MATLAB的根轨迹分析法及重点习题

4.1某系统的结构如题4-1图所示，试求单位阶跃响应的调节时间t s ，若要求t s =0.1秒，系统的反馈系数应调整为多少？

解:(1)由系统结构图可知系统闭环传递函数为:

100

()100()1001()()1001*G s s s G s H s s a

a s

Φ===

+++ 在单位阶跃函数作用下系统输出为：

12100

()()()(100)100k k C s R s s s s a s s a

=Φ=

=+++

为求系统单位阶跃响应，对C(s)进行拉斯反变换：

10

21001001001001

lim ()lim

1001001

lim (100)()lim 11

()(100)1

()(1)

s s s a

s a at k sC s s a a

k s a C s s a

C s as a s a c t e a

→→→-→--===

+=+==-

=-

+=-

根据定义调节时间等于响应曲线进入5%误差带，并保持在此误差带内所需要的最短时间，且根据响应系统单位阶跃响应的函数表达式可以看出系统单位阶跃响应的稳态值为

1

a

,因此: 10010011()(1)0.950.051

ln 20

1001

=0.1ln 20=0.3s 10

s s at s at s s c t e a a e t a a t --=

-=⇒=⇒==

因为题中，所以

(2)若要求t s =0.1秒,则有:

1

ln 20=0.1

100=0.3s t a

a =

⇒ 即:若要求调节时间缩小为0.1秒,则需将反馈环节的反馈系数调整为0.3。

4.2已知二阶系统的阶跃响应曲线如题4.2图所示，该系统为单位负反馈系统，试确定其开环传递函数。

解：根据系统阶跃响应曲线可以看出： 峰值时间=0.1s p t ，超调量 1.3-1

%=

100%30%1

σ⨯=； 根据课本中对典型二阶系统222

()2n

n n

s s s ωζωωΦ=++暂态性能指标的推导计算可知：

%p t e σ-=

=结合本题已知阶跃响应曲线可知：

0.1(1)%30%

(2)

p t e σ-=

===

由式(2)可知：

0.3ln 0.30.3832

cot =0.3832

=arccot 0.3832=69.0332=cos =0.3578

e

ζϕζϕζϕ-=⇒-=⇒=

=即：

将ζ带入式(1)中可得：

0.1

p n t ω=

=

回顾题意对于典型二阶系统其闭环传递函数为222

()2n

n n

s s s ωζωωΦ=++，且系统为单位负反馈系统，所以系统开环传递函数和闭环传递函数之间满足如下关系：

2222

2

22

2

2211

()()121211211131.8851

===224.0753n n n n

n n n n n G s s s s G s s G s s G G s s s s

ωζωζωωωζωωωζωΦ==Φ==+++++++++，因为：所以：，

4.3单位反馈控制系统开环传递函数为()(1)

K

G s s Ts =+,若116s =0.25s K T -=、,试求

(1)动态性能指标%(0.05)s t σ∆=、.

(2)欲使%=16%σ,当T 不变时，K 应取何值。

解：(1)对于单位反馈控制系统，已知开环传递函数可求出其闭环传递函数，并将其化为标准形式为：

22()(1)()1()1(1)1180.25n n n K K

G s K s Ts T s K s K G s Ts s K s s Ts T T T T

ωζωζω+Φ====

+++++++=

==⇒==即：；22 所以根据动态性能指标的计算公式将上述两参数带入后可得：

0.251

1

ln( 1.5142%44.43%

s n t s e e ζωσ--=-

=-====

(2)由于T=0.25s,所以可知

: 1n n T ωζωζ==⇒=2将阻尼比带入超调量的计算公式中

:

%16%0.16ln 0.16

ln 0.16 3.9388

e e K σζπ--==⇒=⇒-==⇒=将阻尼比带入可得：

4.4设控制系统如题4-4图所示，其中图(a)为无速度反馈系统，图(b)为带速度反馈系统，试确定系统阻尼比为0.5时K t 的值，并比较图(a)和图(b)系统阶跃响应的动态性能指标。

解:(1)根据系统结构图可求得两系统的闭环传递函数为

:

2210

()101(1)

(),101()()1021(1)

10

()10(1)

(),

101()()1010

1(1)(1)

1+100.2162

2a n n b t t

t n t n G s s s s G s H s s s s s G s s s s G s H s s s K s K s s s K K ωζωωζω+Φ=====++++++Φ===+++++++===所以所以因此