条件概率和独立事件

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人教A版 ·数学（理）
P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝(23)3＝287.
所以 ξ 的分布列是
Hale Waihona Puke Baidu
ξ012 3 6
P
1 27
2 9
4 27
8 27
8 27
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1．(2010·北京高考)某同学参加 3 门课程的考试．假设该同学第一门课程 取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别 为 p、q(p>q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立． 记 ξ 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
(2)该选手至多进入第三轮考核的概率 P3 ＝ P( A1 ＋ A1 A2 ＋ A1A2 A3 ) ＝ P( A1 ) ＋ P(A1)P( A2 ) ＋ P(A1)P(A2)P( A3 )＝15＋45×25＋45×35×35＝110215.
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2 [例 4] (2010·天津高考)某射手每次射击击中目标的概率是3，且 各次射击的结果互不影响． (1)假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率；
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(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未 击中目标的概率；
(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击 中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击 中，则额外加1次．若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3 次后的总得分数，求ξ的分布列．
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A、B中至少有一个发生的事件为A∪B； A、B都发生的事件为AB； A、B 都不发生的事件为 A B ； A、B 恰有一个发生的事件为 A B ∪ A B； A、B 中至多有一个发生的事件为 A B ∪ A B∪ A B .
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[例 2] 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进 入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四 轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
A、B是相互独立事件
．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝ P(B)
，
P(AB)＝ P(B|A)·P(A)＝P(A)·P(B)．
(3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，
则A与B相互独立．
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解析：合格率为(1－a)(1－b)＝ab－a－b＋1. 答案：ab－a－b＋1
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热点之一 条件概率 1．利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)＝PPAAB. 2．借助古典概型概率公式，先求事件 A 包括的基本事件数 n(A)， 再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数，即 n(AB)，得 P(B|A)＝nnAAB.
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[例1] 一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能 的，已知这个家庭有一个小孩是女孩，问这时另一个小孩是男孩 的概率是多少？
[课堂记录] 解法一：基本事件的全体 Ω＝{男男，男女，女男， 女女}，记事件 A 为有一个女孩，则 P(A)＝34，记事件 B 为另一个是男孩， 则 AB 就是事件一个男孩一个女孩，P(AB)＝12，故在已知这个家庭有一
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.66 解析：甲市为雨天记为 A，乙市为雨天记为 B， 则 P(A)＝0.2，P(B)＝0.18， P(AB)＝0.12， ∴P(B|A)＝PPAAB＝00.1.22＝0.6
答案：A
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2．相互独立事件
(1) 对 于 事 件 A 、 B ， 若 A 的 发 生 与 B 的 发 生 互 不 影 响 ， 则 称
P(A)＝P(A1A2A3 A4 A5 )＋P( A1 A2A3A4 A5 )＋P( A1 A2 A3A4A5) ＝(23)3×(13)2＋13×(23)3×13＋(13)2×(23)3＝881.
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(3)由题意可知，ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,6. P(ξ＝0)＝P( A1 A2 A3 )＝(13)3＝217； P(ξ＝1)＝P(A1 A2 A3 )＋P( A1 A2 A3 )＋P( A1 A2 A3)＝23×(13)2＋13×23 ×13＋(13)2×23＝29； P(ξ＝2)＝P(A1 A2 A3)＝23×13×23＝247； P(ξ＝3)＝P(A1A2 A3 )＋P( A1 A2A3)＝(23)2×13＋13×(23)2＝287；
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条件概率及独立事件
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1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事
件B发生的概率叫做 条件概率 ，用符号 P(B|A) 来表示，其公式为
PAB
P(B|A)＝ PA
.
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后，第二次再次取到不合格品的概率为________． 解析：设 A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}，
则 P(AB)＝CC150202，所以 P(B|A)＝PPAAB＝1500× 5 949＝949. 100
答案：949
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热点之二 相互独立事件
(2)条件概率具有的性质：
① 0≤P(B|A)≤1
，
②如果B和C是两件互斥事件，则
P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A) ．
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甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年 中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为 雨天，乙市也为雨天的概率为( )
1．相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影 响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生．
2．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至 多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不 都发生”等词语的意义．已知两个事件A、B，它们的概率分别为 P(A)、P(B)，则z
1．甲射击命中目标的概率为0.75，乙射击命中目标的概率为23，当
两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为( )
1 A.2
B．1
11 5 C.12 D.6
解析：P＝34×13＋14×23＋34×23＝1112.
答案：C
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2．某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率为 a，第2道工序的废品率为b，假定这2道工序出废品是彼此无关 的，那么产品的合格率是________．
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(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (2)求p，q的值； (3)求数学期望Eξ. 解：事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩”，i＝1,2,3.由题 意知 P(A1)＝45，P(A2)＝p，P(A3)＝q.
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(1)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝ 0”是对立的，所以该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是
1－P(ξ＝0)＝1－1625＝111295. (2)由题意知 P(ξ＝0)＝P( A1 A2 A3 )＝15(1－p)(1－q)＝1625，P(ξ＝3)＝P(A1A2A3) ＝45pq＝12245.
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整理得 pq＝265，p＋q＝1. 由 p>q，可得 p＝35，q＝25. (3)由题意知 a＝P(ξ＝1)＝P(A1 A2 A3 )＋P( A1 A2 A3 )＋P( A1 A2 A3) ＝45(1－p)(1－q)＋15p(1－q)＋15(1－p)q＝13275. b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝15285. Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝95.
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1 个是女孩的条件下，另一个是男孩的概率 P(B|A)＝PPAAB＝23＝23.
4
解法二：记有一个女孩的基本事件的全体 Ω＝{男女，女男，女女}，
则另一个是男孩含有基本事件 2 个，故这个概率是23.
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即时训练 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从 中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品
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[解] (1)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数，则 X～B(5， 23)．在 5 次射击中，恰有 2 次击中目标的概率 P(X＝2)＝C52×(23)2×(1 －23)3＝24403.
(2)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i＝1,2,3,4,5)；“射手在 5 次射击中，有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标”为事件 A，则
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[课堂记录] (1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai(i＝1,2,3,4)，则 P(A1)＝45，P(A2)＝35，P(A3)＝25，P(A4)＝15，∴该选手 进入第四轮才被淘汰的概率 P4＝P(A1A2A3 A4 )＝P(A1)P(A2)P(A3)P( A4 ) ＝45×35×25×45＝69265.