考点06 不等式 -2021届高三《新题速递·数学(理)》9月刊(适用于高考复习)解析版

考点06 不等式一、单选题1．（2020·上海高三专题练习）已知a、b、c满足c<b<a且ac<0，则下列选项中不一定能成立的是（）A.ab >ac B. c (b -a)> 0C.cb2 <ca2D.ac (a -c)< 0【答案】C【解析】Q c <b <a 且ac < 0 ，∴a > 0 ，c < 0 且b 的符号不确定.对于A 选项， b >c ，a > 0 ，由不等式的基本性质可得ab >ac ，A 选项中的不等式一定能成立；对于B 选项， a >b ，则b -a < 0 ，又 c < 0 ，∴c (b -a )> 0 ，B 选项中的不等式一定能成立；对于C 选项，取b = 0 ，则b2 <a2 ， c < 0 ，∴cb2 >ca2 ；取c =-3 ，b =-1，a = 2 ，则cb2 >ca2 ，C 选项中的不等式不一定成立；对于D 选项， a > 0 ，c < 0 ，则ac < 0 ，a -c > 0 ，∴a c (a -c)< 0 ，D 选项中的不等式一定能成立.故选：C2．（2020·全国高三其他（理））若a,b∈R，ab>0，2a+b=1，则1-4ab+ ab 的最大值为（）A.14 B.1516C．1 D．1716【答案】D【解析】解：∵ab > 0 ，2a +b = 1 ，∴a > 0 ，b > 0 ，1 1 ⎛1 ⎫2 17∴1 - 4ab + =⋅ 4 ab (1- 4 ab )+1 ≤⨯ ⎪+1 =，4 4 ⎝2 ⎭16abab ab ≠a b ⎪ a b 1 2 ⎧2a + b = 1 ⎪当且仅当⎨ ab =1 ⎩64 时，取“=”，故选：D ．3．（2020·江西东湖南昌十中高三其他（理））不等式ax 2 - 2x +1 < 0 的解集非空的一个必要而不充分条件是（ ） A. a < 1B. a ≤ 1C ． 0 < a < 1D ． a < 0【答案】B【解析】因为ax 2- 2x +1 < 0 的解集非空,显然a ≤ 0 成立，由{a > 0= 4 - 4a > 0,∴0 < a < 1,综上， ax 2 - 2x +1 < 0 的解集非空的充要条件为a < 1 . {a | a < 1}⊂{a | a ≤ 1} ，所以选 B ．4．（2020·黑龙江道里哈尔滨三中高三其他（理））若实数a , b 满足2 l g⎛ 1 + 2 ⎫= lg a + lg b ，则ab 的最小 ⎝ ⎭值为（）A ． 2B ． 2 2C ． 3lg 2D ．lg 2【答案】B【解析】由题意可知a > 0, b > 0 ，因为2 lg ⎛ 1 + 2 ⎫= lg a + lg b ，所以 1 + 2 = ⎪⎝ ⎭所以 = 1 + 2 ≥ 2 a b，所以ab ≥ 2 ⎧ 1 = 2⎪ a b ，当且仅当⎨ ⎪ + = ⎩ a b5 ，即b = 2a = 24 时，取等号.1 ⋅2 a b 2 ab a b3 x 2( ) 1 1 故选：B.5．（2020·全国高三其他（理））已知a ， b 均为正实数，且 a - b = 4a 2b 2 ，则 1+ 的最小值为（）abA ．3B ． 2C ．9D ．12【答案】B【解析】法一a -b = 4a 2b 2 ∴( 1 + 1)2 = ( 1 - 1)2 + 4= ( a - b )2 +4=16a 2b 2 + 4 ， a b a b ab ab ab ab令 x = ab ，设 f ( x ) = 16x 2+ 4，则 f '( x ) = 32x - 4x232x 3 - 4 =x > 0 ，x令 f '(x ) > 0 ，解得 x > 1；令 f '( x ) < 0 ，解得0 < x < 1． 2所以当 x = 1时， f ( x ) 取得最小值，为 12，即当a = 23 + 1 ，b =3 -1 时，1+ 取最小值，为2 ， 2 2 2a b法二 a - b = 4a 2b 2∴( 1 + 1)2 = ( 1 - 1)2 + 4= ( a - b )2 + 4 a b a b ab ab ab= 16a 2b 2 + 4= 16a 2b 2 + 2 + 2 ≥ 33 16a 2b 2 ⨯ 2 ⨯ 2 =12ab ab ab ab ab⎧ 2 2 2⎪16a b =3 + 1 3 -1 1 1 当且仅当⎨ ab 即当a = ， b =时， + 取最小值，为2 3 ， ⎪⎩a - b = 4a 2b 22 2 a b故选：B ．6．（2020·全国高三课时练习（理））关于 x 的不等式 x 2 - 2ax - 8a 2 < 0(a > 0) 的解集为( x 1, x 2 ) ，且：x 2 - x 1 = 15 ， 则 a =（ ）3BF y x ⎝ ⎭ A.52B.72C ．15 4D ．15 2【答案】A【解析】因为关于 x 的不等式 x 2- 2ax - 8a 2< 0(a > 0) 的解集为( x 1, x 2 ) ，所以 x + x = 2a , x x = -8a 2，又 x - x = 15 ，121 221所以( x- x )2 = ( x + x )2- 4x x= 36a 2 = 152 ，21212 1解得a =± 5 ，因为a > 0 ，所以a = 5.22故选：A.7．（2020·贵州六盘水高三其他（理））已知 x > 0 ， y > 0 ，且4x + y = xy ，则x + y 的最小值为A ．8B ．9C ．12D ．16【答案】B【解析由题意可得： 4 + 1= 1，则：y xx + y = ( x + y )⎛ 4 + 1 ⎫ = 5 + 4x + y ≥ 5 2 4x ⨯ y9 ，⎪y x y x当且仅当 x = 3, y = 6 时等号成立， 综上可得：则 x + y 的最小值为 9. 本题选择 B 选项.8．（2020·全国高三其他（理））已知抛物线C : y 2= 4x 的焦点为 F ，过点 F 的直线与抛物线C 相交于 A ，B ）AF102 4 4 4 4 1 2 1 2 1 2 1 2 12 A ． B ． C ． 2 D ．3【答案】C【解析】点 F 的坐标为(1, 0) ，设点 A ， B 的坐标分别为(x 1 , y 1 ) ， ( x 2 , y 2 ) ，直线 AB 的方程为 ⎧ y 2 = 4x ,x = my +1(m ∈ R ) ，联立方程⎨ ⎩x = my +1,消去 x 后整理为 y 2 - 4my - 4 = 0 ，所以 y 1 + y 2 = 4m ，2y 2 y 2 16 y 1 y 2 = -4 ， x 1 + x 2 = m ( y 1 + y 2 ) + 2 = 4m + 2 ， x x = 1 2 = = 1，AF =x 1 +1 ， BF =x 2 +1，则( AF +1 2BF )2=16 16 =(x +1 + x +1)2= x + x + 2 + 2( x +1)( x +1) = x + x + 2+ 2 x + x + 2 ．由 x 1 + x 2…2 x 1x 2 = 2 （当且仅当 x 1 = x 2 = 1时取等号），所以(AF + BF )2≥ 2+2+2 2 + 2 = 8 ，可得AF + BF 的最小值为2 2 ．故选：C ．9．（2020·吉林高三其他（理））若log 2 x + log 4 y = 1，则 x 2 + y 的最小值为（）A ． 2B ． 2 3C ． 4D ． 2 2【答案】C【解析】因为log x + log y = log x 2+ log y = log (x 2y )=1 ， 所以 x2y = 4(x > 0, y > 0) ，则 x 2 + y …2 = 4 ，当且仅当 x2= y = 2 时，等号成立，故 x 2 + y 的最小值为 4.故选：C6 2x 2 yab 3 a + 4 b b ⋅ 1 b b a 10．（2020·六盘山高级中学高三期末（理））若log 4 (3a + 4b ) = log 2，则a + b 的最小值是（ ）．A ． 6 + 2B ． 7 + 2C ． 6 + 4D ． 7 + 4【答案】D【解析】由题, log 4 (3a + 4b ) = log 2 ，所以 3a + 4b =所以 3 + 4= 1，b aab ,即3a + 4b = ab ，因为3a + 4b > 0 ， ab > 0 ，所以a > 0 , b > 0 ，所以(a + b )⎛ 3 + 4 ⎫ = 3a+ 4 + 3 + 4b ≥ 7 + 2 12 = 7 + 4 3 ， ⎪⎝ ⎭当且仅当 3a = 4b时等号成立， b a所以a + b 的最小值为7 + 4 3 .故选：D11．（2020·河南高三期末（理））设a , b , c 为任意正数．则a + 1 , b + 1 , c + 1这三个数（）bc aA ．都大于 2B ．都小于 2C ．至少有一个不小于 2D ．至少有一个不大于 2【答案】C【解析】假设三个数均小于 2，即a + 1 < 2, b + 1 < 2, c + 1 < 2 ，故a + 1 + 1 + b + 1+ c < 6 ，bc a a b c而 a + 1 + 1 + b + 1 + c ≥ 2 a b c2 + 2 = 6 ，当 a = b = c = 1时等号成立，这与a + 1 + 1 + b + 1+ c < 6 矛盾，a b c3333a ⋅ 1 a c ⋅ 1cba()2 ()4a b故假设不成立，故至少有一个不小于2，C 正确；取a =b =c = 2 ，计算排除BD；取a =b =c = 1，计算排除A.故选：C.12．（2020·湖南雨花雅礼中学高三其他（理））已知四边形ABCD是边长为1 的正方形，P 为对角线AC上一点，则PA ⋅(PB +PD)的最小值是（）A．0 B．-14C.-12D.-2【答案】B⎛PA + PO ⎫2【解析】作出图形如下图所示，PA ⋅PB +PD =PA ⋅2PO ≥-2 PA ⋅PO ≥-2 ⎪，而此时2 ⎪⎛PA + PO ⎫2PA + PO =，所以PA ⋅PB +PD ≥-2 ⎪⎝⎭=-1，当且仅当PA =PO 时取等号，所以2 2 ⎪4⎝⎭PA ⋅(PB +PD)的最小值是-1 ，故选：B.13．（2020·安徽高三三模（理））已知△ABC 三个内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若a+b＝2c cos B，b ⎛c ⎫2则+ ⎪⎝⎭的最小值为（）A．2B．3 C．2D．4【答案】B23b ⨯ a a bb a b【解析】由余弦定理得a + b = 2c cos B = 2c ⨯ a 2+ c 2- b 22ac ⎛ c ⎫2，⎪ ⎝ ⎭ = a +1，bb ⎛c ⎫2b ab a ∴ a + b ⎪ = + +1 ≥ 2 1 = 3 ，当且仅当 a = b 即a = b 时等号成立，⎝⎭ a b b ⎛ c ⎫2所以 + ⎪ ⎝ ⎭ 的最小值为 3．故选：B ．14．（2020·广州大学附属中学高三月考（理））已知实数 x > 0 , y > 0 ，则“ 2x + 2y ≤ 4 ”是“ xy ≤ 1”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 2x + 2y ≥ 2 2x + y 且 2x + 2y ≤ 4 ，∴2 2x + y ≤ 4 ⇒ 2x + y ≤ 2 ⇒ x + y ≤ 2 ，等号成立的条件是 x = y ，又 x + y ≥ 2 xy ，x > 0, y > 0∴ 2 xy ≤ 2 ⇒ xy ≤ 1 ，等号成立的条件是 x = y ,∴ 2x + 2y≤ 4 ⇒ xy ≤ 1 ，反过来，当 x = 2, y = 1 时，此时 xy ≤ 1，但2x + 2y> 4 3∴ “ 2x + 2y ≤ 4 ”是“ xy ≤ 1”的充分不必要条件.，不成立，lg a ⋅ lg b ab 故选:C15．（2020·四川资阳高三其他（理）） a ， b ， c 分别为 ABC 内角 A ， B ， C 的对边.已知a (sin A + 9 s in B ) = 12sin A ， sin C = 1，则 ABC 的面积的最大值为（）3B ． 12C.43D.23【答案】D【解析】因为a (sin A + 9sin B ) =12 sin A ，所以a (a + 9b ) = 12a ，又a > 0 ，所以a + 9b = 12 ≥ 2 9ab ，则 ab ≤ 4 ，所以 ABC 的面积的最大值为 1 ⨯ 4⨯ 1 = 2.2 3 3故选：D16．（2020·上海高三专题练习）若a > b > 1 ，P = lg a ⋅ l g b ，Q = 1 (lg a + lg b ) ，R = lg( a + b) ，则（ ） 2 2A. R < P < QB. P < Q < R C ． Q < P < R D ．P < R < Q【答案】B【解析】由于函数 y = lg x 在(0, +∞) 上是增函数a >b > 1 ，则lg a > lg b > 0 由基本不等式可得P = < 1 (lg a + lg b ) = 1 lg(ab ) = lg < lg a + b= R2 2 2因此， P < Q < R 故选：Bm n 2 217．（2020·黑龙江工农鹤岗一中高三期末（理））在 ABC 中，E 为 AC 上一点， AC = 3AE ， P 为 BE 上 任一点，若 AP = m AB + n AC (m > 0, n > 0) ，则 3 + 1的最小值是m nA ．9B ．10C ．11D ．12【答案】D【解析】由题意可知： AP = m AB + n AC = m AB + 3n AE ，A ,B , E 三点共线，则： m + 3n = 1 ，据此有：3 + 1 = ⎛ 3 + 1 ⎫(m + 3n ) = 6 + 9n + m ≥ 6 + 29n ⨯ m = 12 ，⎪m n ⎝ ⎭m n m n当且仅当m = 1 , n = 1时等号成立.2 6综上可得： 3 + 1 的最小值是 12.m n本题选择 D 选项.18．（2020·西夏宁夏大学附属中学高三其他（理））已知实数a ，b ，c 满足a = 2lg 2 ，b = log 2 a ，c = sin b ，则 a ， b ，c 的大小关系是（ ）A. a > b > cB. b > c > aC. a > c > bD ． b > a > c【答案】A【解析】 1 < 2 < 10,∴0 < lg2 < 1 ，∴ b = log a = log 2lg 2= lg 2 ∈(0,1) ，∴ a = 2lg 2 > 20 = 1 > b ，x ∈(0,π)时， sinx <x ，∴ sinb <b ,即b >c ,∴a >b >c ，故选：A.19．（2020·重庆万州外国语学校天子湖校区高三月考（理））已知向量OA=(3,1)，OB=(-1,3)，OC =mOA -nOB(m > 0, n > 0) ，若m +n ∈[1, 2] ，则OC 的取值范围是（）A．[ 5, 2 5] B．[ 5, 2 10) C．( 5, 10) D．[ 5, 2 10]【答案】A【解析】OC = (3m +n, m - 3n),所以1 ≤m +n ≤ 2|OC |= (3m +n)2 + (m - 3n)2 = 10(m2 +n2 ) = 10 OP , P(m, n)为可行域{m, n> 0内一点,可行域为一个梯形ABCD(去掉线段BC, AD )及其内部A(1, 0), B(0,1), C(0, 2), D(2, 0) ,所以OP ≥dO-AB =2, OP <OD = 2,从而 OC ∈[ 10 ⨯22, 10 ⨯ 2) = [ 5, 2 10). 选 B.220．（2020·河北高三期末（理））已知函数f(x)的定义域为R，f'(x)为f(x)的导函数，且f '(x) +f (x) = 2xe-x ，若f (0) = 1，则函数f '(x)的取值范围为（）f (x)A．[-1, 0] B．[-2, 0]C．[0,1] D．[0, 2]【答案】B【解析】：由f '(x)+f (x)= 2xe-x ，得e x f '(x)+e x f (x)= 2x ，∴⎡e x f(x)⎤'=2x，⎣⎦( )= -设e xf ( x ) = x 2+ c （ c 为常数），∵ f (0)= 1，∴ c = 1 ，∴ f ( x ) =x 2 +1 ，ex2xe x - (x 2 -1)e x(x -1)2∴ f '( x ) =，2 xxeef '( x ) = - (x -1)2 = - +2x∴ f ( x ) x 2 +1 1 x 2 +1 ，∴当 x=0 时，f '( x )= -1 ； f ( x )f '( x ) = -1+ 2 当 x ≠ 0 时， f ( x )1x + 1 ，x-1 < -1+2 ≤ 0故当 x > 0 时， x + ≥ 2 ，当 x = 1 时等号成立，此时xx + 1 ；x当 x < 0 时， x + 1≤ -2 ，当 x = -1 时等号成立，此时 x-2 ≤ -1+ 2 x + 1 x< -1．综上可得 -2 ≤ -1+ 2≤ 0 x + 1 ， x即函数 f '( x ) 的取值范围为[-2, 0]．f x故选 B ．b 二、填空题21．（2020·浙江海曙效实中学高三其他）已知 x , y ∈ R ，a , b ∈(1, +∞) ，若a x =b y = 2 ，a + = 4 ， 则2 + 1x y的最大值为 .【答案】4【解析】因为a , b ∈(1, +∞) ，若a x = b y = 2 ， 所以 x = log a 2, y = log b 2 ，所以 1 = log x2a , 1= log y2b ，所以 2 + 1= 2 log a + log b = log a 2b = log (a b) = 2 log2a b ；x y2 2 222又 a + b = 4 ，所以4 = a + b ≥ 2 a b ，所以4 ≥ a b ，当且仅当b = 2a = 4 时等号成立. 所以 2 + 1= 2 log a + log b = 2 log a b ≤ 4 ，当且仅当b = 2a = 4 时等号成立.x y2 2 2故答案为：4.22．（2020·江苏常熟高三三模）已知正实数a ，b 满足a + 1 = 1，且 1+ b ≥ 2t 2- 7t 恒成立，则实数t 的取ba值范围为.【答案】 ⎡- 1 , 4⎤⎣⎢2 ⎥⎦ 【解析】因为 1+ b ≥ 2t 2- 7t 恒成立，a所以2t 2- 7t ≤⎛ 1+ b ⎫， a ⎪ ⎝ ⎭min⎨0剟y ⎪ ⎪ ⎪ ⎨0剟y ⎪而正实数a ， b 满足a + 1= 1，b所以⎛ 1 + b ⎫⎛ a + 1 ⎫= 2 + ab + 1≥ 4 ， a ⎪ b ⎪ ab ⎝ ⎭⎝ ⎭当且仅当ab = 1 ，即a = 1,b = 2 时，等号成立，2所以2t 2 - 7t ≤ 4 ，解得- 1≤ t ≤ 4 .2故答案为： ⎡- 1 , 4⎤⎣⎢2 ⎥⎦23．（2020·雅安市教育科学研究所高三一模（理））某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有 8 辆甲型车和 4 辆乙型车，甲型车每次最多能运 6 吨且每天能运 4 次，乙型车每次最多 能运 10 吨且每天能运 3 次，甲型车每天费用 320 元，乙型车每天费用 504 元.若需要一天内把 180 吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆运送这批水果的费用最少为 元.【答案】2560⎧4 ⨯ 6x + 3⨯10 y …180, ⎧4x + 5 y …30,⎪0剟x 8, 【解析】设安排甲型车 x 辆，乙型车 y 辆，由题意有 ⎪ 4, ⎪0剟x 8, 即⎨0剟y 4, ， ⎪⎩x , y ∈ N , ⎪⎩x , y ∈ N ,⎧4x + 5 y …30,⎪0剟x 8, 目标函数 z = 320x + 504 y ，作出不等式组 ⎪ 4, 所表示的平面区域为四点(2.5, 4) ，(8, 4) ，(8, 0) ，⎪⎩x , y ∈ N ,(7.5, 0)围成的梯形及其内部，如下图所示：2包含的整点有(8, 0) ， (7,1) ， (8,1) ， (5, 2) ， (6, 2) ， (7, 2) ， (8, 2) ， (4, 3) ， (5, 3) ，(6, 3) ， (7, 3) ， (8, 3) ， (3, 4) ， (4, 4) ， (5, 4) ， (6, 4) ， (7, 4) ， (8, 4) .作直线320x + 504 y = 0 并平移，分析可得当直线过点(8, 0) 时 z 最小，即z min = 8⨯ 320 = 2560 （元）.故答案为： 2560 .24．（2020·江苏高三其他）已知 x > 0 ，y > 0 ，则 x + y + 16的最小值为 .x xy【答案】4 2【解析】由 x > 0 ， y > 0 ，y 16y 2 +16 2 ⋅ y ⋅ 4 8y 8y x + + = x + ≥ x + = x + ≥ 2 x ⋅ = 4 2 ，x xy xy xy xy xy当且仅当 x = 2 2 ， y = 4 时取等号，故答案为： 4 25．（2020·江苏苏州高三二模）设周期函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，若 f ( x ) 的最小正周期为3，且满足f (1)>-2 ，f (2)=m -3，则m 的取值范围是. m【答案】(-∞, -1)【解析】由题意 f (1)>-2 ，函数是奇函数，故有 f (-1)< 2又周期函数f (x)是定义在R 上的奇函数，若f (x)的最小正周期为3，故 f (2)=f (-1)< 2∵ f (2)=m -3 m∴ m -3< 2m当 m > 0 时，解得0 <m < 3当 m < 0 时，解得m <-1所以m 的取值范围是(-∞, -1)(0, 3).26．（2020·天津河西高三二模）已知x，y为正实数，且xy+2x+4y=41，则x+y的最小值为.【答案】8【解析】解：x ，y 为正实数，且xy + 2x + 4 y = 41，可知x ≠-4 ，∴y =-2x + 41，x + 4∴x +y =x +-2x + 41 =(x+ 4)+x + 449x +4- 6 ≥ 2 6 = 8 .(0, 3)(x+ 4)⋅ 49x +4当且仅当x = 3 时取等号.∴x +y 的最小值为8 .故答案为：8 .27．（2020·安徽界首高三期末（理））已知正数a、b满足1+1=1，则a ba+a -14bb -1的最小值为.【答案】9【解析】1+1=1 ，∴1=1-1=a -1，∴b =a，a =b， a > 0 且b > 0 ，∴a > 1且b > 1.a b b a a a -1 b -1a 4b 4(b -1)+ 4 4 4 4∴+=b +=b + 4 +=(b -1)++ 5 ≥ 2 (b -1)⋅+ 5 = 9 ，当且仅当a -1 b -1 b -1 b -1 b -1 b -1b -1 =4b -1，即当b = 3 时，等号成立.因此，a+a -14bb -1的最小值为9 .故答案为：9 .28．（2020·河南高三月考（理））在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中⎛a -1 ⎫点，若CD = 1，且 b⎪s i n A=c(b+ s n)(C s i n-B)，则当ab 取最大值时ABC 的周长为．⎝ 2 ⎭【答案】 4 10 + 2 155【解析】如图，设∠CDA =θ，则∠CDB =π-θ．在CDA 和△CDB 中，分别由余弦定理可得2 15 5 5 ( c 2 + 2c 2 2 cos θ = 4 1- b c，cos (π -θ ) =+1- a 4 ， c又cos(π - θ ) = - cos θc 22 2所以+ 2 - a + b 2) = 0 ，所以c 2= 2( a2+ b 2 )- 4 ，①由⎛a - 1b ⎫sin A = (c + b )(sin C - sin B ) 及正弦定理得 2 ⎪ ⎝ ⎭⎛a - 1b ⎫ a = (c + b )(c - b ) ， 2 ⎪ ⎝ ⎭整理得a 2 + b 2 - c 2 =ab，②2a 2 +b 2 -c 21 15由余弦定理的推论可得cos C == ，所以sin C = ． 2ab4 4把①代入②整理得a 2 + b 2+ab = 4 ，2又 a 2 + b 2 ≥ 2ab ，当且仅当a = b 时等号成立，所以4 ≥ 2ab +ab = 5ab ， 2 2所以ab ≤ 8，即a = b =2 10 时等号成立．55此时c 2= 2⎛ 8 + 8 ⎫- 4 =12 ，即c = ， ⎪ ⎝ ⎭所以当ab 取最大值时 ABC 的周长为4 10 + 2 15．555故答案为： 4 10 + 2 15529．（2020·江西高三月考（理））已知正数a、b满足a+2b+ab=e2-2，t =(a + 2)ln(b+1)，则t的最大值为.【答案】e【解析】 a + 2b +ab =e 2 - 2 ，∴a+ 2b +ab + 2 =e 2 ，则(a + 2)(b +1)=e 2 ，⎡ln(a+2)+ln(b+1)⎤2ln2⎡(a+2)(b+1)⎤ln(b+1) ln(a+2)ln(b+1)⎢ ⎥⎣⎦2∴t =(a + 2)=e≤e⎣⎦=e 4 = e2当且仅当a + 2 =b +1 =e 2时，等号成立，因此，t 的最大值为e .故答案为：e .30．（2020·大连第一中学分校高三月考（理））设a、b，c为锐角ABC内角A, B, C 的对边，且满足cos A+cos B=2 3 sin C，若b = 4 时，则ABC 面积的最大值为.a b 3a 【答案】4 3【解析】由cos A+cos B=2 3 sin C，a b 3a根据正弦定理可得，sin B cos A + sin A cos B =2 3sin B sin C ，3即sin( A +B) =2 3sin B sin C ，sin C =2 3sin B sin C ，∴sin B =3．3 3 2，在ABC 内，可知B =π或2π，因为锐角ABC ，可知B =π．3 3 3利用余弦定理可得，b2 =a2 +c2 - 2ac cos B =a2 +c2 -ac ≥ 2ac -ac =ac ，可知ac ≤ 16 ，则ABC 的面积 S =1ac sin B ≤1⨯16⨯3= 4 3 ，当且仅当a =c 时，取等号，2 2 2所以ABC 面积的最大值为4 3 .故答案为：4 3 ．。