考点06 不等式 -2021届高三《新题速递·数学(理)》9月刊(适用于高考复习)解析版

考点06 不等式

一、单选题

1．（2020·上海高三专题练习）已知a、b、c满足cac B. c (b -a)> 0

C.cb2

D.ac (a -c)< 0

【答案】C

【解析】Q c 0 ，c < 0 且b 的符号不确定.

对于A 选项， b >c ，a > 0 ，由不等式的基本性质可得ab >ac ，A 选项中的不等式一定能成立；

对于B 选项， a >b ，则b -a < 0 ，又 c < 0 ，∴c (b -a )> 0 ，B 选项中的不等式一定能成立；对于C 选项，取b = 0 ，则b2 ca2 ；取c =-3 ，b =-1，a = 2 ，则cb2 >ca2 ，C 选项中的不等式不一定成立；

对于D 选项， a > 0 ，c < 0 ，则ac < 0 ，a -c > 0 ，∴a c (a -c)< 0 ，D 选项中的不等式一定能成立.故选：C

2．（2020·全国高三其他（理））若a,b∈R，ab>0，2a+b=1，则1-4ab+ ab 的最大值为（）

A.

1

4 B.15

16C．1 D．

17

16

【答案】D

【解析】解：∵ab > 0 ，2a +b = 1 ，

∴a > 0 ，b > 0 ，

1 1 ⎛1 ⎫

2 17∴1 - 4ab + =⋅ 4 ab (1- 4 ab )+1 ≤⨯ ⎪+1 =，

4 4 ⎝2 ⎭16

ab

ab ab ≠

a b ⎪ a b 1 2 ⎧2a + b = 1 ⎪

当且仅当⎨ ab =

1 ⎩

64 时，取“=”，

故选：D ．

3．（2020·江西东湖南昌十中高三其他（理））不等式ax 2 - 2x +1 < 0 的解集非空的一个必要而不充分条件是（ ） A. a < 1

B. a ≤ 1

C ． 0 < a < 1

D ． a < 0

【答案】B

【解析】

因为ax 2

- 2x +1 < 0 的解集非空,显然a ≤ 0 成立，由{

a > 0

= 4 - 4a > 0

,∴0 < a < 1,综上， ax 2 - 2x +1 < 0 的

解集非空的充要条件为a < 1 . {a | a < 1}⊂{a | a ≤ 1} ，所以选 B ．

4．（2020·黑龙江道里哈尔滨三中高三其他（理））若实数a , b 满足2 l g

⎛ 1 + 2 ⎫

= lg a + lg b ，则ab 的最小 ⎝ ⎭

值为（

）

A ． 2

B ． 2 2

C ． 3lg 2

D ．

lg 2

【答案】B

【解析】由题意可知a > 0, b > 0 ，

因为2 lg ⎛ 1 + 2 ⎫

= lg a + lg b ，所以 1 + 2 = ⎪

⎝ ⎭

所以 = 1 + 2 ≥ 2 a b

，所以ab ≥ 2 ⎧ 1 = 2

⎪ a b ，当且仅当⎨ ⎪ + = ⎩ a b

5 ，即b = 2a = 24 时，取等号.

1 ⋅

2 a b 2 ab a b

3 x 2

( ) 1 1 故选：B.

5．（2020·全国高三其他（理））已知a ， b 均为正实数，且 a - b = 4a 2b 2 ，则 1

+ 的最小值为（

）

a

b

A ．3

B ． 2

C ．9

D ．12

【答案】B

【解析】法一

a -

b = 4a 2b 2 ∴( 1 + 1)2 = ( 1 - 1)2 + 4

= ( a - b )2 +

4

=16a 2b 2 + 4 ， a b a b ab ab ab ab

令 x = ab ，设 f ( x ) = 16x 2

+ 4

，则 f '( x ) = 32x - 4

x

2

32x 3 - 4 =

x > 0 ，

x

令 f '(

x ) > 0 ，解得 x > 1

；令 f '( x ) < 0 ，解得0 < x < 1

． 2

所以当 x = 1

时， f ( x ) 取得最小值，为 12，即当a = 2

3 + 1 ，b =

3 -1 时，1

+ 取最小值，为2 ， 2 2 2

a b

法二 a - b = 4a 2b 2

∴( 1 + 1)2 = ( 1 - 1)2 + 4

= ( a - b )2 + 4 a b a b ab ab ab

= 16a 2b 2 + 4

= 16a 2b 2 + 2 + 2 ≥ 33 16a 2b 2 ⨯ 2 ⨯ 2 =12

ab ab ab ab ab

⎧ 2 2 2

⎪16a b =

3 + 1 3 -1 1 1 当且仅当⎨ ab 即当a = ， b =

时， + 取最小值，为2 3 ， ⎪⎩a - b = 4a 2b 2

2 2 a b

故选：B ．

6．（2020·全国高三课时练习（理））关于 x 的不等式 x 2 - 2ax - 8a 2 < 0(a > 0) 的解集为( x 1, x 2 ) ，且：

x 2 - x 1 = 15 ， 则 a =（ ）

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