中考数学 第三编 综合专题闯关篇 题型二 解答题重难点突破 专题一 猜想证明与探究试题

题型二 解答题重难点突破专题一 猜想证明与探究专题命题规律1．猜想与证明问题河北中考近8年共考查8次，为每年必考内容，都是以解答题的形式出现，分值为9－14分．2．考查类型：(1)与图形的位似有关，探究两条边之间的关系，此类题在2012年考查过一次，主要是利用三角形的性质来解决，分值为9分；(2)与尺规作图有关，利用正方形的性质探究边与边之间的关系，其中有一问会涉及到如何作图，此题在2011年考查过一次，分值为9分；(3)与旋转有关，主要是利用旋转前后的性质，分别涉及到直线和正方形，在2010年和2009年考查过，分值为10分，在2013年考查过，分值为11分；(4)折叠问题主要是折叠过程中对图形变化具体情况的分析，此题在2014年考查过，分值为11分；与图形的折叠、平移有关，2015年考查，分值14分，平移问题主要是用到了平移前后的性质和三角形的性质，探究边与边之间的关系，在2008年考查过，分值为10分.2016年在此题型上来考查．2017预测预计2017年河北中考很有可能考查此内容，在训练时多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有关的知识的综合题．,中考重难点突破)与图形旋转有关的证明【经典导例】【例1】(2010河北中考)在图①至图③中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1＝∠2＝45°.(1)如图①，若AO ＝OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；(2)将图①中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图②，其中AO ＝OB.求证：AC ＝BD ，AC ⊥BD ；(3)将图②中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图③，求BDAC的值．【学生解答】(1)AO ＝BD ，AO ⊥BD ；(2)如图②，过点B 作BE∥CA 交DO 于点E ，∴∠ACO ＝∠BEO.又∵AO＝OB ，∠AOC ＝∠BOE，∴△AOC ≌△BOE ，∴AC ＝BE.又∵∠1＝45°，∴∠ACO ＝∠BEO＝135°.∴∠DEB ＝45°，∵∠2＝45°，∴BE ＝BD ，∠EBD ＝90°.∴AC ＝BD.延长AC 交DB 的延长线于点F ，∵BE ∥AC ，∴∠AFD ＝90°，∴AC ⊥BD ；(3)如图③，过点B 作BE∥CA 交DO 于点E ，∴∠BEO ＝∠ACO.又∵∠BOE＝∠AOC，∴△BOE ∽△AOC.∴BE AC ＝BOAO.又∵OB＝kAO ，由(2)的方法易得BE ＝BD ，∴BDAC＝k.【方法指导】(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相等或者对应成比例．有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利用直角三角形的性质求解．(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直．先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直．若平行，则常通过以下方法进行证解：①平行线的判定定理；②平行四边形对边平行；③三角形中位线性质等．若垂直，则可考虑以下途径：①证明两线段所在直线夹角为90°；②两线段是矩形的邻边；③两线段是菱形的对角线；④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明．1．(2015重庆中考)在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝60°，点D 是线段BC 的中点，∠EDF ＝120°，DE 与线段AB 相交于点E ，DF 与线段AC(或AC 的延长线)相交于点F.(1)如图1，若DF⊥AC，垂足为点F ，AB ＝4，求BE 的长；(2)如图2，将(1)中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F.求证：BE ＋CF ＝12AB ；(3)如图3，将(2)中的∠EDF 继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交与点F ，作DN⊥AC 于点N ，若DN ＝FN ，求证：BE ＋CF ＝3(BE －CF)．解：(1)由四边形AEDF 的内角和为360°，可知DE⊥AB，故BE ＝1；(2)取AB 的中点G ，连接DG.易证：DG 为△ABC 的中位线，故DG ＝DC ，∠BGD ＝∠C ＝60°，又四边形AEDF 的对角互补，故∠GED ＝∠DFC.∴△DEG≌△DFC，故EG ＝CF.∴BE＋CF ＝BE ＋EG ＝BG ＝12AB ；(3)取AB 的中点G ，连接DG ，同(2)，易证△DEG≌△DFC，故EG ＝CF ，故BE －CF ＝BE －EG ＝BG ＝12AB.设CN ＝x ，在Rt △DCN 中，CD ＝2x ，DN ＝3x ，在Rt △DFN 中，NF ＝DN ＝3x ，故EG ＝CF ＝(3－1)x.BE ＝BG ＋EG ＝DC ＋CF ＝2x ＋(3－1)x ＝(3＋1)x.故BE ＋CF ＝(3＋1)x ＋(3－1)x ＝23x.3(BE －CF)＝3[(3＋1)x －(3－1)x]＝23x.故BE ＋CF ＝3(BE －CF)．2．(2016河北中考)如图，△OAB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB ＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧MN ︵分别交 OA ，OB 于点M ，N.(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角)，将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP′.求证：AP ＝BP′； (2)点T 在左半弧上，若AT 与弧相切，求点T 到OA 的距离；(3)设点Q 在优弧MN ︵上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数．解：(1) ∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP ′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP ，∴∠AOP ＝∠BOP′，又∵OA＝OB ，OP ＝OP′，在△AOP 和△BOP′中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，∠AOP ＝∠BOP′，OP ＝OP′.∴△AOP ≌△BOP ′(SAS ), ∴AP ＝BP ′；(2)如图1，连接OT ，过点T 作TH⊥OA 于点H, ∵AT 与MN ︵相切，∴∠ATO ＝90°，∴AT ＝OA 2－OT 2＝102－62＝8，∵12×OA ×TH ＝12×AT ×OT, 即12×10×TH ＝12×8×6，即TH ＝8×610，∴T ＝245，即为所求的距离；(3)如图2，当OQ⊥OA 时，△AOQ 的面积最大．理由：∵OQ⊥OA, ∴QO 是△AOQ 中最长的高，则△AOQ 的面积最大， ∴∠BOQ ＝∠AOQ＋∠AOB＝90°＋80°＝170°， 当Q 点在优弧 MN ︵右侧上，∵OQ ⊥OA, ∴QO 是△AOQ 中最长的高，则△AOQ 的面积最大， ∴∠BOQ ＝∠AOQ－∠AOB＝90°－80°＝10°， 综上所述：当∠BOQ 的度数为10°或170°时，△AOQ 的面积最大.3．(2016廊坊二模)如图①，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A ，C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG.(1)试猜想线段BG 和AE 的数量关系是________；(2)将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转α(0°＜α≤360°)． ①判断(1)中的结论是否仍然成立？请利用图②证明你的结论； ②若BC ＝DE ＝4，当AE 取最大值时，求AF 的值．解：图①(1)AE ＝BG ；(2)①成立，BG ＝AE.如图①，连接AD.∵在Rt △BAC 中，AB ＝AC ，D 为斜边BC 的中点，∴AD ＝BD ，AD ⊥BC ，∴∠ADG ＋∠BDG＝90°.∵四边形EFGD 为正方形，∴DE ＝DG ，且∠GDE＝90°，∴∠ADG ＋∠ADE＝90°，∴∠BDG ＝∠ADE.在△BDG 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG＝∠ADE，GD ＝ED.∴△BDG ≌△ADE(SAS )，∴GD ＝AE ；图②②∵BG ＝AE ，∴当BG 取得最大值时AE 取得最大值，如图②，当旋转面为270°时，BG ＝AE.∵BC＝DE ＝4，D为BC 的中点，四边形DEFG 为正方形，∴BD ＝CD ＝12BC ＝2，EF ＝DG ＝DE ＝4，∴BG ＝BD ＋GD ＝2＋4＝6，∴AE ＝BG＝6，∴AF ＝62＋42＝213.4．(2016沧州八中模拟)如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C＝90°， ∠B ＝∠E＝30°.(1)操作发现如图②，固定△ABC，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是________；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是________． (2)猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图③所示的位置时，小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．(3)拓展探究已知∠ABC＝60°，点D 是其角平分线上一点，BD ＝CD ＝4，DE ∥AB 交BC 于点E(如图④)．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF ＝S △BDE, 请直接写出相应的BF 的长．解：(1)①DE∥AC；②S 1＝S 2；(2)如图：∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到，∴BC ＝CE ，AC ＝CD.∵∠ACN＋∠BCN＝90°，∠DCM ＋∠BCN＝180°－90°＝90°，∴∠ACN ＝∠DCM，在△ACN 和△DCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACN ＝∠DCM，∠N ＝∠CMD＝90°，AC ＝CD ，∴△ACN ≌△DCM(AAS )，∴AN＝DM ，又BC ＝CE ，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的两个三角形面积相等)，即S 1＝S 2；(3)BF ＝433或833.5．(2016岳阳中考)已知直线m∥n，点C 是直线m 上一点，点D 是直线n 上一点，CD 与直线m 、n 不垂直，点P 为线段CD 的中点．(1)操作发现：直线l⊥m，l ⊥n ，垂足分别为A ，B ，当点A 与点C 重合时(如图①所示)，连接PB ，请直接写出线段PA 与PB 的数量关系：________；(2)猜想证明：在图①的情况下，把直线l 向上平移到如图②的位置，试问(1)中的PA 与PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)延伸探究：在图②的情况下，把直线l 绕点A 旋转，使得∠APB＝90°(如图③所示)，若两平行线m 、n 之间的距离为2k.求证：PA·PB＝k·AB.解：(1)PA ＝PB ； (2)成立．证明略； (3)证明略．与图形的相似、位似有关的证明【经典导例】【例2】(2014河北中考)如图①，点E 是线段BC 的中点，分别以B ，C 为直角顶点的△EAB 和△EDC 均是等腰直角三角形，且在BC 的同侧．(1)AE 和ED 的数量关系为________，AE 和ED 的位置关系为________；(2)在图①中，以点E 为位似中心，作△EGF 与△EAB 位似，点H 是BC 所在直线上的一点，连接GH ，HD ，分别得到了图②和图③.①在图②中，点F 在BE 上，△EGF 与△EAB 的相似比是1∶2，H 是EC 的中点．求证：GH ＝HD ，GH ⊥HD.②在图③中，点F 在BE 的延长线上，△EGF 与△EAB 的相似比是k∶1，若BC ＝2，请直接写出CH 的长为多少时，恰好使得GH ＝HD 且GH⊥HD.(用含k 的代数式表示)．【解析】(1)由△ABE≌△DCE 可得，AE ＝DE.由AB ＝BE ＝EC ＝CD ，可知∠AEB＝∠DEC＝45°，所以∠AED＝90°，故AE⊥ED；(2)由△HGF≌△DHC 可证GH ＝HD ，GH ⊥HD ；由BC ＝2，可知BE ＝EC ＝1，又∵EF＝k ，∴当CH ＝k 时可得CH ＝FG ＝k ，从而证明△HFG≌△DCH，得到GH ＝HD ，GH ⊥HD.【学生解答】(1)AE ＝ED ，AE ⊥ED ；(2)①由题意，∠B ＝∠C＝90°，AB ＝BE ＝EC ＝DC.∵△EGF 与△EAB 位似且相似比是1∶2，∴∠GFE ＝∠B＝90°，GF ＝12AB ，EF ＝12EB.∴∠GFE ＝∠C.∵EH＝HC ＝12EC.∴GF ＝HC ，FH ＝FE ＋EH ＝12EB ＋12EC ＝12BC ＝EC ＝CD.∴△HGF≌△DHC.∴GH＝HD ，∠GHF ＝∠HDC.又∵∠HDC＋∠DHC＝90°，∴∠GHF ＋∠DHC＝90°，∴∠GHD ＝90°，∴GH ⊥HD ；②CH 的长为k.∵GH＝HD ，GH ⊥HD ，∴∠FHG ＋∠DHC＝90°，∵∠FHG＋∠FGH＝90°，∴∠FGH ＝∠CHD，∴⎩⎪⎨⎪⎧DH ＝GH ，∠FGH ＝∠CHD，∠DCH ＝∠HFG，∴△GFH ≌△HCD(AAS )，∴CH ＝FG ，∵EF ＝FG ，∴EF ＝CH ，∵△EGF 与△EAB 的相似比是k∶1，BC ＝2，∴BE ＝EC ＝1，∴EF ＝k ，∴CH 的长为k.6．(2016河北石家庄四十二中模拟)(1)如图①，已知∠EAC＝90°，AE ＝AC ，点A 在直线BD 上，过E 作ED⊥AB 于点D ，过C 作CB⊥BD 于点B ，证明：以点A 为位似中心作△AMN 与△ABC 位似，△AMN 与△ABC 位似比为1∶2，则MNAD＝________；(2)如图②，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB ，AC 为一边，向外作正方形ABME 和正方形ACNF ，分别过点E ，F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P ，Q.以点A 为位似中心，作△AQH 与△APE 位似，△AQH 与△APE 的位似比为1∶k，猜想CG 与BG 的数量关系并证明；(3)如图③，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB ，AC 为一边，向外作矩形ABME 和矩形ACNF ，分别过点E ，F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P ，Q.若AB ＝m·AE，AC ＝m·AF，以点A 为位似中心，作△AQH 与△APE 位似，△AQH 与△APE 的位似比为1∶k，则CG 与BG 的数量关系还成立吗？若成立．请证明；若不成立，说明理由．解：(1)12；(2)CG BG ＝1k.理由如下：∵四边形ABME 是正方形，∴AB ＝AE ，∠BAE ＝90°，∴∠BAG ＋∠EAP＝90°.∵AG ⊥BG ，∴∠BAG ＋∠ABG＝90°，∴∠ABG ＝∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB ＝∠EPA＝90°，∴△ABG ≌△EAP ，∴BG ＝AP.同理可得△ACG≌△FAQ，即CG ＝AQ.∵△AQH 与△AP E 的位似比为1∶k，∴AQ AP ＝1k ，∴CG BG ＝1k；(3)CG BG ＝1k.理由如下：四边形ABME 是矩形，∴∠BAE ＝90°，∴∠BAG ＋∠EAP＝90°.∵AG ⊥BC ，∴∠BAG ＋∠ABG＝90°，∴∠ABG ＝∠EPA.∵∠AGB＝∠EPA＝90°，∴△ABG ∽△EAP ，∴BG AP ＝AB EA .∵AB ＝m·AE，∴BGAP＝m ·AE EA ，即BG ＝m·AP，同理△ACG∽△FAQ，∴CG AQ ＝AC FA .∵AC ＝m·AF，∴CG AQ ＝m ·AF FA ，即CG ＝m·AQ，∴CG BG ＝m ·AQm ·AP ＝AQ AP .∵△AQH 与△APE 位似比为1∶k，∴AQ AP ＝1k ，∴CG BG ＝1k. 7．(2016保定十七中二模)如图①，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线交直线AC 于点D ，过点C 作CE⊥BD，交直线BD 于点E.请探究线段BD 与CE 的数量关系．(事实上，我们可以延长CE 与直线BA 相交，通过三角形的全等等知识解决问题．)(1)结论：线段BD 与CE 的数量关系是________；(请直接写出结论) (2)类比探索在(1)中，如果把BD 改为∠ABC 的外角∠ABF 的平分线，其他条件均不变(如图②)，(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)拓展延伸在(2)中，如果AB≠AC，且AB ＝nAC(0＜n ＜1)，其他条件均不变(如图③)，请你求出BD 与CE 的数量关系．(用含n 的代数式表示)图①解：(1)BD ＝2CE ；(2)BD ＝2CE 仍然成立．理由如下：如图①延长CE ，AB 交于点G.∵∠ABD＝∠FBD，∠ABD ＝∠GBE，∠FBD ＝∠CBE，∴∠GB E ＝∠CBE.又∵BE＝BE ，∠GEB ＝∠CEB＝90°，∴△GBE ≌△CBE(ASA )，∴GE ＝CE ，∴CG ＝2CE.∵∠D＋∠DCG＝∠G＋∠DCG＝90°，∴∠D ＝∠G.又∵∠DAB＝∠GAC＝90°，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△GAC ，∴BD ＝CG ＝2CE ；图②(3)如图②，延长CE ，AB 交于点G.∵∠ABD＝∠FBD，∠ABD ＝∠GBE，∠FBD ＝∠CBE，∴∠GBE ＝∠C BE.又∵BE＝BE ，∴∠GEB ＝∠CEB＝90°，∴△GBE ≌△CBE(ASA )，∴GE ＝CE ，∴CG ＝2CE.∵∠D＋∠DCG＝∠G＋∠DCG＝90°，∴∠D ＝∠G.又∵∠DAB＝∠GAC＝90°，∴△DAB ∽△GAC ，∴BD CG ＝ABAC.∵AB ＝nAC ，∴BD ＝nCG ＝2nCE.与图形折叠平移有关的证明【经典导例】【例3】(2014河北中考)图①和图②中，优弧AB ︵所在⊙O 的半径为2，AB ＝2 3.点P 为优弧AB ︵上一点(点P 不与点A ，B 重合)，将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′.(1)点O 到弦AB 的距离是________，当BP 经过点O 时，∠ABA ′＝________； (2)当BA′与⊙O 相切时，如图②，求折痕BP 的长；(3)若线段BA′与优弧AB ︵只有一个公共点B ，设∠ABP＝α，确定α的取值范围．【解析】(1)作垂线OC ，即为O 到AB 的距离．根据垂径定理，构造直角三角形，利用直角三角形边角关系以及三角函数即可得解．(2)由(1)得OC 长度以及半径OB 长度，即可求出∠OBC 的正弦值，从而求得∠OBC.再利用∠ABP 与∠OBC 的关系求出∠OBP 的角度，根据直角三角形的边角关系计算即可．(3)如解图③所示：在折叠过程中，BP 的4个特殊位置，点A′落在以B 为圆心、BA 为半径的虚线圆弧上，观察图形由线段BA′与圆心O 的位置可确定α的范围．【学生解答】(1)1；60°.如图①，解法提示：过点O 作OC⊥AB，垂足为点C ，连接OA ，则∠OCA＝90°，AC ＝12AB ＝12×23＝ 3.∵OA ＝2，∴OC ＝OA 2－AC 2＝22－（3）2＝1.当BP 经过点O 时，在Rt △OCB 中，sin ∠OBC ＝OC OB ＝12，∴∠OBC ＝30°，根据折叠的性质可得，∠ABA ′＝2∠OBC＝2×30°＝60°；(2)如图②，作OC⊥AB于点C ，连接OB ，∵BA ′与⊙O 相切，∴∠OBA ′＝90°，在Rt △OBC 中，OB ＝2，OC ＝1，∴sin ∠OBC ＝OC OB ＝12，∴∠OBC ＝30°，∴∠ABP ＝12∠ABA ′＝12(∠OBA′＋∠OBC)＝60°，∴∠OBP ＝30°.作OD ⊥BP 于点D ，则BP ＝2BD.∴BD＝OB·cos 30°＝3，∴BP ＝23；(3)∵点P ，A 不重合，∴α＞0°.由(1)得，当α增大到30°时，点A′在AB ︵上，∴当0°＜α＜30°时，点A′在⊙O 内，线段BA′与AB ︵只有一个公共点 B.由(2)知，α增大到60°时，BA ′与⊙O 相切，即线段BA′与AB ︵只有一个公共点B.当α继续增大时，点P 逐渐靠近点B ，但点P ，B 不重合，∴∠OBP ＜90°.∵α＝∠OBA＋∠OBP，∠OBA ＝30°，∴α＜120°.∴当60°≤α＜120°时，线段BA′与AB ︵只有一个公共点B.综上所述，α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°.【方法指导】解本题第(3)问的关键在于折叠过程中对图形变化具体情况的分析，也是对第(1)、(2)问情况的综合．在分类讨论α的最大取值时，很难想象出优弧AB ︵完全折叠过去时的情况，即P 点即将与B 点重合时α的数值，可以先在图中画出点P 、B 重合时的情况，重合时α为一个临界点，找到此临界点，再使α小于此临界点即可解决．8．(2016唐山九中二模)如图，两个全等的△ABC 和△DEF 重叠在一起，固定△ABC，将△DEF 进行如下变换： (1)如图①，△DEF 沿直线CB 向右平移(即点F 在线段CB 上移动)，连接AF 、AD 、BD ，请直接写出S △ABC 与S 四边形AFBD 的关系；(2)如图②，当点F 平移到线段BC 的中点时，若四边形AFBD 为正方形，那么△ABC 应满足什么条件？请给出证明；(3)在(2)的条件下，将△DEF 沿DF 折叠，点E 落在FA 的延长线上的点G 处，连接CG ，请你在图3的位置画出图形，并求出sin ∠CGF 的值．解：(1)S △ABC ＝S 四边形AFBD ；(2)△ABC 为等腰直角三角形，即：AB ＝AC ，∠BAC ＝90°.证明：∵点F 为BC 的中点，∴CF ＝BF.∵CF＝ AD ，∴AD ＝ BF.又∵AD∥BF，∴四边形AFBD 为平行四边形．∵AB＝AC ，F 为BC 的中点，∴AF ⊥BC ，∴平行四边形AFBD 为矩形．∵∠BAC＝90°，F 为BC 的中点，∴AF ＝12BC ＝BF ，∴四边形AFBD 为正方形；(3)正确画出图形，如解图．由(2)知，△ABC 为等腰直角三角形， 则△DEF 为等腰直角三角形，AF ⊥BC ∵FB ＝12BC ＝12EF ＝BE ，∴AG ＝AF ，设CF ＝k ，则GF ＝EF ＝CB ＝2k ，由勾股定理，得：CG ＝5k ，则sin ∠CGF ＝CF CG ＝k 5k ＝55.9．(2016邯郸二十五模拟)将一个直角三角形纸片ABO 放置在平面直角坐标系中，点A(3，0)，点B(0，1)，点O(0，0)．过边OA 上的动点M(点M 不与点O ，A 重合)作MN⊥AB 于点N ，沿着MN 折叠该纸片，得顶点A 的对应点为A′.设OM ＝m ，折叠后的△A ′MN 与四边形OMNB 重叠部分的面积为S.(1)如图①，当点A′与顶点B 重合时，求点M 的坐标；(2)如图②，当点A′落在第二象限时，A ′M 与OB 相交于点C ，试用含m 的式子表示S ；(3)当S ＝324时，求点M 的坐标．(直接写出结果即可)解：(1)在Rt △ABO 中，点A(3，0)，点B(0，1)，点O(0，0)，∴OA ＝3，OB ＝1.由OM ＝m ，得AM ＝OA －OM ＝3－m.根据题意，由折叠可知△BMN≌△AMN，有BM ＝AM ＝3－m.在Rt △MOB 中，由勾股定理，BM 2＝OB 2＋OM 2，得(3－m)2＝1＋m 2，解得m ＝33.∴点M 的坐标为(33，0)；(2)在Rt △ABO 中，tan ∠OAB ＝OB OA ＝13＝33，∴∠OAB ＝30°，由MN⊥AB，得∠MNA＝90°.∴在Rt △AMN 中，得MN ＝AM·sin ∠OAB ＝12(3－m)，AN ＝AM·cos∠OAB ＝32(3－m)．∴S △AMN ＝12MN ·AN ＝38(3－m)2.由折叠可知△A′MN≌△AMN，有∠A′＝∠OAB＝30°，∴∠A ′MO ＝∠A′＋∠OAB＝60°.∴在Rt △COM 中，得CO ＝OM·tan ∠A ′MO ＝3m.∴S △COM ＝12OM ·CO ＝32m 2，又S △ABO＝12OA ·OB ＝32，于是，S ＝S △ABO －S △AMN －S △COM ＝32－38(3－m)2－32m 2，即S ＝－538m 2＋34m ＋38(0＜m ＜33)；(3)(233，0)．与尺规作图有关的问题【经典导例】【例4】(2014河北中考)如图，四边形ABCD 是正方形，点E ，K 分别在BC ，AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE ＝BK ＝AG.(1)求证：①DE＝DG ；②DE⊥DG；(2)尺规作图：以线段DE ，DG 为边作出正方形DEFG ；(要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明) (3)连接(2)中的KF ，猜想并写出四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；(4)当CE CB ＝1n 时，请直接写出S 正方形ABCDS 正方形DEFG的值．【解析】(1)由已知证明DE 、DG 所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；(2)根据正方形的性质分别以点G 、E 为圆心，以DG 为半径画弧交于点F ，得到正方形DEFG ；(3)由已知首先证四边形CKGD 是平行四边形，然后证明四边形CEFK 为平行四边形；(4)设CE ＝x ，由已知CE CB ＝1n，表示出CB 及CD ，利用勾股定理求出DE 2，进而得到BC2DE2，即为所求．【学生解答】解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴DC ＝DA ，∠DCE ＝∠DAG＝90°.又∵CE＝AG ，∴△DCE ≌△DAG ，∴DE ＝DG ，∠EDC ＝∠GDA.又∵∠AD E ＋∠EDC＝90°，∴∠ADE ＋∠GDA＝90°，∴DE ⊥DG ；(2)如解图①；(3)四边形CEFK 为平行四边形．证明：设CK ，DE 相交于M 点，如解图②，∵四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，EF ＝DG ，EF ∥DG.∵BK ＝AG ，∴KG ＝AB ＝CD ，∴四边形CKGD 为平行四边形，∴CK ＝DG ＝EF ，CK ∥DG.∴∠KME ＝∠GDE＝∠DEF＝90°.∴∠KME ＋∠DEF＝180°.∴CK ∥EF.∴四边形CEFK 为平行四边形；(注：由CK∥DG、EF∥DG 得CK∥EF 也可)(4)S 正方形ABCD S 正方形DEFG ＝n 2n 2＋1.解法提示：∵CE CB ＝1n，∴设CE ＝x ，CB ＝nx ，∴CD ＝nx ，∴DE 2＝CE 2＋CD 2＝x 2＋n 2x 2＝(n 2＋1)x 2，∵BC 2＝n 2x 2，∴S 正方形ABCD S 正方形DEFG ＝BC 2DE 2＝n 2n 2＋1.【方法指导】在判定四边形为平行四边形时，(1)若已知一组对边平行，可以考虑利用证明这组对边相等，或证明另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以考虑证明这组对边平行或另一组对边相等；(3)若已知一组对角相等则需要证明另外一组对角也相等；(4)若已知一条对角线平分时则需证明另外一组对角线也平分．在证明边相等时，将这两组对边放在两个三角形中，并证明这两个三角形全等；在证明边平行时，需要用题目中的条件找到角之间的关系再利用平行线的判定证明．10．(2016济宁中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠DAC 是△ABC 的一个外角． 实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母．(保留作图痕迹，不写作法) (1)作∠DAC 的平分线AM ；(2)作线段AC 的垂直平分线，与AM 交于点F ，与BC 边交于点E ； 猜想并证明：判断四边形AECF 的形状并加以证明．解：(1)(2)作图略；猜想：四边形AECF 是菱形．证明：∵AB＝AC ，AM 平分∠CAD.∴∠B＝∠ACB，∠CAD ＝2∠CAM，∵∠CAD 是△ABC 的外角，∴∠CAD ＝∠B＋∠ACB，∴∠CAD ＝2∠ACB，∴∠CAM ＝∠ACB.∴AF∥CE.∵EF 垂直平分AC ，∴OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COE＝90°，∴△AOF ≌△COE ，∴AF ＝CE ，在四边形AECF 中，AF ∥CE ，AF ＝CE ，∴四边形AECF 是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF 是菱形．11．(2016张家口九中模拟)(1)如图①，已知△ABC，以AB ，AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE，连接BE ，CD ，请你完成图形，并证明：BE ＝CD ；(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹)(2)如图②，已知△ABC，以AB 、AC 为边向外作正方形ABFD 和正方形ACGE ，连接BE ，CD ，BE 与CD 有什么数量关系？简单说明理由；(3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图③，要测量池塘两岸相对的两点B ，E 的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE ＝90°，AB ＝BC ＝100 m ，AC ＝AE ，求BE 的长．图①解：(1)完成图形，如解图①所示：证明：∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形，∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE＝60°，∴∠BAD ＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD 和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠CAD ＝∠EAB，AC ＝AE ，∴△CAD ≌△EAB(SAS )，∴BE ＝CD ；(2)BE ＝CD ，证明：∵四边形ABFD 和ACGE 均为正方形，∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE＝90°.∴∠CAD ＝EAB ，在△CAD 和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠CAD ＝∠EAB，AC ＝AE ，∴△CAD ≌△EAB(SAS )，∴BE ＝CD ；图②(3)由(1)，(2)的解题经验可知，如解图②，过点A 作等腰直角三角形ABD ，连接BD ，∠BAD ＝90°，则AD ＝AB ＝100 m ，∠ABD ＝45°，∴BD ＝100 2 m ，连接CD ，则由(2)可得BE ＝CD.∵∠ABC＝45°，∠DBC ＝90°，在Rt △DBC 中，BC ＝100 m ，BD ＝100 2 m ，根据勾股定理得：CD ＝1002＋（1002）2＝100 3 m ，则BE ＝CD ＝100 3 m .12．(2016石家庄二十八模拟)探究并证明以下问题：(1)如图①，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且∠A OB ＝60°，点P 为线段BO 上任意一点，以AP 为边作等边三角形APF ，连接BF ，求证：BF ＝OP ；(2)如图②，在正方形ABCD ，点P 为BC 边上任意一点，以AP 为边作正方形APMN ，F 为正方形APMN 的中心，连接BF ，直接写出BF 与CP 的数量关系__BF ＝2CP__；(3)如图③，在菱形ABCD 中，AB ∶AC ＝m∶n，点P 为BC 边上一点，以AP 为对角线作菱形AEPM ，满足∠ABC ＝∠AFP，连接BF ，猜想BF 与CP 的数量关系，并证明你的结论．解：(1)∵四边形ABCD 为矩形，∴OA ＝OB ，∵∠AOB ＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝AO ，∠PAO ＝11 60°－∠BAP，在△FAB 和△PAO 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AO ∠FAB＝∠OAP AF ＝AP，∴△FAB ≌△PAO(SAS )，∴BF ＝OP ；(3)BF ＝m n CP.理由：∵四边形ABCD 为菱形，∴BA ＝BC ，∴∠BAC ＝12(180°－∠ABC)，∵四边形AFPM 是菱形，∴PF ＝AF ，∴∠FAP ＝12(180°－∠AFP)，∵∠ABC ＝∠AFP，∴∠BAC ＝∠FAP，∴△FAP ∽△BAC ，∴AF AB ＝AP AC ，即AF AP ＝AB AC，∵∠FAB ＝∠FAP －∠BAP，∠PAC ＝∠BAC－∠BAP，∴∠FAB ＝∠PAC，又∠ABC＝∠AFP，∴△FAB ∽△PAC ，∴BF CP ＝AB AC ＝m n ，即BF ＝m nCP.13．(2016沧州八中二模)(1)问题发现如图①，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE.填空：①∠AEB 的度数为__60°__；②线段AD 、BE 之间的数量关系为__AD ＝BE__； (2)拓展探究如图②，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE＝90°，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE.请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图③，在正方形ABCD 中，CD＝ 2.若点P 满足PD ＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离．解：(2)∠AEB＝90°；AE ＝BE ＋2CM.理由：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE＝90°，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB －∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE.∴△ACD≌△BCE.∴AD＝BE ，∠BEC ＝∠ADC＝135°，∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰直角三角形DCE 中，CM 为斜边DE 上的高，∴CM ＝DM ＝ME ，∴DE ＝2CM.∴AE＝DE ＋AD ＝2CM ＋BE ；(3)3－12或3＋12.。