哈尔滨工业大学至学数学分析期末考试试题A

哈尔滨工业大学2004至2005学年数学分析期末考试试题A

哈尔滨工业大学2004 -2005 学年秋季学期

工科数学分析期末考试试卷（答案）试题卷（A）考试形式（开、闭卷）：闭

答题时间：150（分钟）本卷面成绩占课程成绩70%

一．选择题（每题2分，共10分）

1．下列叙述中不正确者为（D ）

（A）如果数列收敛，那么数列一定有界。

（B）如果，则一定有。

（C）在点处可导的充要条件是在点处可微。

（D）如果函数在点处导数为，则必在该点处取得极值。2．设在[0，1]上则下列不等式正确者为（ B ）

（A）（B）

（C）（D）

3．若在上可积，则下列叙述中错误者为（D）

（A）连续（B）在

上可积

（C）在上由界（D）在上连续

4．若，则（D）

（A）

（B）

（C）

（D）

5．（D）

（A）（B）

（C）（D）

二．填空题（每题2分，共10分）

1．的间断点为：，其类型为：第一类间断点。2．的全部渐近线方程为：。

3．摆线处的切线方程为：。4．=： 1 。

5．设在上可导，，

则=：

三．计算下列各题：（每小题4分，本题满分20分）

1．若，求

解：2，

则

2．，

解：，

3.

解：

=

=

4．

解：

5. 已知，求

解：

=，

所以。故

四．解答下列各题：（每小题5分，本题满分10

分）

1.已知数列，，

求证：收敛，并且

证明：1)证有界

因为,所以。假设，

则。故有界。

2）证单调

因为，故为单调上升数列。

由1）和2）知道收敛。设，由，所以

有解得。而且为单调递增数列，所以。

故。

2．设，曲线与三条直线所围平面部分绕x轴旋转成的旋转体的体积为取何值时，最大？

解：，

由得，。

当时，

故当时，达到极大值，且为最大值。

五：证明下列各题：（1，2题各4分，3，4题各6分，本题满分20分）

1.证明方程至少有一个不超过的正根。

证明：设，显然它在上连续。

（i）若，则即为满足条件的根。

（ii）若，则

。而，

由零点定理知存在，使得。即为满足条件的根。

2. 设函数且，试证：

证明：由知道，所以。

因为，故由积分中值定理知：，使得

，即。

3. 设在区间上有二阶导数。，证

明：在区间内至少存在一点，使

证明：将在与处展成一阶泰勒公式

(1)

(2)

令，注意到，(1),(2)有

(3)

(4)

(4)- (3) 得：

所以：

取，即有。

4. 设在区间上连续，且

证明：存在一个使得

证明：令，显然在上连续，在内可导，又，即。在由罗尔定理知，存在使得，即

=