【精品原创】六年级奥数培优教程讲义第10讲-一般工程问题(教师版)

第10讲 工程问题

了解工作量、工作时间及工作效率的意思；

能够从题目中找出工作量、工作时间及工作效率；

理解三者之间的关系，并用三者关系解题。 工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。然而其内容已不仅是工程方面的，还包括水管注水、行路等许多方面。

工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式： 工作量=工作效率×工作时间

工作时间=工作量÷工作效率

工作效率=工作量÷工作时间

工作量指工作的多少，它可以是全部工作量，一

般用单位“1”表示；也可是部分工作量，常用分数表

示。例如，工程的一半表示成12

，工程的三分之一表示成13

。 工作效率指工作的快慢，也就是单位时间里所干

的工作量。工作效率的单位是一个复合单位，用“工作量／天”或“工作量／时”等表示。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。

工程问题可分为两类：一类是已知具体工作量，另一类是未给具体工作量。在解答工程问题时，我们要遵循以下原则：一是工作量没有具体给出的，可设工作量为单位“1”；二是由于工作总量为“1”，那么，参与这项工作的每个人（队）单独做的工作效率可用此人（队）单独做的工作时间的倒数表示。

知识梳理

教学目标

考点一：用“组合法”解工程问题

在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径

例1、一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的

7 30，

乙队单独完成全部工程需要几天？

【解析】此题已知甲、乙两队的工作效率和是

1

15

，只要求出甲队或乙队的工作效率，则问题可

解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两

队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量

7

30

－

1

15

×3＝

1

30

，从而

求出甲队的工作效率。所以：

1÷〔

1

15

－（

7

30

－

1

15

×3）÷（5－3）〕＝20（天

答：乙队单独完成全部工程需要20天。

例2、一项工程，甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成这

项工程的1

2

。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相等。

求两段一共用了几天？

【解析】此题很容易先求乙队的工作效率是：（1

2

－

1

12

×3）÷2＝

1

8

；再由条件“做完后发现两

典例分析

段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。

（1）乙队每天完成这项工程的

（1

2

－

1

12

×3）÷2＝

1

8

（2）两段时间一共是

1÷（1

8

×2+

1

12

）×2＝6（天）

答：两段时间一共是6天。

例3、一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、丙合做2

小时，可以完成这项工作的2

3

；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作

的2

3

。如果由甲、丙合做，需几小时完成？

【解析】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的23”组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的23”，则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。

甲每小时完成这项工程的几分之几

（2

3

－

1

6

×2）÷（6－2）＝

1

12

丙每小时完成这项工程的几分之几

（2

3

－

1

6

×3）÷（6－3）＝

1

18

甲、丙合做需完成的时间为：

1÷（

1

12

+

1

18

）＝7

1

5

（小时）

答：甲、丙合做完成需要71

5

小时。

考点二：特殊工程问题

有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。

例1、修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？

【解析】把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”。则

1÷[

1

5×8

+

1

10×6

]÷6=4（天）

或1÷[（

1

5×8

+

1

10×6

）×6]=4（天）

答：4天可以完成。

例2、有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？

【解析】设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2”

①三人同时搬运了

2÷（

1

10

+

1

12

+

1

15

）=8（小时）

②丙帮甲搬了

（1-

1

10

×8）÷

1

15

=3（小时）

③ 丙帮乙搬了

8-3=5（小时）