求圆的切线方程一题三法
圆的切线与切点计算
圆的切线与切点计算圆是几何学中的基本概念，它是由平面上一定距离内的所有点组成的集合。
在圆的研究中，切线是一个非常重要的概念。
本文将探讨圆的切线以及如何计算切点的问题。
一、圆与切线的定义在平面几何中，给定一个圆和圆上的一个点P，过点P可以做无数条与圆相切的直线，其中与圆相切的直线称为圆的切线。
而与圆的切线相交于切点，称为切点。
二、计算圆的切线在计算圆的切线时，我们首先要明确几个关键概念。
1. 切线与切点的性质：圆的切线与切点有以下性质：（1）切线与半径垂直；（2）圆的切线与经过切点且与半径垂直的直径平分切线。
2. 切线方程的计算：在计算切线时，我们需要使用切线方程。
切线方程一般可以使用点斜式或者一般式表示。
a. 点斜式：假设圆的方程为 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
被切点坐标为(x₀，y₀)。
则切线方程可表示为：y-y₀ = k(x-x₀)，其中k为切线的斜率。
b. 一般式：将切点的坐标代入圆的方程，得到：(x-a)² + (y-b)² = r²。
将切点的坐标代入切线方程的一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C可由圆的方程确定。
三、切线与切点计算实例为了更好地理解如何计算圆的切线与切点，我们来看一个具体的例子。
例1：已知圆的方程为 (x-2)² + (y-3)² = 9，求过点P(4, 5)的切线及切点坐标。
解：首先确定圆的坐标和半径：圆心坐标：(2, 3)半径：3接下来，计算切线方程的斜率k：k = -(x-x₀)/(y-y₀) = -(4-2)/(5-3) = -1代入切点坐标得到切线方程：y - 5 = -1(x - 4)化简切线方程，得到切线的一般式：x + y - 9 = 0所以切线方程为 x + y - 9 = 0。
接着，我们来计算切点的坐标。
求圆的切线方程的几种方法
求圆的切线方程的几种方法圆的切线是通过圆上特定点并且与该点垂直于圆心的直径所确定的线段。
求圆的切线方程有多种方法，下面将介绍其中的几种常见方法。
【方法一：向径垂直于切线】设圆心为O，半径为r，圆上一点为P，切点为A，连接O和P。
由于切线与向径垂直，所以OP与PA垂直。
根据垂直关系，我们可以得到以下的条件：1.斜率关系：由于向径OP与切线的斜率相乘等于-1，即斜率m1*m2=-1、假设斜率为m，则有m*∞=-1（∞代表垂直线的斜率）即m=0。
所以切线的斜率为0。
2.切点坐标关系：假设切线方程为y = kx + b，由于切点A的坐标为(x1, y1)，代入切线方程中即可求得切线的方程。
【方法二：利用切线的性质求斜率和截距】在方法一中，我们先求出了切线的斜率为0。
然后，我们可以利用切点的特性求出切线的截距。
1.斜率求解：由于切线的斜率为0，所以利用两点的斜率公式，我们可以得到以下的关系式：m=(y2-y1)/(x2-x1)=(y1-y1)/(x1-x1)=0即y1-y1=0，即y1=y12.求截距：假设切点坐标为(x1,y1)，则切线方程为y=b。
因为切点A在切线上，所以代入切线方程中即可求出截距。
【方法三：利用切线与半径的垂直性质】由于切线与半径垂直，所以可以利用向径的特性求出切线的斜率和截距。
1.斜率求解：假设斜率m，则向径OP的斜率为m1=(y-y1)/(x-x1)。
根据垂直性质，切线的斜率m与向径的斜率m1满足m*m1=-12.求截距：设切线方程为y = kx + b。
代入切点(x1, y1)得到：y1 = k * x1 + b。
再根据切线与半径垂直的性质，可以利用点斜式的截距形式求解截距。
【方法四：坐标代入法】设圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，切点坐标为(x1,y1)。
则可以把切线方程代入圆方程，将圆方程中的x和y替换成x1和y1，即可得到切线方程。
【方法五：利用直角三角形的性质】在方法一中，我们已经得到了切线与向径OP垂直，假设角POA为θ，则tanθ = m = (y1 - y) / (x1 - x)。
圆的切点弦方程的九种求法
圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。
本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识：1、在标准方程222)()r b y a x =-+-（下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：200))(())r b y b y a x a x =--+--（（ ；在一般方程022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：0220000=++++++F y y E x x Dyy xx 。
2、两相交圆011122=++++F y E x D y x （0412121>-+F E D ）与022222=++++F y E x D y x （0422222>-+F E D ） 的公共弦所在的直线方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。
3、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||。
4、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）； 0221111=++++++F y y E x x Dyy xx （在圆的一般方程下的形式）。
二、题目 已知圆044222=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作圆的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。
圆的切点弦方程推导三种方法
切点弦方程的推导方法主要有三种，分别是：方法一：利用切线性质和切线方程推导1. 设切点为 $P(x_0, y_0)$，切线方程为 $y - y_0 = k(x - x_0)$。
2. 将切线方程代入圆的方程 $x^2 + y^2 = r^2$，得到 $(1 + k^2)x^2 + 2k(y_0 - kx_0)x + (y_0^2 - 2k^2x_0^2 + k^2x_0^2) = 0$。
3. 由于 $P(x_0, y_0)$ 在圆上，因此 $x_0$ 是上述方程的根，即 $(1 + k^2)x_0^2 + 2k(y_0 - kx_0)x_0 + (y_0^2 - 2k^2x_0^2 + k^2x_0^2) = 0$。
4. 整理得到切点弦方程为$(1 + k^2)x_0^2 + 2k(y_0 - kx_0)x_0 + (y_0^2 - 2k^2x_0^2 + k^2x_0^2) = r^2$。
方法二：利用切线性质和切点坐标推导1. 设切点为 $P(x_0, y_0)$，切线方程为 $y - y_0 = k(x - x_0)$。
2. 将切线方程代入圆的方程 $x^2 + y^2 = r^2$，得到 $(1 + k^2)x^2 - 2k(y_0 - kx_0)x + (y_0 - kx_0)^2 - r^2 = 0$。
3. 由于 $P(x_0, y_0)$ 在圆上，因此 $x_0$ 是上述方程的根，即 $(1 + k^2)x_0^2 - 2k(y_0 - kx_0)x_0 + (y_0 - kx_0)^2 - r^2 = 0$。
4. 整理得到切点弦方程为$(1 + k^2)x_0^2 - 2k(y_0 - kx_0)x_0 + (y_0 - kx_0)^2 - r^2 = 0$。
方法三：利用切线性质和圆心坐标推导1. 设切点为 $P(x_1, y_1)$，切线方程为 $y - y_1 = k(x - x_1)$。
圆的切点弦方程的九种求法
圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。
本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识：1、在标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为：（x0-a （)x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ；在一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为： xx0+yy0+Dx+x0y+y0+E+F=0。
222222222、两相交圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0 （D1+E1-4F1>0）与x2+y2+D2x+E2y+F2=0 （D2+E2-4F2>0）的公共弦所在的直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 。
223、过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点P（x1,y1)作圆的切线，其切线长公式为：|PA|=x12+y12+Dx1+Ey1+F。
224、过圆x+y+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点22P（x1,y1)作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：；（x1-a（)x-a)+(y1-b)(y-b)=r2（在圆的标准方程下的形式）xx1+yy1+Dx+x1y+y1。
+E+F=0（在圆的一般方程下的形式）22二、题目已知圆x2+y2-2x-4y-4=0外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。
三、解法解法一：用判别式法求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：y-(-1)=k[x-(-4)]即 kx-y+4k-1=0 ⎧kx-y+4k-1=0由⎨2 消去y并整2⎩x+y-2x-4y-4=0理得 (1+k2)x2+(8k2-6k-2)x+(16k2-24k+1)=0 ①2222令∆=(8k-6k-2)-4(1+k)(16k-24k+1)=0 ②15解②得 k=0或k=81528分别代入①解得 x=1、x=- 8172858从而可得 A(-,)、B(1,-1)， 1717再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x+3y-2=0。
三招求圆的切线方程
三招求圆的切线方程江西省永丰中学 吴全根求圆的切线方程主要分为已知切线的斜率k 或已知切线上一点两种情况，而已知切线上一点又可分为点在圆上和点在圆外两种情况，面对这几种情况各采用什么方法求圆的切线方程呢？下面教你三招。
一、公式法 可求过圆上一点的切线方程. 公式如下：① 过圆x 2+y 2= r 2上点P(x 0,y 0)的切线方程为x 0x+y 0y= r 2。
② 过圆（x —a)2+（y-b ）2= r 2上点P(x 0，y 0）的切线方程为（x 0-a)(x —a)+（y 0-b)(y-b ）= r 2.③ 过圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0上点P(x 0,y 0)的切线方程 x 0x+y 0y+D 20x x ++E 20y y ++F=0 。
点评：（1）公式②中当a=b=0时即为公式①.（2）上述公式是利用“圆的切线垂直过切点的半径”这一性质推导的，当切线的斜率不存在时公式也适用。
(3）当你忘记了这些公式，可利用公式推导方法求之.例1 求过点A （4,1)且与圆(x —2)2+（y+1)2=8 相切的切线方程。
解一：(公式法） （4-2)2 +（1+1）2=8 ∴ 点A （4，1）在圆上，∴ 圆的切线方程为（4-2）(x —2）+(1+1) （y+1)=8,即x+y-5=0.解二：（公式推导法） 圆心C （2，—1）∴k AC =1 ∴ 过点A 的切线的斜率k= —1.∴ 所求切线方程为y —1= —1（x — 4),即x+y-5=0。
二、待定系数法 可求过圆外一点P （x 0,y 0）的圆的切线方程或求已知切线的斜率k 的切线方程. 此时可设圆的切线方程为y-y 0=k （x —x 0)或y=kx+b,然后利用“圆心到直线的距离等于半径” 这一性质求k .例2 求过点M （2，4)向圆（x-1)2+(y+3）2=1所引的切线方程.解：设所求切线方程为y-4=k （x-2）即kx —y-2k+4=0 (倾斜角不为900）， d=114232=++-+k k k ，∴k=724，∴切线方程为24x —7y-20=0。
圆的切线方程
2 2
2 3 圆的切线方程为： 2 x 3 y 13 0或2 x 3 y 13 0
13 13 b 3
例5:自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，
求反射光线所在直线的方程 A(-3，3) •
x a x0 a y b y0 b x0 a y0 b 0
2 2
MP ( x x0 , y y0 )
x
又 x0 a y0 b r 2
2 2
( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r .
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0
C(a,b)
CM MP CM MP 0
CM ( x0 a, y0 b)
O
P(X,Y)
x x0 x0 a y y0 y0 b 0
x a ( x0 a) x0 a y b ( y0 b) y0 b 0
( x 2) ( y 2) 1
2 2
C(2, 2)
•
| 2k 2 3k 3 | k 1
2
2
y 3 k ( x 3) kx y 3k 3 0
1
4 3 | 5k 5 | k 1 k 或k 3 4
• B(-3，-3)
结论一： 过圆 x y r 上一点 M ( x0 , y0 ) 切线 2 y 方程是 x0 x y0 y r
圆的标准方程及切线问题【精选】
D AC
切 线
证明只需要用到勾股定理即可。
P
长
显然，若P点在圆上，则 f (x0, y0 ) 0
D 当f (x0, y0 ) 0时,一方面由f (x0, y0)的符号即可知P点在圆
内或圆外,另一方面它有上述定理的几何意义
B
例5、如图，过圆外一点P（a,b)作圆 x2 y2 k 2 的两条切线，切点 为A、B，求直线AB的方程。
圆的标准方程及切线问题圆的切线方程椭圆切线方程椭圆的切线方程圆切线方程过圆上一点的切线方程圆的切线方程公式圆外一点的切线方程圆锥曲线切线方程椭圆上一点的切线方程
求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用（x,y）表示曲线上任 意一点M的坐标
（2）写出适合条件P的点M的集合 P={M | p(M)};
M (x0 , y0 ) 的切线的方程。
解法三（利用平面向量知识）：
P(x , y )
M (x0 , y0 )
OM MP
OM MP= 0
O
x
x0x +y0 y = r2 x2 + y2 = r2 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为：
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程 f(x,y)=0
(4)化方程 f(x,y)=0为最简形式
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲 线上的点。
建系、设点 条件立式 代换 化简方程 查缺补漏
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
设M(x,y)是圆上任意一点，
y
M
圆上一点切线方程公式
圆上一点切线方程公式一、几何解释我们先来看一个具体的实例。
设有一个圆C，圆心为O，半径为r，外部一点P，要求过该点切圆。
根据圆的性质，从圆心O到点P必然与点P到圆的切线相垂直，即垂直于OP的方向。
这样我们就可以根据点P和半径r构造一个直角三角形，从而求解切点坐标。
设切点坐标为(x0，y0)，圆心坐标为(x，y)，切线与直线OP的交点坐标为(Ax，Ay)。
由直角三角形的特性可知，向量PA与向量PO垂直，即两个向量点乘为0，即PA·PO=0(x0-x)(x0-x)+(y0-y)(y0-y)=r²展开上述方程后得到(x0²-2xx0)+(y0²-2yy0)=r²-(x²+y²)进一步化简可得x0²+y0²-2xx0-2yy0+r²=x²+y²x0²+y0²-(xx0+yy0)=r²(x0-x)²+(y0-y)²=r²由此可以得到切线与圆心的一般关系表达式，即圆点与切点的距离的平方等于圆的半径的平方。
二、代数解释我们还可以从代数的角度来推导圆上一点切线的方程。
假设圆方程为(x-a)²+(y-b)²=r²我们要求过点(Px，Py)的切线方程。
那么切线方程一般形式为Ax+By+C=0(x-a)²+(y-b)²=r²同时，切线与圆只有一个交点，即切点。
该交点坐标(x0，y0)同时也满足圆方程。
由于切点处的切线斜率与切线垂直于半径，所以切线和半径的斜率相乘得到-1，即[(y0-b)/(x0-a)][(y-b)/(x-a)]=-1将上述两个等式联立，可以消去y和y0，最终得到[(y-b)/(x-a)][(y0-b)/(x0-a)]=-1这是切线方程的一般形式，可以通过该方程求解出A、B、C。
求曲线（圆、椭圆、抛物线和一般曲线）的切线方程专题讲义-云南民族大学附属中学高三数学复习
求曲线（圆、椭圆、抛物线和一般曲线）的切线方程专题一 考纲解析：曲线的切线方程是近几年高考的重点和难点，一般出现在选择、填空和大题等位置。
常出现的题型包括圆的切线方程，椭圆、双曲线、抛物线以及一般曲线的切线方程。
处理方法有用直线与曲线联立∆判别式为零确定相切情况和利用导数几何意义求曲线的切线方程。
二、题型解析题型一 圆的切线方程方法指导：圆切线问题处理步骤首先看点),(000y x P 是在圆上还是圆外：若过圆上一点且与圆相切的切线方程只要一条；若过圆外一点且与圆相切需结合图形分析，过圆外一点且与圆相切要考虑切线斜率是否存在？如果斜率存在一般设切线方程：)(00x x k y y -=-切通过点到切线距离等于圆半径求出切线斜率，最后可通过图形检验切线斜率的正负性。
典例一 过点M （0,5）、N （3，-4）的圆圆心C 在直线：-2x+3y+3=0.求过点H （-2,4）且与圆C 相切的切线方程【解】：根据圆知识点圆内两条相交弦的交点即为圆心，3354-=--=MN k ,M,N 的中点为 （21,23），直线MN 的中垂线为：)23(3121-=-x y ，设圆心坐标为(a,b) 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++-)23(31210332a b b a 解得圆心坐标（3,1），故圆C 方程：25)1()3(22=-+-y x 如上图所示，H 点在圆外部，其中一条切线方程显然为：x=-2另外一条存在斜率，设为：)2(4+=-x k y ，圆心C(3,1)到直线的距离51|35|2=++=k k d ，解出,158则方程为：8x-15y+16=0,综述切线方程为：x=-2或8x-15y+16=0. 变式训练：(1)（2010年课标全国）圆心在原点且与直线x+y+2=0相切的圆的方程为【解】设圆的方程为：222r y x =+，根据题意，得22|2|=-=r ，所以圆的方程为：222=+y x(2) (2020.浙江)已知直线1)4(1)0(2222=+-=+>+=y x y x k b kx y 和圆与圆均相切，则k= ,b= .【解】: 如下图所示：满足k>0的直线方程即与122=+y x 圆相切且又与1)4(22=+-y x 圆相切的直线为直线AB ，则设直线AB方程为：)2(-=x k y ,圆心O （0,0）到直线AB的距离11|2|2=+-=k k d ，解得332,33-==b k 进而得到。
求圆的切线方程的几种方法
求圆的切线方程的几种方法圆的切线方程是研究圆与直线的接触性质和切线的位置关系的基础，它在几何学和微积分等学科中具有重要的应用价值。
本文将介绍几种求解圆的切线方程的方法，包括几何法、代数法和向量法。
一、几何法几何法是最直观的方法，通过观察圆与切线的几何特点，即圆上的点到切线的距离等于圆心到切线的距离，可以得到切线方程。
以圆心为坐标原点O(r,r)，半径为r的圆（r>0）为例，设圆上一点A(x1,y1)为切点，切线为l，过点A作圆心的垂直平分线交切线于点B(0,b)。
根据切线的性质，OB与OA平行，且OA与切线垂直，可以得到以下关系：1.切线的斜率等于OB的斜率：k1=(b-r)/0=∞，即切线的斜率不存在。
2.OA与切线的斜率的乘积等于-1：k1*k2=-1由于切线的斜率不存在，所以根据第2条关系可以求解k2，即切线的斜率。
将OA和切线之间的关系代入k1*k2=-1，可以得到：∞*k2=-1，即k2=0。
因此，切线的斜率为0，此时切线的方程为y=y1如此，根据切点的坐标和斜率为0即可得到切线的方程。
二、代数法代数法是一种基于圆和切线的方程性质的方法，通过构建圆的方程和切线的一般方程，利用解方程的方法求解交点，进而得到切线方程。
以圆心为坐标原点O(r,r)，半径为r的圆（r>0）为例，设圆上一点A(x1,y1)为切点，切线为l。
首先，我们可以根据圆的定义得到圆的方程：(x-r)²+(y-r)²=r²然后，我们可以得到切线的一般方程：Ax+By+C=0由于切点（x1,y1）在切线上，所以我们可以得到切线的方程：Ax1+By1+C=0接下来，我们将圆的方程和切线的方程带入切线方程，即可得到两个方程：A(r-r)+B(r-r)+C=0Ax1+By1+C=0经过简化，可以得到C=-Ax1-By1，将其带入第一个方程可以得到A(r-r)+B(r-r)=0。
由于r≠r，所以我们得到A=0和B=0，即切线的方程为0x+0y-C=0，即y=C。
利用导数求圆切线方程的三种问题类型
利用导数求圆切线方程的三种问题类型概述在解决数学问题时，利用导数求圆的切线方程是一种常见的方法。
本文将介绍三种常见的问题类型，并详细解释如何使用导数来求解。
问题类型一：求圆上某点处的切线方程对于给定的圆，我们需要求解圆上某点处的切线方程。
解决这类问题的关键是确定点的坐标和圆的方程。
假设圆的方程为x²+y²=r²，其中r为半径。
设切线与圆的交点为(x₁, y₁)，则切线的斜率可由导数求得。
假设切线的斜率为k，则切线方程可表示为y-y₁=k(x-x₁)。
通过将圆方程和切线方程联立，可以求解出点(x₁, y₁)，进而获得切线方程的具体表达式。
问题类型二：确定圆和直线的切点坐标在此问题类型中，已知一条直线与圆相切，需要确定切点的坐标。
首先，需要确定直线的方程和圆的方程。
假设直线的方程为y=mx+b，其中m为斜率，b为截距。
圆的方程仍为x²+y²=r²。
确定直线与圆相切的条件为直线方程和圆方程联立，得到二次方程形式的解。
求解该二次方程可得到切点的横坐标x₁，代入直线方程中即可求得切点的纵坐标y₁。
问题类型三：求圆的切线方程和切点坐标此问题类型中，需同时求解切线方程和切点坐标。
解决方法是通过已知条件，构建适当的方程组，然后求解其中的未知变量。
例如，已知圆心坐标和切点在圆上的坐标，可以利用圆方程和切线方程联立求解。
总结利用导数求圆切线方程的三种问题类型包括求圆上某点处的切线方程、确定圆和直线的切点坐标，以及求圆的切线方程和切点坐标。
对于每种问题类型，我们需要确定已知条件，建立适当的方程，然后通过导数运算和联立方程求解未知变量。
这些问题可以通过简单的策略和避免法律复杂性来解决，以确保准确性和可靠性。
备注：本文仅提供数学问题解决方法的讨论，不涉及确切的案例或法律内容。
在实际应用中，请确保依据具体情况做出独立决策并遵循法律法规。
过圆外一点求圆的切线方程公式
过圆外一点求圆的切线方程公式求圆的切线方程是圆的基本知识，也是解析几何中的重要内容。
通过求解切线方程，我们可以得到切线的斜率和截距，从而求得切线的具体方程。
本文将从圆的定义、切线的概念和求解切线方程的方法等几个方面来介绍求圆的切线方程的相关知识。
一、圆的定义圆是平面上一点到定点之间距离等于定长的所有点的集合。
这个定点叫做圆心，定长叫做半径。
圆是由所有距离圆心相等的点组成的图形。
圆被圆心和半径完全确定。
在平面直角坐标系中，圆的标准方程为：(x - a)² + (y - b)² = r²其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
二、切线的概念在解析几何中，切线是曲线或曲面上的一条直线，与曲线或曲面在一点处相切。
对于圆来说，切线是与圆相切的直线。
切线与圆相切的点叫做切点。
当我们求圆的切线时，主要是要求得切线的斜率和截距，从而得到切线的具体方程。
接下来我们将介绍如何求解圆的切线方程。
三、求解圆的切线方程的方法1.坐标几何法当已知圆的方程和切点坐标时，可以使用坐标几何法求解圆的切线方程。
主要是通过切线与圆的切点坐标和切线斜率的关系来求解切线方程。
2.解析几何法当已知圆的方程和切点坐标时，可以使用解析几何法求解圆的切线方程。
主要是通过切线与圆的切点坐标和切线斜率的关系来求解切线方程。
接下来我们将对坐标几何法和解析几何法进行具体的介绍。
四、坐标几何法坐标几何法是求解圆的切线方程的一种常用方法。
当已知圆的方程和切点坐标时，可以使用坐标几何法求解圆的切线方程。
下面我们将介绍具体的步骤。
1.确定切点坐标首先，假设圆的方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，切点的坐标为(x₁, y₁)。
我们可以通过联立圆的方程和切点坐标的方程来确定切点的坐标。
2.求解切线斜率切线的斜率可以通过求解圆心和切点的连线的斜率来获得。
根据两点坐标的斜率公式：k = (y₁ - b) / (x₁ - a)其中(k为切线的斜率)3.求解切线方程通过切点坐标和切线斜率，我们可以得到切线的截距b。
求圆的切线方程一题三法
word专业资料-可复制编辑-欢迎下载求圆的切线方程一题三法在直线与圆的位置关系中，求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都知道有这样的结论：过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2，在运用这个结论的时候要注意些什么呢？【例题】求过点A（2，1）向圆x2＋y2＝4所引的切线方程.解法一：设切点为B（x0，y0），则x02＋y02＝4，过B点的切线方程为x0x＋y0y＝4.又点A（2，1）在切线上，∴2x0＋y0＝4.将x0，y0的值代入方程x0x＋y0y＝4得所求切线方程为x＝2或3x＋4y－10＝0.解法二：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0.∵圆心（0，0）到切线的距离是2，∴＝2，解得k＝－.∴所求切线方程为－x－y＋＋1＝0，即3x＋4y－10＝0.当过点A的直线的斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件.故所求圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2.解法三：设切线方程为y－1＝k（x－2）与方程x2＋y2＝4联立，消去y，整理得（k2＋1）x2－2k （2k－1）x+4k2－4k－3＝0.∵直线与圆相切，上述方程只能有一个解，即Δ＝0，即[2k（2k－1）]2－4×（k2＋1）（4k2－4k－3）＝0，解得k＝－.∴所求切线方程为y－1＝－（x－2），即3x＋4y－10＝0.又过点A（2，1）与x轴垂直的直线x＝2也与圆相切.故圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2.【误区警示】大家做题的时候必须按照所述认真求解，稍有马虎就可能造成一些不必要的错误.就本题而言，可能出现的错解1：由过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2.从而直接得出切线方程为2x＋y＝4.出现错误的原因是凭直观经验，误认为点A（2，1）在圆上；错解2：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0，由圆心（0，0）到切线的距离是2得，＝2，解得k＝－，故所求切线方程为－x－y＋＋1＝0即3x＋4y－10＝0.这里出现错误的原因主要是考虑问题不周全，漏掉了直线斜率不存在的情况.【知识小结】求过定点的圆的切线问题，应首先判断该点是否在圆上，若点在圆x2＋y2＝r2上，则可直接用公式xx0＋yy0＝r2（A（x0，y0）为切点），类似的可以求出过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)＝r2；若点在圆外，则所求切线必有两条，此时可设切线方程，用待定系数法求斜率k.如果关于k的方程只有一个解，则另一条切线的斜率必不存在，应该将该直线补上.。
求内切圆的公切线方程
求内切圆的公切线方程内切圆是以几何中的圆为基础，它是以另一个圆为外接圆，使得包含于内的圆两点相切的圆，也称之为内接圆。
它的特点是：圆的内接圆的圆心坐标或直径可以通过几何图形解析法求出。
内切圆的公切线方程，也叫做相切圆线，是一种有着相同特征的公共直线在两个圆上相切的线段上的平行线，也就是说，公切线方程指的是给定两个相切的圆，求出他们的公共切线的方程。
给定两个相切的圆，求出他们的公共切线的方程，一般可以由以下方法解决：一、求出圆心坐标法，二、求出圆的坐标方程，三、求出圆的方程参数方程等。
一、求出圆心坐标法圆的公切线方程，可以通过求出内外两个圆的中心坐标，然后相减，求出公切线方程。
假设A、B两个圆的圆心坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，半径分别为r1、r2，则这两个圆的公切线方程可以求出如下：y = (x2-x1)/(y2-y1) * x + (x2*y1-x1*y2)/(y2-y1) 求出的公切线方程，可以在两个圆相交的位置，画出一条直线，此直线就是两个圆公共的切线。
二、求出圆的坐标方程求出圆的坐标方程，其实就是求出几何图形中，相关的参数，用来表示圆的位置特点，进而求出公切线的方程。
假设A、B两个圆的圆心坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，半径分别为r1、r2。
因此，A圆的坐标方程为：(x-x1)^2 + (y-y1)^2 = r1^2B圆的坐标方程为：(x-x2)^2 + (y-y2)^2 = r2^2将上面的两个方程带入上一步的公切线方程，可以求出：y = ((x2-x1)*(x-x1) + (y2-y1)*(y-y1))/((x2-x1)^2 +(y2-y1)^2) * x + (x2*y1-x1*y2)/((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)三、求出圆的方程参数方程假设A、B两个圆的圆心坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，半径分别为r1、r2，则他们的方程参数法式如下：A圆的方程参数：x0 = x1y0 = y1r = r1B圆的方程参数：x0 = x2y0 = y2r = r2将上面的方程参数带入上一步的公切线方程，可以求出：y = 2 * (x2-x1)/(r1^2+r2^2-2*r1*r2) * x +(x2*y1-x1*y2)/(r1^2+r2^2-2*r1*r2)四、求出圆心到切线的距离圆心到公切线的距离，也称切线段，是指圆心到公切线的距离。
圆的切线方程的求解技法
圆的切线方程的求解技法（）大家知道：（1）过圆222r y x =+上一点()00,y x P 的切线方程为200r yy xx =+；（2）过圆()()222r b y a x =-+-上一点()00,y x P 的切线方程为()()()()200r b y b y a x a x =--+--；（3）过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点()00,y x P 的切线方程为0220000=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++F y y E x x D y y x x （由（2）可导出（3））。
那么，过圆()()222r b y a x =-+-外一点()00,y x P 作圆的切线有两条，如何求切线方程呢？举一例介绍求解技法如下。
例：从点()1,2--P 向圆012422=++-+y x y x 引切线，求切点坐标与切线方程。
解法一：转化与化归法。
设切点坐标为()11,y x A ，则过点A 的圆的切线方程为()()0121111=++++-+y y x x y y x x 。
因为切线过点()1,2--P ，所以4211+--y x011211=++--y x ，解得11=x ，代入圆的方程，解得311+-=y 或311--=y 。
所以切点坐标为()31,1+-，()31,1--，切线方程为0323=-+-y x 或0323=+++y x 。
解法二：转化与化归法及参数法。
圆的方程化为()()41222=++-y x ，故可设切点坐标为()θθsin 21,cos 22+-+，[)πθ2,0∈，则切线方程为()()4sin 21cos 22=∙++∙-θθy x 。
因为切线过点()1,2--P ，代入切线方程，得4cos 8=-θ，所以21cos -=θ，23sin ±=θ。
所以切点坐标为()31,1+-，()31,1--，切线方程为0323=-+-y x 或0323=+++y x 。
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求圆的切线方程一题三法
在直线与圆的位置关系中，求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都知道有这样的结论：过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2，在运用这个结论的时候要注意些什么呢？
【例题】求过点A（2，1）向圆x2＋y2＝4所引的切线方程.
解法一：设切点为B（x0，y0），则x02＋y02＝4，
过B点的切线方程为x0x＋y0y＝4.
又点A（2，1）在切线上，∴2x0＋y0＝4.
将x0，y0的值代入方程x0x＋y0y＝4得所求切线方程为x＝2或3x＋4y－10＝0.
解法二：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0.
∵圆心（0，0）到切线的距离是2，
∴＝2，解得k＝－.
∴所求切线方程为－x－y＋＋1＝0，即3x＋4y－10＝0.
当过点A的直线的斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件.
故所求圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2.
解法三：设切线方程为y－1＝k（x－2）与方程x2＋y2＝4联立，消去y，整理得（k2＋1）x2－2k（2k－1）x+4k2－4k－3＝0.
∵直线与圆相切，上述方程只能有一个解，即Δ＝0，即[2k（2k－1）]2－4×（k2＋1）（4k2－4k－3）＝0，解得k＝－.
∴所求切线方程为y－1＝－（x－2），即3x＋4y－10＝0.
又过点A（2，1）与x轴垂直的直线x＝2也与圆相切.
故圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2.
【误区警示】大家做题的时候必须按照所述认真求解，稍有马虎就可能造成一些不必要的错误.就本题而言，可能出现的错解1：由过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2.从而直接得出切线方程为2x＋y＝4.出现错误的原因是凭直观经验，误认为点A（2，1）在圆上；错解2：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0，
由圆心（0，0）到切线的距离是2得，＝2，解得k＝－，故所求切线方程为－
x－y＋＋1＝0即3x＋4y－10＝0.这里出现错误的原因主要是考虑问题不周全，漏掉了直线斜率不存在的情况.
【知识小结】求过定点的圆的切线问题，应首先判断该点是否在圆上，若点在圆x2＋
y2＝r2上，则可直接用公式xx0＋yy0＝r2（A（x0，y0）为切点），类似的可以求出过圆（x －a）2＋（y－b）2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)＝r2；若点在圆外，则所求切线必有两条，此时可设切线方程，用待定系数法求斜率k.如果关于k 的方程只有一个解，则另一条切线的斜率必不存在，应该将该直线补上.。