计算方法_第七章

n i2
ai
Baidu Nhomakorabea
( i 1
)k
xi

k
max 1k

a1x1

n i2
ai
(
i 1
)k
xi


lim xi k max( xi )
又因
uk

Avk 1

A
Ak 1v0 max( Ak1v0
)

Ak v0 max( Ak1v0 )
v0 ,即
v0 a1x1 a2x2 an xn
于是
n
n
n
vk Akv0 Ak ( ai xi ) ai Ak xi aiik xi
i 1
i 1
i 1
（1）主特征值是单重实值。
设 1 2 n , 则
vk

a11k x1

1k
a1x1

n i2
ai
(
i 1
)k
xi

max

1k
1
a1
x1

n i2
ai
(
i 1
)k 1 xi


故
lim k
max(
uk
)

max
1k
a1x1

max

1k
1
a1
x1

x1 (0.500,1.000, 0.750)T
（3）Rayleigh（瑞利）商加速
设A为n阶实对称矩阵，x为任一n维非零向量，称数
R(x) ( Ax, x) (x, x)
为对应于向量x的Rayleigh商。
R( x1 )

( Ax1, x1) (x1, x1)

1
可证，对应于幂法中迭代向量vk 的Rayleigh商为
n
i2 n
i2
ai
(
i 1
)k
xi

ai
(
i 1
)
k
1
xi



1
例2 计算矩阵
2 3 2 A 10 3 4 的主特征值及对应的特征向量。
3 6 1 解 取 v0 (1,1,1)T 应用幂法的计算结果列于下表中。
k
vkT
(vk )1 (vk )2

n i2
aiik xi

1k
a1x1

n i2
ai
(
i 1
)
k
xi

对于充分的k，i 将很小，向量
1
n i2
ai
(
i 1
)
xi
的范数必很小，
故有 vk 1k a1x1
对任一分量
(vk )k (vk 1)k
1
任给非零初始向量v0

uk Avk1

vk

Avk 1
(vk 1 , uk
k
, vk 1 vk 1)
(6 4)
k 1, 2,
uk uk1
例4 计算对称矩阵
3 7 9 A 7 4 3 的主特征值及对应的特征向量。
9 3 8 解 取v0 (1,1,1)T ,应用幂法迭代7次，得
v2 (1,0.544643,0.116071)T
求解 Ly2 Pv2, 得
y3 (0.272321, 0.5, 0.208333)T , 求解 Uu3 y3, 并规范化，得 u3 (0.761906, 0.395834, 0.208333)T , v3 (1,0.519531,0.273437)T
是k重特征值时，对应的线性无关特征向量不多于k个。
另一方面，一个特征向量只对应一个特征值。
7 实对称矩阵有完全特征向量系，而且对应于不同特征
值的特征向量彼此正交。
§3 幂法及其加速
3.1 幂法
设n阶矩阵A有完全 特征向量系 x1 , x2 , , xn ,其对应
的特征值为1 , 2 , , n .幂法的基本作法是，对任给初始 向量 v0 ,利用迭代公式
1.0
0.750 11.004
8 0.500
1.0
0.750 11.000
因此，1 11.00, x1 (0.500,1.000,0.750 )T 。矩阵A 三个特征值的标准值是 1 11, 2 3, 3 2 ,
比值 2 0.27 较小，所以收敛速度较快。 3.2 幂法1 的加速
由 Axi i xi (i 1, 2, , n) , 得
AX Ax1 , x2 , , xn x1 , x2 , , xn diag (i ) XA
X T AX A
Jacobi方法的基本思想是，构造一系列Given（吉文斯）
矩阵 R1, R2, , 对矩阵 A A0 作相似变换
矩阵的特征值是它的对角线元素；实矩阵的特征值是实数 或共轭复数；实对称矩阵的特征值是实数；对称正定矩阵 的特征值是正数。
4相似矩阵的特征值相同。
5 矩阵的不同特征值所对应的特征向量线性无关。
6 矩阵的每个特征值对应着无穷多个特征向量。当
是单重特征值时，对应的线性无关特征向量只有一个；当
称A有完全特征向量系，A为非亏损矩阵。 2.2 矩阵特征值与特征向量的性质
1 设 1 , 2 , , n为矩阵A的n个特征值，x1 , x2 , , xn
为对应的特征向量，则
A1的特征值为i1(i 1, 2 , , n ,且 i 0) ; Ak 的特征值为ik (i 1, 2 , , n , ); Ak I 的特征值为 ik (i 1, 2 , , n , ) ;
第七章 矩阵特征值与特征向量 的计算
§2 矩阵特征值问题的基本知识
2.1 矩阵特征值的有关定义 给定n阶矩阵
a11 a12 a1n
A a21 a22
a2
n


an1 a2n
ann

定义 1 如果有数 和 非零向量x (x1 , x2 , , xn )T ,
例7 应用反幂法计算矩阵
6 2 1 A 2 3 1
1 1 1
的最接近于6的特征值及对应的特征向量。
解
0 2 1
A 6I 2 3
1

1 1 5
作列主元三角分解 P( A 6I ) LU , 得
0 1 0
2

P 1 0 0 , L 0 2

vk

uk max( uk )
k 1, 2,
(6 2)
vk vk1 (6 3)
max( uk ) 为所求的主特征值。
lim
k
max(
uk
)

1
,
lim
k
vk

x1 max( x1)
vk

uk max( uk )

Avk 1 max( Avk1)
6 1 7.312498 max( u3)
§8 Jacobi方法 8.1 Jacobi方法的原理
设A是n阶对称矩阵，则具有n个实特征值 i 及对应的
正交特征向量xi (i 1, 2, , n) , 不妨令 xi 2 1(i 1,2, , n).
若记
A diag (i ) , X x1 , x2 , , xn
当 vk vk1 时，vk 即为所求的特征向量
x j 的近似， j 1/ max( uk ) 为对应的特征值
的更好的近似。
A~x j j ~x j
j

( A~x j , ~x j ) (~x j , ~x j )
故可取 ~j ( A~x j , ~x j ) /(~x j , ~x j )
1 2 n 0
A1 的特征值是
1 , 1 , , 1 ,
1 2
n
其排列次序为
11
1

n n1
1
任给非零初始向量v0
uk A1vk1
vk k
uk max(
1, 2,
uk
)
PA LU
任给非零初始向量v0

Lyk
vk Avk1 k 1, 2 ,
构造向量序列
v1 Av0 , v2 Av1 A2v0 ,
vk Avk1 Akv0 k 1, 2 ,
由于序列 vk 实质是由矩阵A的各次幂作用于初始向量
而形成的，故此法称为幂法。
因为 x1 , x2 , , xn 线性无关，可以为基底表示向量
R(vk
)

( Avk , vk ) (vk , vk )

1

o

2 1
2k


由幂法迭代向量 uk ,得
max( uk ) 1
任给非零初始向量v0
o
2 1
k

uk Avk1


k
使得 Ax x
(6 1)
则称 为矩阵A的特征值，x为矩阵A的特征值 所对
应的特征向量。
n阶矩阵A具有 n个特征值，按模最大者称为A的主 特征值。
A I称为A的特征矩阵； det( A I ) 称为A的特征多项式； det( A I ) 0 称为A的特征方程。
定义 2 如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，则
它们对应的特征向量仍为 xi (i 1, 2, , n).
2 A的 n个特征值之和等于A的迹； A的 n个特征值之积
等于A的行列式之值，即
n
n
n
i aii tr( A) , i det( A)
i 1
i 1
i 1
3 奇异矩阵至少有一个特征值是零；对角矩阵和三角
(vk )3 max( uk )
0
1
1
1
1 0.412
1.0
0.588
17.0
2 0.528
1.0
0.826
9.472
2 0.493
1.0
0.726 11.584
4 0.502
1.0
0.758 10.834
5 0.499
1.0
0.748 11.052
6 0.500
1.0
0.751 10.982
7 0.500


Ak v0 max( Akv0 )
n
n
Akv0 Ak ( ai xi ) aiik xi
i 1
i 1

1k
a1x1

n i2
ai
( i 1
)k
xi

lim
k
vk

lim
k
Ak v0 max( Akv0 )
lim
1k
a1x1
（2）原点平移法
设矩阵A的特征值 1 2 n ,
B A I
B的特征值为 1 , 2 , n
选择适量的平移量 , 1 i
且
max i 2 2in 1 1
i 2,3, ,n
例2中，选取 2, 得到矩阵B，迭代5次后，得 1 13.000, (1 11.000)

,
0 0 1
1 5 / 2 27 / 4
1 3 / 2 1/ 2
U


1 1/ 2

1
取 y1 (1,1,1)T ,求解 Uu1 y1,并规范化，得 u1 (1.25, 0.5,1)T , v1 (1,0.4,0.8)T
求解 Ly2 Pv1, 得 y2 (0.2, 0.5, 0.096296)T , 求解 Uu2 y2,并规范化，得 u2 (0.829630, 0.451852, 0.096296)T ,
x1 (0.905,0.661,1.000)T
矩阵A主特征值的准确值为18.1013…
R(vk )
17.667 18.091 18.101
§6 反幂法 6.1 计算矩阵按模最小特征值
反幂法是用幂法计算矩阵A的逆矩阵 A1按模最大特征值
的方法，即计算矩阵A的按模最小特征值的方法。
设A为n阶非奇异矩阵，其特征值排列次序为

Pvk 1
Uuk yk
vk

uk max(
k 1, 2,
uk
)
vk vk1
(6 7)
6.2 计算给定近似特征值对应的特征向量
近似特征值
0 j ~j i
~ j~j
i 1,2, , j 1, j 1, , n
P( A ~j I ) LU
1 18.101, x1 (0.902,0.661,1.000)T
应用 Rayleigh商加速幂法，迭代结果如下表
vkT
k
(vk )1 (vk )2 (vk )3
0
1
1
1
1
1.075 0.792 1.132
2
1.048 0.779 1.167
3
1.053 0.771 1.166
于是，1 18.101, v3 规范化后得，