高考数学：专题二第二讲 三角变换与解三角形配套限时规范训练
高考数学二轮专题辅导与训练 专题二第2讲三角恒等变换与解三角形课时训练提能
专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形课时训练提能[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2012·三明模拟)已知0＜α＜π，且tan α＝34，则cos α等于A ．－35B.35 C ．－45D.45解析 ∵0＜α＜π，tan α＝34＞0，∴0＜α＜π2，由tan α＝sin αcos α＝34，且sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝45.答案 D2．(2012·门头沟一模)在△ABC 中，已知∠A ＝π4，∠B ＝π3，AB ＝1，则BC 为A.3－1B.3＋1C.63D. 2解析 ∵A ＝π4，B ＝π3，∴C ＝5π12，由正弦定理可得BC ＝ABsin C ·sin A＝1sin5π12×sin π4＝3－1. 答案 A3．(2012·济宁一模)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于 A.32B.34C.32或34D.32或 3解析 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即1＝a 2＋3－2a 3×32， 化简得a ＝1或a ＝2.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝34或32.答案 C4．(2012·宜春模拟)设A ，B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin A －sin C ＝sin B ，cos A ＋cos C ＝cos B ，则B －A 等于A ．－π3B.π3 C ．－π6D.π3或π3解析 由已知条件得：sin C ＝sin A －sin B ，cos C ＝cos B －cos A ， 两式平方相加，得1＝2－2cos(B －A )，∴cos(B －A )＝12.∵sin C ＝sin A －sin B ＞0，∴sin A ＞sin B .又∵A ，B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＞B .∴B －A ＜0.又∵B －A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴B －A ＝－π3.答案 A5．如图所示，B 、C 、D 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别为β和α(α＜β)，则A 点距地面的高AB 等于A.a sin αsin ββ－αB.a sin αsin ββ－αC.a sin αcos ββ－αD.a cos αcos ββ－α解析 AB ＝AC sin β，ACsin α＝DC sin ∠DAC＝DCβ－α解得AC ＝a sin αβ－α，∴AB ＝a sin αsin ββ－α.答案 A6．(2012·临沂一模)在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos (B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为A.π6 B.π4 C.π3D.5π6解析 由5cos(B ＋C )＋3＝0得5cos A ＝3，cos A ＝35，所以sin A ＝45，因为a ＞b ，所以A ＞B ，即B 为锐角， 由正弦定理知a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝52×454＝12.所以B ＝π6，选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2012·青岛二模)若tan α＝2，则sin αcos α＝________. 解析 sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝25. 答案 258．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________，a ＝________.解析 因为在△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin A cos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1， 联立方程组，解得sin A ＝255.再由正弦定理，得a sin A ＝bsin B .代入数据，解得a ＝210.答案255210 9．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析 由已知条件及三角函数的定义可得sin C ＝12，在△ADC 中利用正弦定理即可求解．在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，∴cos C ＝32，∴sin C ＝12； 在△ADC 中，由正弦定理得，ADsin C ＝ACsin ∠ADC，∴AD ＝222×12＝ 2. 答案 2三、解答题(每小题12分，共36分)10．(2012·沈阳模拟)如图已知A ，B ，C 是一条直路上的三点，AB ＝1 km ，BC ＝2 km ，从三点分别遥望塔M ，在A 处看见塔在北偏东60°，在B 处看见塔在正东方向，在C 处南偏东60°，求塔M 到直线ABC 的最短距离．解析 由条件可知∠CMB ＝30°，∠AMB ＝30°， 又AB ＝1 km ，BC ＝2 km ，所以△CMB 和△AMB 的面积比为2∶1， 即，所以MC ＝2MA ；在△ACM 中，由余弦定理可得：9＝MC 2＋MA 2－2·MC ·MA ·cos 60°，MA ＝3， △ACM 为直角三角形，M 到ABC 的最短距离为 3.11．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求a 的值．解析 (1)解法一 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入cos B cos C ＝－b2a ＋c， 得cos B cos C ＝－sin B2sin A ＋sin C， 即2sin A cos B ＋sin C cos B ＋cos C sin B ＝0， 所以2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0. 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(B ＋C )＝sin A . 所以2sin A cos B ＋sin A ＝0. 又sin A ≠0，所以cos B ＝－12.又角B 为三角形的内角，所以B ＝2π3.解法二 由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c . 整理，得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.又角B 为三角形的内角，所以B ＝2π3.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2π3代入余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得13＝a 2＋(4－a )2－2a (4－a )·cos 2π3，整理，得a 2－4a ＋3＝0，解得a ＝1或a ＝3.12．(2012·广州模拟)已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，m ＝(a ，cos B )，n ＝(cos A ，－b )，a ≠b ，已知m ⊥n .(1)判断三角形的形状，并说明理由；(2)若y ＝sin A ＋sin Bsin A sin B ，试确定实数y 的取值范围．解析 (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，∴a cos A －b cos B ＝0. 由正弦定理知，a sin A ＝bsin B，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B . ∵A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π. ∴A ＝B (舍去)，A ＋B ＝π2.所以三角形ABC 是直角三角形． (2)∵sin B ＝cos A ，∴y ＝sin A ＋cos Asin A cos A.∵sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，A ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1，∴sin A ＋cos A ∈(1，2]，令sin A ＋cos A ＝t ∈(1，2]，sin A cos A ＝t 2－12，∴x ＝2t t 2－1＝2t －1t. ∵t －1t在(1，2)单调递增，∴0＜t －1t ≤2－12＝22.∴x ≥22，∵a ≠b ，故x 的取值范围为(22，＋∞)．。
高考数学大二轮复习 专题一 平面向量、三角函数与解三角形 第二讲 三角函数的图象与性质限时规范训练
第二讲 三角函数的图象与性质1．(2019·豫南九校联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π24B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π12 D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π12 解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4经伸长变换得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，再作平移变换得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.答案：B2．(2019·某某亳州一中月考)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )解析：由题意得函数的周期为T ＝2π，故可排除B ，D.对于C ，图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，代入解析式，不成立，故选A. 答案：A3．(2019·某某某某十校期末测试)要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度．答案：B4．(2019·东北三省三校一模)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是π2，则该函数的一个单调增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3解析：由题意得2πω＝2×π2，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π.当k ＝0时，有x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6.故选A.答案：A5．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( ) A ．2B.32 C ．1D.12解析：由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2. 故选A. 答案：A6．(2019·某某某某一模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( ) A ．1 B.π2C ．2D.π解析：∵函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2.答案：B7．(2019·某某平遥中学调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，已知点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝π12B.x ＝π4C ．x ＝π3D.x ＝2π3解析：由题意知图象过A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0， 即f (0)＝2sin φ＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6·ω＋φ＝0，又ω>0，|φ|<π，并结合图象知φ＝2π3，π6·ω＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 移动后g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z)，所以满足条件的一条对称轴方程是x ＝π12，故选A.答案：A8．(2019·某某某某适应性统考)已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B.ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D.ω＝12，φ＝π12解析：由题意知T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，所以ω＝2.因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ. 又0<φ<π2，所以φ＝π3.答案：A9．(2019·某某某某3月模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，若f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，则ω的可能取值为( )A.23 B.2 C.143D.263解析：∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω－π6＝－12，∴π2ω－π6＝2k π＋π6或π2ω－π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ，∴ω＝4k ＋23或ω＝4k ＋2，k ∈Z.∵函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，∴ωx －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，ωπ2－π6，∴2π<ωπ2－π6≤3π，∴133<ω≤193，∴ω＝143或ω＝6.故选C.答案：C10．(2019·贺州一模)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(φ∈R)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )，且f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则函数f (x )取得最大值时x 的可能值为( )A.π6B.π5C.π3D.π2解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )， 即y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，即函数f (x )在x ＝π6时取得最值，①当函数f (x )在x ＝π6时取得最大值时，又因为函数f (x )的周期为π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (π)，满足题意， ②当函数f (x )在x ＝π6时取得最小值时，又因为函数f (x )的周期为π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (π)，不满足题意， 综合①②得：函数f (x )取得最大值时x 的可能值为π6.故选A. 答案：A11．(2019·某某一模)若函数f (x )＝sinωx2·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π2(ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内有且仅有一个最大值，则ω的取值X 围是( ) A ．(0,5)B.[1,5)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，92 解析：f (x )＝sinωx2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π2＝12sin ωx ，当ωx ＝2k π＋π2，即x ＝2k π＋π2ω(k ∈Z)时函数取最大值，又函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内有且仅有一个最大值，即有两种情况，一是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内只有一个极值点，二是函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内单调递增，所以有⎩⎪⎨⎪⎧π2≤ωπ2<5π2，－3π2<－ωπ3或⎩⎪⎨⎪⎧π2≥ωπ2，－π2≤－ωπ3，解得ω∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，92或ω∈(－∞，1]，又∵ω>0，所以ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92，故选C. 答案：C12．(2019·某某一模)函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2x ，若f (x )最大值为G (θ)，最小值为g (θ)，则( )A ．∃θ0∈R ，使G (θ0)＋g (θ0)＝πB ．∃θ0∈R ，使G (θ0)－g (θ0)＝πC ．∃θ0∈R ，使|G (θ0)·g (θ0)|＝πD ．∃θ0∈R ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ0)g (θ0)＝π解析：f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2x ＝cos θ·sin 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋12·cos 2x ＋12＝54＋sin θsin(2x ＋φ)＋12，所以G (θ)＝54＋sin θ＋12，g (θ)＝－54＋sin θ＋12， ①对于选项A ，G (θ0)＋g (θ0)＝54＋sin θ＋12－54＋sin θ＋12＝1，显然不满足题意，即A 错误，②对于选项B ，G (θ0)－g (θ0)＝54＋sin θ＋12＋54＋sin θ－12＝254＋sin θ∈[1,3]，显然不满足题意，即B 错误， ③对于选项C ，G (θ0)·g (θ0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋sin θ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋sin θ－12＝1＋sin θ∈[0,2]，显然不满足题意，即C 错误，④对于选项D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ)g (θ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪154＋sin θ－12＋1∈[2，＋∞)，即∃θ0∈R ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ0)g (θ0)＝π，故D 正确， 故选D. 答案：D13．(2019·某某模拟)函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1(x ∈R)的最大值为________．解析：∵f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (x )max ＝2. 答案：214．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则函数f (x )的最小正周期为________． 解析：∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴x ＝π2和x ＝2π3均不是f (x )的极值点，其极值应该在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴x ＝π6也不是函数f (x )的极值点，又f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性， ∴x ＝π6－⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π2＝π12为f (x )的另一个相邻的极值点，故函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π.答案：π15．(2019·某某某某武邑中学模拟)将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为________．解析：将f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4ω＋π4＝2sin ωx 的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则满足T 4≥π4，即T ≥π，即2πω≥π，所以0<ω≤2，即ω的最大值为2.答案：216．已知函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f (x )的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题： ①该函数在[2,4]上的值域是[a ，2a ]；②在[2,4]上，当且仅当x ＝3时函数取得最大值； ③f (x )的图象可能过原点． 其中真命题的个数为________．解析：对于①，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴结合图象可以看出，当a >0时，f (x )在[2,4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f (x )在[2,4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x ＝2和x ＝4的中点是x ＝3，即当a >0时，f (x )在x ＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f (x )在x ＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误； 对于③，f (0)＝2a sin φ，令f (0)＝0，得φ＝0，此时f (x )＝2a sin πωx ，由2a sin πωx ＝a 得sin πωx ＝22，则πωx ＝2k π＋π4(k ∈Z)或πωx ＝2k π＋3π4(k ∈Z)，∴x ＝2k ＋14ω(k ∈Z)或x ＝2k ＋34ω(k ∈Z)，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴令⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋14ω＝2，2k ＋34ω＝4，解得k ＝18∉Z ，即不存在这样的k 符合题意，③错误． 综上，没有真命题． 答案：0。
高考数学二轮复习 第二部分 突破热点 分层教学 专项二 专题二 2 第2讲 三角恒等变换与解三角形专
第2讲 三角恒等变换与解三角形[A 组 夯基保分专练]一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B.易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sinC ，则sin B 为( )A.74B.34C.73D.13解析：选A.由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ， 得b ＝2a ，因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34， 所以sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.3．(2018·某某第一次统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B＝( )A.32B.233C.33D. 3解析：选B.由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3，对于b 2＝ac ，由正弦定理得，sin 2B ＝sin A sinC ＝32·sinC ，由正弦定理得，c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C＝233.故选B. 4．(2018·某某模拟)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选A.法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，cos ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎪⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABC BC ＝2×323＝1，故选A. 法二：因为tan ∠BAC ＝－3，所以cos ∠BAC ＝－110<0，则∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，故选A.5．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B.因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sinA cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12， 又0<C <π4，所以C ＝π6.6.如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223 B.24 C.64D.63解析：选 C.依题意得，BD ＝AD ＝DEsin A＝22sin A，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64. 二、填空题7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________． 解析：依题意得cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1 ＝－78.答案：－788．(2018·高考全国卷Ⅱ改编)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝________．解析：因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.答案：4 29．(2018·某某第一次调研)已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值X 围为________．解析：由4sin A ＝c sin C ，得4sin A ＝csin 2A ，所以c ＝8cos A ，因为16＝b 2＋c 2－2bc cosA ，所以16－b 2＝64cos 2A －16b cos 2A ，又b ≠4，所以cos 2A ＝16－b 264－16b ＝（4－b ）（4＋b ）16（4－b ）＝4＋b 16，所以c 2＝64cos 2A ＝64×4＋b 16＝16＋4b .因为b ∈(4，6)，所以32<c 2<40，所以42<c <210.答案：(42，210) 三、解答题10．(2018·某某教学质量监测(一))在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b .(1)求C ；(2)若a ＋b ＝6，△ABC 的面积为23，求c .解：(1)由正弦定理得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ， 又sin A ＝sin(B ＋C )，所以2sin C cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，所以2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ， 所以2sin B cos C ＋sin B ＝0， 因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12.又C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ＝23，所以ab ＝8，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝28， 所以c ＝27.11．(2018·某某质量检测(二))已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3ca cos B＝tan A ＋tan B .(1)求角A 的大小；(2)设AD 为BC 边上的高，a ＝3，求AD 的取值X 围． 解：(1)在△ABC 中，因为3c a cos B ＝tan A ＋tan B ，所以3sin C sin A cos B ＝sin A cos A ＋sin Bcos B，即3sin C sin A cos B ＝sin A cos B ＋sin B cos Acos A cos B，所以3sin A ＝1cos A ，则tan A ＝3，所以A ＝π3.(2)因为S △ABC ＝12AD ·BC ＝12bc sin A ，所以AD ＝12bc .由余弦定理得cos A ＝12＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －32bc ，所以0<bc ≤3(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以0<AD ≤32.12．(2018·某某质量检测(二))已知△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C ，c ＝3.(1)求A ；(2)若AD 是BC 边上的中线，AD ＝192，求△ABC 的面积． 解：(1)对于2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C ，由正弦定理得，b sin B －a sin A ＝b sin C －c sin C ，即b 2－a 2＝bc －c 2， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABEC ，连接DE ，易知A ，D ，E 三点共线． 在△ABE 中，∠ABE ＝120°，AE ＝2AD ＝19，在△ABE 中，由余弦定理得AE 2＝AB 2＋BE 2－2AB ·BE cos 120°，即19＝9＋AC 2－2×3×AC ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，得AC ＝2.故S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ＝332.[B 组 大题增分专练]1．(2018·某某质量监测(二))在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝b 2sin A .(1)求cb的值；(2)设内角A 的平分线AD 交于BC 于D ，AD ＝233，a ＝3，求b .解：(1)由S ＝12bc sin A ＝b 2sin A ，可知c ＝2b ，即c b ＝2.(2)由角平分线定理可知，BD ＝233，CD ＝33，在△ABC 中，cos B ＝4b 2＋3－b22·2b ·3，在△ABD 中，cos B ＝4b 2＋43－432·2b ·233，即4b 2＋3－b22·2b ·3＝4b 2＋43－432·2b ·233，解得b ＝1.2．(2018·某某模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，AB 边上的高h ＝23c .(1)若△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35，求角C 的正弦值；(2)若C ＝π4，M ＝a 2＋b 2＋13c 2ab，求M 的值．解：(1)作CD ⊥AB ，垂足为D ，因为△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35，所以sin A ＝45，tan A ＝43，所以AD ＝c 2，BD ＝AB －AD ＝c2，所以BC ＝CD 2＋BD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝5c 6，由正弦定理得：sin ∠ACB ＝AB sin ABC ＝c ×455c 6＝2425.(2)因为S △ABC ＝12c ×23c ＝12ab sin ∠ACB ＝24ab ，所以c 2＝324ab ，又a 2＋b 2－c 2＝2ab cos ∠ACB ＝2ab ， 所以a 2＋b 2＝2ab ＋c 2，所以a 2＋b 2＋13c 2＝2ab ＋43c 2＝2ab ＋43×324ab ＝22ab ，所以M ＝a 2＋b 2＋13c 2ab＝22abab＝2 2.3．(2018·某某质量检测)已知△ABC 中，D 为AC 边上一点，BC ＝22，∠DBC ＝45°. (1)若CD ＝25，求△BCD 的面积； (2)若角C 为锐角，AB ＝62，sin A ＝1010，求CD 的长． 解：(1)在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos 45°， 即20＝8＋BD 2－4BD ，解得BD ＝6，所以△BCD 的面积S ＝12×22×6×sin 45°＝6.(2)在△ABC 中，由BC sin A ＝AB sin C 得221010＝62sin C ，解得sin C ＝31010.由角C 为锐角得，cos C ＝1010，所以sin ∠BDC ＝sin(C ＋45°)＝255.在△BCD 中，CD sin ∠DBC ＝BC sin ∠BDC ，即CD 22＝22255，解得CD ＝ 5.4．(2018·高考某某卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sinA ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b＝7.由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a <c ，故cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17，所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.。
高三数学二轮专题复习课后强化作业 2-2三角变换与解三角形含详解
基本素能训练一、选择题1．在△ABC中，AB＝8，BC＝10,AC＝13,则△ABC的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形[答案］C[解析] 由余弦定理得cos B＝错误!＝－错误!<0，所以角B为钝角，故三角形为钝角三角形．2．(文)(2012·东北三省三校二模）函数y＝2sin2(错误!－x）－1是( )A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为错误!的奇函数D．最小正周期为错误!的偶函数[答案］A［解析] ∵y＝－cos（错误!－2x）＝－sin2x，∴选A。
(理)(2013·安徽文，9）设△ABC的内角A，B，C，所对边的长分别为a，b，c若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝( )A.错误!B.错误!C.错误!D。
错误!［答案］B[解析] 本题考查了三角形的余弦定理、正弦定理．由3sin A＝5sin B得3a＝5b,又已知b＋c＝2a。
∴a＝错误!b，c＝错误!b,cos C＝错误!＝错误!＝－错误!。
又∵0<c<π，∴C＝错误!π.3．（2012·淄博市一模)在△ABC中,已知b·cos C＋c·cos B＝3a·cos B，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边,则cos B的值为( ）A。
错误!B．－错误!C。
错误!D．－错误!［答案］A[解析］由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝3sin A cos B,∴sin（B＋C）＝3sin A cos B，∴sin A＝3sin A cos B，∵sin A≠0，∴cos B＝错误!.4．(文)(2012·重庆理，5)设tan α、tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β）的值为（ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．3［答案］ A［解析] 本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式． 由已知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，所以tan(α＋β）＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝错误!＝－3。
高考数学二轮复习 专题二第2讲三角变换与解三角函数课下作业(浙江专版)
高考数学二轮复习 专题二第2讲三角变换与解三角函数课下作业（浙江专版）一、选择题1．如果α∈(π2，π)，且sin α＝45，那么sin(α＋π4)－22cos α等于( ) A.225 B ．－225 C.425 D ．－425解析：sin(α＋π4)－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225. 答案：A2．(2011·奉化模拟)已知α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，那么sin α＋cos α的值为( )A ．－15B.75 C ．－75 D.34解析：由tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝17，得tan α＝－34. 又α∈(π2，π)，解得sin α＝35，cos α＝－45， 所以sin α＋cos α＝－15. 答案：A3．(2011·浙江高考)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝( ) A.33 B ．－33C.539 D ．－69解析：对于cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)， 而(π4＋α)∈(π4，3π4)，(π4－β2)∈(π4，π2)， 因此sin(π4＋α)＝223，sin(π4－β2)＝63， 则cos(α＋β2)＝13×33＋223×63＝539. 答案：C4．(2011·四川高考)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π6] B ．[π6，π) C ．(0，π3] D ．[π3，π) 解析：由已知及正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc ，而由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是可得b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，可得cos A ≥12，注意到在△ABC 中，0<A <π，故A ∈(0，π3]． 答案：C二、填空题5．(2011·北京高考)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.解析：因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且sin A cos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝b sin B，代入数据解得a ＝210. 答案：255210 6．(2011·江南十校)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin α＝________.解析：由α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2得α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45， 则sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4 ＝35×22＋45×22＝7210. 答案：72107．已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝________. 解析：由cos2α＝2cos 2α－1＝－35，且α为第三象限角，得cos α＝－55，则tan α＝2，tan2α＝－43，tan(π4＋2α)＝1＋tan2α1－tan2α＝－17. 答案：－17三、解答题8．已知复数z 1＝sin2x ＋λi ，z 2＝m ＋(m －3cos2x )i(λ，m ，x ∈R)，且z 1＝z 2.(1)若λ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设λ＝f (x )，已知当x ＝α时，λ＝12，试求cos ⎝⎛⎭⎪⎫4α－2π3 的值．解：(1)∵z 1＝z 2，∴⎩⎨⎧ sin2x ＝m ，λ＝m －3cos2x .∴λ＝sin2x －3cos2x ， 若λ＝0，则sin2x －3cos2x ＝0，得tan2x ＝ 3.∵0<x <π，∴0<2x <2π. ∴2x ＝π3或2x ＝4π3. ∴x ＝π6或2π3. (2)∵λ＝f (x )＝sin2x －3cos2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x －32cos2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin2x cos π3－cos2x sin π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 又∵当x ＝α时，λ＝12， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝12，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝14， ∴cos(4α－2π3)＝1－2sin 2(2α－π3) ＝1－2×116＝78. 9．(2011·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C＝p sin B (p ∈R)，且ac ＝14b 2. (1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值； (2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．解：(1)由题设并利用正弦定理，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝54，ac ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，c ＝14，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ， 即p 2＝32＋12cos B ， 因为0＜cos B ＜1，所以p 2∈(32，2)． 由题设知p ＞0，所以62＜p ＜ 2.即p 的取值范围为(62，2)． 10．在南沙某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？ 解：由题意，得轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟． 又船始终匀速前进，所以BC ＝4EB .设EB ＝x ，则BC ＝4x .由已知，得∠BAE ＝30°，∠EAC ＝150°.在△AEC 中，由正弦定理，得EC sin ∠EAC ＝AEsin C ，所以sin C ＝AE ·sin∠EAC EC ＝5sin150°5x ＝12x .在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin120°＝ABsin C ，∴AB ＝BC ·sin C sin120°＝4x ·12x 32＝433.在△ABE 中，由余弦定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos30°＝163＋25－2×433×5×32＝313，故BE ＝313.所以船速v ＝BE t ＝31313＝93(km/h)．所以该船的速度为93 km/h.。
高考数学(理)二轮复习：专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形
专题二第2讲三角恒等变换与解三角形一、选择题1.已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于()A.43 B.34C.－34 D.－43解析∵sin α＋2cos α＝10 2，∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝5 2.用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.答案 C2.(2016·宁波二模)已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，23cos2A ＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A.10B.9C.8D.5解析化简23cos2A＋cos 2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，又角A为锐角，解得cos A＝1 5，由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得b＝5. 答案 D3.(2016·全国Ⅲ卷)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cos A＝()A.31010 B.1010C.－1010 D.－31010解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝π4，BD＝13BC，DC＝23BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A＝－1010.答案 C4.(2014·新课标全国Ⅰ卷)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A.3α－β＝π2B.2α－β＝π2C.3α＋β＝π2D.2α＋β＝π2解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.答案 B5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A.3 B.932 C.332D.3 3解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①. ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得 ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C. 答案 C 二、填空题6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________. 解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8.答案 87.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m. 解析 在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝ABsin ∠ACB，即BC sin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在 Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6. 答案 100 68.(2016·南昌模拟)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.解析 ∵sin A ＋2sin B ＝2sin C . 由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a ＋2b2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24， 当且仅当3a 2＝2b 2即a b ＝23时等号成立.∴cos C 的最小值为6－24. 答案6－24三、解答题9.(2016·北京卷)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求角B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值.解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A ，0＜A ＜3π4.所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A＝2cos A －22cos A ＋22sin A＝22sin A ＋22cos A＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，∵0＜A ＜3π4，∴π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π2，即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值为1.10.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值.解 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1) (cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21.又由正弦定理得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57. 11.(2015·山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z,可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ). (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A为锐角，所以cos A＝3 2.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，可得1＋3bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋3，当且仅当b＝c时等号成立.因此12bc sin A≤2＋34.所以△ABC面积的最大值为2＋34.。
高中数学高三数学二轮复习课时作业专题二第二讲三角恒等变换与解三角形
[限时规范训练] 单独成册 一、选择题1.(2017·高考山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C.πD.2π【试题解析】:y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6,T ＝2π2＝π. 故选C. 答案:C2.(2017·高考全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43,则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79【试题解析】:∵sin α－cos α＝43,∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169,∴sin 2α＝－79.故选A. 答案:A3.已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2,tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－7,则sin α的值等于( ) A.35 B.－35C.45D.－45【试题解析】:因为tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－7,所以tan α－11＋tan α＝－7,得tan α＝－34,即sin αcos α＝－34.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2,所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.又sin 2 α＋cos 2 α＝1,得sin α＝35,故选A.答案:A4.在△ABC 中,cos 2A 2＝b ＋c 2c (a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边),则△ABC 的形状为( )A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【试题解析】:∵cos 2A 2＝b ＋c2c,∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ,∴1＋b 2＋c 2－a 22bc ＝b ＋cc ,化简得a 2＋b 2＝c 2.故△ABC 是直角三角形. 答案:B5.在△ABC 中,A ＝60°,若a ,b ,c 成等比数列,则b sin B c ＝( )A.12B.32C.22D.6＋24【试题解析】:∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2＝ac ,① 又A ＝60°,则由正弦定理得a sin A ＝bsin B ,即a ＝b sin A sin B ,代入①得,b 2＝cb sin A sin B ,则b ＝c sin A sin B ,所以b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.故选B.答案:B6.在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sin A ＝223,a ＝2,S △ABC ＝2,则b 的值为( ) A. 3 B.322 C.2 2D.2 3【试题解析】:由S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×223＝2,解得bc ＝3.因为A 为锐角,sin A ＝223,所以cos A ＝13,由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,代入数据解得b 2＋c 2＝6,则(b ＋c )2＝12,b ＋c＝23,所以b ＝c ＝3,故选A. 答案:A7.(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B.1 C.35D.15【试题解析】:法一:∵f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝15⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3, ∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z)时,f (x )取得最大值65.故选A.法二:∵⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋⎝⎛⎭⎫π6－x ＝π2, ∴f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝15sin(x ＋π3)＋cos(π6－x ) ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )max ＝65.故选A. 答案:A8.(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0,a ＝2,c ＝2,则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4D.π3【试题解析】:因为a ＝2,c ＝2, 所以由正弦定理可知,2sin A ＝2sin C ,故sin A ＝2sin C . 又B ＝π－(A ＋C ),故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角, 故sin C ≠0,则sin A ＋cos A ＝0,即tan A ＝－1. 又A ∈(0,π),所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12.由A ＝3π4知C 为锐角,故C ＝π6.故选B. 答案:B 二、填空题9.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足b sin A ＝a cos B ,则角B 的大小为________.【试题解析】:∵b sin A ＝a cos B ,由正弦定理,得sin B sin A ＝sin A cos B.∵sin A ≠0,∴sin B ＝cos B ,∵B 为△ABC 内角,∴B ＝π4.答案:π410.(2017·高考江苏卷)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16,则tan α＝________. 【试题解析】:法一:∵tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝tan α－11＋tan α＝16, ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1),∴tan α＝75.法二:tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16×1＝75.答案:7511.(2017·高考北京卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13,则cos(α－β)＝________.【试题解析】:由题意知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z), ∴β＝π＋2k π－α(k ∈Z), sin β＝sin α,cos β＝－cos α. 又sin α＝13,∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1 ＝2×19－1＝－79.答案:－7912.在△ABC 中,若C ＝60°,AB ＝2,则AC ＋BC 的取值范围为________.【试题解析】:设角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .由题意,得c ＝2.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ,即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ≥14(a ＋b )2,得a ＋b ≤4.又由三角形的性质可得a ＋b >2,综上可得2<a ＋b ≤4. 答案:(2,4] 三、解答题13.(2016·高考山东卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan Acos B ＋tan Bcos A. (1)证明:a ＋b ＝2c ; (2)求cos C 的最小值.【试题解析】:(1)证明:由题意得2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos B cos A,∴2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B.又∵A ＋B ＝π－C ,∴sin(A ＋B )＝sin ()π－C ＝sin C , ∴2sin C ＝sin A ＋sin B 由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)由(1)知c ＝a ＋b 2,所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12,当且仅当a ＝b 时,等号成立,故cos C 的最小值为12.14.(2016·高考四川卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .(1)证明:sin A sin B ＝sin C ; (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ,求tanB.【试题解析】:(1)证明:根据正弦定理,可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k ＞0), 则a ＝k sin A ,b ＝k sin B ,c ＝k sin C , 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中,有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C,变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ). 在△ABC 中,由A ＋B ＋C ＝π, 有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C , 所以sin A sin B ＝sin C . (2)由已知,b 2＋c 2－a 2＝65bc ,根据余弦定理,有 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35,所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1),知sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B , 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ,故tan B ＝sin B cos B＝4.15.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2sin C －sin B sin B ＝a 2＋c 2－b 2b 2＋c 2－a 2.(1)求角A 的大小;(2)若a ＝3,sin C ＝2sin B ,求b ,c 的值.【试题解析】:(1)由正、余弦定理得2sin C －sin B sin B ＝a cos B b cos A ＝sin A cos Bsin B cos A ,所以2sin C cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C , 因为sin C ≠0,故cos A ＝12,所以A ＝π3.(2)由sin C ＝2sin B 得c ＝2b ,因为a ＝3,A ＝π3,所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝3b 2, 解得b ＝3,c ＝2 3.。
高考数学二轮总复习层级二专题二三角函数与解三角形第二讲三角恒等变换与解三角形学案理含解
学习资料第二讲 三角恒等变换与解三角形1．（2019·全国卷Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－错误!，则错误!＝（ )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A ∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ， ∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2。
由余弦定理得cos A ＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!，∴错误!＝6.故选A ． 2．（2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝（ ） A ．－2－错误! B ．－2＋错误! C ．2－错误!D ．2＋错误!解析：选D tan 255°＝tan(180°＋75°）＝tan 75°＝tan(45°＋30°）＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝错误!＝2＋错误!。
故选D ．3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos 错误!＝错误!，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ） A ．4错误! B ．错误! C ．29D ．2错误!解析：选A ∵cos 错误!＝错误!，∴cos C ＝2cos 2错误!－1＝2×错误!2－1＝－错误!.在△ABC 中，由余弦定理,得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×错误!＝32,∴AB ＝32＝4错误!.故选A ．4．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A ．错误! B ．错误! C ．错误!D ．错误! 解析：选C ∵S ＝12ab sin C ＝错误!＝错误!＝错误!ab cos C ,∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1。
2020浙江高考数学二轮讲义：专题二第2讲三角恒等变换与解三角形Word版含解析
第 2 讲 三角恒等变换与解三角形利用三角恒等变换化简、求值[ 核心提炼 ]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin( α±β)＝sin α cos β± cos αsin β；(2)cos(α±β)＝ cos αcos β?sin αsin β；tan α± tan β(3)tan(α±β)＝1?tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 α＝ 2sin α cos α；(2)cos 2α＝cos 2α－ sin 2α＝2cos 2 α－ 1＝ 1－2sin 2α；2tan α(3)tan 2α＝ 1－tan 2α .[ 典型例题 ]π ＋ sin θ＝ 4 3，则 sinθ＋7π的值是 ()(1) 已知 cos θ－ 6564B ． 4 3C ．－ 4D ．－ 4 3A ． 5555(2)若 sin 2 α＝ 5，sin( β－α)＝10，且 α∈ π，π，β∈ π，3π，则 α＋ β的值是 ()5104 2A. 7πB.9π445π 7π 5π9πC. 4 或 4D. 4 或 4π43【分析 】 (1)因为 cos θ－ 6＋sin θ＝ 5，3θ3θ 4 5 3所以 2 cos ＋ 2sin ＝ ， 即 3 1θ 3 θ ＝ 4 3，2cos＋ 2 sin5即 3sin θ＋ 6π＝45 3 ，所以 sinπ ＝ 4，＋5θ 67ππ 4所以sinθ＋ 6＝－sinθ＋ 6 ＝－ 5.应选 C.(2)因为α∈π，所以 2α∈π，又 sin 2α＝5，故 2α∈π，α∈π π，4 ，π2， 2π 5 2，π 4 ， 2所以 cos 2α＝－3ππ 5π10，所以 cos(α2 5.又β∈π，2，故β－α∈2，，于是 cos(β－α)＝－35 4 10＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－2 5×－3 10－5×10＝5 10 5 102 5π7π2，且α＋β∈4， 2π，故α＋β＝4.【答案】(1)C (2)A三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋ 2cos2α＝ (sin2α＋ cos2α)＋ cos2α，α＝( α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．[对点训练 ]1．(2019 杭·州市高三模拟 )函数 f(x)＝ 3sin x x x(x∈ R)的最大值等于 () 2cos ＋ 4cos22 29A ． 5 B．25C．2 D． 2分析：选 B.因为 f(x)＝ 3sin xx 2x 2cos 2＋ 4cos 23 5 3 4＝2sin x＋ 2cos x＋ 2＝2 5sin x＋5cos x ＋2 5＝2sin(x＋φ)＋ 2，此中 sin φ＝45， cos φ＝35，9所以函数f(x) 的最大值为2.2． (2019 ·江五校联考浙α＋ tan2α＝ 1， sin β＝ 3sin(2 α＋β)，则 tan(α＋β)＝)已知 3tan 2 2()4 4A. 3 B．－32C ．－ 3D ．－ 3分析： 选 B.因为 sin β＝ 3sin(2α＋ β)，所以 sin[( α＋ β)－ α]＝3sin[( α＋ β)＋ α]，所以 sin( α＋ β)cos α－ cos(α＋ β)sin α＝ 3sin(α＋β) ·cos α＋ 3cos(α＋ β)sin α，所以 2sin(α＋ β)cos α＝－ 4cos(α＋ β)sin α，sin （ α＋ β） 4sin α所以 tan(α＋ β)＝ ＝－ ＝－ 2tan α，cos （α＋β） 2cos αα α α α又因为 3tan 2＋ tan 2 2＝ 1，所以 3tan 2 ＝ 1－ tan 2 2 ，α2tan 224 . 所以 tan α＝＝ ，所以 tan(α＋ β)＝－ 2tan α＝－3α 31－ tan 221，则 sin 2x ＝3．(2019 ·宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)若 sin( π＋ x)＋cos(π＋ x)＝ 21＋ tan x ＝________．________，πsin xcos x － 4分析： sin( π＋x)＋ cos(π＋x)＝－ sin x － cos x ＝12，1即 sin x ＋ cos x ＝－ 2，两边平方得： sin 2x ＋ 2sin xcos x ＋ cos 2x ＝14，13 即 1＋ sin 2x ＝4，则 sin 2x ＝－ 4，sin x 1＋ tan x ＝1＋ cos x 由 π 2sin xcos x －42 sin x （ cos x ＋ sin x ）22 22 2 8 2＝sin xcos x ＝sin 2x＝ 3＝－ 3.－ 438 2 答案：－4 －3利用正、余弦定理解三角形[ 核心提炼 ]1．正弦定理及其变形在△ ABC中， a ＝ b ＝ c ＝ 2R(R 为△ ABC sin Asin B sin C的外接圆半径)．变形： a ＝ 2Rsin A ，sinA ＝ 2R a， a ∶b ∶ c ＝ sin A ∶ sin B ∶ sin C 等．2．余弦定理及其变形在△ ABC 中， a 2＝b 2＋ c 2－2bccos A ；b 2＋c 2－ a 2变形： b 2＋ c 2－ a 2＝ 2bccos A ， cos A ＝.3．三角形面积公式1 1 1△ABC＝ 2absin C ＝ 2bcsin A ＝ 2acsin B.S[ 典型例题 ](1)(2018 高·考浙江卷 )在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c.若 a ＝ 7，b ＝ 2，A ＝ 60°，则 sin B ＝ ________，c ＝ ________．(2)在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为①证明： A ＝ 2B ；a ，b ， c.已知b ＋c ＝ 2acos B.②若cos B ＝23，求cos C的值．2× 3221【解】 (1)因为 a ＝ 7，b ＝ 2， A ＝ 60°，所以由正弦定理得 sin B ＝bsin A7a ＝ ＝ 7 .由余弦定理 a 2＝ b 2＋ c 2－ 2bccos A 可得 c 2－2c － 3＝ 0，所以 c ＝3.故填： 21 3.7(2)① 证明： 由正弦定理得 sin B ＋sin C＝2sin Acos B ，故 2sin Acos B ＝ sin B ＋ sin(A ＋ B)＝ sin B ＋sin Acos B ＋ cos Asin B ，于是 sin B ＝sin(A －B)．又 A ， B ∈ (0，π)，故 0＜ A － B ＜π，所以 B ＝π－(A － B) 或 B ＝ A － B ，所以 A ＝π( 舍去 )或 A ＝ 2B ，所以 A ＝ 2B.②由 cos B ＝23得 sin B ＝ 35，1cos 2B＝ 2cos2B－ 1＝－9，1 4 5故 cos A＝－9， sin A＝9 ，22cos C＝－ cos(A＋B)＝－ cos Acos B＋ sin Asin B＝27.正、余弦定理的合用条件(1)“已知两角和一边” 或“已知两边和此中一边的对角”应利用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角” 或“ 已知三角形的三边”应利用余弦定理．[ 对点训练 ]1．(2019 ·高考浙江卷 )在△ ABC 中，∠ ABC＝90°，AB＝ 4，BC＝ 3，点 D 在线段 AC 上．若∠BDC＝ 45°，则 BD ＝ ________， cos∠ ABD ＝ ________．分析：在 Rt△ABC 中，易得 AC＝ 5，sin C＝AB 4 BC AC＝5.在△ BCD 中，由正弦定理得BD ＝sin∠BDC×sin∠BCD＝3×4＝12 2，sin∠DBC＝ sin[π－(∠ BCD ＋∠ BDC )]＝ sin(∠ BCD ＋∠ BDC )＝ sin 2 5524 2 3×2 7 2 π∠BCD cos∠BDC＋ cos∠BCD sin∠BDC ＝×2 ＋2＝10.又∠ABD ＋∠ DBC＝2，所以 cos5 57 2∠ABD ＝ sin∠DBC ＝10.答案：12 2 7 25 102．(2019 义·乌高三月考 )在△ ABC 中，内角 A，B，C 对应的三边长分别为a， b，c，且满a足 c bcos A－2＝ b2－ a2 .(1)求角 B 的大小；1129(2)若 BD 为 AC 边上的中线， cos A＝7， BD ＝2，求△ ABC 的面积．a解： (1) 因为 c bcos A－2＝ b2－ a2，即 2bccos A－ ac＝ 2(b2－ a2)，所以 b2＋ c2－ a2－ ac＝ 2(b2－ a2)，1 π所以 a 2＋ c 2－ b 2＝ ac ， cos B ＝ 2， B ＝ 3 . (2)法一： 在三角形 ABD 中，由余弦定理得 2b 2 b129＝ c 2＋2－ 2c ·2 2cos A ，所以129＝ c 2＋b 2－1bc ，①447在三角形 ABC 中，由已知得 sin A ＝473，所以 sin C ＝ sin(A ＋ B) ＝sin Acos B ＋ cos Asin B ＝ 5 3，145由正弦定理得 c ＝ 7b.②b ＝ 7，由① ，②解得c ＝ 5.1所以 S △ABC ＝ 2bcsin A ＝ 10 3.法二： 延伸 BD 到 E ，DE ＝ BD ，连结 AE ，在 △ ABE 中，2π∠BAE ＝ 3 ，BE 2＝ AB 2＋ AE 2－2 ·AB ·AE ·cos ∠BAE ，因为 AE ＝ BC ，129＝ c 2＋ a 2＋ a ·c ，①4 3由已知得， sin ∠BAC ＝ 7 ，5 3所以 sin C ＝ sin(A ＋ B) ＝ 14 ，c sin ∠ACB5 a ＝＝ .②sin ∠BAC8由①② 解得 c ＝ 5， a ＝ 8，1S △ABC ＝ 2c ·a ·sin ∠ABC ＝ 103.解三角形中的最值 (范围 )问题[ 典型例题 ](1)在△ ABC 中，角 A，B， C 所对的边分别为a， b， c.已知 2ccos B＝ 2a－ b.①求角 C 的大小；→ 1 →②若 CA－2CB ＝ 2，求△ ABC 面积的最大值．(2)(2019 杭·州市高考数学二模)在△ ABC 中，内角 A，B， C 所对的边分别为a， b， c，若msin A＝sin B＋ sin C(m∈ R )．①当 m＝ 3 时，求 cos A 的最小值；π②当 A＝时，求m的取值范围．3【解】(1)①因为 2ccos B＝ 2a－ b，所以 2sin Ccos B＝ 2sin A－ sin B＝ 2sin(B＋C)－ sin B，化简得 sin B＝ 2sin Bcos C，1因为 sin B≠0，所以 cos C＝2.π因为 0＜ C＜π，所以 C＝3.→ 1 →→②取 BC 的中点 D ，则CA－2CB ＝ |DA|＝ 2.在△ ADC 中， AD 2＝ AC2＋CD 2－ 2AC·CDcos C，即有 4＝ b2＋a 2 ab≥ 2a2b2 ab ab 2 － 2 4－2 ＝ 2 ，所以 ab≤ 8，当且仅当a＝ 4， b＝ 2 时取等号．1 3所以 S△ABC＝2absin C＝4 ab≤ 2 3，所以△ ABC 面积的最大值为 2 3.(2)①因为在△ ABC 中 msin A＝sin B＋ sin C，当 m＝ 3 时， 3sin A＝sin B＋ sin C，由正弦定理可得 3a＝b＋ c，再由余弦定理可得1b 2＋c 2－ a 2 b 2＋ c 2－ 9（b ＋ c ） 2cos A ＝ 2bc ＝ 2bc82 8 2 9（b 2＋c 2）－ 9bc 9·2bc －9bc7 ＝ 2bc≥＝ 9，2bc当且仅当 b ＝c 时取等号，7故 cos A 的最小值为 9.π3②当 A ＝ 3时，可得 2 m ＝ sin B ＋sin C ，故 m ＝ 232 33 sin B ＋ 3sin C 2 32 32π＝ 3 sin B ＋ 3 sin 3 －B2 32 3 31＝ 3 sin B ＋ 3 2 cos B ＋ 2sin B2 33＝ 3 sin B ＋cos B ＋ 3 sin Bπ＝ 3sin B ＋cos B ＝ 2sin B ＋ 6 ，2π 因为B ∈0，3，ππ 5所以 B ＋ 6∈6 ， 6π，π1所以 sin B ＋ 6 ∈ 2， 1 ，π所以 2sin B ＋ 6 ∈ (1， 2]，所以 m 的取值范围为 (1， 2]．(1)求最值的一般思路由余弦定理中含两边和的平方(如 a 2 ＋ b 2－ 2abcos C ＝ c 2) 且 a 2＋ b 2≥ 2ab ，所以在解三角形1中，若波及已知条件中含边长之间的关系，且与面积相关的最值问题，一般利用S ＝ 2absin C型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性．(2)求三角形中范围问题的常有种类①求三角形某边的取值范围．②求三角形一个内角的取值范围，或许一个内角的正弦、余弦的取值范围．③求与已知相关的参数的范围或最值．[ 对点训练 ]→ →→ → 1．在△ ABC 中， AC ·AB ＝ |AC －AB|＝ 3，则△ ABC 面积的最大值为 ()A. 213 21B. 4C. 21 D ．3 21 2分析： 选 B.设角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ， b ，c ，→ → → →因为 AC ·AB ＝ |AC － AB |＝ 3，所以 bccos A ＝a ＝ 3.b 2＋c 2－ a 2 93cos A又 cos A ＝2bc ≥ 1－ 2bc ＝ 1－2 ，2所以 cos A ≥5，21所以 0<sin A ≤ 5 ，1 3 3 21 3 21，所以 △ ABC 的面积 S ＝bcsin A ＝ tan A ≤ ×2 ＝42223 21 故△ ABC 面积的最大值为4.2．(2019 浙·江 “ 七彩阳光 ”结盟联考 )已知 a ，b ，c 分别为△ ABC 的内角 A ，B ，C 所对的1 c的最大值为 ( )边，其面积知足 S △ ABC ＝ a 2，则4bA.2－ 1B. 2C. 2＋ 1D. 2＋ 2分析： 选 C.依据题意，有 S △1 2 1ABC ＝4a ＝ 2bcsin A ，c应用余弦定理， 可得 b 2＋ c 2－ 2bccos A ＝ 2bcsin A ，令 t ＝ b ，于是 t 2＋ 1－ 2tcos A ＝ 2tsin A ．于是 2tsin A ＋ 2tcos A ＝ t 2＋ 1，π 1 1≤ 2 2，解得 t 的最大值为2＋ 1.所以 22sinA ＋ 4 ＝ t ＋ t ，进而 t ＋ t 3．(2019 浙·江绍兴一中模拟 )在△ ABC 中， a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且知足 b 2＋ c 2－ a 2＝ bc.(1)求角 A 的值；(2)若 a ＝ 3，记△ ABC 的周长为 y ，试求 y 的取值范围．解： (1) 因为 b 2＋ c 2－ a 2＝ bc ，b 2＋c 2－ a 2 1所以由余弦定理得cos A ＝2bc＝ 2，因为 A ∈ (0，π)，π所以 A ＝ 3.π(2)由 a ＝ 3，A ＝ 3 及正弦定理，b ca3得 sin B ＝ sin C ＝ sin A＝ 3 ＝ 2，2得 b ＝ 2sin B ， c ＝2sin 2π2π3 －B，此中 B ∈ 0，3 ，所以周长 y ＝ 3＋2sin B ＋ 2sin 2π3＝ 2 3sin B ＋ π3，3 － B ＝ 3sin B ＋ 3cos B ＋6 ＋2ππ π 5π因为B ∈0，3，得 B ＋ 6∈ 6 ，6 ，进而周长 y ∈ (2 3， 3 3]．专题加强训练π － α＝ cos π)1．已知 sin 6＋ α，则 cos 2α＝ (6A ． 1B ．－ 11C ． 2D ． 0分析： 选 D.因为 sin ππ1α3α3α 1 α6 － α＝cos6 ＋α，所以2cos－ 2 sin＝ 2 cos － 2sin，即1 － 3α1 3 cosαα sin α222 sin ＝－－2 ，所以 tan ＝＝－ 1，所以cos 2α＝ cosα－ sin α＝22cosαcos 2α－ sin 2α 1－ tan 2α2 2 ＝ 2＝ 0.αααsin ＋ costan ＋ 12．(2018 高·考全国卷 Ⅰ )已知函数 f( x)＝ 2cos 2x － sin 2x ＋ 2，则 () A ． f( x)的最小正周期为π，最大值为 3B ． f( x)的最小正周期为π，最大值为4C ． f( x)的最小正周期为 2π，最大值为 3D ． f( x)的最小正周期为 2π，最大值为 4分析：选 B. 易知 f(x)＝ 2cos 2x － sin 2x ＋ 2＝ 3cos 2x ＋ 1＝32(2cos2x － 1)＋32＋ 1＝ 32cos 2x ＋ 52，则f(x)的最小正周期为π，当 x ＝k π(k ∈ Z) 时， f(x)获得最大值，最大值为 4.3．(2019 台·州市高考一模 )在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a ＝1，2b － 3c ＝ 2acos C ， sin C ＝ 3，则△ ABC 的面积为 ()23 3 A. 2B. 4333C.2或 4D. 3或2分析： 选 C.因为 2b － 3c ＝ 2acos C ，所以由正弦定理可得2sin B － 3 sin C ＝ 2sin Acos C ，所以 2sin(A ＋ C)－ 3sin C ＝ 2sin Acos C ，所以 2cos Asin C ＝ 3sin C ，3所以 cos A ＝ 2 ，所以 A ＝30°，3因为 sin C ＝ 2 ，所以 C ＝ 60°或120°.A ＝30°，C ＝ 60°，B ＝ 90°，a ＝ 1，所以 △ ABC 的面积为 1×1×2×3＝ 3，A ＝ 30°，C 222 ＝ 120°，B ＝ 30°，a ＝ 1，所以 △ ABC 的面积为 1× 1×1×33，应选 C.22 ＝44．在△ ABC 中，三个内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 S △ ABC ＝ 2 3，a ＋ b ＝6，acos B ＋bcos A＝ 2cos C ，则 c ＝ ()cA ．2 7B ． 2 3C ． 4D ． 3 3分析： 选 B. 因为 acos B ＋ bcos A sin Acos B ＋ sin Bcos A sin （A ＋ B ）c ＝ sin C＝ ＝ 1，所以 2cos Csin （A ＋ B ）π△ABC＝ 2 122＋ ＝1，所以 C ＝ 3.又 S3，则 2absin C ＝ 2 3，所以 ab ＝ 8.因为 a ＋ b ＝6，所以 c ＝a b 2－ 2abcos C ＝ (a ＋ b)2－ 2ab －ab ＝ (a ＋ b)2－ 3ab ＝62－ 3× 8＝ 12，所以 c ＝ 2 3.5．公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金切割均为 0.618，这一数值也能够表示为m ＝2sin 18°，若 m 2＋ n ＝ 4，则m n＝2cos 227°－ 1()A ． 8B ． 4C ． 2D ． 1分析： 选 C.因为 m ＝ 2sin 18°，若 m 2＋ n ＝ 4，则 n ＝ 4－ m 2＝ 4－ 4sin 218°＝4(1－ sin 218°)＝ 4cos 218°，m n2sin18° 4cos 218° 4sin 18 °cos 18° 2sin 36°所以＝cos 54° ＝＝＝ 2.2cos 227°－1sin 36° sin 36°6．(2019 杭·州市高三期末检测 )设点 P 在△ ABC 的 BC 边所在的直线上从左到右运动，设 △ ABP 与△ ACP 的外接圆面积之比为 λ，当点 P 不与 B ， C 重合时 ()A ． λ先变小再变大B ．当 M 为线段 BC 中点时， λ最大 C ． λ先变大再变小D ． λ是一个定值分析： 选 D.设 △ABP 与 △ ACP 的外接圆半径分别为 r 1，r 2， 则 2r 1 ＝ ABAC， 2r 2＝ ，sin ∠APB sin ∠APC 因为 ∠ APB ＋ ∠APC ＝ 180°，所以 sin ∠APB ＝ sin ∠APC ，所以 r1＝ AB ， r 2 AC2 AB 2r 12.应选 D. 所以λ＝2＝ACr 27．(2019 福·州市综合质量检测tan（α＋β＋γ），若 sin 2(α＋γ)＝ 3sin 2β，则 m )已知m＝tan（α－β＋γ）＝ ()1 3A. 2B.43C.2D.2分析：选 D.设 A＝α＋β＋γ， B＝α－β＋γ，则 2( α＋γ)＝ A＋ B， 2β＝ A－ B，因为 sin 2(α＋γ)＝ 3sin 2β，所以 sin(A＋ B)＝ 3sin(A－ B) ，即 sin Acos B＋ cos Asin B＝ 3(sin Acos B－cos Asin B)，即 2cos Asin B＝ sin Acos B，所以 tan A＝ 2tan B，tan A所以 m＝tan B＝ 2，应选 D.8．(2019 咸·阳二模 )已知△ ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且a2＋b22 2 sin A sin B＝ 2c2， sin A(1 －cos C)＝ sin Bsin C， b＝→→，过点 M 的直线与6， AB 边上的点 M 知足 AM＝ 2MB射线 CA， CB 分别交于 P， Q 两点，则 MP 2＋ MQ2的最小值是 ( ) A．36 B． 37C． 38 D． 39分析：选 A. 由正弦定理，知a2＋b2＝2c2，即 2＝ 2sin2C，所以2sin2sin A Bπsin C＝1， C＝2，所以 sin A(1－cos C)＝ sin Bsin C，即 sin A＝ sin B，所π以 A＝ B＝4 .以 C 为坐标原点成立如下图的平面直角坐标系，则M(2，4)，设∠MPC ＝θ，θ∈0，π 2 2 16 4 2 2 θ) 16 ＋ 4＝，则 MP ＋MQ ＝2＋2＝ (sin θ＋cos 2 2θ2 sin θcos θsin θcos20＋ 4tan2θ＋16≥ 36，当且仅当 tan θ＝2时等号成立，即MP2＋ MQ 2的最小值为 36.tan2θ9．已知 2cos 2x ＋ sin 2x ＝ Asin( ωx＋ φ)＋ b(A ＞ 0)，则 A ＝ ________， b ＝ ________．分析： 因为 2cos 2 x ＋ sin 2x ＝ 1＋ cos 2x ＋sin 2xπ＝ 2sin(2x ＋ 4 )＋ 1，所以 A ＝ 2， b ＝ 1.答案：21ππ 10．若 α∈ 0， ， cos－α ＝2 2cos 2α ，则 sin 2α ＝________．24分析： 由已知得22 (cos αα α α α α＋ sin )＝2 2(cos － sin ) ·(cos ＋ sin )，所以 cos α＋sin α＝ 0 或 cos α－ sinα＝ 41，由 cos α＋ sin α＝ 0 得 tan α＝－ 1，π因为 α∈ 0， 2，所以 cos α＋sin α＝ 0 不知足条件；由 cos α－ sin α＝1，两边平方得 1－ sin 2α＝ 1 ，416所以 sin 2α＝1615.答案：151611．(2019 金·丽衢十二校联考二模 )在△ ABC 中，内角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，acos B ＝bcos A ， 4S ＝ 2a 2－ c 2，此中 S 是△ ABC 的面积，则 C 的大小为 ________．分析： △ ABC 中， acos B ＝ bcos A ，所以 sin Acos B ＝ sin Bcos A ，所以 sin Acos B － cos Asin B ＝ sin(A － B)＝0，所以 A ＝B ，所以 a ＝ b ；1又△ ABC 的面积为 S ＝2absin C ，且 4S ＝ 2a 2－ c 2，所以 2absin C ＝2a 2－ c 2＝ a 2＋ b 2－ c 2，所以 sin C ＝ a 2＋ b 2－ c 2＝ cos C ，2abπ所以 C＝4.π答案：412． (2019 ·兴市一中高三期末检测绍 )△ ABC 中， D 为线段 BC 的中点， AB＝ 2AC＝ 2，tan∠CAD＝ sin ∠BAC，则 BC＝ ________．sin ∠CAD sin ∠CAD 分析：由正弦定理可知＝ 2，又 tan∠CAD ＝sin∠BAC，则＝ sin(∠ CAD ＋sin∠BAD cos∠CAD∠ BAD )，利用三角恒等变形可化为1BC＝cos∠BAC ＝2，据余弦定理AC2＋ AB 2－ 2 ·AC·AB·cos∠BAC＝1＋ 4－ 2＝ 3.答案： 313． (2019 ·州第一次调研惠) 已知 a， b，c 是△ ABC 中角 A， B， C 的对边， a＝ 4， b∈(4，6)， sin 2A＝ sin C，则 c 的取值范围为 ________．分析：由4 c 4 c 22sin A＝sin C，得sin A＝sin 2A，所以 c＝8cos A，因为 16＝ b ＋ c － 2bccos A，所以 16－ b2＝ 64cos2A－ 16bcos2A，又 b≠ 4，所以 cos2A＝16－ b2 （ 4－ b）（ 4＋ b） 4＋ b ＝＝16，64－ 16b 16（4－ b）4＋ b所以 c2＝ 64cos2A＝ 64×16 ＝ 16＋4b.因为 b∈ (4， 6)，所以 32<c2<40，所以 4 2< c<2 10.答案：(4 2， 2 10)14．(2019 绍·兴市一中期末检测)设△ ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c 且 acos 1C－2c＝ b.(1)求角 A 的大小；(2)若 a＝ 3，求△ ABC 的周长 l 的取值范围．1 1解： (1) 由 acos C－ c＝ b 得： sin Acos C－ sin C＝ sin B，2 2又 sin B＝ sin(A＋ C)＝ sin Acos C＋ cos Asin C，1所以2sin C＝－ cos Asin C，因为 sin C≠0，1所以 cos A＝－2，又 0＜ A ＜π，2π所以 A ＝ 3.asin B(2)由正弦定理得： b ＝ sin A ＝ 2 3sin B ，c ＝ 2 3sin C ， l ＝ a ＋ b ＋ c ＝ 3＋ 2 3(sin B ＋ sin C)＝ 3＋ 2 3[sin B ＋sin(A ＋B)]13＝ 3＋ 2 3 2sin B ＋ 2 cos Bπ＝ 3＋ 2 3sin B ＋ 3 ，因为 A ＝ 2π π3 ，所以 B ∈ 0，， 3π π 2π所以 B ＋ 3∈ 3 ，3 ，所以 sin B ＋ π3， 1 ，∈ 23则△ ABC 的周长 l 的取值范围为 (6， 3＋2 3 ] ．15． (2019 湖·州模拟 )在△ ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 (sin A ＋ sinB ＋ sin C)(sin B ＋ sinC － sin A) ＝3sin Bsin C.(1)求角 A 的值；(2)求 3sin B － cos C 的最大值．解： (1) 因为 (sin A ＋ sin B ＋ sin C)(sin B ＋ sin C －sin A)＝ 3sin Bsin C ，由正弦定理，得 (a ＋ b ＋ c)(b ＋ c － a)＝ 3bc ，b 2＋c 2－a 21 π所以 b 2＋ c 2－ a 2＝ bc ，所以 cos A ＝2bc＝2，因为 A ∈ (0，π)，所以 A ＝ 3. π2π(2)由 A ＝ 3，得 B ＋C ＝ 3 ，2π所以 3sin B － cos C ＝ 3sin B －cos－ B3＝ 3sin B－1 3 π－2cos B＋2 sin B ＝ sin B＋6 .2πππ 5π因为 0＜B＜3，所以6＜B＋6＜6，π ππ当 B＋6＝2，即 B＝3时，3sin B－cos C 的最大值为 1.16．(2019 宁·波镇海中学模拟)在△ ABC 中， a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， b＝ 2sin2sin BB，且知足 tan A＋tan C＝cos A .(1)求角 C 和边 c 的大小；(2)求△ ABC 面积的最大值．解： (1)tan A＋ tan C＝2sin Bsin A sin C cos A可得cos A＋cos C＝sin Acos C＋ cos Asin C sin（ A＋ C）sin B2sin Bcos Acos C ＝cos Acos C＝cos Acos C＝cos A ，1所以 cos C＝2，因为 0＜ C＜π，π所以 C＝3，因为 b＝2sin B，c b由正弦定理可得sin C＝sin B＝ 2，6所以 c＝2 .(2)由余弦定理可得c2＝a2＋ b2－ 2abcos C，3所以2＝ a2＋ b2－ ab≥ 2ab－ ab＝ ab，当且仅当 a＝ b 时取等号．所以△ABC1 3 3×3 3 3 S ＝2absin C＝4 ab≤4 2＝8 ，故△ ABC 面积的最大值为38 3 .π2π17．(2019 成·都市第二次诊疗性检测)如图，在平面四边形ABCD 中，已知 A＝2，B＝ 3 ，2πAB＝ 6.在 AB 边上取点E，使得 BE＝ 1，连结 EC， ED .若∠ CED ＝3， EC＝7.(1)求 sin ∠ BCE 的值；(2)求 CD 的长．解： (1) 在△ BEC 中，由正弦定理，知BE CEsin ∠BCE ＝sin B.2π因为 B ＝ 3 ， BE ＝ 1， CE ＝ 7，BE ·sin B3221所以 sin ∠BCE ＝ CE＝ 7 ＝ 14 .2π(2)因为 ∠CED ＝ ∠B ＝ 3 ，所以 ∠ DEA ＝∠ BCE ，1－ sin 2∠DEA ＝ 1－ sin 2∠BCE ＝ 35 7所以 cos ∠DEA ＝ 1－28＝ 14.π因为 A ＝ 2，所以 △ AED 为直角三角形，又 AE ＝ 5，AE5所以 ED ＝＝＝2 7.14在△ CED 中， CD 2＝ CE 2＋DE 2－ 2CE ·DE ·1cos ∠CED ＝ 7＋ 28－ 2×7× 27× －2 ＝ 49.所以 CD ＝ 7.。
高考数学二轮复习 专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形提升训练 理
第2讲 三角恒等变换与解三角形一、填空题1．(2013·苏、锡、常、镇模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝______． 解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2α＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝－79.答案 －792．(2015·晋中模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则cos α等于________． 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，54π. ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－45，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤φ＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－45×22＋35×22＝－210.答案 －2103．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝________．解析 S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.答案54．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________． 解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①.∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案3325．(2015·苏、锡、常、镇模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝45 3，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________． 解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453， ∴12cos α＋32sin α＝45， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.答案 －456．(2015·南京、盐城模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c成等比数列，且B ＝π3，则△ABC 的形状为________三角形．解析 依题意，A ＋C ＝2π3，b 2＝ac ；又由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即ac ＝a 2＋c 2－ac ，故a ＝c ，故A ＝C ＝π3，即△ABC 为等边三角形．答案 等边7．(2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315， ∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8.答案 88．在△ABC 中，tanA ＋B2＝2sin C ，若AB ＝1，则12AC ＋BC 的最大值为________． 解析 因为tanA ＋B2＝2sin C ，所以sinA ＋B2cosA ＋B 2＝2sin C ⇒2sinA ＋B2·co sA ＋B22⎝⎛⎭⎪⎫cos A ＋B 22＝2sinC ⇒sin （A ＋B ）1＋cos （A ＋B ）＝2sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， 所以sin C 1－cos C ＝2sin C ，因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以cos C ＝12，所以C ＝π3.因为BCsin A＝ACsin B＝ABsin C＝233，所以12AC ＋BC ＝33sin B ＋233sin A ＝33·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋233sin A ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A ＋2sin A ＝213sin(A ＋φ)，其中0＜φ＜π2且tan φ＝35，所以当sin(A ＋φ)＝1时，12AC ＋BC 取得最大值，为213.答案213二、解答题9．(2015·江苏卷)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角， 则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277.因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得 a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac.因为b ＝3，c ＝1， 所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0＜A ＜π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26. 11．(2015·苏北四市模拟)某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l 上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC ，CD 用一根5米长的材料弯折而成，边BA ，AD 用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A 和∠C 互补，且AB ＝BC ，(1)设AB ＝x 米，cos A ＝f (x )，求f (x )的解析式，并指出x 的取值范围； (2)求四边形ABCD 面积的最大值． 解 (1)在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A .同理，在△CBD 中，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos C . 因为∠A 和∠C 互补，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos C ＝CB 2＋CD 2＋2CB ·CD ·cosA .即x 2＋(9－x )2－2x (9－x )cos A ＝x 2＋(5－x )2＋2x (5－x )cos A . 解得cos A ＝2x，即f (x )＝2x，其中x ∈(2，5)．(2)四边形ABCD 的面积S ＝12(AB ·AD ＋CB ·CD )·sin A ＝12[x (5－x )＋x (9－x )]1－cos 2A .＝x (7－x )1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＝（x 2－4）（7－x ）2＝（x 2－4）（x 2－14x ＋49）.记g (x )＝(x 2－4)(x 2－14x ＋49)，x ∈(2，5)． 由g ′(x )＝2x (x 2－14x ＋49)＋(x 2－4)(2x －14) ＝2(x －7)(2x 2－7x －4)＝0， 解得x ＝4(x ＝7和x ＝－12舍)．所以函数g (x )在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减． 因此g (x )的最大值为g (4)＝12×9＝108.所以S 的最大值为108＝6 3. 故所求四边形ABCD 面积的最大值为6 3 m 2.。
2021-2022年高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第二讲 三角变
2021年高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第二讲 三角变换与解三角形配套作业 文配套作业一、选择题1.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则函数f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin x 1－2 cos x 的图象的一条对称轴是（B ）A .π2B .π4C .πD .02.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是（A ）A .钝角三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .不能确定解析：先由正弦定理将角关系化为边的关系得：a 2＋b 2＜c 2，再由余弦定理可求得角C 的余弦值为负，所以角C 为钝角.故选A .3.（xx·浙江卷）已知函数f （x ）＝A cos （ωx＋φ）（A ＞0，ω＞0，φ∈R ），则“f （x ）是奇函数”是“φ＝π2”的（B ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：先判断由f （x ）是奇函数能否推出φ＝π2，再判断由φ＝π2能否推出f （x ）是奇函数.若f （x ）是奇函数，则f （0）＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝π2＋k π（k ∈Z），故φ＝π2不成立；若φ＝π2，则f （x ）＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin （ωx ），f （x ）是奇函数.所以f （x ）是奇函数是φ＝π2的必要不充分条件.4.若△ABC 的内角A 满足sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A 等于（A ）A.153 B.－53C.53D.－53解析：∵sin 2A ＝23，∴2sin A cos A ＝23，即sin A 、cos A 同号.∴A 为锐角，∴sinA ＋cos A ＝（sin A ＋cos A ）2＝1＋sin 2A ＝1＋23＝53＝153.5. 若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝（B ）A.－34B.34C.－43D.43解析：先由条件等式sin α＋cos αsin α－cos α＝12，左边分子分母同除以cos α，得tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，又由于tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.故选B.6.C 是曲线y ＝1－x 2（x ≤0）上一点，CD 垂直于y 轴，D 是垂足，点A 坐标是（－1，0）.设∠CAO ＝θ（其中O 表示原点），将AC ＋CD 表示成关于θ的函数f （θ），则f （θ）＝（A ）A.2cos θ－cos 2θB.cos θ＋sin θC.2cos θ（1＋cos θ）D.2sin θ＋cos θ－2 解析：依题意，画出图形.△CAO 是等腰三角形， ∴∠DCO ＝∠COA ＝π－2θ. 在Rt △COD 中，CD ＝CO ·cos ∠DCO ＝cos （π－2θ）＝－cos 2θ，过O 作OH ⊥AC 于点H ，则CA ＝2AH ＝2OA cos θ＝2cos θ.∴f （θ）＝AC ＋CD ＝2cos θ－cos 2θ.故选A.二、填空题7.（xx·广东卷）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝ Ｗ. 解析：在△ABC 中，∵ sin B ＝12，0<B <π，∴ B ＝π6或B ＝56π.又∵ B ＋C <π，C＝π6，∴ B ＝π6， ∴ A ＝π－π6－π6＝23π.∵asin A ＝b sin B ，∴ b ＝a sin B sin A＝1. 答案：18.若函数f （x ）＝（1＋3tan x ）cos x ，0≤x ≤π2，则f （x ）的最大值为 Ｗ.解析：因为f （x ）＝（1＋3tan x ）cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，当x ＝π3时，函数取得最大值为2.答案：2三、解答题9.已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos （β－α）＝210.（1）求sin α的值； （2）求β的值.解析：（1）∵tan α2＝12，∴sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2＝2sin α2 cos α2＝2sin α2cosα2sin 2 α2＋cos 2 α2＝2tanα21＋tan 2 α2＝2×121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝45.（2）∵0＜α＜π2，sin α＝45，∴cos α＝35.又0＜α＜π2＜β＜π，∴0＜β－α＜π.由cos （β－α）＝210，得sin （β－α）＝7210. ∴sin β＝sin[（β－α）＋α]＝sin （β－α）cos α＋cos （β－α）sin α ＝7210×35＋210×45＝25250＝22.由π2＜β＜π得β＝34π.⎝⎛⎭⎪⎫或求cos β＝－22，得β＝34π10.（xx·安徽卷）在ΔABC 中，A ＝π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长.解析：设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝（32）2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－（－36）＝90，所以a ＝310.又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010， 由题设知0<B <π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010.在△ABD 中，由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin （π－2B ）＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B＝10.11. （xx·江西卷）已知函数f （x ）＝（a ＋2cos 2x ）cos （2x ＋θ）为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R，θ∈（0，π）. （1）求a ，θ的值；（2）若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值.解析：（1）因为函数f （x ）＝（a ＋2cos 2x ）cos （2x ＋θ）为奇函数，所以f （－x ）＝－f （x ），即（a ＋2cos 2x ）·cos （－2x ＋θ）＝－（a ＋2cos 2x ）cos （2x ＋θ），因为x ∈R ，所以cos （－2x ＋θ）＝－cos （2x ＋θ），cos 2x cos θ＝0，cos θ＝0.又θ∈（0，π），所以θ＝π2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2cos 2π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2＝0，a ＝－1.因此a ＝－1，θ＝π2.（2）由（1）得：f （x ）＝（－1＋2cos 2x ）cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x （－sin 2x ）＝－12sin 4x ，所以由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，得－12sin α＝－25，sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－35，因此sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋sin π3cos α＝4－3310.。
2022版高考数学二轮复习专题限时集训2恒等变换与解三角形理20221211242
专题限时集训(二) 恒等变换与解三角形[专题通关练] (建议用时：30分钟)1．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c ＝5，b ＝3，A ＝2π3，那么sin Asin C ＝( )A.75 B.57 C.37D.73A [由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7，由正弦定理：sin A sin C ＝a c ＝75.应选A.]2．在△ABC 中，cos B ＝14，b ＝2，sin C ＝2sin A ，那么△ABC 的面积等于( )A.14B.12C.32D.154D [由sin C ＝2sin A 及正弦定理得c ＝2a . 在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以22＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2，解得a ＝1，所以c ＝2.又sin B ＝1－cos 2B ＝154， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.应选D.]3．(2022·唐山市一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2，b ＝3，c ＝4，设AB 边上的高为h ，那么h ＝( )A.152 B.112 C.3154D.3158D [∵a ＝2，b ＝3，c ＝4，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋16－42×3×4＝2124＝78，那么sin A ＝1－cos 2A ＝1－4964＝1564＝158，那么h ＝AC sin A ＝b sin A ＝3×158＝3158，应选D.] 4．(2022·全国卷Ⅱ)α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，那么sin α＝( ) A.15 B.55 C.33D.255B [由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55，应选B.] 5．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，b c cos C ＋b acos A ＝1，那么cos B 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D [因为b c cos C ＋b a cos A ＝1，得b c ×a 2＋b 2－c 22ab ＋b a ×c 2＋b 2－a 22bc ＝2b 22ac ＝1，所以b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 取等号，且B 为三角形内角，所以12≤cos B ＜1.应选D.]6．[易错题]在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，那么这个三角形的形状为________． 等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]7．(2022·大庆市高三第二次模拟)α，β为锐角，且(1－3tan α)(1－3tan β)＝4，那么α＋β＝________.2π3[将(1－3tan α)(1－3tan β)＝4展开得－3(tan α＋tan β)＝3(1－tan α·tan β)，即tan α＋tan β1－tan α·tan β＝tan(α＋β)＝－3，由于α，β为锐角，0＜α＋β＜π，故α＋β＝2π3.]8.某高一学习小组为测出一绿化区域的面积，进行了一些测量工作，最后将此绿化区域近似地看成如下图的四边形，测得的数据如下图，AB ＝2 km ，BC ＝1 km ，∠BAD ＝45°，∠B ＝60°，∠BCD ＝105°，那么该绿化区域的面积是________km 2.6－34[如图，连接AC ，由余弦定理可知AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝3(km)，故∠ACB ＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC ＝∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°.由正弦定理得，AC sin∠ADC ＝AD sin∠DCA ，即AD ＝AC ×sin∠DCAsin∠ADC＝3×6－2412＝32－62(km)，故S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×1×3＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－622×12＝6－34(km 2)．][能力提升练] (建议用时：20分钟)9．sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，那么log5⎝ ⎛⎭⎪⎫tan αtan β2等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5C [因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcosβ＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝5，所以log5⎝ ⎛⎭⎪⎫tan αtan β2＝log 552＝4.应选C.]10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，那么b ＝( )A ．1 B. 2 C. 3D. 5C [因为b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，展开得b sin A ＝32a cos B －12a sin B ，由正弦定理化简得sin B sin A ＝32sin A cos B －12sin A sin B ，整理得3sin B ＝cos B ， 即tan B ＝33，而三角形中0＜B ＜π，所以B ＝π6. 由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，代入得b 2＝32＋(23)2－2×3×23cos π6，解得b ＝3，所以选C.]11．(2022·聊城模拟)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝________.4－3310 [由题意可得，cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝45.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010＞0，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以0＜θ＜π4，2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，根据同角三角函数根本关系式，可得cos 2θ＝35，由两角差的正弦公式，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3 ＝45×12－35×32＝4－3310.] 12.(2022·潍坊市一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点D 为AC 的中点，2sin2A ＋B2－3sin C ＝1，a ＝3，b ＝4.(1)求角C 的大小和BD 的长；(2)设∠ACB 的角平分线交BD 于E ，求△CED 的面积． [解](1)由题意可得：3sin C ＋1－2sin 2A ＋B2＝0，∴3sin C ＋cos(A ＋B )＝0， 又A ＋B ＝π－C ，∴3sin C －cos C ＝0，可得tan C ＝33， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π6，∴在△BCD 中，由余弦定理可得：BD 2＝3＋4－2×3×2×cos π6＝1，解得BD ＝1.(2)由(1)可知BD 2＋BC 2＝4＝CD 2， ∴∠DBC ＝π2，∴S △DBC ＝12BD ·BC ＝32，∵CE 是∠BCD 的角平分线， ∴∠BCE ＝∠DCE ，在△CEB 和△CED 中，S △BCE ＝12BC ·CE ·sin∠BCE ，S △CED ＝12CD ·CE ·sin∠DCE ，可得：S △BC E S △C E D ＝BC CD ＝32，∴S △BCE ＝32S △CED ， ∴代入S △BCE ＋S △CED ＝S △BCD ＝32，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32S △CED ＝32，∴S △CED ＝32＋3＝3(2－3)＝23－3.【押题1】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋α＝5，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－α＝________，sin 2α＝________.35 －725 [∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－1＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－725.]【押题2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝52b . (1)假设C ＝2B ，求cos B 的值；(2)假设AB →·AC →＝CA →·CB →，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4的值． [解](1)因为c ＝52b ，那么由正弦定理，得sin C ＝52sin B . 又C ＝2B ，所以sin 2B ＝52sin B ，即4sin B cos B ＝5sin B .又B 是△ABC 的内角，所以sin B ＞0，故cos B ＝54. (2)因为AB →·AC →＝CA →·CB →，所以cb cos A ＝ba cos C ，那么由余弦定理，得b 2＋c 2－a 2＝b 2＋a 2－c 2，得a ＝c .从而cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝c 2＋c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫25c 22c2＝35， 又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝45.从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝cos B cos π4－sin B sin π4＝35×22－45×22＝－210.。
高考数学二轮复习练习：第二部分专项二专题二2第2讲 三角恒等变换与解三角形含解析
[A 组 夯基保分专练]一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B.易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sinC ，则sin B 为( )A.74 B.34 C.73D.13解析：选A.由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ， 得b ＝2a ，因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，所以sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74.3．(2018·洛阳第一次统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B＝( )A.32B.233C.33D. 3解析：选B.由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3，对于b 2＝ac ，由正弦定理得，sin 2 B ＝sin A sin C ＝32·sinC ，由正弦定理得，c b sin B ＝sin C sin 2 B ＝sin C 32sin C ＝233.故选B.4．(2018·昆明模拟)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选A.法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，cos ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABCBC ＝2×323＝1，故选A. 法二：因为tan ∠BAC ＝－3，所以cos ∠BAC ＝－110<0，则∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，故选A.5．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B.因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12， 又0<C <π4，所以C ＝π6.6.如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24C.64D.63解析：选C.依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A ，由此解得cosA ＝64. 二、填空题 7．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝________． 解析：依题意得cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋2α ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫142－1 ＝－78.答案：－788．(2018·高考全国卷Ⅱ改编)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝________．解析：因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝4 2. 答案：4 29．(2018·惠州第一次调研)已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．解析：由4sin A ＝c sin C ，得4sin A ＝csin 2A ，所以c ＝8cos A ，因为16＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以16－b 2＝64cos 2A －16b cos 2A ，又b ≠4，所以cos 2A ＝16－b 264－16b ＝（4－b ）（4＋b ）16（4－b ）＝4＋b16，所以c 2＝64cos 2A ＝64×4＋b16＝16＋4b .因为b ∈(4，6)，所以32<c 2<40，所以42<c <210.答案：(42，210) 三、解答题10．(2018·沈阳教学质量监测(一))在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b .(2)若a ＋b ＝6，△ABC 的面积为23，求c . 解：(1)由正弦定理得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ， 又sin A ＝sin(B ＋C )，所以2sin C cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，所以2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ， 所以2sin B cos C ＋sin B ＝0， 因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12.又C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ＝23，所以ab ＝8，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝28， 所以c ＝27.11．(2018·石家庄质量检测(二))已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3ca cos B＝tan A ＋tan B . (1)求角A 的大小；(2)设AD 为BC 边上的高，a ＝3，求AD 的取值范围． 解：(1)在△ABC 中，因为3c a cos B ＝tan A ＋tan B ，所以3sin C sin A cos B ＝sin A cos A ＋sin B cos B，即3sin C sin A cos B ＝sin A cos B ＋sin B cos Acos A cos B，所以3sin A ＝1cos A ，则tan A ＝3，所以A ＝π3.(2)因为S △ABC ＝12AD ·BC ＝12bc sin A ，所以AD ＝12bc .由余弦定理得cos A ＝12＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －32bc，所以0<bc ≤3(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以0<AD ≤32.12．(2018·郑州质量检测(二))已知△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C ，c ＝3.(2)若AD 是BC 边上的中线，AD ＝192，求△ABC 的面积． 解：(1)对于2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C ，由正弦定理得， b sin B －a sin A ＝b sin C －c sin C ，即b 2－a 2＝bc －c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABEC ，连接DE ，易知A ，D ，E 三点共线． 在△ABE 中，∠ABE ＝120°，AE ＝2AD ＝19，在△ABE 中，由余弦定理得AE 2＝AB 2＋BE 2－2AB ·BE cos 120°， 即19＝9＋AC 2－2×3×AC ×⎝⎛⎭⎫－12，得AC ＝2. 故S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ＝332.[B 组 大题增分专练]1．(2018·长春质量监测(二))在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝b 2sin A .(1)求cb的值；(2)设内角A 的平分线AD 交于BC 于D ，AD ＝233，a ＝3，求b .解：(1)由S ＝12bc sin A ＝b 2sin A ，可知c ＝2b ，即cb ＝2.(2)由角平分线定理可知，BD ＝233，CD ＝33，在△ABC 中，cos B ＝4b 2＋3－b 22·2b ·3，在△ABD 中，cos B ＝4b 2＋43－432·2b ·233，即4b 2＋3－b 22·2b ·3＝4b 2＋43－432·2b ·233，解得b ＝1. 2．(2018·贵阳模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，AB 边上的高h ＝23c .(1)若△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35，求角C 的正弦值；(2)若C ＝π4，M ＝a 2＋b 2＋13c 2ab，求M 的值．解：(1)作CD ⊥AB ，垂足为D ，因为△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35，所以sin A ＝45，tan A ＝43，所以AD ＝c 2，BD ＝AB －AD ＝c2，所以BC ＝CD 2＋BD 2＝⎝⎛⎭⎫23c 2＋⎝⎛⎭⎫c 22＝5c 6，由正弦定理得：sin ∠ACB ＝AB sin ABC ＝c ×455c 6＝2425.(2)因为S △ABC ＝12c ×23c ＝12ab sin ∠ACB ＝24ab ，所以c 2＝324ab ，又a 2＋b 2－c 2＝2ab cos ∠ACB ＝2ab ， 所以a 2＋b 2＝2ab ＋c 2，所以a 2＋b 2＋13c 2＝2ab ＋43c 2＝2ab ＋43×324ab ＝22ab ，所以M ＝a 2＋b 2＋13c 2ab ＝22abab＝2 2.3．(2018·合肥质量检测)已知△ABC 中，D 为AC 边上一点，BC ＝22，∠DBC ＝45°. (1)若CD ＝25，求△BCD 的面积； (2)若角C 为锐角，AB ＝62，sin A ＝1010，求CD 的长． 解：(1)在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos 45°， 即20＝8＋BD 2－4BD ，解得BD ＝6，所以△BCD 的面积S ＝12×22×6×sin 45°＝6.(2)在△ABC 中，由BC sin A ＝AB sin C 得221010＝62sin C， 解得sin C ＝31010.由角C 为锐角得，cos C ＝1010， 所以sin ∠BDC ＝sin(C ＋45°)＝255.在△BCD 中，CD sin ∠DBC ＝BC sin ∠BDC ，即CD 22＝22255，解得CD ＝ 5.4．(2018·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos⎝⎛⎭⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b＝7.由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6， 可得sin A ＝37. 因为a <c ，故cos A ＝27. 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17，所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.。
高考数学二轮复习第二部分专题二与第2讲三角恒等变换与课时规范练理
第2讲 三角恒等变换与解三角形一、选择题1．(2017·衡水中学月考)已知α为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )A.13 B ．3 C.913 D.139 解析：由α为锐角，cos α＝35，得sin α＝45，所以tan α＝43，因为tan(α－β)＝－13，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan α·tan （α－β）＝3.答案：B2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若c 2＝(a －b)2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3解析：c 2＝(a －b)2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① 因为C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，所以S △ABC ＝12absin C ＝12×6×32＝332.答案：C3．(2017·德州二模)已知cos α＝35，cos(α－β)＝7210，且0＜β＜α＜π2，那么β＝( )(导学号 54850106)A.π12 B.π6 C.π4 D.π3解析：由cos α＝35，0＜α＜π2，得sin α＝45，又cos(α－β)＝7210，0＜β＜α＜π2，得sin(α－β)＝210， 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝35×7210＋45×210＝22， 由0＜β＜π2，得β＝π4.答案：C4．(2017·韶关调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为( )A ．－19 B.19 C.53 D ．－53解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π＋sin 2(x －π3)＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝2－3cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝53.答案：C5．(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C ＋cos Asin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：因为2sin Acos C ＋cos Asin C ＝s in A ·cos C ＋sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋sin B.所以等式左边去括号，得sin B ＋2sin Bcos C ＝sin Acos C ＋sin B ， 则2sin Bcos C ＝sin Acos C ，因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0. 所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理变形，得a ＝2b. 答案：A 二、填空题6．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2bcos B ＝acosC ＋ccos A ，则B ＝________．解析：由正弦定理得2sin Bcos B ＝sin A ·cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C)＝sin B ．所以2sin Bcos B ＝sin B ，又sin B ≠0，所以cos B ＝12，故B ＝π3.答案：π37．(2017·池州模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________．(导学号 54850107)解析：因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α；又0＜α＜π2，所以π6＜π6＋α＜2π3.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 答案：2238．(2017·浙江卷)已知△ABC，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________．解析：由已知，cos ∠ABC ＝42＋22－422×4×2＝14.所以cos ∠CBD ＝－14，所以sin ∠CBD ＝1－cos 2∠CBD ＝154， 所以S △ABC ＝12×BD ×BC ×sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.又BC ＝BD ＝2，且∠ABC＝2∠BDC，则cos ∠ABC ＝14＝2cos 2∠BDC －1.解得cos ∠BDC ＝104或－104(舍去)． 答案：152104三、解答题9．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD⊥AC，求△ABD 的面积． 解：(1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0得tan A ＝－3， 又0＜A ＜π，所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c·cos 2π3.则c 2＋2c －24＝0，解得c ＝4或－6(舍去)． (2)由题设AD⊥AC，知∠CAD＝π2.所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝23π－π2＝π6.故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·ADsin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.10．(2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a>b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值． 解：(1)在△ABC 中，因为a>b ， 故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝13，所以b ＝13. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝asin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a<c ，得cos A ＝21313， 所以sin 2A ＝2sin Acos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2Acos π4＋cos 2Asin π4＝7226. 11．(2017·惠州模拟)已知函数f(x)＝4cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋m(m∈R)，当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f(x)的最小值为－1.(导学号 54850108)(1)求实数m 的值；(2)在△ABC 中，已知f(C)＝1，AC ＝4，延长AB 至D ，使BC ＝BD ，且AD ＝5，求△ACD 的面积．解：(1)因为f(x)＝4cos xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋m ＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin xcos π6＋cos xsin π6＋m ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m ＝ 3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1.因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6min ＝－1. 所以f(x)＝－1＝－1＋m ＋1，解得m ＝－1. (2)由(1)知f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，且f(C)＝1，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，因为C∈(0，π)，得2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2C ＋π6＝5π6，解得C ＝π3.如图，设BD ＝BC ＝x ，则AB ＝5－x ， 在△ACB 中，由余弦定理， 得cos C ＝12＝42＋x 2－（5－x ）22×4×x ，解得x ＝32.所以cos A ＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－322－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－32＝1314，得sin A ＝1－cos 2A ＝77.所以S △ACD ＝12AC ·ADsin A ＝12×5×4×77＝1077.。
2021年高考数学二轮复习 专题2 第2讲 三角变换与解三角形素能训练(文、理)
2021年高考数学二轮复习 专题2 第2讲 三角变换与解三角形素能训练（文、理）一、选择题1．若三角形ABC 中，sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，则此三角形的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] ∵sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴sin(A －B )＝sin(A ＋B )，∴cos A sin B ＝0，∵sin B ≠0，∴cos A ＝0，∴A 为直角．2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3[答案] D[解析] 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得，a 2＋c 2－b 2ac·tan B ＝3，再由余弦定理cos B＝a 2＋c 2－b 22ac 得，2cos B ·tan B ＝3，即sin B ＝32，∴角B 的值为π3或2π3，故应选D.3．(文)在△ABC 中，已知b ·cos C ＋c ·cos B ＝3a ·cos B ，其中a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，则cos B 的值为( )A.13 B ．－13C.223D ．－223[答案] A[解析] 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ， ∴sin(B ＋C )＝3sin A cos B ， ∴sin A ＝3sin A cos B ， ∵sin A ≠0，∴cos B ＝13.(理)(xx·东北三省四市联考)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是( )A ．－23B.22C.12 D ．－12[答案] B[解析] 由tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A ·tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22，故选B.4．设tan α、tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3[答案] A[解析] 本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式． 由已知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3.故选A.[点评] 运用根与系数的关系，利用整体代换的思想使问题求解变得简单． 5．(xx·哈三中二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且a 2－c 2＝2b ，tan Atan C＝3，则b 等于( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．7[答案] B [解析] ∵tan Atan B＝3，∴sin A cos C ＝3sin C cos A ， ∴sin B ＝sin(A ＋C )＝4sin C cos A ，∴b ＝4c ·b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＝2(a 2－c 2)＝4b ，∵b >0，∴b ＝4. 6．(文)函数y ＝cos(x ＋π2)＋sin(π3－x )具有性质( ) A ．最大值为1，图象关于点(π6，0)对称 B ．最大值为3，图象关于点(π6，0)对称C ．最大值为1，图象关于直线x ＝π6对称 D ．最大值为3，图象关于直线x ＝π6对称 [答案] B[解析] y ＝－sin x ＋32cos x －12sin x ＝－3(32sin x －12cos x )＝－3sin(x －π6)， ∴最大值为3，图象关于点(π6，0)对称．(理)给出下列四个命题：①f (x )＝sin(2x －π4)的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ；②函数f (x )＝sin x ＋3cos x 最大值为2； ③函数f (x )＝sin x cos x －1的周期为2π； ④函数f (x )＝sin(x ＋π4)在[－π2，π2]上是增函数． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] ①由2x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即f (x )＝sin(2x －π4)的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，正确；②由f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)知，函数的最大值为2，正确；③f (x )＝sin x cos x －1＝12sin2x －1，函数的周期为π，故③错误；④函数f (x )＝sin(x ＋π4)的图象是由f (x )＝sin x 的图象向左平移π4个单位得到的，故④错误．二、填空题7．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．[答案] 15 3[解析] 设三角形的三边长分别为a －4，a ，a ＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a ＋4)2＝a 2＋(a －4)2－2a (a －4)·cos120°，则a ＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC 的面积为S ＝12×6×10×sin120°＝15 3.8．(文)(xx·新课标Ⅱ理，14)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．[答案] 1[解析] ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)·cos φ＋cos(x ＋φ)·sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)·cos φ－cos(x ＋φ)·sin φ ＝sin x ≤1. ∴最大值为1.(理)(xx·天津理，12)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________． [答案] －14[解析] ∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c ， 又∵b －c ＝14a ，∴b ＝34a ，c ＝12a ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝916a 2＋14a 2－a22×34a ×12a ＝－14.9．在△ABC 中，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角A 的最大值为________． [答案]π6[解析] 由已知可得(AB →－3AC →)·CB →＝0，AB →·CB →＝3AC →·CB →，由数量积公式可得ac cos B ＝3ab cos(π－C )＝－3ab cos C ，可化为c cos B ＝－3b cos C ，由正弦定理可得sin C cos B ＝－3sin B cos C ，化简得sin A ＝－2sin B cos C ，可得cos C <0，角C 为钝角，角A 为锐角，又sin A ＝sin(C －B )－sin(C ＋B )，即有sin A ＝12sin(C －B )≤12，综上，0<A ≤π6，A 的最大值为π6.三、解答题10．(文)(xx·山东文，17)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c . 已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积． [解析] (1)∵cos A ＝63.0<A <π.∴sin A ＝33. 又B ＝A ＋π2.∴sin B ＝sin(A ＋π2)＝cos A ＝63. 又a ＝3.∴由正弦定理得．asin A ＝bsin B即333＝b63∴b ＝3 2.(2)∵cos B ＝cos(A ＋π2)＝－sin A ＝－33，∴在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×(－33)＋63×63＝13∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.(理)(xx·陕西理，16)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． [解析] f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x －12cos2x＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6) (1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π (2)∵x ∈[0，π2]，∴2x －π6∈[－π6，5π6]， ∴sin(2x －π6)∈[－12，1] 故当2x －π6＝π2即x ＝π3时，f (x )max ＝1 当2x －π6＝－π6即x ＝0时，f (x )min ＝－12.一、选择题11．(xx·天津理，6)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010B.105C.31010D.55[答案] C[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理． 由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ·cos π4＝2＋9－2×2×3×22＝5，∴AC ＝5，由正弦定理，ACsin B＝BCsin A，∴sin A＝BC sin BAC＝3×225＝31010.12．(文)(xx·东北三省三校二模)已知方程|cos x|x＝k在(0，＋∞)上有两个不同的解α、β(α<β)，则下列的四个命题正确的是( )A．sin2α＝2αcos2αB．cos2α＝2αsin2αC．sin2β＝－2βsin2βD．cos2β＝－2βsin2β[答案] C[解析] 令y＝|cos x|，y＝kx，在同一坐标系中画出它们的图象，如图所示．∵α<β，∴0<α<π2，π2<β<π，检验可知，选C.(理)(xx·新课标Ⅰ理，8)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tanα＝1＋sinβcosβ，则( ) A．3α－β＝π2B．3α＋β＝π2C．2α－β＝π2D．2α＋β＝π2[答案] C[解析] 本题考查了诱导公式以及三角恒等变换．运用验证法．解法1：当2α－β＝π2时，β＝2α－π2，所以1＋sin2α－π2cos2α－π2＝1－cos2αsin2α＝2·sin2αsin2α＝tanα.解法2：∵tanα＝sinαcosα＝1＋sinβcosβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sin(π2－α)，∵α、β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.13．已知函数f (x )＝1＋cos2x －2sin 2(x －π6)，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )是最小正周期为π的偶函数B ．f (x )的一条对称轴是x ＝π3C ．f (x )的最大值为2D ．将函数y ＝3sin2x 的图象左移π6得到函数f (x )的图象 [答案] D[解析] f (x )＝cos2x ＋cos(2x －π3) ＝cos2x ＋12cos2x ＋32sin2x＝3sin(2x ＋π3)，故选D. 14．(文)函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin(x －π6)的一条对称轴方程为x ＝π2，则a ＝( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 由题意得f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin[(x ＋π3)－π2]＝sin(x ＋π3)－a cos(x ＋π3)，若x ＝π2是函数f (x )的图象的一条对称轴，则由对称轴的意义可得f (π2)＝cos π3＋a sin π3＝1＋a 2，解得a ＝ 3.(理)在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( ) A ．x ≤y B ．x <y C ．x >y D ．x ≥y[答案] C[解析] y －x ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B ) ＝cos(π－C )＝－cos C ，∵△ABC 为锐角三角形，∴cos C >0，∴y －x <0，∴y <x .15．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，g (x )＝sin x －cos x ，下列四个命题： ①将f (x )的图象向右平移π2个单位可得到g (x )的图象；②y ＝f (x )g (x )是偶函数； ③y ＝f xg x是以π为周期的周期函数； ④对于∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使f (x 1)>g (x 2)． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C[解析] ∵f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，g (x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，∴将f (x )的图象向右平移π2个单位，可以得到g (x )的图象，故①为真命题；又y ＝f (x )·g (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x 为偶函数，故②为真命题；y ＝f xg x＝sin x ＋π4sinx －π4＝sin x ＋π4－cosx ＋π4＝－tan(x ＋π4)，故其最小正周期为π，∴③为真命题；取x 1＝5π4，则f (x 1)＝2sin(5π4＋π4)＝－2，∵∀x 2∈R 都有g (x 2)≥－2，∴不存在x 2∈R ，使f (5π4)>g (x 2)，故选C. 二、填空题16．(文)在△ABC 中，sin 2C ＝3sin A sin B ＋sin 2B ，a ＝23b ，则角C ＝________. [答案]π6[解析] 由正弦定理知c 2＝3ab ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2－3ab2ab＝a －3b 2b ＝23b －3b 2b ＝32，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6.(理)(xx·福建理，12)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．[答案] 2 3[解析] 本题考查正弦定理及三角形的面积公式，由正弦定理得，2332＝4sin B ，∴sin B ＝1，∴B ＝90°，∴AB ＝2，S ＝12×23×2＝2 3.三、解答题17．(文)(xx·浙江文，18)在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a sin B ＝3b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．[解析] (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2－bc ＝36，即(b ＋c )2－3bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283.由三角形面积公式S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为733.(理)(xx·北京理，15)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．[解析] (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， 所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin2A，所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63. (2)由(1)知cos A ＝63， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13. 所以sin B ＝1－cos 2B ＝223， 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539. 所以c ＝a sin C sin A＝5. 18．(文)(xx·唐山市一模)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且4b sin A ＝7a .(1)求sin B 的值；(2)若a ，b ，c 成等差数列，且公差大于0，求cos A －cos C 的值．[解析] (1)由4b sin A ＝7a ，根据正弦定理得4sin B sin A ＝7sin A ，所以sin B ＝74. (2)由已知得2b ＝a ＋c ，由正弦定理以及(1)得，sin A ＋sin C ＝72.① 设cos A －cos C ＝x ，②①2＋②2，得2－2cos(A ＋C )＝74＋x 2.③ 又由条件知a ＜b ＜c ，∴A ＜B ＜C ，所以0°＜B ＜90°，cos A ＞cos C ，故cos(A ＋C )＝－cos B ＝－34，且x >0. 代入③式得x 2＝74. 因此cos A －cos C ＝72.(理)已知△ABC中，a，b, c分别为角A，B，C的对边，a2＋b2<c2，且sin(2C－π2) ＝12.(1)求角C的大小；(2)求a＋bc的取值范围．[解析] (1)∵a2＋b2<c2，∴cos C＝a2＋b2－c22ab<0，∴π2<C<π，故π<2C<2π，由sin(2C－π2)＝12，得cos2C＝－12，∴2C＝4π3，即C＝2π3；(2)a＋bc＝sin A＋sin Bsin C＝sin A＋sinπ3－Asin2π3＝12sin A＋32cos A32＝23sin(A＋π3)，由C＝2π3，知0<A<π3，故π3<A＋π3<2π3，∴32<sin(A＋π3)≤1，∴23·32<a＋bc≤23，即1<a＋bc≤233."27277 6A8D 檍34698 878A 螊A26661 6825 栥q40587 9E8B 麋O24875 612B 愫gT23089 5A31 娱"。
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第二讲 三角变换与解三角形
（推荐时间：50分钟）
一、选择题
1．(2012·辽宁)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于
( )
A ．－1
B ．－
22
C .
2
2
D ．1
2．已知cos π－2αsin α－π4＝－2
2
，则sin α＋cos α等于
( )
A ．－
72
B .
72C .12
D ．－12
3．(2011·福建)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2
α＋cos 2α＝14
，则tan α的值等于
( ) A .2
2
B .
3
3
C . 2
D. 3
4．(2011·辽宁)设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝1
3，则sin 2θ等于
( )
A ．－7
9
B ．－19
C .19
D.79 5．(2011·重庆)若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B 等于( )
A .15
4 B .34
C .
315
16
D.1116
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为
( )
A .π6
B .π3
C .π6或
5π
6
D.
π3或2π3
7. (2011·天津)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝A D,2AB ＝3B D ，BC ＝2B D ，则sin C 的值为
( )
A .33
B .
36C .
6
3
D.
66
8．给出下列四个命题：
①f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k∈Z ； ②函数f (x )＝sin x ＋3c os x 的最大值为2； ③函数f (x )＝sin xc os x －1的周期为2π；
④函数f (x )＝sin ⎝⎛⎫x ＋π4在⎣⎡⎦⎤－π2，π
2上是增函数．
其中正确命题的个数是
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
9．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为________．
10．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，c os B ＝－1
4，则b ＝________.
11
．
函
数
y
＝
sin
⎝⎛⎭
⎫π2＋x cos
⎝⎛⎭
⎫
π6＋x 的最大值为
________________________________________．
12．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面
积为_____________________________________________________________________． 三、解答题
13．(2012·新课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3
a sin C －
b －
c ＝0.
(1)求A ；
(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .
14．(2012·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝2
3
，sin B
＝5cos C .
(1)求tan C的值；
(2)若a＝2，求△ABC的面积．
答案
1．A 2．D 3．D 4．A 5．D 6．D 7．D 8．B 9．2π 10．4 11.2＋34
12．15 3
13．解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －
sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，
所以3sin A sin C －c os A sin C －sin C ＝0.
由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝1
2
.
又0<A <π，故A ＝π
3.
(2)△ABC 的面积S ＝1
2sin A ＝3，故bc ＝4.
而a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，故b 2
＋c 2
＝8. 解得b ＝c ＝2.
14．解 (1)因为0<A <π，cos A ＝2
3，
得sin A ＝1－cos 2A ＝5
3
.
又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋2
3
sin C ， 所以tan C ＝ 5.
(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56
，cos C ＝
16.
于是sin B ＝5cos C ＝
56，
由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c
sin C ，得c ＝ 3.
设△ABC 的面积为S ，则S ＝12a csin B ＝5
2。