河海大学,材料力学,课件,力学,第六章,挠度

qa
4

qa

qa
6EI
8EI
24 EI
——这种叠加法又称为逐段刚化法。
例3：一阶梯形悬臂梁，在左端受集中力作 用。试求左端的挠度。
F EI A l/2 B l/2 2EI
C
F
解： 采用逐段刚化法
1、令BC刚化，AB为 悬 臂梁。 2、令AB刚化，BC为 悬 臂梁。
A F A wA1 θA1 A wB
D E
x
A
a2 a3
CD段：
EI w m ( x a1 ) F ( x a 2 ) q
0
y
( x a3 ) 2
2
EI w m ( x a1 ) F EIw m ( x a1 ) 2
2
( x a2 ) 2
2
q
3
( x a3 ) 2 3
w max w
x
l 2

ql
3
5 ql
4
384 EI
24 EI

A

x0

B
xl

ql
3
24 EI
例3：已知F、EI，求梁的转角方程和挠度方程 F 及wmax 。
a b
解:1°建立坐标系。 求支座反力。
FA Fb l ,
A x
C D
B
x
w
l
FB
Fa l
2°分段求出弯矩方程及w′、w。
1
qa
3
4 EI
6 EI
3 EI

qa
3
4 EI

3
qa

3
qa
4EI qa 4EI
2
6EI qa 3EI
qa
4
12 EI
qa
4
qa
3
12 EI
4
w c w cF w cq w cq



qa
4
4

5 qa
4
4 EI
8 EI
3 EI
24 EI
wD wDF w Dq
w max 的位置距梁中点仅 0 . 077 l 。
令
b
2
0,
w max
Fbl 9
2
2
0 . 0642
Fbl EI
2
。
3 EI
wc
Fbl
0 . 0625
Fbl EI
2
。
16 EI
因此，受任意荷载的简支梁，只要挠曲线
上没有拐点，均可近似地将梁中点的挠度作为 最大挠度。
§6-4 奇异函数法计算梁的变形
B
l 2
EI
2EI B C
l/2
l/2
B
w A w A1 w A 2
w A1 w B B
l 2
F
Fl/2
B
C
l F( 2 3 EI )
3 F(
l ) 2
3
Fl ( 2
l ) 2
2 F( (
l ) 2
2
Fl ( 2
l ) 2 l ) 2 16 EI 3 Fl 3
w
M
x
z
EI
—— 挠曲线近似微分方程
E Iw M ( x )
—— 等直梁挠 曲线近似微分方程
§6-3 用积分法计算梁的挠度与转角
对于等截面梁，EI = 常数。
E I w ”= －M (x)
EI w EI
EIw
M ( x ) dx dx Cx
用叠加法计算梁的变形：梁在多个荷载作
用下产生的变形（转角或挠度）等于各个 荷载单独作用所产生的变形的代数和。
例1：简支梁所受荷载如图示。用叠加法
求梁中点挠度和左端截面的转角。设梁抗 弯刚度为EI。
m A
q
B
C
l/2
l/2
m
q B
解:
A
C
l/2
l/2
A A (q ) A (m )
§6-1 梁的位移---挠度及转角
在平面弯曲情况下，梁的轴线在形心主惯性平 面内弯成一条平面曲线。此曲线称为梁的挠曲线。 当材料在弹性范围时，挠曲线也称为弹性曲线。
θ F A w y C C F θ B x
θ F A w w C F θ B x
C
1、挠度: 梁的截面形心在垂直于轴线x方向的线位 移w。 w= w(x)——挠曲线方程(挠度方程)。向下为正.
再由边界条件，得：C1= C2= Fb（l2-b2）/ 6l
D1=D2=0 因此，梁各段的转角方程和挠度方程为：
AD : w1 1
w1 Fb ( l
Fb ( l b )
2 2

Fbx 2 EIl
2
6 EIl
2
b
2
)
x
Fb 6 EIl
x
3
6 EIl
DB :
w 2
3( 2 EI )
2 ( 2 EI )
2 ( 2 EI )
( 2 EI )
§6-6 梁的刚度计算
梁的刚度条件为： wmax ≤ [w], 其中wmax ——梁的最大挠度， θmax ——一般是支座处的截面转角。 [w]、 [θ]——规定的容许挠度和转角。 θmax ≤ [θ]
ql
3

ml 3EI
24 EI
wc wc ( q ) wc ( m )

5ql
4

ml
2
384 EI
16 EI
例3：求wc ；已知AB杆弯曲刚度EI，BD杆拉伸EA。
F A C wc1 wc2 l θBF B D a
解： 采用逐段刚化法
wc = wc1+ wc2
=Fl3 /48EI +Fa/4EA
例2：已知F、q、EI。求θA, θB ,θc和
wD, ,wc。
F=qa A
q
B C a x
D
a y a （a）
1 求 cF 、 A F , B F , w cF , w D F
o
解：
A F B F
CF

BF
F=qa A
q
B C a x
D
a
2
a （a）
F ( 2a ) 16 EI
2
。
2
w max w 1
x x0

Fb （ l 9
b ）2
2
3
。
3 EIl
2 2
wc w1
x
l 2

Fb （ 3 l
4b ） 。 48 EI
当 F 作用于梁中点
C 时， w max w c 。
当 F 右 移 至 B 点 时 ， b 0， x 0 0 .5 7 7 l。
EI w m ( x a1 ) F ( x a 2 ) EI w m ( x a1 ) F EIw m ( x a1 ) 2
2
BC段：
( x a2 ) 2
2
C3
3
F
( x a2 ) 2 3
C 3 x D3
m
O a1
F
B C
a4
q
qa
3
6EI
w cq
1
qa
4
q
（c）
B C1
w cq
8EI
2 AB 变形，


1 2
2 cq

2
Bq
BC 不变形（刚化）。 ml A 3 EI
qa
3
（d） qa qa2/2 B （e）
cq
2
cq
1
qa
2a
Cw
2 cq
3 EI
3 EI
Aq
2
1 2
Bq
3
EI w EI 2 EIw
Fb 2l
x
2

F 2
( x a )
3
2
C2
Fb 6l
2
x

F 6
( x a )
C2x D2
边界条件：x = 0 ，w1= 0。
x = l ，w2= 0。 连续条件：x = a ，w1′= w2′， w1= w2
由连续条件，得：C1= C2， D1= D2

M ( x )dx C
D
式中C, D 由梁支座处的已知位移条件即位 移边界条件确定。
如：
F A B
边界条件： wA=0 wB=0
p
A
边界条件：
wA=0 θA=0
C,D的几何意义是什麽？
EI w EI
EIw
M ( x ) dx dx Cx
M ( x )dx C
D
C,D的几何意义是什麽？
C是x=0处的截面转角与弯曲刚度的比值 D是x=0处的挠度与弯曲刚度的比值
例1：一悬臂梁在自由端受集中力作用，求梁的
转角方程和挠度方程。并求最大转角和最大挠度。
设梁的抗弯刚度为EI。
F
A
l
B
解：
1
o
F A θmax l w B x wmax
M ( x ) F ( l x )
2
o
EI w M ( x )
Fl Fx
积分： EIw ' EI Flx Fx
2
2C
EIw
Flx 2
2

Fx
3
2 3
Cx D

边界条件:
w 0 x 0: w 0
C 0
D 0
w
Flx EI

Fx
2
F A
2 EI
θmax
l w
B
x
wmax
w
Flx
2

Fx
3
2 EI
6 EI
当 x = l 时：
max w
xl

Fl
2
2 EI
w max w
xl

Fl
3
3 EI
例2：一简支梁受均布荷载作用，求梁的转角方程 和挠度方程，并确定最大挠度和A、B截面的转角。 设梁的抗弯刚度为EI。
q A l B
2
( x a2 ) 2
2
q
3
( x a3 ) 23
q
4
( x a4 ) 23
3
C5
4
F
( x a2 ) 23
q
( x a3 ) 2 3 4
q
( x a4 ) 2 3 4
C5 x D5
m
O a1 A
F
B C a4
q
D E
x
a2
a3
y
EIw EI 0 m( x a1 ) F EIw EIw0 EI 0 x m
解:1°建立坐标系。求支座反力。列弯矩方程：
F A FB
M (x) ql 2
q
1 2
ql
qx 2
2
A
θA
l
wmax
θB
B
x
x
w
2
o
梁的挠曲线微分方程为 2 ql qx EI w x 2 2
积分
EI w
EIw
ql 2
ql 2

x
2

3
qx
3
2
x 23
m
O
F
B C a4
q
D E
x
a1
A a2 a3
y
OA段：
EI w 0 EI w C 1 EIw C 1 x D 1
AB段：
EI w m ( x a1 ) ( x a1 ) 2
0
0
EI w m ( x a1 ) C 2
2
EIw m
C 2 x D2
23
qx
C
4
234
Cx D
边界条件
x 0 :
q
w 0
A
x l :
w 0
24 , D 0
w
θA
l
wmax
θB
B
x
得: C ql
3
w
ql
3

ql 4 EI
x
2

q 6 EI
x
3
24 EI
w
ql
3
x
ql 12 EI
x
3

q 24 EI
x
4
24 EI
a
qa
4
3
2
6EI
wDq
qa
w cq
qa
(2a )
2
Bq
3 EI
2 16 EI

qa
4
8EI
3 求 c、 w c
o
c cF
1 cq

2 cq

qa
3

qa
3
3

qa
3
3
A AF Aq
B BF Bq

qa
3
y
4EI
a

3
F
A
w CF
qa
4
θcF
wCF B θBF C
BF
4 EI
D
（b）
wDF
F (2a ) 48 EI

qa
4
6EI
2
o
求 cq 、 A q , B q , w cq , w D q
A
q
B C
1 AB 不变形
cq
1
(刚化）， BC 变形。
AD : M( x ) EI w 1 Fbx l Fb l , x
EI w 1 EI 1 EIw Fb 6l Fb l EI w 2 Fb l
2
Fb 2l
x
2
C1
1
x
3
C 1 x D1
DB :
M( x )
x F( x a ) x F( x a )
2、转角：梁的截面绕中性轴转过的角度θ。
小变形时，θ≈tgθ=w’(x)——转角方程。顺时针
为正。
§6-2 梁的挠曲线近似微分方程
1
( x )

w
1 w
2
3 2
1
(x)

M (x) EI
z
<<1
w
M
x
z
EI
O
M
x
M
O
M
x
M
w
M<0 w” > 0
w
M>0 w”< 0
( x a2 ) 2!
2
2
q
( x a3 ) 3!
3
3
( x a1 ) 2!
F
( x a2 ) 3!
q
( x a3 ) 4!
4
当x>ai时，x-ai=x-ai 当x≤ai时，x-ai=0
奇异函数
§6-5 用叠加法计算梁的挠度与转角 在线弹性范围内、小变形情况下，可
2

Fb ( l
2
b
2
)

Fb 2 EIl
x
2
Байду номын сангаас

F 2 EI
( x a )
2
6 EIl
w2
Fb ( l
2
b
2
)
x
Fb 6 EIl
x
3

F 6 EI
( x a )
3
6 EIl
当 a b 时， w max 应在 AD 段。
由 w 1 0， x 0
l
2
b 3
3
C4
4
F
( x a2 ) 2 3
q
( x a3 ) 2 34
C 4 x D4
DE段：
EIw m( x a1 ) F ( x a2 ) q
0
( x a3 ) 2
2
q
3
( x a4 ) 2
2
EIw m( x a1 ) F EIw m ( x a1 ) 2