯一的公因子
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数论基础
第6页/共131页
►素数与互素
称 c 是两个整数 a、b 的最大公因子，当且仅当： ① c 是 a 的因子也是 b 的因子， 即 c 是 a、b 的公因子 ② a 和 b 的任一公因子，也是 c 的因子
表示为 c = gcd(a, b)
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数论基础
第7页/共131页
#: if Y3=妨0设thbe<na）re，tu即rn存X在3x=(gxc<da()f，, d使)；得nbox≡i1nvmeordsea;。 if Y►3=扩1展thEenucrliedtu算r法n 可Y求3=出gcdgc(df,(ad,)b；)，Y当2=gdc-d1 (ma,obd) =f;1， Q=X3还/Y得3到；b 的逆元。 (T1, T2, T3)←(X1-QY1, X2-QY2, X3-QY3); (X1, X2, X3)←(Y1, Y2, Y3); (Y1, Y2, Y3)←(T1, T2, T3); goto #;
3
x4
都有54乘00法逆54 元20。74
0 4
4 1
0 6
4 3
667012345 606420642
770123456 707654321 PPT课件
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数论基础
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►素数与互素
如果 gcd(a, b) = 1，则称 a 和 b 互素 整数 a, b 互素是指除 1 之外它们没有其它公因子，
例如：8 与15 互素
8 的因子：1, 2, 4, 8 15 的因子：1, 3, 5, 15 1 是 8 与15 唯一的公因子
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数论基础
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►素数与互素
称 c 是两个整数 a、b 的最大公因子，当且仅当： ① c 是 a 的因子也是 b 的因子， 即 c 是 a、b 的公因子 ② a 和 b 的任一公因子，也是 c 的因子
表示为 c = gcd(a, b)
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数论基础
第7页/共131页
#: if Y3=妨0设thbe<na）re，tu即rn存X在3x=(gxc<da()f，, d使)；得nbox≡i1nvmeordsea;。 if Y►3=扩1展thEenucrliedtu算r法n 可Y求3=出gcdgc(df,(ad,)b；)，Y当2=gdc-d1 (ma,obd) =f;1， Q=X3还/Y得3到；b 的逆元。 (T1, T2, T3)←(X1-QY1, X2-QY2, X3-QY3); (X1, X2, X3)←(Y1, Y2, Y3); (Y1, Y2, Y3)←(T1, T2, T3); goto #;
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x4
都有54乘00法逆54 元20。74
0 4
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密码学中的数论基础课件
02
RSA算法的安全性基于大数分解的难度，使得 加密和解密过程更加复杂。
03
RSA算法广泛应用于数据传输和网络安全领域 。
ElGamal算法
ElGamal算法是一种基于离散对数问题的公钥加密算法。 该算法利用了数论中的离散对数问题，使得加密和解密过程更加高效。
ElGamal算法在数字签名和密钥协商等领域也有广泛应用。
展望：量子密码学与后量子密码学的未来发展
后量子密码学
后量子密码学是指那些在量子计算机时代仍然具有优 势的密码系统。随着量子计算机的发展，许多传统的 加密算法可能会被破解，而后量子密码学则能够提供 更为安全的加密方式。未来，后量子密码学会得到越 来越广泛的应用和发展。
THANKS
和窃听的风险。
复杂性
为了实现更高级别的 安全性，密码学需要 处理复杂的数学问题 和计算难题。这使得 密码学在实际应用中 面临一定的复杂性挑
战。
可用性
密码学需要保证信息 的可用性和完整性。 在现实生活中，由于 各种原因，如网络延 迟、系统故障等，可 能会出现信息不可用
或损坏的情况。
隐私保护
随着大数据和人工智 能的发展，个人隐私 保护成为一个重要的 问题。密码学需要在 保证信息传输安全的 同时，确保个人信息 不被泄露和滥用。
圆曲线等。
第四部分
04
介绍密码学中的一些现代协议，如密钥交换协 议、数字签名方案和零知识证明等，并介绍其
原理、实现和应用。
02
数论基本概念
整数的性质
整数的分类
正整数、负整数和零。
整数的性质
加法、减法、乘法和除法等运算的封闭性、交换 律、结合律等。
整数的基本运算
加法、减法、乘法和除法等。
现代密码学--4.1 数论基础知识.ppt
推论：a的阶整除j(n)。
本原根：a的阶m等于j(n)，a为n的本原根。 如果a是n的本原根，a1,a2,...,a j(n)在模n下互不相
同且与n互素。
本原根不唯一。
并非所有元素都有本原根，仅有以下形式的整数 才有本原根：2，4，pa,2pa, p是奇素数
2019年8月25
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15
是困难的，这就是离散对数问题。
2019年8月25
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27
现代密码学
（3）多项式求根问题
有限域GF（p）上的一个多项式：
y f (x) xn an1xn1 a1x a0 mod p
已知 a0 , a1,..., an1 , p和x，求y是容易的，
而已知y,
a0,a1,..，., an求1 x则是困难的，这
⑥ 若a b mod n，c d mod n，则a+c b+d (mod n), ac bd (mod n)。
2019年8月25
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8
现代密码学
模运算
一般的，定义Zn为小于n的所有非负整数集 合，即Zn={0, 1,…, n1}，称Zn为模n的同余 类集合。Zn中的加法（+）和乘法（）都为 模n运算，具有如下性质： ① 交换律 (w+x)mod n = (x+w) mod n (wx)mod n = (xw) mod n
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7
现代密码学
同余及其性质
同余有如下性质：
① 若n|（ab），则a b mod n。
② 若a mod n b mod n，则a b mod n。
③ a a mod n。
④ 若a b mod n，则b a mod n。
本原根：a的阶m等于j(n)，a为n的本原根。 如果a是n的本原根，a1,a2,...,a j(n)在模n下互不相
同且与n互素。
本原根不唯一。
并非所有元素都有本原根，仅有以下形式的整数 才有本原根：2，4，pa,2pa, p是奇素数
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是困难的，这就是离散对数问题。
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（3）多项式求根问题
有限域GF（p）上的一个多项式：
y f (x) xn an1xn1 a1x a0 mod p
已知 a0 , a1,..., an1 , p和x，求y是容易的，
而已知y,
a0,a1,..，., an求1 x则是困难的，这
⑥ 若a b mod n，c d mod n，则a+c b+d (mod n), ac bd (mod n)。
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模运算
一般的，定义Zn为小于n的所有非负整数集 合，即Zn={0, 1,…, n1}，称Zn为模n的同余 类集合。Zn中的加法（+）和乘法（）都为 模n运算，具有如下性质： ① 交换律 (w+x)mod n = (x+w) mod n (wx)mod n = (xw) mod n
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现代密码学
同余及其性质
同余有如下性质：
① 若n|（ab），则a b mod n。
② 若a mod n b mod n，则a b mod n。
③ a a mod n。
④ 若a b mod n，则b a mod n。
《密码学基础》课程教学大纲
《密码学基础》课程教学大纲（Fundamentals of Cryptography）课程编号: 1223527课程性质：专业课适用专业：计算机科学与技术先修课程：线性代数、概率论与数理统计、离散数学后续课程：总学分：2学分一、教学目的与要求1. 教学目的密码学包含两个密切相关的方面，其一是密码编码学，研究编写出好的密码系统的方法；其二是密码分析学，研究攻破一个密码系统的途径，恢复被隐蔽信息的本来面目。
通过本课程的学习使学生初步掌握密码编码学的知识、了解密码分析学的基本概念和方法。
2. 教学要求通过本课程的学习，要求学生能初步掌握密码学的主要内容，包括：公钥密码，分组密码，伪随机序列发生器，序列密码，数字签名等等。
要求重点掌握各种密码算法和密码协议及其设计原理，掌握密钥管理、数字签名、身份认证、散列函数等核心技术。
二、课时安排三、教学内容1. 密码学的基本概念(2学时)(1)教学基本要求了解：信息安全模型；信息安全与密码学的关系；密码学的发展方向。
理解：密码学的发展与分类；密码学的基本概念；现代密码学的理论基础。
(2)教学内容①对安全威胁的被动攻击（截获）与主动攻击（中断、篡改、伪造）；②信息安全的三个特性（保密性Confidentiality、完整性Integrity、可用性Availability）；③密码学的分类（密码编码学、密码分析学、密码密钥学）；④密码编码学的分类（对称密码与非对称密码）；⑤密码分析及对密码系统攻击能力等级。
2. 分组密码(4学时)(1)教学基本要求了解：DES；对DES的攻击方法；分组密码设计的一般原理；IDEA；Double-DES，Triple-DES；AES的产生背景。
理解：DES算法；分组密码(DES)的使用模式；IDEA的总体结构；AES算法；逆元的计算；分组密码的工作模式。
(2)教学内容①DES算法的整体结构(重点)；②初始置换、逆初始置换、乘积变换、16轮迭代、函数f、S-盒、P置换；③子密钥的生成及DES的解密过程；④DES的雪崩效应、DES的弱密钥及半弱密钥、对DES的攻击；⑤Double-DES与Triple-DES；⑥分组密码设计的一般原理及分组密码的工作模式（ECB、CBC、CFB、OFB）；⑦IDEA的总体结构，8轮迭代、输出变换、密钥调度、乘积运算；⑧逆元的计算；⑨DES，Double-DES，Triple-DES，IDEA的安全性；⑩AES分组密码算法（轮变换、加轮密钥、密钥调度、密钥扩展等）。
北交大 密码学课件 第4章_数论初步和有限域
模运算
设 n 是一正整数，a 是整数，如果用 n 除 a，得商为 q， 余数为 r，则 a=qn+r, 0≤r<n,
q a n
其中 x 为小于或等于 x 的最大整数。
a n a mod n a 用 a mod n 表示余数 r，则 n 。
算法中的变量有以下关系：
fT1+dT2=T3; fX1+dX2=X3; fY1+dY2=Y3
在算法Euclid (f, d)中，X等于前一轮循环中的Y， Y等于前一轮循环中的X mod Y。而在算法 Extended Euclid(f, d)中，X3等于前一轮循环中的 Y3，Y3等于前一轮循环中的X3-QY3，由于Q是Y3 除X3的商，因此Y3是前一轮循环中的Y3除X3的余 数，即X3 mod Y3，可见Extended Euclid(f, d)中 的X3、Y3与Euclid(f, d)中的X、Y作用相同，因此 可正确产生gcd(f, d)。
推广的Euclid算法先求出gcd(a, b)，当gcd(a,
b)=1时，则返回b的逆元。
Extended Euclid(f, d) （设 f >d） 1. (X1, X2, X3)←(1, 0, f); 2. if Y3=0 then return 3. if Y3=1 then return 4. Q X 3 / Y3 ； 5. (T1, T2, T3)←(X1-QY1, X2-QY2, X3-QY3); 6. (X1, X2, X3)←(Y1, Y2, Y3); 7. (Y1, Y2, Y3)←(T1, T2, T3); 8. goto 2。 (Y1, Y2, Y3)←(0, 1, d); X3=gcd(f, d)；no inverse; Y3=gcd(f, d)；Y2=d-1 mod f;
2084公钥密码基础
素数定理：
设(x)是小于x的素数的个数,则
(x)
x ,且当x lnx
,(xx)
1
lnx
在各种应用中，我们需要大的素数,如100位的素数
素数是构成整数的因子，每一个整数都是由一个或几个素数 的不同次幂相乘得来的。
6
3.最大公约数
a和b的最大公约数是能够同时整除a和b的最大正整 数，记为gcd(a,b)。 – 如：gcd(20,24)=4 , gcd (15,16)=1
20
离散对数（指标）
某素数p，有本原根a，且： X1=a1mod p，X2=a2mod p ，…，Xp-1=ap-1mod p， 则：x1≠x2≠…≠ xp-1 令：S={x1,x2,…, xp-1}，T={1,2,…,p-1} 则：S=T 对于任意整数b，有b≡r (mod p) (0≤r≤p-1) 所以，对于b和素数p的本原根a，有唯一的幂i，使得：
10
5.除法
设整数a，b，c，n(n ≠0)，且gcd(a,n)=1。 如果ab≡ac (mod n)，那么b≡c (mod n)
11
4.2.2 欧几里德算法(Euclid)
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a，b的最 大公约数。
其计算原理依赖于下面的定理： gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
推论：给定两个素数p, q,两个整数 n,m，使得n=pq, 0<m<n ；则对于任意整数k ，下列关系成立： m kф(n)+1 ≡ m (mod n)
例如：p=2，q=3，n=6，m=4 ，ф(6)=2
(42×2+1 ＝ 45＝1024 )≡4 (mod 6)，k=2 18
4.2.6 离散对数
设(x)是小于x的素数的个数,则
(x)
x ,且当x lnx
,(xx)
1
lnx
在各种应用中，我们需要大的素数,如100位的素数
素数是构成整数的因子，每一个整数都是由一个或几个素数 的不同次幂相乘得来的。
6
3.最大公约数
a和b的最大公约数是能够同时整除a和b的最大正整 数，记为gcd(a,b)。 – 如：gcd(20,24)=4 , gcd (15,16)=1
20
离散对数（指标）
某素数p，有本原根a，且： X1=a1mod p，X2=a2mod p ，…，Xp-1=ap-1mod p， 则：x1≠x2≠…≠ xp-1 令：S={x1,x2,…, xp-1}，T={1,2,…,p-1} 则：S=T 对于任意整数b，有b≡r (mod p) (0≤r≤p-1) 所以，对于b和素数p的本原根a，有唯一的幂i，使得：
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5.除法
设整数a，b，c，n(n ≠0)，且gcd(a,n)=1。 如果ab≡ac (mod n)，那么b≡c (mod n)
11
4.2.2 欧几里德算法(Euclid)
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a，b的最 大公约数。
其计算原理依赖于下面的定理： gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
推论：给定两个素数p, q,两个整数 n,m，使得n=pq, 0<m<n ；则对于任意整数k ，下列关系成立： m kф(n)+1 ≡ m (mod n)
例如：p=2，q=3，n=6，m=4 ，ф(6)=2
(42×2+1 ＝ 45＝1024 )≡4 (mod 6)，k=2 18
4.2.6 离散对数
现代密码学理论与实践-有限域
– (A3) 单位元Identity element: G中存在一个元素e， 对于G中任意元素a，都有a•e=e•a=a成立
– (A4) 逆元Inverse element: 对于G中任意元素a, G中 都存在一个元素a’，使得a•a’=a’•a=e成立
2019/9/6
3/51
群、有限群和无限群
• 用Nn表示n个不同符号的集合，{1,2,…,n}. n个不同符号的一 个置换是一个Nn到Nn的一一映射。定义Sn为n个不同符号的所有 置换组成的集合。Sn中的每一个元素都代表集合{1,2,…,n}的 一个置换，容易验证Sn是一个群：
②对称性：若a=b mod n，则b=a mod n ③传递性: 若a=b mod n 且b=c mod n，则a=c mod n ④如果 a=b mod n且 c=d mod n，则
a+c=(b+d) mod n a-c=(b-d) mod n a•c=(b•d) mod n
⑤ (a+b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n (a-b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n (a•b) mod n = (a mod n • b mod n) mod n
现代密码学理论与实践
有限域
本章要点
• 域是一些元素的集合，其上定义了两个算术运算(加 法和乘法)，具有常规算术性质，如封闭性、结合律、 交换律、分配律、加法逆和乘法逆等。
• 模算术是一种整数算术，它将所有整数约减为一个固
定的集合[0,1,…,n-1]，n为某个整数。任何这个集 合外的整数通过除以n取余的方式约减到这个范围内。
模n。对于任意整数a，我们总可写出： a =⌊a/n」x n + (a mod n)
– (A4) 逆元Inverse element: 对于G中任意元素a, G中 都存在一个元素a’，使得a•a’=a’•a=e成立
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群、有限群和无限群
• 用Nn表示n个不同符号的集合，{1,2,…,n}. n个不同符号的一 个置换是一个Nn到Nn的一一映射。定义Sn为n个不同符号的所有 置换组成的集合。Sn中的每一个元素都代表集合{1,2,…,n}的 一个置换，容易验证Sn是一个群：
②对称性：若a=b mod n，则b=a mod n ③传递性: 若a=b mod n 且b=c mod n，则a=c mod n ④如果 a=b mod n且 c=d mod n，则
a+c=(b+d) mod n a-c=(b-d) mod n a•c=(b•d) mod n
⑤ (a+b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n (a-b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n (a•b) mod n = (a mod n • b mod n) mod n
现代密码学理论与实践
有限域
本章要点
• 域是一些元素的集合，其上定义了两个算术运算(加 法和乘法)，具有常规算术性质，如封闭性、结合律、 交换律、分配律、加法逆和乘法逆等。
• 模算术是一种整数算术，它将所有整数约减为一个固
定的集合[0,1,…,n-1]，n为某个整数。任何这个集 合外的整数通过除以n取余的方式约减到这个范围内。
模n。对于任意整数a，我们总可写出： a =⌊a/n」x n + (a mod n)
密码学中的数学方法
密码学中的数学方法密码学是保护信息安全的一门科学，涵盖了从数据加密、数据完整性到身份认证等多方面的技术与理论。
它依赖于复杂的数学原理与方法，以确保信息在传输与存储过程中的保密性、完整性和可用性。
在这篇文章中，我们将探讨一些实现密码学的重要数学方法，包括数论、代数结构、组合数学以及概率论等。
数论在密码学中的应用数论是研究整数及其性质的数学分支，在密码学中扮演着至关重要的角色。
很多现代密码算法都依赖于数论的一些基本概念。
质数与分解问题质数是大于1的自然数，除了1和它本身外没有其他因子。
利用质数构成的结构，诸如RSA加密算法得以实现。
RSA算法的安全性主要基于大数分解的困难性。
即当两个大质数相乘时，找到这两个质数几乎是不可能的。
这种性质在许多加密系统中得到了应用。
模运算与同余模运算是处理整数的一种方式，可以看作是在一个有限集合上进行的运算。
在密码学中，模运算被广泛用于构造加密算法，例如Diffie-Hellman密钥交换协议和RSA算法中都用到了模运算。
通过使用同余关系，密码学家能够设计出具有强安全性的加密系统。
离散对数问题离散对数问题是指给定一个素数p，一个整数g（生成元）和一个整数y，求解整数x，使得g^x ≡ y (mod p)。
该问题在现代密码学中非常重要，例如在Diffie-Hellman密钥交换和ElGamal加密中均有应用。
与大数分解问题类似，离散对数问题在某些情况下也是计算上不可行的，因此为相应加密方法提供了安全保障。
代数结构及其在密码学中的应用代数结构主要涉及群、环和场等概念，这些结构为密码算法提供了基础。
群理论群是一个集合及其上的一种二元运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元等条件。
在密码学中，多种算法都依赖于特定群的性质。
例如，在椭圆曲线密码学（ECC）中，点的加法形成了一个阿贝尔群，该群具备良好的数学性质，使得基于其结构构建的加密算法既高效又安全。
环与域环是一种比群更为强壮的代数结构，它允许我们进行加法和乘法两种操作。
05_密码学基础(四)_公开密钥密码算法
密钥分配
使用对称密码算法 保密通信双方需共享密钥：A&B，B&C，C&A N个用户集需要N(N-1)/2个共享密钥 共享密钥需要经常更换，更换方式有
A选择密钥并手工传递给B 第三方C选择密钥分别手工传递给A,B 用A,B原有共享密钥传送新密钥 与A,B分别有共享密钥的第三方C传送新密钥给A和/ 或B
数论简介
欧拉定理 表述1： 将Z/(n）表示为 Zn，其中n=pq; p,q为素数且相异。 若Z*n={g∈ Zn|gcd(g,n)=1}，易见Z*n为(n)阶的乘 法群，且有 g(n)1(mod n)，而 (n)=(p-1)(q-1)。 表述2： 若整数g和n互素，则g(n) ≡1(mod n)；其中(n)为比 n小，但与n互素的正整数个数, 称为(n)的欧拉函数 表述3： 给定两个素数p和q，以及两个整数m、n，使得n=pq ，且0<m<n，对于任意整数k下列关系成立，
公钥密码学的历史
76年Diffie和Hellman发表了“密码学的新方向 ”，奠定了公钥密码学的基础 公钥技术是二十世纪最伟大的思想之一
改变了密钥分发的方式 可以广泛用于数字签名和身份认证服务
78年，RSA算法 PKI
公钥加密模型
公开密钥的加密
公开密钥密码的重要特性 加密与解密由不同的密钥完成 加密: X –>Y：Y = EKU(X) 解密: Y –>X: X = DKR(Y) = DKR(EKU(X)) 知道加密算法，从加密密钥得到解密密钥在计算上是 不可行的； 两个密钥中任何一个都可以用作加密而另一个用作解 密 X = DKR(EKU(X)) = EKU(DKR(X))
密码学中的数论基础
模递归运算
➢模递归运算是“模除求余” ➢例.r = a mod n 计算 a = d.n + r ➢ 33 mod 7 = 4.7 + 5; 得数是 5 ➢一般, r 取正数 ➢例 -18 mod 7 = -3.7 + 3; 答案是3
➢a+/-b mod n = [a mod n +/- b mod n] mod n
模算术运算
▪ 加法 a+b mod n ▪ 减法 a-b mod n = a+(-b) mod n
乘法\除法
▪ 乘法 ▪ a.b mod n
➢ 反复加法
▪ 除法
➢ a/b mod n ➢ 乘以b旳逆元: a/b = a.b-1 mod n ➢ 假如n是素数, b-1 mod n 存在 s.t b.b-1 = 1 mod n ➢ 例. 2.3=1 mod 5 hence 4/2=4.3=2 mod 5
1.2 模运算
▪ 又由gcd(a，n)=1，得a是k1-k2旳一种因子，设k1k2=k3a，所以a(b-c)=k3an，即b-c=k3n，与 0<c<b<n矛盾。 所以|a×Zn|=|Zn|，又知a×Zn Zn，所以 a×Zn=Zn。所以对1∈Zn，存在x∈Zn，使得 a×x≡1 mod n，即x是a旳乘法逆元。记为x=a-1。 （证毕）
乘法逆元。本例可见 并非每一x都有乘法逆 元。
1.2 模运算
一般地，定义Zn为不大于n旳全部非负整 数集合，即Zn={0,1, …,n-1}，称Zn为模n旳 同余类集合。其上旳模运算有下列性质： ① 互换律 (w+x) mod n=(x+w) mod n
(w×x) mod n=(x×w) mod n ② 结合律 ::
有限域
第六章 有限域上的椭圆曲线（4学时） 6.1 椭圆曲线上的群结构 6.2 椭圆曲线的射影坐标表示 6.3 椭圆曲线上的有理点 6.4 椭圆曲线密码学 第七章 有限域的应用（6学时） 7.1 有限域在流密码中的应用 7.2 有限域在公钥密码中的应用 7.3 有限域在编码中的应用
第一章 代数学基础
陪集、指数
正规子群和商群
正规子群：G为群，H是G的子群，若 a G, h H 有 aha 1 H ， 则称H为G的正规子群，记为H G。 H G g G, gHg 1 H g G, gH Hg
商群：如果群G的子群H是正规子群，则模H的陪 集集合在运算(aH) · (bH)=(ab)H 下构成一个群， 称为G关于H的商群，记为G/H.
有限域及其应用
聂旭云 xynie@
教师简介
聂旭云 研究方向：密码学，公钥密码算法，密码 学相关代数理论
教学目的
掌握有限域的基本理论和基本方法, 熟悉有 限域的结构 了解有限域与多项式的关系, 熟悉不可约多 项式与多项式的分解 掌握有限域的应用与方法, 能用基本的有限 域理论解决和回答一些应用问题, 如编码理 论和密码理论中的有限域应用。
G到G自身的同构称为内自同构
核（kernel)：设f：G→H是群同态映射，f的核定 义为kerf={a∈G|f(a)=1H}，其中1H是H中的单位 元。
内自同构和共轭元
群同态基本定理
定理： 设f：G→H是群G到群H上的满同态映射， 那么kerf是群的一个正规子群，而且H同构于商群 G/kerf，即G/kerf≌ H。反之，如果N是G的正规 子群，则映射
群的例子
{Z，+} 数域K中全体n阶可逆矩阵对于矩阵的乘法 构成群称为n级一般线形群，记为GLn(K); GLn(K)中全体行列式为1的矩阵对于矩阵的 乘法也构成群，称为特殊线形群，记为 SLn(K)。
数论在密码学中的加密算法
数论在密码学中的加密算法密码学作为一门研究信息安全的学科，其核心目标是设计和分析安全的加密算法。
而数论作为数学的一个分支，广泛应用于密码学中的加密算法中。
本文将探讨数论在密码学中的应用，以及数论在加密算法中的贡献。
一、数论的基础概念在深入讨论数论在密码学中的应用之前，我们首先需要了解一些数论的基础概念。
数论是研究整数性质的数学学科，其中包括质数、素数、模运算等概念。
其中，质数是指只能被1和自身整除的整数，而素数是指只有两个不同因子的整数。
模运算是指将一个数除以另一个数后取余数的运算。
二、数论在密码学中的应用1. 公钥密码学公钥密码学是一种使用两个密钥（公钥和私钥）进行加密和解密的方法。
其中，公钥可以公开给任何人使用，而私钥则只能由密钥的拥有者使用。
在公钥密码学中，数论的应用尤为重要。
（1）RSA算法RSA算法是公钥密码学中最常用的加密算法之一。
它基于数论中的大数分解问题，即将一个大数分解为两个质数的乘积的问题。
RSA算法的安全性依赖于质数的难以分解性质，而数论提供了对质数的研究和分析方法，从而支持RSA算法的设计和实现。
（2）椭圆曲线密码学椭圆曲线密码学是一种基于椭圆曲线数论的加密算法。
它利用椭圆曲线上的离散对数问题来实现加密和解密操作。
离散对数问题是指在一个有限域上找到离散对数的困难性问题。
数论中的离散对数理论为椭圆曲线密码学提供了数学基础和安全性保证。
2. 对称密码学对称密码学是一种使用相同密钥进行加密和解密的方法。
数论在对称密码学中的应用主要体现在密码的生成和管理方面。
（1）伪随机数生成器伪随机数生成器是密码学中常用的工具，用于生成密钥和初始化向量等密码材料。
数论中的模运算和离散对数问题可以用于设计和分析安全的伪随机数生成器，从而保证生成的密钥具有足够的随机性和安全性。
（2）密码哈希函数密码哈希函数是一种将任意长度的数据映射为固定长度哈希值的函数。
数论中的模运算和离散对数问题可以用于设计和分析安全的密码哈希函数，从而保证哈希值的唯一性和不可逆性。
现代密码学-第四章
现代密码学（第四版）
第四章 公钥密码
如果 G 是有限集合，则称 G, 是有限群，否则是无限群。 有限群中，G 的元素个数称为群的阶数。
如果群 G, 中的运算 还满足交换律，即对 a,bG ，有
a b ba ，则称 G, 为交换群或Abel群。
群中运算 一般称为乘法，称该群为乘法群。若运算
现代密码学（第四版）
现代密码学
现代密码学（第四版）
第四章 公钥密码
第四章 公钥密码
4.1 密码学中的一些常用数学知识 4.2 公钥密码体制的基本概念 4.3 RSA算法 4.4 背包密码体制 4.5 Rabin密码体制 4.6 NTRU公钥密码系统 4.7 椭圆曲线密码体制 4.8 SM2椭圆曲线公钥密码加密算法
现代密码学（第四版）
第四章 公钥密码
4.1.1 群、环、域
群、环、域都是代数系统（也称代数结构）
代数系统是对要研究的现象或过程建立起的一种数学 模型，模型中包括要处理的数学对象的集合以及集合上 的关系或运算，运算可以是一元的也可以是多元的，可 以有一个也可以有多个。
设 *是集合 S 上的运算，若对 a,b S ，有 abS ， 则称 S 对运算*是封闭的。若是一元运算，对aS ， 有a S，则称 S 对运算 *是封闭的。
整除的性质：
(1) a 1 ，那么 a 1； (2) a b 且 b a ，则 a b； (3) 对任一 b(b 0)，b 0 ；
(4) b g ,b h，则对任意整数 m,n ，有 b mg nh。
现代密码学（第四版）
第四章 公钥密码
这里只给出(4)的证明，其它三个性质的证明都很简单，
(6) 如果 a bmod ni i 1, ,k，d n1, ,nk ，则 a b mod d 。
现代密码学(中山大学)Lecture04
ห้องสมุดไป่ตู้
欧几里得算法
Euclidean算法的表述 不失一般性假定任意a 0，b 0有 a bq1 r1， 0 r1 b b r1q2 r2， 0 r2 r1 r1 r2 q3 r3， 0 r3 r2 rn 3 rn 2 qn 1 rn 1， 0 rn 1 rn 2 rn 2 rn 1qn rn， 0 rn rn 1 rn 1 rn qn 1 rn 1，rn 1 0。 定 理 5 任意a 0，b 0，则(a，b)就是上述过程中最后 一个不等于零的余数，即(a，b) rn。
定理6若任给整数a 0，b 0，则存在两个整数m，n 使得 (a，b) ma nb。
例子7 计算(482， 1180)。 1180 2 482 216 482 2 216 50 216 4 50 16 50 3 16 2 16 8 2 0。 因此， (482， 1180) 2。 可以看到余数都经历了：剩余 除数 被除数 忽略的过程。
200以内的素数： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 目前已知最大的素数是2013年1月25日由美国中央 密苏里大学Curtis Cooper教授领导的GIMPS发现的 第48个梅森素数257,885,161-1，有17425170位。
近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗 日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，高斯 的《算术探究》是数论的划时代杰作。
欧几里得算法
Euclidean算法的表述 不失一般性假定任意a 0，b 0有 a bq1 r1， 0 r1 b b r1q2 r2， 0 r2 r1 r1 r2 q3 r3， 0 r3 r2 rn 3 rn 2 qn 1 rn 1， 0 rn 1 rn 2 rn 2 rn 1qn rn， 0 rn rn 1 rn 1 rn qn 1 rn 1，rn 1 0。 定 理 5 任意a 0，b 0，则(a，b)就是上述过程中最后 一个不等于零的余数，即(a，b) rn。
定理6若任给整数a 0，b 0，则存在两个整数m，n 使得 (a，b) ma nb。
例子7 计算(482， 1180)。 1180 2 482 216 482 2 216 50 216 4 50 16 50 3 16 2 16 8 2 0。 因此， (482， 1180) 2。 可以看到余数都经历了：剩余 除数 被除数 忽略的过程。
200以内的素数： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 目前已知最大的素数是2013年1月25日由美国中央 密苏里大学Curtis Cooper教授领导的GIMPS发现的 第48个梅森素数257,885,161-1，有17425170位。
近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗 日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，高斯 的《算术探究》是数论的划时代杰作。
数论与有限域 第四章
三、原根的存在性
并不是每个整数都有原根，例如由于小于12且与 12互素的整数只有1，5，7，11，即 φ(12)=4，而ord121=1，ord125=ord127=ord1211=2， 因而不存在模12的原根。 那么究竟哪些整数有原根呢？ 通过计算，可以发现在最初的100个正整数中 每一个素数，如2，3，5，7，11，13，…有原根； 每一个奇素数的幂次，如9，25，27，…有原根； 而2的幂次有原根的只有4； 另外，每一个奇素数或奇素数的幂次的2倍如6，9， 10，14，18，…也有原根。
n
反之，设ai≡aj(modn)且i≥j。由(a,n)=1，得到(aj,n)=1，因 而 ai≡ajai-j≡aj (mod n)， 即ai-j≡1(mod n)。因而ordna|(i-j)，即i≡j (mod ordna)。
a i a j k ordna a j (a ordna )k a j (mod n)
第四章原根和指数源自第一节 原根一、整数的阶
二、原根的定义和性质 三、原根的存在性 四、原根的求法
一、整数的阶
由欧拉定理，若正整数n与整数a互素，则 aφ(n)≡1(mod n)。 因而同余式ax≡1(mod n)至少有一个正整数解 x=φ(n)。 进而同余式ax≡1(mod n)必定有一个最小的正整数解 x。一般地： 定义4.1.1 设正整数a与n互素，则称同余式ax≡1(mod n)的最小正整数解x，为a模n的阶（或次数），记 为ordna。
一、整数的阶
定理4.1.3 设整数a与正整数n相对互素，则正整数x是同 余式ax≡1(mod n)的解当且仅当ordna|x。 证明：给定正整数x，若ordna|x，则由于此时存在正整 数k，使得x=k∙ordna，因而
Lecture04_密码学的数学引论
整数同余： 定义（同余）如果a mod m =b mod m，则称整数a模正整数m同余于 整数b，并写a≡b（mod m）,m称为模数。
例： 4 mod 23 73 73 mod 23 4 4 mod 23 4
注： 1*.如果m∣a-b，则a≡b（mod m） 证明：a-b=km,a=km+b 2*.相对于某个固定模数m的同余关系，是整数间的一种 等价关系。具有等价关系的三点基本性质： 自反性：对任意整数a有a≡a（mod m） 对称性：如果a≡b(mod m)则b≡a（mod m） 传 递 性 ： 如 果 a≡b (mod m ） b≡c （ mod m ） 则 a≡c(mod m)
p
两个数的乘法等同于对应指数分量的加法： 例如：k=12*18=216 k2=2+1=3 k3=1+2=3 k=23*33=216
§最大公约数： 若a,b,c∈z，如果c∣a，c∣b，称c是a和b的公约数。 正整数d称为a和b的最大公约数，用gcd(a,b)表示，如 果它满足
• d是a和b的公约数。 • 对a和b的任何一个公约数c有c∣d。
求：7-1mod 26
4.1.4 费马(Format)定理
Format定理：如果p是素数并且a是不能被p整 除的正整数,那么，ap-1≡1(mod p) Format定理的另一种形式： 对gcd（a，p）＝1 有ap≡a(modp)
例如：
ap-1≡1(mod p)，a=7,p=19,求ap-1modp 解：72=49≡11mod19 74≡121mod19≡7mod19 78≡49mod19≡11mod19 716≡121mod19≡7mod19 ap-1=718=716×72≡7×11mod19≡1mod19
有限域与AES算法
有限域GF(pn)
• 无限域：例如有理数集合、实数集合、复 数集合。在其上可以定义加法、减法、乘 法、除法，这些运算满足封闭性。加法和 乘法满足交换律、结合律，分配律。 • 元素个数为pn的有限域一般记为GF(pn)。有 限域在密码编码学中具有重要的地位。 • GF代表Galois Field，以第一位研究有限域 的数学家的名字命名。 • GF(pn)的两种特殊情形：GF(p)和GF(2n)。
Rijndael简介
• • • • • • 不属于Feistel结构 加密、解密相似但不对称 支持128数据块大小 支持128/192/256(/32=Nk)密钥长度 有较好的数学理论作为基础 结构简单、速度快
AES参数
AES算法结构
与DES比较
用S盒完成
简单置换
利用域GF(2^8) 上的算术特性
最简单的有限域GF(2)
+
0
0
0
1
1
*
0 1
0
0 0
1
0 1
w
0 1
-w
0 1
w-1
— 或运算，乘法等价于逻辑与运算。
GF(7)的代数运算
多项式运算
设集合S由域Zn上次数小于n-1的所有多项式组成， 每一个多项式具有如下形式：
f ( x) an1 x n1 an2 x n2 a1 x a0 ai x i
– – – – – 至少与三重DES一样安全 比3DES快 数据分组长度为128比特 密钥长度为128/192/256比特 软件和硬件平台上都适用
AES的背景
• 1998年8月12日，在首届AES会议上指定了15个候 选算法。 • 1999年3月22日第二次AES会议上，将候选名单减 少为5 个，这5 个算法是RC6 ， Rijndael SERPENT，Twofish和MARS。 • 2000年4月13日，第三次AES会议上，对这5个候 选算法的各种分析结果进行了讨论。 • 2000年10月2日，NIST宣布了获胜者—Rijndael 算 法，2001 年11 月出版了最终标准FIPS PUB197。 • NIST于2002年5月26日制定了新的高级加密标准 （AES）规范。
有限域基础选讲
不可约多项式的阶
设 f(x)Fq[x]是 m 次不可约多项式, f(0) 0, 则 f(x) | qm 1. 本原多项式
设f(x)Fq[x]是 m 次不可约多项式, f(0) 0, 如果 p(f) qm 1, 则称f(x)为Fq[x]中本原多项式.
作业
• 作业3：克莱茵4元群克表示为G={1, a, b, c}，其运算为 ：1x=x, x∈G, ab=c, ac=b, bc=a, 请实现上述运算。
有
限
域
基
础
选
讲
单击此处添加副标题内容
有限域基础
1. 群
群的定义 设G是一个集合, G上定义了一种运算, 记为“•”, 如果该运
算满足
i) a, bG, (a b)c a (b c); ii)存在一个eG, 对于aG, 有ae ea a成立, 称e为G的 单位元; iii) aG, 存在a1G, 使得aa1 a1a e成立, 称a1为a的 逆元; 则称G在定义的运算下构成一个群. 若该运算还满足条件 iV) a, bG, a b b a; 则称G在定义的运算下构成一个交换(abel)群.
若环R的每个理想都是主理想, 则称R为主理想整环, 易知, 剩余类环和多项式环都是主理想整环.
3. 有限域
3.1 有限域的概念 在有限集合F上定义了两个二元运算:
加法“”和乘法“•”, 如果(F , )是交 换群, F的非零元素对乘法构成交换群, 而 且乘法对加法满足分配律, 则称(F , , •) 是有限域.
设R是一个交换环且J是R的理想, 如果存在 aR, 使J (a) {ka | kJ}, 则称J为R的主理想, a为J的生成元.
例2.1: 全体整数Z对于数的加法和乘法构成一个环, 通常称 为整数环. 但全体正整数对于加法和乘法就不构成一 个环, 因为不满足加法条件iii, iv.
设 f(x)Fq[x]是 m 次不可约多项式, f(0) 0, 则 f(x) | qm 1. 本原多项式
设f(x)Fq[x]是 m 次不可约多项式, f(0) 0, 如果 p(f) qm 1, 则称f(x)为Fq[x]中本原多项式.
作业
• 作业3：克莱茵4元群克表示为G={1, a, b, c}，其运算为 ：1x=x, x∈G, ab=c, ac=b, bc=a, 请实现上述运算。
有
限
域
基
础
选
讲
单击此处添加副标题内容
有限域基础
1. 群
群的定义 设G是一个集合, G上定义了一种运算, 记为“•”, 如果该运
算满足
i) a, bG, (a b)c a (b c); ii)存在一个eG, 对于aG, 有ae ea a成立, 称e为G的 单位元; iii) aG, 存在a1G, 使得aa1 a1a e成立, 称a1为a的 逆元; 则称G在定义的运算下构成一个群. 若该运算还满足条件 iV) a, bG, a b b a; 则称G在定义的运算下构成一个交换(abel)群.
若环R的每个理想都是主理想, 则称R为主理想整环, 易知, 剩余类环和多项式环都是主理想整环.
3. 有限域
3.1 有限域的概念 在有限集合F上定义了两个二元运算:
加法“”和乘法“•”, 如果(F , )是交 换群, F的非零元素对乘法构成交换群, 而 且乘法对加法满足分配律, 则称(F , , •) 是有限域.
设R是一个交换环且J是R的理想, 如果存在 aR, 使J (a) {ka | kJ}, 则称J为R的主理想, a为J的生成元.
例2.1: 全体整数Z对于数的加法和乘法构成一个环, 通常称 为整数环. 但全体正整数对于加法和乘法就不构成一 个环, 因为不满足加法条件iii, iv.
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2021/3/10
讲解：XX
数论基础
第12页/共131页
►模运算
▪ 性质①的证明：
设 (a mod n) = ra，(b mod n) = rb，则存在整数 j、k 使得 a = jn+ra，b = kn+rb， 因此：
(a+b) mod n = [(j+k)n+ra+rb] mod n = (ra+rb) mod n = [(a mod n)+(b mod n)] mod n
▪ 例 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 整除 24 ▪ 整除具有以下性质：
► 如果 a|1，那么a=±1 ► 如果 a|b 且 b|a，则a=±b ► 对任一 b (b≠0)，b|0 ► 如果 b|g，b|h，则对任意整数 m、n 有 b|(mg+nh)
2021/3/10
讲解：XX
记为 a≡b mod n。
►与 a 模 n 同余的数的全体称为 a 的同余类，记为[a]， 称 a 为这个同余类的表示元素。
►注意： 如果 a≡0 (mod n)，则n|a。
2021/3/10
讲解：XX
数论基础
第10页/共131页
►模运算
▪ 同余有以下性质：
① 若 n|(a-b)，则 a≡b mod n ② a≡b mod n，则 b≡a mod n ③ a≡b mod n 且 b≡c mod n，则 a≡c mod n
第14页/共131页
►模运算
▪ 例：设 Z8 = {0, 1, …,7}，考虑 Z8 上的模加法和模 乘法，结果如下表所示：
讲解：XX
数论基础
第8页/共131页
►素数与互素
▪ 如果 gcd(a, b) = 1，则称 a 和 b 互素 ▪ 整数 a, b 互素是指除 1 之外它们没有其它公因子，
例如：8 与15 互素
8 的因子：1, 2, 4, 8 15 的因子：1, 3, 5, 15 1 是 8 与15 唯一的公因子
2021/3/10
2021/3/10
讲解：XX
数论基础
第6页/共131页
►素数与互素
▪ 称 c 是两个整数 a、b 的最大公因子，当且仅当： ① c 是 a 的因子也是 b 的因子， 即 c 是 a、b 的公因子 ② a 和 b 的任一公因子，也是 c 的因子
▪ 表示为 c = gcd(a, b)
2021/3/10
▪ 性质②、③的证明类似。
（证毕）
2021/3/10
讲解：XX
数论基础
第13页/共131页
►模运算
▪ 例：设 Z8 = {0, 1, …, 7}，考虑 Z8 上的模加法和 模乘法，结果如下表所示：
+8 0 1 2 3 4 5 6 7 ×8 0 1 2 3 4 5 6 7 001234567 000000000
112345670 101234567
223456701 202460246
334567012 303614725
445670123 404040404
556701234 505274163
667012345 606420642
770123456 707654321
2021/3/10
讲解：XX
数论基础
▪ 如果将 a，b 都表示为素数的乘积，则 gcd(a, b) 极易确定。例如：300=22×31×52；18=21×32， 所以 gcd(18, 300) = 21×31×50 = 6
▪ 一般地，由 c = gcd(a, b)可得： 对每一素数p， cp = min(ap, bp)
2021/3/10
讲解：XX
数论基础
第7页/共131页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
►素数与互素
▪ 由于最大公因子为正，所以 gcd(a, b) = gcd(a, -b) = gcd(-a, b) = gcd(-a, -b)
一般地 gcd(a, b) = gcd(|a|, |b|)
▪ 由任一非 0 整数能整除 0，可得 gcd(a, 0) = |a|
▪ 从以上性质易知，同余类中的每一元素都可作为 这个同余类的表示元素。
2021/3/10
讲解：XX
数论基础
第11页/共131页
►模运算
▪ 求余数的操作 a mod n 将整数 a 映射到集合 {0, 1, …, n-1}，在这个集合上的算术运算称为 模运算，模运算有以下性质：
① [(a mod n)+(b mod n)] mod n = (a+b) mod n ② [(a mod n)-(b mod n)] mod n = (a-b) mod n ③ [(a mod n)×(b mod n)] mod n = (a×b) mod n
2021/3/10
讲解：XX
数论基础
第5页/共131页
►素数与互素
▪ 该性质称为整数分解的惟一性，也可如下陈述： 设 P 是所有素数集合，则任意整数 a (a>1) 都能 惟一地写成以下形式：
a pap pP
其中 ap≥0，等号右边的乘积项取所有的素数，然 而大多指数项 ap 为 0。 ▪ 相应地，任一正整数可由非 0 指数列表表示。 例如：11011可表示为{a7=1, a11=2, a13=1}。
第一部分 第四章 数论与有限域基础
张权 2012年秋季
2021/3/10
讲解：XX
1
►数论基础 ►群、环、域 ►有限域基础
本章提纲
第2页/共131页
2021/3/10
讲解：XX
数论基础
第3页/共131页
►素数与互素
▪ 对整数 b!=0 及 a，如果存在整数 m 使得 a=mb， 称 b 整除 a，也称 b 是 a 的因子，记作 b|a
数论基础
第4页/共131页
►素数与互素
▪ 称整数 p(p>1) 是素数，如果 p 的因子 只有±1，±p
▪ 任一整数 a(a>1) 都能惟一地表示为以下形式：
a
p p 1 2 12
p t t
其中 p1 > p2 > … > pt 是素数，αi >0(i=1,…,t)。 例如：91=7×13，11011=7×112×13
讲解：XX
数论基础
第9页/共131页
►模运算
▪ 设 n 是一正整数，a 是整数，如果用 n 除 a，得 商为 q，余数为 r，则
a qn r; 0 r n, q an ►其中 x为小于或等于 x 的最大整数。 ►用 a mod n 表示余数 r，则 a an n a mod n ►如果 (a mod n) = (b mod n)，则称 a 和 b (模 n) 同余，