光学小波变换(第8讲)
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2016/10/12
1
h (x)
a,b
1 0
x
22
h(x)的傅里叶变换
h(x)的)傅里叶变换为H( )
H ( ) i 2 exp{i 2}
1 cos( )
0
2016/10/12
H( )
23
Haar小波变换和边缘探测
Haar小波变换是信号函数与Haar函数经伸缩后的
可提取不同的信息。 为了实现局部化,在傅里叶变换中加入一个窗函数w(x):
Gw( f , x0) g ( x) exp( i 2fx) w( x x0)dx
2016/10/12
（3）
13
Short-time Fourier transform
在频域中的表达式:
Gw( f , x0) [W ( f ) exp( 2ifx0)] G( f )
x y x y
8
2016/10/12
一维信号的傅里叶变换和逆变换
为方便分析采用一维的信号:
G ( fx )
g ( x) exp[ i 2fxx]dx
(1)
g ( x) G ( fx ) exp[ i 2fxx]dfx
2016/10/12
(2)
9
快速过程或暂态过程
17
信号函数的小波变换-2
上式还可写成:
1 b Wa , b{g ( x)} h( ) g (b) a a
即小波变换可表为缩放后的母函数与信号函数的相
关,母函数的中心位移则是相关函数的变量. 由于相关运算比较容易用光学相关器进行,因此小波 变换可以用我们熟悉的光学相关器来实现.
在欧美国家已成为众多学科共 同关注的热 点。 小波分析被认为是傅里叶分析的突破性进展, 是调和分析这一数学领域半个世纪 以来工作 的结晶； 它正逐步应用于信号分析、系统控制、图像 处理、量子力学、 电子对抗、计算机识别、 语音识别与合成、分形和数字电视等领域。
2016/10/12 31
参考资料
号进行不加权的积分，这事实上是一个平滑或 平均的过程。 2，将正、负半周的积分值相减。 以上两个作用的综合结果，是在平均的意义下 求差分，或求导数，恰恰是测出了图形的边缘。
2016/10/12
25
下图是对一个带有低频噪声方波进行Haar小波变换的结 果,小波变换作为位移因子b的函数,在方波的两个边缘呈 现一对峰,极值恰恰指示了边缘的位置.
2016/10/12 18
信号函数的小波变换-3
并非任何函数都可以作为小波变换的函数,h(x)必
时衰减到零,实际使用的小波变换的 须在 x 母函数h(x),当 x 时迅速衰减,使它不显著为 零的分量只存在于一个很小的区间内,这正是小波 名称的由来.
Wa , b{g ( x)} [ha , b, g ( x)] 1 a
2016/10/12
x b h*( ) g ( x)dx a
19
实现一维小波变换的光学系统
光学信息处理器具有高度的并行处理性能
L1
SLM1 L2 SLM2 L3
s
g(x)
H(a ,u)
m
Z
20
Βιβλιοθήκη Baidu
2016/10/12
SLM1上输入信号g(x),经L2变换,在uv平面上形成
它的傅里叶变换谱G(u),uv平面上放置SLM2,它 被分成M个沿u方向的带状区域,这些带状区域中 分别显示具有不同伸缩因子am的基元函数h的傅 里叶谱H*(amu), m=1,2,3,---M. {H(amu), m=1,2,3---M} 构成多通道小波变换匹配滤 波器,在L3的后焦面上放置CCD器件. 相应形成带状通道像,即小波变换的结果.
2016/10/12 6
小波变换分析
在信号处理上,富里叶变换分 析的一个不足之
处是它不能作局部分析,小波变换分析正好能 弥补这一不足。 小波变换分析从有限个具局部性与振动性的 小波函数出发,通过平移与展缩使得函数的分 析在时域和频域两方面同时局部化, 因而为各 类函数空间的分析提供了较传统富里叶分析 更有 力的工具。
光学小波变换
2016/10/12
1
小波变换的概念-1
小波变换的概念是1974年由法国从事石油地质勘探
信号处理的工程师 J.Morlet 和A.Grossmann 在分 析处理地震数据时首先引进的,并成功地运用于地震 信号的分析。后来法国数学家Y.Meyer从理论上对 小波作了一系列研究,极大地丰富了现代调和分析的 内容。 1988年 Arneodo 及 Grasseau 等人将小波分析运 用于混沌动力学和分形理论以研究湍流及分形生长 现象 。
的有力工具。
2016/10/12
4
小波变换分析的应用领域
1,数学； 2,信号分析、图象处理； 3,量子力学、理论物理； 4,军事电子对抗与武器的智能化； 5,计算机分类与识别； 6,音乐与语言的人工合成； 7,生物医学工程成像与诊断； 8,地震勘探数据处理； 9,大型机械的故障诊断等方面等等。
母函数相关的结果.
其中
1 b Wa , b{g ( x)} h( ) g (b) a a
1 3 h( x) rect[2( x )] rect[2( x )] 4 4)
2016/10/12
24
对于一个给定的伸缩因子a, Haar小波变换 的作用是:
1,在小波基元函数ha,b(x)的正、负半周内对信
2016/10/12
21
Haar小波变换和图形边缘探测
Haar变换的数学形式
1 3 h( x) rect[2( x )] rect[2( x )] 4 4
Haar小波函数ha,b(x)是以
x=1/2为中心的反对称函数, 在区间[0,1]以外皆为零,是 典型的小波. 它有三个值:+1,-1,0易用光 学方法实现.
2016/10/12 7
傅里叶变换和傅里叶逆变换表达式:
函数图像g(x,y)的傅里叶变换和傅里叶逆变换表达式:
G ( fx, fy )
,
g ( x, y) exp[ i2 ( f x f y)]dxdy
x y
g ( x, y )
,
G( f , f ) exp[i2 ( f x, f y)]dxdy
2016/10/12 10
小波信号
信号S(t)在某一时刻突然出
现，但很快衰减到零，是 暂短的信号，称为小波信 号。许多光学信号，例如 远处空中的目标、显微镜 下的物体、被鉴别的指纹 等等。 它们不显著为零的分量只 分布在有限的区域内，即 是暂态过程。 我们仅对 内的时间信 号感兴趣。
S（t）
1，汪富泉，李后强，《小波理论与分形》，物理，23
（1994），539-543 2，宋菲君，S。Jutamulia，《近代光学信息处理》，北京 大学出版社，（1998），136-165 3，C.K.Chui， AnIntroduction to Wavelet，SanDiego， Academic，1992 4,Y.Li, H.H.Szu,Y.Sheng and H.J.Caufield,Wavelet processing and optics,Proc. IEEE,84(1996),720-732
2016/10/12 2
小波变换的概念-2
小波变换是一个时间和频率的局域变换，它
能有效地从信号中提取信息，同时通过伸缩 和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度 细化分析（Multiscale Analysis），解决了 Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而 小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和 分析发展史上里程碑式的进展。
5
2016/10/12
数学、图像处理、生物医学工程 领域的应用：
数学领域：用于数值分析、构造快速数值方
法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论 等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、 传递等。 图象处理领域：图象压缩、分类、识别与诊 断，去污等。 生物医学工程领域：成像方面的减少B超、 CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。
0
t
t
2016/10/12
11
WEVELET
2016/10/12
12
短时傅里叶变换（STFT）
为提取局部信号g(x)的信息，引入局部化变换的概念,其
有两个要素： 1，被分析的区间要有一定的宽度 信息进行处理；
x
，仅对它附近的
2，被分析的区间有一个中心坐标xc，当xc改变时，就
2016/10/12 29
对信号进行多尺度分析
小波分析可以对信号进行多尺度分析，它具
有很强的特征提取功能，尤其是对突变信号 的处理优势非常明显。 由于随机噪声信号的小波变换与有效信号的 小波变换在特征上具有明显的区别，因此小 波分析方法具有很强的消噪功能。
2016/10/12
30
结语
小波分析是近年来迅速发展起来的新兴学科,
W ( a, )
2016/10/12
26
高频噪声的情况
W ( a, )
2016/10/12
27
方波同时有高、低频噪声
W ( a, )
2016/10/12
28
小波变换对信号的奇异点非常敏感
小波变换对信号的奇异点非常敏感，当信号在某一
时刻发生突变时，该信号的小波变换在一定的尺度 范围内均会在信号突变处出现峰值，并且呈现出与 噪声截然不同的特性。 利用这一特点，通过选择合适的尺度参数，可以在 强噪声背景下，准确地检测到突变信号。有效信号 突变点所对应的小波变换模极大值具有沿尺度传递 的特性；而随机噪声信号的小波变换模极大值将随 着尺度的增加而迅速衰减。
2016/10/12
3
小波变换的概念-3
信号和图像处理是当代前沿科学技术的一个重要的
组成部分，信号和图像处理的目的就是：准确地对 信息进行分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递 或存储、精确地重构（或恢复）。 从数学的角度来看，信号与图象处理都可以看作是 信号处理（图象可以看作是二维信号），在小波变 换分析的许多应用中，都可以把信号与图象的处理 归结为信号处理问题。 对于稳定不变的信号，处理的理想工具是傅立叶分 析。然而在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的， 而小波变换分析就是一个对非稳定信号进行处理
Short-time Fourier transform
(1)式表示信号g(x)中频率为fx的成份含量为G(fx), x
可以是时间变量或空间变量, G(fx)则分别表示时间频 率或空间频率的成份含量. 如果g(x)是一个时域或空域中分布在( , ) 中 的恒稳过程或稳定分布,则傅里叶分析会给出近乎完美 的结果 ,然而在自然界和科学技术中大量的信号具有局 部或定域的特性。例如：语言信号、声纳信号、各种电 脉冲等。 这些信号只出现在一个暂短的时间间隔内，此后很快衰 减到零，这是一种快速过程或称暂态过程。
W和G分别是w和g的傅里叶变换.只要有足够快的衰减
速度,窗函数就是一个局部化的函数。 （3）式定义的变换即称为短时傅里叶变换(shorttime Fourier transform; STFT)。 特点是频率变量 f 和坐标变量x0同时出现在变换函数 中。 为卷积算符.
2016/10/12 14
2016/10/12
1
0.5
16
信号函数的小波变换-1
信号函数g(x)的小波变换定义为小波ha,b(x)和g(x)的 内积,即ha,b(x)的复共轭和g(x)的乘积的积分:
Wa , b{g ( x)} [ha , b, g ( x)] 1 a
2016/10/12
x b h * ( ) g ( x ) dx a
小波变换的定义和性质
1,小波变换的定义
母函数h(x)的基本小波函数ha,b(x)定义为:
1 x b ha , b( x) h( ), a a
2016/10/12
(5)
式中 b 称为小波变换的位移因子,
a>0 称为伸缩因子.
15
小波宽度的伸缩
右图可见当a增大时,小
波的宽度加宽(膨胀); 当a减小时,小波的宽度 变小(收缩). (5)式表明基本小波是母 函数经平移和缩放的结 果. 基本小波即简称为小波 (Wavelet)
1
h (x)
a,b
1 0
x
22
h(x)的傅里叶变换
h(x)的)傅里叶变换为H( )
H ( ) i 2 exp{i 2}
1 cos( )
0
2016/10/12
H( )
23
Haar小波变换和边缘探测
Haar小波变换是信号函数与Haar函数经伸缩后的
可提取不同的信息。 为了实现局部化,在傅里叶变换中加入一个窗函数w(x):
Gw( f , x0) g ( x) exp( i 2fx) w( x x0)dx
2016/10/12
（3）
13
Short-time Fourier transform
在频域中的表达式:
Gw( f , x0) [W ( f ) exp( 2ifx0)] G( f )
x y x y
8
2016/10/12
一维信号的傅里叶变换和逆变换
为方便分析采用一维的信号:
G ( fx )
g ( x) exp[ i 2fxx]dx
(1)
g ( x) G ( fx ) exp[ i 2fxx]dfx
2016/10/12
(2)
9
快速过程或暂态过程
17
信号函数的小波变换-2
上式还可写成:
1 b Wa , b{g ( x)} h( ) g (b) a a
即小波变换可表为缩放后的母函数与信号函数的相
关,母函数的中心位移则是相关函数的变量. 由于相关运算比较容易用光学相关器进行,因此小波 变换可以用我们熟悉的光学相关器来实现.
在欧美国家已成为众多学科共 同关注的热 点。 小波分析被认为是傅里叶分析的突破性进展, 是调和分析这一数学领域半个世纪 以来工作 的结晶； 它正逐步应用于信号分析、系统控制、图像 处理、量子力学、 电子对抗、计算机识别、 语音识别与合成、分形和数字电视等领域。
2016/10/12 31
参考资料
号进行不加权的积分，这事实上是一个平滑或 平均的过程。 2，将正、负半周的积分值相减。 以上两个作用的综合结果，是在平均的意义下 求差分，或求导数，恰恰是测出了图形的边缘。
2016/10/12
25
下图是对一个带有低频噪声方波进行Haar小波变换的结 果,小波变换作为位移因子b的函数,在方波的两个边缘呈 现一对峰,极值恰恰指示了边缘的位置.
2016/10/12 18
信号函数的小波变换-3
并非任何函数都可以作为小波变换的函数,h(x)必
时衰减到零,实际使用的小波变换的 须在 x 母函数h(x),当 x 时迅速衰减,使它不显著为 零的分量只存在于一个很小的区间内,这正是小波 名称的由来.
Wa , b{g ( x)} [ha , b, g ( x)] 1 a
2016/10/12
x b h*( ) g ( x)dx a
19
实现一维小波变换的光学系统
光学信息处理器具有高度的并行处理性能
L1
SLM1 L2 SLM2 L3
s
g(x)
H(a ,u)
m
Z
20
Βιβλιοθήκη Baidu
2016/10/12
SLM1上输入信号g(x),经L2变换,在uv平面上形成
它的傅里叶变换谱G(u),uv平面上放置SLM2,它 被分成M个沿u方向的带状区域,这些带状区域中 分别显示具有不同伸缩因子am的基元函数h的傅 里叶谱H*(amu), m=1,2,3,---M. {H(amu), m=1,2,3---M} 构成多通道小波变换匹配滤 波器,在L3的后焦面上放置CCD器件. 相应形成带状通道像,即小波变换的结果.
2016/10/12 6
小波变换分析
在信号处理上,富里叶变换分 析的一个不足之
处是它不能作局部分析,小波变换分析正好能 弥补这一不足。 小波变换分析从有限个具局部性与振动性的 小波函数出发,通过平移与展缩使得函数的分 析在时域和频域两方面同时局部化, 因而为各 类函数空间的分析提供了较传统富里叶分析 更有 力的工具。
光学小波变换
2016/10/12
1
小波变换的概念-1
小波变换的概念是1974年由法国从事石油地质勘探
信号处理的工程师 J.Morlet 和A.Grossmann 在分 析处理地震数据时首先引进的,并成功地运用于地震 信号的分析。后来法国数学家Y.Meyer从理论上对 小波作了一系列研究,极大地丰富了现代调和分析的 内容。 1988年 Arneodo 及 Grasseau 等人将小波分析运 用于混沌动力学和分形理论以研究湍流及分形生长 现象 。
的有力工具。
2016/10/12
4
小波变换分析的应用领域
1,数学； 2,信号分析、图象处理； 3,量子力学、理论物理； 4,军事电子对抗与武器的智能化； 5,计算机分类与识别； 6,音乐与语言的人工合成； 7,生物医学工程成像与诊断； 8,地震勘探数据处理； 9,大型机械的故障诊断等方面等等。
母函数相关的结果.
其中
1 b Wa , b{g ( x)} h( ) g (b) a a
1 3 h( x) rect[2( x )] rect[2( x )] 4 4)
2016/10/12
24
对于一个给定的伸缩因子a, Haar小波变换 的作用是:
1,在小波基元函数ha,b(x)的正、负半周内对信
2016/10/12
21
Haar小波变换和图形边缘探测
Haar变换的数学形式
1 3 h( x) rect[2( x )] rect[2( x )] 4 4
Haar小波函数ha,b(x)是以
x=1/2为中心的反对称函数, 在区间[0,1]以外皆为零,是 典型的小波. 它有三个值:+1,-1,0易用光 学方法实现.
2016/10/12 7
傅里叶变换和傅里叶逆变换表达式:
函数图像g(x,y)的傅里叶变换和傅里叶逆变换表达式:
G ( fx, fy )
,
g ( x, y) exp[ i2 ( f x f y)]dxdy
x y
g ( x, y )
,
G( f , f ) exp[i2 ( f x, f y)]dxdy
2016/10/12 10
小波信号
信号S(t)在某一时刻突然出
现，但很快衰减到零，是 暂短的信号，称为小波信 号。许多光学信号，例如 远处空中的目标、显微镜 下的物体、被鉴别的指纹 等等。 它们不显著为零的分量只 分布在有限的区域内，即 是暂态过程。 我们仅对 内的时间信 号感兴趣。
S（t）
1，汪富泉，李后强，《小波理论与分形》，物理，23
（1994），539-543 2，宋菲君，S。Jutamulia，《近代光学信息处理》，北京 大学出版社，（1998），136-165 3，C.K.Chui， AnIntroduction to Wavelet，SanDiego， Academic，1992 4,Y.Li, H.H.Szu,Y.Sheng and H.J.Caufield,Wavelet processing and optics,Proc. IEEE,84(1996),720-732
2016/10/12 2
小波变换的概念-2
小波变换是一个时间和频率的局域变换，它
能有效地从信号中提取信息，同时通过伸缩 和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度 细化分析（Multiscale Analysis），解决了 Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而 小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和 分析发展史上里程碑式的进展。
5
2016/10/12
数学、图像处理、生物医学工程 领域的应用：
数学领域：用于数值分析、构造快速数值方
法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论 等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、 传递等。 图象处理领域：图象压缩、分类、识别与诊 断，去污等。 生物医学工程领域：成像方面的减少B超、 CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。
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11
WEVELET
2016/10/12
12
短时傅里叶变换（STFT）
为提取局部信号g(x)的信息，引入局部化变换的概念,其
有两个要素： 1，被分析的区间要有一定的宽度 信息进行处理；
x
，仅对它附近的
2，被分析的区间有一个中心坐标xc，当xc改变时，就
2016/10/12 29
对信号进行多尺度分析
小波分析可以对信号进行多尺度分析，它具
有很强的特征提取功能，尤其是对突变信号 的处理优势非常明显。 由于随机噪声信号的小波变换与有效信号的 小波变换在特征上具有明显的区别，因此小 波分析方法具有很强的消噪功能。
2016/10/12
30
结语
小波分析是近年来迅速发展起来的新兴学科,
W ( a, )
2016/10/12
26
高频噪声的情况
W ( a, )
2016/10/12
27
方波同时有高、低频噪声
W ( a, )
2016/10/12
28
小波变换对信号的奇异点非常敏感
小波变换对信号的奇异点非常敏感，当信号在某一
时刻发生突变时，该信号的小波变换在一定的尺度 范围内均会在信号突变处出现峰值，并且呈现出与 噪声截然不同的特性。 利用这一特点，通过选择合适的尺度参数，可以在 强噪声背景下，准确地检测到突变信号。有效信号 突变点所对应的小波变换模极大值具有沿尺度传递 的特性；而随机噪声信号的小波变换模极大值将随 着尺度的增加而迅速衰减。
2016/10/12
3
小波变换的概念-3
信号和图像处理是当代前沿科学技术的一个重要的
组成部分，信号和图像处理的目的就是：准确地对 信息进行分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递 或存储、精确地重构（或恢复）。 从数学的角度来看，信号与图象处理都可以看作是 信号处理（图象可以看作是二维信号），在小波变 换分析的许多应用中，都可以把信号与图象的处理 归结为信号处理问题。 对于稳定不变的信号，处理的理想工具是傅立叶分 析。然而在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的， 而小波变换分析就是一个对非稳定信号进行处理
Short-time Fourier transform
(1)式表示信号g(x)中频率为fx的成份含量为G(fx), x
可以是时间变量或空间变量, G(fx)则分别表示时间频 率或空间频率的成份含量. 如果g(x)是一个时域或空域中分布在( , ) 中 的恒稳过程或稳定分布,则傅里叶分析会给出近乎完美 的结果 ,然而在自然界和科学技术中大量的信号具有局 部或定域的特性。例如：语言信号、声纳信号、各种电 脉冲等。 这些信号只出现在一个暂短的时间间隔内，此后很快衰 减到零，这是一种快速过程或称暂态过程。
W和G分别是w和g的傅里叶变换.只要有足够快的衰减
速度,窗函数就是一个局部化的函数。 （3）式定义的变换即称为短时傅里叶变换(shorttime Fourier transform; STFT)。 特点是频率变量 f 和坐标变量x0同时出现在变换函数 中。 为卷积算符.
2016/10/12 14
2016/10/12
1
0.5
16
信号函数的小波变换-1
信号函数g(x)的小波变换定义为小波ha,b(x)和g(x)的 内积,即ha,b(x)的复共轭和g(x)的乘积的积分:
Wa , b{g ( x)} [ha , b, g ( x)] 1 a
2016/10/12
x b h * ( ) g ( x ) dx a
小波变换的定义和性质
1,小波变换的定义
母函数h(x)的基本小波函数ha,b(x)定义为:
1 x b ha , b( x) h( ), a a
2016/10/12
(5)
式中 b 称为小波变换的位移因子,
a>0 称为伸缩因子.
15
小波宽度的伸缩
右图可见当a增大时,小
波的宽度加宽(膨胀); 当a减小时,小波的宽度 变小(收缩). (5)式表明基本小波是母 函数经平移和缩放的结 果. 基本小波即简称为小波 (Wavelet)