数学建模之运筹学学习

第一讲 数学建模简介及数学规划模型
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模型检验
与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、 适用性
模型应用
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数学建模有助于培养以下几个方面的素质和能力： • 数学素质和能力 • 计算机应用能力 • 论文写作能力 • 团队合作精神和进行协调的组织能力 • 培养想象能力 • 发展观察力，形成洞察力 • 勇于参与的竞争意识和不怕困难、奋力攻 关的顽强意志
16.6 3.55
18 3.54
21 3.31
24 2.89
27 2.22
30 1.29
33.3 0
第一讲 数学建模简介及数学规划模型
上面的表中，我们给出了外侧刹车痕迹的有关值，而且，经过测量还 发现，该车并没有偏离它所行驶的转弯路线，也就是说，它的车头一直指 向切线方向。可以假设，该车的重心是沿一个半径为r的圆做圆周运动。 假设磨擦力作用在该车速度的法线方向上，并设汽车的速度v是一个常 数。显然，磨擦力提供了向心力，设磨擦系数为μ, 则
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一般地，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特 定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作 出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的 一个数学结构。 把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型， 求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所 提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应 用过程称为数学建模。 数学模型或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测 到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或 控制。
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4、按应用离散方法或连续方法分类： 离散模型 连续模型 5、按建立模型的数学方法分类： 几何模型 微分方程模型 图论模型 规划论模型 马氏链模型
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6、按人们对是物发展过程的了解程度分类： （1）白箱模型：指那些内部规律比较清楚的模 型。如力学、 热学、电学以及相关的工程技 术问题。 （2）灰箱模型：指那些内部规律尚不十分清楚， 在建立和改 善模型方面都还不同程度地有许多 工作要做的问题。如 气象学、生态学经济学等领域的模型。 （3）黑箱模型：指一些其内部规律还很少为人们 所知的现象。 如生命科学、社会科学等方面的问题。但由 于因素众多、 关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。
数学建模
Network Programming
Mathematical Modeling
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Introduction of MM and Mathematical Programming Model
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数学建模简介
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其中m为汽车质量.由上式易得
v2 m g m r
v gr
如何计算圆周半径r？假设已知弦的长度为c，弓形的高度为h，其图如 下所示，由勾股定理知
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c r 2 ( r h )2 ( )2 2
由前面的表中代入近似数据c=33.27, h=3.55后，得 r=40.75米 根据实际路面与汽车轮胎的情况，可以测量出磨擦系 数，经过实际测试得到 g=8.175米／秒２ 将此结果代入我们上面利用第二定律所得到的式子中，得 v≈18.25米／秒 此结果比司机所报速度（17.92米／秒）略大。但是， 我们不得不考虑计算半径r及测试时的误差。如果误差允许 在１０％以内，无疑，此计算结果对司机是相当有利的。
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数学建模的几个过程
1、模型准备 3、模型建立 5、模型求解 7、模型检验 2、模型假设 4、模型构成 6、模型分析 8、模型应用
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模型准备
了解实际背景
搜集有关信息 明确建模目的 掌握对象特征
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1989年北京的三所大学组队参加美国的MCM 竞赛,此后我国的参赛队伍越来越多. 1992－1993年中国工业与应用数学学会 （CSIAM）举办了两次中国大学生数学建 模竞赛. 1994年起，由国家教委（教育部）高教司和 中国工业与应用数学学会共同于每年9月举 办，1999年开始设立大专组的竞赛.
利用正方形(椅脚连线)的对称性 用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 B´ 椅脚与地面距离为零 距离是的函数 四个距离 (四只脚) 两个距离 正方形 对称性 B
A´
• 四只脚着地
C
C´
O

D´
A
x
D
A,C 两脚与地面距离之和记为f()
B,D 两脚与地面距离之和记为g()
正方形ABCD 绕O点旋转
问题分析 通常三只脚着地 放稳的标准: 四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触， 四脚连线呈正方形;
•模
•型
地面高度连续变化，可视为数学上的连
续曲面;
假 • 设
•
地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚
同时着地。
建立模型
• 椅子位置
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用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.
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数学规划模型
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实际问题中 的优化模型 x~决策变量
Min(或Max) z f ( x), x ( x1 ,x n ) s.t. g i ( x) 0, i 1,2, m
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本
性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考
建模的关键 :
和 f(), g()的确定.
模型假设中四脚呈正方形不是本质的,读者可考虑长 方形的情形.
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无论是美国还是我国大学本科组数学建模竞赛题 每年都是两道，参赛队从中任选一道题目. 一般来 说其中一道是连续型，另一道是离散型；或者一 道是开放型的，另一道是严谨型的. 竞赛内容或题 目是由工程技术、管理科学中的实际问题简化而 成，留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创 造精神. 竞赛形式为三名学生组成一队，可以自由 地收集资料、调查研究，使用计算机、因特网和 任何软件，在三天时间内分工合作完成一篇论文. 评奖标准为模型假设的合理性、建模的创造性、 结果的准确性和文字表述的清晰程度.
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用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.
地面为连续曲面 椅子在任意位置至 f() , g()是连续函数
少三只脚着地
对任意, f(), g()至少 一个为0
数学 问题
已知： f() , g()是连续函数 ;
对任意， f() • g()=0 ;
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初等模型
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一辆汽车在拐弯时急刹车，结果冲到路边 的沟里（见下图），交通警察立即赶到了 事故现场。司机申辩说，当他进入弯道时 刹车失灵，他还一口咬定，进入弯道其车 速为每小时４０英里（这是该路的速度上 限，约合每秒１７.９２米）。警察验车时 证实该车的制动器在事故发生时确实失灵， 然而，司机所说的车速是否真实可信呢？
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椅子能在不平的地面上放稳吗？
把四只脚的椅子往不平的地面上一放，通 常只有三只脚着地，放不稳，然而有人认 为只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放 稳了，对吗？
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线性规划
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汽车厂生产计划 模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型
钢材 1.5
中型
3 250
大型
5 400
现有量
600 60000
时间 280
利润
fHale Waihona Puke Baidux)~目标函数
T
gi(x)0~约束条件
决策变量个数n和 多元函数 约束条件个数m较大 条件极值 最优解在可行域 的边界上取得
重点在模型的建立和结果的分析
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• • • • • •
无约束优化 线性规划 非线性规划 整数规划 多目标规划 动态规划等等
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1985年美国第一届大学生数学建模竞赛 （mathematical competition in modeling） 1988年改为mathematical contest in modeling 简称MCM. 由美国工业与应用数学会和美国 运筹学会联合举办. 1985年起每年举行一届， 一般在每年的二月下旬或三月初的某个星 期五或星期日举行. 美国竞赛评出 Outstanding, Meritorious, Honorable Mention 及Successful Participation等级别.
形成一个 比较清晰 的‘问题’
模型假设
针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设
在合理与简化之间作出折中
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模型建立
用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法 尽量采用简单的数学工具
模型求解
各种数学方法、软件和计算机技术
模型分析
如结果的误差分析、统计分析、模型对数据 的稳定性分析
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为培养和选拔优秀的数学人才，世界各国有 各种不同形式不同层次的数学竞赛. 传统的 数学竞赛只局限于演绎、推理等纯数学形 式，它不能培养和发展学生运用数学知识 解决实际问题的能力，不能满足科学技术 飞速发展的时代需要. 从1983年起，在美国 就有一些有识之士开始探讨组织一项应用 数学方面的竞赛的可能性.
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数学模型的分类
1、按模型的应用领域分类： 生物数学模型 医学数学模型 地质数学模型 数量经济学模型 数学社会学模型 2、按是否考虑随机因素分类： 确定性模型 随机性模型 3、按是否考虑模型的变化分类： 静态模型 动态模型
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OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.2581 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.731183 3) 0.000000 0.003226
且 g(0)=0， f(0) > 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
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模型求解
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换. 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
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汽车的最终位置
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刹车痕迹
现在，让我们帮警察计算一下司机所报速度的真实性。 连接刹 车痕迹的初始点和终点，用x表示沿连线汽车横向所走出的距离， 用y表示竖直的距离，如下图
X Y
0 0
3 1.19
6 2.15
9 2.82
12 3.28
15 3.53
2
3
4
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600
280x1 250x2 400x3 60000
x1 , x2 , x3 0
线性 规划 模型 (LP)
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模型 求解
结果为小数， 怎么办？