哈尔滨工业大学至学数学分析期末考试试题A
学秋季学期工科数学分析答案
哈尔滨工业大学2004 /2005 学年 秋 季学期工科数学分析期末考试试卷 （答案）试卷卷（A ）考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟） 本卷面成绩占课程成绩70%一．选择题（每题2分，共10分）1．下列叙述中不正确者为（D ）（A ）如果数列}{n x 收敛，那么数列}{n x 一定有界。
（B ）如果a unn lim =∞→，则一定有a u n n lim =∞→。
（C ）f(x)在点0x 处可导的充要条件是f(x)在点0x 处可微。
（D ）如果函数 f(x)=y 在点0x 处导数为0，则必在该点处取得极值。
2．设在[0，1]上0)x (f ''>则下列不等式正确者为（ B ）（A ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''->>（B ）)0(f )0(f )1(f )1(f ''>-> （C ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''>>-（D ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''>-> 3．若f(x)在[]b a,上可积，则下列叙述中错误者为（D ） （A ）dt )t (f xa⎰连续（B ）)x (f 在[]b a,上可积（C ）f(x)在[]b a,上由界（D ）f(x)在[]b a,上连续姓名: 班级： 学号：4．若sinF(x)=dy ])tdt sin sin[(xay03⎰⎰，则=)x (F '（D ）（A ）dy ])tdt sin sin[(cos xay 03⎰⎰（B ）cosx x 3sin )tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos 2y3xa y 03⋅⋅⋅⎰⎰⎰（C ）⎰⎰⎰⋅y3xa y 03)x dx sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos（D ）⎰⎰⎰⋅y3xay3)tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos5．=+∞→)x1e (x 1n lim （D ） （A ）e （B ）2e （C ）3e （D ）4e二．填空题（每题2分，共10分） 1．)0x (x11y n n lim ≥+=∞→的间断点为：1x =，其类型为：第一类间断点。
数学分析(A3)期末考试试题解答与评分标准
6
第六题，10 分
试利用 F ourier 积分公式证明： ∫
0 +∞
π sinx sinπusinux 2 du = 0 1 − u2
|x| ≥ π |x| > π
答案： 令 f (x) 表示要证明的等式右边的函数； (uπ ) 利用 F ourier 积分公式，利用奇偶性可得 a(u) = 0，b(u) = sin 1−u2 ，验证傅里叶积分收敛 到自身的条件，即可得到要证的等式。 注记： 积化和差步骤得 2 分，傅里叶级数指明收敛条件得 1 分，如果只指明了奇函数，直接带入就 得到结果的，得 4 分；
（3）判断无穷乘积
(1 +
（4）研究函数项级数
n=1 +∞ ∑
x2 e−nx 在 [0, +∞) 上的一致收敛性。
∫ 1n=1 lnx （5）判断广义积分 0 √1 dx 的收敛性。 −x2 答案： （1）当 0 ≤ x < e 时，级数收敛；当 x ≥ e 时，级数发散； ∫ +∞ lnx （2）利用 Leibniz 判别法，并注意到积分 2 x dx 发散，可知原级数条件收敛； + ∞ ∑ 1 （3）注意到这是正项级数，结合 收敛，可知原级数收敛； n2 n=1 （4）求导可得到该函数项级数的一个优级数
1 n2 ，结合
+∞ ∑ 1 收敛，利用 W eierstrass 判别 2 n n=1
法可知，原函数项级数一致收敛； ∫1 1 （5）利用 L′ hospital 法则说明 1 不是被积函数的瑕点，在 0 处证明被积函数和 0 √ dx 同 x 敛散即可；或者利用换元，x = sint，原积分可以显式算出，其值为 − π ln 2 ； 2 注记： （1）利用 Cauthy /D′ Alembert 等判别法或 Stirling 公式/Hardamard 收敛半径公式/等均可， 若半径错误，得零分；未讨论断点值，扣 1 分；未讨论大于等于 e，扣 1 分； （2）答案是绝对收敛的，得零分；使用 Leibniz 判别法时，两个条件未指明，各扣一分；结 论正确但是证明错误，得两分；不证明绝对值对应的级数发散，扣 3 分； （3）答案是发散，得零分；只指明通项趋向于零的，得两分； （4）利用优级数，并且求导说明了找到的级数确实是优级数的得满分；只指明结论的，得三 分；未说明级数收敛，仅说明通项一致趋向于零的，零分；直接求和并放缩的，结论正确满分， 有过程错误，扣三分； （5）答案是发散的，得零分；仅答案正确，两分；分别考虑 0 和 1 出两个点，满分；
哈工大离散数学期末
《集合论与图论》计算机学院03年秋季（本试题满分90分）一、（10分，每小题1分）计算：1．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =。
计算从X 到Y 的映射的个数。
（答案： ）2．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =。
若m ≤n，计算从X 到Y 的单射的个数。
（答案： ）3.设X 为集合且X n =。
计算X 到X 的双射的个数。
（答案： ）4.设X 为集合且X n =。
计算X 上有多少个不同的自反的二元关系。
（答案： ）5.设X 为集合且X n =。
计算X 上有多少个二元运算。
（答案： ）6.设V＝{}12,p u u u L 。
计算以V 为顶点集无向图的个数。
（答案： ） 7.设V＝{}12,p u u u L 。
计算以V 为顶点集的有向图的个数。
（答案： ）8.设V＝{}12,p u u u L 。
计算以V 为顶点集的比赛图的个数。
（答案： ）9.（P，P）连通图中有多少个圈？（答案： ）10. n 个叶子的正则二元树中有多少条有向弧？（答案： ）二、（10分，每小题1分）以下每小题中给出了四个答案，其中仅有一个是正确的。
请找出正确的答案并将其号码添在括号中。
11. Km,n 是哈密顿图当且仅当。
（ ）（a）m≤n （b）m≥n （c）m＝n（d）（m<n 或m>n） 12. 下面哪个条件是Km,n 有哈密顿路的充要条件？（ ）（a）m<n （b）m>n （c）m＝n（d）m＝n 或m＝n+1 13. 设r≥2，G 是r-正则图且1)(=G χ，则（ ）14. 把平面分为α个区域，使任两个区域相邻，则α的最大值为（ ） （a）x(G)＝r （b）x(G)<r （c）x（G）≤〔2r 〕 （d）x(G)＝〔2r 〕 （a）5 （b）3 （c）2 （d）415. 4个顶点的二元树（顶点无标号）共有（ ）（a）3个 （b）4 （c）7 （d）816. 设f：,X Y A X →⊆，则（ ）（a）1(())f f A A −⊆ （c）-1f A A f ⊇))((（b）1(())f f A A −= （d）（a）或（b）17. :,f X Y B Y →⊆，则（ ）（a）1(())f fB B −⊇ （c）1(())f f B B −⊆ （b）1(())f f B B −= （d）（b）或（c）18.设,R X X X ⊆×为集合。
哈工大大一工科数学分析期末考试知识点总结-刘星斯维提整理0001
平面上曲线积分与路径无关的条件:1、G 是一个单连通区域；QP2、P(x, y), Q(x, y)在G 内具有一阶连续偏导数，且一=一。
注意奇点，女口 (0,0),应x y减去对此奇点的积分，注意方向相反！ 二元函数的全微分求积：Q P在一=一时，Pdx Qdy 才是二元函数u(x, y)的全微分，其中:x y(x,y)u(x, y) P(x,y)dx Q(x,y)dy,通常设怡 y ° 0。
(x 0' y 0 )1102002班工科数学分析(知识点整理人：刘星斯维提(1)：曲线积分: 第一类曲线积分(对弧 长的曲线积分)：x 设f(x, y)在L 上连续，L 的参数方程为：y(t) (t)'2 2 2f(x, y)ds f[ (t), (t)] ..(t) (t)dtL特殊情况:x t y (t)第二类曲线积分(对坐 x 设L 的参数方程为y标的曲线积分)：7)，则： P(x, y)dx Q(x,y)dyL两类曲线积分之间的关 {P[⑴, (t)] ⑴Q ［⑴, (t)] 系：PdxLL 上积分起止点处切向量 的方向角。
Q P格林公式：()dxdy - Pdx xy L 即:卫—2时，x yQdy(Pcos QcosL)ds 其中和分别为当 P y,Qx .Qdy 格林公式：(-QD x得到D 的面积：A —)dxdyyPdx QdyL1dxdy xdy ydx2 LR) dzdx (上x x P) dxdy Pdx Qdy Rdz y上式左端又可写成：空间曲线积分与路径无dydzxPdzdxydxdy cos cos cosx y zP Q R旋度: rot A 关的条件:R Q P R Qy z z x x(2) :曲面积分:对面积的曲面积分：f(x, y,z)ds f [x,y,z(x, y)]£1 z j(x,y) z：(x, y)dxdy 以y对坐标的曲面积分：P(x, y, z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy 其中：R(x,y,z)dxdy R[x,y, z(x, y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号；D xyP(x,y,z)dydz P[x(y, z), y,z]dydz取曲面的前侧时取正号；D yzQ(x,y,z)dzdx Q[x, y(z,x),z]dzdx取曲面的右侧时取正号。
黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学学年度高二数学下学期期末考试试题文
文数试卷第!异常的公式结尾页，总 5 页
2
检测，先将 50 个零件进行编号为 01，02，03，…，50，从中抽取 10 个样本，以下图提
供随机数表的第 2 行到第 4 行，假设从表中第 3 行第 4 列开始向右读取数据，那么得到
的第 5 个样本编号是__________．
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
，x∈N}，那么 ＝〔 〕
A．{1，2}
B．{1，3，4，7}
2．假设 p 是真命题， 是假命题，那么〔
C．{1，4，7} 〕
D．{3，4，5，6，7}
A．
是真命题
B．
是假命题
C． 是真命题
D． 是真命题
3．以下命题为真命题的是〔 〕
A．命题“假设 ，那么 x | y | 〞的逆命题
B．命题“假设 ，那么 〞的否命题
，
，在定义域内任取一点 ，使
的概率是
_____________．
15．幂函数 f (x) x 过点 ，那么
_____．
16．设函数
，那么使得
成立的 的取值范围______________
三、解答题：〔本大题共 6 小题，共 70 分。〕
17．〔此题
10
分〕在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
B．y=x2 与 y=t2 C．y= 与 y=
D．y=
· 与 y=
9．定义域为 的函数 满足
，当
时，
，那么
A．8 10． A．
〔〕 B．6
是定义在 B．1
哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题和答案说课材料
哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题和答案高等数学期末考试试题（4）一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a r 、b r满足0a b +=r r r ，2a =r ，2b =r ，则a b ⋅=r r．2、设ln()z x xy =，则32zx y ∂=∂∂．3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于 ．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、 求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、 求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、 判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．5、计算曲面积分,dSz∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、（本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z = 30()lim t F t t+→．2012高等数学期末考试试题【A 卷】参考解答与评分标准 2009年6月一、填空题【每小题4分，共20分】 1、4-； 2、21y-；3、2414x y z ++=； 4、3，0； 5、二、试解下列各题【每小题7分，共35分】1、解：方程两边对x 求导，得323dydz y z x dx dx dy dz y z xdxdx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 从而54dy x dx y =-，74dz x dx z = (4)该曲线在()1,1,2-处的切向量为571(1,,)(8,10,7).488T ==u r (5)故所求的切线方程为1128107x y z -+-==....................【6】 法平面方程为 ()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++=.. (7)２、解：2222226z x y z x y⎧=+⇒⎨=--⎩222x y +=，该立体Ω在xOy 面上的投影区域为22:2xy D x y +≤． (2)故所求的体积为V dv Ω=⎰⎰⎰222620202(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=⎰⎰ (7)３、解：由11lim lim ln(1)lim ln(1)10nn n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>，知级数1n n u ∞=∑发散…………………【3】又111||ln(1)ln(1)||1n n u u n n +=+>+=+,1lim ||lim ln(1)0n n n u n→∞→∞=+=.故所给级数收敛且条件收敛．【7】 ４、解：121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂， …………………………………【3】 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y ∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111222231.x f xyf f f y y''''''=+--【7】５、解：∑的方程为z =∑在xOy 面上的投影区域为2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-．=…..………【３】故22222200xy D dS adxdy d a d z a x y a πρρθρ∑==---⎰⎰⎰⎰⎰22012ln()2ln 2aa a a hπρπ⎡=--=⎢⎥⎣⎦..【7】三、【9分】解：设(,,)M x y z 为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为d =【1】令22222(,,)()(1)L x y z x y z z x y x y z λμ=+++--+++-，则由22220220201x y z L x x L y y L z z x yx y z λμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=+⎪++=⎪⎩，解得12x y -==，2z =121111(,2(2222M M -+-+--- (7)又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．故max 2min 1||||d OM d OM ==== (9)四、【10分】 解：记L 与直线段OA 所围成的闭区域为D ，则由格林公式，得22(sin )(cos )8x x DL OAI e y m dx e y mx dy m d ma πσ+=-+-=-=-⎰⎰⎰Ñ． (5)而10(sin )(cos )ax xOAI e y m dx e y mx dy m dx ma =-+-=-=-⎰⎰ (8)∴221(sin )(cos ).8x x Le y m dx e y mx dy I I ma ma π-+-=-=-⎰ ………………………【10】五、【10分】解：()1131limlim 3133n n n n n na n R a n ρ++→∞→∞===⇒=+，收敛区间为 (3,3)- (2)又当3x =时，级数成为11n n∞=∑，发散；当3x =-时，级数成为()11nn n ∞=-∑，收敛．......【4】 故该幂级数的收敛域为[)3,3- (5)令()13nn n x s x n ∞==∑（33x -≤<），则11111111()()33331/33n n n n n x x s x x x -∞∞-=='====--∑∑, (||3x <) ……【8】 于是()()000()()ln 3ln 3ln 33xxx dxs x s x dx x x x '===--=---⎰⎰，（33x -≤<） (10)六、【10分】解：取1∑为220(1)z x y =+≤的下侧，记∑与1∑所围成的空间闭区域为Ω，则由高斯公式，有()()133222222316I x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω=++-=++⎰⎰⎰⎰⎰Ò (5)()2211262d d z dz πρθρρρπ-=+=⎰⎰⎰ (7)而()()221133221122313133x y I x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π∑∑+≤=++-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰….…【9】2123.I I I πππ∴=-=-=- (10)七、【6分】解：()()22240sin cos tF t d d r f r r dr ππθϕϕϕ⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰⎰….… 【2】 ()3224400002sin cos sin t t d r dr d f r r dr πππϕϕϕϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(()422028tt r f r dr π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰….… 【4】 故()(3222320002()222lim lim lim ().333t t t t t f t F t f t a t t π+++→→→⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦=== 【6】。
2004-2005学年秋季学期工科数学分析答案
2004-2005学年秋季学期工科数学分析答案哈尔滨工业大学2004 /2005 学年 秋 季学期工科数学分析期末考试试卷 （答案） 试题卷（A ） 考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟） 本卷面成绩占课程成绩70%题号一 二 三 四 五 六 七 八 卷 面 总 分平时 成 绩 课程 总 成绩分数一．选择题（每题2分，共10分）1．下列叙述中不正确者为（D ） （A ）如果数列}{nx 收敛，那么数列}{nx 一得分姓名: 级：4．若sin F(x)=dy ])tdt sin sin[(xa y3⎰⎰，则=)x (F '（D ）（A ）dy ])tdt sin sin[(cos xay3⎰⎰（B ）cosxx 3sin)tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos 2y3xay3⋅⋅⋅⎰⎰⎰（C ）⎰⎰⎰⋅y3xay3)x dx sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos（D ）⎰⎰⎰⋅y3xay3)tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos5．=+∞→)x1e(x1n lim （D ）（A ）e （B ）2e （C ）3e （D ）4e二．填空题（每题2分，共10分）1．)0x (x11y nn lim ≥+=∞→的间断点为：1x =，其类型为：第一类间断点。
得分遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范2．23x )(1x y +=的全部渐近线方程为：2-x y 1,x =-=。
3．摆线2t )cost 1(a y )sint t (a x π=⎩⎨⎧-=-=在处的切线方程为：0a )4(21y x =-+-π。
4．2n 1n )!n (lim ∞→=： 1 。
5．设f(x)在[)+∞,1上可导，23e )1e(f , 0f(1)2x x'+=+=，则=：23-+-三．计算下列各题：（每小题4分，本题满分20分）1．若xy 2e x y = ，求?yx'=解：2xylnx lny =+， 2x 'x 'x y x y y y 2-=⋅则)2x y (x )y x (y y x'-+=2．⎪⎩⎪⎨⎧-==)sint t y 2t cosx ，?yxx''=求 解：2t 4sin2t sin 21cost 1x y y t 't 'x '-=--==，2t4cos2t sin 2112t 2cos yxx''=-⋅-=得分3. ⎰+dx 1x x arctan 解：⎰⎰=⎰⋅⋅=⋅⋅+==sectdt ant t 2tdt sec 2tant sectt dx1x x arctan 2t tan x ttan x 2=c tant sect 2ln -sect 2t sectdt 2-2tsect tdsect 2++⋅==⎰⎰=c )x 1x (2ln 1x x 2arctan +++-+⋅ 4．dx e y x 11x⎰--解： dx y)e -(x dx x)e -(y dx e y x 1yxy1x11x⎰⎰⎰+=--- x1yxy1de y)-(x de x)-(y ⎰⎰+=-dxe y)e -(x dx e x)e -(y 1yx 1x y 1-x 1x⎰⎰-++=-yyyee y y )1(e 2]e y)e -(x []e x)e -(y [y 1x x 1x x +-=-++=-5. 已知dt te c x c x c t ⎰∞-∞→=-+2xx )(lim ，求?=c解：t c c t c de t dt te e xc x cc x c x 222x x x x 21)11()(lim lim ⎰⎰∞-∞-∞→∞→==-+=-+=2c2t 2t e )412c (e [te 21-=-⎰∞-∞-c cdt ，所以2c2ce )412(e-=c 。
黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2021-2022学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
哈工大附中2021~2022学年度第一学期期末考试试题高二理科数学一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知复数，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，再由共轭复数的定义即可得，进而可得虚部.【详解】，所以，的虚部为，故选：C.2. 已知直线和直线互相平行，则等于（ ）A. 2 B. C. D. 0【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得，即可求出.【详解】显然时，两直线不平行，不符合，则，解得.经检验满足题意故选：C.3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列命题正确的是（ ）① 若 ，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则13i1iz +=-z 122-1-z z ()()()()13i 1i 13i 24i12i 1i 1i 1i 2z +++-+====-+--+12i z =--z 2-10x ay +-=410ax y ++=a 2-2±1141a a -=≠0a =1141a a -=≠2a =±,m n ,αβ,m n αβ⊂⊂//,//m n βα//αβm β⊥αβ⊥//αβ//,//m n βααβ⊥,m n βα⊥⊥A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C 【解析】【分析】① 面面平行需要满足面内两条相交直线分别平行另外一个平面;②面内的一条直线垂直另外一个平面，则线面垂直;③面面平行，面内的直线平行另外一个平面； ④面面垂直面内的直线垂直于两个平面的交线，则线面垂直.【详解】① 面面平行需要满足面内两条相交直线分别平行另外一个平面, 不在同一平内，有可能平行，所以不正确;②面内的一条直线垂直另外一个平面，则线面垂直，所以命题正确;③面面平行，面内的直线平行另外一个平面，所以命题正确； ④面面垂直面内的直线垂直于两个平面的交线，则线面垂直，没出与交线垂直，所以命题不正确.故选：C.4. 已知双曲线：（的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据双曲线的离心率得到，然后由，得，即为所求的渐近线方程，进而可得结果．【详解】∵双曲线的离心率，∴．又由，得，即双曲线（）的渐近线方程为，∴双曲线的渐近线方程为．故选：A,m n C 22221x y a b-=0,0a b >>C 2y x =±y =12y x =±y x=±2b a =22220x y a b-=b y x a =±c e a ===2ba=22220x y a b-=b y x a =±22221x y a b-=0,0a b >>b y x a =±2y x =±5. 已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（ ）A.B.C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据导数的几何意义，求出切线方程，求出切线和横截距a 和纵截距b，面积为．【详解】由题意可得，所以，则所求切线方程为．令，得；令，得．故所求三角形的面积为．故选：B6. 若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ）A. B. 椭圆的焦距为C. 若椭圆的焦点在轴上，则 D. 若椭圆的焦点在轴上，则【答案】C 【解析】【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答.【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A 错误；2()e (1)x f x x =++()y f x =(0,(0))f 12231212ab ()()()02e 21xf f x x '＝，＝＋＋()03f '＝32y x ＝＋0x ＝2y ＝0y ＝23x -＝1222233⨯⨯＝22191x y k k +=--C ()1,9k ∈C C x ()1,5k ∈C x ()5,9k ∈90k ->10k ->91k k -≠-()()1,55,9k ∈焦点在轴上时，，解得，D 错误，C 正确；焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误. 故选：C7. 已知抛物线的焦点为F ，准线为，过点F与抛物线C 交于点M （M 在x 轴的上方），过M 作于点N ，连接交抛物线C于点Q ，则（ ）A.B.C. 3D. 2【答案】D 【解析】【分析】设出直线，与抛物线联立，可求出点坐标，在利用抛物线的定义可得，再利用抛物线的对称性求出，则可求.【详解】如图：相关交点如图所示，由抛物线，得 ，则，与抛物线联立得，即，解得x 910k k ->->()1,5k ∈x ()291102c k k k =---=-y ()219210c k k k =---=-2:2(0)C y px p =>l l 'MN l ⊥NF ||||=NQ QF MF M 2M pMN NF MF x ∴===+FQ ||||NQ QF 2:2(0)C y px p =>(,0)2pF :)2p MF y x =-22y px =22122030x px p -+=()()6230x p x p --=3,26M A p p x x ==,60MN l MFx ︒⊥∠=， 又则为等边三角形，，由抛物线的对称性可得，故选：D.8. 若点P 是曲线上任意一点，则点P 到直线的最小距离为（ ）A. 0B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切线坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离．【详解】点是曲线上的任意一点，设，令，解得1或（舍去），，∴曲线上与直线平行的切线的切点为，点到直线的最小距离故选：D.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的（ ）60NMF ︒=∴∠MN MF=NMF V 22M pMN NF MF x p ∴===+=60OFA NFO ︒=∠=∠ 6Q A p x x ==24,,6233p p p p QF NQ NF QF ∴=+=∴=-=||2||NQ QF ∴=2ln y x x =-1y x =-121y x =- P 2ln y x x =-()1,,2(0)P x y y x x x∴=->'121y x x'=-=x =12x =-1x ∴=1y x =-()1,1P P 1y x =-min d ()y f x =A. 为函数的单调递增区间B. 为函数的单调递减区间C. 函数在处取得极小值D. 函数在处取得极大值【答案】ABC 【解析】【分析】利用导数和函数的单调性之间的关系，以及函数在某点取得极值的条件，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数的导函数的图象可知：当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以函数f （x ）单调递减区间为：，，递增区间为，，且函数在和取得极小值，在取得极大值.故选：ABC.10. 已知曲线：，则（ ）A. 时，则的焦点是，B. 当时，则的渐近线方程为C. 当表示双曲线时，则的取值范围为D. 存在，使表示圆()1,3-()y f x =()3,5()y f x =()y f x =5x =()y f x =0x =()y f x =1x <-()0f x '<()f x 13x -<<()0f x '>()f x 35x <<()0f x '<()f x 5x >()0f x '>()f x (),1-∞-(3,5)(1,3)-(5,)+∞()f x 1x =-5x =3x =C 22142x y m m+=-+2m =C (1F (20,F 6m =C 2y x =±C m 2m <-m C【答案】ABD 【解析】【分析】AB 选项，代入的值，分别得出是什么类型的曲线，进而作出判断；C 选项，要想使曲线表示双曲线要满足；D 选项，求出曲线表示圆时m 的值.【详解】当时，曲线：，是焦点在y 轴上的椭圆，且，所以交点坐标为，，A 正确；当时，曲线：，是焦点在在y 轴上的双曲线，则的渐近线为，B 正确；当表示双曲线时，要满足：，解得：或，C 错误；当，即时，，表示圆，D 正确故选：ABD11. 已知圆和圆相交于､两点，下列说法正确的为（ ）A. 两圆有两条公切线 B. 直线的方程为C. 线段的长为D. 圆上点，圆上点，的最大值为【答案】ABD 【解析】【分析】由给定条件判断圆O 与圆M 的位置关系，再逐项分析、推理、计算即可作答.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，，，于是得圆O 与圆M 相交，圆O 与圆M 有两条公切线，A 正确；由得：，则直线的方程为，B 正确；圆心O 到直线：的距离，则，C 不正确；m C ()()420m m -+<C 2m =C 22124x y +=2422c =-=(1F(20,F6m =C 22182-=y x C2yx =±C ()()420m m-+<4m>2m <-42m m -=+1m =223x y +=22:4O x y +=22:4240M x y x y +-+=+A B AB 24y x =+AB 65O E M F EF 3+22:4O x y +=(0,0)O 12r =22:(2)(1)1M x y ++-=(2,1)M -21r =||OM ==1212||r r OM r r -<<+222244240x y x y x y ⎧+=⎨++-+=⎩4280x y -+=AB 24y x =+AB 240x y -+=d ==||AB ===，当且仅当点E ，O ，M ，F 四点共线时取“=”，如图，因此，当点E ，F 分别是直线OM 与圆O 交点，与圆M 交点时，，D 正确.故选：ABD12. 已知椭圆：上有一点，､分别为左､右焦点，，的面积为，则下列选项正确的是（ ）A. 若，则；B. 若，则满足题意的点有四个；C. 椭圆内接矩形周长的最大值为20；D. 若为钝角三角形，则；【答案】BCD 【解析】【分析】由题可得，，结合选项利用面积公式可得可判断ABD ，设椭圆内接矩形的一个顶点为，利用辅助角公式可得周长的范围可判断C.【详解】∵椭圆：，∴，∴，设，则，，若，则，所以不存在，故A错误；12||||||||||||||3EF EO OF EO OM MF r OM r ≤+≤++=++=+E 'F 'max ||3EF =C 221169x y +=P 1F 2F 12F PF θ∠=12PF F △S S 9=90θ=︒3S =P C 12PF F △S ⎛∈ ⎝4,3a b ==c =11(,)P x y 1y C (4cos ,3sin )(02πααα<<C 221169x y +=4,3a b ==c =12128,PF PF F F +==11(,)P x y 12112S F F y =⋅⋅13y ≤S 9=13y =>12PF F △若，则，可得，故满足题意的点有四个，故B正确；设椭圆内接矩形的一个顶点为，则椭圆内接矩形周长为其中，由得，∴椭圆内接矩形周长的范围为，即，故C 正确；由上知不可能为钝角，由对称性不妨设是钝角，先考虑临界情况，当为直角时，易得，此时当为钝角三角形时，，所以，故D 正确.故选：BCD三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 椭圆：的离心率为_____﹒【解析】【分析】根据椭圆的几何性质求解即可﹒【详解】∵椭圆为，∴，∴﹒﹒14. 已知两点和则以为直径的圆的标准方程是__________.3S =11y y ==1x =P C (4cos ,3sin )(0)2πααα<<C 4(4cos 3sin )20sin(),αααϕ+=+43sin ,cos 55ϕϕ==02πα<<(,)2παϕϕϕ+∈+C (20sin(),20sin ]22ππϕ+(12,20]θ12PF F ∠12PF F ∠194y =12112S F F y =⋅⋅=12PF F △194y <S ⎛∈ ⎝C 22132y x +=22132y x +=1a c ===c e a ==()4,9A ()6,3B AB【答案】【解析】【分析】根据的中点是圆心，是半径，即可写出圆的标准方程.【详解】因为和，故可得中点为，又，则所求圆的标准方程是：.故答案为：.15. 已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若点满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的解析式，得出焦点坐标，且由题意可知，进而根据向量的坐标运算求出，再根据向量的数量积求得，从而可求出的取值范围.【详解】解：由题可知，抛物线的焦点坐标，且，由于是抛物线上一点，则，，，，且，解得：，所以的取值范围是.故答案为：.()()225610x x -+-=AB 2AB ()4,9A ()6,3B AB ()5,6AB ==()()225610x x -+-=()()225610x x -+-=()00,M x y 24y x =F ()1,0P -0MF MP ⋅< 0x )2⎡-⎣()1,0F ()200040y x x =≥()()00001,,1,MF x y MP x y →→=--=---200410MF MP x x →→⋅=+-<0x 24y x =()1,0F()1,0P -()00,M x y 24y x =()200040y xx =≥()()00001,,1,MF x y MP x y →→∴=--=---()()2222000000011141MF MP x x y x y x x →→∴⋅=---+=+-=+-0MF MP →→⋅< 200410x x ∴+-<00x ≥002x ≤<-0x )2⎡-⎣)2⎡-⎣16. 已知函数，若，且恒成立，则实数a 的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】由题意得到，由，得到，所以，构造函数，利用导数求出的最小值即可.【详解】由题可知当时，函数单调递增，，当时，，设，则必有，所以，所以，所以，设，则，则时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，所以的最小值为.所以恒成立，即，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数解决双变量问题，将一个变量由另一个变量表示，构造新的函数即可求解，注意变量的范围，考查学生分析转化能力，属于中档题.四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤）17. 在中，角所对的边分别为.（1）求角；（2）若，的面积为，求.1ln ,1(){11,122x x f x x x +≥=+<12x x ≠()()12122,2f x f x x x a +=+-≥12ln 2a ≤-121x x <<12()()2f x f x +=1212ln x x =-122212ln x x x x +=-+()12ln (1)g x x x x =-+>()g x 1≥x ()f x min ()(1)1f x f ==1x <()1f x <12x x <121x x <<1212121113()1(ln ln 2222)2f x f x x x x x +=+++=++=1212ln x x =-122212ln x x x x +=-+()12ln (1)g x x x x =-+>22()1x g x x x+'-=-=12x <<()0g x '<()g x 2x >()0g x '>()g x min ()(2)g x g ==12ln2232ln2-+=-12x x +32ln2-122x x a +-≥122a x x ≤+-12ln 2a ≤-12ln 2a ≤-ABC V ,,A B C ,,abc cos sin C c B =C 2b =ABC V c【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1），进而得在求解即可得答案；（2）由面积公式得，进而根据题意得，，再根据余弦定理求解即可.【小问1详解】，，因为，，即因为，所以.小问2详解】解：因为的面积为，，所以，即，因为，所以，所以，解得.所以.18. 1.已知圆：，其中．（1）如果圆与圆外切，求的值；（2）如果直线与圆相交所得的弦长为的值．【答案】（1）20 （2）8【解析】【分析】（1）两圆外切，则两圆的圆心距等于两圆半径之和，列出方程，进行求解；（2）先用点到直线距离公式，求出圆的圆心到直线的距离，再用垂径定理列出方程，求出的值.【3C π=c =cos sin sin B C C B =tan C =8ab =2b =4a =cos sin C c B =cos sin sin B C C B =()0,,sin 0B B π∈≠sin C C =tan C =()0,C π∈3C π=ABC V 3C π=1sin 2S ab C ===8ab =2b =4a =2222201cos 2162a b c c C ab +--===c =c =C 22(3)(4)36x y m -+-=-m ∈R C 221x y +=m 30x y +-=C m C 30x y +-=m【小问1详解】圆的圆心为，若圆与圆外切，故两圆的圆心距等于两圆半径之和，【小问2详解】圆的圆心到直线的距离为，由垂径定理得：，解得：19. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）（2）采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率．【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由频率之和为1求参数a ，再根据直方图求均值.C ()3,4C 221x y +=1=+20m =C 30x y +-=d 222d =-8m =x [)50,60[)60,70[)80,90[)80,9074710（2）由分层抽样的比例可得抽取的5人中，和分别为：1人，2人，2人，再应用列举法求古典概型的概率即可.【小问1详解】根据频率分布直方图得：∴，根据频率分布直方图得：，【小问2详解】由，和的频率之比为：1∶2∶2，故抽取的5人中，和分别为：1人，2人，2人，记的1人为，的2人为，，的2人为，故随机抽取2人共有，，，，，，，，，10种，其中至少有1人每天阅读时间位于的包含7种，故概率．20. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析[)50,60[)60,70[)80,90()0.0050.0120.045101a +++⨯=0.02a =()550.01650.02750.045850.02950.00510x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯74=[)50,60[)60,70[)80,90[)50,60[)60,70[)80,90[)50,60a [)60,70b c [)80,90A B(),a b (),a c (),a A (),a B (),b c (),b A (),b B (),c A (),c B (),A B [)80,90710P =P ABCD -ABCD PA ⊥,60ABCD ABC ∠= E BC F PC AEF ⊥PAD 2PA AB ==AEF CEF（2）【解析】【分析】（1）通过证明和得平面，再利用面面垂直判定定理求解；（2）建立空间直角坐标系求两个平面的法向量代入二面角公式求解.【小问1详解】因为底面是菱形，，所以△为等边三角形，所以平分，所以，所以，又因为平面，所以，且，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】据题意，建立空间直角坐标系如图所示：因为，所以，设平面一个法向量为，平面一个法向量为，因为，则，即，取，则，，所以，又因为，则，即，取，则，所以，所以AE AD ⊥PA AE ⊥AE ⊥PAD ABCD 60ABC ∠=︒ABC AE BAC ∠()6018060902EAD ︒∠=︒-︒-=︒AE AD ⊥PA ⊥ABCD PA AE ⊥PA AD A ⋂=AE ⊥PAD AE ⊂AEF AEF ⊥PAD 2PA AB ==())())0,0,0,,0,0,2,,A EP C1,12⎫⎪⎪⎭F AEF ()1111,,n x y z = EFC ()2222,,n x y z =)1,,12AE AF ⎫==⎪⎪⎭，01100AE n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1111020y z =++=12y =10x =11z =-()10,2,1n =-()10,1,,,12EC EF ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭0 2200EC n EF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22220102y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩22x =220,y z ==(2n =u u r121212cos ,n n n n n n ⋅<>===⋅由图形知，二面角为钝角，故二面角夹角的余弦值为21. 已知椭圆的中心是坐标原点，左右焦点分别为，设是椭圆上一点，满足轴，，椭圆（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆左焦点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，求内切圆半径的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用是椭圆上一点，满足轴，．列出方程组，求出，即可得到椭圆方程．（2）由（1）可知，设直线为，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可得到，从而得到，再根据，即可得到，再利用基本不等式求出最值即可；【小问1详解】()2222:10x y C a b a b+=>>O 12,F F P C 2PF x ⊥212PF =C C C 1F x l ,A B 2ABF V 2214x y +=12P C 2PF x ⊥21||2PF =a b 28ABF C =V l x my =-()11,A x y ()22,B x y 12y y -2121212ABF S F F y y =⋅-V 2182ABF S R =⨯⨯V R =解：由题意是椭圆上一点，满足轴，所以，解得所以．【小问2详解】解：由（1）可知，，设直线为，消去得，设，，则，所以所以，令内切圆的半径为，则，即，令，则，当且仅当，，即时等号成立，所以当时，取得最大值；22. 已知函数，.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当函数有两个极值点，，且.证明：P C 2PF x ⊥21||2PF =222212c a b a c a b⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩2214x y +=()1F 222112248ABF C AB AF BF AF BF AF BF a =++=+++==V l x my =-2214x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩x ()22410m y +--=()11,A x y ()22,B x y 12y y +=12214y y m -=+12y y -===2121212ABFS F F y y =⋅-=V R 2182ABF S R =⨯⨯V R =t =12R ==≤=3t t =t =m =m =R 12()21ln 2f x x ax x =-+-a R ∈1a =()f x 1x =()f x ()f x 1x 2x 12x x <()()124213ln 2f x f x -≤+【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；（2）根据一元二次方程根判别式，结合导数的性质进行分类讨论求解即可；（3）根据极值定义，给合（2）的结论，构造新函数，再利用导数的性质， 新函数的单调性进行证明即可.【小问1详解】当时，.∴.，..∴在处的切线方程.小问2详解】的定义域.；①当时，即，，此时在单调递减；②当时，即或，（i ）当时，∴在，单调递减，在单调递增.（ii ）当时，的的【2230x y +-=1a =()21ln 2f x x x x =-+-()11f x x x'=-+-()'11f =-()111221f =-+=()()11122302y x x y -=--⇒+-=()f x 1x =2230x y +-=()f x ()0,∞+()211x ax f x x a x x-+'=-+-=-240a -≤22a -≤≤()0f x '≤()f x ()0,∞+240a ->2a >2a <-2a >()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭()f x 2a <-∴单调递减；综上所述，当时，在单调递减；当时，在，单调递减，在单调递增.【小问3详解】由（2）知，当时，有两个极值点，，且满足：，由题意知，.∴令.则.在单调递增，在单调递减.∴.即.在()f x ()0,∞+2a ≤()f x ()0,∞+2a >()fx ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭()fx 2a >()f x 1x 2x 12121x x ax x +=⎧⎨⋅=⎩1201x x <<<()()221211122211424ln 2ln 22f x f x x ax x x ax x ⎛⎫⎛⎫-=-+---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111222244ln 22ln x ax x x ax x =-+-+-+()()221112122122244ln 22ln x x x x x x x x x x =-++-+-++2222226ln 2x x x =-++()()2226ln 21g x x x x x=-++>()3462g x x x x'=--+=()g x ()+∞()2max 213ln 2g x g==-++=+()()124213ln 2f x f x -≤+。
哈工大研究生数值分析试题与答案
哈⼯⼤研究⽣数值分析试题与答案---WORD 格式--可编辑--1. 3,2x =-分别是⽅程328120x x x --+= 的根；讨论⽤Newton 迭代法求它们近似值的收敛阶。
取初值02x =-计算根3x =-的近似值，要求迭代3次。
（结果保留4位⼩数）解：设 32()812f x x x x =--+2()328f x x x '=--()62f x x ''=-(3)0,(3)0f f '-=-≠，(2)0,(2)0,(2)100f f f '''===≠则：3-是()0f x =的单根，故Newton 迭代在3-附近是平⽅收敛； 2是()0f x =的⼆重根，故Newton 迭代在2附近是线性收敛；取02x =-，Newton 迭代： 3212()812()328n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +--+=-=-'-- 223634n n n x x x ++=+ 2001023634x x x x ++==+ 2112123634x x x x ++==+ 2223223634x x x x ++==+2. 设常数0a ≠ ，求出a 的取值范围使得解⽅程组112233212313a x b a x b a x b --?????? ??? ?-= ??? ? ??? ????的Jacobi 迭代法收敛。
解： Jacobi 迭代：(1)()k k J x B x g +=+ 10210211203203130130J a B a a a -----?????? ? ? ?=--=-- ? ? ? ? ? ???????112a b g a b -???? ? ?= ? ? ? ?a谱半径：()1JBaρ=<时Jacobi迭代收敛故：a>3. 设（1）⽤Crout三⾓分解法求解⽅程组1232325xx?=??；（2）⽤乘幂法求⽅程组系数阵的按摸最⼤的特征值和对应的特征向量。
哈尔滨工业大学代数与几何期末考试试题
哈尔滨工业大学2007级代数与几何期末考试试题哈尔滨工业大学2007级《代数与几何》期末试题（此卷满分50分）注：本试卷中=小、』、」分别表示」的秩，」的转置矩阵、」的伴随矩 阵；匸表示单位矩阵.、填空题（每小题2分，共10 分） _____1 •若矩阵」满足』1° ,则」的特征值只能是2 2 2________ 2 •在空间直角坐标系中方程''''_■- 的图形是_____ 4.若矩阵 心& 沙满足AH , F 是行满秩阵，贝U 」5.空间直角坐标系中曲线LJ = 0绕2轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方 程为、选择题（每小题2分，共10分）1 .设」是再勢矩阵，贝昉程组 J'：二$有唯一解的充要条件是 【】（A ）二』“； （B ）二卫（C ）附）皿必；（D ）R （A ） = R （a 宀2 .设有'维列向量组（I ）也 匕,,，.厲；可由向量组（…线性表 示，则（A ）若（I ）线性无关，贝U （ II ）线性无关; 9）若（I ）线性相关，贝U （ II ）线性相关;向量组卩2113的秩为（0若（I ）线性无关，则一 _「； （ D ）若（II ）线性无关，贝U - _：.3 •设】：，则必有 【】（A ）』是正交阵； （B ）」是正定阵； （C ）」是对称阵； （D ）二」匚W 上"丨 4 •实二次型'正定的充要条件是【】 （A ） i!匸]； （B ） 一-： -’ 1 ； （C ） i! ■； [ ；（ D ） J 一 J .5 •设」,B 都是' 阶实对称矩阵，则下列结论正确的是 【】（A ）若A 与B 等价，贝U A 与B 相似；（B ）若A 与B 相似，则A 与B 合 同； （C ）若A 与B 合同，贝U A 与B 相似；（D ）若A 与B 等价，则A 与B 合 同• 三、（本题5分）已知列向量组仁E 是R 的基，◎二E _g 区二 S -仁'：■ ■也是艮的基，求由基》匕匕到基°乩戏的过渡矩阵，并求0 芒在基也乩■儿下的坐标.四、（本题5 分）五、（本题6 分）六、（本题6 分）<1 2 2?A =2x2D =5设矩阵 <2 2 1, 与相似，求■''. ，其中1〔〕卫1 1 0 0 0 01 131 2」，求百.已知三阶实对称矩阵A 的每行元素之和都等于2,且秩■ [ - 1.（1） 用正交变换将二次型一-咒丄丫化为标准形，并求所用的正交变换矩 阵.（2） 求」1其中m 是大于等于1的自然数. 七、 （本题5分）设」是：阶方阵，匸'』-：，试证：若存在自然数汇使』0,则」-0. 八、 （本题3分） 设实矩阵」⑴’，°让：G 是」的列向量组.实向量A A '"-是齐次线性方程组」乜Q 的基础解系.试证：向量组 此4…-・0心、:线性无关.参考答案、填空题2, E二 2’、选择题C. 3、D. 4、B. 5、B.q 0 01©码还)二(勺E 何1 T 1(1 0T 丿知由基 到基。
黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校2021-2022学年高一下学期期末数学试题(含答案解析)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 A x x 1 x 3 0 ， B x x 0 ，则（ ）
A． A B
(1)求证： AF ∥平面 BCE ； (2)求证：平面 ACF 平面 BCE ．
20．在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a sin A sin B bsin B c sin C .
(1)求角 C 的大小； (2)若 sin A sin B 9 3 ， c 8 ，求 ABC 的面积.
或a与b
相交或 a
与b
异面，故
C
错误；
对于 D：若 a ， a / / ，根据面面垂直的判定定理可得 ，故 D 正确；
故选：AC
11．ABC 【分析】连接 BD ， A1D ，可得 MN A1D ，利用线面平行的判定定理即可证明 MN 平面
ADD1A1，故 A 正确；由线面垂直的性质可以得到 AB MN ，故 B 正确；直线 MN 与平面
4 ，则 a 2b
（
）
A．8
B．3
C．2
D． 2
7．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 为 CD 的中点，F 为 BC 的中点，则直线 B1F
与 D1E 所成角的余弦值为（ ）
试卷第 1页，共 5页
A．
3 5
B． 2 3
C． 4 5
8．直三棱柱 ABC - A1B1C1 的各个顶点都在同一个球面上，若
ABCD 所成角即直线 A1D 与平面 ABCD 所成角为 45 ，故 C 正确；异面直线 MN 与 DD1 所成
2020-2021学年黑龙江省哈工大附中高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年黑龙江省哈工大附中高一（下）期末数学试卷副标题1.3−i1−i=()A. 2+iB. 2−iC. −2+iD. −2−i2.从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是()A. ①B. ②④C. ③D. ①③3.△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C=30°，B=45°，b=2√2，则c等于()A. 1B. √2C. √3D. 24.若向量a⃗=(1,1)，b⃗ =(−1,1)，c⃗=(4,2)，则c⃗=()A. 3a⃗+b⃗B. 3a⃗−b⃗C. −a⃗+3b⃗D. a⃗+3b⃗5.已知圆柱底面半径为2，母线长为3，则其侧面积为()A. 12B. 16C. 12πD. 16π6.下列一组数据的25百分位数是()2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6A. 3.2B. 3.0C. 4.4D. 2.57.3个数1，3，5的方差是()A. 23B. 34C. 2D. 838.如图，△O′A′B′是水平放置的的直观图，则的周长为()A. 10+2√13B. 3√2C. 10+4√13D. 129.如果平面向量a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，那么下列结论中正确的是()A. |a⃗|=√2|b⃗ |B. a⃗⋅b⃗ =2√2C. (a⃗−b⃗ )⊥b⃗D. a⃗//b⃗10.已知复数z=1+i，则下列命题中正确的为()A. |z|=√2B. z−=1−iC. z的虚部为iD. z在复平面上对应点在第一象限11.设a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面.下列四个命题中，正确的是()A. 若a//α，b//α，则a//bB. 若a⊥α，b⊥α，则a//bC. 若a⊥α，a⊥β，则α//βD. 若a⊥α，b//α，则a⊥b12.如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是()A. B.C. D.13.某校有学生800人，其中女生有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、女学生采用分层随机抽样法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是______．14.已知i为虚数单位，则|3+2i|=______．15.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(−2,t)，若a⃗//b⃗ ，则实数t的值是________．16.某学校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从甲、乙、丙3个班中，按分层随机抽样的方法获得了部分学生一周的锻炼时间(单位：ℎ)，数据如表，甲6 6.577.58乙6789101112丙3 4.567.5910.51213.5估计这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间______．17.已知a⃗=(1,2),b⃗ =(−3,1)．(1)求a⃗−2b⃗ ；(2)设a⃗，b⃗ 的夹角为θ，求cosθ的值．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=√7，b=2，A=60°．(1)求sin B的值；(2)求c的值．19.做试验“从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对(x,y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”．(1)求这个试验样本点的个数；(2)写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件．20.如图，在三棱锥P−ABC中，PC⊥平面ABC，AB=10，BC=6，AC=PC=8，E，F分别是PA，PC的中点．求证：(1)AC//平面BEF；(2)PA⊥平面BCE．21.某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组后，得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题：(1)求分数[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；22.已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若acosC+(c+2b)cosA=0．(1)求A；(2)若a=2√3，b+c=4，求△ABC的面积．答案和解析1.【答案】A【解析】解：3−i1−i =(3−i)(1+i)(1−i)(1+i)=4+2i2=2+i．故选：A．根据已知条件，结合复数代数形式的乘法运算，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件，在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果，∴只有第三所包含的事件是对立事件故选：C．分析四组事件，①中表示的是同一个事件，②前者包含后者，④中两个事件都含有同一个事件，只有第三所包含的事件是对立事件．分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件．3.【答案】D【解析】解：由正弦定理可得csinC =bsinB，则c=bsinCsinB =2√2×12√22=2，故选：D．直接利用正弦定理即可求解本题考查正弦定理的应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：设c⃗=λa⃗+μb⃗ =(λ,λ)+(−μ,μ)=(λ−μ,λ+μ)=(4,2)，∴λ−μ=4，λ+μ=2，∴λ=3，μ=−1，∴c⃗=3a⃗−b⃗ ，故选：B．设c⃗=λa⃗+μb⃗ ，由c⃗=(4,2)，用待定系数法求出λ和μ，可得结果．本题考查平面向量基本定理及向量的坐标运算．5.【答案】C【解析】解：因为圆柱底面半径为2，母线长为3，则其侧面积为S=2π×2×3=12π．故选：C．利用圆柱的侧面展开图为长方形，由此求解即可．本题考查了圆柱的侧面积的求解，解题的关键是掌握圆柱的侧面积公式，考查了空间想象能力与运算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由题意，一组数据2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，从小到大为：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，因为10×25%=2.5，所以该组数据的25百分位数是3.2．故选：A．先把数据从小到大排列，再由10×25%=2.5，能求出该组数据的25百分位数．本题考查25百分位数的求法，考查百分位数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：1，3，5的平均数为3，则其方差s2=13×(22+02+22)=83．故选：D．先求出数据的平均数，然后利用方差的计算公式求解即可．本题考查了方差的计算，解题的关键是掌握方差的计算公式，属于基础题．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查斜二侧画法，属于基础题．根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形，∠AOB=90°，边长OB=4，OA=2O′A′=6，然后即可求三角形的周长．【解析】解：根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形，∠AOB=90°，底边长OB=4，高OA=2O′A′=6，所以AB=2√13，∴直角三角形OAB的周长为10+2√13．故选A．9.【答案】AC【解析】解：∵a⃗=(2,0),b⃗ =(1,1)，∴|a⃗|=2,|b⃗ |=√2，∴|a⃗|=√2|b⃗ |，∴A正确；a⃗⋅b⃗ =2，∴B错误；(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =(1,−1)⋅(1,1)=1−1=0，∴(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，∴C正确；∵2×1−0×1≠0，∴a⃗//b⃗ 错误，∴D错误．故选：AC．根据条件可求出|a⃗|=2,|b⃗ |=√2，从而判断A正确；进行向量坐标的数量积运算可判断B错误；可求出(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =0，从而判断C正确；根据平行向量的坐标关系可判断D错误．本题考查了向量坐标的数量积和减法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：复数z=1+i，则|z|=√2.故A正确；z−=1−i，故B正确；z的虚部为1，故C错误；z在复平面上对应点的坐标为(1,1)，在第一象限，故D正确．∴命题中正确的个数为3．故选：ABD．利用复数的模、共轭复数、虚部及复数与平面内点的对应关系即可判断出正误．本题考查复数的模、共轭复数、虚部及复数与平面内点的对应关系，属于基础题．11.【答案】BCD【解析】解：对于A：若a//α，b//α，则a//b或a与b异面，也可以相交，故A错误；对于B：若a⊥α，b⊥α，则a//b，故B正确；对于C：若a⊥α，a⊥β，直线a可以看做这两个平面的法向量，则α//β，故C正确；对于D：若a⊥α，b//α，所以a为平面α的法向量，且b//α，则a⊥b，故D正确．故选：BCD．直接利用线面垂直和线面平行的判定和性质，法向量的应用判定A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：线面垂直和线面平行的判定和性质，法向量的应用，主要考查学生对定义和判定定理的理解，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：A中，PQ//RS，B中，PQ//RS，C中，PQ与RS为异面直线，D.PQ与RS相交．故选：C．利用正方体的性质、异面直线的定义即可判断出结论．本题考查了空间位置关系、正方体的性质、异面直线的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】45=35人，所以男生抽取的人数为80−35=45【解析】解：女生抽取的人数为80×350800人．故答案为：45．先求出女生抽取的人数，再求男生抽取的人数．本题考查分层抽样，属于基础题．14.【答案】√13【解析】解：∵|3+2i|=√32+22=√13，故答案为：√13．根据复数模长的计算公式即可求解．本题主要考查复数模长的计算，比较基础．15.【答案】−4【解析】解：a⃗=(1,2)，b⃗ =(−2,t)，由a⃗//b⃗ ，得1×t−2×(−2)=0，解得：t=−4．故答案为：−4．直接利用向量共线的坐标表示列式求得t值．本题考查平面向量共线的坐标表示，关键是公式的记忆与应用，是基础题．16.【答案】8.2ℎ【解析】解：样本中甲、乙、丙三个班级的平均锻炼时间分别为：1(6+6.5+7+7.5+8)=7ℎ，51(6+7+8+9+10+11+12)=9ℎ，71(3+4.5+6+7.5+9+10.5+12+13.5)=8.25ℎ，8则样本平均数为5×7+7×9+8×8.255+7+8=8.2．估计该校高一年级学生一周的平均锻炼时间为8.2ℎ．故答案为：8.2ℎ．样本中甲、乙、丙三个班级的平均锻炼时间分别为7h，9h，8.25ℎ，由此能估计该校高一年级学生一周的平均锻炼时间．本题考查平均数的求法，考查平均数公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：(1)a⃗−2b⃗ =(1,2)−2(−3,1)=(1+6,2−2)=(7,0)．(2)cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=√1+22√(−3)2+1=−√210．【解析】(1)进行向量坐标的减法和数乘运算即可；(2)根据向量夹角的余弦公式即可求出cosθ的值．本题考查了向量坐标的减法、数乘和数量积的运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)∵a=√7，b=2，A=60°，由正弦定理得asinA =bsinB，∴sinB=bsinAa =2×√32√7=√217；(2)由余弦定理得cosA=12=b2+c2−a22bc=4+c2−74c，解得c=3或c=−1(舍)．综上c=3．【解析】(1)由已知结合正弦定理即可直接求解sin B；(2)由已知结合余弦定理即可直接求解c．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．19.【答案】解：(1)当x=1时，y=2，3，4，当x=2时，y=1，3，4，当x=3时，y=1，2，4，当x=4时，y=1，2，3，所以共12个不同的有序数对．故这个试验样本点的个数为12．(2)记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A，则A={(2,1)，(2,3)，(2,4)}．【解析】(1)利用列举法能写出这个试验的所有结果．(2)利用列举法能写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．本题考查试验的所有结果的求法，考查随机事件的定义等基础知识，是基础题．20.【答案】证明：(1)在△PAC中，∵E，F分别为PA，PC的中点，∴EF//AC，又∵EF⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，∴AC//平面BEF；(2)在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，∴AB2=AC2+BC2，∴BC⊥AC，∵PC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PC⊥BC，又∵AC∩PC=C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC．∵PA⊂平面PAC，∴BC⊥PA．在△PAC中，∵AC=PC，E为PA的中点，∴PA⊥EC，又∵PA⊥BC，EC∩BC=C，CE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，∴PA⊥平面BCE．【解析】(1)在△PAC中，由E，F分别为PA，PC的中点，由三角形的中位线定理可得EF//AC，再由直线与平面平行的判定可得AC//平面BEF；(2)在△ABC中，由已知结合勾股定理得BC⊥AC，由PC⊥平面ABC，得PC⊥BC，再由直线与平面垂直的判定可得BC⊥平面PAC，得到BC⊥PA.由已知证明PA⊥EC，再由直线与平面垂直的判定可得PA⊥平面BCE．本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．21.【答案】解：(1)设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，则有(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1，可得x=0.30，所以频率分布直方图为：(2)以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，所以中位数是70+10×13=7313，所以估计本次考试成绩的中位数为7313．【解析】(1)利用所有小矩形的面积之和为1，求得分数在[70,80)内的频率，再根据小矩形的高=频率组距求得小矩形的高，补全频率分布直方图；(2)根据中位数的左、右两边的小矩形的面积之和相等，求从左数频率之和等于0.5的横坐标的值；本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数、频数，考查了古典概型的概率计算，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=频数样本容量．22.【答案】解：(1)∵acosC+(c+2b)cosA=0，∴由正弦定理可得：sinAcosC+(sinC+2sinB)cosA=0，可得sinAcosC+sinCcosA+2sinBcosA=0，可得sin(A+C)+2sinBcosA=0，即sinB+2sinBcosA=0，∵sinB≠0，∴cosA=−12，∵A∈(0,π)，∴A=2π3．(2)由a=2√3，b+c=4，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，∴12=(b+c)2−2bc−2bccos2π3，即有12=16−bc，∴bc=4，∴△ABC的面积为S=12bcsinA=12×4×sin2π3=√3．【解析】(1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinB+2sinBcosA=0，由于sinB≠0，可求cos A的值，结合A∈(0,π)，可求A的值．(2)由已知利用余弦定理可求bc的值，进而根据三角形的面积公式即可得解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．。
2021年黑龙江省哈尔滨市工业大学实验中学高一数学文下学期期末试卷含解析
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市工业大学实验中学高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得=，实数x为（）A．﹣2 B．0 C．D．参考答案：A【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量的运算法则将等式中的向量都用以O为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求x的值．【解答】解：∵x2+2x+=，∴x2+2x+﹣=，∴=﹣x2﹣（2x﹣1）；又A、B、C三点共线，∴﹣x2﹣（2x﹣1）=1，解得x=0或x=﹣2；当x=0时， =不满足题意，∴实数x为﹣2．故选：A．2. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与都是红球参考答案：C【考点】互斥事件与对立事件．【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】解：对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴D不正确故选：C．3. 若，且是第二象限角，则的值等于（）A. B. C. D.参考答案：C，由是第二象限角知，所以4. 函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）的图象恒过点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（1，0）D．（a，0）参考答案：B【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据指数函数的单调性和特殊点，函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，1）．【解答】解：由指数函数的定义和性质可得，函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，1），故选：B．5. 已知其中为常数，若，则的值等于( )A．B．C．D．参考答案：D6. 下列关于△ABC的说法正确的是（）A．若a=7，b=14，A=30°，则B有两解B．若a=6，b=9，A=45°，则B有两解C．若b=9，c=10，B=60°，则C无解D．若a=30，b=25，A=150°，则B只有一解参考答案：D7. 若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为()参考答案：A易知：，所以，所以a在b方向上的投影为。
哈尔滨工业大学工科数学分析期末考试试卷
工业大学工科数学分析期末考试试卷若想免费下载该文档：登录www.hnh12. －＞论坛－＞文档下载区－＞（搜索想要的文档）工科数学分析期末考试试卷（答案）试题卷（A）考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟）本卷面成绩占课程成绩70%题号一二三四五六七八卷面总分平时成绩课程总成绩分数一．选择题（每题2分，共10分）1．下列叙述中不正确者为（D）（A）如果数列收敛，那么数列一定有界。
（B）如果，则一定有。
（C）在点处可导的充要条件是在点处可微。
得分（D）如果函数在点处导数为，则必在该点处取得极值。
2．设在[0，1]上则下列不等式正确者为（B ）（A）（B）（C）（D）3．若在上可积，则下列叙述中错误者为（D）（A）连续（B）在上可积第1页（共7页）（C）在上由界（D）在上连续4．若，则（D）（A）（B）（C）（D）5．（D）（A）（B）（C）（D）得分二．填空题（每题2分，共10分）1．的间断点为：，其类型为：第一类间断点。
2．的全部渐近线方程为：。
3．摆线处的切线方程为：。
4．=： 1 。
5．设在上可导，，第2页（共7页）则=：三．计算下列各题：（每小题4分，本题满分20分）得分1．若，求解：2，则2．，解：，3.解：==4．解：第3页（共7页）5. 已知，求解：=，所以。
故四．解答下列各题：（每小题5分，本题满分10分）得分1.已知数列，，求证：收敛，并且证明：1)证有界因为,所以。
假设，则。
故有界。
2）证单调因为，故为单调上升数列。
由1）和2）知道收敛。
设，由，所以有解得。
而且为单调递增数列，所以。
故。
第4页（共7页）2．设，曲线与三条直线所围平面部分绕x轴旋转成的旋转体的体积为取何值时，最大？解：，由得，。
当时，故当时，达到极大值，且为最大值。
五：证明下列各题：（1，2题各4分，3，4题各6分，本题满分20分）得分1.证明方程至少有一个不超过的正根。
证明：设，显然它在上连续。
（i）若，则即为满足条件的根。
黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学2020-2021学年度高二下学期期末考试文科数学试卷及答案
黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学2020-2021学年度高二下学期期末考试文科数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若 是真命题， 是假命题，则
A． 是真命题B． 是假命题
附： ， .
参考数据：
21．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 与曲线 交于 ， 两点.以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）若 ，求 .
22．已知函数 .
（1）当 时，求 在 处切线方程；
（2）讨论 的单调区间；
（3）试判断 时 的实根个数说明理由.
确定函数为偶函数，再确定函数在 上是增函数，然后由奇偶性与单调性解不等式．
，所以 是偶函数，
时， ，此时， 是增函数， 是减函数，所以 是增函数，
因此不等式 化为 ，所以 ， ，解得 ，
故答案为： ．
17．(1)直线 的普通方程为： ，圆 的直角坐标方程为： (2)4.
试题分析：
(1)结合所给的方程可得：直线 的普通方程为： ，圆 的直角坐标方程为： ；
由正弦定理得 ，
即 ，
即 ，
则 ．
由 知， ，
， 当且仅当 时取等号，
则三角形面积 ，
即三角形的面积的最大值是 ．
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合三角形的面积公式以及基本不等式进行转化是解决本题的关键．
20．（1）有 的把握认为购置新能源汽车与性别有关；（2） .
（1）利用 列联表中的数据计算出 的观测值，结合临界值表可得出结论；
黑龙江省哈尔滨市工业大学实验中学2019-2020年高三数学文期末试卷含解析
黑龙江省哈尔滨市工业大学实验中学2019-2020年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等比数列{a n}的公比q＝－，S n为其前n项和，则＝________.参考答案：-5略2. 如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的全面积为A．B．C．D．参考答案：A3. 已知是偶函数，在(－∞,2]上单调递减，，则的解集是A. B.C. D.参考答案：D【分析】先由是偶函数，得到关于直线对称；进而得出单调性，再分别讨论和，即可求出结果.【详解】因为是偶函数，所以关于直线对称；因此，由得；又在上单调递减，则在上单调递增；所以，当即时，由得，所以，解得；当即时，由得，所以，解得；因此，的解集是.【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.4. 设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B略5. 已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若S1=1，，则的值为( )A．B．C．D．4参考答案：A【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据首项等于S1，得到首项的值，利用等差数列的前n项和公式化简，即可求出公差d的值，然后再利用等差数列的前n项和公式化简所求的式子，把求出的首项和公差代入即可求出值．【解答】解：由S1=a1=1，，得到=4，解得d=2，则===．故选A【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题．6. 已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}参考答案：D【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．【解答】解：x2﹣x﹣2＜0，即为（x﹣2）（x+1）＜0，解的﹣1＜x＜2，即A={x|﹣1＜x ＜2}，又A={x|x＞1}，则A∩B={x|1＜x＜2}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7. 执行右面的程序框图，若输出结果是，则输入的为A．B．C．D．参考答案：B8. 设集合，，则等于A．B．C．D．参考答案：C略9. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：C10. 若集合，，则………………………（）. . .. .. . .参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知O是坐标原点，点A，若点M为平面区域上的一个动点，则的最小值是.参考答案：略12. 已知长方体同一顶点上的三条棱，、分别为、的中点，则四棱锥外接球的体积为______________参考答案：13. 右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.参考答案：.设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系则，A的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为，带入点A得，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为，则，所以水面宽度为.14. 已知圆（为参数）与直线，则直线截圆所得的弦长为。
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哈尔滨工业大学2004至2005学年数学分析期末考试试题A
哈尔滨工业大学2004 -2005 学年秋季学期
工科数学分析期末考试试卷（答案）试题卷（A）考试形式（开、闭卷）：闭
答题时间：150（分钟）本卷面成绩占课程成绩70%
一．选择题（每题2分，共10分）
1．下列叙述中不正确者为（D ）
（A）如果数列收敛，那么数列一定有界。
（B）如果，则一定有。
（C）在点处可导的充要条件是在点处可微。
（D）如果函数在点处导数为，则必在该点处取得极值。
2．设在[0，1]上则下列不等式正确者为（ B ）
（A）（B）
（C）（D）
3．若在上可积，则下列叙述中错误者为（D）
（A）连续（B）在
上可积
（C）在上由界（D）在上连续
4．若，则（D）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．（D）
（A）（B）
（C）（D）
二．填空题（每题2分，共10分）
1．的间断点为：，其类型为：第一类间断点。
2．的全部渐近线方程为：。
3．摆线处的切线方程为：。
4．=： 1 。
5．设在上可导，，
则=：
三．计算下列各题：（每小题4分，本题满分20分）
1．若，求
解：2，
则
2．，
解：，
3.
解：
=
=
4．
解：
5. 已知，求
解：
=，
所以。
故
四．解答下列各题：（每小题5分，本题满分10
分）
1.已知数列，，
求证：收敛，并且
证明：1)证有界
因为,所以。
假设，
则。
故有界。
2）证单调
因为，故为单调上升数列。
由1）和2）知道收敛。
设，由，所以
有解得。
而且为单调递增数列，所以。
故。
2．设，曲线与三条直线所围平面部分绕x轴旋转成的旋转体的体积为取何值时，最大？
解：，
由得，。
当时，
故当时，达到极大值，且为最大值。
五：证明下列各题：（1，2题各4分，3，4题各6分，本题满分20分）
1.证明方程至少有一个不超过的正根。
证明：设，显然它在上连续。
（i）若，则即为满足条件的根。
（ii）若，则。
而，
由零点定理知存在，使得。
即为满足条件的根。
2. 设函数且，试证：
证明：由知道，所以。
因为，故由积分中值定理知：，使得
，即。
3. 设在区间上有二阶导数。
，证
明：在区间内至少存在一点，使
证明：将在与处展成一阶泰勒公式
(1)
(2)
令，注意到，(1),(2)有
(3)
(4)
(4)- (3) 得：
所以：
取，即有。
4. 设在区间上连续，且
证明：存在一个使得
证明：令，显然在上连续，在内可导，又，即。
在由罗尔定理知，存在使得，即
=。