高二数学新教材选择性必修第一册1.3 空间向量及其坐标的运算(精讲)(解析版)

1.3 空间向量及其坐标的运算

考点一 坐标的运算

【例1】（1）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）设,x y R ∈，向量(,1,1),b (1,,1),c (2,4,2)a x y ===-，

,c a c b

⊥，则||a b +=（ ）

A ．

B

C ．3

D ．4

（2）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）已知空间向量()1,0,1a =，()1,1,b n =，3a b ⋅=则向量a 与b λ（0λ≠）的夹角为（ ）

A ．

6

π B ．

6π或

56

π

C ．

3

π

D ．

3π

或

23

π 【答案】（1）C （2）B 【解析】

,

241,2,(1,2,1)

b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-

,a c ⊥()214+20,a c x ∴⋅=+⋅-=

1x ∴=，(1,1,1),(2,1,2)a a b ∴=∴+=-，2||23a b ∴+=+=，故选：C.

（2）,13a b a b cos a b n ⋅==+

=解得2n =,?

3a b = 代入得3

2

cos a b ⋅=，又向量夹角范围：[]0,π故,a b 的夹角为6π，则a 与b λ的夹角，

当0λ>时为

6

π

；0λ<时为56π.故选：B. 【一隅三反】

1．（2020·全国高二课时练习）下列向量中与向量()01

0a =，，平行的向量是（ ） A ．()100b =，， B ．()010c =-，， C ．()111d =--，， D ．()001e =-，

， 【答案】B

【解析】因为//a a λ，又()00a λλ=，，

，所以A 、C 、D 选项均不符合()00a λλ=，，的形式，只有c a =-满足//c a .故选：B.

2．（2020·全国高二课时练习）已知向量()1,0,1a =，()2,0,2b =-，若()()

2ka b a kb +⋅+=，则k 的值等于（ ） A ．1 B ．

35

C ．

25

D ．

15

【答案】D

【解析】由已知得a

=，b =，且0a b ⋅=，

所以()()

2ka b a kb +⋅+=得(

)

22

2

||||12k a k b k a b +++⋅=，即2k+8k=2，解得k=

1

5

.故选：D 3．（2020·广西北流市实验中学高一期中）在空间直角坐标系O ﹣xyz 中,点A （2,﹣1,3）关于yOz 平面对称的点的坐标是( )

A ．（2,1,3）

B ．（﹣2,﹣1,3）

C ．（2,1,﹣3）

D ．（2,﹣1,﹣3）

【答案】B

【解析】在空间直角坐标系O ﹣xyz 中,点A （2,﹣1,3）关于yOz 平面对称的点的坐标是（﹣2,﹣1,3）. 故选：B.

4．（2020·全国高二课时练习）已知(1,1,2),(6,21,2)a b m λλ=+=-. （1）若//a b ，分别求λ与m 的值；

（2）若||5a =，且与(2,2,)c λλ=--垂直，求a . 【答案】（1）λ=

1

5

，m=3；（2）(0,1,2)a =-. 【解析】（1）由//a b ，得(1,1,2)(6,21,2)k m λλ+=-

161(21)22k k m k λλ+=⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩

，解得153k m λ⎧

==⎪

⎨⎪=⎩1,35m λ∴==

（2）||5a =

，且a c ⊥

()222

(1)1(2)5(212120

λλλλλλ⎧+++=⎪∴⎨+-⨯-⨯=⎪⎩ 化简得22

523220

λλλ⎧+=⎨-=⎩，解得1λ=-. 因此(0,1,2)a =-

考点二 坐标运算在几何中的运用

【例2】（2020·全国高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，M ，N 分别是AA 1，

CB 1的中点.

（1）求BM ，BN 的长. （2）求△BMN 的面积.

【答案】（1）BM

BN

；（2

）

4

. 【解析】以C 为原点，以CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图).

则B (0，1，0)，M (1，0，1)，N 1012⎛⎫ ⎪⎝⎭

,,

. （1）

1(1,1,1),0,,12BM BN ⎛

⎫=-=- ⎪⎝

⎭

2

||1BM ∴=

=2

||02

BN ==

. 故BM BN .

（2

）

3cos cos ,||||

3BM BN

MBN BM BN BM BN ⋅

∠==

=

=

sin

MBN

∴∠==

故11||||sin 22254

BMN S BM

BN MBN =

⋅⋅⋅∠==

△. 即△BMN 【一隅三反】

1．（2019·天水市第一中学高二月考（理））如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，2

CA CB =，

13CC CB =，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）.