高考数学 导数及其应用.docx

2016年高考数学文试题分类汇编

导数及其应用

一、选择题

1、（2016年山东高考）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 （A ）sin y x = （B ）ln y x =

（C ）e x y =

（D ）3y x =

【答案】A

2、（2016年四川高考）已知a 函数f(x)＝x 3

－12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D

3、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f(x)=

图象上点P 1，P 2处的切

线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B 则则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A

4、（2016年全国I 卷高考）若函数1

()sin 2sin 3

f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是

（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣

⎦（C ）11,33

⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡

⎤--⎢⎥

⎣

⎦

【答案】C 二、填空题

1、（2016年天津高考）已知函数()(2+1),()x

f x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________.

【答案】3

2、（2016年全国III 卷高考）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1

()x f x e

x --=-，则曲线()

y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________. 【答案】2y x = 三、解答题

1、（2016年北京高考）设函数()3

2

.f x x ax bx c =+++

（I ）求曲线().y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程；

（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.

解：（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()2

32f x x ax b '=++．

因为()0f c =，()0f b '=，

所以曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程为y bx c =+． （II ）当4a b ==时，()3

2

44f x x x x c =+++，

所以()2

384f x x x '=++．

令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23

x =-

． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：

所以，当0c >且32027c -

<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛

⎫∈-- ⎪⎝

⎭，

32,03x ⎛⎫

∈- ⎪⎝⎭

，使得()()()1230f x f x f x ===．

由()f x 的单调性知，当且仅当320,

27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

时，函数()32

44f x x x x c =+++有三个不同零点． （III ）当2

4120a b ∆=-<时，()2

320f x x ax b '=++>，(),x ∈-∞+∞，

此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点．

当2

4120a b ∆=-=时，()2

32f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ．

当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x -∞上单调递增；

当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．

综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．

当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()2

32442f x x x x x x =++=+只有两个不同 零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件． 2、（2016年江苏省高考）

已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. （1） 设a =2,b =

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. ① 求方程()f x =2的根;

②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值； （2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值. 解：（1）因为12,2

a b ==

，所以()22x x f x -=+. ①方程()2f x =，即22

2x

x

-+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=，

所以2

(21)0x

-=，于是21x

=，解得0x =. ②由条件知2222(2)2

2(22)2(())2x

x x x f x f x --=+=+-=-.

因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，

所以2(())4

()

f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.

而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且

2((0))44(0)f f +=， 所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.

（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而00

(0)(0)220g f a b =-=+-=，