金陵中学2013-2014学年度第一学期期中考试高三数学答案

所以当 时有 ，此时有 ．…………… 14分
答：铺设水管的最小费用为 万元，相应的角 ．………………… 16分
19．（本小题满分16分）
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为．
故设a＝2m，c＝m，则b＝m．
直线A2B2方程为bx－ay－ab＝0，
即mx－2my－2m2＝0．
所以＝，解得m＝1．
所以a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1．………………… 5分
（2）由得E(，)，F(－，－)．……………………………….7分
又F2(，0)，所以＝(－，)，＝(－－，－)，
所以·＝(－)×(－－)＋×(－)＝＞0．
14.已知函数f(x)=，若对任意的实数x1,x2,x3,不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立，则实数k
的取值范围是▲．
【答】 ．
【解析】 ，令 ，
则 ．
原题等价为：对于 ， 恒成立，求实数k的取值范围．
（1）当 时，显然成立；
（2）当 时， ，由 ，得 ；
（3）当 时， ，由 ，得 ．
综上，实数k的取值范围为 ．
②当 时，
a) 时， ， ，所以
b) 时， ， ，
所以 ， 在 上递减，
所以 ，综合a)b) 有最大值为 与a有关，不符合……15分
综上所述，实数a的取值范围是 ．………………………………………………16分
金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷
数学（附加题）
21【选做题】在下面A，B，C，D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．
，
，- -----------------12分
. ----------------14分
17．（本题满分14分）
已知等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d为整数，且满足a1+3<a3,a2+5>a4，数列{bn}满足bn=，其前n项和为Sn．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若S2为S1，Sm(m∈N＊)的等比中项,求正整数m的值．
(3)对任意正整数k,将等差数列{an}中落入区间(2k,22k)内项的个数记为ck,求数列{cn}的前n项
和Tn
解：（1）由题意，得 解得 <d< ．……………………2分
又d∈Z，∴d= 2．
∴ =1+(n－1) 2=2n－1．………………………4分
（2）∵ ………………………………..6分
∴ …………………7分
由切割线定理得OT2＝OM·ON＝4．
所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2.………………… 16分
20．（本大题满分16分）
已知函数f(x)=a|x|+(a>0,a≠1)
（1）若a>1，且关于x的方程f(x)=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；
（2）设函数g(x)=f(-x)，x∈[-2，+∞）， 满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关.试求a的取值范围．
已知矩阵M＝，N＝．
（1）求矩阵MN；
（2）若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P的坐标．
解：（1）MN＝＝；…………5分
（2）设P(x，y)，则
解法一：
＝，即
解得即P(，－1)．…………10分
∵ABCD为平行四边形
∴AB∥CD
∴ ，----------------------------------------------4分
又∵
∴ 平面 -------------------7分
⑵ ，
所以 ，-------------------9分
又因为四边形 为正方形，
，------------------10分
（1）求W关于α的函数关系式；
（2）求W的最小值及相应的角α．
解：（1）如图，过E作 ，
垂足为M，由题意得∠MEF=α，
故有 ， ， ，……………….3分
所以
=80+-60tanα（其中 ……..……………8分
（2）W
．
设 ，
则 ．………………11分
令 得 ，即 ，得 ．
列表
+
0
-
单调递增
极大值
单调递减
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分14分)
已知向量a=(2cosx, 2sinx)，b=(cosx,cosx),设函数f(x)=a•b-,求：
(1)f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若 ,且α∈(,π).求α.
3.命题“ x∈R，x2+ax+1<0”的否定是▲．
【答】
4.函数f（x）＝的定义域是▲．
【答】（0，3］
5.在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1+a2+a3=2,a3+a4+a5=8,则a4+a5+a6=▲.
【答】16
6．已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角为60°，向量c＝2a＋b．则向量c的模为▲．
解：(1)令 ， ，因为 ，所以 ，所以关于 的方程 有两个不同的正数解等价于关于 的方程 有相异的且均大于1的两根，即关于 的方程 有相异的且均大于1的两根，…………………………………………2分
所以 ，…………………………………………………………………4分
解得 ，故实数 的取值范围为区间 .……………………………6分
金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷
数学（必做题）
一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把正确答案填写在答题卡相应的位置上．
1．设集合A＝｛x｜－＜x＜2｝，B＝｛x｜x2≤1｝，则A∪B＝▲．
【答】｛x｜－1≤x＜2｝
2.复数i2（1－2i）的实部是▲．
【答】（－1）
OG2＝(－)2＋h2．
OT2＝OG2－r2＝(－)2＋h2－(＋)2－h2＝．………….14分
而＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以OT2＝4，
所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2.………………… 16分
解法二:OM·ON＝|(－)·|＝,
而＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以OM·ON＝4．
(2)
①当 时，
a) 时， ， ，所以 ，
b) 时， ，所以 ……8分
ⅰ)当 即 时，对 ， ，所以 在 上递增，
所以 ，综合a)b) 有最小值为 与a有关，不符合…10分
ⅱ)当 即 时，由 得 ，且当 时， ，当 时， ，所以 在 上递减，在 上递增，所以 ，综合a)b) 有最小值为 与a无关，符合要求．………12分
10.已知f(x)=3sin(2x－)，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)=f(α-x)对一切实数x恒成立，则α=▲．
【答】
11.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是▲．
【答】(－2,1)
12.已知函数f(x)=|lg(x-1)|若a≠b,f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是▲．
【答】2
【解析】｜c｜2＝（2a＋b）2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4×1×2×cos60°＋4＝12，即｜c｜＝2
7．在平面直角坐标系xOy中，已知y=x是双曲线－=1（a>0,b>0）的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为▲．
【答】2
【解析】由题意 ，∴ ．
8.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，则下列四个命题：
所以OP//BD，从而OP⊥l.
因为P在⊙O上，
所以l是⊙O的切线. ...........5分
（2）连结AP，
因为l是⊙O的切线，
所以∠BPD=∠BAP.
又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，
所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD. .........10分
B．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）
解 = = = -3分
(1)函数 的最小正周期为 ---------------5分
由 ，得 （ ）
∴函数 的单调递增区间为 ---------------8分
(2)∵ ，
∴ ，
∴ …………………………………………………………11分
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ 或 ，∴ 或 ---------------14分所以ຫໍສະໝຸດ EF2F是锐角．………………… 10分
（3）由（1）可知A1(0，1)A2(0，－1),设P(x0，y0),
直线PA1：y－1＝x，令y＝0,得xN＝－；
直线PA2：y＋1＝x，令y＝0,得xM＝；……………………………………12分
解法一:设圆G的圆心为((－)，h),
则r2＝[(－)－]2＋h2＝(＋)2＋h2．
①若α∥β,则l⊥m；②若α⊥β,则l∥m；
③若l∥m,则α⊥β；④若l⊥m,则α∥β.
其中正确命题的序号是▲．
【答】①③
9．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y= 5下方的概率为▲．
【答】．
【解析】点P在直线x＋y= 5下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六种可能，故其概率为=．
【答】
13..定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋5)＝16，当x∈(－1，4]时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在[0，2013]上的零点个数是_____▲．
【答】604
【解析】由 ，可知 ，则 ，所以 是以10为周期的周期函数.在一个周期 上，函数 在 区间内有3个零点，在 区间内无零点，故 在一个周期上仅有3个零点，由于区间 中包含201个周期，又 时也存在一个零点 ，故 在 上的零点个数为 .
∵ ， ， ， 为 ， ( )的等比中项，
∴ ，即 ，
解得 =12．……………………………………….9分
(3)对任意正整数k， ，则 ,
而 ，由题意可知 ,…………………………………12分
于是
，
即 .………………14分
18.（本小题满分16分）
如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l1，在路南侧沿直线铺设线路l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB= 60m，BC= 80m，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB=-α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W．
A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：
（1）l是⊙O的切线；
（2）PB平分∠ABD.
证明：（1）连结OP，
因为AC⊥l，BD⊥l，
所以AC//BD.
又OA=OB，PC=PD，
16．(本题满分14分)
如图,四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中点,G是AE,DF的交点.
（1）求证:GH∥平面CDE；
（2）求证:面ADEF⊥面ABCD.
证明：⑴ 是 的交点，∴ 是 中点，又 是 的中点，
∴ 中， ，---------------2分
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点且斜率为的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；
（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点,直线PA1，PA2，分别交 轴于点N，M,若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.
解：（1）因为椭圆C的离心率e＝，