极值点偏移问题专题(二)——函数的选取(操作细节)
极值点偏移第2招--含参数的极值点偏移问题
含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元12,x x 的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.★例1. 已知函数x ae x x f -=)(有两个不同的零点12,x x ，求证：221>+x x .不妨设12x x >，记12t x x =-，则0,1t t e >>，因此只要证明：121t te t e +⋅>-01)1(2>+--⇔t t e e t ， 再次换元令x t x e tln ,1=>=，即证),1(,01)1(2ln +∞∈>+--x x x x 构造新函数2(1)()ln 1x F x x x -=-+，0)1(=F 求导2'2214(1)()0(1)(1)x F x x x x x -=-=>++，得)(x F 在),1(+∞上递增， 所以0)(>x F ，因此原不等式122x x +>获证.★例 2. 已知函数()ln f x x ax =-，a 为常数，若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：212.x x e ⋅>法二：利用参数a 作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设12x x >，∵1122ln 0,ln 0x ax x ax -=-=，∴12121212ln ln (),ln ln ()x x a x x x x a x x +=+-=-， ∴1212ln ln x x a x x -=-，欲证明212x x e >，即证12ln ln 2x x +>.∵1212ln ln ()x x a x x +=+，∴即证122a x x >+，∴原命题等价于证明121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即证：1122122()ln x x x x x x ->+，令12,(1)x t t x =>，构造2(1)ln ,1)1(t t g t t t -=->+，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略. 法三：直接换元构造新函数：12221211ln ln ln ,ln x x x x a x x x x ==⇔=设2121,,(1)xx x t t x <=>， 则112111ln ln ln ,ln ln tx t x x tx t t x x +==⇔=， 反解出：1211ln ln ln ln ,ln ln ln ln ln 111t t t tx x tx t x t t t t ===+=+=---， 故212121ln ln 2ln 21t x x e x x t t +>⇔+>⇔>-，转化成法二，下同，略.★例3.已知21,x x 是函数ax e x f x-=)(的两个零点，且21x x <. （1）求证：221>+x x ； （2）求证：121<⋅x x .(2)要证：121<x x ，即证：1221<⋅a e e x x ，等价于212)(1221x x e e e e x x x x --<⋅， 也即2122)(1)(1221x x e e e e x x x x -<-⋅，等价于2122)(1)1(1212x x e e x x x x -<---，令012>-=x x t 等价于)0(1)1(22><-t t e e t t，也等价于)0(112><-t te e tt，等价于即证：012<+-⋅t te e t 令)0(1)(2>+-⋅=t e e t t h t t ，则)21(21)(2222tt tt t e t e e e t e t h -+=-⋅+='，又令)0(21)(2>-+=t e t t t ϕ，得0221)(2<⋅-='te tt ϕ，∴)(t ϕ在),0(+∞单调递减，0)0()(=<ϕϕt ，从而0)(<'t h ，)(t h 在),0(+∞单调递减，∴0)0()(=<h t h ，即证原不等式成立.【点评】从消元的角度，消掉参数a ，得到一个关于21,x x 的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.★例4.已知函数()(0)axf x x e a =->，若存在1212,()x x x x <，使12()()0f x f x ==，求证：12x ae x <.再证：12x ae x <. ∵111222ln x ax ax x ax x ==， 而120x e x <<<，2ln 1x > ∴1122ln 1x ax ae ae x x =<=.证毕.【招式演练】★设函数()()xf x e ax a a R =-+∈的图像与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点， （1）证明：0)('21<x x f ； （2）求证：1212x x x x <+.（2）证明：由1212(1)(1)x x e a x e a x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，易知211x x >>且a e >，从而11221211x x xx x e e e x --==-，令121,1x x αβ=-=-，则ln ln 1eαβααββαβ--=⇒=-， 由于12121x x x x αβ<+⇔<，下面只要证明：11,(01)αββαβα<⇔<<<<，结合对数函数ln y x =的图像可知，只需证：11(,ln ),(,ln )αααα两点连线的斜率要比(,ln ),(,ln )ααββ两点连线的斜率小即可，又因为ln ln 1k αβαβ-==-，即证：1ln ln112ln 0(01)1αααααααα-<⇔-+><<-，令1()2ln 0,(01)g ααααα=-+><<，则22212(1)()10g ααααα-'=--+=-<，∴()g α在(0,1)上单调递减，∴()(1)0g g α>=， ∴原不等式1212x x x x <+成立.★设函数2()ln f x a x bx =-，其图像在点(2,(2))P f 处切线的斜率为3-. 当2a =时，令()()g x f x kx =-，设1212,()x x x x <是方程()0g x =的两个根，0x 是12,x x 的等差中项，求证：0()0g x '<(()g x '为函数()g x 的导函数）.★设函数21()2ln (0)f x a x a ax a x=-->，函数()f x '为()f x 的导函数，且1122(,()),(,())A x f x B x f x 是()f x 的图像上不同的两点，满足12()()0f x f x +=，线段AB中点的横坐标为0x ，证明：0 1.ax > 【解析】∵120121212x x ax x x a a +>⇔>⇔>-，又依题意21()()0f x a x'=-≥，得()f x 在定义域上单调递增，所以要证01ax >，只需证2122()()()f x f x f x a-=>-， 即222()()0f x f x a-+<……①不妨设12x x <，注意到1()0f a =，由函数单调性知，有1211,x x a a<>， 构造函数2()()()F x f x f x a=-+，则32224(1)()()()(2)ax F x f x f x a x ax -'''=--=--，当1x a ≥时，()0F x '≤，即()F x 单调递减，当1x a >时，1()()0F x F a<=，从而不等式①式成立，故原不等式成立. ★已知函数)(ln 1)(R a x xa x f ∈--=. （1）若2=a ，求函数)(x f 在),1(2e 上的零点个数；（2）若)(x f 有两零点21,x x （21x x <），求证：132121-<+<-a ex x .【点评】1.方程的变形方向：①21,x x 是函数)(x f 的两个零点，1是该函数的极值点.②21,x x 是函数)(x h 的两个零点，1-a e是该函数的极值点.2.难点13121-<+-a e x x 的证明依赖利用221>+x x 放缩.★已知函数 .（Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设，证明：当时，；（Ⅲ）设是的两个零点，证明.【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）当时，；（Ⅲ）证明过程见解析（Ⅱ）令，则.求导数，得 ， 当时，，在上是减函数.而， ，故当时，（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当时，函数至多有一个零点，故，从而的最小值为，且，不妨设，则，，由（Ⅱ）得 ，从而，于是，由（Ⅰ）知，.点晴:本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在（Ⅰ）中通过求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间．（Ⅱ）通过构造函数，把不等式证明问题转化为函数求最值问题，求函数当时的最大值小于零即可．（Ⅲ）要充分利用（Ⅰ）（Ⅱ）问的结论. ★已知函数()214ln 2f x x mx =-（0m >）. （Ⅰ）若1m =，求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若函数()()()4g x f x m x =--，对于曲线()y g x =上的两个不同的点()()11,M x g x ，()()22,N x g x ，记直线MN 的斜率为k ，若()0k g x ='，证明：1202x x x +>.【答案】（1）()0,2（2）见解析由题设得()()()12012g x g x g x x x -=-'=()12124ln ln x x x x ---()()12142m x x m ++-. 又121282x x g m x x +⎛⎫=⎪+⎭'-⎝ 1242x x m +⋅+-， ∴()1202x x g x g +⎛⎫-='⎪⎝⎭'()1212124ln ln 8x x x x x x --=-+ ()()2121212124ln ln x x x x x x x x ⎡⎤---⎢⎥-+⎣⎦ 21222111214ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦.不妨设120x x <<， 21x t x =，则1t >，则21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+()21ln 1t t t -=-+ (1)t >.令()()21ln 1t h t t t -=-+ (1)t >，则()()()22101t h t t t +'-=>，所以()h t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10h t h >=，故21221121ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭->+.又因为210x x ->，因此()12002x x g x g +⎛⎫->⎪⎝⎭''，即()1202x x g g x +⎛⎫< ⎪⎝'⎭'. 又由()()44g x mx m x =-+-'知()g x '在()0,+∞上单调递减， 所以1202x x x +>，即1202x x x +>. ★已知函数()1n(1)f x x =+，21()2g x x x -． （Ⅰ）求过点()1,0-且与曲线()y f x =相切的直线方程；（Ⅱ）设()()()h x af x g x =+，其中a 为非零实数，()y h x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，求a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：()2120h x x ->．【答案】（1）10x ey -+=（2）见解析∴()000ln 1111x x x +=++，解得01x e =- ∴切线的斜率为1e，∴切线方程为10x ey -+= （Ⅱ）()()()h x af x g x =+= ()21ln 12a x x x ++- ()()21111x a a h x x x x +-=+-='++， 1x >- 当10a -≥时，即1a ≥时， ()0h x '≥， ()h x 在()1,-+∞上单调递增；当01a <<时，由()0h x '=得， 11x a =--， 21x a =-，故()h x 在()1,1a ---上单调递增，在()1,1a a ---上单调递减，在()1,a -+∞上单调递增； 当0a <时，由()0h x '=得， 01x a =-， ()h x 在()1,1a a ---上单调递减，在()1,a -+∞上单调递增． 当01a <<时， ()h x 有两个极值点，即11x a =--， 21x a =-，即a 的范围是(0,1)点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. ★已知函数()ln f x x =.（1）证明：当1x >时，()()2110x x f x -+->；（2）若函数()()2g x f x x ax =+-有两个零点1x ， 2x （12x x <， 0a >），证明： 12213x x g a +⎛⎫<- ⎪⎝⎭'. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：（1）欲证()()2110x x f x -+->证()()21ln 01x K x x x -=->+， ()()()22101x K x x x '-=>+，()K x ∴在()1,+∞上递增，()()10K x K ∴>=（2）1x >， ()21ln 1x x x ->+，令()12ln s x x x =--，易知()s x 在()0,+∞递减， ()10s =，01x <<， ()0s x >， ()h x ↑， 1x >， ()0s x <， ()h x ↓， ()()1h x h ∴≤， 1x >， ()0h x >， 0x →， ()h x →-∞， 要合题意，如图，01a <<，10a ->，右大于左，原题得证。
极值点偏移专题(二)
极值点偏移专题（二）（三）通法提炼一般地，主元法破解极值点偏移问题思路是：第一步：根据建立等量关系，并结合的单调性，确定()()()1212f x f x x x =≠()f x 的取值范围；12,x x 第二步：不妨设，将待证不等式进行变形，进而结合原函数或导函数的单调性12x x <等价转化．第三步：构造关于（或）的一元函数，应用1x 2x ()()()()21,2i i T x f x f a x i =--=导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明． 例2.（2016年绵阳二诊）21．解：(Ⅰ)， ……………………………………1分 222221)(xmx x x m x f -=+-=' ①m ≤0时，>0，在上单调递增，不可能有两个零点． )(x f ')(x f )0(∞+， …………………………………………………………2分 ②m >0 时，由可解得，由可解得， 0)(>'x f m x 2>0)(<'x f m x 20<<∴ 在上单调递减，在上单调递增， )(x f )20(m ，)2(∞+，m 于是min ==， ……………………………………4分 )(x f )2(m f 12ln 212-+m m m要使得在上有两个零点， )(x f )0(∞+，则<0，解得，12ln 212-+m m m 20e m <<即m 的取值范围为． ………………………………………………5分20(e，(Ⅱ)令，则， x t 1=11ln 211(--=xx m x f 1ln 2--=t mt 由题意知方程=0有两个根t 1，t 2， 1ln 2--t mt 即方程有两个根t 1，t 2，不妨设t 1=，t 2=． t t m 22ln +=11x 21x 令，则， t t t h 22ln )(+=221ln )(t t t h +-='由可得，由可得， 0)(>'t h e t 10<<0)(<'t h et 1>∴ 时，单调递增，时，单调递减． )10(e t ，∈)(t h )1(∞+∈，et )(t h 故结合已知有 t 1>>t 2>0． ……………………………………………………8分 e1要证，即证，即．ex x 21121>+e t t 221>+e t e t 1221>->即证． …………………………………………………………9分)2()(21t eh t h -<令，)2()()(x eh x h x --=ϕ下面证对任意的恒成立． 0)(<x ϕ10(ex ，∈．………………………10分 22)2(21)2ln(21ln )2()()(x ex e x x x e h x h x ----+--=-'+'='ϕ∵ ， ∴ ，)10(ex ，∈22)2(01ln x e x x -<>--，∴ =． )(x ϕ'22)2(21)2ln()2(21ln x e x e x e x ----+--->2)2(22)2(ln x e e x x --+--∵ <，∴ >0， )2(x e x -2212)2([ex e x =-+)(x ϕ'∴ 在是增函数， )(xϕ)10(e，∴<=0，∴ 原不等式成立．………………………………………12分)(x ϕ1(eϕ3、极值点偏移问题的不等式解法 （1）我们熟知平均值不等式：,a b R +∈ 2112a b a b +≤≤≤+即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是.a b =（2）我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：ln ln a b a b -- 那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式,∀>≠a b a b ln ln 2a b a ba b -+-，以下简单给出证明：不妨设，设，则原不等式变为：a b >a bx =2(1)1,ln 1x x x x -∀><<+用极值点偏移问题的不等式解法变式1（2011辽宁理）已知函数.()2ln (2)f x x ax a x =-+- (I)讨论的单调性；)(x f （II ）设a ＞0，证明：当时，； a x 10<<)1()1(x af x a f ->+（III ）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，()y f x =x ,A B AB 0x 证明：()0'0f x <【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，，，则， 11(,())A x f x 22(,())B x f x 12x x <1202+=x x x ①2111ln (2)0x ax a x -+-=②2222ln (2)0x ax a x -+-=①-②得：，化简得：12121212ln ln ()()(2)()0x x a x x x x a x x --+-+--=③12121210()(2)ln ln x x a x x a x x -=>+---而根据对数平均值不等式：121212ln ln 2x x x xx x -+<-③等式代换到上述不等式④12012011()(2)22(2)x x x a x x a ax a +<⇒<+----根据：（由③得出）∴④式变为：002(2)0ax a x -->200002(2)10(21)(1)0ax a x x ax --->⇒+->∵，∴，∴在函数单减区间中，即： 0(21)0x +>01x a>0x0'()0f x ∴<6.(2010天津理) 已知函数 .()x f x xe -=()x R ∈（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；)(x f （Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当)(x g y =)(x f y =1=x 时，.1>x )()(x g x f > （Ⅲ）如果，且. 证明：.12x x ≠()()12f x f x =122x x +>（21）本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分（Ⅰ）解：f’()(1)xx x e -=-令f’(x)=0,解得x=1当x 变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X() ,1-∞ 1() 1,+∞f’(x) +0 -f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。
极值点偏移问题2
极值点偏移问题（2）——函数的选取（操作细节）杨春波（高新区枫杨街 郑州外国语学校，河南 郑州 450001)例4 已知函数()x f x e ax =-有两个不同的零点12,x x ，其极值点为0x ．（1）求a 的取值范围；（2）求证：1202x x x +<；（3）求证：122x x +>；（4）求证：121x x <．解：（1）()x f x e a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在R 上单增，()f x 至多有1个零点，舍去；故必有0a >，易得()f x 在(),ln a -∞上单减，在()ln ,a +∞上单增，要使()f x 有两个不同的零点，则有()ln 0f a a e <⇒>（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x →-∞时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞）．（2）由所证结论知这是()f x 的极值点偏移问题，选取函数()f x 来做．下面按对称化构造的三个步骤来写，其中0ln x a =．①由（1）知()f x 在()0,x -∞上单减，在()0,x +∞上单增，可设102x x x <<； ②构造函数()()()02F x f x f x x =--，则()()()02022x x x F x f x f x x e e a -'''=+-=+-，当0x x <时，有()20F x a '>-=，则()F x 在()0,x -∞上单增，得()()00F x F x <=，即()()()002f x f x x x x <-<；③将1x 代入②中不等式得()()()12012f x f x f x x =<-，又20x x >，0102x x x ->，()f x 在()0,x +∞上单增，故2012x x x <-，1202x x x +<．（3）由所证结论可以看出，这已不再是()f x 的极值点偏移问题．谁的极值点会是1x =呢？回到题设条件：()0x xxe f x e ax e ax a x =-=⇒=⇒=，记函数()xe g x x=，则有()()12g x g x a ==．求导得()()21x e x g x x -'=，则1x =是()g x 的极小值点，我们选取函数()g x 来证（3）中结论122x x +>，也可证（4）中结论121x x <．①()g x 在(),0-∞上单减，在()0,1上单减，在()1,+∞上单增；()g x 的符号与x 的符号相同；当x →-∞时，()0g x →；当0x -→时，()g x →-∞；当0x +→时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞．()g x 的图象如下（由图象亦可得a e >），由()()12g x g x a ==可设1201x x <<<；②构造函数()()()2G x g x g x =--，则()()()()()()()()222222112122x x x x e x e x e e G x g x g x x x x x x --⎛⎫--'''=+-=+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭， 当01x <<时，10x -<，但因式()2222x xe e x x ---的符号不容易看出，引进辅助函数()2xe x xϕ=，则()()32x e x x x ϕ-'=，得()x ϕ在()0,2上单减，当()0,1x ∈时，()21,2x -∈，即022x x <<-<，则()()2x x ϕϕ>-，即()22202x xe e x x -->-，()0G x '<，得()G x 在()0,1上单减，有()()10G x G >=，即()()()201g x g x x >-<<；③将1x 代入②中不等式得()()()1212g x g x g x =>-，又21x >，121x ->，()g x 在()1,+∞上单增，故212x x >-，122x x +>．（4）①同上；②构造函数()()1G x g x g x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则 ()()()()112222211111111x x xxx e xe e e x x G x g x g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎝⎭'''=+=+= ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，当01x <<时，10x -<，但因式1xxe x e -的符号不容易看出，引进辅助函数()1xx x e x e ϕ=-，则()111xxx e e x ϕ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，得()x ϕ在()0,1上单增，有()()10x ϕϕ<=，则()0G x '>，得()G x 在()0,1上单增，有()()10G x G <=，即()()101g x g x x ⎛⎫<<<⎪⎝⎭； ③将1x 代入②中不等式得()()1211g x g x g x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又21x >，111x >，()g x 在()1,+∞上单增，故211x x<，121x x <．点评：结论虽已证出，但判定因式()2222x x e e x x ---及1xx e xe -的正负时，均需辅助函数的介入，费了一番功夫．虽然()g x 的极值点是1，理论上可以用来做（3）（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．再次回到题设条件：()()0,0ln ln ln ln x f x e ax a e x x a x x x a =⇒=>>⇒=+⇒-=，记函数()ln h x x x =-，则有()()12ln h x h x a ==．接下来我们选取函数()h x 再证（3）（4）两问．（3）①()11h x x'=-，得()h x 在()0,1上单减，在()1,+∞上单增，有极小值()11h =；又当0x +→时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞．故()h x 的图象如下（由图象得ln 1a >，亦得a e >），由()()12ln h x h x a ==可设1201x x <<<．x②构造函数(2H x h x h x =--，则()()()()1111211122H x h x h x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当01x <<时，10x -<，1102x x->-，则()0H x '<，得()H x 在()0,1上单减，有()()10H x H >=，即()()()201h x h x x >-<<；③将1x 代入②中不等式得()()()1212h x h x h x =>-，又21x >，121x ->，()h x 在()1,+∞上单调递增，故212x x >-，122x x +>．（4）①同上；②构造函数()()1H x h x h x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则 ()()()22211111111H x h x h x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当01x <<时，()0H x '>，得()H x 在()0,1上单增，有()()10H x H <=，即()()101h x h x x ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭；③将1x 代入②中不等式得()()1211h x h x h x ⎛⎫=<⎪⎝⎭，又21x >，111x >，()h x 在()1,+∞上单调递增，故211x x <，121x x <． 点评：用函数ln y x x =-来做（3）（4）两问，过程如行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将11ln ln x x a =+，22ln ln x x a =+相加得()12120ln 2ln 2ln 2x x x x a a x +=+<=；注2：在第②步中，我们为什么总是给定1x 的范围？这是因为1x 的范围()0,1较2x 的范围()1,+∞小．以第（3）问为例，若给定()1,x ∈+∞，因为所构造的函数为()()()2H x h x h x =--，这里0x >，且20x ->，得02x <<，则当2x ≥时，()H x 无意义，需要分为两类：（1）若22x ≥，则1222x x x +>≥，结论成立；（2）当()1,2x ∈时，同原解答．而给定()0,1x ∈，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定1x 或2x 的范围均可，请读者自己体会其中差别．思考：上一讲中练习1应该用哪一个函数来做呢？提示：ln 1ln 00,x x ax a x e ⎛⎫-=⇒=∈ ⎪⎝⎭，用函数ln x y x=来做212x x e >；或用函数ln y x ax =-来做2122x x e a+>>． 练习2 已知函数()()ln f x x m mx =+-． （1）求()f x 的单调区间；（2）设1m >，12,x x 为函数()f x 的两个零点，求证：120x x +<． 提示：（2）()()ln mxf x x m mx ex m =+-⇔-=，用函数()mx g x e x =-来做122ln 0mx x m+<-<．。
极值点偏移问题(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)_极值点_不等式_对数_新浪网
131例题展示点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程，直观展示如下：把握以上三个关键点，就可以轻松解决一些极值点偏移问题．拓展小结：用对称化构造的方法解决极值点偏移问题大致分为以下三步：123牛刀小试极值点偏移问题二——函数的选取（操作细节）例题展示点评点评注1注2思考：上一讲极值点偏移问题（1）中练习1应该用哪一个函数来做呢？极值点偏移问题三——变更结论（操作细节）例题展示解法一（换元法）解法二（加强命题）剧透：下一讲中我们还会给出这道题的第三种证法．能否将双变量的条件不等式化为单变量的函数不等式呢？答案是肯定的，以笔者的学习经验为线索，我们先看一个例子．引例证明发现能否一开始就做这个代换呢？这样一种比值代换在极值点偏移问题中也大有可为.下面就用这种方法再解前面举过的例子．再解例1（3）：再解例3：再解练习1：再解例4：再解例5：再解例7：再解例8：行文至此，相信读者已经领略到比值代换的威力．用比值代换解极值点偏移问题方便、快捷，简单得很．只需通过一个代换就可“双元”化“单元”，变为单变量的函数不等式，可证．那是不是可以就此忘掉前面三讲的内容呢？只需比值代换，就可偏移无忧？这里，笔者必须指出，前面再解的过程中有意地略去了一些例子（不知细心的你是否发现），这就补上，请读者明察．试再解例2：试再解例6：试再解练习2：这是比值代换的败笔，又是最精彩之处．没有任何一种方法是万能的，我们不仅要熟悉它的优势，熟练它的操作，还要清醒地认识到它的缺陷，运用时要注意哪些问题，这其实是为了更好的运用．最后，我们来看比值代换另一个应用．牛刀小试极值点偏移问题五——对数平均不等式（本质回归）回顾本讲要给的对数平均不等式是对基本不等式的加细．对数平均不等式：先给出对数平均不等式的多种证法．证法1（对称化构造）：证法2（比值代换）：证法3（主元法）：证法4（积分形式的柯西不等式）：证法5（几何图示法）：图1图2应用由对数平均不等式的证法1、2即可看出它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式解前面举过的例题．再解例1：再解例2：再解例3：再解练习1：再解例4：同本节例1再解例5：同本节例1再解例7（2）：再解例8：再解练习2：解练习3选项D：总 结极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，用对数平均不等式解题的关键有以下几步：细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有一定局限性，也不是万能的（再解过程中漏掉了例6，读者可尝试），其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键．最后再举一例．证法1证法2极值点偏移问题六——泰勒展开（本质回归）这一讲我们回到极值点偏移的直观图形上来，揭示极值点偏移问题的高等数学背景．以极小值点的偏移为例进行说明。
突破分之高三数学解答题高端专题极值点偏移第二招含参数的极值点偏移问题玩转版含解析
专®04=极值点偏移第二招——含拿嫩的极値点備移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元x1, x2的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数•★例1.已知函数f(x) x ae x有两个不同的零点x1,x2，求证：x1 x2 2 .【睥析】思路i：iWi/W的两个零点，等价于方程血y二口的两个实根，从而宼一问题与专题三(不含篆数的柢值点偏移问题)例题完全等价，专题三例題的闻申方法全部可以用;也可垢9用参数。
逑个媒介去构造出新的蓟数一解答扣F:因为函数/(町有两个零点西，叼,由①+⑵得：珂+花二班小+佛”娶证明巧+书A2J只亜证明由①一(2〉得；珂一叼沪八艮“二弓二*/ +它叼它吨-衍+17—>2.,QL—o^ e I s—1e l1 2(e l1)门因此只要证明：t t2 t t0，e 1 e 1再次换元令e t x 1, t Inx,即证ln x 坐0,x (1,)x 1构造新函数F (x) In x 2(x—)，F (1) 0x 1I 4 (x 1)2求导F (x) ——2-——L2 0，得F(x)在(1,)上递增，x (x 1) x(x 1)不妨设x1x2，记t x1x2，则t 0,£1，所以F(x) 0,因此原不等式X1 X2 2获证.1 ★例2.已知函数f(x) In x ax , a 为常数，若函数f(x)有两个零点x 1, x 2，证明:2X i X 2 e ・【解析】法一；消裁转化成无參数问题；f (JC )三 & In x =ax 0 I D DC =,厮■兀是方程/(x)=0的两根」也是方程=的两根，则I D 西* I D 耳是方程的两根丿设珂=1E 码=111孔# 贞工)=比7：则匱(码)=1｛幻匕从而码叫码十伽帀＞20吗+旳此问题等价转化成为专题三例题，下略一法二：利用参数 a 作为媒介，换元后构造新函数：不妨设x 1 X 2 ,Tn X | ax 1 0,In x 2 ax 2 0, • In x 1 In x 2 a(x 1 x 2),In x 1 In x 2 a(x 1 X 2),.In X 1In x 2a ，欲证明2为血 e , 即证In x 1In x 2 2.X 1 X 2•Tn x 1 In x 2 a(x 1 X 2), •即证a2X 1 X2•••原命题等价于证明In x 1 In x 2 ，即证:X i x 2X-| x 2X 22(X 1 X 2) X 1 x 2人 x 1 ，令 t -,(t1),X 2构造g(t) Int 晋,t法三：直接换元构造新函数：1，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略.In x ( In x 2 ax 1x 2In x 2 In x 1,设 X 1 X 2, tX2,(t1),则 x 2 tx 1, Intx~iIn x-In x 1 In x 1反解出：InX1 晋1nX2 IntX1Int In x-! IntInt tintt 1 t 1，故 ％x 2 e 2 In x 1 In x 2 2 Int 2，转化成法二，下同，略★例3.已知x 1, x 2是函数f (x) e x ax 的两个零点，且 捲 x 2.(1) 求证: X 1 X 22；(2) 求证: X-I X 2 1■y I【解析】⑴问题可腐专化为：y =—与卩=—有两个交鼠 由画扯Odq <1<^eof它L ------) p Q —故要证；西十砸A 2,艮卩证：>2,也即证二 甞兰;A 」一a 呂r _点L 还也即・ e p壮-航+ [ 2> ------- :令r 二记一耳则卩輕0：心)JCj —Xj设烈◎二r (才十 1》一賞才一贝Ug =:-sV)在⑴如〉单调递聲 即^«>g r <o )=o.二g(r)在W 他)单调逋帆 即典)>曲y 故原不等式得证一J e X 2⑵要证：x 1x 2 1，即证：21，等价于eaX 1e X2 (^- -)2,x 2 为也即Z 2(e X2 e^)2(X 21，等价于e X2 X1(e X2 X1 1)2(X 2x 2 X-|等价于(e t te "V0)，也等价于te2~t~e1(t0)， 等价于即证: tt e 2e t 1 0令 h(t)te 21(t 0)， 则 h (t)1te^(1 t又令(t)t2(t0)，(t)t e 2••• (t)在(0,)单调递减,(t)(0) 0，从而 h(t) 0 , h(t)在(0,)单调递减，• h(t) h(0)0 ,即证原不【点评】从消元的角度，消掉参数a，得到一个关于x1,x2的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式★例4•已知函数f (x) x e ax(a 0)，若存在x-^,x2(x x2)，使f(xj f(x2) 0,求证：X i[gkstkgkstkgkstk] X2【解析】函数f⑻的雾点等价于方程"=些的实根，令攻刃=空心>叭X X求导可知，共0在g)上单调递軌在上单调递减，3<^ = ^)=-.(0下证；当0 时方程&=旦6二空有两个实根.a x JC①当兀丘卩间时，gS是械圏亂*■' ^(1) = 0: ^(e) = -;^(1) < a <g(G)二当xe(0胁sM増函数」童⑴二0= g(s)-^(l) <a< 如3「.当述 3)时，有一解，记为丐一②当施値十功时』烈力対减函数，Ct先证；即证；aAna >-—?令肌込)=门In仇@ A Q),a 2求导由也)的单调性可得:h 叽 =h(l) = -l>-l誠不等式血心丄即证, eel 2也即际等式贰成之a「•当XE O.+OO)时，。
培优点04 极值点偏移问题(2大考点+强化训练)(习题版)
培优点04 极值点偏移问题（2大考点+强化训练）极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色．【知识导图】【考点分析】考点一:对称化构造函数规律方法 对称化构造函数法构造辅助函数(1)对结论x 1＋x 2>2x 0型，构造函数F (x )＝f (x )－f (2x 0－x )．(2)对结论x 1x 2>x 20型，方法一是构造函数F (x )＝f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20x ，通过研究F (x )的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成ln x 1＋ln x 2>2ln x 0，再把ln x 1，ln x 2看成两变量即可．【例1】（2024下·云南·高二云南师大附中校考开学考试）给出定义:设()f x '是函数()y f x =的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x x =，则称()(00,x f x )为函数()y f x =的“拐2.71828为自然对数的底数）()f x 的单调区间；为两个不相等的实数，且满足考点二:比值代换规律方法 比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t ＝x 1x 2化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．【例2】．（2022·全国·模拟预测）设函数()()ln f x x ax a =-∈R . (1)若3a =，求函数()f x 的最值；(2)若函数()()g x xf x x a =-+有两个不同的极值点，记作12,x x ，且12x x <，求证：12ln 2ln 3x x +>.【强化训练】4.(2023·唐山模拟)已知函数f (x )＝x e 2－x.(1)求f (x )的极值；(2)若a >1，b >1，a ≠b ，f (a )＋f (b )＝4，证明：a ＋b <4.5. (2022·全国甲卷)已知函数f (x )＝ex x－ln x ＋x －a .(1)若f (x )≥0，求a 的取值范围；(2)证明：若f (x )有两个零点x 1，x 2，则x 1x 2<1.6. (2023·沧州模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax －1(a ∈R )．若方程f (x )＋2＝0有两个实根x 1，x 2，且x 2>2x 1，求证：x 1x 22>32e3.(参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099)7. (2023·淮北模拟)已知a 是实数，函数f (x )＝a ln x －x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个相异的零点x 1，x 2且x 1>x 2>0，求证：x 1x 2>e 2.8．(2023·南宁模拟)已知函数f (x )＝e x－ax 22，a >0.(1)若f (x )过点(1,0)，求f (x )在该点处的切线方程；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，且0<x 1<x 2，当e<a <e22时，证明：x 1＋x 2>2.9．(2023·聊城模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋a x(a ∈R )，设m ，n 为两个不相等的正数，且f (m )＝f (n )＝3. (1)求实数a 的取值范围； (2)证明：a 2<mn <a e 2.。
极值点偏移
极值点偏移间题一一一对称化构造（解题方法）．，三张图教你直观认识极值点偏移：．1． －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ I 1·2 x ＋l x 11今I 'f(. 对►xX 。
=2（左右对称，无偏移，如二次函数；若f (Xi )=f (�),则芍+x::i =2x-o)2；一，一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一/----， ， 三－－－－－－－－－－－－－－－－2IIIIIIII今（►X（左陡右缓，极值点向左偏移；若八石=f l � ，则X 1+�>2�)．3． 俨--------------------------.,尸一T'-i /东）；II I I II ，I ， I I I ， ，：� 一/勹:I I I I I I , I I I:I I I I I ， , • +• •:.-X I ，勺勺勺屯勺，I2 I I,, --------------------------.I （左缓右陡，极值点向右偏移；若f 芍=f l � ，贝忨+Xi <2沌）例题展示例1(2010天津）已知函数f(x )=xe 一l'..(1)求函数f(x )的单调区间和极值；(2)已知函数g (x)的图象与f (x )的图象关于直线x =l 对称，证明：当x >1时，f(x ) > g(x );(3)如果Xi*�}且f伍）= f(�)}证明：x 1+�>2.r--------------------------, ， 解：(1) f '(x) =广(1-X) , 得f (x )在（女江）上递增，在(L +oo )上递凅，f(x )有，I 1I ，极大值/(1)=-,无极小值；e ， I I\. L I 中�\.儿，叩区豖一:J J \. 勺日．）区芍六」旦习9人=l /\J -f'」、,1寸�\.·勺日"J .Rff 1J I心,1、丿y=f (2-x), 构造铺助函数F(x) =f(x)-g(x) =f(x)-f(2-x), x E (1, 妞），求导得F '(x ) = f '(x )+ /'(2-x ) = e -x (1-x ) + e x -l (x -1) = (x -1)(e x -l -e -x ), 当x >l 时，x -1>0,e 仁2-e-x > 0'则F '(x)>0, 得F (x )在(l-too )上单增，有F(x)>F(l)=O , 即f(x)> g (x).(3)由f(x 1)=f(x 2),结合f(x)的单调性可设X 1<l<x:i ,将巧代入(2)中不等式得f 伍）>/(2-x:i), 又f伍）=f(x:i ), 故f区）>/(2-�), 又x 1<1, 2-x:i<1, f(x)在（女江）上单增，故x 1>2-x:i ,x 1+x:i >2. L --------------------------.1点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的—般方法－－对称化构造的全过程，直观展示如下：y 1 2-x 1＼ ＼ '\g(x )=代2-x )X 2X＼＼例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数f (x )=戏-r ,已知f区）= f (�), 且/')\ rt, -仁入的团争匕r f _'\的团争兰工古钰--1�:I-Vo>夕旦-伈＼的纽江寸斗．．．．．．． (2)由(1)知f (x)在(-ro ,l)上递城，在(L 长o )上递增，由f (x 1)=f (Xi ) =0, ．：可设.xi<l<X:2-构造铺助函数F (x)=f(x)-/(2-x ), 求导得F '(x ) =f'(x )+f '(2-x ) =(x -l )(e x +2a)+(l-x )(e 2-x +2a)=(x-l )(e x -e 2-x ), 当x <l 时，x -1<0, e x -e '2-x <0, 则F'(x)> 0, 得F (x)在（勺江）上单墙，又F (l )= 0, ． ． ． ；故F (x)<O (x<l ),即f(x)叮(2-x)(x<l).将石代入上述不等式中，得f(动=f(Xi)</(2-.xi),又Xi >1, 2-.xi>1, f(x ) 在(l·心）递增，故Xi <2-.xi ,石+Xi <2.■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ r--------------------------,， 通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤已有所了解．但，1极值点偏移问题的结论不一定总是石+�>(<) 2.x-o '也可能是Xi�>(<)沌2'借鉴前面的，， 解题经验，我们就可以给出类似的过程．, L--------------------------J ． 例3已知函数f (x )=x ln x 的图象与直线y =m交于不同的两点A (Xi,片），1 B (� 心），求证：芍�<亏·e呻：f'(x)=l n x +I , 得f (x )在［畛）上递城，在G 主o )上递置当O<x <I 时，f(x)<O; /(1)=0; 当x >l 时，f (x )>O ;当x➔o-时，f(x)➔0(洛必达法则）；1 当x➔+oo时，f(x )➔ -too . 干旱f (x )的图蒙如下，得0<.x.<-<x,<l .-. ., ,--I -·-., \ . -I ~ ----.. --. . . . -e�y1＿x 1e �2 ----勹-----��--y =m X,,., ＿e 构造函数F (x )=f (x )-f (大），求导得F '(X ) = I'(X ) +归队）=l +l n x +士(1+J n 六）= (I+ l n x )(1-士），1 1 1 1当O<x <�时，l+lnx<O ,1-立0'则F'(x)>O,得F (x )在(o .J 上递增，有F (x )<F (订=0'即f (x )叮（六）(o <心）1 芍�<亏．I e 将芍代入(2)中不等式得平）<t (-i-), 又平）＝平），故e X 1 平）＜仁）I I I 『)1e 芍，又勹了;, f (x )在；如上递增，故王古,l 、例题展示例4已知函数f(x)=e x-ax有两个不同的零点X1= X:z'其极值点为Xo.(1)求a的取值范围；(2)求证：x产�<2Xo;(3)求证：石+X:z>2; (4)求证：石X:z<l.．解：(1) f '(x) = e r -a , 若a�o,则f'(X)> Q , f (X)在R 上单增，f (x)至多有1个零点，舍去；故必有a>0, 易得f (x )在(-oo l n a)上单城，在(In a 冲oo )上单增，要使f (x )有两个不同的零点，则有f (In a )<0⇒ a> e (严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x 分-m B 寸，f(x )今位为当x 分沁沭寸，f (x)分沁))．(2)由所证结论知这是f (x)的极值点偏移问题，选取函数f (x )来做．下面按对称化构造的三个步骤来写，其中Xo =ln a .＠由(1)知f (x)在（女)Xo )上单凅，在(Xo 位））上单增，可设Xi <Xo <�;＠构造函数F (x )= f (x)-f(这-x)'则F '(x ) =f '(x )+f '(笃-x )=e气e ho -r -2a , 当x <x.o时，有F '(x)> 2心气了:;-2a=0, 则F (x)在（女心）上单增，得F (x) <F (乓）=0'即f(x)</(2.x.o -x)(x <x-o );＠将X1代入＠中不等式得f伍）=I区）< /(2.x.o -.xi)'又�>沌，2.x.o -X 1 >Xo ' f (x )在(Xo 寸oo )上单增，故Xi < 2Xo -4'X 1十�<2Xo .．(3)由所证结论可以看出，这已不再是f (x )的极值点偏移问题．谁的极值点会是x =l 呢？回到题设条件：I() xo⇒ e x e x e xx =e -ax = =ax ⇒ a =—，记函数g (x )=—，则有X Xg 区）=g(动=a .求导得g'(x )= 2 e x (x-1) ，则x =l 是g (x 的极小值点，我们选取函X） 数g (x )来证(3)中结论Xi +�>2,也可证(4)中结论X 1�<1.，W g (x )在l --«>,O J 上早屈，在l 0,1 J 上里i 展，在l L-1-<X> J 上早增；g l x )的行亏与X 的付号相同；当x ➔-<J:)时，g (x)今0; 当x今0一时，g (x)➔ -<J:) ; 当x 今0一时，g (x )今如；当x 今如时，g (x)今如.g(x )的图象如下（由图象亦可得a>e ), 由g (x i )=g 伈）=a 可设0<x 1<1<�;V厂｀ ， y=a ， ， e �--i --， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ｀ ． 01 芍 1 x2 ►x＠构造函数G(x)=g (x)-g (2-x), 则G '(x) = g '(x) + g '(2-x)=•'(:-!)+•�: 飞�;)=(x -1>(气言),), e x 2-x 当O<x<l 时，x-1< 0 , 但因式下一 e X (2-x) 2的符号不容易看出，引进铺助函数e r e r (x -2) q;(x)=-了，贝炒'(x)= 3 '得q;(x )在(0,2)上单减，当x E (0.1)时，2-x E (l .2),X X2一Xe X 即0<x<2-x<2,贝炒(x)> ({)(2-x), 即下一 e 1 > 0'G '(X) < 0'得G (x )在X (2-x) (0.1)上单凅，有G(x)> G (l)=0, 即g (x)> g (2-x)(O <x<l); ... �-一��.仁--I＠将石代入＠中不等式得g伈）=g伈）>g(2-石），又�>1,2-x1>1, g(x)在L心）上单增，故�>2-Xi,石+�>2.．(4)CD同上；1＠构造函数G(x)=g(x)-g(�), 则吵_;�了1L(x-l)t-xe�)' G'(x) =g'(x)+沪＇（订=•'(;-!)当O<x<l时，x-1< 0 , 但因式e r-xe x的符号不容易看出，引进铺助函数伈）=•'-芘''则q l(x) = e'+ u--1)) , 当x e(O))时，例(x)> 0, 得(l)(x)在(0))X上单增，有({)(x)<畔）=0'则G'(x)> 0, 得G(x)在(0.1)上单增，有G(x)<G(l) =0, 即g(x)主）(O<x<l);＠将石代入＠中不等式得g(x,_)=g(动<g伈），又x,>1,2_>1, g(x)在芍1(1,如）上单增，故�<—，Xi.�<1.]点评2-x结论虽已证出，但判定因式寸一, e e�2及e x-芘x的正负时，均需辅助函数的介入，X (2-x)费了一垂功夫．虽然g(x)的极值点是1,理论上可以用来做(3)(4)两问，但实践发现酪l亚府玑如」过农乍迈泗孕妇双仁心.�:z:工,J/-,、"'T.、八．士十云hi口士9从,w心Kl再次回到题设条件：f (x) =0⇒ e :r =ax (a > e ,x> 0)⇒ x=lna+ln x ⇒ x -ln x=lna,记函数h(x)=x -ln x,则有h(Xi.)=h(动=lna .接下来我们选取函数h(x)再证(3)(4)两问．(3)Q) h '(x) = 1--, 得h(x )在(0,1)上单城，在(1七兀）上单增，有极小值h(l )=l ;X又当x 分0飞寸，h(x)今如；当x➔+oo时，h(x)➔+oo . 故h (x )的图象如下（由图象得lna> 1, 亦得a>e), 由h(x 1)=h 伍）=lna 可设0<石<1<-Xi .r ----------------------,严灾-ln x /r ＿ ＿ -a-ln 沪＿ ＿ I I I I Io -1L 打1�____________________ ., X ＠构造函数H(x)=h(x)-h(2-x), 则H'(x) = h '(x)+ h'(2 -x) = (心(1一声）=(x -1)(巨－声），1 1 当O<x<l 时，x-1<0,--——> 0'则H '(x)<0, 得H (x )在(OJ )上单浪，有X 2-xH(x)>H(1)=0, 即h(x)>h (2-x)(O< x <l); ＿心付X11飞J\1:6}中小寺氐1寻hl.liJ =hl-X:l丿>hll.-初，义均习，么一石习，h 区）仕(L+oo)上单调递增，故�>2-石，x五>2.(4)CD 同上；1 ＠构造函数H (x )=h (x )主），则H '(x )=h '(x )+气）气）分(1-x )=且-1)''当0<x<l时，H '(x)> 0 , 得H (x )在(0,1)上单增，有H (x)<H(l) =0 , 即h(x)生）(O<x<l);＠将芍代入＠中不等式得h 区）=h (动<h尺），又x,>l ,{>1,h (x )在(L 心）上单调递增，故�<上，x 1�<1. 多点评•• ： 用函数y=x-ln x 来做(3)(4)两问，过程如行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．．． ．■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■• r 、1夕11, \ r.、..+,-r-六八-�✓-曰．，、亨,1、'f~ 、...., -.， 一书. ,、一．．解法二（加强命题）.------------------------------------------------------..试图证明更强的结论芍�<1.而这是例4第(-l )问已证过的结论，1 1 1 由基本不等式得—+—>2F >2-X1 � 芍沦-------------------------------------------------------注1:在用换元法变更结论时，选取的函数也要变更．其实是将原问题（不常规）变更为另—个问题（常规）．注2:加强命题只是—种充分性的尝试，可能会面临失败．即使尝试失败，即Xi-Xi<1不1 1成立，也不影响所证结论—+—>2的正确性，只是方法不合适而已．芍X厂一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一，：例6已知函数f (x)=x 2ln x, 若方程f (x)=m 有两个不相等的实根石：�':求证：矿＋矿＞－．2, e I L. -----------------------------------------------------.I畔：用换兀运扯·令、a =x 1-,o =巧，则J lX1丿=J 凸即对ln 石＝矿ln �,x 广ln矿＝矿ln矿，a ln a = bln b .记函数g (x )=x ln x ,则g(a)=g(b 1,2 即证a +b >-,这是常规问题，交给读者．． ．． r------------------------------------------------------� ， ， ，例， ， ， ， ， 已知b>a>O ,且bln a -a l n b = a -b . 1 1 求证：(l)a +b -ab>l ;(2)a +b >2;(3)-+->2.: a b ._ _____________________________________________________.. 证明：(1) b ln a -a ln b = a -巨—－—=---⇒＝ l n a ln b 1 1 1 + l n a 1 + l n b a b b a a b 记函数f ()l+ln x X = J 则f (a )=f (b ).X 求导得f'(x )=-亏，知平）在(0))上单增，在(!,妞）上单城，又1(订=0'当x 今0时，f (x )分心；当x➔+oo 时，f (x )分01故f(x )的图象如下，由图知-<a<l <b ,e所以(a -l )(b -1)<0, 展开即a+b-ab > 1.r --------------------.,”,lIIIh.n ,..,...,.u-. 一．、..1.、-,- A ] T 2亡.I �./、�.1、能否将双变量的条件不等式化为单变量的函数不等式呢？答案是肯定的，以笔者的学习经验为线索，我们先看—个例子．: 弓I例L...,凡北兰又X J l 人}-I IJ 人一人，以勺,r -"-1_ ,r V'求证：X 1 �, X 1 + .X.,lX 1-�►►证明芍f (x i )-I区）芍(ln x-i -ln � 丿一区-41 2= -2 X1十均芍一泛芍＋对芍－均芍l X1一�I ¢=> , 2 -(ln 芍-ln 沦xi +� e ． ． ． ., 。
极值点偏移问题专题(二)——函数的选取(操作细节)
这或许是史上最全的极值点偏移系列文章极值点偏移（0）——偏移新花样（拐点偏移）极值点偏移（1）——对称化构造（常规套路）极值点偏移（2）——函数的选取（操作细节）极值点偏移（3）——变更结论（操作细节）极值点偏移（4）——比值代换（解题方法）极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）极值点偏移（6）——泰勒展开（本质回归）极值点偏移（7）——好题精选一题多解23例今天带来极值点偏移系列 第三篇文章，供大家参考极值点偏移问题专题（二）——函数的选取（操作细节）例4 已知函数()e xf x ax =-有两个不同的零点1x ，2x ，其极值点为0x ．（1）求a 的取值范围；（2）求证：1202x x x +<； （3）求证：122x x +>；（4）求证：121x x <． 解：（1）()e x f x a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在R 上 ，()f x 至多有一个零点，舍去；则必有0a >，得()f x 在(),ln a -∞上 ，在()l n ,a +∞上 ，要使()f x 有两个不同的零点，则须有()ln 0e f a a <⇒>．（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x →-∞时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞）．（3）由所证结论可以看出，这已不再是()f x 的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：()e e 0e x x xf x ax ax a x =-=⇔=⇔=，记函数()e xg x x =，则有()()12g x g x a ==． 求导得()()2e 1x x g x x -'=，则1是()g x 的极小值点，我们选取函数()g x 来证（3）中结论122x x +>；顺带地，也可证（4）中结论121x x <．（i ）()g x 在(),0∞上 ，在()0,1上 ，在()1,+∞上 ；()g x 与x 的符号相同；当x →-∞时，()0g x →；当0x -→时，()g x →-∞；当0x +→时，()g x →+∞时，()g x →+∞，()g x 的图像如下：由()()12g x g x a ==不妨设1201x x <<<．（ii ）构造函数()()()2G x g x g x =--，则()()()()()()()()2222222e 1e 12e e 12x x x x G x g x g x x x x x x x x --'''=+---=+-⎛⎫=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，（4）（i ）同上；（ii ）构造函数()()1G x g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ()()()()()1122222111e 1e 111e e 1x xx x G x g x g x x x x x x x x x x ⎛⎫'''=+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭-=-⋅当01x <<时，10x -<，但因式1e e x x -的符号不容易看出，引进辅助函数()1e e xx x x ϕ=-，则()11e 1e x x x x ϕ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，得()x ϕ在()0,1上 ，有()()10x ϕϕ<=，则()0G x '>，得()G x 在()0,1上 ，有()()10G x G <=，即()()101g x g x x ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭； （iii ）将1x 代入（ii ）中不等式得()()1211g x g x g x ⎛⎫=<⎪⎝⎭，又21x >，111x >，()g x 在()1,+∞上 ，故211x x <，121x x <． 点评：虽然做出来了，但判定因式()222e e 2x xx x ---及1e e x x x -的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然()g x 的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．再次回到题设条件：()()0e e ln ln ln ln x f x ax a x a x x x a =⇔=>⇔=+⇔-=，记函数()ln h x x x =-，则有()()12ln h x h x a ==．接下来我们选取函数()h x 再解（3）、（4）两问．（3）（i ）()11h x x '=-，得()h x 在()0,1上 ，在()1,+∞上 ，有极小值()11h =，又当0x +→时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞，故()h x 的图像如下：由()()12h x h x =不妨设1201x x <<<．（ii ）构造函数()()()2H x h x h x =--，则()()()()2111121112H x h x h x x x x x x '''=+-=-+--⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭当01x <<时，10x -<，1102x x->-，则()0H x '<，得()H x 在()0,1上 ，有()()10H x H >=，即()()()201h x h x x >-<<点评：用函数()ln h x x x =-来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将11ln ln x x a =+，22ln ln x x a =+相加得()12120ln 2ln 2ln 2x x x x a a x +=+<=．注2：在第（ii ）步中，我们为什么总是给定1x 的范围？这是因为1x 的范围()0,1较2x 的范围()1,+∞小，以第（3）问为例，若给定()1,x ∈+∞，因为所构造的函数为()()()2H x h x h x =--，这里0x >，且20x ->，得02x <<，则当2x ≥时，()H x 无意义，被迫分为两类：①若22x ≥，则1222x x x +>≥，结论成立；②当()1,2x ∈时，类似于原解答．而给字()0,1x ∈，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定1x 或2x 的范围均可，请读者自己体会其中差别．思考：练习1（查看热门文章里极值点偏移（1））应该用哪个函数来做呢？ 提示：用函数ln x y x =来做212e x x >，用函数ln y x ax =-来做122x x a+>．练习2 （安徽合肥2017高三第二次质量检测）已知()ln()f x x m mx =+-（1） 求()f x 的单调区间（2） 设1m >, 1x ，2x 为函数()f x 的两个零点，求证120x x +<提示：将()0f x =，两边取对数转化为指数方程处理。
极值点偏移四种题型的解法及例题
极值点偏移是高中数学中的一个重要概念，也是学生们比较头疼的一个知识点。
在解决数学问题时，我们经常会遇到一些与极值点有关的题型，比如函数的极值问题、优化问题等。
而在解决这些问题时，极值点偏移方法是一种非常实用的解题技巧。
本文将从四种题型出发，对极值点偏移方法进行详细解析，并结合具体例题进行说明。
1. 函数的极值问题函数的极值问题是高中数学中的一个重要内容。
在解决这类问题时，我们常常会用到导数的概念，来求函数的极值点。
但有些情况下，我们可以通过极值点偏移方法更快地得到函数的极值点。
比如对于一些简单的函数，通过极值点的平移和对称性，可以用更简洁的方法求得函数的极值点。
举例说明：已知函数 $f(x)=x^3-3x^2+2$，求 $f(x)$ 的极值点。
解：求导得 $f'(x)=3x^2-6x$。
令导数为零，得到 $x=0$ 或 $x=2$。
根据导数的符号，可知 $x=0$ 是极小值点，$x=2$ 是极大值点。
但通过极值点偏移方法，我们可以发现，当 $x=0$ 时，$f(x)=2$；而当$x=2$ 时，$f(x)=2$。
也就是说，极小值点 $x=0$ 对应的函数值和极大值点 $x=2$ 对应的函数值相等。
这就是极值点偏移的思想。
2. 优化问题优化问题是数学建模中常见的类型之一，也是考察学生综合运用数学知识解决实际问题的一种形式。
当我们遇到优化问题时，常常需要求解函数的极值点。
而极值点偏移方法可以帮助我们更快地找到函数的极值点，从而解决优化问题。
举例说明：一块长为20厘米的铁皮，可以做成一个底面积为 $x cm^2$ 的正方形盒子和一个底面积为 $y cm^2$ 的开口放平盒子，求怎样分割这块铁皮才能使总体积最大。
解：设正方形盒子的边长为 $a$，开口朝下的放平矩形盒子的底边长为 $b$，高为 $h$。
则根据题意可知，$b=a+2h$，且 $x=a^2$，$y=bh$。
问题转化为求 $x+y$ 的最大值。
极值点偏移问题处理策略及探究
极值点偏移问题的处理策略及探究所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。
若函数 f (x) 在 x x0处取得极值，且函数 y f ( x) 与直线 y b交于 A(x1, b) , B(x2 , b) 两点，则AB的中点为M (x1x2,b)，而往往x0x1x2.如下图22所示 .极值点没有偏移此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。
而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。
不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！【问题特征】【处理策略】一、不含参数的问题.例 1. （ 2010 天津理）已知函数f (x) xe x ( x R)，如果x1x2，且 f ( x1 )f ( x2 ) ，证明： x1x2 2.【解析】法一： f (x)(1x) e x，易得 f ( x) 在 (,1) 上单调递增，在 (1,) 上单调递减， x时， f (x)， f (0)0 ，x时， f ( x) 0，函数 f (x) 在x 1处取得极大值 f (1) ，且f (1)1, 如图所示 . e由 f (x1) f ( x2 ), x1x2，不妨设 x1 x2，则必有 0x1 1 x2，构造函数 F ( x) f (1x) f (1x), x(0,1] ，则 F ( x) f (1x) f (1x)x x1 (e2 x 1)0 ，所以 F ( x)在x(0,1] 上单调递增，eF ( x) F (0)0，也即 f (1x) f (1x) 对 x(0,1] 恒成立.由 0x11x2，则 1 x1(0,1] ，所以 f (1 (1 x 1 )) f (2 x 1)f (1 (1 x 1)) f ( x 1 ) f ( x 2 ) ，即 f (2 x 1 )f ( x 2 ) ，又因 2x 1 , x 2 (1, ) ，且 f ( x) 在 (1,) 上 减，所以 2 x 1 x 2 ，即 x 1 x 22.法二： 欲 x 1x 22 ，即 x 2 2 x 1 ，由法一知 0x 1 1 x 2 ，故 2 x 1 , x 2 (1, ) ，又因 f (x) 在 (1,) 上 减，故只需f ( x 2 ) f (2 x 1 ) ，又因 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ，故也即 f ( x 1 )f (2 x 1 ) ，构造函数 H (x)f ( x) f (2 x), x(0,1) ， 等价于 明H ( x) 0 x (0,1) 恒成立 .由 H ( x)f ( x) f (2x) 1 x x(1 e 2 x2 )0 ， H ( x) 在 x(0,1) 上 增， 所以eH ( x) H (1) 0 ，即已 明 H ( x)0 x (0,1) 恒成立， 故原不等式 x 1x 2 2亦成立 .法三：由 f ( x 1)f ( x 2 ) ，得 x 1e x 1 x 2e x 2 ，化 得 e x 2x 1x 2 ⋯ ，x 1不妨 x 2x 1 ，由法一知， ox 11 x2 . 令 t x 2 x 1 ， t 0, x 2 t x 1 ，代入式，得 e tt x 1 ，反解出 x 1 t ，x 1 x 22x 1 t2t t ，故要 ： x 1x 22 ，x 1e t 1e t1即 ：2t 1 t 2，又因 e t1 0 ，等价于 明：2t (t 2)( e t 1) 0 ⋯，e t构造函数( )2 ( t 2)( t 1),( t0)， G (t) (tt1,G (t) t0 ，G tt e1)e te故 G (t ) 在 t (0,) 上 增， G (t )G (0) 0 ，从而 G (t) 也在 t(0,) 上增， G (t )G(0) 0 ，即式成立，也即原不等式x 1 x 2 2成立.法四：由法三中式，两 同 取以e 底的 数，得x 2 x 1lnx2ln x 2 ln x 1 ，也即x 1x 21ln x 2 ln x 1ln x 2ln x 1x 2x 1 x 2x 1 x 21，从而 x 1 x 2 ( x 1ln，x 2x 1 x 2 )x 2 x 1x 2x 1 lnx 1x 2 x 11x 1令 tx 2 (t 1) ， 欲 ： x 1 x 22，等价于 明： t1ln t 2 ⋯ ，x 1t 1构造 M (t)(t1)ln t (1 2 )ln t,( t 1)，则 M (t ) t 2 1 2t ln t ，t 1 t 1t (t 1)2又令 (t) t 2 1 2t ln t ,( t 1) ，则 (t )2t2(ln t 1)2(t 1 ln t) ，由于 t1 ln t对 t(1, ) 恒成立，故(t ) 0 ， (t ) 在 t (1,) 上单调递增， 所以 (t) (1) 0 ，从 而 M (t) 0 ， 故 M (t) 在 t(1, ) 上 单 调递增，由洛比塔法则知：lim M (t )lim(t1)ln tlim((t1)ln t )lim(ln tt 1)2 ，即证 M (t) 2，即证x 1x 1t 1x 1(t 1)x 1t式成立，也即原不等式x 1 x 2 2成立 .【点评】 以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式， 方法一、 二利用构造新的函数来达到消元的目的， 方法三、 四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.二、含参数的问题 .例 2. 已知函数 f (x) xae x 有两个不同的零点 x 1 , x 2 ，求证： x 1 x 2 2 .【解析】思路1：函数 f ( x) 的两个零点，等价于方程xe xa 的两个实根，从而这一问题与例 1 完全等价，例 1 的四种方法全都可以用；思路 2：也可以利用参数a 这个媒介去构造出新的函数. 解答如下：因为函数 f ( x) 有两个零点 x 1, x 2 ，所以x 1aex 1(1)aex2，x 2(2)由 (1) (2) 得： x 1 x 2 a(e x 1 e x 2 ) ，要证明 x 1x 22 ，只要证明 a(e x 1e x 2)2 ，由 (1)(2)得：x 1 x 2a(e x 1 e x 2 ) ，即 ax 1 x 2 ，) e x 1e x 2x 2 ) e x 1 x 2e x 1e x 2即证： ( xx2(x 112 ，12e x 1 e x 2e x1x21不妨设 x 1x 2 ，记 t x 1 x 2 ，则 t 0, e t1，t e t 1 2 2(e t 1) 0 ，因此只要证明： e t 1 t t1e 2(x 1)再次换元令 e t x 1, t ln x ，即证 ln x 0x(1,)2( x 1)x 1构造新函数 F (x) ln x 0x 1 ， F(1)1)2求导 F ' ( x)1 ( x 4( x 0 ，得 F (x) 在 (1,) 递增，x 1)2x( x 1) 2所以 F (x) 0 ，因此原不等式 x 1 x 22获证 .【点评】含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元 x 1, x 2 的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。
高考数学压轴题--------极值点偏移问题的三种解法
高考数学压轴题--------极值点偏移问题的三种解法
在高考和模考中.极值点偏移问题都是一个热点问题.这类试题设问新颖多变,难度较大,综合性强,能较好考查学生的逻辑推理能力、数据处理能力、转化与化归思想、函数与方程思想等.往往作为压轴题出现，对于这类问题，学生通常会望而却步，甚至不敢解、不想解.笔者通过对极值点偏移问题的探究，总结出解决这类问题三种方法,希望可以帮助学生克服畏难心理,迎难而上.
下面通过典型试题介绍这类问题的三种求解策略.
一 .构造法
构造法是解决极值点偏移问题最基本的方法。
对函数y =f（x）,要考虑它在极值点x0附近偏移问题，可以通过构造并判断函数F(x) =f(x0+x)-f（x0-x）在x >0时的符号.确定x >0时f(x0+x)与f（x0-x）的大小关系;再将x = x0-x1代人上式，结合F（x1）=f(x2),得到f（2x0-x1）与f（x2）的大小关系;最后结合函数f（x）的单调性解决问题.
二、利用对称性
三、增量法
解决极值点偏移的方法有很多，以上三种方法各有优劣，不同
题目使用三种方法的繁简程度不一样,我们应该根据题目的实际情况,择优选择.。
极值点偏移问题
极值点偏移问题极值点偏移问题总结一、 判定方法1、极值点偏移的定义 对于函数 y f (x) 在区间 (a,b) 内只有一个极值点 x 0 ，方程 f (x) 0 的解分别为x 1、x ，且a xxb 221，（1）若x 1 2x 2x 0，则称函数 y f ( x) 在区间 (x 1 ,x ) 上极值点 x 0 偏移；2（2）若x 1 2x 2x 0，则函数 yf (x) 在区间 ( , )x 1 x 上极值点 x 0 左偏，简称极值点 x 02左偏；xx（3）若12x2，则函数 y f (x) 在区间 (x 1, x 2 ) 上极值点 x 0 右偏，简称极值点 x 0右偏。
2、极值点偏移的判定定理判定定理 1对于可导函数 yf (x) ，在区间 (a, b) 上只有一个极大（小）值点 x 0 ，方程 f (x) 0的解分别为 x 1、x 2 ，且a x 1 x 2 b ，xxx x（1）若 f) 0 ，则x 0 '1212( )(2 2，即函数 y f (x) 在区间 ( 1, x )x上极大（小）2值点x 右（左）偏； 0xx xx（2）0 若) 01( ) xf (，则' 1 2 2 ' 1222 2，即函数 y f (x)在区间 (x 1, x ) 上极大2（小）值点 x 0 左（右）偏。
证明：（1）因为可导函数 y f (x) ，在区间 (a, b)上只有一个极大（小）值点 x 0 ，则函数 yf (x)的单调递增（减）区间为 (a, x ) ，单调递减（增）区间为 ( 0, b)x，又 0xxa x 12，有 ( , ) xb12a bx x xx由于 f () 0，故 ( , ) ' 1 2 1 2a x，所以2022x x1()22x，即函数极大（小）值点x右（左）偏。
判定定理 2 对于可导函数y f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点第1页x，方0极值点偏移问题程f (x) 0的解分别为x1、x2 ，且a x1 x2 b，x x1 ( )2（1）若 f (x1) f (2 x0 x2 ) ，则x02即函数y f (x) 在区间(x1, x2 ) 上极，大（小）值点x右（左）偏；x x（2）若( ) (2 ) 1 ( )2f x1 f x x ，则x00 22即函数y f (x) 在区间( , )x1 x 上极2，大（小）值点x左（右）偏。
极值点偏移解法以及例题
极值点偏移解法以及例题极值点偏移解法是一种求解极值点（最大值或最小值）的方法。
它的基本思路是将问题转化为求解判断极值点的问题，然后通过对目标函数进行一系列偏移操作，使得判断极值点较为简便，最后再恢复到原始问题中。
具体步骤如下：1. 将需要求解的极值点问题转化为判断极值点的问题，即找到一个函数，并通过对该函数进行一系列偏移操作，使得极值点对应的函数值成为该函数的最大值或最小值。
2. 通过对目标函数进行合适的偏移操作，使得极值点上的一阶导数等于零，并且二阶导数为正（或负）。
3. 解出极值点对应的自变量的值。
4. 恢复到原始问题，求解极值点的函数值。
以下是一个例题：例题：寻找函数f(x) = x^3 + 3x^2 - 12x - 10的极值点。
解答：1. 将问题转化为判断极值点的问题，构造函数g(x) = f(x) - kx，其中k是一个常数。
通过调整k的值，可以使得g(x)在极值点上取得最大值或最小值。
2. 对g(x)进行偏移操作，使得g'(x) = 3x^3 + 6x^2 - (12 + k) = 0，并且g''(x) = 6x + 12 > 0。
解方程3x^3 + 6x^2 - (12 + k) = 0，得x = -2，x = 1为极值点。
3. 求解极值点对应的自变量的值，即k = f(x) / x。
当x = -2时，k = f(-2) / -2 = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) - 10 = -8+ 12 + 24 - 10 = 18。
当x = 1时，k = f(1) / 1 = (1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) - 10 = 1 + 3 -12 - 10 = -18。
因此，极值点分别为（-2，18）和（1，-18）。
4. 恢复到原始问题，求解极值点的函数值。
当x = -2时，f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) - 10 = -8 + 12 +24 - 10 = 18。
极值点偏移问题的两种常见解法之比较
极值点偏移问题的两种常见解法之比较极值点偏移问题的两种常见解法之比较浅谈部分导数压轴题的解法在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数y =f(x)是连续函数，在区间(捲卞2)内有且只有一个极值点x 0，且f(xj = f (X 2)，若极值点左右的增减速度”相同，常常有极值点x o 二为」，我2们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点的情况，我们称这种状态为极值点偏移”2极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，则对区间(a,b)内的任意两个变量x i 、X 2 ,f(xj ::： f(X 2)= X i ::： X 2;若函数f (x)在区间(a,b)内单调递减，则对区间(a,b)内的任意两个变量x 1> x 2， f (x 1p: f (x 2^ > x 2.二是利用对数平均不等式”证明，什么是对数平均”什么又是对数平均不等式”a -bL(a, b) = In a -1 n ba,a =b,对数平均数与算术平均数、几何平均数的大小关系是：85^2，(此式记为对数平均不等式) 下面给出对数平均不等式的证明:i) 当a 二b 0时，显然等号成立 ii) 当a = b 0时，不妨设a b 0，①先证..ab，要证Jab，只须证：In 空「a一” bIn aTnbIn aTnbb Yb V a/ 12ln x 二 x ,x 1x1 ”21设 f(x) =2ln x -x ,x 1，贝U f (x)12两个正数a 和b 的对数平均数定义: (x-1)1 2 X 20，所以 f (x)x x xa -b< --------In a-1 n b②再证:a -ba bIn a-1 nb 2..a-1 I n a要证：a -ba b ，只须证：bbIn a -1 nb 2a 〔 2 b人 ax -1 In x2 In x ,令r x1，则只须证：—，只须证1 一x 1所以g(x)在区间(1,=)内单调递减，所以g(x) ：：： g(1) = 0 ,即卩1 -a -b In a-1 n b例1 (2016年高考数学全国I 理科第21题)已知函数f (x) =(x - 2)e xa(x-1)2有两个零点.(I)求a 的取值范围;(n)设X" X 2是f (x)的两个零点，证明： x 1 X 2 ::: 2 .解：(I)函数f (x)的定义域为R ,当a = 0时，f (x) = (x 「2)e x= 0，得x = 2，只有一个零点，不合题意; 当 a = 0时，f (x) =(x —1)[e x 2a]当 a 0时，由「(x) =0得，x =1，由 f (x) 7得，x 1，由 f (x) <0得，x ：：：1, 故，x = 1是f (x)的极小值点，也是f ( x)的最小值点，所以f ( x) min = f (1) = -e ：：：又f (2) =a V ，故在区间(1,2)内存在一个零点X 2，即1 <心 2x _2 12由 lim (x 「2)e x= lim x Iim x = °，又 a(xT) 0，所以，f (x)在区间x ? x - e x 丨：-—e(v ,1)存在唯一零点x 1，即x ::1，设 g(x) =1In xg(xH(x 1)2丄2x-(x-1)2 2x(x 1)2:::0综上述，当a 0,b 0时,a ■'b g L(a 恥〒故a 0时，f (x)存在两个零点；当a 0时，由f (x) =0得，x =1 或x=In(-2a)，e若In (-2a) =1，即a 二时，f (x) _ 0,故f(x)在R 上单调递增，与题意不符 e 若In(-2a) .1，即a 0时，易证f (x)极大值二f(1)--e ：：：0故f (x)在R 上只有一2e个零点，若ln( -2a) ：d ，即a ：：： -二时，易证f(x)极大值=f ( In ( a^a( I n ( 2〉 4 Ina 2 )故fQx)在R 上只有一个零点综上述，a - 0(n)解法一、根据函数的单调性证明由(I)知，a 0 且论：：：1 ：：： x 2 ::: 2(x _ i)(e 2(x _ 1) 令 h(x) = f (x) _ f (2 _x) = (x -2)e x +xe 2」,x >1 贝H h"(x)= ------------------------------------------------------------ 二 -------， e因为x 1，所以x -1 0,e2(xJ)-1 0，所以h(x) 0 ,所以h(x)在(1「：)内单调递增所以 h(x) ?h(1)=0,即 f x) f2 x-，所以 f(x 2) f(2-x 2)，所以 f(xj ? f(2-x 2),因为 x-i::: 1,2 -x 2：：： 1 , f (x)在区间(一"',1)内单调递减，所以 x 1:: 2 -x 2，即 x 1 x 2 ：：：2解法二、利用对数平均不等式证明由(I)知，a 0，又 f(0) =a -2 所以，当 0 ：：： a _ 2 时，x^0 且 1 ：：： x 2 :: 2，故 x 1 x 2 :: 2即(2-皿_ (2乜澎即 2 2(1-X 1)(x-1)所以 In(2 -x 1)捲—2In(1 —x ,) =In(2 —x 2) x 2 -2In( x 2 -1)所以 In(2 —xj — In(2 —x 2) —2(In(1 —xj — In(x 2 -1)) = x 2 - x 1 = (2 - xj -(2 -x 2) 1 _2 In(^x1^In(x2~1K (―灯-门-卷)::4"冷 In (2—xJ —I n(2 —x 2) In(2—xJ —I n(2—x 2) 2当a - 2时, 0 ■ x ::: 1 ：：： x 2 ：：： 2，又因为 a =_(X 1 - 2)e Xl 「(x —)2_(X 2 - 2)e 勺-区-1)2 所以所以假设X i X2 _2，当X i x2=2 , Xl卷-2=0且2叩-灯小化-“二。
(完整版)极值点偏移问题
(完整版)极值点偏移问题
极值点偏移是指某个函数的最大值或最小值在其定义域内发生改变的现象。
这种现象多出现在对某些因素进行调整或改变时，导致函数的极值点位置发生偏移或移动，使得函数的最大值或最小值也相应地发生改变。
极值点偏移问题在实际生活中比较常见，例如在优化生产、优化销售、优化成本等领域中应用比较广泛。
在这些领域中，常常需要对某些条件进行调整，以实现最佳效益，从而使得函数的极值点位置发生变化。
例如，在优化生产过程中，如果加入了一些新的设施或流程，将会导致生产效率的变化。
这时，需要重新调整生产程序，使得在新的条件下，生产效率最高。
这个问题可以看做是一个优化问题，需要找到使得函数（生产效率）最大值或最小值的最优解。
然而，由于新的条件的影响，函数的极值点位置会发生偏移，需要重新计算最优解。
另一个例子是在销售领域中。
销售策略的不同会导致客户对某种产品的需求量发生变化，从而导致该产品的销量发生变化。
这时，需要重新制定销售策略，以实现最佳销售效果。
同样地，由于销售策略的变化，函数的极值点位置也会发生偏移，需要重新计算最佳销售策略。
总之，极值点偏移问题在实际生活中十分常见，需要我们在进行优化时认真分析和计算，以找到最佳的解决方案。
极值点偏移基本解题方法
极值点偏移基本解题方法极值点偏移基本解题方法介绍极值点偏移是一种常见的解题方法，特别适用于函数图像的求值，以及优化问题的求解。
本文将介绍极值点偏移的基本解题方法，包括以下几个方面：•极值点的定义和性质•寻找极值点的方法•利用极值点进行问题求解的示例极值点的定义和性质极值点是函数图像上的局部最大值或最小值，其具有如下性质：- 在局部范围内，极值点是函数图像的拐点 - 极值点的横坐标表示自变量取到极值时的取值 - 极值点的纵坐标表示函数取到的极值寻找极值点的方法寻找极值点的方法有多种，下面介绍几种常用的方法：1. 导数法通过计算函数的导数，当导数为零时，说明函数存在极值点。
然后再通过判断导数的变化来确定是极大值还是极小值。
2. 二分法对于一个函数，如果在区间的两个端点取值符号相反，那么这个区间内一定存在极值点。
可以通过二分法逐渐缩小区间，直到找到极值点。
3. 牛顿法利用导数的连续性和极值点的分布规律，通过不断迭代逼近极值点的方法。
首先猜测一个近似值，然后通过迭代计算来逐渐接近真实的极值点。
利用极值点进行问题求解的示例通过寻找极值点，我们可以解决一些实际问题。
下面通过一个示例来说明：问题描述某人想要在矩形围栏内建造一个最大面积的圆形花坛，求花坛的最大面积。
解决方法我们先建立问题的数学模型： - 假设矩形围栏的长为L，宽为W - 假设圆形花坛的半径为r - 圆形花坛的面积为A，即A = π * r^2我们需要求的是花坛的最大面积A，即求函数A(r)的极值。
由于圆形花坛必须在矩形围栏内，所以有如下的条件关系： - 0 <= r <= min(L, W)/2根据导数法，我们可以求得函数A(r)的导数： - A’(r) = 2πr 通过观察导数的变化，可以发现A’(r)在r>0时是单调递增的。
那么A(r)的极值只可能在r=0或r=min(L, W)/2的两个端点上取到。
因此，我们只需要计算A(0)和A(min(L, W)/2)的值，比较它们的大小，即可得到最大面积。
高中数学中的极值点偏移问题
高中数学中的极值点偏移问题极值点偏移是高中数学中一个重要的问题，涉及到函数的极值和导数的概念。
在解决这个问题时，我们需要理解函数的极值点是如何发生偏移的，以及如何应用导数的知识来解决相关的数学题目。
首先，让我们回顾一下函数的极值点是什么。
在数学中，给定一个函数，如果在某个点上函数的值是最大或最小的，那么该点就是函数的极值点。
极值点分为两种类型：极大值点和极小值点。
当函数在该点的值是整个定义域内最大的时候，该点就是极大值点；当函数在该点的值是整个定义域内最小的时候，该点就是极小值点。
那么，极值点为什么会发生偏移呢？极值点的偏移是由函数的变化趋势和定义域的限制共同决定的。
当我们对函数进行一些变换操作，例如平移、伸缩或翻转等，会导致函数图像发生相应的变化，进而影响极值点的位置。
具体而言，对函数进行平移操作会使得极值点整体发生平移；对函数进行伸缩操作会使得极值点的位置相对于原来的位置发生变化；而对函数进行翻转操作则会改变极值点的类型，即将原来的极小值点变成极大值点，或者将原来的极大值点变成极小值点。
接下来，我们将应用导数的知识来解决极值点偏移的问题。
导数是函数的变化率，通过导数我们可以判断函数在某个点的变化趋势。
在求解极值点偏移问题时，我们可以通过求导数来分析函数的变化情况，然后再根据变化趋势来确定极值点的位置。
具体的求解步骤如下：1. 求解原函数的导数。
根据函数的表达式，对其进行求导操作，得到导数函数。
2. 解方程f'(x) = 0。
将导数函数设置为零，求解得到解集。
3. 利用解集划分区间。
根据解集将定义域分成若干个区间。
4. 利用导数的正负判断极值点的类型。
在每个区间内选择一个代表点，代入导数函数，根据导数的正负判断极值点的类型。
导数大于零时，该点为极小值点；导数小于零时，该点为极大值点。
5. 根据函数的变化趋势确定极值点的位置。
根据导数的正负以及极值点的类型，我们可以确定函数在每个区间内的变化趋势。
浅谈函数的极值点偏移问题
浅谈函数的极值点偏移问题极值点偏移是近几年高考压轴题中的热点题型，很多学生为之困扰，今天，我举一个例子，利用两种方法即构造对称函数和换元法浅谈一下极值点偏移的常见解题方法一、极值点偏移问题的定义1.我们知道二次函数的顶点就是极值点，记为，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的中间，这时候极值点没有偏移。
2.若函数在开区间内只有一个极值点，的解分别为，若，则称函数在区间上极值点偏移。
，称函数在区间上极值点左偏，，称函数在区间上极值点右偏。
简单概括：极值点偏移即极值点与两零点的均值大小关系问题二、典例讲解例1.已知函数，（1）求的极值；（2）对任意两个正实数，且，若，证明解：（1），令，则当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，无极大值。
（2）不妨设由第一问可知设，则 =在上单调递减，即，，又又且在上单调递增即由例1总结：构造对称函数法解决极值点偏移问题的解题步骤：1.求出并求出极值点2.构造函数3.研究的单调性4.结合，判断的符号，从而确定与的大小5.由（4）得出或者1.结合的单调性得到或者，从而或者双变量问题可将双变量通过中间变量构造出两个变量之间的关系，再利用构造函数来解决方法2：换元法解：（2）不妨设由第一问可知令，则，由得解得：令则令则上单调递增上单调递增上单调递增即由方法2总结出换元法解决极值点偏移的解题步骤：1.令（通常也可以令）不妨给出的大小，从而得出的范围，2.将所证明的双变量式子表示成关于的函数，并令其为函数；3.讨论函数的单调性解决问题。
通过以上解决极值点偏移问题的两种方法，我们大致了解了极值点偏移问题的解题方法，当然除了以上两种方法，也还有其他解决办法，这里就不赘述了。
极值点偏移11种题型
极值点偏移11种题型极值点偏移是指数学中的一种概念，它允许把解决数学问题的计算过程从解析法（数学推导）转变为数值计算法（用计算机程序），以及其应用在代数、几何、微分和积分中11种题型上的具体体现。
2.念解释极值点偏移是一种数值分析方法，它用来确定一个函数在某点上取得极值，也就是取得最大值或者最小值。
它的本质是在此点附近以步长作为步长，从这个点出发，分别计算函数的值，得出最终的极值点位置。
3. 11种题型的具体体现（1）一元二次函数的极值点：通过极值点偏移方法，可以求出一元二次函数的极值点。
（2）多元函数的极值点：多元函数的极值点可以用极值点偏移法来寻找，确定一元函数取得极值时，用此法可以求出极值点。
（3）曲线下积分：利用极值点偏移法，可以求出一元函数在某一点的极值，从而求出曲线下积分。
（4）数值积分：极值点偏移法可以用来求出一元函数的极值，从而实现数值积分。
（5）积分方程：极值点偏移法可以用来求出一元函数的极值，从而求出方程的特解。
（6）矩形法求积分：极值点偏移法也可以用来求出一元函数的极值，从而实现矩形法求积分。
（7）梯形法求积分：极值点偏移法可以用来求出一元函数的极值，从而实现梯形法求积分。
（8）抛物线的面积：极值点偏移法也可以用来求出一元函数的极值，从而求出抛物线的面积。
（9）多边形的面积：如果已知多边形的顶点坐标，可以借助极值点偏移法，来求出多边形的面积。
（10）方程的求解：极值点偏移法可以用来求解一元方程，即找出方程的根。
（11）曲面积分：利用极值点偏移法，求出一个函数极值点的位置，再用此函数求出曲面的积分。
4.际应用极值点偏移法广泛应用于物理、机械、化学等技术领域，如爆炸物性能的分析、汽车司机驾驶行为检测、飞行器控制系统设计、流体动力学和热力学等，都能利用极值点偏移法来取得极值，从而得到准确的结果。
5.论极值点偏移是一种实用强大、便捷高效的数值分析方法，它在数学中的特殊用途以及工程领域的广泛应用，使得极值点偏移法成为一种重要的工具，为解决复杂的数学问题提供了可行的方法。
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极值点偏移（0）——偏移新花样（拐点偏移）
极值点偏移（1）——对称化构造（常规套路）
极值点偏移（2）——函数的选取（操作细节）
极值点偏移（3）——变更结论（操作细节）
极值点偏移（4）——比值代换（解题方法）
极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）
极值点偏移（6）——泰勒展开（本质回归）
极值点偏移（7）——好题精选一题多解23例
其他相关文章
极值点偏移（8）——好题精选一题多解23例
极值点偏移（9）——好题精选一题多解23例
极值点偏移问题专题（二）——函数的选取（操作细节）
例4 已知函数()e x f x ax =-有两个不同的零点1x ，2x ，其极值点为0x ．
（1）求a 的取值范围；
（2）求证：1202x x x +<； （3）求证：122x x +>； （4）求证：121x x <．
解：（1）()e x f x a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在R 上，()f x 至多有一个
零点，舍去；则必有0a >，得()f x 在(),ln a -∞上，在()ln ,a +∞上
，要使()f x 有两个不同的零点，则须有()ln 0e f a a <⇒>．（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x →-∞时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞）．
（3）由所证结论可以看出，这已不再是()f x 的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：
()e e 0e x x x
f x ax ax a x =-=⇔=⇔=，记函数()e x
g x x =，则有()()12g x g x a ==． 求导得()()2e 1x x g x x
-'=，则1是()g x 的极小值点，我们选取函数()g x 来证（3）中结论122x x +>；顺带地，也可证（4）中结论121x x <．
（i ）()g x 在(),0∞上，在()0,1上，在()1,+∞上；()g x 与x 的符号相同；当x →-∞时，()0g x →；当0x -→时，()g x →-∞；当0x +→时，()g x →+∞时，()g x →+∞，()g x 的图像如下：
由()()12g x g x a ==不妨设1201x x <<<．
（ii ）构造函数()()()2G x g x g x =--，则
()()()
()()()
()()2222222e 1e 12e e 12x x x x G x g x g x x x x x x x x --'''=+---=+-⎛⎫=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
， （4）（i ）同上；
（ii ）构造函数()()1G x g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，则
()()()()()
1122222111e 1e 111e e 1x x
x x G x g x g x x x x x x x x x x ⎛⎫'''=+ ⎪⎝⎭
⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭
-=-⋅ 当01x <<时，10x -<，但因式1
e e x x x -的符号不容易看出，引进辅助函数()1e e x x x x ϕ=-，则()11
e 1e x x x x ϕ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭
，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，得()x ϕ在()0,1上，有()()10x ϕϕ<=，则()0G x '>，得()G x 在()0,1上，有()()10G x G <=，即()()101g x g x x ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭
； （iii ）将1x 代入（ii ）中不等式得()()1211g x g x g x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭
，又21x >，111x >，()g x 在()1,+∞上，故21
1x x <，121x x <． 点评：虽然做出来了，但判定因式()
222e e 2x x
x x ---及1e e x x x -的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然()g x 的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．
再次回到题设条件：
()()0e e ln ln ln ln x f x ax a x a x x x a =⇔=>⇔=+⇔-=，记函数()ln h x x x =-，则有()()12ln h x h x a ==．接下来我们选取函数()h x 再解（3）、（4）两问．
（3）（i ）()11h x x '=-
，得()h x 在()0,1上，在()1,+∞上，有极小值()11h =，又当0x +→时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞，故()h x 的图像如下：
由()()12h x h x =不妨设1201x x <<<．
（ii ）构造函数()()()2H x h x h x =--，则
()()()
()2111121112H x h x h x x x x x x '''=+-=-+--⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭
当01x <<时，10x -<，1102x x ->-，则()0H x '<，得()H x 在()0,1上，有()()10H x H >=，即
()()()
201h x h x x >-<<点评：用函数()ln h x x x =-来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．
注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将11ln ln x x a =+，22ln ln x x a =+相加得()12120ln 2ln 2ln 2x x x x a a x +=+<=．
注2：在第（ii ）步中，我们为什么总是给定1x 的范围？这是因为1x 的范围()0,1较2x 的范围()1,+∞小，以第（3）问为例，若给定()1,x ∈+∞，因为所构造的函数为
()()()2H x h x h x =--，这里0x >，且20x ->，得02x <<，则当2x ≥时，()H x 无意义，被迫分为两类：
①若22x ≥，则1222x x x +>≥，结论成立；
②当()1,2x ∈时，类似于原解答．
而给字()0,1x ∈，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定1x 或2x 的范围均可，请读者自己体会其中差别．
思考：练习1（查看热门文章里极值点偏移（1））应该用哪个函数来做呢？ 提示：用函数ln x y x =
来做212e x x >，用函数ln y x ax =-来做122x x a
+>．
练习2 （安徽合肥2017高三第二次质量检测）已知()ln()f x x m mx =+-
（1） 求()f x 的单调区间
（2） 设1m >, 1x ，2x 为函数()f x 的两个零点，求证120x x +<
提示：将()0f x =，两边取对数转化为指数方程处理。
——未完待续 ，后面6篇更加精彩，欢迎关注微信公众号中学数学探讨部落 下载其他历史文章word 版
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1、极值点偏移问题专题一——偏移新花样—拐点偏移PK极值点偏移常规套路
2、极值点偏移问题专题二——如何选择合理的函数
3、极值点偏移问题专题三——变更结论处理偏移
4、极值点偏移问题专题四——比值代换齐次消元
5、极值点偏移问题专题五——对数平均显神威
6、极值点偏移问题专题六——本质回归泰勒展开
7、极值点偏移问题专题七——历年精选一题多解23例
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9、一题学懂极值点偏移五大处理套路。