人教版数学高二-人教A版选修4-5阶段质量检测(三) B卷

阶段质量检测（三） B 卷
（时间90分钟，满分120分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设M ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2，N ＝ab ＋bc ＋cd ＋da ，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ≥N B ．M ＞N C ．M ≤N
D ．M ＜N
解析：选A 取两组数a ，b ，c ，d ；b ，c ，d ，a ，则由柯西不等式有 (a 2＋b 2＋c 2＋d 2)(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)≥(ab ＋bc ＋cd ＋da )2， 即(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)2≥(ab ＋bc ＋cd ＋da )2， ∵a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥0，
∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥ab ＋bc ＋cd ＋da .∴M ≥N .
2．若a ，b ，c 均为正数且a ＋b ＋c ＝6，则ab c ＋bc a ＋ac
b 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．6
D ．12
解析：选C 不妨设a <b <c ，则ab <ac <bc ，1c <1b <1
a 由排序不等式得a
b
c ＋ac b ＋bc a ≥ab b ＋ac a ＋bc
c ＝a ＋c ＋b ＝6.
3．若5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4＝1，则3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 2
4的最小值是( )
A.78215
B.15782 C ．3 D.253
解析：选B ∵⎝⎛⎭⎫253＋18＋495＋16[3x 21＋2x 22＋5(－x 3)2＋x 24]≥(5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4)2＝1， 即3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24≥15782
. 4．设x 1，x 2，x 3取不同的正整数，则m ＝x 11＋x 24＋x 3
9的最小值是( )
A ．1
B ．2 C.116
D.4936
解析：选C 设a 1，a 2，a 3是x 1，x 2，x 3的一个排列且满足 a 1＜a 2＜a 3.∴a 1≥1，a 2≥2，a 3≥3， 又∵1＞122＞1
3
2，
∴x 1＋x 24＋x 39≥1＋12＋13＝116
.
5．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4.则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．1
B ．10
C ．11
D ．21
解析：选D ∵[(x －1)2＋(y －2)2](32＋42)≥[3(x －1)＋4(y －2)]2， 即(3x ＋4y －11)2≤100. ∴3x ＋4y －11≤10,3x ＋4y ≤21. 当且仅当x －13＝y －24＝25
时取等号．
6．已知α，β为锐角，且cos 2αsin 2β＋sin 2α
cos 2β＝1，则α＋β等于( )
A.π2
B.3π4
C.π4
D.5π12 解析：选A
∵(sin 2β＋cos 2β)
⎝⎛⎭
⎫cos 2αsin 2β＋sin 2
αcos 2β≥sin 2α＋cos 2α＝1，当且仅当sin α＝cos β，
cos α＝sin β时等号成立，
即α＝β＝π4，∴α＋β＝π
2
.
7．已知x ＋3y ＋5z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A.65 B.635 C.36
35
D ．6
解析：选C 由柯西不等式，得x 2＋y 2＋z 2＝(12＋32＋52)·(x 2＋y 2＋z 2)·112＋32＋52
≥(1×x
＋3×y ＋5×z )2×
135＝62×135＝3635
. 8．已知3x 2＋2y 2≤2，则3x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0，5]
B ．[－5，0]
C ．[－10，10]
D ．[－5,5]
解析：选C |3x ＋2y |≤3x 2＋2y 2·(3)2＋(2)2≤10， ∴－10≤3x ＋2y ≤10.
9．(湖南高考)设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋c
x ＋y ＋z
＝( )
A.14
B.13
C.12
D.34
解析：选C 由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝1
2时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12
.
10．已知a ，b ，c ∈R ＋，设P ＝2(a 3＋b 3＋c 3)，Q ＝a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b )，则( )
A ．P ≤Q
B ．P ＜Q
C ．P ≥Q
D ．P ＞Q
解析：选C 取两组数a ，b ，c ；a 2，b 2，c 2.
不管a ，b ，c 的大小顺序如何，a 3＋b 3＋c 3都是顺序和；a 2b ＋b 2c ＋c 2a 及a 2c ＋b 2a ＋c 2b 都是乱序和，故有
a 3＋
b 3＋
c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ， a 3＋b 3＋c 3≥a 2c ＋b 2a ＋c 2b ，
∴2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )． ∴P ≥Q .
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上)
11．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为
________．
解析：(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2
n )＝1.
答案：1
12．若x ＋y ＋z ＋t ＝4，则x 2＋y 2＋z 2＋t 2的最小值为________．
解析：比较已知条件、待求式子，发现把待求式子乘以一个常量后，可满足四维柯西不等式条件并同时用到已知条件，得
(x 2＋y 2＋z 2＋t 2)(12＋12＋12＋12)≥(x ＋y ＋z ＋t )2， 当且仅当x ＝y ＝z ＝t ＝1时，取最小值4. 答案：4
13．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，且1a ＞1
b ，x ＞y ，则x x ＋a 与y y ＋b 的大小关系是________．
解析：∵1a ＞1
b ， ∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0， 由排序不等式知，bx ＞ay . 又x x ＋a －y
y ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b )＞0， ∴x x ＋a ＞y y ＋b . 答案：
x x ＋a ＞y y ＋b
14．设a ，b ，c 均为实数，则a ＋b －c
a 2＋2
b 2＋3
c 2
的最大值为________．
解析：∵a ＋b －c ＝a ＋22×2b －3
3
×3c ， 由柯西不等式得 (a ＋b －c )2＝(a ＋22×2b －3
3
×3c )2 ≤[12＋(
22)2＋(－3
3
)2](a 2＋2b 2＋3c 2)， ∴a ＋b －c ≤66
6
a 2＋2
b 2＋3
c 2. ∴
a ＋
b －c
a 2＋2
b 2＋3
c 2
≤
666. 故所求的最大值为666
. 答案：
666
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＋⎝⎛⎭
⎫c ＋1c 2≥
100
3
. 证明：∵左＝13(12＋12＋12)[(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2＋(c ＋1
c )2]
≥13[1×(a ＋1a )＋1×(b ＋1b )＋1×(c ＋1
c )]2 ＝13
[1＋(1a ＋1b ＋1c )]2
＝13[1＋(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1
c )]2
≥13(1＋9)2＝100
3. ∴原结论成立．
16．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数．求证：2⎝⎛⎭⎫a 2
b ＋
c ＋b 2
c ＋a ＋c 2
a ＋
b ≥
b 2
＋c 2
b ＋
c ＋c 2
＋a 2
c ＋a
＋a 2＋b 2
a ＋b
.
证明：由对称性，不妨设a ≥b ≥c >0. 于是a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，a 2≥b 2≥c 2. 故
1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b
.由排序原理知： a 2
b ＋
c ＋b 2
c ＋a ＋c 2
a ＋
b ≥
c 2
b ＋
c ＋a 2
c ＋a ＋b 2
a ＋
b ， a 2b ＋
c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2b ＋c ＋c 2c ＋a ＋a 2
a ＋
b ， 将上面两个同向不等式相加，得
2(a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2
a ＋
b )≥b 2＋
c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a ＋a 2＋b 2a ＋b
. 17．(本小题满分12分)已知a 1，a 2，…a n 为实数，且a 1＋a 2＋a 3＋…a n ＝10，求a 21＋a 22
＋a 23＋…＋a 2
n 的最小值．
解：由n (a 21＋a 22＋…＋a 2n
) ＝(1＋1＋…＋1)(a 21＋a 22＋…＋a 2
n )
≥(a 1＋a 2＋…＋a n )2，
∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥
100
n
. ∴a 21＋a 22＋…＋a 2
n 的最小值为100n .
18．(本小题满分14分)设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c 2＝1，求a ＋b ＋ 2 c 的最大值． 解：因为a ，b ，c 为正数，
所以a ＋b ＋4c 2＝(a )2＋(b )2＋(2c )2， 于是(a ＋b ＋4c 2)⎣
⎡
⎦
⎤12＋12＋
⎝⎛⎭⎫122 ＝[(a )2＋(b )2＋(2c )2]⎣
⎡⎦
⎤12＋12＋⎝⎛⎭⎫122 ≥(a ＋b ＋2c )2，
故(a ＋b ＋2c )2≤1×52＝5
2，
∴a ＋b ＋2c ≤
102
.
等号成立⇔a ＝b ＝22c .
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＋4
c 2＝1，
a ＝
b ＝22
c .
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝25
，
b ＝2
5，
c ＝2020
.
∴a ＋b ＋2c 的最大值为
102
.。