高中数学导学案

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(完整word版)高中数学必修1第一章导学案

1.1.1 集合的含义与表示第1课时集合的含义学习目标 1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.知识点一集合的概念思考有首歌中唱道“他大舅他二舅都是他舅”，在这句话中，谁是集合？谁是集合中的元素？答案 “某人的舅”是一个集合，“某人的大舅、二舅”都是这个集合中的元素. 梳理元素与集合的概念(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示.(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示. 知识点二元素与集合的关系思考 1是整数吗？12是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？答案 1是整数；12不是整数.没有.梳理元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、∉. 知识点三元素的三个特性思考1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？答案某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准.高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定.元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.思考2构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？答案2个.集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性.思考3“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：“北京、上海、天津、重庆”；乙同学说：“上海、北京、重庆、天津”，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？答案两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的.由此说明，集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性.只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的.梳理元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性.知识点四常用数集及表示符号类型一判断给定的对象能否构成集合例1考察下列每组对象能否构成一个集合.(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某班的所有高个子同学；(4)3的近似值的全体.解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；(2)能构成集合；(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是()A.数学必修1课本中所有的难题B.小于8的所有素数C.直角坐标平面内第一象限的一些点D.所有小的正数答案B解析 A 中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D 中没有明确的标准，所以不能构成集合. 类型二元素与集合的关系命题角度1 判定元素与集合的关系例2 给出下列关系：①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N ；④|－3|∈Q ；⑤0∉N ，其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析 12是实数，①对；2不是有理数，②对；|－3|＝3是自然数，③错；|－3|＝3为无理数，④错；0是自然数，⑤错.故选B.反思与感悟要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N ，R ，Q ，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件. 跟踪训练2 用符号 “∈”或“∉”填空. －2________R ；－3________Q ；－1________N ； π________Z . 答案 ∈ ∈ ∉ ∉命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理例3 集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________.答案 0,1,2解析 ∵x ∈N ，63－x ∈N ，∴0≤x ≤2且x ∈N .当x ＝0时，63－x ＝63＝2∈N ；当x ＝1时，63－x ＝63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－x ＝63－2＝6∈N .∴A 中元素有0,1,2.反思与感悟判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接给出的.②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现. (2)推理法①使用前提：对于某些不便直接表示的集合.②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.跟踪训练3 已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A,2∈A ，则( ) A.a >－4 B.a ≤－2 C.－4<a <－2 D.－4<a ≤－2答案 D解析 ∵1∉A ，∴2×1＋a ≤0，a ≤－2.又∵2∈A ，∴2×2＋a >0，a >－4，∴－4<a ≤－2. 类型三元素的三个特性的应用例4 已知集合A 有三个元素：a －3,2a －1，a 2＋1，集合B 也有三个元素：0,1，x . (1)若－3∈A ，求a 的值； (2)若x 2∈B ，求实数x 的值； (3)是否存在实数a ，x ，使A ＝B .解 (1)由－3∈A 且a 2＋1≥1，可知a －3＝－3或2a －1＝－3，当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1.经检验，0与－1都符合要求. ∴a ＝0或－1.(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1. (3)显然a 2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a －3＝0或2a －1＝0. 若a －3＝0，则a ＝3，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝{0,5,10}≠B . 若2a －1＝0，则a ＝12，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝{0，－52，54}≠B .故不存在这样的实数a ，x ，使A ＝B .反思与感悟元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等.元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等.跟踪训练4 已知集合M 中含有三个元素：2，a ，b ，集合N 中含有三个元素：2a,2，b 2，且M ＝N ，求a ，b 的值.解方法一根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.方法二 ∵两个集合相等，则其中的对应元素相同.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2a ＋b 2，a ·b ＝2a ·b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b (b －1)＝0， ①ab ·(2b －1)＝0， ② ∵集合中的元素互异，∴a ，b 不能同时为零.当b ≠0时，由②得a ＝0，或b ＝12.当a ＝0时，由①得b ＝1，或b ＝0(舍去).当b ＝12时，由①得a ＝14.当b ＝0时，a ＝0(舍去).∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.1.下列给出的对象中，能组成集合的是( ) A.一切很大的数 B.好心人 C.漂亮的小女孩D.方程x 2－1＝0的实数根答案 D2.下面说法正确的是( ) A.所有在N 中的元素都在N *中 B.所有不在N *中的数都在Z 中 C.所有不在Q 中的实数都在R 中 D.方程4x ＝－8的解既在N 中又在Z 中答案 C3.由“book 中的字母”构成的集合中元素个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C4.下列结论不正确的是( ) A.0∈N B.2∉Q C.0∉Q D.－1∈Z 答案 C5.已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( ) A.2 B.3 C.0或3 D.0,2,3均可答案 B解析由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意.1.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.2.元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A.3.集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合.这个性质通常用来判断两个集合的关系.课时作业一、选择题1.已知集合A由x<1的数构成，则有()A.3∈AB.1∈AC.0∈AD.－1∉A答案C解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式.2.由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含()A.2个元素B.3个元素C.4个元素D.5个元素答案A解析由于|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素.3.下列结论中，不正确的是()A.若a∈N，则－a∉NB.若a∈Z，则a2∈ZC.若a∈Q，则|a|∈QD.若a∈R，则3a∈R答案A解析 A 不对.反例：0∈N ，－0∈N .4.已知x ，y 为非零实数，代数式x |x |＋y|y |的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A.0∉MB.1∈MC.－2∉MD.2∈M答案 D解析 ①当x ，y 为正数时，代数式x |x |＋y |y |的值为2；②当x ，y 为一正一负时，代数式x |x |＋y|y |的值为0；③当x ，y 均为负数时，代数式x |x |＋y|y |的值为－2，所以集合M 的元素共有3个：－2,0,2，故选D.5.已知集合S 中三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形答案 D解析由元素的互异性知a ，b ，c 均不相等.6.已知A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( ) A.－1∉A B.－11∈A C.3k 2－1∈A D.－34∉A 答案 C解析令3k －1＝－1，解得k ＝0∈Z ，∴－1∈A .令3k －1＝－11，解得k ＝－103∉Z ，∴－11∉A ；∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A .令3k －1＝－34，解得k ＝－11∈Z ，∴－34∈A . 二、填空题7.在方程x 2－4x ＋4＝0的解集中，有________个元素. 答案 1解析易知方程x 2－4x ＋4＝0的解为x 1＝x 2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素.8.下列所给关系正确的个数是________.①π∈R ；②3D ∈/Q ；③0∈N *；④|－4|D ∈/N *. 答案 2解析 ∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.9.如果有一集合含有三个元素：1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________. 答案 x ≠0,1,2，1±52解析由集合元素的互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52.10.已知a ，b ∈R ，集合A 中含有a ，ba ，1三个元素，集合B 中含有a 2，a ＋b,0三个元素，若A ＝B ，则a ＋b ＝____. 答案－1解析 ∵A ＝B,0∈B ，∴0∈A .又a ≠0，∴ba ＝0，则b ＝0.∴B ＝{a ，a 2,0}.∵1∈B ，∴a 2＝1，a ＝±1.由元素的互异性知，a ＝－1，∴a ＋b ＝－1. 三、解答题11.已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求实数a 的值. 解由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去. 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，满足题意.∴实数a 的值为－32.12.已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R . (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值.解 (1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0. 此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意.若－3＝2a －1，则a ＝－1. 此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意. 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.(2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1.当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立；当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时A 中有两个元素－2,1，符合题意. 综上所述，满足题意的实数a 的值为1.13.数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1).(1)若2∈A ，试求出A 中其他所有元素；(2)自己设计一个数属于A ，然后求出A 中其他所有元素；(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”. 解 (1)2∈A ，则11－2∈A ，即－1∈A ，则11＋1∈A ，即12∈A ，则11－12∈A ，即2∈A ，所以A 中其他所有元素为－1，12.(2)如：若3∈A ，则A 中其他所有元素为－12，23.(3)分析以上结果可以得出：A 中只能有3个元素，它们分别是a ，11－a ，a －1a ，且三个数的乘积为－1.证明如下：若a ∈A ，a ≠1，则有11－a ∈A 且11－a≠1，所以又有11－11－a＝a －1a ∈A 且a －1a≠1，进而有11－a －1a ＝a ∈A .又因为a ≠11－a (因为若a ＝11－a ，则a 2－a ＋1＝0，而方程a 2－a ＋1＝0无解).故11－a≠a －1a ，所以A 中只能有3个元素，它们分别是a ，11－a，a －1a ，且三个数的乘积为－1.四、探究与拓展14.已知集合A ＝{a ，b ，c }中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( ) A.{1,2,3} B.{1,2} C.{0,1} D.{0,1,2}答案 B解析由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b ＋c ＝2，c ＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝2，∴集合A ＝{0,1,2}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}.故选B.15.已知集合A 中的元素x 均满足x ＝m 2－n 2(m ，n ∈Z )，求证： (1)3∈A ；(2)偶数4k －2(k ∈Z )不属于集合A .证明 (1)令m ＝2∈Z ，n ＝1∈Z ，得x ＝m 2－n 2＝4－1＝3，所以3∈A . (2)假设4k －2∈A ，则存在m ，n ∈Z ，使4k －2＝m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )成立. ①当m ，n 同奇或同偶时，m ＋n ，m －n 均为偶数，所以(m ＋n )(m －n )为4的倍数与4k －2不是4的倍数矛盾. ②当m ，n 一奇一偶时，m ＋n ，m －n 均为奇数，所以(m ＋n )(m －n )为奇数，与4k －2是偶数矛盾.所以假设不成立.综上，4k －2∉A .第2课时集合的表示学习目标 1.掌握用列举法表示有限集.2.理解描述法格式及其适用情形.3.学会在集合不同的表示法中作出选择和转换.知识点一列举法思考要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合.而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？答案把它们一一列举出来.梳理把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.适用于元素较少的集合.知识点二描述法思考能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？答案不能.表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}.梳理描述法常用以表示无限集或元素个数较多的有限集.表示方法是在花括号内画一竖线，竖线前写元素的一般符号及取值(或变化)范围，竖线后写元素所具有的共同特征.类型一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合.(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合.解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.反思与感悟(1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；(2)列举法表示的集合的种类①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}.跟踪训练1用列举法表示下列集合.(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(2)由1～20以内的所有素数组成的集合.解(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}.(2)设由1～20以内的所有素数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.类型二用描述法表示集合例2试用描述法表示下列集合.(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.解(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A ＝{x∈R|x2－2＝0}.(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}.引申探究用描述法表示函数y＝x2－2图象上所有的点组成的集合.解{(x，y)|y＝x2－2}.反思与感悟用描述法表示集合时应注意的四点(1)写清楚该集合中元素的代号；(2)说明该集合中元素的性质；(3)所有描述的内容都可写在集合符号内；(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略.跟踪训练2用描述法表示下列集合.(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合.解(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}.(2)“二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}.类型三集合表示的综合应用命题角度1选择适当的方法表示集合例3用适当的方法表示下列集合.(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合.解(1)列举法：{0,2,4}；或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}.(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}.(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}.反思与感悟用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.跟踪训练3若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________.答案{2 000,2 001,2 004}解析由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2 000的值为2 000,2 001,2 004，所以B＝{2 000,2 001,2 004}.命题角度2新定义的集合例4对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是()A.18B.17 D.16 D.15 答案B解析因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.反思与感悟命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求.跟踪训练4定义集合运算：A※B＝{t|t＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A※B的所有元素之和为________. 答案6解析由题意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，又0＋2＋4＝6，故集合A※B的所有元素之和为6.1.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A.{1,1}B.{1}C.{x＝1}D.{x2－2x＋1＝0}答案B2.一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是()A.{1，－2}B.{x＝1，y＝－2}C.{(－2,1)}D.{(1，－2)}答案 D3.设A ＝{x ∈N |1≤x <6}，则下列正确的是( ) A.6∈A B.0∈A C.3∉A D.3.5∉A 答案 D4.第一象限的点组成的集合可以表示为( ) A.{(x ，y )|xy >0} B.{(x ，y )|xy ≥0} C.{(x ，y )|x >0且y >0} D.{(x ，y )|x >0或y >0} 答案 C5.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是( ) A.{x |x ＝4k －1，k ∈Z } B.{x |x ＝2k －1，k ∈Z } C.{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z } D.{x |x ＝2k ＋3，k ∈Z }答案 A1.在用列举法表示集合时应注意：(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集.若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示. 2.在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑.课时作业一、选择题1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集不可以表示为( )A.{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1} B.{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2} C.{1,2} D.{(1,2)} 答案 C解析方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一个有序实数对，故C 不符合. 2.集合A ＝{x ∈Z |－2<x <3}的元素个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 D解析因为A ＝{x ∈Z |－2<x <3}，所以x 的取值为－1，0,1,2. 3.集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A.方程y ＝2x －1 B.点(x ，y ) C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D.函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合答案 D解析集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D. 4.已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝{m |m ＝x |x |＋y |y |＋xy|xy |}为( )A.{0,3}B.{1,3}C.{－1,3}D.{1，－3} 答案 C解析当x >0，y >0时，m ＝3，当x <0，y <0时，m ＝－1－1＋1＝－1. 若x ，y 异号，不妨设x >0，y <0，则m ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1. 因此m ＝3或m ＝－1，则M ＝{－1,3}. 5.下列选项中，集合M ，N 相等的是( )A.M ＝{3,2}，N ＝{2,3}B.M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}C.M ＝{3,2}，N ＝{(3,2)}D.M ＝{(x ，y )|x ＝3且y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x ＝3或y ＝2} 答案 A解析元素具有无序性，A 正确；点的横坐标、纵坐标是有序的，B 选项两集合中的元素不同；C 选项中集合M 中元素是两个数，N 中元素是一个点，不相等；D 选项中集合M 中元素是一个点(3,2)，而N 中元素是两条直线x ＝3和y ＝2上所有的点，不相等. 6.集合{3，52，73，94，…}用描述法可表示为( )A.{x |x ＝2n ＋12n ，n ∈N *}B.{x |x ＝2n ＋3n ，n ∈N *}C.{x |x ＝2n －1n ，n ∈N *}D.{x |x ＝2n ＋1n ，n ∈N *}答案 D解析由3，52，73，94，即31，52，73，94，从中发现规律，x ＝2n ＋1n ，n ∈N *，故可用描述法表示为{x |x ＝2n ＋1n，n ∈N *}. 二、填空题7.方程x 2－5x ＋6＝0的解集可表示为______. 答案 {2,3} 解析易知方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或3，则方程解集为{2,3}. 8.集合{x ∈N |x 2＋x －2＝0}用列举法可表示为________. 答案 {1} 解析由x 2＋x －2＝0，得x ＝－2或x ＝1.又x ∈N ，∴x ＝1.9.已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________. 答案 3解析根据x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A ，知集合B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素. 10.定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，集合B ＝{x |x －23<0}，则集合A －B ＝________. 答案 {x |x ≥2}解析 A ＝{x |x >－12}，B ＝{x |x <2}，A －B ＝{x |x >－12且x ≥2}＝{x |x ≥2}.三、解答题11.已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由.解因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合.理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}. 集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋3上的点}. 12.用适当的方法表示下列集合： (1)大于2且小于5的有理数组成的集合； (2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合. 解 (1)用描述法表示为{x |2<x <5，且x ∈Q }. (2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.(3)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |，到y 轴的距离为|x |，所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}.13.设A 表示集合{2,3，a 2＋2a －3)，B 表示集合{|a ＋3|,2}，若5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值. 解 ∵5∈A ，且5∉B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋2a －3＝5，|a ＋3|≠5，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4或a ＝2，a ≠2且a ≠－8，解得a ＝－4. 四、探究与拓展14.设正整数集N *，已知集合A ＝{x |x ＝3m ，m ∈N *}，B ＝{x |x ＝3m －1，m ∈N *}，C ＝{x |x＝3m－2，m∈N*}，若a∈A，b∈B，c∈C，则下列结论中可能成立的是()A.2 006＝a＋b＋cB.2 006＝abcC.2 006＝a＋bcD.2 006＝a(b＋c)答案C解析由于2 006＝3×669－1，不能被3整除，而a＋b＋c＝3m1＋3m2－1＋3m3－2＝3(m1＋m2＋m3－1)不满足；abc＝3m1(3m2－1)(3m3－2)不满足；a＋bc＝3m1＋(3m2－1)(3m3－2)＝3m－1适合；a(b＋c)＝3m1(3m2－1＋3m3－2)不满足.故选C.15.若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，用列举法表示集合P ＋Q.解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}.1.1.2集合间的基本关系学习目标 1.理解子集、真子集、空集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法.知识点一子集思考如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？答案所有的白马都是马，马不一定是白马.梳理对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”).子集的有关性质：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.(3)若A⊆B，B⊆A，则A＝B.知识点二真子集思考在知识点一中，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？答案用真子集.梳理如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集，记作：A B(或B A)，读作：A真包含于B(或B真包含A).知识点三空集思考集合{x∈R|x2＜0}中有几个元素？答案0个.梳理定义不含任何元素的集合叫做空集符号用符号表示为∅规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集知识点四思考图中集合A，B，C的关系用符号可表示为__________.答案A⊆B⊆C梳理一般地，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表达集合间的关系.类型一求集合的子集例1(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论.解(1)∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}.(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集.如∅，有一个子集，0个真子集.反思与感悟为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等.跟踪训练1适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()A.15B.16C.31D.32答案A解析这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个.类型二判断集合间的关系命题角度1概念间的包含关系例2设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为()A.P ⊆N ⊆M ⊆QB.Q ⊆M ⊆N ⊆PC.P ⊆M ⊆N ⊆QD.Q ⊆N ⊆M ⊆P答案 B解析正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，所以选B. 反思与感悟一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先得准确理解概念的定义.跟踪训练2 我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N 、Z 、Q 、R 表示，用符号表示N 、Z 、Q 、R 的关系为________. 答案 NZ Q R命题角度2 数集间的包含关系例3 设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x <2或x >3}，则A 与B 的关系为( ) A.A ∈B B.B ∈A C.A ⊆B D.B ⊆A 答案 C解析 ∵0<2，∴0∈B .又∵1<2，∴1∈B .∴A ⊆B . 反思与感悟判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察.(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn 图.跟踪训练3 已知集合A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |x <5}，则( ) A.A ∈B B.A B C.B A D.B ⊆A 答案 B解析由数轴易知A 中元素都属于B ，B 中至少有一个元素如－2∉A ，故有A B .类型三由集合间的关系求参数(或参数范围)例4 已知集合A ＝{x |x 2－x ＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，且A ⊇B ，求实数a 的值. 解 A ＝{x |x 2－x ＝0}＝{0,1}. (1)当a ＝0时，B ＝∅⊆A ，符合题意.(2)当a ≠0时，B ＝{x |ax ＝1}＝{1a }，∵1a ≠0，要使A ⊇B ，只有1a ＝1，即a ＝1.综上，a ＝0或a ＝1.反思与感悟集合A 的子集可分三类：∅、A 本身，A 的非空真子集，解题中易忽略∅. 跟踪训练4 已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |2a －3<x <a －2}，且A ⊇B ，求实数a 的取值范围.解 (1)当2a －3≥a －2，即a ≥1时，B ＝∅⊆A ，符合题意. (2)当a <1时，要使A ⊇B ，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a －3≥1，a －2≤2，这样的实数a 不存在.综上，实数a 的取值范围是{a |a ≥1}.1.下列集合中，结果是空集的是( ) A.{x ∈R |x 2－1＝0} B.{x |x ＞6或x ＜1} C.{(x ，y )|x 2＋y 2＝0} D.{x |x ＞6且x ＜1}答案 D2.集合P ＝{x |x 2－1＝0}，T ＝{－1,0,1}，则P 与T 的关系为( ) A.P T B.P ∈T C.P ＝T D.P ⊈T 答案 A3.下列关系错误的是( )A.∅⊆∅B.A ⊆AC.∅⊆AD.∅∈A 答案 D4.下列正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是( )答案 B5.若A ＝{x |x >a }，B ＝{x |x >6}，且A ⊆B ，则实数a 可以是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 D1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A ，能推出x ∈B ，这是判断A ⊆B 的常用方法.(2)不能简单地把“A ⊆B ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为若A ＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但xD∈/A.2.集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉.3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.课时作业一、选择题1.在下列关系中错误的个数是()①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}；⑤{0,1}⊆{(0,1)}；A.1B.2C.3D.4答案B解析①正确；因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，而不能用属于来表示，所以②错误；③正确，因为任何集合都是它本身的子集；④正确，因为集合元素具有无序性；因为集合{0,1}表示数集，它有两个元素，而集合{(0,1)}表示点集，它只有一个元素，所以⑤错误，所以错误的个数是2.故选B.2.已知集合A＝{x|x＝19(2k＋1)，k∈Z}，B＝{x|x＝49k±19，k∈Z}，则集合A，B之间的关系为()A.A BB.B AC.A＝BD.A≠B 答案C解析A＝{x|x＝2k＋19，k∈Z}＝{…，－59，－39，－19，19，39，59，…}，B＝{x|x＝4k±19，k∈Z}＝{…，－59，－39，－19，19，39，59，…}，故A＝B.3.已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是()。

高中数学《不等式的基本性质》导学案

1.1不等式的基本性质导学案1.掌握两个实数比较大小的理论依据；2.理解并掌握不等式的性质；3.会利用不等式的基本性质证明不等式和比较大小；【重点、难点】教学重点：不等式的性质；教学难点：不等式性质的应用.二、学习过程【情景创设】1.在必修5中，我们学习了不等式的基本性质，这些性质是我们解不等式及证明不等式或者求一个变量的范围的理论依据；2.在必修5中学到的两个实数比较大小的原理及不等式的基本性质是怎样的？3.这些性质及原理是如何应用的？应用时应注意什么？【导入新课】1．不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

2. 实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总左边的点所表示的数，可知： 0ba b a -⇔> 0ba b a -⇔=0b a b a -⇔<结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

3. 不等式的基本性质：10. 对称性：b a >⇔ ；20. 传递性：⇒>>c b b a , ； 30. 同加性：⇒>b a ；推论：加法法则：⇒>>d c b a , ； 40. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ；推论1：乘法法则：⇒>>>>0,0d c b a ；推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论4：可倒性：⇒>>0b a .☆比较两数大小的一般方法：与．三、典例分析【例1】判断下列各题的对错(1)c a ＜c b且c ＞0⇒a ＞b ( )． (2)a ＞b 且c ＞d ⇒ac ＞bd ( )．(3)a ＞b ＞0且c ＞d ＞0⇒a d ＞b c(4)a c 2＞b c2⇒a ＞b ( )．【例2】比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x 2＋3与3x ；(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．分析：我们知道，a －b ＞0a ＞b ，a －b ＜0a ＜b ，因此，若要比较两式的大小，只需作差并与0作比较即可．【例3】已知0,0,a b c >><求证: c c a b>。

高中数学全套导学案新人教版选修三原创

3．排列数公式及其推导：
（）
全排列数：（叫做n的阶乘）
二、讲解新课：
解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．
（3）某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？
解：（1）；
（2）；
（3）
课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导
课堂练习：
课后作业：
1.2.1排列
（第二课时）
教学目标：
掌握解排列问题的常用方法
教学重点：
掌握解排列问题的常用方法
2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。那么，完成这件工作共有n1×n2×……×nk种不同方法
二、讲解新课：
例1书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法；
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本艺术书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是种
1.标准必须一致,而且全面、不重不漏！
2“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的即：它们两两的交集为空集！

导学案高一数学

导学案高一数学一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计旨在针对高一学生，以导学案的形式进行数学教学。

教学内容将围绕高中数学的核心概念、原理和技能进行，强调学生的主动探索和问题解决能力的培养。

具体任务包括：培养学生的数学思维能力，提高解决实际问题的能力，通过自主与合作学习，使学生掌握数学基础知识，形成系统的数学知识体系。

2、教学对象本教学设计的对象为高中一年级学生，他们已经完成了初中的数学学习，具备一定的数学基础。

然而，由于高中数学知识点的增多和难度加大，学生在学习过程中可能会遇到困难和挑战。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，充分调动学生的学习积极性，引导他们克服困难，逐步提高数学素养。

此外，考虑到学生年龄特点，教学过程中应注重激发学生的兴趣，使他们能够主动参与到数学学习中，形成良好的学习习惯和态度。

二、教学目标1、知识与技能（1）掌握高中数学的基本概念、性质、定理和公式，形成完整的知识结构。

（2）熟练运用数学知识解决实际问题，提高数学应用能力。

（3）培养逻辑推理、空间想象、数据分析等数学思维能力。

（4）学会运用数学语言表达和交流，提高数学表达能力和解题技巧。

2、过程与方法（1）通过自主探究、合作交流等学习方式，培养学生的问题发现和解决能力。

（2）引导学生运用类比、归纳、演绎等方法，掌握数学知识的学习规律。

（3）借助现代教育技术手段，如多媒体、网络资源等，丰富教学手段，提高学习效率。

（4）注重学习过程中的反思与总结，培养学生自我评价和调整学习策略的能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，形成积极向上的学习态度。

（2）培养学生勇于探索、克服困难的意志品质，增强自信心。

（3）通过数学学习，使学生认识到数学在科学、技术、经济等领域的重要地位和价值，提高社会责任感。

（4）培养学生良好的合作精神，学会尊重他人，善于倾听和表达自己的观点。

（5）引导学生形成正确的价值观，将数学知识应用于实际生活，为我国的社会发展做出贡献。

高中数学导学教案模板人教版

一、教学目标1. 知识与技能：通过本节课的学习，使学生掌握（具体知识点），并能运用所学知识解决实际问题。

2. 过程与方法：引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探索数学规律，提高学生的数学思维能力。

3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的热爱，激发学生的学习兴趣，培养学生的团队协作精神。

二、教学重点与难点1. 教学重点：掌握（具体知识点）的基本概念、性质及运算方法。

2. 教学难点：运用（具体知识点）解决实际问题，提高学生的数学思维能力。

三、教学过程1. 导入新课（1）通过生活实例、图片等引入课题，激发学生的学习兴趣。

（2）回顾相关知识点，为新课的学习做好铺垫。

2. 新课讲授（1）讲解（具体知识点）的基本概念、性质及运算方法。

（2）通过实例讲解，引导学生掌握（具体知识点）的应用方法。

（3）引导学生进行课堂练习，巩固所学知识。

3. 小组合作探究（1）将学生分成若干小组，每组讨论一个问题。

（2）各小组在讨论过程中，共同探究问题，培养学生的团队协作精神。

（3）各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。

4. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，强调重点和难点。

（2）总结本节课的学习方法，提高学生的学习效果。

5. 作业布置（1）布置课后练习题，巩固所学知识。

（2）布置思考题，提高学生的思维能力。

四、教学反思1. 教学过程中，关注学生的个体差异，因材施教。

2. 注重启发式教学，引导学生主动探究，提高学生的自主学习能力。

3. 注重教学评价，及时调整教学策略，提高教学质量。

五、教学资源1. 教材：人教版高中数学教材2. 课件：相关知识点讲解的PPT3. 练习题：课后练习题、思考题六、教学时间1. 课时：1课时2. 教学进度：根据实际情况调整注：以上模板仅供参考，具体教案内容可根据实际教学情况进行调整。

高中数学导学教案模板

高中数学导学教案模板
一、教学目标
1. 知识目标：学生能够掌握本节课所涉及的数学知识点。

2. 能力目标：通过练习和讨论，提高学生解决问题的能力。

3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的热情。

二、教学重点和难点
1. 重点：本节课的重点是概念的讲解和相关例题的讲解。

2. 难点：难点在于一些抽象概念的理解和应用。

三、教学内容
本节课主要讲解【填写具体内容，如一次函数的性质】。

四、教学过程
1. 导入：通过简单的问题或案例引入本节课的主题。

2. 讲解：对本节课的重点知识点进行讲解，注意引导学生理解概念和方法。

3. 练习：组织学生进行相关练习，巩固所学知识。

4. 讨论：带领学生分组进行讨论或展示，促进学生之间的交流和学习。

5. 总结：对本节课的重点进行总结，梳理所学内容。

五、教学评价
本节课主要通过学生练习和讨论的表现来进行评价，关注学生对知识的理解和运用能力。

六、教学反馈
对学生在本节课中的表现进行适时的反馈，鼓励他们在数学学习中不断进步。

同时，也可以对教学过程进行总结和反思，为下一堂课的教学做好准备。

以上是本节课的教学设计模板，希望能够为您的教学工作提供一些帮助。

祝您教学顺利！。

高中数学导学案精品

§ 空间向量的数乘运算（一）班级：二年级组名：数学设计人：审核人：领导审批：学习目标1. 驾驭空间向量的数乘运算律，能进行简洁的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面对量定理与它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义与运算律解决简洁的立体几何中的问题．学习过程一、课前打算（由学生完成）（预习教材P 86~ P 87，找出怀疑之处）复习1：化简：⑴ 5（32a b -）+4（23b a -）；⑵ ()()63a b c a b c -+--+-.2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量,a b ，若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件是二、新课导学学习探究（由学生完成）一：空间向量的共线问题：空间随意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？新知：空间向量的共线：1. 假如表示空间向量的所在的直线相互或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.2. 空间向量共线：定理：对空间随意两个向量,a b （0b ≠）， //a b 的充要条件是存在唯一实数λ，使得推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的随意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠，留反思：充分理解两个向量意零向量与任何向量共线.学问应用：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+()3CD a b =- ，求证: 三点共线.精讲例题例1 已知直线，点O 是直线外一点，若OP xOA yOB =+，且＝1，试推断三点是否共线？变式：已知三点共线，点O 是直线外一点，若12OP OA tOB =+，则t ＝例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱'的中点，点G 在对角线'上，且'2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .变式1：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线'中点，化简下列表达式：⑴'AA CB - ;⑵ '''''AB B C C D ++⑶ '111222AD AB A A +-变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得：⑴22OP OA AB AC =++⑵32OQ OA AB AC =-- ⑶32OR OA AB AC =+-⑷23OS OA AB AC =+-.小结（由学生完成）空间向量的化简与平面对量的化简一样，加法留意向量的首尾相接，减法留意向量要共起点，并且要留意向量的方向.※ 动手试试（由学生完成）练1. 下列说法正确的是（）A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；B. 随意两个共线向量不肯定是共线向量；C. 随意两个共线向量相等；D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=.2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++，0a ≠，若//a b ，求实数.x三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则与它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件与推论.学问拓展平面对量仅限于探讨平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量探讨的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上全部点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的状况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列说法正确的是（）A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线B. 随意两个相等向量不肯定共线C. 随意两个共线向量相等D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD y AB z AA =++,则x ＝，y ＝，z ＝ .3. 若点P 是线段的中点，点O 在直线外，则OP = OA + OB .4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为1与1的交点,则'1()3AB AD AA ++= AO5. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是与交点，若',,AB a AD b AA c ===，则与'B M 相等的向量是（） A. 1122a b c -++； B. 1122a b c ++； C. 11a b c -+； D. 1122a b c --+.。

高中数学选修4《基本不等式》导学案

1 §1.1.2基本不等式一、学习目标1．理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题．2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题．【重点、难点】教学重点：均值不等式定理的证明及应用。

教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

二、学习过程【情景创设】1.我们已经学过重要不等式()R b a ab b a ∈≥+,222，该不等式是怎么推导的？ 2.根据1中重要不等式推导b a ab b a ++,,22),(+∈R b a 的不等关系.并思考它们如何应用.【导入新课】自学探究：（阅读课本第5-7页，完成下面知识点的梳理）1.定理1：如果R b a ∈,，那么，当且仅当时，等号成立.2.定理2（基本不等式）如果0,>b a ，那么ab b a ≥+2，当且仅当时，等号成立. 说明：1. 基本不等式ab ≤a ＋b 2(1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0；(2) 等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号；(3) 结论：两个非负数a ，b 的算术平均数不小于其几何平均数．2. 应用基本不等式的条件：（1）、一正：各项为正数；（2）、二正：“和”或“积”为定值；（3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。

“积定和最小；和定积最大”。

三、典例分析例1.(1) 若x>0,求9()4f x x x =+的最小值; (2)若x<0,求9()4f x x x =+的最大值.例2.(1)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值；2例3.已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．【变式拓展】变式1：若102x <<，求(12)y x x =-的最大值。

变式2：若26x y +=，求24x y +的最小值四、总结反思1．用基本不等式求最值必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，这三个条件缺一不可。

高一数学导学案全套

高一数学导学案第1课时向量的概念及表示数学建构(一)生成概念引导学生思考、讨论上面的问题,从而引出以下概念.(1)定义:既有大小又有方向的量叫向量,如位移、力、速度、加速度等.(2)向量的表示方法1°几何表示法:有向线段——具有一定方向的线段,如;2°字母表示法:如a.(3)模的概念:向量的大小称为向量的模,记作||,模是可以比较大小的.(4)两个特殊的向量1°零向量:长度(模)为0的向量,记作0.0的方向是任意的.2°单位向量:长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量.(5)平行向量:方向相同或相反的非零．．向量叫做平行向量.向量a,b平行, 记作a∥b.规定:0与任一向量平行.(6)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a,b相等,记作a=b.规定:0=0.(7)相反向量:长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.(8)共线向量:任一组平行向量都可移到同一条直线上,所以平行向量也叫共线向量.如图3,=a,=b,=c,且a∥b∥c,则向量a,b,c可以平移到一条直线上.(图3)(二)理解概念(1)数量与向量的区别:数量只有大小,可以比较大小;向量既有方向又有大小,不能比较大小(2)0与0的区别:0是向量,是有方向的(虽然方向是任意的);0是数量,没有方向.(3)任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示,与起点无关.数学运用【例1】下列命题中正确的是(填序号).①向量a与b共线,b与c共线,则a与c也共线;②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点;③向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;④有相同起点的两个非零向量不平行.[3]【例2】已知O为正六边形ABCDEF的中心,在下图所标出的向量中:(例2)(1)试找出与共线的向量;(2)确定与相等的向量;(3)与相等吗?[4](变式1在图中标出的向量中,与向量模相等的向量有多少个?变式2如图,在以1cm×3cm方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中,请写出以A为起点的不同向量,并求其大小.[5](变式2)课堂练习1.有下列命题:①向量的模是一个正实数;②两个相等向量必是两个平行向量;③坐标平面上的x轴和y轴都是向量;④温度有零上温度和零下温度,所以温度是向量.其中真命题的个数是.2.设点O为正方形ABCD的中心,在以正方形的顶点及点O为起点或终点的向量中,分别与,相等的向量是————————,3.某人从A点出发向东走了5m到达B点,然后改变方向往东北方向走了10m到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10m到达D点,求的模.课堂小结1.向量的概念:定义、表示方法、零向量、单位向量.(三个定义,两种表示)2.向量的关系:平行向量(共线向量)、相等向量、相反向量.(三个关系)3.两种思想:数形结合思想、分类讨论思想.第2课时向量的加法数学建构一般地,如何定义向量的加法运算?1.向量的加法的含义如图2,已知向量a和b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则向量叫做a与b 的和,记作a+b.即a+b=+=.(图2)求两个向量的和的运算叫做向量的加法.2.向量加法的三角形法则根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.说明三角形法则使用时应该“首尾相连”,即其中一个向量的起点应该与另一个向量的终点相连,若不“首尾相连”可通过平移使之“首尾相连”.3.向量运算(类比于数的加法)的法则对于零向量和任一向量a,有a+0=0+a=a.对于相反向量,有a+(-a)=(-a)+a=0.向量的加法满足交换律、结合律:a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).通过作图方式验证向量的加法满足交换律.如图3,作▱OABC,使=a,=b,则==a,==b.因为=+=a+b,=+=b+a,所以a+b=b+a.(图3)4.向量加法的平行四边形法则图3还表明,对于两个不共线的非零向量a,b,我们还可以作平行四边形来求两个向量的和.分别记作=a,=b,以OA,OB为邻边作▱OABC,则以O为起点的对角线就是向量a与b的和.我们把这种方法叫做向量加法的平行四边形法则.说明平行四边形法则使用时应该“共起点”,即其中一个向量的起点应该与另一个向量的起点相同,若不“共起点”可通过平移使之“共起点”.同样,根据图4可以验证,向量的加法满足结合律.(图4)思考如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭折线,那么这n个向量的和是什么?数学运用)【例2】如图,已知D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点,求证:++ =0.(例2)【例3】在长江南岸某渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?(例3)四、课堂练习1.在矩形ABCD中,||=,||=1,则向量的模等于______2.化简:(1)++=_____-; (2)++++=___3.在正六边形ABCDEF中,=a,=b,则=________(用a,b表示).4.在Rt△ABC中,∠A=90°,若||=3,||=4,则|+|=_______.第3课时向量的减法数学建构问题1类似于实数的减法,你能定义向量的减法吗?向量的减法是向量的加法的逆运算.若b+x=a,则向量x叫做a与b的差,记为a-b,求两个向量差的运算,叫做向量的减法.问题2类似于向量的加法,你能作出向量减法的几何表示吗?作法:如图1、图2,在平面内任取一点O,作=a,=b.(图1)(图2)因为+=,即b+=a,所以=a-b.这就是说,当向量a,b起点相同时,从b的终点指向a的终点的向量就是a-b.由向量加法结合律可知,[a+(-b)]+b=a+[(-b)+b]=a,所以a-b=a+(-b).这表明:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.三、数学运用【例1】如图,已知向量a,b,求作a-b.[3](例1)(例2)【例2】如图,O是▱ABCD对角线的交点,若=a,=b,=c,试证明:b+c-a=.四、课堂练习【例3】证明:对于任意两个向量a,b都有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.1.在四边形ABCD中,=+,则四边形ABCD 的形状为____________2.下列各式中,能化简为的是__________(填序号).①+(-);②(-)+(-);③--;④-+.3.在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,则-=_______4.设D是正三角形ABC的BC边中点,若|-|=1,则|-|=______.第4课时向量的数乘一、问题情境一艘船上午8点从某港口出发,以v km/h的速度向南偏东45°的方向航行,下午1点半该船到达何处?若设该船每小时的位移为a,则该船5.5小时的位移应如何表示?二、数学建构问题1位移为5.5a,它是向量吗,有什么特点?问题2向量5.5a可以看成什么运算的结果?问题3一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,叫做向量的数乘, 那它的方向、大小与向量a有什么关系?(1)|λa|=|λ‖a|;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;特别地,当λ=0或a=0时,λa=0.问题4类比于实数的运算,向量的数乘有哪些运算律?根据向量数乘的定义,可以验证向量的数乘满足下列运算律:(1)λ(μa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb.三、数学运用【例1】如图(1),已知向量a,b,c,求作向量3a-2b+c.【例2】计算:(1) 3(a-b)-2(a+2b);(2) 2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c).【例3】如图,在平行四边形ABCD中,M是AB的中点,N在BD上且BN=BD, 求证:M,N,C三点共线.[4]一般地,对于两个向量a(a≠0)和b,有如下的向量共线定理:如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0),那么b与a(a≠0)是共线向量;反之,如果b与a(a≠0)是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.证明根据向量数乘的定义可知,对于两个向量a(a≠0)和b,如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0),那么b与a(a≠0)是共线向量.反过来,如果向量b与a是共线向量,当b与a同方向时,令λ=;当b与a反方向时,令λ=-;若b=0,则令λ=0.从而有一个实数λ,使b=λa.假设有两个实数λ,λ',使b=λa,b=λ'a,则b-b=(λ-λ')a=0,即|λ-λ'‖a|=0.因为|a|≠0,所以λ-λ'=0,即λ=λ'.从而有且只有一个实数λ,使b=λa.四、课堂练习1.计算:-3(4a-5b)=-_________,2(2a-3b)-4(3a-2b)= -_________,.2.若向量a,b,c满足(4a-3c)+3(5c-4b)=0,则c=-_________,.3.已知点R在线段PQ上,且=,设=λ,则λ=-_________,.4.已知向量a=e1-e2,b=-3(e2-2e1),求证:a与b是共线向量.五、课堂小结1.理解并掌握向量数乘的定义及运算律.2.理解向量共线定理,并能运用它判断两个向量是否共线.第5课时向量线性运算习题课问题情境梳理知识结构数学运用【例1】设e是非零向量,若a+b=2e,2a-b=-3e,向量a与b是否平行?【例2】如图,设P,Q是线段AB的三等分点,若=a,=b,试用a,b表示向量, .(例2)【例3】如图,在△OAB中,C为直线AB上一点,=λ(λ≠-1),求证:=.(例3)【例4】已知点G为△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N 两点,且=x,=y,求+的值.四、课堂练习1.下列命题中真命题的个数为1.①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;②若=,则A,B,C,D是一个平行四边形的四个顶点;③若a=b,b=c,则a=c;④若a∥b,b∥c,则a∥c.2.在△ABC中,=a,=b,M是CB的中点,N是AB的中点,且CN,AM交于点P,则可用a,b 表示为________________3.设=x+y,且A,B,C三点共线(该直线不过点O),则x+y=_____-4.已知x,y∈R,向量a,b不共线,若(x+y-2)a+(x-y)b=0,则x=_____,y=_____.五、课堂小结1.平面向量线性运算法则的巩固、强化,线性运算几何意义的理解.2.通过向量线性运算进一步体会“向量是既有大小又有方向的量”,同时感受向量在求解平面几何问题中的灵活应用.第6课时平面向量基本定理一、问题情境[3]1.情境:火箭在升空的某一时刻,速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度(如下图所示).在力的分解的平行四边形法则中,我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和.(图1)2.问题:平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示?二、数学建构设e1,e2是平面内两个不共线的向量.活动1请同学们作出向量=2.5e1+1.5e2.[4]活动2a是平面内的任一向量,能否通过作图用e1,e2表示呢?[5]如图2,在平面内任取一点O,作=e1,=e2,=a.过点C作平行于OB的直线,交直线OA于M;过点C作平行于OA的直线,交直线OB于N,则有且只有一对实数λ1,λ2,使得=λ1e1,=λ2e2.因为=+,所以a=λ1e1+λ2e2.(图2)问题1是不是平面内每一个向量都可以分解成两个不共线的向量?这样的分解是否唯一?问题2对于平面上两个不共线的向量e1,e2,是不是平面上所有的向量都可以用它们来表示?[6]平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.我们把不共线的向量e1,e2,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式,我们称它为向量的分解.当e1,e2互相垂直时,就称为向量的正交分解.定理理解(1)基底e1,e2必须不共线;(2)λ1,λ2是被e1,e2,a唯一确定的实数对.思考平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理,在内容和表述形式上有什么区别和联系?(平面向量基本定理是向量共线定理的推广)三、数学运用【例1】如图,▱ABCD的对角线AC和BD交于点M,=a,=b,试用基底a,b 表示,,和.(例1)变式在▱ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,=λ+μ,其中λ,μ∈R, 则λ+μ=___【例2】设e1,e2是平面内的一组基底,如果=3e1-2e2,=4e1+e2,=8e1-9e2, 求证:A,B,D三点共线.[9]变式设两个非零向量e1和e2不共线.(1)如果=e1-e2,=3e1+2e2,=-8e1-2e2,求证:A,C,D三点共线;(2)如果=e1+e2,=2e1-3e2,=2e1-k e2,且A,C,D三点共线,求k的值.【例3】如图,在△ABC中,M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN 相交于点P,求AP∶PM的值.(例3)(例4)【例4】如图,在△OAB中,=,=,AD与BC交于点M,设=a,=b.(1)用a,b表示;(2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过M点,设=p,=q,求证:+=1.四、课堂练习 1. 在▱ABCD 中, =a ,=b ,=3, M 为BC 的中点,则=-_________, (用a , b 表示).2. 在△ABC 中,D 是AB 边上一点,若=2, =+λ,则λ=-_________,3. 设a , b 是不共线向量,且a +2b =(x-1)a +y b ,则x=-_________,,y=-_________,.4. 已知非零向量a , b 不共线,若m a +b 与a -n b 平行,则mn=.第7课时平面向量的坐标运算(1)一、问题情境我们知道,在平面直角坐标系内,点M 可以用坐标(x , y )表示.这种表示在确定点M 的同时也确定了的长度及的方向.换句话说,向量也可以用坐标来表示.二、数学建构问题1平面向量基本定理的内容是什么?[2]问题2 如图1,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i , j 作为基底,那么如何用i , j 表示呢?(=3i +4j )(图1)(图2)对于向量a ,如图2,根据平面向量基本定理又如何表示?(由平面向量基本定理可知有且只有一对实数x , y ,使得a =x i +y j )归纳1 平面向量的坐标表示一般地,对于向量a ,如图2,当它的起点移至原点O 时,其终点坐标(x , y )称为向量a 的(直角)坐标,记作a =(x , y ).探究1 相等向量的坐标有关系吗?探究2 将表示向量的有向线段的起点移至坐标原点后有何结论呢?[3] 问题3 当向量用坐标表示时,向量的加、减、数乘运算也都可以用相应的坐标来表示吗?[4]设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2),那么a +b =(x 1, y 1)+(x 2, y 2)=(x 1i +y 1j )+(x 2i +y 2j )=(x 1+x 2)i +(y 1+y 2)j =(x 1+x 2, y 1+y 2).同理得a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2),λa =(λx 1,λy 1).归纳2 已知向量a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)和实数λ,那么a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2),a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2), λa =(λx 1,λy 1).问题4 向量的坐标与它对应的有向线段的起点、终点坐标有何关系?如图3,已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).(图3)归纳3一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.三、数学运用【例1】如图,已知O是坐标原点,点A在第一象限,||=4,∠xOA=60°,求向量的坐标.【例2】已知a=(2, 1),b=(-3, 4),求a+b,a-b, 3a+4b的坐标.变式已知a=(x, 2),A(1,-1),B(-2,y),且a=,求x,y的值.【例3】(1)已知a=(-1, 2),b=(1,-1),c=(3,-2),且有c=p a+q b,试求实数p,q的值;(2)已知a=(2, 1),b=(1,-3),c=(3, 5),把a,b作为一组基底,试用a,b表示c.变式已知a=(2,-4),b=(-1, 3),c=(6, 5),p=a+2b-c,试以a,b为基底求p.【例4】已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P是直线P1P2上一点,且=λ(λ≠-1), 求点P的坐标.[8]*【例5】已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是A(-2, 1),B(-1, 3),C(3, 4),求顶点D的坐标.(例5)变式已知平面上三点的坐标分别为A(-2, 1),B(-1, 3),C(3, 4),求点D的坐标,使这四点构成平行四边形的四个顶点.四、课堂练习1.已知向量a=(1, 1),b=(1,-1),则向量a-b=________.2.已知O是坐标原点,A(-2, 1),B(4,-3),且-3=0,则=_______3.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则点D的坐标为____________.第8课时平面向量的坐标运算(2)一、问题情境前面我们如何判定向量a,b平行(或共线)?向量a=(1,-4)与b=(-2, 8)是否平行?二、数学建构活动1引导学生回顾平面向量共线定理.如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0),那么b与a是共线向量;反之,如果b与a(a≠0)是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.活动2判断向量a=(1,-4)与b=(-2, 8)是否平行?[3]归纳一般地,设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0),如果a∥b,那么x1y2-x2y1=0;反过来,如果x1y2-x2y1=0,那么a∥b.概念理解当a=0时,由于0与任意向量平行,故x1y2-x2y1=0恒成立.三、数学运用【例1】(教材第80页例5)已知a=(1, 0),b=(2, 1),当实数k为何值时,向量k a-b 与a+3b平行?并确定此时它们是同向还是反向.[5]变式1已知a=(2, 3),b=(-1, 2).若k a-b与a-k b平行,求实数k的值.变式2已知点A(-1,-1),B(1, 3),C(1, 5),D(2, 7),向量与平行吗?直线AB平行与直线CD吗?【例2】已知点O,A,B,C的坐标分别为(0, 0),(3, 4),(-1, 2),(1, 1),是否存在常数t,使得+t=成立?解释你所得结论的几何意义.[6]变式已知O(0, 0),A(1, 2),B(4, 5),点P坐标满足=+t(t∈R).(1)t为何值时,点P在x轴上?t为何值时,点P在y轴上?(2)四边形OABP能否构成一个平行四边形?若能,求t的值;若不能,请说明理由.【例3】已知点A(x, 0),B(2x, 1),C(2,x),D(6, 2x).(1)求实数x的值,使向量与共线;(2)当向量与共线时,点A,B,C,D是否在一条直线上?[【例4】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(-2, 1),B(1, 3),求线段AB的中点M和三等分点P,Q(点P靠近点A)的坐标.四、课堂练习1.当x=_____时,向量a=(2,-3)与b=(x, 9)平行.2.已知向量a=(1, 1),b=(2,x).若a+b与4b-2a平行,则实数x的值是_______.3.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m),若点A,B,C构成三角形,则实数m的取值范围为____________第9课时向量的数量积(1)一、问题情境问题1前面已经学过向量加法、减法和实数与向量的乘法,它们有一个共同的特点,即运算的结果还是向量,那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢?如果有,这种“乘法”运算的结果是什么量呢?问题2物理学中,一个物体在力F的作用下发生了位移s,那么该力对此物体所做的功是如何计算的?(图1)通过对物理公式:W=|F‖s|cosθ(其中θ是F与s的夹角)的分析,得到如下结论:(1)功W是两个向量F和s的某种运算结果,而且这个结果是一个数量;(2)功不仅与力和位移的大小有关,而且还与它们的方向有关,具体地,它和力F与位移s的夹角有关.二、数学建构1.平面向量数量积(内积)已知两个非零向量a和b,它们的夹角是θ,我们把数量|a‖b|cosθ叫做向量a和b 的数量积(内积),记作a·b,即a·b=|a‖b|cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为零.可见,功W就是两个向量F和s的数量积.2.两个向量的夹角问题3向量数量积(内积)的定义中,提到了“两个向量的夹角”的概念,它究竟代表什么意义呢?从问题情境中的力和位移的夹角出发,得到下面的结论:对于两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b 的夹角.(这里要特别强调找向量的夹角两向量要移到共同的起点)当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;当θ=90°时,则称向量a与b垂直, 记作a⊥b.理解概念(1)当a≠0且b≠0时,a·b=|a‖b|cosθ;而当a=0或b=0时,由于零向量的方向是不确定的,因此我们不定义零向量与其他向量的夹角,为了定义的完整性.特别规定:零向量与任一向量的数量积为零.(2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量,符号由cosθ的符号所决定.(3)向量的数量积a·b中的符号“·”,既不能省略,也不能写成“×”,a×b是向量的另外一种运算,不是数量积.三、数学运用【例1】已知向量a与b的夹角为θ,|a|=2,|b|=3,分别在下列条件下求a·b:(1)θ=135°;(2)a∥b;(3)a⊥b.问题1在理解例1的基础上,思考数量积有哪些性质?[3]由平面向量数量积的定义和向量夹角的定义可知:(1)当a与b同向时,a·b=|a‖b|;(2)当a与b反向时,a·b=-|a‖b|;(3)a·a=a2=|a|2,|a|=;(4)当a⊥b时,a·b=0.问题2定义了向量的数量积运算,那么它的运算遵循什么规律呢?即向量数量积的运算律是什么?设向量a,b,c和实数λ,向量的数量积满足下列运算律:(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b;(3)(a+b)·c=a·c+b·c.【例2】已知向量a与b的夹角为120°,|a|=2,|b|=3,求: (1)(a+b)·(a-b);(2)|a-b|.变式根据例2中的条件求|a+2b|.【例3】已知x=a+b,y=2a+b,且|a|=|b|=1,a⊥b.(1)求|x|,|y|;(2)若x与y的夹角为θ,求cosθ的值.四、课堂练习1.有下列命题:①若a·b=0,则a=0,或b=0;②若a⊥b,则a·b=0;③若a≠0,且a·b=a·c,则b=c;④对任意向量a,都有a2=|a|2.其中正确的是_________.2.在▱ABCD中,已知||=4,||=3,∠DAB=60°,那么·=_____,·=________.3.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为120°,求b·(2b-3a)的值.第10课时向量的数量积(2)二、数学建构1.投影的概念定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.(一)理解概念(图1)①投影也是一个数量,不是向量;②当θ为锐角时(图1),与a同向,投影为正值;当θ为钝角时(图2),与a反向,投影为负值;当θ为直角时(图3),投影为0;当θ=0°时,投影为|b|;当θ=180°时,投影为-|b|.(图2)(图3)问题2向量的数量积的几何意义是什么?数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.(二)巩固概念练习已知向量a,b满足|a|=8,|b|=3,它们的夹角为θ.当θ=30°时,a在b上的投影为_______;当θ=90°时,a在b上的投影为________;当θ=120°时,a在b上的投影为_____-.2.对上节课运算律的简要证明(1)交换律:a·b=b·a.(2)数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.问题3向量的数量积是否满足结合律? (a·b)c=a(b·c)?三、数学运用【例1】已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为60°,问:当k为何值时,(k a-b)⊥(a+2b)?【例2】已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.【例3】若O为△ABC所在平面内任意一点,且满足(-)·(+-2)=0, 试判断△ABC的形状.变式用向量方法证明:菱形对角线互相垂直.四、课堂练习1.在△ABC中,已知||=||=4,且·=8,则△ABC的形状是________.2.设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=-,则|a+2b|=________.3.已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为________.4.已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与k a-b垂直,则k=________五、课堂小结1.向量数量积的几何意义.2.能运用向量数量积处理一些常见的问题,如①向量模的计算;②向量夹角的计算;③判断三角形的形状等.第11课时向量的数量积(3)一、问题情境问题1已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何用a和b的坐标来表示它们的数量积a·b呢?二、数学建构设x轴上的单位向量为i,y轴上的单位向量为j,则i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0.∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1i·(x2i+y2j)+y1j·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2=x1x2+y1y2.这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2.问题2已知a=(x,y),如何将|a|用其坐标表示?∵a·a=a2=|a|2=x2+y2,∴|a|==.问题3设A(x1,y1),B(x2,y2),如何将||用A,B的坐标表示?设表示向量a的有向线段的起点是A(x1,y1),终点是B(x2,y2),则=a=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1),∴||=|a|=.这就是通过向量求模来推导平面内两点间的距离公式.问题4前面学过的向量的夹角、平行、垂直公式可以用坐标表示吗?(1)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a和b的夹角,则由向量数量积的定义得cosθ==.(2)a⊥b⇔a·b=0,可以写成a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.(3)a∥b(b≠0)⇔存在唯一的实数λ,使得a=λb,可以写成a∥b⇔x1y2-x2y1=0.[3]三、数学运用【例1】已知向量a=(2, 1),b=(3,-1),求:(1)(3a-b)·(a-2b);(2)a与b的夹角θ.【例2】已知向量a=(1, 1),b=(0,-2),当k为何值时: (1)k a-b与a+b共线;(2)k a-b与a+b的夹角为120°.【例3】在△ABC中,设=(2, 3),=(1,k),且△ABC是直角三角形,求k的值变式将例3中△ABC是直角三角形改为钝角三角形,其他条件不变,求k的取值范围.四、课堂练习1.已知向量a=(-2, 1),b=(1,-3),则a·b=-5,向量a与b的夹角为________.2.已知a+b=(-4, 6),a-b=(2,-8),则a·b=________3.已知向量a=(-3, 2),b=(-1, 0).若λa+b与a-2b垂直,则实数λ=________4.已知平面内四点A(-1, 0),B(0, 2),C(4, 3),D(3, 1),则四边形ABCD________ (填序号,从①正方形,②矩形,③菱形,④平行四边形中选择).5.已知△ABC的3个顶点为A(1, 2),B(4, 1),C(0,-1),求证:△ABC是等腰直角三角形.。

高中数学导学案教案

高中数学导学案教案导学目标：1. 熟练掌握集合的基本概念和运算法则；2. 能够解决关于集合的基本问题和应用题目。

导学内容：1. 集合的基本概念：a. 集合的定义和表示法；b. 集合的元素和结构；c. 集合的分类（空集、单集、有限集、无限集）。

2. 集合的运算法则：a. 并集和交集的定义和运算规律；b. 补集和差集的概念和计算；c. 集合的运算性质和公式。

导学步骤：1. 引入：通过案例或问题引入集合的基本概念，激发学生的学习兴趣。

2. 概念讲解：讲解集合的定义、表示法和基本运算法则，帮助学生建立正确的概念认识。

3. 练习导向：设计一些练习题目，让学生通过练习加深理解，并能够熟练运用集合的运算法则。

4. 拓展应用：提供一些拓展性问题或应用题目，帮助学生将所学知识应用到实际问题中。

5. 总结反思：对本节课的内容进行总结和归纳，让学生对集合的基本概念和运算法则有一个清晰的认识。

导学案例：已知集合 $A=\{1,2,3,4,5\}$，$B=\{3,4,5,6,7\}$，$C=\{5,6,7,8,9\}$，试求：1. $A \cup B$，$A \cap C$的结果；2. $(A \cup B) \cap C$，$(A \cap B) \cup C$的结果；3. $A \backslash B$，$B \backslash A$的结果。

导学反思：通过本节课的学习，学生能够熟练掌握集合的基本概念和运算法则，能够解决关于集合的基本问题和应用题目。

在后续学习中，学生应该能够灵活运用集合的运算法则解决复杂的问题，并将所学知识应用到实际生活中。

人教版高中数学必修一全册导学案

人教版高中数学必修一全册导学案尊敬的读者：在这篇文章中，我将为您提供人教版高中数学必修一全册导学案。

这是一份由数学教师编写的全面指导学生学习高中数学课程的材料。

以下是每个单元的导学案，旨在帮助您更好地理解和掌握相关的数学概念和技巧。

第一单元：函数的概念与基本性质本单元导学案旨在帮助学生们理解函数的基本概念和性质。

在这个单元中，学生将掌握如何用映射、关系、对应等方式描述函数的概念，并了解函数的定义域、值域和图像等基本性质。

第二单元：一次函数与二次函数在这个单元的导学案中，学生将学习一次函数和二次函数的图像、性质和应用。

学生将学会如何识别一次函数和二次函数的特点，并学习如何利用函数的图像解决实际问题。

第三单元：指数与对数函数这一单元的导学案将帮助学生们理解指数函数和对数函数的概念和性质。

学生们将学习指数函数和对数函数的性质、图像以及它们的运算法则，并能够应用指数和对数函数解决实际问题。

第四单元：三角函数本单元的导学案将介绍三角函数的基本概念和性质。

学生将学习正弦函数、余弦函数和正切函数的性质和图像，并掌握化简三角函数表达式的方法。

第五单元：数列与数学归纳法这个单元的导学案旨在帮助学生理解数列的概念和性质，并学习数列的求和公式和通项公式。

学生们将学习如何应用数学归纳法解决数列相关的问题。

第六单元：排列与组合在这个单元的导学案中，学生将学习排列和组合的基本概念和性质。

通过学习排列和组合的问题，学生可以培养解决实际问题的能力。

第七单元：概率与统计在概率与统计的导学案中，学生将学习如何计算事件的概率和统计数据，并了解一些常见的概率分布和统计方法。

第八单元：二次函数的图像与性质在这个单元的导学案中，学生将深入学习二次函数的图像和性质。

学生将学习如何识别二次函数的图像特点，并学习如何应用二次函数解决实际问题。

第九单元：三角函数的图像与性质这个单元的导学案将介绍更多关于三角函数的图像和性质。

学生将学习如何识别三角函数的图像特点，并学会通过图像推导三角函数的性质和公式。

高中数学必修1(全册)导学案汇总

高中数学必修1(全册)导学案汇总
导学案1：数学命题与证明
内容：本导学案主要介绍数学命题和证明的基本概念和方法。

通过研究，学生将会了解什么是命题，命题的分类以及命题的真值；同时也会研究到数学证明的基本步骤，如假设、推导和结论等。

导学案2：分式与整式
内容：本导学案主要介绍分式和整式的概念、性质和运算方法。

学生将研究如何化简分式，如何进行分式的加减乘除运算；同时也
会研究整式的展开和因式分解的方法。

导学案3：一次函数与二次函数
内容：本导学案主要介绍一次函数和二次函数的基本概念和性质。

通过研究，学生将会了解一次函数和二次函数的图像特征，掌
握如何求解一次方程和二次方程，以及如何利用一次函数和二次函
数进行问题求解。

导学案4：三角函数
内容：本导学案主要介绍三角函数的概念和性质。

学生将研究
正弦函数、余弦函数和正切函数的图像特征，掌握三角函数的周期性、奇偶性和性质等。

同时也会了解三角函数与三角恒等式的关系，并且能够灵活运用三角函数解决实际问题。

导学案5：平面向量基础
内容：本导学案主要介绍平面向量的基本概念和性质。

学生将
研究如何表示平面向量及其运算，掌握平面向量的线性运算法则和
向量共线、垂直的判定方法。

同时也会研究向量的数量积和向量的
夹角等重要概念，以及它们的性质和应用。

以上是《高中数学必修1》全册的导学案汇总，通过系统学习
这些导学案中的内容，学生将能够建立起扎实的数学基础，为进一
步的学习打下坚实的基础。

新课标高中数学必修一全册导学案及答案

新课标高中数学必修一全册导学案及答案【导学案】导学目标：1. 了解高中数学必修一全册的内容安排和学习要求；2. 掌握每个单元的重点概念和基本知识；3. 学会自主学习的方法和技巧；4. 提高数学学习的效果和成绩。

导学步骤：一、概述随着教育改革的不断深化，我国高中数学教学也在不断调整和完善。

新课程标准下的高中数学必修一全册是高中数学学科的基础课程，培养学生扎实的数学基础和数学思维能力，为后续学习打下坚实的基础。

二、内容安排新课标高中数学必修一全册主要分为六个单元，分别是：1. 函数与导数2. 二次函数与图形3. 平面向量4. 概率与统计5. 三角函数6. 数列与数学归纳法三、学习要求在学习和掌握高中数学必修一全册的过程中，要注意以下几点：1. 注重基本概念的理解和掌握，建立起系统的数学知识体系；2. 理解数学概念和方法的本质，注重数学思想的培养；3. 做好充分的练习，提高解题能力和应用能力；4. 灵活运用各种工具和技巧，培养自主学习的能力。

四、学习方法与技巧1. 预习：在上课前预习新内容，了解基本概念和知识点；2. 讲解：全面准确理解老师的讲解和授课内容；3. 练习：做大量的练习题，加深对知识点的理解和记忆；4. 总结：及时总结归纳，掌握解题方法和技巧；5. 提问：有问题及时向老师请教或与同学讨论。

五、经典题解析下面是每个单元中的一个经典题目的解析，供参考：单元一：函数与导数题目：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求f(x)的导函数。

解析：首先，我们知道函数f(x)的导函数是函数f'(x)，表示函数f(x)在任意一点的斜率。

对于多项式函数来说，我们可以直接应用定理求导的方法。

根据定理，对于任意的幂函数x^n，其导函数是nx^(n-1)。

应用此定理，我们可以得到f(x)的导函数为f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

六、答案归纳在学习过程中，我们要时刻关注自己的学习效果和学习成果。

高中数学导学案

高中数学导学案一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务是基于高中数学课程内容，设计一堂数学导学案课程。

导学案旨在通过引导式的教学方法，使学生掌握数学基本概念、原理和方法，培养他们的逻辑思维能力、问题解决能力和合作学习能力。

具体包括：理解数学核心概念，运用数学公式和定理解决实际问题，通过数学思维训练提升综合分析能力，以及利用数学知识探索现实生活中的数学规律。

2、教学对象教学对象为高中一年级或二年级的学生。

这些学生已具备一定的数学基础，熟悉基本的数学运算和初步的数学推理，但需要在更高层次的数学思维和问题解决能力上进行提升。

此外，考虑到学生的个体差异，教学过程中将注重分层教学，以适应不同学生的学习需求和能力水平。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高中数学的基本概念、原理和公式，能够准确运用到实际问题中。

（2）培养逻辑思维能力，学会运用数学语言进行推理、证明和解决问题。

（3）提高数学运算能力，熟练掌握各类数学运算方法和技巧。

（4）培养数据分析能力，能够从实际数据中提炼数学问题，运用数学模型进行分析和预测。

（5）掌握数学学习方法，形成自主学习和合作学习的习惯。

2、过程与方法（1）通过自主探究、合作讨论等形式，引导学生主动发现数学问题，培养问题解决能力。

（2）运用启发式、引导式教学方法，激发学生的数学思维，提高课堂参与度。

（3）设计具有层次性和挑战性的数学问题，使学生在解决问题的过程中逐步提升数学能力。

（4）结合现实生活中的案例，让学生体会数学在实际生活中的应用，提高数学实践能力。

（5）运用现代教育技术手段，如多媒体、网络资源等，丰富教学形式，提高教学效果。

3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的兴趣和热爱，激发他们学习数学的内在动力。

（2）引导学生形成正确的数学观念，认识到数学在科学、技术和社会发展中的重要作用。

（3）培养严谨、求实的科学态度，使学生具备勇于探索、克服困难的意志品质。

（4）强化团队合作意识，让学生在合作学习中学会相互尊重、沟通和协作。

高中数学(必修二)导学案

高中数学(必修二)导学案第一章：平面直角坐标系1.1 坐标系的引入- 了解平面直角坐标系的基本概念- 掌握点在平面直角坐标系中的坐标表示方法1.2 平面直角坐标系上的距离公式- 了解平面直角坐标系上两点之间距离的公式- 掌握如何使用距离公式计算两个点之间的距离1.3 直线的斜率- 了解直线斜率的概念及其计算方法- 掌握如何根据两点坐标计算直线的斜率第二章：二次函数2.1 二次函数的图像和性质- 了解二次函数的基本概念和特点- 掌握根据二次函数的参数确定二次函数图像的方法2.2 二次函数的最值和零点- 了解二次函数最值和零点的基本概念及其计算方法- 掌握如何根据二次函数求解实际问题2.3 二次函数与一次函数的比较- 了解二次函数和一次函数的基本概念及其图像特点- 掌握如何比较二次函数和一次函数的大小关系第三章：三角函数3.1 任意角及其测量- 了解任意角的基本概念及其测量方法- 掌握如何将任意角的三角函数转化为其它角度的三角函数3.2 常用角的三角函数值- 掌握常用角的三角函数值及其推导方法- 掌握如何根据三角函数值求解实际问题3.3 三角函数的图像和性质- 了解三角函数的图像及其性质- 掌握如何根据三角函数图像解决实际问题第四章：概率统计4.1 随机事件与概率- 掌握随机事件和概率的基本概念和运算法则- 掌握如何计算简单事件的概率4.2 条件概率和独立性- 了解条件概率和独立性的基本概念及其计算方法- 掌握如何根据条件概率和独立性计算事件的概率4.3 离散型随机变量及其分布律- 了解离散型随机变量及其分布律的概念- 掌握如何根据分布律计算离散型随机变量的期望值和方差以上是本章节的导学内容，希望同学们认真学习，做好课后习题。

祝学习愉快！。

高中数学导学教案模板范文

一、教学目标1. 知识与技能目标：掌握本节课的知识点，提高学生的数学思维能力。

2. 过程与方法目标：通过导学活动，培养学生的自主学习能力、合作探究能力和问题解决能力。

3. 情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神和实践能力。

二、教学重难点1. 教学重点：掌握本节课的知识点，理解概念，提高解题能力。

2. 教学难点：运用所学知识解决实际问题，培养学生的创新思维。

三、教学准备1. 教师准备：多媒体课件、教学素材、教学评价表等。

2. 学生准备：预习本节课内容，准备好学习用品。

四、教学过程（一）导入1. 创设情境，激发兴趣。

2. 回顾旧知，为新课铺垫。

（二）自主学习1. 学生独立阅读教材，完成自主学习任务。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

3. 学生展示自主学习成果，分享心得。

（三）合作探究1. 将学生分成小组，共同探究本节课的重难点问题。

2. 教师参与小组讨论，引导学生在交流中解决问题。

3. 各小组展示探究成果，分享解题思路。

（四）巩固练习1. 学生独立完成巩固练习题，巩固所学知识。

2. 教师批改作业，个别辅导。

（五）课堂小结1. 教师对本节课的知识点进行总结，强调重点。

2. 学生反思本节课的学习收获，提出改进意见。

（六）课后作业1. 布置课后作业，巩固所学知识。

2. 教师根据学生作业情况，进行针对性辅导。

五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、合作意识、探究能力等。

2. 作业完成情况：检查学生课后作业的质量，了解学生的学习效果。

3. 定期测试：通过测试了解学生对本节课知识的掌握程度。

六、教学反思1. 教学方法是否合理，是否激发了学生的学习兴趣。

2. 学生在学习过程中是否遇到了困难，如何解决。

3. 教学效果如何，如何改进教学策略。

注：本教案模板仅供参考，具体内容可根据实际教学情况进行调整。

高中数学导学案电子版

高中数学导学案电子版一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务以“高中数学导学案电子版”为主题，旨在通过电子版导学案的运用，提高学生对高中数学知识的理解和应用能力。

教学内容涉及高中数学的核心概念、原理和方法，强调学生的主动探索和实践操作，培养他们的问题解决能力和创新思维。

通过引导学生利用电子版导学案进行自主学习，激发学生的学习兴趣，提高课堂效率，使学生在有限的课堂时间内掌握更多的数学知识。

2、教学对象本教学设计的对象为高中学生，他们已经具备了一定的数学基础知识和基本的计算机操作技能。

在这个阶段，学生正处于青春期，思维活跃，求知欲强，但同时也存在注意力分散、学习耐心不足等问题。

因此，针对这一年龄段的学生，教师需要运用生动、有趣的教学方法，激发他们的学习兴趣，引导他们主动参与到数学学习中来。

此外，由于学生个体差异，教学过程中还需关注学生的个性化需求，因材施教，使每个学生都能在数学学习中找到适合自己的方法。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高中数学的基本概念、原理和公式，能够运用这些知识解决实际问题；（2）学会运用电子版导学案进行自主学习，提高信息素养和数字化学习能力；（3）掌握数学解题方法和技巧，提高运算速度和准确性；（4）培养数学思维能力，包括逻辑推理、空间想象、数据分析等；（5）提高数学语言表达和交流能力，能够清晰、准确地阐述自己的观点。

2、过程与方法（1）通过自主探究、合作学习等方式，让学生在探索中发现问题、解决问题，培养独立思考的能力；（2）运用电子版导学案，实现个性化学习，使学生在学习过程中能够根据自己的需求调整学习进度和方法；（3）设计丰富的教学活动，如小组讨论、课堂展示等，提高学生的课堂参与度和积极性；（4）采用启发式、情境式等教学方法，激发学生的创新思维和问题解决能力；（5）注重课后总结与反思，引导学生学会自我评价，培养自我监控和自我调整的能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们热爱数学、追求卓越的情感态度；（2）引导学生认识到数学在现实生活中的重要性，树立正确的数学价值观；（3）培养学生勇于面对困难、积极进取的精神风貌，增强自信心；（4）通过数学学习，培养学生的团队合作意识、责任感和使命感；（5）引导学生形成严谨、求实的学术态度，培养良好的学习习惯和道德品质。

高中数学《双曲线及其标准方程》(导学案)

第二章圆锥曲线与方程2.2.1 双曲线及其标准方程一、学习目标1．掌握双曲线的定义；2．掌握双曲线的标准方程．【重点、难点】1.双曲线的定义及标准方程2.双曲线的标准方程的推导及简单应用二、学习过程【复习引入】复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程．【导入新课】问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图2-23，定点12,F F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，12MF MF -是常数，这样就画出一条曲线；由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支．新知1：双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。

两定点12,F F 叫做双曲线的，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是；2a >12F F 时，轨迹．试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是．新知2：双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点在x 轴）其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？【典型例题】【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．【例2】如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2【变式拓展】1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)．2.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．三、总结反思1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论．四、随堂检测1．动点P 到点M (1,0)，N (－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0) B ．(52，0)C ．(62，0) D ．(3，0)3．满足条件a ＝2，一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1C.x 24－y 216＝1 D.x 216－y 24＝14．已知双曲线x 216－y 29＝1的左支上一点M 到其左焦点F 1的距离为10，求点M 到该曲线左焦点F 2的距离．。