专题：高考数学选择题的解题方法与技巧

专题：选择题的解题方法与技巧一、教学目标1、了解并掌握选择题的解题方法与技巧，使学生能够达到准确、迅速解答选择题的目的；2、培养学生灵活多样的辩证唯物主义观点；3、培养学生的自信心，提高学生的创新意识．二、重点聚集高考数学选择题占总分值的52．其解答特点是“四选一”，快速、准确、无误地选择好这个“一”是十分重要的． 选择题和其它题型相比，解题思路和方法有着一定的区别，产生这种现象的原因在于选择题有着与其它题型明显不同的特点：①立意新颖、构思精巧、迷惑性强、题材内容相关相近，真假难分；②技巧性高、灵活性大、概念性强、题材内容储蓄多变、解法奇特；③知识面广、跨度较大、切入点多、综合性强．正因为这些特点，使得选择题还具有区别与其它题型的考查功能：①能在较大的知识范围内，实现对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查；②能比较确切地考查考生对概念、原理、性质、法则、定理和公式的掌握和理解情况；③在一定程度上，能有效地考查逻辑思维能力，运算能力、空间想象能力及灵活和综合地运用数学知识解决问题的能力．三、基础训练（1）若定义在区间（-1，0）内的函数)1(log )(2+=x x f a ，满足0)(>x f ，则a 的取值范围是：A ．)210(，B ．]210(，C ．)21[∞+，D ．)0(∞+， （2）过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是：A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= （3）如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图像关于直线8π=x 对称，那么a 等于：A ．2B ．2-C ．1D ．-1（4）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围为：A ．（-1，1）B ．),1(+∞-C ．),0()2,(+∞--∞D ．),1()1,(+∞--∞（5）已知向量≠，1||=，且对任意R t ∈，恒有||||t -≥-，则A ．e a ⊥B ．)(e a a -⊥C ．)(e a e -⊥D ．)()(e a a e -⊥+ 答案：（1）A （2）C （3）C （4）D （5）C四、典型例题 （一）直接法直接从题目条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择、涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．例1、关于函数21)32(sin )(||2+-=x x x f ，看下面四个结论：①)(x f 是奇函数；②当2007>x 时，21)(>x f 恒成立；③)(x f 的最大值是23；④)(x f 的最小值是21-．其中正确结论的个数为：A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】||||||2)32(2cos 21121)32(22cos 121)32(sin )(x x x x x x x f --=+--=+-=， ∴)(x f 为偶函数，结论①错；对于结论②，当π1000=x 时，01000sin ,20072=>πx ，∴21)32(21)1000(1000<-=ππf ，结论②错． 又∵12cos 1≤≤-x ，∴232cos 21121≤-≤x ，从而23)32(2cos 211||<--x x ，结论③错．21)32(s i n)(||2+-=x x x f 中，1)32(,0sin ||2-≥-≥x x ，∴21)(≥x f ， 等号当且仅当x=0时成立，可知结论④正确．【题后反思】直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解，直接法运用的范围很广，只要运算正确必能得到正确的答案，提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题的“个性”，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错． （二）排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论．例2、直线0=+-b y ax 与圆02222=+-+by ax y x 的图象可能是：【解析】由圆的方程知圆必过原点，∴排除A 、C 选项，圆心（a ，-b ）, 由B 、D 两图知0,0>->b a ．直线方程可化为b ax y +=，可知应选B ． 【题后反思】用排除法解选择题的一般规律是：（1）对于干扰支易于淘汰的选择题，可采用筛选法，能剔除几个就先剔除几个； （2）允许使用题干中的部分条件淘汰选择支；（3）如果选择支中存在等效命题，那么根据规定---答案唯一，等效命题应该同时排除； （4）如果选择支存在两个相反的，或互不相容的判断，那么其中至少有一个是假的； （5）如果选择支之间存在包含关系，必须根据题意才能判定． （三）特例法特例法也称特值法、特形法．就是运用满足题设条件的某些特殊值、特殊关系或特殊图形对选项进行检验或推理，从而得到正确选项的方法，常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．例3、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围为：A ．（-1，1）B ．（+∞-,1）C ．),0()2,(+∞--∞D ．),1()1,(+∞--∞【解析】∵122)21(<=f ，∴21不符合题意，∴排除选项A 、B 、C ，故应选D ．例4、已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图像如图所示，则b 的取值范围是：A ．)0,(-∞B ．)1,0(C ．（1，2）D ．),2(+∞【解析】设函数x x x x x x x f 23)2)(1()(23+-=--=此时0,2,3,1==-==d c b a ． 【题后反思】这类题目若是脚踏实地地求解，不仅运算量大，而且极易出错，而通过选择特殊点进行运算，既快又准，但要特别注意，所选的特殊值必须满足已知条件． （四）验证法又叫代入法，就是将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断，即将各个选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案．例5、在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意)(,2121x x x x ≠，|||)()(|2121x x x f x f -<-恒成立”的只有：A ．xx f 1)(=B ．||)(x x f =C ．x x f 2)(=D ．2)(x x f = 【解析】当x x f 1)(=时，1||1|||)()(|212112<=--x x x x x f x f ，所以|||)()(|2121x x x f x f -<-恒成立， 故选A ．例6、若圆)0(222>=+r r y x 上恰有相异两点到直线02534=+-y x 的距离等于1，则r 的取值范围是：A ．[4，6]B ．)6,4[C ．]6,4(D ．)6,4(【解析】圆心到直线02534=+-y x 的距离为5，则当4=r 时，圆上只有一个点到直线的距离为1，当6=r 时，圆上有三个点到直线的距离等于1，故应选D ． 【题后反思】代入验证法适用于题设复杂、结论简单的选择题，这里选择把选项代入验证，若第一个恰好满足题意就没有必要继续验证了，大大提高了解题速度． （五）数形结合法“数缺形时少直观，形少数时难入微”，对于一些具体几何背景的数学题，如能构造出与之相应的图形进行分析，则能在数形结合，以形助数中获得形象直观的解法．例7、若函数))((R x x f y ∈=满足)()2(x f x f =+，且]1,1[-∈x 时，||)(x x f =，则函数))((R x x f y ∈=的图像与函数||log 3x y =A ．2B ．3C ．4D ．无数个 【解析】由已知条件可做出函数)(x f 及||log 3x y = 的图像，如下图，由图像可得其交点的个数为4个，故应选C ．例8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x x f x ，若1)(0>x f 若1)(0>x f ，则0x 的取值范围为：||xA ．（-1，1）B ．),0()2,(+∞--∞C ．（+∞-,1）D ．),1()1,(+∞--∞ 【解析】在同一直角坐标系中，做出函数)(x f 和直线x=1的图像，它们相交于（-1，1）和（1，1）两点，则1)(0>x f ，得1100>-<x x 或，故选D ． 【题后反思】严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，而是一种数形结合的解题策略，但它在解有关选择题时非常简便有效，不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图像反会导致错误的选择． （六）逻辑分析法分析法就是根据结论的要求，通过对题干和选择支的关系进行观察分析、寻求充分条件，发现规律，从而做出正确判断的一种方法，分析法可分为定性分析法和定量分析法． 例9、若定义在区间（-1，0）内的函数)1(log )(2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是：A ．)21,0(B ．]21,0(C ．),21(+∞ D ．),0(+∞【解析】要使0)(>x f 成立，只要2a 和x+1同时大于1或同时小于1成立，当)0,1(-∈x 时，)1,0(1∈+x ，则)1,0(2∈a ，故选A ．例10、用n 个不同的实数n a a a a ,,,321 可得!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的矩阵，对第i 行in i i i a a a a ,,,321 ，记in n i i i i a a a a b )1(32321-++-+-=， （n i ,,3,2,1 =）例如用1、2、3排数阵如图所示，由于此数阵中每一列各 数之和都是12，所以2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么用1， 2，3，4，5形成的数阵中，=+++12021b b bA ．-3600B ．1800C ．-1080D ．-720【解析】3=n 时，6!3=，每一列之和为12!2!3=⋅，24)321(12621-=-+-⨯=+++b b b ，5=n 时，6!5=，每一列之和为360!4!5=⋅，1080)54321(36012021-=-+-+-⨯=+++b b b ，故选C ．【题后反思】分析法实际是一种综合法，它要求在解题的过程中必须保持和平的心态、仔细、认真的去分1 2 31 3 22 1 32 3 13 2 13 1 2析、学习、掌握、验证学习的结果，再运用所学的知识解题，对考察学生的学习能力要求较高．（七）极端值法从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变，应用极端值法解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，隆低难度，优化解题过程．例11、对任意)2,0(πθ∈都有：A ．)cos(cos cos )sin(sin θθθ<<B ．)cos(cos cos )sin(sin θθθ>>C ．θθθcos )cos(sin )sin(cos <<D ．)cos(sin cos )sin(cos θθθ<<【解析】当0→θ时，0)sin(sin →θ，1cos )cos(cos ,1cos →→θθ，故排除A 、B ， 当2πθ→时，1cos )cos(sin →θ，0cos →θ，故排除C ，因此选D ．例12、设ββααcos sin ,cos sin +=+=b a ，且40πβα<<<，则A ．222222b a b b a a +<<+<B ．222222b a b a b a +<+<< C ．b b a b a a <+<+<222222 D ．222222b a b a b a +<<<+ 【解析】∵40πβα<<<，∵令4,0πβα→→，则232,2,122→+→→b a b a ， 易知：5.125.11<<<，故应选A ． 【题后反思】有一类比较大小的问题，使用常规方法难以奏效（或过于繁杂），又无特殊值可取，在这种情况下，取极限往往会收到意想不到的效果． （八）估值法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程，因此可通过猜测、合情推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，避免“小题大做”．例13、如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF//AB ，23=EF ，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为：A ．29B ．5C ．6D ．215 【解析】由已知条件可知，EF//面ABCD ，则F 到平面ABCD的距离为2，∴623312=⨯⨯=-ABCD F V ，而该多面体的体积必大于6，故选D ．ABC D EF例14、已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是：A ．916πB ．38πC ．π4D ．964π【解析】设球的半径为R ，ABC ∆的外接圆半径332=r ，则ππππ53164422>=≥=r R S 球，故选D ．【题后反思】有些问题，由于受条件限制，无法（有时也没有必要）进行精确的运算和判断，而又能依赖于估算，估算实质上是一种数字意义，它以正确的算理为基础，通过合理的观察、比较、判断、推理，从而做出正确的判断、估算、省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间，从而显得快捷．其应用广泛，它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法． （九）割补法“级割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题时间． 例15、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一 球面上，则此球的表面积为：A ．π3B ．π4C ．π33D ．π6【解析】如图，将正四面体ABCD 补成正方体，则正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一面，因为正四面体棱长为2，所以正方体棱长为1，从而外接球半径23=R ，故π3=球S ，选A ． 【题后反思】“割”即化整为零，各个击破，将不易求解的问题，转化为易于求解的问题；“补”即代分散不集中，着眼整体，补成一个“规则图形”来解决问题，当我们遇到不规则的几何图形或几何体时，自然要想到“割补法”． 五、限时课后练习（1）已知βα,是锐角，且32πβα=+，则βα22cos cos +的取值范围是： A ．]2321[， B ．)2321[， C ．]4321[， D ．)4321[，（2）（2007，安徽高考）若},822|{2Z x x A x ∈<≤=-，},1|log ||{2R x x x B ∈>=，则A 交B 补中元素的个数为：A ．0B ．1C ．2D ．3ABCD（3）（2007，山东高考）已知集合}1,1{-=M ，},4221|{1Z x x N x ∈<<=+，则=N M A ．}1,1{- B ．}1{- C ．}0{ D ．}0,1{-（4）过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是：A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= （5）如果n 是正偶数，则=+++n n n n C C C 20A ．n 2B ．12-nC ．12+nD ．12)1(-⨯-n n（6）函数)0)(sin()(>+=ωϕωx M x f ，则区间[a ，b]上是增函数，且M b f M a f =-=)(,)(，则函数)cos()(ϕω+=x M x g 在[a ，b]上是：A ．增函数B ．减函数C ．有最大值MD ．有最小值—M（7）函数x x x f 2sin )23sin()(+-=π的最小正周期是：A ．2πB ．πC ．2πD ．4π（8）过点A （1，-1），B （-1，1）且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是： A ．4)1()3(22=++-y x B ．4)1()3(22=-++y xC ．4)1()1(22=-+-y xD ．4)1()1(22=+++y x（9）定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数)(x f ，在),0(+∞上为增函数，当0>x 时，)(x f 的图像如下图所示，则不等式0)]()([<--x f x f x 的解集是：A ．)3,0()0,3( -B ．),3()3,(+∞--∞C ．),3(]3,(+∞--∞D ．),3()0,3(+∞-（10）函数1|1|2+-=x y 的图像与函数x y 2=的图像交点的个数为： A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（11）如下图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆,均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面体的体积为：A ．32B ．33 C ．34 D ．23ACD EF（12）如下图，直三棱柱ABC —A1B1C1的体积为V ，P 、 Q 分别为侧棱AA1、和CC1上的点，且AP=C1Q ，则四棱 锥B —A1PQC 的体积为： A ．32V B ．3V C ．73V D ．72V （13）如右图所示，在正方体AC1中， E 为AD 的中点，O 为侧面AA1B1B 的中心，F 为CC1上任意一点，则 异面直线OF 与BE 所成的角是：A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π（14）要得到函数x y 2sin 2=的图像，只需把函数)6cos()6sin(4ππ++=x x y 的图像：A ．向右平移3π个单位 B ．向左平移3π个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位（15）函数|log |21x y =的定义域为[a ，b]，值域为[0，2]，则区间[a ，b]的长度b-a 的最小值是： A ．2 B ．23 C ．3 D ．43 （16）已知函数x x f x 2log )31()(-=，正实数a ，b ，c 满足)()(0)(b f a f c f <<<，若实数d是函数)(x f 的一个零点，那么下列四个判断：①d<a ；②d>b ；③d<c ；④d>c ，其中可能成立的个数为：A ．1B ．2C ．3D ．4（17）设函数⎩⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)1()1(=-+-m f f 成立的m 的取值为：A ．10B ．0，-1C ．0，-2，10D ．1，-1，11（18）已知点P 是椭圆14822=+y x 上的动点，F 1，F 2分别为椭圆的左右焦点，O 为坐标原点，则||||||||21OP PF PF -的取值范围是：A ．]22,0[ B ．]2,0[ C ．]22,21( D ．]2,0[ 答案：（1）D （2）C （3）B （4）C （5）B （6）C （7）B （8）C （9）A （10）C （11）A （12）B （13）D （14）C （15）D （16）B （17）D （18）DABCC 1 B 1A 1P QABC DA 1C 1 B 1D 1 GH FO E第二节 填空题的解题方法与技巧一、教学目标1．了解填空题的题型特点和考查角度，掌握填空题的解题方法和技巧，规范其解答； 2．培养学生分析问题和解决问题的能力； 3．使学生会一分为二的辩证的看待问题．二、重点聚集填空题的主要作用是考查学生的基础知识、基本技能及思维能力和分析问题、解决问题的能力，填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式（数）最简，结果稍有毛病，便得零分．填空题的基本特点： 1．方法灵活，答案唯一； 2．答案简短，具体明确．学生在解答填空题时注意以下几点；1．对于计算型填空题要运算到底，结果要规范； 2．填空题所填结果要完整，不可缺少一些限制条件； 3．填空题所填结论要符合高中数学教材要求；4．解答填空题平均每小题3分钟，解题时间应控制在12分钟左右． 总之，解填空题的基本原则是“小题小做”，要“准”、“活”、“灵”、“快”．三、基础训练（1）设直线α平面⊂l ，过平面α外一点A 作直线，则与α,l 都成 45角的直线有 条．（2）如下图所示，过点Q （2，1）的动直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，则线段AB 的中点P 有轨迹方程为： ． （3）若数列}{n a 中，)1(3,111≥==+n S a a n n ，则n S 为： ．（4）对于满足40≤≤p 的一切实数x ，不等式342-+>+p x px x 恒成立，则x 的取值范围是：（5）设实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，则|42|-+y x 的最大值是：答案：（1）2 （2）)1(022≠=--x y x xy（3）)(4*1N n S n n ∈=- （4）),3()1,(+∞--∞ （5）21四、典型例题（一）直接法直接法求解就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确的结论．例1、不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是： 【解析】当0≥x 时，原不等式等价于0)1)(1(>-+x x ，∴11<<-x ，此时应有：10<≤x ； 当0<x 时，原不等式等价于0)1(2>+x ， ∴1-≠x ，此时应有：011<<--<x x 或；∴不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是：}11|{-≠<x x x 且．例2、在等差数列}{n a 中，135,3851-=-=a na a ，则数列}{n a 的前n 项和S n 的最小值为： 【解析】设公差为d ，则13)73(5)43(11-+-=+-d d ，∴95=d ，∴数列}{n a 为递增数列， 令0≥n a ，∴095)1(3≤⨯-+-n ，∴526≤n ，∵*N n ∈，∴7≤n ，∴前6项和均为负值， ∴S n 的最小值为3296-=S ． 【题后反思】由于填空题不需要解题材过程，因此可以透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简洁的解法，省去某些步骤，大跨度前进，也可配合心算、速算、力求快速，辟免“小题大做”．（二）特殊值法当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题材中的参变量用特殊值代替之，即可得到结论．例3、函数)(x f y =在（0，2）上是一增函数，函数)2(+=x f y 是偶函数，则)27(),25(),1(f f f 的大小关系为： （用“<”号连接）【解析】取2)2()(--=x x f ，则)25()1()27(f f f <<，例4、椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是：【解析】设P(x,y)，则当 9021=∠PF F 时，点P 的轨迹方程为522=+y x ，由此可得点P 的横坐标53±=x ，又当点P 在x 轴上时， 021=∠PF F ；点P 在y 轴上时，21PF F ∠为钝角，由此可得点P 横坐标的取值范围是：553553<<-x ． 【题后反思】特殊值法一般可取特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊性点、特殊方程、特殊模型等． （三）数形结合法根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往往可以简捷地得出正确的结果，它既是方法，也是技巧，更是基本的数学思想． 例5、已知直线m x y +=与函数21x y -=不同的交点，则实数m 的取值范围是： ． 【解析】∵函数21x y -=的图像如图所示， ∴由图可知：21<≤m ．例6、设函数c bx ax x x f +++=22131)(23，若当)1,0(∈x 时，)(x f 可取得极大值；当)2,1(∈x 时，)(x f 可取得极小值，则12--a b 的取值范围是：【解析】b ax x x f 2)(2/++=，由条件知，0)(/=x f 的一个 根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，∴⎪⎩⎪⎨⎧>><0)2(0)0(0)1(///f f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>++><++020012b a b b a 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中作出上述区域，得点P （a ，b ）在图中的阴影区域内，而12--a b 的几何意义是过两点P （a ，b ）与A （1，2）的直线的斜率，易知)1,41(12∈=--PA k a b ．【题后反思】数形结合法，常用的有Venn 图，三角函数线，函数图像及方程的曲线等，另一面，有些图1 1-x形问题转化为数量关系，如直线垂直可转化为斜率关系或向量积等． （四）等价转化法通过“化复杂为简单，化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题，从而等到正确的结果．例7、若不论k 为何实数，直线1+=kx y 与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是：【解析】题设条件等价于直线上的定点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆心（a ，0）的距离小于或等到于圆的半径42+a ，所以31≤≤-a 例8、计算=-++33257257【解析】分别求这两个二重根式的值显然不是那么容易，不妨从整体考虑，通过解方程求之． 设x =-++33257257，两边同时立方得：01433=-+x x ，即：0)72)(2(2=++-x x x ， ∵0722≠++x x ，∴2=x ，即=-++332572572，因此应填2. 【题后反思】在研究解决数学问题时，常采用转化的手段将问题向有利于解答的方面转化，从而使问题转化为熟悉的、规范的、甚至模式的问题，把复杂的问题转化为简单的问题． （五）构造法根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它来认识和解决问题． 例9、如果))2,0((,cos )cos 1(sin )sin 1(44πθθθθθ∈+>+，那么角θ的取值范围是： ． 【解析】设函数x x x f 4)1()(+=，则051)(4/>+=x x f ，所以)(x f 是增函数，由题设，得出)(cos )(sin θθf f >，得θθcos sin >，所以)45,4(ππθ∈．例10、P 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1内任意一点，AP 与三条棱AA 1，AB 1，AD 的夹角分别为γβα,,，则=++γβα222cos cos cos 【解析】如上图，过P 作平面PQQ /P /，使它们分别与平面B 1C 1CB 和平面C 1D 1DC 平行，则构造一个长方体AQ /P /R /—A 1QPR ，故1cos cos cos 222=++γβα． 【题后反思】凡解题时需要根据题目的具体情况来设计新模式的的问题，通常要用构造法解决． （六）分析法根据题设条件的特征进行观察、分析、从而得出正确的结论．AB CDC 1A 1B 1D 1 PRQ Q /R /P /例11、以双曲线1322=-y x 的左焦点F 和左准线l 为相应的焦点和准线的椭圆截直线3+=kx y ，所得的弦恰好被x 轴平分，则k 的取值范围是： ．【解析】双曲线的左焦点为F （-2，0），左准线l 为23-=x ，因为椭圆截直线所得的弦恰好被x 轴平分，故根据椭圆的对称性，知椭圆的中心即为直线3+=kx y 与x 轴的交点（0,3k-），故23-<-k ，得230<<k ．例12、（2007福建）某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是1.09.03⨯；③他至少击中目标1次的概率是41.01-．【解析】①第3次击中目标意味着1、2、4次可击中，也可不击中，从而第3次击中目标的概率为9.0)1.09.0(9.0)1.09.0()1.09.0(=+⨯⨯+⨯+；②恰好击中目标3次的概率是独立重复试验，故概率为1.09.0334⨯⨯C ；③运用对立事件4次射击，一次也没有击中的概率为41.0，从而至少击中目标一次的概率为41.01-．故正确结论的序号为①、③． 【题后反思】分析法是解答问题的常用方法，该方法需要我们从题设出发，对条件进行观察、分析，找到相应的解决方法．五、限时课后练习（1）已知函数52)(3+-=x x x f 在)1,32(-上单调递减，在),1(+∞上单调递增，且)(x f 的导数记为)(/x f ，则下列结论中，正确的是： ①32-是方程0)(/=x f 的根； ②1是方程0)(/=x f 的根； ③有极小值)1(f ； ④有极大值)32(-f ； ⑤5.0-=a（2）设m 、n 是异面直线，则：①一定存在平面α，使α⊂m 且α//n ；②一定存在平面β，使β⊂m 且β⊥n ；③一定存在平面γ，使m 、n 到γ的距离相等；④一定存在无数对平面α和β，使βαβα⊥⊂⊂且n m ,．上述四个命题中，正确命题的序号是： ．（3）i 是虚单位，=++-ii43105 （用R b a bi a ∈+,，的形式表示）（4）设1>>b a ，则b b a ab a b log ,log ,log 的大小关系是： ． （5）“x 、y 中至少有一个小于0”是“0<+y x ”的 条件．（6）若记符号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即2*ba b a +=，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是： ．（7）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F 1，右准线为1l ，若过F 1且垂直于x 轴的弦长等于点F 1到直线1l 的距离，则椭圆的离心率是： ．（8）设j i m a 3)1(-+=，j m i b )1(-+=，其中j i ,为互相垂直的单位向量，又)()(b a b a -⊥+，则实数m= ．（9）如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t ，都有)2()2(t f t f -=+，那么)4(),2(),1(f f f 的大小关系是：（10）过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线与抛物线交于P 、Q 两点，若线段PF 、FQ 的长分别为p 、q ，则=+qp 11 ． （11）椭圆13422=+y x 的长轴的两端点为M 、N ，点P 在椭圆上，则PM 与PN 的斜率之积为： ．（12）方程x x 41)4sin(=-π的实数解的个数是： ．（13）不等式23+>ax x 的解集为（4，b ），则a= ，b= ；（14）已知函数812)(3+-=x x x f 在（-3，3）上的最大值与最小值分别为M 、m ， 则M+m= ．（15）已知集合}2|),{(2y mx x y x A =++=，}20,01|),{(≤≤=+-=x y x y x B ，如果φ≠B A ，则实数m 的取值范围是： ．（16）定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且满足)(1)1(x f x f -=+，则=+++++)7()6()5()4(_)3()2()1(f f f f f f f ．（17）设F 1，F 2是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是： ．（18）在数列}{n a 中，若)1(32,111≥+==+n a a a n n ，则该数列的通项=n a ． 答案：（1）①②③④⑤；（2）①③④；（3）i 21+；（4）a b b b a ab log log log <<；（5）必要不充分； （6）))*()*()*()*()*()((*)()*(c a b c b a c b c a c b a c a b a c b a +=++=+++=+或或（答案不唯一）； （7）21； （8）-2； （9）)4()1()2(f f f <<； （10）4a ； (11)43-；（12）3； （13）3681==b a ，； （14）16； （15）1-≤m ；（16）0； （17）1； （18） 321-+n ．第三节 解答题的解题策略一、教学目标1．使学生掌握解答题的解题策略和技巧，使学生在解答客观性问题时能较为迅速的明确解题的方向和解题的策略；2．培养学生客观的分析问题、解决问题的能力，同时提高学生处理问题的整体意识．二、重点聚集解答题可分为低档题、中档题和高档题三个档次，低档题主要考查基础知识和基本方法与技能，中档题还要考查数学思想方法和运算能力、思维能力、整合与转化能力、空间想象能力，高档题还要考查灵活运用数学知识的能力及分析问题和解决问题的能力．三、基础训练（1）试求常数m 的范围，使曲线2x y =的所有弦都不能被直线)3(-=x m y 垂直平分．思路点拨：“不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称，于是问题转化为“抛物线2x y =上存在两点关于直线)3(-=x m y 对称，求m 的取值范围”，再求出m 的取值集合的补集即为原问题的解．（2）已知R a ∈，求函数)cos )(sin (x a x a y --=的最小值． 思路点拨：x x x x a a x a x a y cos sin )cos (sin )cos )(sin (2++-=--=，而x x cos sin +与x x cos sin 有联系，可设x x t cos sin +=，则原来的问题可转化为二次函数的闭区间上的最值问题．（3）已知x 、y 满足条件1251622=+y x ，求y －3x 的最大值与最小值．思路点拨：此题令b=y －3x ，即y=3x+b ，视b 为直线y=3x+b 的截距，而直线与椭圆必须有公共点，故相切，b 有最值．（4）设不等式)1(122->-x m x 对满足]2,2[-∈m 的一切实数m 都成立，求x 的取值范围． 思路点拨：此问题由于是常见的思维定势，易把它看成关于x 的不等式讨论，若变换一个角度，以m 为变量，使)12()1()(2---=x m x m f ，则问题转化为求一次函数（或常函数）)(m f 的值在[-2，2]内恒负时，参数x 应满足的条件．四、典型例题 （一）以退为进策略 1、由整体向局部退某些问题，可以退到构成这一整体内容的部分上，用带有整体特征的部分来处理问题，解题思路便会豁然开朗．例1、在锐角ABC ∆中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++．【解析】∵)2,0(,,π∈C B A ，∴2π>+B A ，即02>->B A π，由于x y sin =在)2,0(π上是单调递减的．∴B B A cos )2sin(sin =->π，同理可证：A C C B cos sin ,cos sin >>．上述三式相加，得：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++． 【题后反思】本题由整体退向局部，由一个角的三角函数或两个角的三角函数关系式入手，进行研究，解出部分证明了整体． 2、由巧法向通法退巧法的思维起点高，技巧性也强，有匠心独具、出人意料等特点，而巧法本身的思路难寻，方法不易把握，而通法则体现了解决问题的常规思路，而顺达流畅，通俗易懂的特点．例2、已知21cos sin =βα，求βαsin cos 的取值范围． 【解析】由21cos sin =βα，得αβ22sin 41cos =，∴αααββ22222sin 41sin 4sin 411cos 1sin -=-=-=，∴)sin 1(sin 41sin 4)sin 1(sin cos sin 2222222ααααβαβ-⋅-=-= 41145)s i n 41(s i n 45s i n 41s i n 5s i n 422224=-≤+-=-+-=ααααα， 从而得]2121[sin cos ，-∈βα．【题后反思】本题是一典型、常见而又方法繁多、技巧性较强的题目，求解时常常出错，尤其是题目的隐含条件的把握难度较大，将解法退到常用的数学方法之一——消元法上来，则解法通俗、思路清晰．（二）合理转化策略转化思想方法用于研究、解释数学问题时思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化成另一种情况，也就是转化到另一种情境，使问题得到解释的一种方法，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维模式，转化的目的是使问题变的简单、容易、熟知，达到解决问题的有利境地，通向问题解决之策．1、常量转化为变量有的问题需要常、变量相互转化，使求解更容易．例3、设0tan cos 4sin 0tan sin 3cos 92=⋅-=++C A B C B A ，，求证：61|cos |≤A ． 【解析】令3=x ，则有0tan sin cos 2=++C B x A x ，若0cos =A ，则610|cos |≤=A 成立；若0cos ≠A ，则0tan cos 4sin 2=⋅-=∆C A B ，∴方程有两个相等的实数根，即321==x x ，由韦达定理，ACx x cos tan 921==，即A C cos 9tan =，又0tan cos 4sin 2=-C A B ， ∴0cos 9cos 4sin 2=-A A B ，∴1sin cos 3622≤=B A ，∴61|cos |≤A ．【题后反思】把变量变为常量，也就是从一般到特殊，是我们寻找规律时常用的解题方法，而本题反其道而行之，将常量变为变量，从特殊到一般使问题得到解决． 2、主元转化为辅元有的问题按常规确定主元进行处理往往受阻，陷于困境，这时可以将主元化为辅元，即可迎刃而解．例4、对于满足2||≤p 的所有实数p ，求使不等式p x px x +>++212恒成立的x 的取值范围．【解析】把p x px x +>++212转化为012)1(22>+-+-x x p x ，则成为关于p 的一次不等式，则2||≤p ，得22≤≤-p ，由一次不等式的性质有：0)1)(1()1()1(2>+--=-+-p x x x p x ， 当2-=p 时，0)3)(1(>--x x ，∴31>-<x x 或；当2=p 时，0)1)(1(>+-x x ，∴11>-<x x 或，综上可得：31>-<x x 或． 【题后反思】视x 为主元，不等式是关于x 的一元二次不等到式，讨论其取值情况过于繁琐，将p 转化为主元，不等式是关于p 的一次的不等式，则问题不难解决． 3、正向转化为反向有些数学问题，如果是直接正向入手求解难度较大，可以反向考虑，这种方法也叫“正难则反”例5、若椭圆)0(2222>=+a a y x 与连接A （1，2）、B （3，4）两点的线段没有公共点，求实数a 的取值范围．【解析】设线段AB 和椭圆有公共点，由A 、B 两点的坐标可得线段AB 的方程为1+=x y ，]3,1[∈x ，则方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+12222x y a y x ，消去y得：222)1(2a x x =++，即31)32(231223222++=++=x x x a ， ∵]3,1[∈x ，∴]241,29[2∈a ，∵0>a ，∴282223≤≤a ， ∴当椭圆与线段AB 无公共点时，实数a 的取值范围为),282()223,0(+∞ ． 【题后反思】在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探索． 4、数与形的转化数形结合，实质上是将抽象的语言与直观图形结合起来，以便化抽象为直观，达到化难为易，化简为繁的目的．。