第二节数列的极限精品PPT教学课件

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02 数列的极限PPT课件

n
n n n •极限定义的简记形式牢记 ε-N定义 a.故发散例如 : 不存在这样的常数 . 1 : 1 , 1 , 1 , 1 , , 1 , , 当 n n n 0, N N n N不存在这样的常数时, 有|xn-a|a..故发散 lim x a . 2 : 2 , 4 , 6 , 8 , 16 , , 2 , . n
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点
x1, x2, x3, , xn , .
x1 xn x4 x3 x5 x2
数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一般项.
当n 无限增大时, x
n
无限接近于1，等价于
x 1可以任意小 . n
即xn - 1能小于任意给定的常数。
x 1(-1) n-
n-1
1 1 n n
当n 无限增大时, x
1 x 1 nn
n
无限接近于1，等价于
xn - 1能小于任意给定的常数。
1 1 1 1 1 , , 只要给定 , 由 n 100 时 , 有x n100 n 100 100
数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一般项.
数列举例: 1 2 3 n n , , , , ; 记为 2 3 4 n 1 n 1 n 2, 4, 8, , 2n , ; 记为 2

数列的极限PPT教学课件

崖的半山腰是寝宫，寝宫的北边是飞石窟，
再上则北岳殿。
上负绝壁。
再向上就是北岳殿了。（北岳殿）上是绝壁。
飞石窟远眺
很高的
下临官廨，殿下云台阶级插
天，
下面挨着官署，殿下很高的台阶插向云天，
正房对面和两
庑侧门和上小屋下子，穹
高
碑
森
形容密
集立的子，样从殿
廊屋上下，高大的石碑密集地竖立着，从殿
1.数列的极限
一、概念的引入
割圆术：
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽
播放幻灯片 8
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
二、数列的极限
观察数列
xn
1 n
当n
时的变化趋势
洗过一样，
拄着，
策扶着杖
这里指恒山
登岳，面东而上，
我拄着拐杖开始攀登恒山，向东而上，
土冈浅阜，
登
无攀跻劳。
路上都是低矮的土山，没有爬山的劳累。
一里，转北，山皆煤炭，不深走了一里，转向北，山上都是煤炭，不需深
就
凿即可得，又一里，则
土
凿就可得到，又走了一里，就看到山上的土
红色
然而满山的荆棘茂密，参差不齐的树技和枯
只
踏
枝，但能钩衣刺领，攀践即断折，
枝，只是能钩刺衣服，抓住踩踏立即折断，
用力虽勤，
落
水流急的样
若堕洪涛，汩汩子
虽然不断地努力，却好像落入洪流中，水流

第二节数列的极限课件

n n(111n,,11qq)n,,qq122,,1 ,,qq,nnn,, 1
1,
n
xn
N
1.
1
,
则当
不等证式明|
xn–0>| <0
|x
(设必定<成1)立，. 所以，取
0 | | qn1 0 | | q |n1 ,
N
1
1
,
则当
第二节数列的极限
注意关键是对任意给定的，要求出一个 N()，
第二节数列的极限
2、数列极限定义设 { xn } 为一数列，如果存在
常数a，对于任意给定的正数 (不论多么小)，总存在
正整数 N ，当 n > N 时，恒有
| xn – a | <
则称常数 a 是数列 { xn } 的极限，或称数列 { xn } 收敛于 a，
记为 lim xn a , 或 xn a (n ), n
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
第二节数列的极限
二维表示
例如：
设
xn
f (n)
n (1)n1 n
,
数列为整标函数
lim xn 1 >0, 正整数N,当n>N时,有| xn – 1 | < , n
即
1 - < xn < 1 + ,
所以，当n>N时，点(n , xn)都在直线 y = 1 - 与y = 1 +
(1)n
<(n1)1，)2
,只证要明
lim xn n
0.
证明
| xn 第 0二| 1n节(n(数11)列)n2 的 0极n限(n11,1)2
1. n 1

《数列的极限》PPT课件

1．数列极限的定义
设{an}是一个无穷数列，如果当项数 n 无限增大时，项 an 无限地趋近于某个常数 a(即|an
－a|无限地接近于
0)，那么就说数列{an}以
a
为极限(或者说
a
是数列{an}的极限)，记作
lim n→∞
an＝a.
2．几个常用极限
(1)lim C＝C(C 为常数)； n→∞
(2)lim n→∞
答案：1000
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知识要点一：对数列极限的理解 1．数列{an}的极限是指当 n 无限增大时，an 无限趋近的那个常数．如果当 n 无限增大时， an 不趋近于任何一个常数，那么这个数列就没有极限．数列的极限是一个常数，这个常数与 n 无关，求数列的极限就是求这个常数． 2．一个数列如果有极限，那么这个数列的极限是唯一的，即一个数列不可能有两个或更多个极限．
知识要点二：几种常用数列的极限 1．常数数列的极限是这个常数本身，即n→lim∞C＝C(C 为常数)． 2．如果|a|＜1，那么n→lim∞an＝0；如果n→lim∞an＝0，那么|a|＜1；如果n→lim∞an 存在，那么－1＜a≤1.
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02数列的极限PPT课件

•数列与函数
数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), nN .
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铃
❖数列极限的通俗定义当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近
于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛a, 记为
例如
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铃
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a, 则数列{xn}收敛a.
2. 数列1, -1, 1, -1, , (-1)N1, 的有界性与收敛如何？
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铃Байду номын сангаас
二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一.
❖定理2(收敛数列的有界性)
如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. ❖定理3(收敛数列的保号性)
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铃
❖数列极限的精确定义
设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正
数e , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
|xn-a |<e
都成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收敛于a, 记为
如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn}没有极限,
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1, x2, x3, , xn , .
x1
xn x4 x3 x5 x2
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1-02-数列的极限-PPT精品文档

则对一切 n,皆自有 xn然 M 数 , 故 xn有.界
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论无界数列必定发散.
2、唯一性
定理2 收敛的数列极限唯一。
证设 l n ix n m a ,又 l n ix n m b , 由定义,
0,N 1,N 2.使当得 n N 1 时x 恒 n a 有 ;
定理2 收敛的数列极限唯一。
证法二设 l n ix n m a ,又 l n ix n m b ,
假设a

b,不
妨
设
a

b,则可取 0

a
2
b

0,
lim
n
xn

a

对于0

0,N 1,n

N1,
xn a

0,

xn

a

0

a
2
b
,
只有(至有多限 N 个只 )个落有在 . 其外
例1 证l明 im n(1)n11. n n
证
xn
1
n(1)n1 n
11， n
任给0,要xn1,只要n1,或n1,
所以, 取N1,则当nN时,就有n(1)n11

n
n(1)n1 n
Xn
1
1 2n
1
数定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
列
x1, x2,, xn,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项,xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn}.
例如 2,4,8, ,2n, ; { 2 n }

数列的极限讲解(课堂PPT)

函数与极限
2
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
函数与极限
R
目录上一页下一页退3出
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
函数与极限
目录上一页下一页退9出
定义如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数N ,使得对于n N 时的一切 xn,
不等式 xn a 都成立,那末就称常数a是数列
x n 的极限,或者称数列x n 收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
令n a 1 n 0, 于是
a = (1 n )n 1 nn nn
1 nn nn
0, 为了使
n
a
1
λn
a n
ε,
λn
a n
只要使
n
a, ε
因此,
取N
a
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则当n > N 时,有
n
a
1
n
. 即
函数与极限
lim
n
n
a
1.
16
二、收敛数列的性质
1、有界性
定义: 对数列xn , 若存在正数M , 使得一切自然数n , 恒有 xn M 成立, 则称数列xn 有界,
动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .

数学分析课件之第二章数列极限

02
数列极限的运算性质
数列极限的四则运算性质
01
02
03
04
加法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n + y_n) =
a + b$。
减法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n - y_n) =
a - b$。
数列极限的性质
总结词
数列极限具有一些重要的性质，如唯一性、收敛性、保序性等。
详细描述
数列极限具有一些重要的性质。首先，极限具有唯一性，即一个数列只有一个极限值。其次，极限具有收敛性，即当项数趋于无穷时，数列的项逐渐接近极限值。此外，极限还具有保序性，即如果一个数列的项小于另一个数列的项，那么它们的极限也满足这个关系。
指数性质
若$lim x_n = a$且$0 < |a| < 1$ ，则$lim a^{x_n} = 1$。
幂运算性质
若$lim x_n = a$，则$lim x_n^k = a^k$（其中$k$为正整数）。
数列极限的运算性质在数学中的应用
解决极限问题
利用数列极限的运算性质，可以推导和证明一系列数学定理和公式，如泰勒级数、洛必达法则等
无穷小量是指在某个变化过程中，其值无限趋近于0的变量。
性质
无穷小量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷大量的定义与性质
定义
无穷大量是指在某个变化过程中，其值无限增大的变量。
性质
无穷大量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷小量与无穷大量的关系
1 2
无穷量是无穷大量的极限状态

1_2数列的极限课件

N
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
n
的极限为 a , 记作
lim xn a 或 xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . a xn a (n N ) N 定义P14注，P15例2，即 xn ( a , ) 几何解释① ② (n N )
xn a a 1 a
xn a 1, 从而有
取
M max x1 , x2 , , xN , 1 a xn M ( n 1 , 2 , ) .

则有
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
n
发散
xn (1) n1
趋势不定
例1. 已知
证明数列
的极限为1.
证:
n (1) n 1 xn 1 n
问题的关键是找出N,如何找由不等式出发找出N
1 只要 n 即 0 , 欲使 1 因此 , 取 N [ ] , 则当 n N 时, 就有 n n (1) 1 问:用定义能否求出极限? n 答:无法求出,只能验证.

例3. 设 q 1 , 证明等比数列的极限为 0 . 证:
xn 0
欲使只要即
为保证N＞0, 必须取0＜＜1. ＞1不必考虑
ln . 亦即 n 1 ln q ln 因此 , 取 N 1 , 则当 n > N ln q
时, 就有
q n1 0
数列有界性定义: 对于数列x n , 如果存在正数M, 使得一切x n都满足不等式

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即 3 x (8 3 x )的最大值是 4
此时 3x (8 3x )解得 x 4
3
2020/12/6
16
三、提高型题组
1、求 yx 1 (x1)的最小值，并x值求相应 x1
（2）和x+y为定值S时，有 xy x y xy 1 S 2=”号，因此，当x=y时，积xy有最大4
S
2
2020/12/6
8
一、基础型题组
1.已知两个正数x，y， (1)如果积xy是定值p，求x+y的最小值； (2)如果和x+y是定值s，求积xy的最大值.
结论：“和（为）定（值），积（有）最大（值）”； “积（为）定（值），和（有）最小（值）”，注意条件：“一正、二定、三相等”.
ac bd ac bd 0 2
( ab cd )( ac bd ) abcd 4
即（ ab cd ）( ac bd ) 4 abcd
2020/12/6
14
2、已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
证明：∵a，b，c都是正数
ab2 ab0;bc2 bc0;
2020/12/6
9
2、已知xy>0，求
y x
x y
的最小值
解∵x，y同号，∴
x y ＞0，
y ＞0， x
x y 2 x y 2 即 x y 2
y x yx
yx
yx的最小 2(当值且是 x仅 y时当等号 ) xy
2020/12/6
10
3、已知 0求tanco的 t 最小值
2 解：0
人教版高二数学必修第六章第二节
2020/12/6
1
6.2 算术平均数与几何平均数教学目标：学习重要不等式 a2b22ab和均值不等
式 ab ab 的定理及证明，并会应用它 2
们解决最值和简单的不等式证明问题
教学重点：掌握两个重要不等式；应用它们求某些函数的最值
教学难点：能灵活运用利用均值不等式求最值
新疆王新敞
奎屯
ca2 ca0
(ab)(bc)(ca)2 ab2 bc2 ca8ab 即(ab)(bc)(ca)8abc
2020/12/6
15
3、0设 x2,求函 y数 3x(83x)的最大值
并求x相的应值
解 0 ： x2
0 3 x 6， 6 3 x 0
2 8 3x 8
3x (8 3x ) 3x (8 3x ) 4 2
3
x
分析：设水池底面一边的长度为xm，则另一边的长度为 4800 m，又设水池总造价为y元，根据题意，得 3 x
y 150480012(023x23480)0
3
3x
24000072(0x160)0 (x 0) x
2020/12/6
4
学习下列两个不等式：
（ 1 ）a 如 ,b R ,那果 a 2 么 b 2 2 a（ b 当 a b 且时 ” 仅取 .
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元。
2020/12/6
13
二、巩固型题组
1、已a知，b，c，d都是正数，求证（ : abcd） (acbd)4abcd
证明：由 a , b , c , d 都是正数，得
ab cd ab cd 0 2
我们 ab为称 a,b的算术平 a为 ba,均 b的数几，何 . 2
定理叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
所以上述不等式又叫均值不等式
又如 A C 图 a,C， B b ,D Cab
半径a 2是 b,半弦a是 bA
a
D
ab
C bB
E
2020/12/6
6
一、基础型题组
1.已知两个正数x，y， (1)如果积xy是定值p，求x+y的最小值； (2)如果和x+y是定值s，求积xy的最大值.
2
tan 0,cot 0
tan cot 2 tancot 2
tan cot的最小值（ 2是当且仅当时等号成立
4
2020/12/6
11
某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为
4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每 1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
设水池底面一边的长度为xm，(x 0)则另一边的
长度为 4800 m，又设水池总造价为y元，根据题
意，得 3 x
解 :y 24 0 70 (2 x 0 1 00 6 ) 0 20 4 0 70 2 2 0 0 x0 160
x
x
240 702 2 0 0 4 0 0 297600
当x160,即 0x4时 0,y有最小值 x
能力要求：提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力
2020/12/6
2
2020/12/6
3
某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为
4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每 1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
证明：a2b22a b(ab)2
当 ab时 (ab)20,当 ab时 (ab)20,所以
(a b)2 0,
即a2 b2 2ab
（ 2）定理 : 如果 a , b 是正数，
那a 么 ba（ b 当a 且 b时仅取 ” 当 “ 号 2
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（ 2 ）a ,如 b 是果正 a b 数 a （， b 当 a 那 b 时且么 ” 取仅 2
3
x
分析：设水池底面一边的长度为xm，则另一边的长度为 4800 m，又设水池总造价为y元，根据题意，得 3 x
y 150480012(023x23480)0
3
3x
24000072(0x160)0 (x 0)
x
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某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为4800m3, 深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
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1.已知两个正数x，y，
(1)如果积xy是定值p，求x+y的最小值；
(2)如果和x+y是定值s，求积xy的最大值.
解：因为x,y都是正数，所以
xy xy 2
（1）积xy为定值P时，有 x y Pxy2 P
2
上式当 xy时，取“=”号，因此，当x y p
时，和有最小值2 P