高中数学导学案

§3.1.2 空间向量的数乘运算（一） 班级：二年级 组名：数学 设计人： 审核人： 领导审批：

学习目标

1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；

2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问

题．

学习过程

一、课前准备（由学生完成）

（预习教材P 86~ P 87，找出疑惑之处）

复习1：化简：⑴ 5（32a b -）+4（23b a -）；

⑵ ()()63a b c a b c -+--+-.

2：在平面上，什么叫做两个向量平行？

在平面上有两个向量,a b ，若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件

是

二、新课导学 学习探究（由学生完成）

一：空间向量的共线

问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关

系？

新知：空间向量的共线：

1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.

2. 空间向量共线：

定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠）， //a b 的充要条件是存在唯一 实数λ，使得

推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向

量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的

充要条件是

反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠，注意零向

量与任何向量共线.

知识应用：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+()3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共

线.

精讲例题 例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+，且x +y ＝1，

试判断A,B,P 三点是否共线？

变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12OP OA tOB =+，那么t ＝

例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .

变式1：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式：⑴ 'AA CB - ;⑵ '''''AB B C C D ++⑶ '111222

AD AB A A +-

变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得：

⑴22OP OA AB AC =++

⑵

32OQ OA AB AC =-- ⑶32OR OA AB AC =+-

⑷23OS OA AB AC =+-.

小结（由学生完成）空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.

※ 动手试试（由学生完成）

练1. 下列说法正确的是（ ）

A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；

B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；

C. 任意两个共线向量相等；

D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=.

2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++，0a ≠，若//a b ，求实数.x

三、总结提升

※ 学习小结

1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；

2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.

知识拓展

平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 下列说法正确的是（ ）

A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线

B. 任意两个相等向量不一定共线

C. 任意两个共线向量相等

D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=

2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD y AB z AA =++,

则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .

3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP OA + OB .

4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D 的交点,则'1()3AB AD AA ++= AO

5. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，若',,AB a AD b AA c ===，则与'B M 相等的向量是（ ） A. 1122a b c -++； B. 1122

a b c ++； C.

11a b c -+； D. 1122a b c --+.