数学建模之运筹学学习
第二章——运筹学建模方法
1第二章、运筹学建模方法综述2定义问题和收集数据 数学建模模型求解 检验模型 准备应用模型 实施3运筹学研究小组首先要做的是研究相关系统，并使被研究的问题得到明确的说明。
包括确定合适的目标、实际的限制条件、研究领域和组织的其他领域间的相互关系、可选择的行动路线、制定决策的时间限制等。
2.1定义问题和收集数据4针对美国企业的大量调查发现，管理层趋向于采取满意利润目标和其他目标相结合的方式代替长期收益最大化。
典型地，其他目标包括维持稳定收益、增加市场份额、实现产品多样化、维持稳定价格、提高员工士气、维持企业的家族控制以及提高企业声望。
另外，存在包含与盈利动机不相吻合的社会责任的其他考虑。
2.1定义问题和收集数据5商业企业一般涉及以下五个方面所用者（股东等），追求盈利员工，期望合理工资水平上的稳定雇佣 客户，期望以合理的价格获得可靠的产品 供应商，期望声誉以及产品的合理出售价格政府以及国家，期望公正的税收和考虑国家利益6例：在为旧金山警察局所开展的运筹学研究中，建立了一个优化调度和配置巡警的计算机系统。
这个新系统每年为警察局节约1100万美元，同时增加了300万美元的交通管理收入，并且将反映时间减少了20%。
在评估该项研究的合适目标时，确定了三个基本目标：(1). 维持高水平的居民安全(2). 维持高水平的警员士气(3). 最小化运作成本7收集数据通常，研究小组会花费大量的时间收集问题的数据。
大部分数据既用于获得对问题的充分理解，又为下一阶段研究建立的数学模型提供所需的输入。
82.2 数学建模商业问题的数学模型，是描述问题实质的方程和相关数学表达式的系统。
n 个相关的可量化的决策，称为决策变量(decision variables)(x 1, x 2, …x n )绩效（如收益）的合理度量被表示成这些决策变量的数学函数（例如，P =3x 1+2x 2+…+5x n ），这个函数称为目标函数(objective function)9 任何对决策变量值的约束也能够被数学表示，通常是通过等式或不等式（例如：x 1+3x 1x 2+2x 2≤10），这些用于限制的数学表达式称为约束(constraints)。
数学建模融入运筹学教学的探索与实践
数学建模融入运筹学教学的探索与实践运筹学是研究给定物质在财力、物力、人力的条件下，分析数量、统筹兼顾，使人力、财力和物力可以实现科学的分配，最终达到预期效果的方法。
运筹学在现代社会当中占据着非常重要的地位，加强运筹学的教学工作，提高课程质量和效果尤为重要。
本文主要对运筹学的特点和数学建模意义进行分析，通过典型案例，说明数学建模在运筹学当中至关重要的作用，这将有利于为21世纪培养具有运筹决策能力和科学管理能力的复合型人才。
标签：教学实践；数学建模；运筹学；探索1.运筹学的特点（1）应用性。
实际上运筹学由应用和实践发展而来，因此应用性是运筹学与生俱来的特质。
目前除了在较为传统的领域应用之外，在自动化、通信以及航空航天领域都已经得到了广泛应用。
（2）综合性。
运筹学是一种科学方法，将应用数学、经济学、管理学、计算机科学、社会学等互相渗透，融合，加以交叉运用。
（3）最优性。
运筹学在空间上强调最优整体，在时间上强调最优全过程。
2.数学建模的意义（1）提高学生学习数学的兴趣。
大学生对大学数学的态度一般情况下都认为其比较难学，甚至感到害怕，这就很容易导致学生对数学失去学习的信心和兴趣。
而数学建模既能够体现出数学的应用性，也能极大地激发学生参与其中的兴趣，能够让学生切身体会到学好数学可以解决身边的实际问题；并从中获取快乐，激发学生学习数学的主动性、积极性。
（2）帮助学生提升思维能力、表达能力以及创新能力。
数学建模具有较强的灵活性，并没有统一的标准答案，同一个问题，学生甚至可以从多个角度进行分析和讨论，用多种方法去解决实际问题；但是要保证数学建模的合理性和可行性。
因此，数学建模能使学生的表达能力、创新能力和思维能力得到不断强化。
（3）提高学生运用知识解决实际问题的能力。
只有充分运用各个领域内的相关知识，才能够真正解决数学建模问题；但是由于学生知识存在片面性问题，不可能精通各个领域内的专业知识，因此，在建模过程中，学生要有针对性地查阅、利用大量的文献资料，这就是帮助学生运用知识解决实际问题的过程。
数学建模与运筹学
数学建模与运筹学数学建模与运筹学是运用数学的方法和技巧解决实际问题的一门学科。
它在现实生活中有着广泛的应用，不仅在工程领域中扮演着重要的角色，也在各个领域中发挥着巨大的作用。
通过对问题进行数学建模和优化，我们能够得到有效的结果和决策，帮助人们更好地应对挑战和实现目标。
1. 数学建模数学建模是将实际问题转化为数学问题的过程。
它是一种抽象思维和数学思维相结合的过程，能够将复杂的问题简化，提取出重要的因素和变量。
数学建模的核心是构建数学模型，根据模型的特点和要求进行问题的描述和求解。
数学建模广泛应用于科学研究、工程设计、经济管理等领域，为决策提供了科学的依据。
2. 运筹学运筹学是解决优化问题的一门学科，它通过数学建模和分析，寻求最优解。
运筹学包括线性规划、整数规划、动态规划、图论等方法，能够解决多种实际问题。
例如，在物流管理中，通过优化路径和资源分配，可以降低成本和提高效率；在生产计划中，通过优化生产调度和资源利用，可以提高产能和降低库存成本。
运筹学的应用可以帮助组织和企业做出更好的决策，实现资源的合理利用和效益的最大化。
3. 数学建模与运筹学的应用数学建模与运筹学广泛应用于各个领域，以下以几个典型的应用为例进行介绍。
（1）交通运输规划：通过数学建模和运筹学方法，可以优化城市道路网、航空航线和火车运行图，提高交通运输的效率和安全性。
（2）物流配送优化：数学建模和运筹学方法可以确定最优的配送路径和运输方式，降低成本、减少时间和资源的浪费。
（3）资源分配与计划：在能源领域，通过数学建模和运筹学方法，可以进行电网调度、电力优化和能源供应的规划，实现可持续发展和低碳经济。
（4）金融风险管理：数学建模和运筹学方法可以用于评估和管理金融市场的风险，帮助投资者和机构做出科学的决策。
4. 数学建模与运筹学在实践中的挑战数学建模与运筹学在实践中也面临一些挑战。
首先，实际问题往往具有复杂性和不确定性，需要进行合理的简化和假设。
数学建模 运筹学模型(一)
运筹学模型（一）本章重点：线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题复习要求：1.进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵.2.进一步理解数学模型的作用与特点.本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型.具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单.运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单.你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求.目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型.另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型.这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型.还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到.另外在个别场合可能会涉及一笔划问题.1.营养配餐问题的数学模型或更简洁地表为其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量.2.合理配料问题的数学模型有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品.单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位.问如何安排生产，使总利润达到最大？设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有或更简单地写为3.运输问题模型运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量设置为双下标变量.假如问题具有m 个产地和n 个销地，第i 个产地用A i 表示，其产量为a i （i =1，2，…，m ），第j 个销地用B j 表示，其销量为b j （j =1，2，…，n ），从A i 运往B j 的运价为c ij ， 而∑∑===m i n j ji b a11表示产销平衡.那么产销平衡运输问题的一般模型可以写成为4.目标规划模型某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部门处理.已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120小时和150小时，每小时费用分别为80元和20元，其它数据如下表表4-1工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售及检验等方面都能达标.问题分析与模型假设经与工厂总经理交谈，确定下列几条：p 1： 检验和销售费每月不超过4600元；p 2： 每月售出产品I 不少于50件；p 3： 两车间的生产工时充分利用（重要性权系数按两车间每小时费用比确定）；p 4：甲车间加班不超过20小时；p 5：每月售出产品Ⅱ不少于80件；p 6：两车间加班总时数要有控制（对权系数分配参照第三优先级）.模型建立设x 1，x 2分别为产品Ⅰ和Ⅱ的月产量，先建立一般约束条件组，依题设4600305021≤+x x 检验销售费用802≥x 120221≤+x x 设d 1表检验销售费偏差，则希望+1d 达最小，有,11+d p 相应的目标约束为+--++1121305d d x x = 4600； 2d 表产品I 售量偏差，则希望-2d 达最小，有,22-d p 相应的目标约束 以d 3、d 4表两车间生产工时偏差，则由于充分利用，故希望--43,d d 达最小，考虑到费用比例为80：20=4：1，有)4(433--+d d p .相应的目标约束应为12023321=-+++-d d x x 和+--++44213d d x x =150，以d 5表甲车间加班偏差，则有,54+d p 相应目标约束为 20553=-++-+d d d ，以d 6表产品Ⅱ售量偏差，则希望-6d 达最小，有相应约束为80662=-++-d d x .最后优先级p 6可利用+++43d d 表示，考虑到权系数，有),4(436+++d d p 其目标约束由于利用超生产工时，已在工时限制中体现，于是得到该问题的目标规划模型为5.最小树问题一个图中若有几个顶点及其边的交替序列形成闭回路，我们就说这个图有圈；若图中所有连顶点间都有边相接，就称该图是连通的；若两个顶点间有不止一条边连接，则称该图具有多重边. 一个图被称为是树．意味着该图是连通的无圈的简单图.在具有相同顶点的树中，总赋权数最小的树称为最小树.最小树的求法有两种，一种称为“避圈法”，一种是“破圈法”，两法各具优缺点，它们具有共同的特征——去掉图中的圈并且每次都是去掉圈中边权较大的边.6.最短路问题的数学模型最短路问题一般描述如下：在一个图（或者说网络）中，给定一个始点v s 和一个终点v t ，求v s 到v t 的一条路，使路长最短（即路的各边权数之和最小）.狄克斯屈（）双标号法该法亦称双标号法，适用于所有权数均为非负（即一切0≥ij w w ij 表示顶点v i 与v j 的边的权数）的网络，能够求出网络的任一点v s 到其它各点的最短路，为目前求这类网络最短路的最好算法.该法在施行中，对每一个点v j 都要赋予一个标号，并分为固定标号P （v j ）和临时标号T （v j ）两种，其含义如下： P （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长；T （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长上界.一个点v j 的标号只能是上述两种标号之一.若为T 标号，则需视情况修改，而一旦成为P 标号，就固定不变了.售出量两车间总工时开始先给始点v s 标上P 标号0，然后检查点v s ，对其一切关联边（v s ， v j ）的终点v j ，给出v j 的T 标号w ij ；再在网络的已有T 标号中选取最小者，把它改为P 标号.以后每次都检查刚得到P 标号那点，按一定规则修改其一切关联边终点的T 标号，再在网络的所有T 标号中选取最小者并把它改为P 标号.这样，每次都把一个T 标号点改为P 标号点，因为网络中总共有n 个结点，故最多只需n -1次就能把终点v t 改为P 标号.这意味着已求得了v s 到v t 的最短路.狄克斯屈标号法的计算步骤如下：1°令S ={v s }为固定标号点集，}{\s v V S =为临时标号点集，再令0)(=i v P ，S v t ∈；2°检查点v i ，对其一切关联边（v i ， v j ）的终点S v j∈，计算并令 3°从一切S v j ∈中选取并令选取相应的弧（v i ， v r ）.再令4°若∅=S ，则停止，)(j v P 即v s 到v j 的最短路长，特别)(t v P 即v s 到v t 的最短路长，而已选出的弧即给出v s 到各点的最短路；否则令i rv v ⇒，返2°. 注意：若只要求v s 到某一点v t 的最短路，而没要求v s 到其他各点的最短路，则上述步骤4°可改为4°若r = t 则结束，)(r v P 即为所求最短路长；否则令i r v v ⇒，返2°.。
数学建模：第五章 运筹与优化模型
max c j x j
n
s.t aij x j bi
j 1
n
j 1
i 1.2 m
xj 0
j 1.2 n
8
二、整数规划模型
n min f c j x j j 1 n aij x j bi j 1 x j 0
对于线性规划：
22
二、货机装运
问题 某架货机有三个货舱：前仓、中仓、后仓。三个 货舱所能装载的货物的最大重量和体积都有限制，如表 3所示。并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际 装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。
重量限制 （吨）
前仓 中仓 后仓 10 16 8 6800 8700 5300
体积限制 （米3）
5
解：设x ij 表示 Ai (i=1.2)煤厂提供给 B j （j=1.2.3)居民区的煤量； f表示总运输费 此问题归结为：
min f 10 x11 5 x12 6 x13
s.t
x11 x12 x13 60 x21 x22 x23 100 x11 x21 50
s.t gi ( X ) 0
hi ( X ) 0
(1)
(2)
(3)
i 1,2,, m .
j 1,2,, l .
X D
其中X ( x1 , x2 ,, xn )T , D R n为可行集
f(X)为目标函数，(2)、(3)为约束条件， (2)为不等式约束，(3)为等式约束； 若只有(1)称为无约束问题。
max f x1 x2 15 x1 12 x2 85 如 5 x1 11 x , x 0 1 2 x1 , x2 为整数
运筹学 运输问题例题数学建模
运筹学运输问题例题数学建模运筹学是一门研究如何在有限的资源和多种约束条件下，寻求最优或近似最优解的科学。
运输问题是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地，使总的运费或总的运输时间最小。
本文将介绍运输问题的数学建模方法，以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。
同时，本文还将给出几个典型的运输问题的例题，帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。
运输问题的数学建模运输问题可以用以下的数学模型来描述：设有m 个产地（或供应地），分别记为A 1,A 2,…,A m ，每个产地i 的产量（或供应量）为a i ；有n 个销地（或需求地），分别记为B 1,B 2,…,B n ，每个销地j 的需求量为b j ；从产地i 到销地j 的单位运费（或单位运输时间）为c ij ；用x ij 表示从产地i 到销地j 的运量，则运输问题可以归结为以下的线性规划问题：其中，目标函数表示总的运费或总的运输时间，约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量，每个销地的需求量必须等于其销量，以及每条运输路线的运量不能为负数。
在实际问题中，可能出现以下几种情况：产销平衡：即∑m i =1a i =∑n j =1b j ，也就是说总的供应量等于总的需求量。
这种情况下，上述数学模型可以直接应用。
产大于销：即∑m i =1a i >∑n j =1b j ，也就是说总的供应量大于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的销地，其需求量等于供需差额，且其与各个产地的单位运费为零。
这样就可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
产小于销：即∑m i =1a i <∑n j =1b j ，也就是说总的供应量小于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的产地，其产量等于供需差额，且其与各个销地的单位运费为零。
这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
弹性需求：即某些销地对商品的需求量不是固定不变的，而是随着商品价格或其他因素而变化。
数学建模运筹模型
X={1,2,4}
w1=0
w2=2
2
6
1
2
3
1
10
w4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
w6=3
8 8
min {c16,c23,c25,c47}=min {0+3,2+6,2+5,1+2}=min {3,8,7,3}=3
X={1,2,4,6}, w6=3
X={1,2,4,6}
w1=0
例 有一份说明书，需要译成英、日、德、俄四种文字，现有甲
乙丙丁四个人，他们将说明书译成不同文字所需要的时间如
下表所示，问应指派哪个人完成哪项工作，耗用的总时间最
少？
英语 日语 德语 俄语
甲
2
15 13
4
乙
10
4
14 15
丙
9
14 16 13
丁
7
8
11
9
指派问题
一般地，有n项任务、n个完成人，第i人完成第j项任务的代
运输问题
闭回路：
ai
3
113
1
9
2
8
4
3
1
7
4
10
5
9
6
3
bj
3
6
5
6
20
运输问题
迭代及新基本可行解的检验数计算：
-2
4
-2
5
ai
3
11
3
10
5
7
[0]
[2]
5
2
数学建模_运筹学模型(四)
产品生产规划某医院为病人配制营养餐要使用到两种食品A 和B ，每种食品A 含蛋白质50g ，钙400mg ， 热量1000单位，价值14元；食品B 含蛋白质60g ，钙200mg ，热量800单位，价值8元.若病人每天需从食物中获取蛋白质，钙及热量分别为55g ，800mg 和3000单位，问如何选购食品才能在满足营养要求条件下使花费最小？试组建线性规划模型并求解后回答：（1）问题的最优方案及最优值分别是甚麽？最优方案是否有选择余地？ （2）各种营养要求的满足情况怎样？若限制蛋白质摄入量不超过100单位，会出现甚麽问题？解：本题属于简单的线性规划模型的建立与求解问题，并要求作出一点模型分析工作.按要求，先来建立模型，根据题设，设购买两种食品分别为21,x x （kg ），则有总花费数额函数21814x x z +=，自然我们希望求出这样的21,x x 取值，使得函数z 取最小值.可以写为min 21814x x z +=. 又根据营养最低要求，应有蛋白质需求条件： ,55605021≥+x x 钙的需求条件： 40080020021≥+x x ， 热量的需求条件： ,3000800100021≥+x x 非负性条件： .0≥j x将上述条件合在一起，即可获得本问题的线性规划模型如下：m i n 21814x x z+= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧..t s ,0,30008001000,800200400,556050212121≥≥+≥+≥+j x x x x x x x利用图解法易于得到其最优解为),310,31(*=X 即食品A 购买31（kg ），B 购买310（kg ），最低花费=*z 394元.由此可回答所提问题：（1）最优解与最优目标值如上所述，最优方案无选择余地，因为最优解点是在后两个约束条件直线的交点上，而不是在可行域的某条边界线段上.（2）钙和热量需求得到满足（最低量），蛋白质需求超最低标准3485个单位.以上结论是将最优解代入各个约束条件得到的.若限制蛋白质摄入量不超过100单位，则第一个约束条件应修改为,55605010021≥+≥x x在原来的求解图上加上条件,100605021≤+x x 则可见可行域不存在，故无解.2.某工厂生产两种产品A 、B 分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的预测销售量、生产率和赢利如下表（1）充分利用现有能力，避免设备闲置； （2）周加班时间限制在10小时以内；（3）两种产品周生产品量应满足预测销售，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比；（4）尽量减少加班时间. 解： （1）建立模型设：①每班上班时间为8小时，在上班时间内只能生产一种产品； ②周末加班时间内生产哪种产品不限； ③生产A 产品用x 班，生产B 产品用y 班，周加班时生产A 产品用x 1小时，生产B 产品用y 1小时.则有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+=++≤+≤+=+且为整数0,,,101:2148:987084581011111111y x y x y x x x y y x x y y y x（2）求解现在求满足（1）中第2，3个方程可看出：8≤x ，5≥y ； 将（1）中的第1个方程代入第4个方程得：1179720128y x y -+= 现在就是在满足5≤y ，1011≤+y x 条件下，使上式两端的取值尽量接近.显然5=y ，01=x ，101=y因此 5=x制定方案为，生产A ，B 两种产品所占总时间各一半，周加班10小时全用于生产产品B .运输规划问题现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，数据如下表，试问在保证各纺织厂的需求都得到满足的条件下应采取哪个运输方案，才能使总运费达到最小？（运价（元/吨）如下表）解：题意即要确定从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。
数学建模之运筹学
第一讲 数学建模简介及数学规划模型
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数学模型的分类
1、按模型的应用领域分类： 生物数学模型 医学数学模型 地质数学模型 数量经济学模型 数学社会学模型 2、按是否考虑随机因素分类： 确定性模型 随机性模型 3、按是否考虑模型的变化分类： 静态模型 动态模型
第一讲 数学建模简介及数学规划模型
形成一个 比较清晰 的‘问题’
模型假设
针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设
在合理与简化之间作出折中
第一讲 数学建模简介及数学规划模型
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模型建立
用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法 尽量采用简单的数学工具
模型求解
各种数学方法、软件和计算机技术
模型分析
如结果的误差分析、统计分析、模型对数据 的稳定性分析
16.6 3.55
18 3.54
21 3.31
24 2.89
27 2.22
30 1.29
33.3 0
第一讲 数学建模简介及数学规划模型
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上面的表中，我们给出了外侧刹车痕迹的有关值，而且，经过测量还 发现，该车并没有偏离它所行驶的转弯路线，也就是说，它的车头一直指 向切线方向。可以假设，该车的重心是沿一个半径为r的圆做圆周运动。 假设磨擦力作用在该车速度的法线方向上，并设汽车的速度v是一个常 数。显然，磨擦力提供了向心力，设磨擦系数为μ, 则
第一讲 数学建模简介及数学规划模型
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汽车的最终位置
刹车痕迹
现在，让我们帮警察计算一下司机所报速度的真实性。 连接刹 车痕迹的初始点和终点，用x表示沿连线汽车横向所走出的距离， 用y表示竖直的距离，如下图
数学模型的应用运筹学原理
数学模型的应用运筹学原理1. 引言数学模型是运筹学中一种重要的工具，它通过使用数学符号和方程来描述和解决实际问题。
数学模型在运筹学中广泛应用，可以用于解决诸如优化、决策和规划等方面的问题。
本文将介绍数学模型的应用以及运筹学原理。
2. 数学模型的基本概念数学模型是对实际问题进行抽象和描述的数学表示。
它可以是一组方程、不等式、变量以及约束条件的集合。
数学模型能够帮助我们理解问题以及通过数学方法解决问题。
数学模型的组成要素包括： - 决策变量：描述问题中需要决策或控制的变量。
- 目标函数：描述需要优化的目标。
- 约束条件：描述问题中的限制条件。
- 参数：描述问题中给定的数值。
3. 数学模型在运筹学中的应用数学模型在运筹学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：3.1 生产与物流管理•生产调度：通过数学模型可以优化生产过程，减少等待时间和生产成本，并满足客户需求。
•库存管理：数学模型可以帮助确定最佳的库存水平，以满足需求以及降低库存成本。
•物流优化：通过数学模型可以优化物流网络，减少运输成本和提高效率。
3.2 供应链管理•供应链规划：数学模型可以帮助决策者在供应链中进行规划，以优化资源配置和减少成本。
•配送路线优化：通过数学模型可以确定最佳的配送路线，以提高配送效率和降低成本。
•供应商选择：数学模型可以帮助选择最佳供应商，以满足质量要求和降低采购成本。
3.3 资源优化•生产线优化：通过数学模型可以优化生产线布局和生产线平衡，以提高生产效率和降低成本。
•人力资源优化：数学模型可以帮助企业优化员工调度和任务分配，提高工作效率和员工满意度。
•设备维修计划：数学模型可以帮助确定最佳的设备维修计划，以最大限度地减少停机时间和维修成本。
4. 运筹学原理运筹学原理是运筹学研究的基础，它包括了一系列的数学方法和技术，用于构建和解决数学模型。
以下是几个常见的运筹学原理：4.1 线性规划线性规划是一种用于解决目标函数和约束条件均为线性关系的最优化问题的方法。
基于数学建模竞赛的运筹学实践教学方法
进一步促进数学建模竞赛和运筹学实践教学 与其他学科的交叉融合，推动跨学科教学和 研究的发展。
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医疗资源分配问题
• 总结词：公平、效率、健康 • 详细描述：医疗资源分配问题涉及医院布局、床位设置、医生分配等环节，旨在实现医疗资源的公平分配
和提高整体医疗效率。通过数学建模竞赛，学生可以学习到医疗资源的合理配置方法，并尝试解决现实中 可能遇到的医疗资源分配问题。 • 数学建模方法：学生可采用线性规划、整数规划、多目标决策等数学方法对医疗资源分配问题进行建模， 并利用计算机软件进行分析和求解。 • 拓展思考：考虑到医疗资源的有限性，学生可考虑将患者的需求和健康状况纳入模型中，以实现更合理的 医疗资源分配。同时，随着医疗技术的不断发展，学生可考虑将新技术如远程医疗等引入模型中，以实现 更全面的医疗资源优化。
识点和方法有机地结合起来，提高教学效果。
03 基于数学建模竞 赛的运筹学实践 教学方法
案例选择与问题建模
案例的恰当选择
选择具有实际背景和应用价值的运筹学案例，以便学生能够将理论知识与实际问题相结合，提高解决实际问题 的能力。
问题建模
引导学生将实际问题转化为数学模型，通过建立数学方程、不等式等来描述问题的本质，培养学生的数学思维 和建模能力。
引入案例教学
引入更多的实际案例，帮助学生更好地理 解和应用运筹学的理论知识。
提高竞赛难度
适当提高竞赛的难度和挑战性，激发学生 的学习热情和挑战精神。
06 结论与展望
基于数学建模竞赛的运筹学实践教学方法的成果总结
增强学生实践能力
通过数学建模竞赛，学生能够将理 论知识应用于实际问题中，提高解 决实际问题的能力。
数学建模竞赛历史
16738-数学建模-运筹学PPT完整版胡运权
线性规划问题的数学模型
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3. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
约束条件： am1 x1 am2 x2 amn xn ( ) bm
x1 0 xn 0
a11 a1m
B
(
p1
pm
)
am1
amm
称 B中每个列向量Pj ( j = 1 2 … … m) 为基向量。与基向量Pj
对应的变量xj 为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。
线性规划问题的数学模型
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基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，由约束条件
方程②解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量取非0
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
max Z
2 x1
x2
3(
x
3
x3)
0x4
0x5
5 x1
x2
(
x
3
x3)
x4
7
x1 x2 ( 5x1 x2
x3 2(
x
3
x3) x3)
真实系统
数据准备
系统分析 问题描述
模型建立 与修改
模型求解 与检验
结果分析与 实施
本课程授课方式与考核
讲授为主，结合习题作业
学科总成绩
平时成绩 （40％）
期末成绩 （60％）
课堂考勤 （50％）
平时作业 （50％）
数学建模 运筹学模型
运筹学模型（一） 本章重点：线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题复习要求：1.进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵.2.进一步理解数学模型的作用与特点.本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型.具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单.运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单.你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求.目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型.另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型.这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型.还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到.另外在个别场合可能会涉及一笔划问题.1.营养配餐问题的数学模型或更简洁地表为其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量.2.合理配料问题的数学模型有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品.单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位.问如何安排生产，使总利润达到最大？设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有或更简单地写为3.运输问题模型运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量设置为双下标变量.假如问题具有m 个产地和n 个销地，第i 个产地用A i 表示，其产量为a i （i =1，2，…，m ），第j 个销地用B j 表示，其销量为b j （j =1，2，…，n ），从A i 运往B j 的运价为c ij ， 而∑∑===m i n j j i b a11表示产销平衡.那么产销平衡运输问题的一般模型可以写成为4.目标规划模型某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部门处理.已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120小时和150小时，每小时费用分别为80元和20元，其它数据如下表 表4-1工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售及检验等方面都能达标.问题分析与模型假设经与工厂总经理交谈，确定下列几条：p 1： 检验和销售费每月不超过4600元；p 2： 每月售出产品I 不少于50件；p 3： 两车间的生产工时充分利用（重要性权系数按两车间每小时费用比确定）；p 4：甲车间加班不超过20小时；p 5：每月售出产品Ⅱ不少于80件；p 6：两车间加班总时数要有控制（对权系数分配参照第三优先级）.模型建立设x 1，x 2分别为产品Ⅰ和Ⅱ的月产量，先建立一般约束条件组，依题设4600305021≤+x x 检验销售费用802≥x 120221≤+x x 设d 1表检验销售费偏差，则希望+1d 达最小，有,11+d p 相应的目标约束为+--++1121305d d x x = 4600； 2d 表产品I 售量偏差，则希望-2d 达最小，有,22-d p 相应的目标约束 以d 3、d 4表两车间生产工时偏差，则由于充分利用，故希望--43,d d 达最小，考虑到费用比例为80：20=4：1，有)4(433--+d d p .相应的目标约束应为12023321=-+++-d d x x 和+--++44213d d x x =150，以d 5表甲车间加班偏差，则有,54+d p 相应目标约束为 20553=-++-+d d d ，以d 6表产品Ⅱ售量偏差，则希望-6d 达最小，有相应约束为80662=-++-d d x .最后优先级p 6可利用+++43d d 表示，考虑到权系数，有),4(436+++d d p 其目标约束由于利用超生产工时，已在工时限制中体现，于是得到该问题的目标规划模型为5.最小树问题一个图中若有几个顶点及其边的交替序列形成闭回路，我们就说这个图有圈；若图中所有连顶点间都有边相接，就称该图是连通的；若两个顶点间有不止一条边连接，则称该图具有多重边.一个图被称为是树．意味着该图是连通的无圈的简单图. 在具有相同顶点的树中，总赋权数最小的树称为最小树.最小树的求法有两种，一种称为“避圈法”，一种是“破圈法”，两法各具优缺点，它们具有共同的特征——去掉图中的圈并且每次都是去掉圈中边权较大的边.6.最短路问题的数学模型最短路问题一般描述如下：在一个图（或者说网络）中，给定一个始点v s 和一个终点v t ，求v s 到v t 的一条路，使路长最短（即路的各边权数之和最小）.售出量两车间总狄克斯屈（）双标号法该法亦称双标号法，适用于所有权数均为非负（即一切0≥ij w w ij 表示顶点v i 与v j 的边的权数）的网络，能够求出网络的任一点v s 到其它各点的最短路，为目前求这类网络最短路的最好算法.该法在施行中，对每一个点v j 都要赋予一个标号，并分为固定标号P （v j ）和临时标号T （v j ）两种，其含义如下： P （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长；T （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长上界.一个点v j 的标号只能是上述两种标号之一.若为T 标号，则需视情况修改，而一旦成为P 标号，就固定不变了. 开始先给始点v s 标上P 标号0，然后检查点v s ，对其一切关联边（v s ， v j ）的终点v j ，给出v j 的T 标号w ij ；再在网络的已有T 标号中选取最小者，把它改为P 标号.以后每次都检查刚得到P 标号那点，按一定规则修改其一切关联边终点的T 标号，再在网络的所有T 标号中选取最小者并把它改为P 标号.这样，每次都把一个T 标号点改为P 标号点，因为网络中总共有n 个结点，故最多只需n -1次就能把终点v t 改为P 标号.这意味着已求得了v s 到v t 的最短路. 狄克斯屈标号法的计算步骤如下：1°令S ={v s }为固定标号点集，}{\s v V S =为临时标号点集，再令0)(=i v P ，S v t ∈；2°检查点v i ，对其一切关联边（v i ， v j ）的终点S v j∈，计算并令 3°从一切S v j ∈中选取并令选取相应的弧（v i ， v r ）.再令4°若∅=S ，则停止，)(j v P 即v s 到v j 的最短路长，特别)(t v P 即v s 到v t 的最短路长，而已选出的弧即给出v s 到各点的最短路；否则令i rv v ⇒，返2°. 注意：若只要求v s 到某一点v t 的最短路，而没要求v s 到其他各点的最短路，则上述步骤4°可改为4°若r = t 则结束，)(r v P 即为所求最短路长；否则令i r v v ⇒，返2°.。
运筹学建模
x1 + x2 + d1− − d1+ = 500
d－1、d＋1要尽可能小，又要求尽可能多地卖出产品，故 有目标约束条件：
− x1 + d 2 = 300, x2 + d 3− = 400
32
d－2、d－3要尽可能小，多卖出A产品的要求可体现在目 标函数的权系数中，于是可得到目标规划模型为:
i =1
n
i
大于产量
∑a
i =1
m
i
的情形类同.
9
2.应用实例 应用实例 例1 生产时序的安排.
(1)问题的提出. 北方飞机公司为全球各航空公司制造商用飞机.其生产 过程之最后阶段为生产喷射引擎，然后装置于制成的机体， 该公司有若干近期必须交付使用的合同，现需安排今后四个 月飞机喷射引擎的生产计划，并需于每月末分别提供10、15 、25、20台引擎.已知该公司各月的生产能力和生产每台引 擎的成本如表4-6所示，又如果生产出来的引擎当月不能交 货的，每台引擎每积压一个月需存储和维护费用0.015百万 元，试在完成合约的情况下，制定一引擎数量的生产安排方 案，以使该公司今后四个月的生产费用最小.
第四章 运筹学模型
4.1 线性规划模型 4.2 运输问题模型 4.3 目标规划模型 4.4 0—1型整数规划模型 型整数规划模型 4.5 非线性规划问题
1
运筹学的分支较多，本章我们只介绍线性规划、整数规 划、目标规划及非线性规划等方面的内容，重点讲解运筹学 模型的分析和建立，模型的求解通常使用LINGO软件来完 成.
2
4.2 运输问题模型
1.运输问题模型概述 运输问题模型概述
运输问题是一类特殊的线性规划模型，该模型的建立最 初用于解决一个部门的运输网络所要求的最经济的运输路线 和产品的调配问题，并取得了成功.然而，在实际问题的应 用中，除运输问题外，许多非运输问题的实际问题一样可以 建立其相应的运输问题模型，并由此而求出其最优解.下面 以“产销平衡模型”为例对运输问题进行简单的概括和描述 .
数学建模融入运筹学教学的探索与实践
数学建模融入运筹学教学的探索与实践【摘要】摘要：本文探讨了数学建模如何融入运筹学教学，并对其应用、方法探索、案例分析、融合效果评估以及实践中的问题和挑战进行了详细讨论。
通过对数学建模与运筹学教学的融合展开研究和分析，揭示了融合的启示和未来研究方向。
这一研究背景和研究意义的引入为本文的研究提供了指导和动力，从而促进了数学建模在运筹学教学中的深入发展和实践探索。
通过本文的研究，有望进一步推动数学建模与运筹学教学的融合，为教育教学领域带来更多的启示和创新。
【关键词】数学建模、运筹学、教学、实践、方法探索、案例分析、融合效果评估、问题与挑战、启示、未来研究方向1. 引言1.1 研究背景数、格式等。
以下是根据您提供的大纲要求的内容：在传统的运筹学教学中，往往过于侧重理论知识的传授，缺乏对于实际问题的实践操作。
学生往往只是被passively 接收知识，缺乏主动思考和解决问题的能力。
将数学建模的方法引入到运筹学教学中，可以帮助学生更好地理解和应用运筹学理论，提高他们的实际问题解决能力，培养他们的创新思维和团队合作精神。
本文旨在探讨数学建模如何融入运筹学教学，并通过实践案例分析和效果评估，总结出对于未来教学改革的启示和研究方向。
1.2 研究意义研究意义部分的内容如下：数学建模融入运筹学教学还可以促进教师的教学方法和教学内容的更新和创新。
教师通过实验不断改进数学建模与运筹学教学的方式，可以更好地适应学生的学习需求和发展方向，提高教学效果和教学质量。
深入探索数学建模融入运筹学教学的意义和方法，对于促进教育教学的发展，提升学生的综合素质和创新能力具有重要的意义。
2. 正文2.1 数学建模在运筹学教学中的应用数学建模在运筹学教学中的应用是一种创新的教学方法，通过将实际问题转化为数学模型来培养学生的分析和解决问题的能力。
运筹学是一门涉及决策、优化和资源分配等问题的学科，而数学建模则是将抽象的数学理论应用到具体问题中的过程。
基于数学建模的运筹学案例教学
基于数学建模的运筹学案例教学运筹学是一门实践性很强的重要基础课程，然而目前运筹学教学在教学理念、观点以及具体的教学方法和手段上仍存在一些问题。
文章以数学建模分析^p 为基础，采用案例教学法，提出运筹学案例教学具体实施方案，从而激发学生学习兴趣，增强学生的数学应用意识，培养学生的数学思维和建模能力。
运筹学案例教学数学建模“运筹学”课程是数学专业和管理类专业的核心课程之一。
该课程教学的主要任务是使学生理解运筹学中优化决策的思想。
在掌握基本的数学理论的基础上，需要具备建模和计算的能力，采用案例教学法。
数学建模是运筹学中不可或缺的一部分，课程教学中应当突出以数学建模分析^p 为基础的案例教学法。
一、运筹学中的数学建模数学建模是通过对具有实际背景的问题的分析^p ，了解研究对象的内在规律。
然后用数学的语言和方法把这种规律描述出来。
并对其进行求解运算得出结果，为决策者提供量化决策依据的过程。
如今数学建模在各行各业中得到了广泛的应用。
在当代数学中的地位也日益突现。
随着计算机技术的发展，产生了更多的数学方法用于解决实际问题，一般只需给出问题的数值解或近似最优解便达到了应用的目的。
运筹学是研究解决实际问题的数学方法的一门应用科学运筹学在解决实际问题的过程中形成了自己的工作步骤：（1）提出和形成问题；（2 ）建立模型；（3）求解；（4）解的检验；（5 ）解的控制；（6 ）解的实施。
要解决问题，首先要通过分析^p 引入决策变量，然后构建目标函数和约束条件，建立相应的数学模型。
所以，建立模型是运筹学解决问题过程中关键的一步，数学模型从研究对象上看，可分为确定性模型和随机性模型：从决策变量之间的关系看，可分为线性模型和非线性模型。
以及静态模型和动态模型。
运筹学中针对不同类型的模型提出了相应的算法，例如求解线性规划的单纯形法，求解最短路问题的Dijkstra算法等。
随着运筹学的发展，有些分支逐步发展起来，其中很多理论和方法已广泛应用于包括生产管理、工程技术、经济分析^p 、军事作战等领域。
数学建模 运筹学模型(一)汇总
运筹学模型（一）本章重点：线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题复习要求：1. 进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵.2. 进一步理解数学模型的作用与特点.本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型. 具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单. 运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单. 你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求. 目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型. 另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型. 这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型. 还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到. 另外在个别场合可能会涉及一笔划问题.1. 营养配餐问题的数学模型m i Z n =C 1x 1+C 2x + C n x n⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n ≥b 1, ⎪⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n ≥b 2, ⎪ s ⋅t⋅⎨⎪a x +a x + +a x ≥b , m 22mn n m ⎪m 11⎪⎩x j ≥0(j =1, 2, , n或更简洁地表为m i Z n =∑C x jj =1n j⎧n ⎪∑a ij x j ≥b i ⎪j =1s ⋅t ⋅⎨⎪x ≥0(i =1, 2, , m j ⎪j =1, 2, , n ⎩其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量.2. 合理配料问题的数学模型有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品. 单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位. 问如何安排生产，使总利润达到最大？设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有m a Z x =C 1x 1+C 2x 2+ +C n x n⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n ≤b 1, ⎪⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n ≤b l , ⎪ s ⋅t⋅⎨⎪a x +a x + +a x ≤b , m 22mn n m ⎪m 11⎪⎩x j ≥0(j =1, 2, , n或更简单地写为m a z x =∑Cj =1n j x j⎧n ⎪∑a ij x j ≤b i ⎪j =1 s ⋅t ⋅⎨i =1, 2, , m ⎛⎫⎪x ≥0 j =1, 2, , n ⎪⎪⎪j ⎝⎭⎩3. 运输问题模型运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量设置为双下标变量. 假如问题具有m 个产地和n 个销地，第i 个产地用A i 表示，其产量为a i （i =1，2，…，m ），第j 个销地用B j 表示，其销量为b j （j =1，2，…，n ），从A i 运往B j 的运价为c ij ，而写成为∑a i =1m i =∑b j =1n j 表示产销平衡. 那么产销平衡运输问题的一般模型可以min Z =∑∑c ij x iji =1j =1m n⎧n ⎪∑x ij =a i ⎪j =1⎪⎪m s ⋅t ⋅⎨∑x ij =b j ⎪i =1⎪⎛i =1, 2, , m ⎫⎪x ij ≥0 j =1, 2, , n ⎪⎪⎪⎝⎭⎩4. 目标规划模型某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部门处理. 已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120小时和150小时，每小时费用分别为80元和20元，其它数据如下表表4-1工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售及检验等方面都能达标.问题分析与模型假设经与工厂总经理交谈，确定下列几条：p 1：检验和销售费每月不超过4600元；p 2：每月售出产品I 不少于50件；p 3：两车间的生产工时充分利用（重要性权系数按两车间每小时费用比确定）；p 4：甲车间加班不超过20小时；p 5：每月售出产品Ⅱ不少于80件；p 6：两车间加班总时数要有控制（对权系数分配参照第三优先级）.模型建立设x 1，x 2分别为产品Ⅰ和Ⅱ的月产量，先建立一般约束条件组，依题设50x 1+30x 2≤4600x 1≥50 售出量x 2≥80 2x 1+x 2≤120 两车间总工时x 1+3x 2≤150+ 设d 1表检验销售费偏差，则希望d 1达最小，有p 1d 1+, 相应的目标约束为 5x 1+30x 2+d 1--d 1+ = 4600； --达最小，有p 2d 2, 相应的目标约束 d 2表产品I 售量偏差，则希望d 2-+x 1+d 2-d 2=50,以d 3、d 4表两车间生产工时偏差，则由于充分利用，故希望d 320=4：1，有--p 3(4d 3+d 4 . 相应的目标约束应为 --达最小，考虑到费用比例为80：, d 4-+-+=150， -d 42x 1+x 2+d 3-d 3=120和x 1+3x 2+d 4以d 5表甲车间加班偏差，则有+-+d 3+d 5-d 5=20， p 4d 5+, 相应目标约束为以d 6表产品Ⅱ售量偏差，则希望d 6达最小，有相应约束为-+x 2+d 6-d 6=80.++++表示，考虑到权系数，有p6(4d 3+d 4, 其目标约束由于利用超生+d 4- 最后优先级p 6可利用d 3产工时，已在工时限制中体现，于是得到该问题的目标规划模型为---+-++m i z n =p 1d 1++p 2d 2+p 3(4d 3+d 4 +p 4d 5+p 5d 6+p 6(4d 3+d 4 ⎧50x 1+30x 2+d 1--d 1+⎪-+x 1+d 2-d 2⎪⎪-+2x +x +d -d 1233⎪⎪-+s ⋅t ⋅⎨x 1+3x 2+d 4-d 4⎪+-+d +d -d 355⎪⎪x 2+d 6--d 6+⎪-+⎪⎩x 1, x 2≥0, d l , d l≥0=4600=50=120=150=20=80(l =1, 2, , 65. 最小树问题一个图中若有几个顶点及其边的交替序列形成闭回路，我们就说这个图有圈；若图中所有连顶点间都有边相接，就称该图是连通的；若两个顶点间有不止一条边连接，则称该图具有多重边. 一个图被称为是树意味着该图是连通的无圈的简单图. ．在具有相同顶点的树中，总赋权数最小的树称为最小树.最小树的求法有两种，一种称为“避圈法”，一种是“破圈法”，两法各具优缺点，它们具有共同的特征——去掉图中的圈并且每次都是去掉圈中边权较大的边.6. 最短路问题的数学模型最短路问题一般描述如下：在一个图（或者说网络）中，给定一个始点v s 和一个终点v t ，求v s 到v t 的一条路，使路长最短（即路的各边权数之和最小）.狄克斯屈（E.D.Dijkstra ）双标号法该法亦称双标号法，适用于所有权数均为非负（即一切w ij ≥0 w ij 表示顶点v i 与v j 的边的权数）的网络，能够求出网络的任一点v s 到其它各点的最短路，为目前求这类网络最短路的最好算法.该法在施行中，对每一个点v j 都要赋予一个标号，并分为固定标号P （v j ）和临时标号T （v j ）两种，其含义如下：P （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长；T （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长上界.一个点v j 的标号只能是上述两种标号之一. 若为T 标号，则需视情况修改，而一旦成为P 标号，就固定不变了.开始先给始点v s 标上P 标号0，然后检查点v s ，对其一切关联边（v s ，vj ）的终点v j ，给出v j 的T 标号w ij ；再在网络的已有T 标号中选取最小者，把它改为P 标号. 以后每次都检查刚得到P 标号那点，按一定规则修改其一切关联边终点的T 标号，再在网络的所有T 标号中选取最小者并把它改为P 标号. 这样，每次都把一个T 标号点改为P 标号点，因为网络中总共有n 个结点，故最多只需n -1次就能把终点v t 改为P 标号. 这意味着已求得了v s 到v t 的最短路.狄克斯屈标号法的计算步骤如下：1°令S ={v s }为固定标号点集，=V \{v s }为临时标号点集，再令P (v i =0，v t ∈S ； 2°检查点v i ，对其一切关联边（v i ， vj ）的终点v j∈，计算并令 min{T (v j , P (v i +w ij }⇒T (v j3°从一切v j∈中选取并令 min{T (v j }=T (v r ⇒T (v r 选取相应的弧（v i ， vr ）. 再令 S {v r }⇒S , \{v r }⇒=∅，则停止，P (v j 即v s 到v j 的最短路长，特别P (v t 即v s 到v t 的最短路长，而已选出 4°若的弧即给出v s 到各点的最短路；否则令v r ⇒v i ，返2°. 注意：若只要求v s 到某一点v t 的最短路，而没要求v s 到其他各点的最短路，则上述步骤4°可改为 4°若r = t 则结束，P (v r 即为所求最短路长；否则令v r ⇒v i ，返2°.。
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第一讲 数学建模简介及数学规划模型
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线性规划
第一讲 数学建模简介及数学规划模型
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汽车厂生产计划 模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型
钢材 1.5
中型
3 250
大型
5 400
现有量
600 60000
时间 280
利润
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本
性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考
建模的关键 :
和 f(), g()的确定.
模型假设中四脚呈正方形不是本质的,读者可考虑长 方形的情形.
第一讲 数学建模简介及数学规划模型
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一般地，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特 定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作 出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的 一个数学结构。 把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型， 求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所 提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应 用过程称为数学建模。 数学模型或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测 到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或 控制。
16.6 3.55
18 3.54
21 3.31
24 2.89
27 2.22
30 1.29
33.3 0
第一讲 数学建模简介及数学规划模型
上面的表中，我们给出了外侧刹车痕迹的有关值，而且，经过测量还 发现，该车并没有偏离它所行驶的转弯路线，也就是说，它的车头一直指 向切线方向。可以假设，该车的重心是沿一个半径为r的圆做圆周运动。 假设磨擦力作用在该车速度的法线方向上，并设汽车的速度v是一个常 数。显然，磨擦力提供了向心力，设磨擦系数为μ, 则
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为培养和选拔优秀的数学人才，世界各国有 各种不同形式不同层次的数学竞赛. 传统的 数学竞赛只局限于演绎、推理等纯数学形 式，它不能培养和发展学生运用数学知识 解决实际问题的能力，不能满足科学技术 飞速发展的时代需要. 从1983年起，在美国 就有一些有识之士开始探讨组织一项应用 数学方面的竞赛的可能性.
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椅子能在不平的地面上放稳吗？
把四只脚的椅子往不平的地面上一放，通 常只有三只脚着地，放不稳，然而有人认 为只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放 稳了，对吗？
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问题分析 通常三只脚着地 放稳的标准: 四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触， 四脚连线呈正方形;
•模
•型
地面高度连续变化，可视为数学上的连
续曲面;
假 • 设
•
地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚
同时着地。
建立模型
• 椅子位置
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用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.
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初等模型
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一辆汽车在拐弯时急刹车，结果冲到路边 的沟里（见下图），交通警察立即赶到了 事故现场。司机申辩说，当他进入弯道时 刹车失灵，他还一口咬定，进入弯道其车 速为每小时４０英里（这是该路的速度上 限，约合每秒１７.９２米）。警察验车时 证实该车的制动器在事故发生时确实失灵， 然而，司机所说的车速是否真实可信呢？
形成一个 比较清晰 的‘问题’
模型假设
针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设
在合理与简化之间作出折中
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模型建立
用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法 尽量采用简单的数学工具
模型求解
各种数学方法、软件和计算机技术
模型分析
如结果的误差分析、统计分析、模型对数据 的稳定性分析
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数学模型的分类
1、按模型的应用领域分类： 生物数学模型 医学数学模型 地质数学模型 数量经济学模型 数学社会学模型 2、按是否考虑随机因素分类： 确定性模型 随机性模型 3、按是否考虑模型的变化分类： 静态模型 动态模型
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2
3
4
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600
280x1 250x2 400x3 60000
x1 , x2 , x3 0
线性 规划 模型 (LP)
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模型 求解
结果为小数， 怎么办？Fra bibliotek第一讲 数学建模简介及数学规划模型
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模型检验
与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、 适用性
模型应用
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数学建模有助于培养以下几个方面的素质和能力： • 数学素质和能力 • 计算机应用能力 • 论文写作能力 • 团队合作精神和进行协调的组织能力 • 培养想象能力 • 发展观察力，形成洞察力 • 勇于参与的竞争意识和不怕困难、奋力攻 关的顽强意志
且 g(0)=0， f(0) > 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
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模型求解
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换. 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
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4、按应用离散方法或连续方法分类： 离散模型 连续模型 5、按建立模型的数学方法分类： 几何模型 微分方程模型 图论模型 规划论模型 马氏链模型
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6、按人们对是物发展过程的了解程度分类： （1）白箱模型：指那些内部规律比较清楚的模 型。如力学、 热学、电学以及相关的工程技 术问题。 （2）灰箱模型：指那些内部规律尚不十分清楚， 在建立和改 善模型方面都还不同程度地有许多 工作要做的问题。如 气象学、生态学经济学等领域的模型。 （3）黑箱模型：指一些其内部规律还很少为人们 所知的现象。 如生命科学、社会科学等方面的问题。但由 于因素众多、 关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。
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数学建模的几个过程
1、模型准备 3、模型建立 5、模型求解 7、模型检验 2、模型假设 4、模型构成 6、模型分析 8、模型应用
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模型准备
了解实际背景
搜集有关信息 明确建模目的 掌握对象特征
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1989年北京的三所大学组队参加美国的MCM 竞赛,此后我国的参赛队伍越来越多. 1992－1993年中国工业与应用数学学会 （CSIAM）举办了两次中国大学生数学建 模竞赛. 1994年起，由国家教委（教育部）高教司和 中国工业与应用数学学会共同于每年9月举 办，1999年开始设立大专组的竞赛.
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无论是美国还是我国大学本科组数学建模竞赛题 每年都是两道，参赛队从中任选一道题目. 一般来 说其中一道是连续型，另一道是离散型；或者一 道是开放型的，另一道是严谨型的. 竞赛内容或题 目是由工程技术、管理科学中的实际问题简化而 成，留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创 造精神. 竞赛形式为三名学生组成一队，可以自由 地收集资料、调查研究，使用计算机、因特网和 任何软件，在三天时间内分工合作完成一篇论文. 评奖标准为模型假设的合理性、建模的创造性、 结果的准确性和文字表述的清晰程度.
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用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.
地面为连续曲面 椅子在任意位置至 f() , g()是连续函数
少三只脚着地
对任意, f(), g()至少 一个为0
数学 问题
已知： f() , g()是连续函数 ;
对任意， f() • g()=0 ;
f(x)~目标函数
T
gi(x)0~约束条件
决策变量个数n和 多元函数 约束条件个数m较大 条件极值 最优解在可行域 的边界上取得
重点在模型的建立和结果的分析
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• • • • • •
无约束优化 线性规划 非线性规划 整数规划 多目标规划 动态规划等等
利用正方形(椅脚连线)的对称性 用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 B´ 椅脚与地面距离为零 距离是的函数 四个距离 (四只脚) 两个距离 正方形 对称性 B
A´
• 四只脚着地
C
C´
O
D´
A
x
D
A,C 两脚与地面距离之和记为f()
B,D 两脚与地面距离之和记为g()